2019届青浦区高三一模数学Word版(附解析)

上海市青浦区2019届高三一模数学试卷

2018.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,0,1,2}A =-，(,0)B =-∞，则A

B =

2. 写出命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题

3. 不等式2

43

3(1)1

2()2

x

x x ---<的解集为 4. 在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34(,)55

，则

tan()πθ+的值为

5. 已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=?，3AB =，

4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体

的体积为

6. 如图所示，在复平面内，网格中的每个正方形的边长 都为1，点A 、B 对应的复数分别是1z 、2z ，则2

1

||z z =

7. 已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 8. 设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23

π

单位后所得函数图像与 原函数图像的对称轴重合，则ω=

9. 2018首届进博会在上海召开，现要从5男4女共9名志愿者中选派3名志愿者服务轨交2 号线徐泾东站的一个出入口，其中至少要求一名男性，则不同的选派方案共有 种 10. 设等差数列{}n a 满足11a =，0n a >，其前n 项和为n S

，若数列也为等差数列， 则10

2

lim

n n n

S a +→∞=

11.

已知函数()2f x +=

，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内

()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是

12. 已知平面向量a 、b 、c 满足||1a =，||||2b c ==，且0b c ?=，则当01λ≤≤时，

|(1)|a b c λλ---的取值范围是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. “4n =”是“1()n x x

+的二项展开式存在常数项”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 长轴长为8，以抛物线212y x =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）

A.

2216455x y += B. 2216428x y += C. 2212516x y += D. 22

1167

x y += 15. 对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（ ） A. 若m

α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交 B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥β C. m

α，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥n

D. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线

16. 记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若2

()[]30

x f x =+，则

(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++???++的值为（ ）

A. 899

B. 900

C. 901

D. 902

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，15A D =. （1）求该正四棱柱的侧面积与体积；

（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与 平面ABCD 所成角的大小.

18. 如图，某广场有一块边长为1()hm 的正方形区域ABCD ，在点A 处装有一个可转动的

摄像头，其能够捕捉到图像的角PAQ ∠始终为45°（其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上）， 设PAB θ∠=，记tan t θ=.

（1）用t 表示PQ 的长度，并研究△CPQ 的周长l 是否为定值？

（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为多少2hm ？

19. 对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得 对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间

[,)a +∞上的弱渐近函数.

（1）若函数()3g x x =是函数()3m

f x x x

=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的 取值范围；

（2）证明：函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数.

20.（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为4，渐近线方程为y =，

求双曲线的标准方程；

（2）过（1）中双曲线上一点P 的直线分别交两条渐近线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，且P 是线段AB 的中点，求证：12x x ?为常数； （3）我们知道函数1

y x

=

图像是由双曲线221x y -=的图像逆时针旋转45°得到的，函数

2y x =+

图像也是双曲线，请尝试写出双曲线2y x x

=+的性质（不必证明）.

21. 若存在常数k （k ∈*N ，2k ≥）、c 、d ，

使得无穷数列{}n a 满足1n n n

n

a d k

a n

ca

k

+?

+???=??∈??**N N ，

则称数列{}n a 为“Γ数列”，已知数列{}n b 为“Γ数列”.

（1）若数列{}n b 中，11b =，3k =，4d =，0c =，试求2019b 的值；

（2）若数列{}n b 中，12b =，4k =，2d =，1c =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不 等式43n n S λ≤?对n ∈*N 恒成立，求实数λ的取值范围；

（3）若{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.

参考答案

一. 填空题

1. {1}-

2. 若a b <，则22am bm <

3. (2,3)-

4. 43

-

5. 12π

6.

7. (0,4)(4,8)

8.

32

9. 80 10. 14 11. 1

(0,]2

12. 1,3]

二. 选择题

13. A 14. D 15. C 16. D

三. 解答题

17.（1）侧面积为48，体积为36；（2）arctan

15

.

18.（1）2

1||1t QP t

+=+，[0,1]t ∈，定值为2；（2）3-19.（1）[4,4]-；（2）略.

20.（1）22

1412

x y -=；（2）4；

（3）范围：(,0)

(0,)x ∈-∞+∞，(,[2,)y ∈-∞+∞；

对称性：y =和y =；(0,0)；渐近线：y =和y 轴；

顶点坐标：3(

)22和3

()22

-. 21.（1）8；（2）64

[,)9

+∞；（3）n b b =和1(1)n n b b -=-?.