八年级数学-三角形中位线定理
八年级数学-三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
运用这个定理，可以证明线与线的平行关系；证明线段之间的相等或倍分关系；还可将分散的已知条件集中起来发挥作用。
例1：如图P3-3，已知△ABC中，D是AB中点，O是CD中点，BO延长后交AC于E．
证明：取AE中点F，连结DF．
∵D是AB中点，
∵O是CD中点，
例2：已知：如图P3-4，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB.DC的中点，延长AD.MN 交于E，延长BC.MN交于F．
求证：∠AEM=∠BFM．
证明：连BD，取中点O，连ON、OM，在△ABD与△BDC中，M、O为AB.BD边中点；N、O为DB.DC 边中点．
∵AD=BC．
∴OM＝ON．
∴∠1＝∠2．
而∠1=∠BFM，∠2=∠AEM，
∴∠AEM＝∠BFM．
例3：选择题：
(1)一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，则这个三角形是 [ ]
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)直角三角形 (D)无法确定
解：(C)．设三个内角的度数分别为k、2k、3k，24
根据三角形内角和定理，有
k+2k+3k＝180°
解得 k=30°．
∴三角形的三个内角分别为30°、60°、90°．
故选(C)．
(2)如果等腰三角形的顶角为40°，那么其中一个底角的度数为[ ]
(A)50° (B)70°
(C)100° (D)140°
解：(B)．
(3)钝角三角形的三条高 [ ]
(A)相交于三角形内部的一点
(B)相交于大边上的一点
(C)相交于三角形外部的一点
(D)不能相交于一点
解：(C)．
(4)在△ABC中，AB＞BC＞CA，那么在①∠C=60°，②∠B=60°，③∠A=60°中，可能成立的是 [ ]
(A)③ (B)②
(C)②③ (D) ①③
解：(A)．
在△ABC中，
∵ AB＞BC＞CA，
∴∠C＞∠A＞∠B．
若∠C=60°，则∠A与∠B的均小于60°，这与三角形内角和等于180°矛盾．若∠B=60°，则∠C和∠A均大于60°，这也与三角形内角和等于180°矛盾．∴∠A=60°，应选(A)．
(5)顺次连结周长为a的三角形三边中点所得三角形的周长为 [ ]
解：(D)．
(6)在△ABC中，∠B.∠C的外角平分线相交于D，那么∠BDC等于 [ ]
解：(C)．如图P3-5，
∵∠EBC＋∠FCB=(180°-∠ABC)＋(180°-∠ACB)=360°-(∠ABC＋∠ACB)．
又∵∠A=180°-(∠ABC＋∠ACB)，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A．
∴∠EBC＋∠FCB
＝360°-180°+∠A
=180°+∠A．
∵BD.CD分别平分∠EBC.∠FCB，
∴∠BDC=180°-(∠1+∠2)
(7)下列命题中的假命题是 [ ]
（A)有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形
（B)等边三角形是等腰三角形
（C）等腰直角三角形中，斜边是任一直角边2倍。
（D）等腰三角形是锐角三角形
解：(D)．
例4：已知：如图P3-6，AB∥CD。
求证：∠ABE＋∠BED+∠EDC＝360°．
证明：连结BD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＋∠CDB＝180°．
又∵∠BED＋∠EDB＋∠DBE=180°，
∴∠ABE＋∠BED＋∠EDC＝360°．
例5：已知：如图P3-7，△ABC中∠B和∠C的平分线BE.CF交于点I．
证明：(1)∵BE.CF分别是∠ABC.∠ACB的平分线，
又∵在△BIC中，
∠BIC=180°-(∠1+∠2)，
(2)在△ABC中，
∵∠ABC＋∠ACB＝180°-∠A．
三角形中位线定理的证明
备课偶得—— 三角形中位线定理的再证明 王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。 关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。 已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC 且 证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC ∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF 为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且 证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF ∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD ∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE ∴DE=EF ∴D E ∥BC 且 证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则 ∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点 ∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF 即 ∴DE ∥BC 且 图1 B C A D E 图2 B C A D E F 图3 B C A D E F C 图4 B A D E F E ′ 图5 B C A D E 1 2 DE BC =1 2 DE BC =1 2DE BC =12 DE BC =1 2DE BC =
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则 ，有AD FC ，所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边 形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1． 法2： 如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ， 有FC AD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。 因为 ，所以DE BC 2 1． 法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形 ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD ，那么四边形BCFD 为平 行四边形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1．
法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ???，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DE BC 21。 法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？ A C 图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗? C 图⑵： 说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
三角形中位线定理 知识讲解
三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
三角形的证明-知识点汇总
三角形的证明知识点汇总 知识点1 全等三角形的判定及性质 判定定理简称 判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL （Rt △） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角 在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠ C 推论 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直，简述为：三 线合一 在△ABC ，AB=AC ，AD ⊥BC ， 则AD 是BC 边上的中线，且 AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一 结论：该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读 （1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边 在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读 对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念 证明的一般步骤
三角形中位线定理_练习题
三角形的中位线定理 1．三角形中位线的定义： 2．三角形中位线定理的证明： 如图，在△ABC 中，D 、E 是AB 和AC 的中点，求证：DE ∥BC ，DE=2 1 BC ． 方法一： 方法二： 3．归纳：（1）几何语言： （2） 条中位线， 对全等， 个平行四边形 （3）面积 4．拓展：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，求证： DE= 2 1 BC ． 【巩固练习】 1．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ． 2．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF= 1 2 BD ． 3．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 4．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ． 5．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．
求证：四边形DEFG 是平行四边形． 6．已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ． 7．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点． 求证：△EFG 是等腰三角形。 8．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点．求证：四边形EGFH 是平行四边形； 9．如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 10．已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线， 求证：DE 与AF 互相平分 11．如图所示，在四边形ABCD 中，DC∥AB，以AD ，AC 为边作□ACED ，延长DC?交EB 于． 求证：EF=FB ．(多种方法)
初中几何中三角形中位线定理的应用
初中几何中三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系； （2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。 一、证明问题 1、证明角相等关系 例1、已知：如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。 证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理) 而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠ DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN
三角形的证明知识点汇总
百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL（Rt△）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为：等边对等角 在△ABC中，若AB=AC，则 ∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直，简述为：三 线合一 在△ABC，AB=AC，AD⊥BC， 则AD是BC边上的中线，且 AD平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的 平分线，底边上的中线、底边上 的高线之一 结论：该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形，简述为：等校对等边 在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤
三角形的中位线
三角形的中位线（一） 一、教学目的和要求 使学生了解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线性质定理的证明和应用。 通过定理的证明进一步培养学生的逻辑推理能力。 二、教学重点和难点 重点：掌握三角形中位线定义，及性质定理的证明。 难点：证题中正确添加辅助线。 三、教学过程 （一）复习、引入 提问： 1、平行线等分线段定理的内容 2、叙述定理的两个推论（画图示意） 练习：见图1 AD 是ABC ?中BC 边上的中线，E 为AD 的中点，连结BE 并延长交AC 于F ，若AF=2，求AC 的长。 A B D C 图1 过D 点作BF 的平行线交AC 于M ，因为BD=DC ，AE=ED ，利用平行线等分线段定理推论2，可得AF=FM=MC ，所以AC=6。 如果我们将平行线等分线段定理推论2的条件、结论交换一下，是否成立？ 已知：D 、E 是ABC ?中AB 、AC 边的中点，则DE//BC 。这就是我们今天将要研究的课题。 （二）新课 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 DE 叫做ABC ?的中位线。 注意： 1. 中位线是线段，它的端点是三角形两边的中点。 2. 中位线与中线都是三角形的重要线段，它们端点位置不同，是两个不同的概念。 每个三角形有三条中位线。 下面我们研究三角形的中位线与第三边的数量及位置关系。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 已知：如图2，ABC ?中，AD=DB ，AE=EC 求证：BC DE BC DE 2 1,//=
图2 分析：证明一条线段是第二条线段的一半，可将第一条线段倍长，证明等于第二条线段；也可将第二条线段取中点，证明其一半等于第一条线段。这里我们用第一种方法。 证明：延长DE到F使EF=DE，连结CF 在中 四边形DBCF是平行四边形。 DE//BC 小结：到目前为止，在我们学过的定理中，结论存在一条线段等于另一条线段一半的有哪些？ 1. 直角三角形中，角所对直角边等于斜边的一半。 2. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。 3. 三角形中位线定理。 例1已知：如图3，中，，D、E、F分别是BC、AB、CA边的中点，求证：AD=EF C D F A E B 图3 分析：要证AD=EF，我们先要结合图形认识线段AD、EF在图形的位置就会很容易找到解决问题的方法。 AD是斜边BC的中线，所以，EF是的中位线，所以。
三角形中位线定理证明
三角形中位线定理证明 性质1中位线平行于第三边 性质2等于第三边的一半 1定理 2证明 3逆定理 1定理三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。[1] 三角形的中位线 2证明 如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。 求证DE平行于BC且等于BC/2 方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。 ∵CG∥AD ∴∠A=∠ACG ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号） ∴△ADE≌△CGE （A.S.A) ∴AD=CG(全等三角形对应边相等) ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG 又∵BD∥CG ∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DG∥BC且DG=BC ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立. 方法二：相似法： ∵D是AB中点 ∴AD：AB=1：2 ∵E是AC中点 ∴AE：AC=1:2 又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC ∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2
∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴BC=2DE,BC∥DE 方法三：坐标法： 设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3） 则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2 另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2） 这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2 最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半 方法4： 延长DE到点G，使EG=DE，连接CG ∵点E是AC中点 ∴AE=CE ∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE ∴△ADE≌△CGE (S.A.S) ∴AD=CG、∠G=∠ADE ∵D为AB中点 ∴AD=BD ∴BD=CG ∵点D在边AB上 ∴DB∥CG ∴BCGD是平行四边形 ∴DE=DG/2=BC/2 ∴三角形的中位线定理成立[2] 方法五：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2[3] ∴DE//BC且DE=BC/2 3逆定理 逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。 如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。 证明：∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2 ∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。 逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。 如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2 三角形的中位线 证明：取AC中点E'，连接DE'，则有 AD=BD，AE'=CE' ∴DE'是三角形ABC的中位线 ∴DE'∥BC 又∵DE∥BC
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC V 中，L 、M 、N 分 别是BC 、CA 、AB 的中点. 求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且 AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点. 现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点. 另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点. 另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1. 这个点G 被叫做ABC V 的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC V 中，设AB 边上的中B C
线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为 G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因 为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点， 所以向量BG u u u r ∥BM u u u u r ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=uuu r uuu u r ，即 1()AG AB AM AB λ-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 所以，11(1)AG AM AB λλ=+-u u u r u u u u r u u u r =111(1)2 AC AB λλ+-u u u r u u u r 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-u u u r u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-uu u r uuu r 所以 111(1)2AC AB λλ+-u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-u u u r u u u r 又因为 AB uuu r 、 AC u u u r 不共线，所以 1221112112λλλλ=-=-??? 所以 1223λλ== ，所以 1133AG AB AC =+uuu r uu u r uuu r . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++u u u r u u u r u u u r u u r =111()332AB AC AC CB -+++u u u r u u u r u u u r u u u r =121()332AB AC AB AC -++-uuu r uuu r uuu r uuu r =1166 AB AC +uuu r uuu r ，即2AG GL =u u u r u u u r ，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1 C
三角形的中位线
第十八章平行四边形 18.1.2 平行四边形的判定 第3课时三角形的中位线 学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理； 2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 重点：理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 一、知识回顾 1.平行四边形的性质和判定有哪些？ 边：①AB∥CD,AD____BC ②AB=CD,AD____BC 平行四边形ABCD ③AB∥CD,AB_____CD 角：∠BAD____∠BCD，∠ ABC____∠ADC 对角线：AO____CO,DO____BO 一、要点探究 探究点1：三角形的中位线定理 概念学习三角形中位线：连接三角形两边中点的线段. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE. 则线段DE就称为△ABC的中位线. 想一想 1.一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有 的中位线吗？ 2.三角形的中位线与中线有什么区别？ 猜一猜如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的位置关系，又有 怎样的数量关系？ 猜想：三角形的中位线________三角形的第三边且 ________第三边的________． 量一量度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？ 证一证如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点. 1 . 2 DE BC DE BC 求证：∥， 分析： 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前 完成自主学 习部分 配套PPT讲 授 1.情景引入 （见幻灯片 3-4） 2.探究点1新 知讲授 （见幻灯片 5-18） 性质 判定 教学备注 2.探究点1新 知讲授 （见幻灯片 5-18）倍长DE至F DF与AC互相平分 构造全等 三角形 角、边 相等 平行四 边形 线段相 等、平行
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明一、三角形中位线定理的几种证明方法，则，，使，连结CF法1：如图所示，延长中位线DE至F DF FC BCFD 是平行四边形，BD，则四边形BC有AD FC，所以。因为1DE ，所以．BC 2，有F，则作FC 交DE的延长线于法2C 因为，DF BC。为平行四边形，AD，那么BDFC ，则四边形BCFD1．所以DE BC 2 ，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF至法3：如图所示，延长DEF，使BD，那么四边形BCFDCFAD ，所以FC 为平行四边形，为平行四边形，有1BC．DE ，所以BCDF 。因为2 法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都
CENAEM 1。DEDE∥BC，即DE=AM=NC=BN为平行四边形，所以，BC 2 法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。 ⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？ A BEDC 图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗? A
ED BC 图⑵：,上时A的顶点运动到直线BC说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的BC 中位线DE也运动到如果教师直接叫学.两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成. 生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。2第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。第二，要知道中位线定理的使用形式，如： A DE是△ABC的中位线∵ ED1BCDE ，BC∥∴ DE2CB． 第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。 题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，点F 在CA延长线上，∠FDA＝∠B. (1)求证：AF＝DE；(2)若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.
三角形的中位线经典练习题及其答案
三角形的中位线练习题及其答案 1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、 AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿ 5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）如果EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 如果AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿ 6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ． (1) (2) (3) (4) 7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=?5，?BC=?12，?则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ） A ．4.5cm B ．18cm C ．9cm D ．36cm 10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ） A ．15m B ．25m C ．30m D ．20m 11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，?再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、 20081 B 、20091 C 、220081 D 、2 20091 12．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上 从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减少 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定 13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF?的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 14．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．
15相似三角形判定定理的证明知识讲解基础
相似三角形判定定理的证明(基础) 【学习目标】 1.熟记三个判定定理的内容. 2.三个判定定理的证明过程. 3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】 要点一、两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C, ADAE?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABAC过点D作AC的平行线，交BC与点F,则 ADCF?(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ABCBAECF?∴ACCB∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ADAEDE??. ∴ABACBC而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.
【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似，求证：△ADE∽△ABC．D， CE⊥AB，垂足为E1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为 断可判∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到【思 ，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的==，利用比例性质得△AEC∽△ADB，则判定方法即可得到结论．【答案与解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，而∠EAC= ∠DAB，∴△AEC∽△ADB，∴，=∴，= ∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．有两组有两组角对应相等的两三角形相似；【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．举一反三°，ADE=60，且∠在BC、AC上，点是等边三角形D，E分别ABC【变式】如图，△CE. CD=AC?证求：BD? 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=AC， ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠CDE， ，DCE△∽ABD△∴．ABBDCC BCD=AC BCD=AC 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延
《三角形中位线定理》
课题：三角形中位线定理 科目：数学教学对象：八年级课时：§18.1平行四边形第4课时提供者：大城县第四中学毕宝清 一、教学目标 1.知识与技能： 理解三角形中位线的概念；探索并掌握三角形中位线定理；能正确应用三角形中位线定理解决问题。 2.过程与方法： 经历探索三角形中位线定理的过程，感受数学转化思想。 3.情感态度与价值观： 培养学生大胆猜想、合理论证、归纳结论的科学精神。 二、教学重点、难点 1．重点：探究三角形中位线定理并应用，应用三角形中位线定理解决有关问题。2．难点：三角形中位线定理的证明。 三、教具准备 多媒体、三角形纸片 四、教学过程 教 学 环 节 教学内容师生活动设计意图 一、情境设置 导入新课蚕丝吐尽春未老，烛泪成灰秋更稠。 春播桃李三千圃，秋来硕果满神州。 为感恩教师，七年级六班召开主题 班会，班长要求每个同学把手中的 三角形原料裁成四面完全相同的彩 旗装扮教室，应该怎么裁剪呢？ 教师引 导学生观察 图片，思考问 题后出示课 题. 教育学生懂得感 恩，从学生的生活实际 出发，创设情境，提出 问题，激发学生强烈的 好奇心和求知欲．
环 节 教学内容师生活动设计意图 二、 动手操作 观察发现探究一：三角形中位线的概念 活动一：请同学们按要求画图： （1）画一个任意的△ABC； （2）取AB、AC的中点D、E； （3）连接DE 三角形中位线定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三 角形的中位线。 问题1：一个三角形有几条中位线？ 请学生画出三角形中所有中位线。 问题2：三角形的中位线和三角形 的中线有何异同？ 教师引 导学生在练 习本上作图， 实践操作后 分析线段DE 的特征，独立 思考并总结 归纳出三角 形中位线的 定义. 教师 用红笔标出 定义的关键 词：“线段中 点”、“线段” 让学生在作图过 程中充分感知三角形 中位线并加深印象。 通过学生实践操 作把握概念的本质，有 利于学生今后更加准 确运用。 三、 探究性质定理 深化认知探究二：三角形的中位线定理 问题3：如图，DE是△ABC的中位 线，DE与BC有什么 关系？ 通过拼图活动 寻求辅助线做法。 （1）把三角形 纸片沿中位线DE裁开。 （2）变换△ADE的位置，想办 法去构造一条线段等于2DE， （3）画出变换后的图形，并把 △ADE移动后的对应的位置用虚线 画出来。 （4）请仔细观察哪条线段是 DE的2倍。 （5）我们只要证明哪两条线 段相等就可以。 （6）辅助线做法该怎么写？ （7）请构思并书写证明过程。 教师引导 学生从2个 方面探究两 条线段之间 的关系。 学生独立 思考寻求方 法探究结论， 小组讨论交 流并根据探 究结果猜想 三角形的中 位线定理。 教师板书证 明过程，并用 展台展示其 他证明方法。 调动已有知识经 验，结合学生实践操作 感知思考、交流合作探 究三角形中位线的定 理。 通过学生亲自拼 图操作，进一步探究辅 助线做法，并为定理的 证明作好准备工作 经历这个探究的 过程让学生意识到讨 论、合作是学生完成学 习任务的一种手段，而 交流则促进学生智慧 成果共享。
三角形中位线定理 优秀教案
三角形中位线定理 【教学目标】 1．本节课的认知目的是使学生了解三角形的中位线概念及其性质定理，重点是熟悉和掌握三角形中位线定理，并能正确地运用这个定理去解决一些简单的几何问题。 2．本节课利用几何画版平台，动态演示了例题几何图形的多种变化，使学生初步认识事物的动与静、变与不变这一矛盾的对立与统一的辩证唯物主义思想。 【教学重难点】 重点：掌握定理的实质和定理的应用。 难点：定理的证明。 【教学过程】 教 学 过 程 设计思路及应用分析 导读 1．概括这节课的学习内容和认知目标； 2．引入三角形的中位线概念。 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 注意：三角形的中位线和三角形的中线不同。 C B A E D C B A E D 对比：三角形有三条中位线，它们组成一个三角形； 三角形有三条中线，它们相交于一点。 C B A E D C B A E D F F 特别强调了本节课的制作特色是动态演示，学习方法是探索研究。 这里用动态连结并配上音 乐，以引起学生的注意。 这里的三条中位线和三条 中线使用闪烁的手法，加 强对比的效果。
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 定理表达式 证明：延长DE 到F ，使EF=DE ，连结CF 。 演示：打开几何画板 1．依次拖动三角形的三个顶点，注意DE 和 BC 长度的变化，观察它们的数量关系。 2．自点 D 作 BC 的平行线 FG ，再拖动三个顶点，观察 DE 与 BC 的位置关系。 定理表达式更能清楚地反 映定理的题设和结论。 中位线定理的证明方法较多，因为不作为本节课的重点，所以这里只选用了一种学生比较熟悉的直接证法。 也可以先演示再证明，通过 演示，使学生更直观地了解三角形的中位线和第三边的数量关系以及位置关系。 说明：关闭几何画板时，选择“不保存”。 本例题选自课本，证法一与课本相同。 引导学生分析为什么要连辅助线。 C B A E D A B C D E F
(完整版)人教版八年级下三角形中位线定理
知识点回顾（笔记） 证一证 如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点. 1 .2 DE BC DE BC =求证：∥， 证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是____________ ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．（全等） ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC.
类型1 三角形中位线的定理及运用 例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 类型2中位线辅助线的构造 例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求 证：CD= CE。
《三角形的中位线定理》教学设计 (表格版)
《三角形的中位线定理》教学设计 【教学目标】 1.知识与技能目标： （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同； （2）理解三角形中位线定理，并能运用它解决有关问题。 2.能力与过程目标： 借助动手操作及动画变换等形式的直观演示，引导学生通过观察、实验、猜测、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力，掌握三角形中位线定理； 3.德育目标： 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4.情感目标： 利用多媒体课件，创设问题情境，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。 【教学重点与难点分析】 1、教学重点：掌握和运用三角形中位线性质； 2、教学难点：三角形中位线定理的证明及应用。 【教学方法】 对于三角形中位线的引入采用发现法，在教师的指导下，学生通过观察、探索、猜测、联想等自主探究的方法先获得结论，再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学方法的渗透，提倡证明方法的多样性。课堂教学中，始终以“教师为主导，学生为主体、探究为主线”的教学思想，充分发挥主体地位的作用。 【教学用具】 教师：三角尺、剪刀、三角形纸片、计算机多媒体课件 学生：基本学具、导学案 【设计理念】 本节课我设计故事和问题情境导入，以学案导学，变静态、封闭型课堂为动态、开放性的知识互动交流和探究。借助动手操作演示，配合PowerPoint、几何画板等多媒体手段的动态辅助演示，用以突出教学重点，突破教学难点。力求遵循学生学习数学的认知规律，注意让学生经历知识的生成和发展过程，通过悬而未决的问题、简单的操作活动引起学生的注意，培养其分析问题、解决问题的能力，让学生在学习过程中不断构建各种数学模型，总结数学思想和规律，以便更好地运用所学的知识、方法去解决问题，真正体现“以学生为本”的理念。教学过程中选用的习题练习又易到难，梯度递升，贯穿了转化、一题多解、方程、倍分等数学思想和方法，融知识生成与解决途径于其中，体现了新课标的思想内涵。
全等三角形证明定理、习题
全等三角形证明 全等三角形共有5种判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特殊情况下平移、旋转、对折也会构成全等三角形。 全等三角形判定方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等. 举例：如下图，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B. 证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD. ∴△ACD≌△BDC.（SSS） ∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等） 全等三角形判定方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等. 举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D. 证明：∵AB平分∠CAD. ∴∠CAB=∠BAD. 在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB. ∴△ACB≌△ADB.（SAS） ∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等） 全等三角形判定方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等. 举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD. 证明：在△ABE与△ACD中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C. ∴△ABE≌△ACD.（ASA） 全等三角形判定方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等. 举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D. 证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE. ∴△ABC≌△EDC.（AAS） ∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等） 全等三角形判定方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC. 证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=CD. ∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL） ∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等） 附加:平移、旋转或对折的两个三角形全等. 习题 1已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且