函数奇偶性 (导学案)

1.3.2奇偶性

【使用说明及学法指导】

1． 先精读一遍教材3336P P -，用红笔进行勾画； 2． 限时完成学案合作探究部分，书写规范；

3． 找出自己的疑惑和需要讨论的问题，准备课上讨论质疑； 【学习目标】

1. 结合具体函数，了解函数的奇偶性的含义；

2. 掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图像对称性之间的关系；

3. 会利用函数的奇偶性解决简单问题。 【课前预习】 一、预习导学：

1、关于函数的奇偶性的定义

定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴?)(x f 是偶函数；⑵?)(x f 奇函数；

★函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的条件。 二、函数的奇偶性的几个性质

①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于对称；

②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内一个x 都必须成立；

③、可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； ④、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；

()()f x f x -=-?0)()(=+-x f x f

⑤、奇函数的图像关于对称，偶函数的图像关于对称； ⑥、奇函数在区间[],a b 和[],b a --()0b a >>上的单调性； ○7、偶函数在区间[],a b 和[],b a --()0b a >>上的单调性；

○8、根据函数奇偶性可将函数分类为四类：。

三、思考

在两个函数的定义域交集不为空集的前提条件下：

① 两个奇函数的代数和是函数；②两个偶函数的代数和是函数； ③一个奇函数与一个偶函数的代数和是函数；

【课内探究】

探究点一：函数奇偶性的判断 【例1】1. 《金版》P33[典例1]

【练习1-1】

（1）2()1x x f x x +=+； （2）22(0)()(0)

x x x f x x x x ?-+>?

=?+≤??；

2.已知函数)(x f 满足：),)(()(2)()(R y x y f x f y x f y x f ∈=-++，且

0)0(≠f ，则函数)(x f 的奇偶性为。

【练习1-2】设函数0y f x x R x ∈≠＝（

）(且）对任意非零实数12x x 、满足1212·f x x f x f x

（）＝（）＋（），求证f x （）是偶函数．

探究点二：利用奇偶性求函数值

【例2】 1.已知42()f x x ax b =++且(2)7f -=，那么=)2(f ______ __； 2.已知53()f x x ax bx =++且(2)7f -=，那么=)2(f _________； 3.已知8)(35-++=bx ax x x f 且(2)7f -=，那么=)2(f __________；

探究点三：利用奇偶性求函数解析式

【例3】1.设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数，又当0>x 时2()23f x x x =--，试

求)(x f 的解析式。

【练习3-1】 已知)(x f 为R 上的奇函数，当0x >时，()()21f x x x =-，求)(x f 的解析式？

2．《金版》P35[典例3]

【练习3-2】已知函数)(x f 为偶函数，()g x 为奇函数，它们的定义域均为

{}1x x R x ∈≠±且，且()()11f x g x x +=-，求)(x f 的解析式？

探究点四：利用奇偶性求参数 【例4】 1. 《金版》P35[典例2]

【练习4-1】

（1）已知函数3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 在区间()2,43m m -上是偶函数，则k =___________；m =___________； （2）若()()1()x x a f x x

++=是奇函数，则

a =_______；

2. 《金版》P36[典例4]

【练习4-2】设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]

0,2上单调递减，若

1f m f m （－）＜（），求实数m 的取值范围．

【我的收获】

1. 知识方面:_______________________________________________________________

2. 数学思想方法:___________________________________________________________

3. 我的感悟:_______________________________________________________________

【限时训练】

1．若奇函数)(x f 在区间]7,3[上是增函数且最小值为5，则)(x f 在区间[7,3]--上是( ) A ．增函数且最小值为5-； B ．增函数且最大值为5-；

C ．减函数且最小值为5-；

D ．减函数且最大值为5-

2．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图像上

的是（）

A ．(())a f a ，-

B ．(())--a f a ，

C ．(())---a f a ，

D ．(

())a f a ，- 3.已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增，则下列关系式成立的是( )

A ．)2()2()(f f f >->-ππ

B ．)()2

()2(ππ

->->f f f

C ．)2()2()(ππ->>-f f f

D ．)()2()2

(ππ

->>-f f f

4.函数()()1f x x =－

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 即奇又偶函数

D.非奇非偶函数

5.已知538f x x ax bx （）＝＋＋－，且210f （

－）＝，那么2f （）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10

6. 若()b kx x f +=为奇函数，则b =.

7. 已知)(x f 是定义在[)2,0-?(]0,2上的奇函数，当0>x 时，

)(x f 的图像如右图所示，那么f (x )的值域是.

8. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，

()f x x x 2

=2-，则()f 1=.

9.已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()221f x x x =-+，求当0x <时，()f x 得解析式。

10．已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图像关于y 轴对称，写出函数的

解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.

11. 设函数()21x x ax f b ++=

是定义在()1,1-上的奇函数，且12

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f ????= ?，（1）确定函数()f x 的解析式；

（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；（3）解不等式()() 1 0f t f t +<－.