初等数学研究课后习题答案教学提纲

初等数学研究课后习

题答案

初等代数研究课后习题

20071115033 数学院 07（1） 杨明

1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即

（1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >.

（2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B ==

（1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~,?∴,a b >∴

“?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a

（2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立，

假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立..

2、证明自然数的加法满足交换律.

证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合

先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则

+++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1

k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N +∴∈∴=

∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+

3、证明自然数的乘法是唯一存在的

证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合，

()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b = 乘法是唯一的

存在性：设乘法存在的所有a 组成集合K 当1a =时，b N ?∈， 111,1111b b b b ++?=?==+=?+ φ≠∈∴k 1，设a K ∈，b N ?∈， 有,a b 与它对应，且1a a ?=，ab ab a +=+，对b N ?∈，令a b ab b +=+ 1111a a a a ++?=?+=+=

1

()(1)

a b ab b ab a b ab b a a b a ++++++=+=+++=+++=+

a K +∴∈ K N ∴= 即乘法存在

p24—5、解：满足条件的A 有1{1,2}A =，2{1,2,3}A =，3{1,2,4}A =，4{1,2,5}A =

5{1,2,3,4}A =，6{1,2,3,5}A =，7{1,2,4,5}A =，8{1,2,3,4,5}A = 123456782,3,4,5A A A A A A A A ========

∴========基数和为23343528+?+?+= p24—6、证明：,A a B b ==，A 中的x 与B 中的y 对应

A B ab ∴?=，B A ba ab ∴?== A B ab ?= A B A B B A ∴?=?=?

p24—8、证明：1）3+4=7

3134++== 3231(31)45++++=+=+==

3332(32)56++++=+=+==

3433(33)67++++=+=+==

2）3412?=

313?= 32313136+?=?=?+=

33323239+?=?=?+=

343333312+?=?=?+=

p24—12、证明：1）()m n m n +++++=+

()1(1)m n m n m n m n +++++++=++=++=+

2）()mn nm m +++=+

()1(1)mn mn mn m nm m ++++=+=++=+

p26—36、已知(,)f m n 对任何,m n N ∈满足

(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))f n n f m f m f m n f m f m n =+??+=??++=+?

求证：1）(2,)2f n n =+

2）(3,)22f n n =+

3）1(4,)22n f n +=-

证明：1)当1n =时，(2,1)(11,1)(1,2)2112f f f =+==+=+结论成立，

假设n k =时，结论成立，即(2,)2f k k =+，

当1n k =+时，

(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2

f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立

2）当1n =时，(3,)(21,)(2,2)22212f n f n f =+==+=?+结论成

立

假设n k =时，结论成立，即(3,)22f k k =+

当1n k =+时，

(3,1)(21,1)(2,(3,))(2,22)2222(1)2

f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立

3）当1n =时，11(4,1)(31,1)(3,2)22222f f f +=+==?-=-结论

成立

假设n k =时，结论成立，即1(4,)22k f k +=-

当1n k =+时，

112(4,1)(3,(4,))(3,22)

2(22)222k k k f k f f k f ++++==-=-+=-

所以对一切自然数结论都成立

p62—1、证明定理2.1

证明：[,],[,]a b c d Z ?∈，[,][,][,]a b c d a c b d +=++

因为自然数加法满足交换律[,][,]a c b d c a d b ∴++=++

而[,][,][,]c d a b c a d b +=++[,][,][,][,]a b c d c d a b ∴+=+

[,],[,],[,]a b c d e f Z ?∈，

[,][,][,][,][,][(),()]a b c d e f a c b d e f a c e b d f ++=+++=++++ 以为自然数满足加法结合律([,][,])[,][,]([,][,])a b c d e f a b c d e f ∴++=++ 即整数加法满足交换律和结合律

p62—2、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证[,][,]a b c d =的充要条件是[,][,][1,1]a b c d -= 证明：“?” 已知[,][,]a b c d =则a d b c +=+

[,][,][,][1,1]a b c d a d b c ∴-=++=

“?” 已知[,][,][1,1]a b c d -=则[,][1,1]a d b c ++=，a d b c +=+ [,][,]a b c d ∴=

p62—4、已知N b a ∈,，求证([,])[,]a b a b --=

证明：[,][,]a b b a -= ([,])[,][,]a b b a a b --=-=

p62—5、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证([,][,])[,][,]a b c d a b c d --=-+

证明：左边([,][,])[,][,]a b c d a d b c b c a d --=-++=++

右边[,][,][,][,][,]a b c d b a c d b c a d -+=+=++

所以左边等于右边([,][,])[,][,]a b c d a b c d ∴--=-+

p62—7、已知,,a b c N ∈，求证当且仅当a d b c +<+时[,][,]a b c d <

证明：“?” 已知a d b c +<+，[,][,][,]a b c d a d b c -=++ 因为 a d b c +<+ [,]a d b c ∴++是负数，[,][,]a b c d ∴< “?” 已知[,][,]a b c d <则[,][,][,]a b c d a d b c -=++

因为[,]a d b c ++是负数，a d b c ∴+<+

p62—9、已知,Z αβ∈，求证：1）αβαβ+≤+ ，2） αβαβ=

证明：设[,],[,]a b c d αβ==

1）[,]a c b d αβ+=++ ()()a c b d αβ∴+=+-+

而,a b c d αβ=-=- ()()()()a c b d a b c d a b c d +-+=-+-≤-+-

αβαβ∴+≤+

2）[,]ac bd ad bc αβ=++ ()ac bd ad bc αβ∴=+-+

而,a b c d αβ=-=-

()()()()()ac bd ad bc a c d b d c a b c d a b c d +-+=-+-=--=--