2019年江苏省常州市中考数学试卷答案解析版
(最新整理)2019年常州市中考数学试题、答案(解析版)
(2) EB 与 ED 相等吗？证明你的结论。
22.（本题满分 8 分）在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况，抽样 调查了该校部分学生的捐款数（单位:元），并绘制成下面的统计图.
2019 年常州市中考数学试题、答案(解析版)
（1）搅匀后从中摸出 1 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的 概率是 ;
(2)搅匀后先从中摸出 1 个盒子（不放回)，再从余下的 2 个盒子中摸出 1 个盒子， 把摸出的 2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形 的概率。（不重叠无缝隙拼接)
24。（本题满分 8 分）甲、乙两人每小时共做 30 个零件,甲做 180 个零件所用的时间 与乙做 120 个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？
化如图所示,设 y2 表示 0 时到 t 时 PM 2.5 的值的极差(即 0 时到 t 时 PM 2.5 的最大值与最 小值的差）,则 y2 与 t 的函数关系大致是 ( ）
A
B
C
D
二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 9。计算： a3 a 。
10。4 的算术平方根是 .
2.若代数式 x 1 有意义，则实数 x 的取值范围是
x3
D. 3
（ ）
A。 x 1
B。 x 3
C。 x 1
D。 x 3
3。下图是某几何体的三视图,该几何体是
（ )
A。圆柱
B。正方体
C。圆锥
D。球
(第 3 题）
(第 4 题）
4。如图,在线段 PA 、 PB 、 PC 、 PD 中,长度最小的是
2019年江苏常州中考数学试卷及答案
【导语】中考频道⼩编提醒参加2019中考的所有考⽣，江苏常州2019年中考将于6⽉中旬陆续开始举⾏，江苏常州中考时间具体安排考⽣可点击进⼊“”栏⽬查询，请⼴⼤考⽣提前准备好准考证及考试需要的⽤品，然后顺顺利利参加本届初中学业⽔平考试，具体如下：为⽅便考⽣及时估分，中考频道将在本次中考结束后陆续公布2019年江苏常州中考数学试卷及答案信息。
考⽣可点击进⼊江苏常州中考频道《、》栏⽬查看江苏常州中考数学试卷及答案信息。
中考科⽬语⽂、数学、英语、物理、化学、政治、历史、地理、⽣物、体育（各地区有所不同，具体以地区教育考试院公布为准。
）考试必读可以在中考前⼀天下午去考场看看，熟悉⼀下考场环境。
确定去考场的⽅式，是坐公共汽车、出租车还是骑⾃⾏车等;确定去考场的⾏车路线。
在校内去考场的路上，⼀旦发⽣意外，要及时求助于监考⽼师或警察。
中考所⽤的2B铅笔、0.5mm⿊⾊墨⽔签字笔、橡⽪、垫板、圆规、尺⼦以及准考证等，都应归纳在⼀起，在前⼀天晚上就准备好，放⼊⼀个透明的塑料袋或⽂件袋中。
涂答题卡的2B铅笔要提前削好（如果是⾃动笔，要防⽌买到假冒产品）。
不要⾃⼰夹带草稿纸，不要把⼿机、⼩灵通等通讯⼯具带⼊考场，如果带了的话⼀定要关机（以免对⾃⼰造成影响）。
有些地区禁⽌携带⼿机等通讯⼯具进⼊考场，否则将以作弊论处。
中考数学为了能让⼴⼤考⽣及时⽅便获取江苏常州中考数学试卷答案信息，特别整理了《2019江苏常州中考数学试卷及答案》发布⼊⼝供⼴⼤考⽣查阅。
数学真题/答案[解析]专题推荐参加2019中考的考⽣可直接查阅各科2019年江苏常州中考试题及答案信息！考试须知⼀、考⽣凭《准考证》(社会⼈员须持准考证及⾝份证)提前15分钟进⼊指定试室（英语科提前20分钟）对号⼊座，并将《准考证》放在桌⼦左上⾓，以便查对。
考⽣除带必要的⽂具，如2B铅笔、⿊⾊字迹的钢笔或签字笔、直尺、圆规、三⾓板、橡⽪外，禁⽌携带任何书籍、笔记、资料、报刊、草稿纸以及各种⽆线通讯⼯具(如寻呼机、移动电话)、电⼦笔记本等与考试⽆关的物品（数学科考试可带指定型号的计算器）。
2019年江苏省常州市中考数学第三次联合测评试卷附解析
2019年江苏省常州市中考数学第三次联合测评试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．反比例函数5n y x+=图象经过点（2, 3 ），则n 的值是（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．12．在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC 的三边，所截得的弦都相等，则∠BOC 等于（ ） A ．110°B ．125°C ．130°D ．不能确定3．函数1y x=−的图象与坐标轴交点个数是（ ） A ．2 个 B ．1个 C ． 0个 D ．无法确定 4．若三角形三边的比是3：4：5，周长为60 cm ，则此三角形中最长的中位线是（ ） A ．15 cm B ．l2．5 cmC ．10cmD ．8 cm5．已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++−x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．43>m B ．43≥m C ．43>m 且2≠m D ．43≥m 且2≠m6． 一元二次方程22(1)1x x −=−的根是（ ） A ．32− B ．1 C ．32−或 1 D ． 无解7．如图，在⊙O 中，E 是半径OA 上一点，射线EF OA ⊥，交圆于B P ，为EB 上任一点，射线AP 交圆于C D ，为射线BF 上一点，且DC DP =，下列结论：①CD 为⊙O 的切线；②PA PC >；③2CDP A ∠=∠，其中正确的结论有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．不等式组31413(3)024x x +<⎧⎪⎨+−<⎪⎩的最大整数解是（ ） A ．0B ．-1C ．-2D ．19．下列各式与x yx y−+相等的是（ ）A ．55x y x y −+++B ． 22x y x y−+C ．222()x y x y−−（x y ≠） D ．2222x y x y −+ 10．下列等式中，正确的是（ ）A ．2325a a a +=B ．321a a −=C ．325a a a −−=D ．32a a a −+=− 11．若29a =，216b =，则a b +的结果是（ ）A ．7B ． -7C ．7±或1±D ．以上都不是二、填空题12．如图，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且∠MBN =70°，则A ∠= ．13．如图，⊙O 的半径为 4 cm ，BC 是直径，若AB= 10 cm ，则 AC = cm 时，AC 是⊙O 的切线.14．如图所示，Rt △ABC 中,∠B=15°，若 AC=2，则BC= ．15．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm.16．如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是度．17．在锐角△ABO 中，OA=OB=5，OA 边上的高等于4，将△ABO 放在平直角坐标系中，使点 0与原点重合，点A 在x 轴的正半轴上，那么点 B 的坐标是 ． 18．不等式111326x x x +−−−≥的解是 . 19．如图，已知AB ∥CD ，DE 平分∠ADC ，ED ⊥FD ，∠BAD=60°,则∠CDF ．20．如图，AE=AD ，请你添加一个条件： ,使△ABE ≌△ACD (图形中不再增加其他字母).21．计算：（4m+3）（4m －3）=_________． 22．根据规律填代数式：2(21)122⨯++=；3(31)1232⨯+++=；4(41)12342⨯++++=；…… 123n ++++= .23． 211122+=⨯=，222236+=⨯=，2333412+=⨯=，… 试猜想29999+= × = ．三、解答题24．在平面直角坐标系中，AOB △的位置如图所示，已知90AOB ∠=，AO BO =，点A的坐标为(31)−，． (1）求点B 的坐标；(2）求过A O B ，，三点的抛物线的解析式；(3）设点B 关于抛物线的对称轴l 的对称点为1B ，求1AB B △的面积．25．如图所示，杭州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20 cm ，深为 30 cm ．为方便残疾人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起点为 C．现将斜坡的坡角∠BCA 设为 12°，求 AC 的长度. (精确到1cm)26．如图所示，在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：3：2，那么四边形ABCD 是平行四边形吗?请证明你的判断．27．在一块长为(32a+)m长方形铁片上，挖去十个长为(1a+)m，宽为(23a+)m，宽为(1a−)m的小长方形的铁片，求剩余部分的面积.28．．(1)已知△ABC，求作：①BC边上的中线；②BC边上的高；③∠B的平分线；(2)已知线段a，c，∠α，求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α(不必写出作法)．29．已知,4425,7522==y x 求22)()(y x y x −−+的值．30．如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三 角形”．根据图形解答问题：图中的格点△DEF 是由格点△ABC 通过怎样的变换得到的?(写出变换过程)【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．B3．C4．B5．C6．C7．B8．C9．C10．D11．C二、填空题 12． 40°13．614．7.4615．1616．12017．(3，4)或(3，-4)18．3x ≤19．150°20．答案不唯一，如AB =AC21．16m 2－922． (1)2n n +23． 99,100,9900三、解答题 24．解：（1）作AC x ⊥轴，垂足为C ，作BD x ⊥轴垂足为D ． 则90ACO ODB ∠=∠=，90AOC OAC ∴∠+∠=．又90AOB ∠=，90AOC BOD ∴∠+∠=OAC BOD ∴∠=∠．又,AO BO =ACO ODB ∴△≌△．13OD AC DB OC ∴====，．∴点B 的坐标为(13)，．(2）因抛物线过原点，故可设所求抛物线的解析式为2y ax bx =+． 将(31)(13)A B −，，，两点代入，得⎩⎨⎧=−=+1393b a b a ，解得51366a b ==；． 故所求抛物线的解析式为251366y x x =+． (3）在抛物线251366y x x =+中，对称轴l 的方程是13210b x a =−=−． 点1B 是B 关于抛物线的对称轴l 的对称点， 故1B 坐标1835⎛⎫−⎪⎝⎭， 在1AB B △中，底边1235B B =，高的长为2．故1AB B S △123232255=⨯⨯=．25．过B 点作 BD ⊥CA ，垂足为 D 点，由已知得 BD= 20×3 =60 cm, AD=30×2=60 cm,60tan tan12oBD BCD CD CD∠===,∴CD= 282 cm, AC= 282- 60 = 222 (cm)答：AC 的长度为 222 cm.26．略27．由题意，得剩余部分得面积为：(32)(23)(1)(1)a a a a ++−+−=226136(1)a a a ++−− =2261361a a a ++−+=（25137a a ++）m 2.答：剩余部分的面积为(25137a a ++)m 2.28．略29．32． 30．方法不唯一，例如：将△ABC 以点C 为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向右平移3个单位长度就得到△DEF。
2019年常州市中考数学试卷(解析版)
2019年常州市中考数学试卷（解析版）一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣3【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．【解答】解：（﹣3）+3＝0．故选：C．2．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠3【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3．故选：D．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．【解答】解：该几何体是圆柱．故选：A．4．（2分）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD【分析】由垂线段最短可解．【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．6．（2分）下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣【分析】利用平方差公式可知与2+的积是有理数的为2﹣；【解答】解：∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1；故选：D．7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．【分析】根据极差的定义，分别从t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20及20＜t≤24时，极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．【解答】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）计算：a3÷a＝a2．【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：a3÷a＝a2．故答案为：a2．10．（2分）4的算术平方根是2．【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可．【解答】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．11．（2分）分解因式：ax2﹣4a＝a（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）．12．（2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于55°．【分析】若两角互余，则两角和为90°，从而可知∠α的余角为90°减去∠α，从而可解．【解答】解：∵∠α＝35°，∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°故答案为：55．13．（2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是5．【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b＝2整体代入即可求值；【解答】解：∵a﹣b﹣2＝0，∴a﹣b＝2，∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；故答案为5．14．（2分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是5．【分析】作P A⊥x轴于A，则P A＝4，OA＝3，再根据勾股定理求解．【解答】解：作P A⊥x轴于A，则P A＝4，OA＝3．则根据勾股定理，得OP＝5．故答案为5．15．（2分）若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝1．【分析】把代入二元一次方程ax+y＝3中即可求a的值．【解答】解：把代入二元一次方程ax+y＝3中，a+2＝3，解得a＝1．故答案是：1．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．17．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan ∠OCB＝．【分析】根据切线长定理得出∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，解直角三角形求得BD，即可求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，∴tan∠OBC＝，∴BD＝＝＝3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB＝＝．故答案为．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝6．【分析】作PF⊥MN于F，则∠PFM＝∠PFN＝90°，由矩形的性质得出AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，得出AB＝CD＝，BD＝＝10，证明△PDF∽△BDA，得出＝，求出PF＝，证出CE＝2CD，由等腰三角形的性质得出MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，证出△PNF∽△DEC，得出＝＝2，求出NF＝2PF＝3，即可得出答案．【解答】解：作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD＝，BD＝＝10，∵点P是AD的中点，∴PD＝AD＝，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴＝，即＝，解得：PF＝，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴＝＝2，∴NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；故答案为：6．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（8分）计算：（1）π0+（）﹣1﹣（）2；（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．【分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；【解答】解：（1）π0+（）﹣1﹣（）2＝1+2﹣3＝0；（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1；【点评】本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则是解题的关键．20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，解不等式3x﹣8≤﹣x，得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【分析】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．【解答】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是30，这组数据的众数为10元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．【解答】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为＝12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．23．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．【解答】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．【点评】本题主要考查了概率公式，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．24．（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？【分析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，由题意得：＝，解得：x＝18，经检验：x＝18是原分式方程的解，则30﹣18＝12（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意检验．25．（8分）如图，在▱OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、D．（1）求k的值；（2）求点D的坐标．【分析】（1）根据已知条件求出A点坐标即可；（2）四边形OABC是平行四边形OABC，则有AB⊥x轴，可知B的横纵标为2，D点的横坐标为1，结合解析式即可求解；【解答】解：（1）∵OA＝2，∠AOC＝45°，∴A（2，2），∴k＝4，∴y＝；（2）四边形OABC是平行四边形OABC，∴AB⊥x轴，∴B的横纵标为2，∵点D是BC的中点，∴D点的横坐标为1，∴D（1，4）；【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点B的横坐标是解题的关键．26．（10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝6；当n＝5，m＝3时，y＝9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝n+2（m﹣1）（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．【解答】解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m ﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．【点评】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝2；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S ，求点P的坐标．△QRB【分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式．设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、N、H 的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长．以PM＝MN为等量关系列得关于t的方程，求得t 的值合理（满足P在第一象限），故存在满足条件的点P，且求得点P坐标．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E，根据同角的余角相等易证∠EPQ＝∠OBD，所以cos∠EPQ＝cos∠OBD＝，即在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝；在Rt△PFR中，cos∠RPF＝，进而得PQ＝PE，PR＝PF．设点P横坐标为t，可用t表示PE、PF，即得到用t表示PQ、PR．又由S△PQB＝2S△QRB易得PQ＝2QR．要对点P位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系，即列得关于t的方程．求得t的值要注意是否符合各种情况下t的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）∴﹣1﹣b+3＝解得：b＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3当x＝0时y＝3，∴C（0，3）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0），B（3，0）∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3∵点D为OC的中点，∴D（0，）∴直线BD的解析式为y＝﹣+，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t+），H（t，0）∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣x+）＝﹣t+，NH＝﹣t+∴MN＝NH∵PM＝MN∴﹣t2+3t＝﹣t+解得：t1＝，t2＝3（舍去）∴P（，）∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°∴BD＝＝∴cos∠OBD＝∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝∴PQ＝PE在Rt△PFR中，cos∠RPF＝∴PR＝PF∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR∴PQ＝2QR设直线BD与抛物线交于点G∵﹣+＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣∴点G横坐标为﹣设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+）∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+∵PQ＝2QR∴PQ＝PR∴PE＝•PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2+t+）＝5（﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去）∴P（2，3）②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣∵PQ＝2QR∴PQ＝2PR∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t1＝﹣，t2＝3（舍去）∴P（﹣，﹣）综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣，﹣）．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，同角的余角相等，三角函数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分类讨论点P的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路．28．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：1；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：1+；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【分析】（1）①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解决问题．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．求出d＝5或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．【解答】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC＝＝＝∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+，∴这个“窗户形“的宽距为1+．故答案为1+．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴当d＝5时．AM＝4，∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），当d＝8时．AM＝7，∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），∴满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．【点评】本题属于圆综合题，考查了平面图形S的“宽距”的定义，正方形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2019年江苏省常州市中考数学一模试卷(包含答案解析)
2019年江苏省常州市中考数学一模试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 8 小题，共 16 分）1、(2分) -4的相反数是（）A.1 4B.4C.−14D.-42、(2分) 计算（-2a3）2的结果是（）A.2a5B.4a5C.-2a6D.4a63、(2分) 如图所示的正三棱柱，它的主视图、俯视图、左视图的顺序是（）A.①③②B.②①③C.③①②D.①②③4、(2分) 2018年常州接待游客预计72 200 000人次，将72 200 000用科学记数法表示为（）A.72.2×106B.7.22×107C.0.722×108D.7.22×1085、(2分) 下列说法正确的是（）A.打开电视，它正在播天气预报是不可能事件B.要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=1，说明甲的射击成绩比乙稳定6、(2分) 已知点（x1，3），（x2，2）是直线y=-2x+1上两点，则下列正确的是（）A.x1-x2＞0B.x1-x2＜0C.x1=x2D.x1+x2＞07、(2分) 如图，⊙O与BC相切于点B，弦AB∥OC，若∠C=40°，则∠AOB的度数是（）A.60B.70°C.80°D.90°8、(2分) 如图，△ABC纸片中，点A1，B1，C1分别是△ABC三边的中点，点A2，B2，C2分别是△A1B1C1三边的中点，点A3，B3，C3分别是△A1B2C2三边的中点，若小明向纸板上投掷飞镖（每次飞镖均落在纸板上且不落在各边上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）A.21 64B.1132C.2148D.712二、填空题（本大题共 10 小题，共 20 分）9、(2分) 计算：|-5|-20=______．10、(2分) 若二次根式√x+2有意义，则x的取值范围为______．11、(2分) 分解因式：x2-4y2=______．12、(2分) 已知∠A比它的补角大40°，则∠A度数是______．13、(2分) 点P（2，4）与点Q（-3，4）之间的距离是______．14、(2分) 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则-a-b______0（填“＞”，“＜”或“=”）．15、(2分) 在半径为2cm的⊙O中，用刻度尺（单位：cm）测得弦AB的长如图所示，则劣弧的长为______cm．16、(2分) 如图，已知直线y=x+b与x、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=6x（x＞0）交于点C，AB=BC，则点B的坐标是______．17、(2分) 已知分式3x x+y 的值为2，且y≠-1，则分式x+2y+1的值为______．18、(2分) 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别为AB 、BC 的中点，点H 是AD 边上一点，将△DCF 沿DF 折叠得△DC′F ，将△AEH 沿EH 折叠后点A 的对应点A′刚好落在DC′上，则cos∠DA′H=______．三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分）19、(6分) 计算：（12）-2-√25+4cos60°．20、(8分) 解方程和不等式组：（1）x 2-2x-4=0 （2）{2x −5<0−4−x ≤3x21、(8分) 如图，▱ABCD 中，点E 是AB 边的中点，延长DE 交CB 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE≌△BFE ；（2）若DE⊥AB且DE=AB，连接EC，求∠FEC的度数．22、(8分) 随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市某旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2018年“十•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：（1）2018年“十•一”期间，该市此旅游景区共接待游客______万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是______；（2）补全条形统计图；（3）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2019年“十•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？23、(8分) 有四张正面分别标有数字-1，2，-3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．（1）随机抽取一张卡片，求抽到标有负数的卡片的概率；（2）设平面直角坐标系内点A（x，y），现随机抽取一张卡片，将卡片上的数字记作x，然后不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的数字记作y．请求出点A在第二象限的概率．24、(8分) 某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．25、(8分) 如图是某户外看台的截面图，长10m的看台AB与水平地面AP的夹角为35°，与AP平行的平台BC长为1.9m，点F是遮阳棚DE上端E正下方在地面上的一点，测得AF=2m，在挡风墙CD的点D处测得点E的仰角为26°，求遮阳棚DE的长．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，sin26°≈0.44，cos26°≈0.90）26、(9分) 我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．如图1，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是“对直角四边形”．（1）“对角线相等的对直角四边形是矩形”是______命题；（填“真”或“假”）（2）如图2，在对直角四边形ABCD中，∠DAB＜90°，AD+CD=AB+BC．试说明△ADC的面积与△ABC的面积相等；（3）如图3，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的角平分线分别交BC，AC于点E、F．①图中是“对直角四边形”的是______；②当OP 的长是______时，四边形DEPF 为对直角四边形．27、(10分) 如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA=22.5°．（1）若OC=2，则AC 的长为______；（2）试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；（3）连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC=x ，GP=y ，请求出x 与y 之间的等量关系式．（请先补全图形，再解答）．28、(11分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y=kx+m 交y 轴于点C ，与抛物线y=ax 2+bx 交于点A （4，0）、B （-32，-338）．（1）直线l 的表达式为：______，抛物线的表达式为：______；（2）若点P 是二次函数y=ax 2+bx 在第四象限内的图象上的一点，且2S △APB =S △AOB ，求△AOP 的面积；（3）若点Q 是二次函数图象上一点，设点Q 到直线l 的距离为d ，到抛物线的对称轴的距离为d1，当|d-d1|=2时，请直接写出点Q的坐标．2019年江苏省常州市中考数学一模试卷【第 1 题】【答案】B【解析】解：-4的相反数是：4．故选：B．直接利用相反数的定义分析得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．【第 2 题】【答案】D【解析】解：（-2a3）2=（-2）2•（a3）2=4a6．故选：D．根据积的乘方与幂的乘方的运算法则求解即可求得答案；注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．此题考查了积的乘方与幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握（a m）n=a mn（m，n是正整数）与（ab）n=a n b n（n是正整数）的应用是解此题的关键．【答案】A【解析】解：主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是一个矩形，故选：A．根据简单几何体的三视图，可得答案．本题考查了简单几何体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．【第 4 题】【答案】B【解析】解：72 200 000用科学记数法表示为：7.22×107，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【第 5 题】【答案】C【解析】解：A、打开电视，它正在播天气预报是随机事件，故错误；B、要考察一个班级中学生的视力情况因调查范围小适合用全面调查，故错误；C、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，正确；D、甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲2=2，S乙2=1，说明乙的射击成绩比甲稳定，故错误，故选：C．利用随机事件、调查的方式、样本估计总体及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了随机事件、调查的方式、样本估计总体及方差的知识，属于基础知识，比较简单．【第 6 题】B【 解析 】解：∵点（x 1，3），（x 2，2）都在直线y=-2x+1上，∴3=-2x 1+1，解得x 1=-1； 2=-2x 2+1，解得，x 2=-12，∴x 1＜x 2，即x 1-x 2＜0故选：B ．根据一次函数图象上点的坐标特征，可以求得x 1，x 2的值，从而可以比较它们的大小关系． 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b ．【 第 7 题 】【 答 案 】C【 解析 】解：∵，⊙O 与BC 相切于点B ，∴BC⊥OB ，∴∠OBC=90°，∴∠BOC=90°-∠C=90°-40°=50°，∵AB∥OC ，∴∠OBA=∠BOC=50°，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-∠OAB -∠OBA=80°；故选：C ．由切线的性质得出BC⊥OB ，求出∠BOC=50°，由平行线的性质得出∠OBA=∠BOC=50°，由等腰三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=50°，再由三角形内角和定理即可得出结果．本题考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．【 第 8 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：（14+14×14+14×14×24）÷1=（14+116+132）÷1=1132÷1=1132． 故飞镖落在阴影部分的概率是1132． 故选：B ．设△ABC 的面积为1，易得到阴影区域的面积为14+14×14+14×14×24，然后根据概率公式计算即可．本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n ，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m ，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=m n ．【 第 9 题 】【 答 案 】4【 解析 】解：原式=5-1=4故答案为：4．直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【 第 10 题 】【 答 案 】x ≥-2【 解析 】解：根据题意得，x+2≥0，解得x≥-2．故答案为：x≥-2．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．【 第 11 题 】【 答 案 】（x+2y ）（x-2y ）【 解析 】解：x2-4y2=（x+2y）（x-2y）．故答案为：（x+2y）（x-2y）．直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．【第 12 题】【答案】110°【解析】解：设∠A=x°，x=180-x+40，解得x=110，故答案为110°设∠A=x°，根据题意列出方程，解方程求之即可．本题考查了补角，正确理解补角的定义是解题的关键．【第 13 题】【答案】5【解析】解：∵点P（2，4），点Q（-3，4）∴PQ∥x轴，∵x轴上或平行于x轴的直线上两点的距离为两点横坐标的差的绝对值，∴PQ=|-3-2|=5，故答案为5．根据x轴上或平行于x轴的直线上两点的距离为两点横坐标的差的绝对值解答即可．本题考查了两点间的距离，理解x轴上或平行于x轴的直线上两点距离为两点横坐标的差的绝对值是解题的关键．【第 14 题】【答案】＜【解析】解：∵-1＜a ＜0，1＜b ＜2，∴-a-b ＜0．故答案为：＜．首先根据数轴判断出a 、b 的符号和大小，根据有理数的减法法则来解答即可．本题考查了实数与数轴，有理数的减法法则，根据数轴得出a 、b 的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．【 第 15 题 】【 答 案 】2π3【 解析 】解：连接OA ，OB ，过点O 作OD⊥AB 于点D ，∵OA=OB=2cm ，AB=2cm ，∴∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴劣弧的长=60⋅π×2180=23π， 故答案为：2π3．连接OA ，OB ，过点O 作OD⊥AB 于点D ，根据已知条件得到△OAB 是等边三角形，求得∠AOB=60°，根据弧长公式即可得到结论．本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于根据题意正确的画出图形，运用圆周角定理和垂径定理认真的进行分析．【 第 16 题 】【 答 案 】（0，√3）或（0，-√3）．【 解析 】解：过点C作x轴的垂线，垂足为D．∵直线y=x+b与x、y轴分别交于A、B两点，∴点B的坐标为（0，b），点A的坐标为（-b，0），∵点C也在直线y=x+b上，设点C的横坐标为m，∴点C的纵坐标为m+b，∵AB=BC，BO∥CD，∴OB是△ADC的中位线，∴CD=2OB，∴m+b=2b，b=m，∴点C的坐标为（b，2b），∵点C在反比例函数y=6x （x＞0）上，∴b•2b=6，解得b=±√3，∴点B的坐标为（0，√3）或（0，-√3）．故答案为：（0，√3）或（0，-√3）．过点C作x轴的垂线，垂足为D．首先利用一次函数图象上点的坐标特征表示出A、B、C三点的坐标，再结合图形得到OB是△ADC的中位线，利用中位线的性质及反比例函数图象上点的特征解决问题．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用AB=BC得到OB是△ADC的中位线是解题的关键．【第 17 题】【答案】2【解析】解：3xx+y=2，3x=2x+2y，x=2y，∴原式=2y+2y+1=2，故答案为：2．根据题意，可得分式方程，用含y的式子表示出x的值，再将其代入代数式计算即可．本题主要考查分式的值，解决此题的关键是能够根据题意，用含y的式子表示出x．【 第 18 题 】【 答 案 】25【 解析 】解：如图，延长DC'交AB 于K ，连接FK ，分别过H ，E 作DK 的垂线，垂足分别为M ，N ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A=∠∠B=∠C=90°，AB=BC=6，∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点， ∴AE=BE=BF=FC=12×6=3， 由翻折知，△DCF≌△DC'F ，△AEH≌△A'EH ， ∴∠FC'D=∠C=90°，∠A=∠HA'E=90°，AE=A'E=3，C'F=CF=BF=3，DC'=DC=6，∴∠B=∠FC'K=90°，又∵KF=KF ，∴Rt△FBK≌Rt△FC'K （HL ），∴KB=KC'，设KB=KC'=x ，在Rt△ADK 中，AD=6，AK=6-x ，DK=6+x ，∵DK 2=AD 2+AK 2，∴（6+x ）2=62+（6-x ）2，解得，x=32，∴BK=C'K=32， ∴DK=DC'+KC'=6+32=152，EK=BE-BK=32，在Rt△KNE 与Rt△KAD 中，sin∠EKN=EN EK =AD DK ，即EN32=6152， 解得，EN=65，∵∠DA'H+∠EA'N=90°，∠EA'N+∠NEA'=90°，∴∠HA'D=∠NEA'，在Rt△EA'N 中，cos∠A'EN=EN EA ′=653=25，即cos∠DA'H=25，故答案为：25． 延长DC'交AB 于K ，连接FK ，分别过H ，E 作DK 的垂线，垂足分别为M ，N ，利用正方形的性质及轴对称的性质，先证Rt△FBK≌Rt△FC'K ，推出BK=C'K ，在Rt△ADK 中，利用勾股定理求出BK ，C'K 的长，进一步求出EK 的长，在Rt△KEN 与Rt△KAD 中，利用三角函数求出EN 的长，在Rt△EA'N 中，求出cos∠A'EN 的值，证∠DA'H 与∠A'EN 相等即可．本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够作出适当的辅助线，构造和相关角相等的角．【 第 19 题 】【 答 案 】解：原式=4-5+4×12=1．【 解析 】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【 第 20 题 】【 答 案 】解：（1）x 2-2x=4，x 2-2x+1=5，（x-1）2=5，x-1=±√5所以x 1=1+√5，x 2=1-√5；（2）{2x −5<0①−4−x ≤3x②， 解①得x ＜52，解②得x≥-1，所以原不等式组的解集为-1≤x ＜52．【 解析 】（1）利用配方法得到（x-1）2=5，然后利用直接开平方法解方程；（2）分别解两不等式得到x ＜52和x≥-1，然后根据大小小大中间找确定原不等式组的解集．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了解一元一次不等式组．【第 21 题】【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A=∠ABF，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，在△ABE和△ACD中，{∠A=∠ABFAE=BE∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（ASA）；（2）解：∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠CDF=∠BEF∵DE⊥AB，∴∠BEF=90°，∴∠CD F=90°，∵DE=AB，∴DE=DC，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC=∠DCE=45°，∴∠FEC=135°．【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠A=∠ABF，由ASA证明△ADE≌△BFE即可；（2）由全等三角形的性质得出DE=EF，由平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，得出∠CDF=∠BEF，证出∠CDF=90°，DE=DC，由等腰直角三角形的性质得出∠DEC=∠DCE=45°，即可得出结果．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【第 22 题】【答案】解：（1）由题意：9÷18%=50（万人）， 360°×1550=108°， 故答案为50，108．（2）B 组人数：50×24%=12（万人），条形图如图所示：（3）80×650=9.6（万人），答：估计有9.6万人会选择去E 景点旅游．【 解析 】（1）根据D 组人数以及百分比求出总人数，根据圆心角=360°×百分比计算即可；（2）求出B 组人数，画出条形图即可．（3）利用样本估计总体的思想解决问即可．本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【 第 23 题 】【 答 案 】解：（1）随机抽取一张卡片，数字有4种等可能的结果，其中抽到负数的可能有两种，分别是-1或-3， 所以抽到标有负数的卡片的概率=24=12；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中点A 在第二象限的结果数为4，所以点A 在第二象限的概率=412=13．【 解析 】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用第二象限点的坐标特征找出点A在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．【第 24 题】【答案】解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，{2x+y=50x+2y=70，得{x=10y=30，答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（60-m）件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元，则w=（20-10）m+（50-30）（60-m）=-10m+1200，∵m≥4（60-m），解得，m≥48，∴当m=48时，w取得最大值，最大利润为：-10×48+1200=720元，60-m=12，答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元．【解析】（1）根据购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【第 25 题】【答案】解：分别过点B、D作BH⊥AP，DG⊥EF，垂足分别为点H，G．∴∠BHA=∠DGE=90°，由题意得：AB=10m，∠A=35°，∠EDG=26°，在Rt△BAH 中，AH=A B•cos35°≈10×0.82=8.2（m ），∴FH=AH -AF=8.2-2=6.2m ，GD=FH+BC=6.2+1.9=8.1（m ）， 在Rt△EGD 中，cos∠EDG=GD DE ，∴DE=DG cos26≈8.10.9=9（m ）答：遮阳棚DE 的长约为9米．【 解析 】作BH⊥AP ，DG⊥EF ，根据余弦的定义求出AH ，得到DG 的长，根据余弦的定义计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【 第 26 题 】【 答 案 】（1）解：结论：真．理由：如图1-1中， ∵∠BAD=∠BCD=90°，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴BD 是⊙O 的直径，∵AC=BD ，∴AC 也是⊙O 的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是矩形．故答案为真．（2）证明：如图2中，∵四边形ABCD 是对直角四边形，∠DAB ＜90°，∴∠D=∠B=90°，∴AD 2+DC 2=AC 2，AB 2+BC 2=AC 2，∴AD 2+DC 2=AB 2+BC 2，∵AD+DC=AB+BC∴（AD+DC ）2=（AB+BC ）2，即：AD 2+2AD•DC+DC 2=AB 2+2AB•BC+BC 2，∴2AD•DC=2AB•BC ， ∴12•AD•DC=12•AB•BC ，即：S △ADC =S △ABC ．（3）①结论：四边形ECFD 是“对直角四边形”．理由：如图3中，∵DE 平分∠BDP ，DF 平分∠ADP ， ∴∠EDP=12∠BDP ，∠FDP=12∠ADP ，∴∠EDF=12（∠BDP+∠ADP ）=90°， ∵∠C=90°，∴四边形ECFD 是“对直角四边形”．故答案为四边形ECFD ．②如图3中，当OP=2时，四边形DEPF 是“对直角四边形”． 理由：在Rt△ABC 中，∵∠C=90°，BC=8，AC=6，∴AB=√62+82=10，∵BD=AD=5，DP∥AC ，∴OB=OC ， ∴OD=12AC=3，∵OP=2，∴DP=5，∵∠PDF=∠DFA=∠ADF ，∴AD=AF=5，∴DP=AF ，DP∥AF ，∴四边形ADPF 是平行四边形，∴∠A=∠DPF ，∵DP=DB ，DE=DE ，∠EDB=∠EDP ，∴△EDB≌△EDP （SAS ），∴∠DPE=∠B，∴∠EPF=∠DPE+∠DPF=∠B+∠A=90°，∵∠EDF=90°，∴四边形DEPF是“对直角四边形”．故答案为2．【解析】（1）是真命题．证明A，B，C，D四点共圆，证明AC是直径即可解决问题．（2）理由勾股定理以及完全平方公式即可证明．（3）①结论：四边形ECFD 是“对直角四边形”．②如图3中，当OP=2时，四边形DEPF是“对直角四边形”．想办法证明∠EPF=90°即可．本题属于四边形综合题，考查了四点共圆，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．【第 27 题】【答案】解：（1）2√2−2．∵∠DBA=22.5°∴∠DOC=45°∵OC=2∴OD=2√2∴AC=OA-OC=2√2−2（2）连接AD，DP，OD，过点D作DF⊥OP，垂足为点F．∵∠DCA=∠DFP=90°，AD=DP，CD=DF∴Rt△ACD≌Rt△DFP（HL）∴AC=PF∵∠A=∠CDB=∠OEB=∠DEF，∠ACD=∠DFE=90°，CD=DF∴Rt△ACD≌Rt△DEF（HL）∴AC=EF∴PE=2AC（3）如图所示，由∠DCO=90°，∠DOC=45°得OD=√2CD =√2x∵∠ADB=90°，点O 是AB 中点∴AB=2OD=2√2x∵∠A=∠GED ，∠GDE=∠ADB ，AD=DE∴△DGE≌△DBA （ASA ）∴GE=AB=2√2x ∵PE=2AC∴PE=2（√2x −x ）∴GP=GE -PE=2√2x −2(√2x −x)即：y=2x【 解析 】（1）连接OD ，由45°角的三角函数关系可解．（2）由△ACD≌△DFP 和△ACD≌△DEF ，可证明2AC=PE（3）由（2）结论，以及△DGE≌△DBA ，可通过线段和差计算得出y 与x 之间的等量关系式． 本题考查了特殊角的三角函数关系，全等的判定与性质，并有效利用了（2）的结论解决（3）问题．【 第 28 题 】【 答 案 】解：（1）将点A 、B 坐标代入一次函数表达式：y=kx+s 得：{−338=−32k +s 0=4k +s ，解得：{k =34s =−3， 故直线的表达式为：y=34x-3，同理将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式并解得：a=-12，b=2，故：抛物线的表达式为：y=-12x 2+2x ； （2）将直线l 向下平移m 个单位，交抛物线于点P ，交y 轴于点D ，过点P 、D 分别作直线l 的垂线HD 、PM 于点H 、M ，过点O 作直线PD 的垂线交直线l 于点F 、交直线PD 于点E ，则PM=HD ，2S △APB =S △AOB ，则PM=HD=2OF ，直线的表达式为：y=34x-3，则tan∠HCD=tan∠OCF ， 即：OF OC =HD CD ，解得：OC=12OC=32， ∵FC∥ED∴OF FE =OC CD =21，∴S △AOB S △APB =2，即：34x-92=-12x 2+2x ，解得：x=92或-2（舍去负值），点P （92，-98），S △AOP =12×4×98=94； （3）过点Q 分别作直线l 和函数对称轴的垂线交于点H 、G ，过点Q 作QR∥y 轴交直线l 和x 轴于点R 、S ，则∠RQH=∠RAS=α，直线AB 表达式得k 值为34，即tanα=34，则cosα=45，设点Q （x ，-12x 2+2x ）、则点R （x ，34x-3），d=QRcosα=|-12x 2+2x-34x+3|×45…①， d 1=|x-2|…②，|d-d 1|=2…③，联立①②③并解得：x=√6或-√6或6或-1或1或4或-4，故点Q 的坐标为（√6，2√6-3）或（-√6，-3-2√6）或（6，-6）或（-1，-52）或（1，32）或（-4，-16）或（4，0）．【 解析 】（1）将点A 、B 坐标代入一次函数、抛物线表达式即可求解；（2）将直线l 沿y 轴向下平移32个单位长度得直线y=34x-92，交二次函数在第四象限内的图象于点P ，即可求解； （3）确定d=QRcosα=|-12x 2+2x-34x+3|×45，d 1=|x-2|，利用|d-d 1|=2，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），距离要用绝对值计算，避免遗漏．。
江苏省常州市2019年中考数学试题
绝密★启用前江苏省常州市2019年中考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．3-的相反数是（ ） A ．13B ．13-C ．3D ．3-【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可． 【详解】()330-+=．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单． 2．若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．1x =- B ．3x =C ．1x ≠-D ．3x ≠【答案】D 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为0． 【详解】试卷第2页，总22页………外…………………○……※※答※※题※※………内…………………○……Q 代数式13x x +-有意义， ∴30x -≠， ∴3x ≠故选：D ． 【点睛】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件． 3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．正方体C ．圆锥D ．球【答案】A 【解析】 【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆柱． 【详解】该几何体是圆柱． 故选：A ． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助． 4．如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）A ．线段PAB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD【答案】B【解析】 【分析】由垂线段最短可解． 【详解】由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B ． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．5．若ABC A B C '''∆∆～，相似比为1:2，则ABC ∆与A B C '''∆的周长的比为（ ） A ．2:1 B ．1:2C ．4:1D ．1:4【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【详解】Q ABC A B C '''∆∆～，相似比为1:2，∴ABC ∆与A B C '''的周长的比为1:2．故选：B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 6．下列各数中与2的积是有理数的是（ ） A ．2 B ．2C D ．2【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差公式可知与2的积是有理数的为2； 【详解】试卷第4页，总22页…○…………外………………※※线※…○…………内………………Q (22431=-=；故选：D ． 【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键． 7．判断命题“如果n ＜1，那么n 2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ） A ．﹣2 B ．﹣12C ．0D ．12【答案】A 【解析】 【分析】反例中的n 满足n ＜1，使n 2-1≥0，从而对各选项进行判断． 【详解】解：当n ＝﹣2时，满足n ＜1，但n 2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n ＜1，那么n 2﹣1＜0”是假命题，举出n ＝﹣2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．随着时代的进步，人们对 2.5PM （空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中 2.5PM 的值1y （3/ug m ）随时间t （h ）的变化如图所示，设2y 表示0时到t 时 2.5PM 的值的极差（即0时到t 时 2.5PM 的最大值与最小值的差），则2y 与t 的函数关系大致是（ ）A ．B ．……线…………○…………线…………○…… C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据极差的定义，分别从0t =、010t <≤、1020t <≤及2024t <≤时，极差2y 随t 的变化而变化的情况，从而得出答案． 【详解】当0t =时，极差285850y =-=，当010t <≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为43； 当1020t <≤时，极差2y 随t 的增大保持43不变；当2024t <≤时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为98； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．试卷第6页，总22页第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题9．计算：3a a ÷=__________． 【答案】2a ． 【解析】 【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减 【详解】解：原式＝312a a -=． 故答案为：2a ．10．4的算术平方根是 ． 【答案】2． 【解析】试题分析：∵224=，∴4算术平方根为2．故答案为：2． 考点：算术平方根．11．分解因式：24ax a -=________. 【答案】(2)(2)a x x +- 【解析】 【分析】先提出公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】 解：ax 2-4a ， =a （x 2-4）， =a （x+2）（x-2） 【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．如果∠α＝35°，那么∠α的余角为_____．……○…………外…………○…………内……【答案】55°． 【解析】根据互余的两个角的和等于90°，列式即可求解. 解：∵∠θ=35°，∴它的余角等于90°﹣35°=55°． 故答案为55°． 13．如果20a b --=，那么代数式122a b +-的值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】将所求式子化简后再将已知条件中2a b -=整体代入即可求值； 【详解】Q 20a b --=，∴2a b -=，∴()12212145a b a b +-=+-=+=；故答案为：5． 【点睛】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 14．平面直角坐标系中，点()3,4P -到原点的距离是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =，再根据勾股定理求解． 【详解】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =．试卷第8页，总22页……○………※※请※※不……○………则根据勾股定理，得5OP =． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x 轴的距离即为点的纵坐标的绝对值． 15．若12x y =⎧⎨=⎩，是关于x 、y 的二元一次方程3ax y +=的解，则a =_____．【答案】1 【解析】 【分析】 把12x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程3ax y +=中即可求a 的值．【详解】把12x y =⎧⎨=⎩代入二元一次方程3ax y +=中， 23a +=，解得1a =．故答案是：1． 【点睛】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．16．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，120AOC ∠=︒，则CDB ∠=_____︒．【答案】30 【解析】 【分析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆周角定理得到CDB ∠的度数． 【详解】Q 180********BOC AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，订…………○…_考号：___________订…………○…∴1302CDB BOC ∠∠=︒＝．故答案为：30． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．如图，O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan OCB ∠=_____．【答案】5【解析】 【分析】连接OB ，作OD BC ^于D ，根据切线长定理得出1302OBC OBA ABC ∠=∠=∠=︒，解直角三角形求得BD ，即可求CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得tan OCB ∠的值． 【详解】连接OB ，作OD BC ^于D ，Q ⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，∴1302OBC OBA ABC ∠=∠=∠=︒， ∴tan ODOBC BD∠=， ∴3tan 30ODBD ===︒， ∴835CD BC BD =-=-=， ∴tan 5OD OCB CD ∠==．试卷第10页，总22页○…………外○………………线…………※※订※※线※※内○…………内○………………线…………故答案为5．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．18．如图，在矩形ABCD 中，3AD AB ==，点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，2CE BE =，点M 、N 在线段BD 上．若PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等，则MN =_____．【答案】6 【解析】 【分析】作PF MN ⊥于F ，则90PFM PFN ∠=∠=︒，由矩形的性质得出AB CD =，3BC AD AB ===90A C ∠=∠=︒，得出AB CD ==，10BD ==，证明PDF BDA ∆∆:，得出PF PD AB BD=，求出32PF =，证出2CE CD =，由等腰三角形的性质得出MF NF =，PNF DEC ∠=∠，证出PNF DEC ∆∆:，得出2NF CEPF CD==，求出23NF PF ==，即可得出答案． 【详解】作PF MN ⊥于F ，如图所示：则90PFM PFN ∠=∠=︒，Q 四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，3BC AD AB ===，90A C ∠=∠=︒， ∴AB CD ==10BD ==，Q 点P 是AD 的中点，∴122PD AD ==，Q PDF BDA ∠=∠，∴PDF BDA ∆∆:，∴PF PD AB BD=210=，解得：32PF =， Q 2CE BE =，∴3BC AD BE ==， ∴BE CD =， ∴2CE CD =，Q PMN ∆是等腰三角形且底角与DEC ∠相等，PF MN ⊥，∴MF NF =，PNF DEC ∠=∠， Q 90PFN C ∠=∠=︒，∴PNF DEC ∆∆:， ∴2NF CEPF CD==， ∴23NF PF ==， ∴26MN NF ==；故答案为：6． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 三、解答题试卷第12页，总22页…外………内……19．计算：（1）12012π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（2）()()()111x x x x -+--． 【答案】（1）0；（2）1x -. 【解析】 【分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可； 【详解】（1）12112302π-⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭；（2）()()()111x x x x -+--=2211x x x x --+=-； 【点睛】本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则是解题的关键．20．解不等式组10,38x x x +>⎧⎨-≤-⎩并把解集在数轴上表示出来．【答案】12x -<≤，见解析. 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解不等式10x +>，得：1x >-， 解不等式38x x -≤-，得：2x ≤，∴不等式组的解集为12x -<≤，将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处，BC '与AD 相线…………○…线…………○…交于点E ．（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是 ；（2）EB 与ED 相等吗？证明你的结论．【答案】（1）//AC BD '；（2）EB 与ED 相等，见解析. 【解析】 【分析】（1）根据AD C B '=，ED EB =，即可得到AE C E '=，再根据三角形内角和定理，即可得到EAC EC A EBD EDB ''∠=∠=∠=∠，进而得出//AC BD '； （2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到EDB EBD ∠=∠，进而得出BE DE =．【详解】 （1）连接AC '， 在平行四边形ABCD 中，AD BC =，ADB CBD ∠=∠，Q 把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C '处∴'AD BC =，'CBD C BD ∠=， ∴'ADB C BD ∠=∠， ∴ED EB = ∴AE C E '=，∴EAC EC A EBD EDB ''∠=∠=∠=∠ ∴//AC BD '，故答案为：//AC BD '； （2）EB 与ED 相等．由折叠可得，CBD C BD '∠=∠，Q //AD BC ，∴ADB CBD ∠=∠， ∴EDB EBD ∠=∠， ∴BE DE =．试卷第14页，总22页………订……………………○……※线※※内※※答※※题※………订……………………○……【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【答案】（1）30，10；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元. 【解析】 【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530+++=，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果； （3）由总人数乘以平均数即可得出答案． 【详解】（1）本次调查的样本容量是6118530+++=，这组数据的众数为10元； 故答案为：30，10； （2）这组数据的平均数为6511108155201230⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600127200⨯=（元）． 【点睛】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决○…………外………线……○…………内………线……问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．23．将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接） 【答案】（1）23；（2）见解析，13. 【解析】 【分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．【详解】（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23； 故答案为：23； （2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，试卷第16页，总22页○…………外……○…………内……∴拼成的图形是轴对称图形的概率为2163=． 【点睛】本题主要考查了概率公式，列举法（树状图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．24．甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 【答案】甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件． 【解析】 【分析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30x -）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可． 【详解】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30x -）个零件， 由题意得：18012030x x=-， 解得：18x =，经检验：18x =是原分式方程的解， 则301812-=（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意检验． 25．如图，在OABC Y 中，OA =45AOC ∠=︒，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A 、D（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．…○…………外…○…………内【答案】（1）4k =；（2）()1,4D . 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，则有AB x ⊥轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解； 【详解】（1）Q OA =45AOC ∠=︒，∴()2,2A ，∴4k =， ∴4y x=； （2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，∴AB x ⊥轴， ∴B 的横纵标为2， Q 点D 是BC 的中点，∴D 点的横坐标为1， ∴()1,4D ；【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点B 的横坐标是解题的关键．26．（阅读）：数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．（理解）：（1）如图，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，试卷第18页，总22页…………订…………○……………○※订※※线※※内※答※※题※※…………订…………○……………○可得等式：2n =________；（运用）：（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以（m n +）个点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当3n =，3m =时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以7y =．①当4n =，2m =时，如图，y = ；当5n =，m = 时，9y =；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳猜想，可得y = （用含m 、n 的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．【答案】（1）见解析，故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中222+=a b c ；（2）135721+++++-L n ；（3）①6，3；②()21+-n m ，见解析. 【解析】 【分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．（2）由图可知n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为2n ，每层棋子分别为1，3，5，7，…，21n -．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论． 【详解】（1）有三个Rt ∆其面积分别为12ab ，12ab 和212c ．直角梯形的面积为()()12a b a b ++．……装…………○…………订…_____姓名：___________班级：___________考号：……装…………○…………订…由图形可知：()()12a b a b ++2111222ab ab c =++整理得()222a b ab c =++，22222a b ab ab c =+++，∴222+=a b c ．故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中222+=a b c ．（2）n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为2n ，每层棋子分别为1，3，5，7，…，21n -．由图形可知：2135721n n =+++++-L ． 故答案为：135721+++++-L n ． （3）①如图，当4n =，2m =时，6y =，如图，当5n =，3m =时，9y =．②方法1．对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，第一个点将多边形分成了n 个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得()21y n m =+-．方法2．以ABC ∆的二个顶点和它内部的m 个点，共（3m +）个点为顶点，可把ABC ∆分割成()321m +-个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共（4m +）个点为顶点，可把四边形分割成()421m +-个互不重叠的小三角形．故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共（m n +）个点作为顶点，可把原n 边形分割成()21+-n m 个互不重叠的小三角形．故可得()21y n m =+-． 故答案为：①6，3；②()21+-n m ．试卷第20页，总22页………○…………………○……※在※※装※※订※※线※答※※题※※………○…………………○……【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键． 27．已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆：________；②如图，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：________；（2）如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()10B ,，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若2d =，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）； ②若点C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为1，圆心M 在过点()0,2且与y 轴垂直的直线上．对于⊙M 上任意点C ，都有58d ≤≤，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．【答案】（1）①1；②1+；（2）①面积为2；②点M 的横坐标的范围为11x -+≤-．【解析】 【分析】（1）①平面图形S 的“宽距”的定义即可解决问题．②如图，正方形ABCD 的边长为2，设半圆的圆心为O ，点P 是⊙O 上一点，连接OP ，PC ，OC ．求出PC 的最大值即可解决问题．试卷第21页，总22页…外…………○………○…………………○…………线…………○……学___________班级：__________：___________…内…………○………○…………………○…………线…………○……（2）①如图2﹣1中，点C 所在的区域是图中正方形AEBF ，面积为2．②如图2﹣2中，当点M 在y 轴的右侧时，连接AM ，作MT x ⊥轴于T ．求出5d =或8时，点M 的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M 在y 轴左侧的情形即可．【详解】（1）①半径为1的圆的宽距离为1， 故答案为：1．②如图，正方形ABCD 的边长为2，设半圆的圆心为O ，点P 是⊙O 上一点，连接OP ，PC ，OC ．在Rt ODC ∆中，OC =∴OP OC PC +≥， ∴1PC ≤+试卷第22页，总22页○…………订………○…………线……※※订※※线※※内※※答※※题※○…………订………○…………线……∴这个“窗户形“的宽距为1+．故答案为：1+．（2）①如图，点C 所在的区域是图中正方形AEBF ，面积为2．②如图，当点M 在y 轴的右侧时，连接AM ，作MT x ⊥轴于T ．Q AC AM CM ≤+，又Q 58d ≤≤，∴当5d =时．4AM =，∴AT =()1,2M ，当8d =时．7AM =，∴AT =()1,2M ，∴满足条件的点M 的横坐标的范围为11x ≤≤．【点睛】当点M 在y 轴的左侧时，满足条件的点M 的横坐标的范围为11x -≤-． 本题属于圆综合题，考查了平面图形S 的“宽距”的定义，正方形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2019年江苏省常州市中考数学试卷含答案
数学试卷 第 5页(共 24页) 效
27.(本小题满分 10 分) 如图,二次函数 y x2 bx 3 的图象与 x 轴交于点 A 、 B ,与 y 轴交于点 C ,点 A 的
坐标为 1,0 ,点 D 为 OC 的中点,点 P 在抛物线上.
(1) b
；
(2)若点 P 在第一象限,过点 P 作 PH x 轴,垂足为 H , PH 与 BC 、BD 分别交于点
多可以剪得 7 个这样的三角形,所以 y 7 .
题
①当 n 4 , m 2 时,如图 4, y
；当 n 5 , m
时, y 9 ；
无
图3
图4
②对于一般的情形,在 n 边形内画 m 个点,通过归纳猜想,可得 y
(用含
m 、 n 的代数式表示).请对同．一．个．量．用算两次的方法说明你的猜想成立.
的最大值称为平面图形 S 的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度.
(1)写出下列图形的宽距：
①半径为 1 的圆：
；
②如图 1,上方是半径为 1 的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形”：
；
(2)如图 2,在平面直角坐标系中,已知点 A1，0 、 B 1，0 , C 是坐标平面内的点,连
(2) (x 1)(x 1) x(x 1) .
x 1 0
20.(本题满分
6
分)解不等式组 3x
8
并把解集在数轴上表示出来. x
21.(本题满分 8 分)如图,把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠,点 C 落在点 C 处, BC
与 AD 相交于点 E .
(1)连接 AC ,则 AC 与 BD 的位置关系是
2019年全国中考解析 江苏省常州市中考试题(精品文档)
2019年江苏省常州市中考试题解析（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8题，每小题2分，共16分）1．（2019江苏常州，1，2分） ﹣3的相反数是（ ）A ．13B ．−13C ．3D ．﹣3【答案】C【解析】解：（﹣3）+3＝0．故选：C ．【知识点】相反数2. （2019江苏常州，2，2分）若代数式x+1x−3有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＝﹣1B ．x ＝3C ．x ≠﹣1D ．x ≠3 【答案】D【解析】解：∵代数式x+1x−3有意义，∴x ﹣3≠0，∴x ≠3．故选：D ．【知识点】分式有意义的条件3. （2019江苏常州，3，2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．正方体C ．圆锥D ．球【答案】A【解析】解：该几何体是圆柱．故选：A ．【知识点】由三视图判断几何体4. （2019江苏常州，4，2分）如图，在线段P A 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）A ．线段P AB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD【答案】B【解析】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B ．故选：B．【知识点】垂线段最短5.（2019江苏常州，5，2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4【答案】B【解析】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．【知识点】相似三角形的性质6.（2019江苏常州，6，2分）下列各数中与2+√3的积是有理数的是（）A．2+√3B．2C．√3D．2−√3【答案】D【解析】解：∵（2+√3）（2−√3）＝4﹣3＝1，故选：D．【知识点】分母有理化7.（2019江苏常州，7，2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．12【答案】A【解析】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【知识点】命题与定理8.（2019江苏常州，8，2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）【答案】B【解析】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．【知识点】函数的图象；极差二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9.（2019江苏常州，9，2分）计算：a 3÷a ＝ ．【答案】a 2【解析】解：a 3÷a ＝a 2．故答案为：a 2．【知识点】同底数幂的除法10. （2019江苏常州，10，2分） 4的算术平方根是 ．【答案】2【解析】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【知识点】算术平方根11. （2019江苏常州，11，2分）分解因式：ax 2﹣4a ＝ ．【答案】a （x +2）（x ﹣2）【解析】解：ax 2﹣4a ＝a （x 2﹣4）＝a （x +2）（x ﹣2）．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用12. （2019江苏常州，12，2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．【答案】55【解析】解：∵∠α＝35°，∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°故答案为：55．【知识点】余角和补角13. （2019江苏常州，13，2分）如果a ﹣b ﹣2＝0，那么代数式1+2a ﹣2b 的值是 ．【答案】5【解析】解：∵a ﹣b ﹣2＝0，∴a ﹣b ＝2，∴1+2a ﹣2b ＝1+2（a ﹣b ）＝1+4＝5；故答案为5．【知识点】代数式求值14. （2019江苏常州，14，2分）平面直角坐标系中，点P （﹣3，4）到原点的距离是 ．【答案】5【解析】解：作P A ⊥x 轴于A ，则P A ＝4，OA ＝3．则根据勾股定理，得OP ＝5．故答案为5．【知识点】坐标与图形性质；勾股定理15. （2019江苏常州，15，2分）若{x =1，y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y ＝3的解，则a ＝ ． 【答案】1【解析】解：把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y ＝3中， a +2＝3，解得a ＝1．故答案是：1．【知识点】二元一次方程的解16.（2019江苏常州，16，2分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB＝ °．【答案】30【解析】解：∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB =12∠BOC ＝30°．故答案为30．【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理17. （2019江苏常州，17，2分）如图，半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝ ．【答案】√35【解析】解：连接OB ，作OD ⊥BC 于D ，∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，∴∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°，∴tan ∠OBC =OD BD ，∴BD =OD tan30°=√3√33=3，∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣3＝5，∴tan ∠OCB =OD CD =√35． 故答案为√35．【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形18.（2019江苏常州，18，2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3√10，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．【答案】6【解析】解：作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3√10，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD=√10，BD=√AB2+AD2=10，∵点P是AD的中点，∴PD=12AD=3√102，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴PFAB=PDBD，即PF√10=3√10210，解得：PF=3 2，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF ＝NF ，∠PNF ＝∠DEC ，∵∠PFN ＝∠C ＝90°，∴△PNF ∽△DEC ，∴NF PF =CE CD =2，∴NF ＝2PF ＝3，∴MN ＝2NF ＝6；故答案为：6．【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理三、解答题（本大题共10小题，满分84分，各小题都必须写出解答过程）19.（2019江苏常州，19，8分）计算：（1）π0+（12）﹣1﹣（√3）2； （2）（x ﹣1）（x +1）﹣x （x ﹣1）．【思路分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；【解题过程】解：（1）π0+（12）﹣1﹣（√3）2＝1+2﹣3＝0； （2）（x ﹣1）（x +1）﹣x （x ﹣1）＝x 2﹣1﹣x 2+x ＝x ﹣1；【知识点】实数的运算；整式的运算；零指数幂；负指数幂；多项式乘以多项式（单项式）的运算法则20. （2019江苏常州，20，6分）解不等式组{x +1＞0，3x −8≤−x ，并把解集在数轴上表示出来． 【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式x +1＞0，得：x ＞﹣1，解不等式3x ﹣8≤﹣x ，得：x ≤2，∴不等式组的解集为﹣1＜x ≤2，将解集表示在数轴上如下：【知识点】解一元一次不等式组21.（2019江苏常州，21，8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【思路分析】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．【解题过程】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）22.（2019江苏常州，22，8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【思路分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．【解题过程】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为6×5+11×10+8×15+5×2030=12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；算术平均数；众数23. （2019江苏常州，23，8分）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【思路分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．【解题过程】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23； 故答案为：23； （2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为26=13． 【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；概率公式；列表法与树状图法24. （2019江苏常州，24，8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？【思路分析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30﹣x ）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．【解题过程】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30﹣x ）个零件，由题意得：180x =12030−x ，解得：x ＝18，经检验：x ＝18是原分式方程的解，则30﹣18＝12（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．【知识点】分式方程的应用25.（2019江苏常州，25，8分）如图，在▱OABC 中，OA ＝2√2，∠AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过点A 、D ．（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．【思路分析】（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，则有AB ⊥x 轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解；【解题过程】解：（1）∵OA ＝2√2，∠AOC ＝45°，∴A （2，2），∴k＝4，∴y=4 x；（2）四边形OABC是平行四边形OABC，∴AB⊥x轴，∴B的横纵标为2，∵点D是BC的中点，∴D点的横坐标为1，∴D（1，4）；【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的图象；平行四边形的性质26.（2019江苏常州，26，10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝；当n＝5，m＝时，y＝9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．【思路分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．【解题过程】解：（1）有三个Rt △其面积分别为ab ，12ab 和12c 2． 直角梯形的面积为12（a +b ）（a +b ）． 由图形可知：12（a +b ）（a +b ）=12ab +12ab +12c 2 整理得（a +b ）2＝2ab +c 2，a 2+b 2+2ab ＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2．故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中a 2+b 2＝c 2．（2）n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为n 2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n ﹣1．由图形可知：n 2＝1+3+5+7+…+2n ﹣1．故答案为1+3+5+7+…+2n ﹣1．（3）①如图4，当n ＝4，m ＝2时，y ＝6，如图5，当n ＝5，m ＝3时，y ＝9．②方法1．对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，第一个点将多边形分成了n 个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y ＝n +2（m ﹣1）．方法2．以△ABC 的二个顶点和它内部的m 个点，共（m +3）个点为顶点，可把△ABC 分割成3+2（m ﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共（m +4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m ﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共（m +n ）个点作为顶点，可把原n 边形分割成n +2（m ﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y ＝n +2（m ﹣1）．故答案为：①6，3；②n +2（m ﹣1）．【知识点】图形的变化规律27. （2019江苏常州，27，10分）如图，二次函数y ＝﹣x 2+bx +3的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣1，0），点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上．（1）b ＝ ；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．【思路分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式．设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、N、H的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长．以PM＝MN为等量关系列得关于t的方程，求得t的值合理（满足P在第一象限），故存在满足条件的点P，且求得点P坐标．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E，根据同角的余角相等易证∠EPQ＝∠OBD，所以cos∠EPQ＝cos∠OBD=2√55，即在Rt△PQE中，cos∠EPQ=PQPE=2√55；在Rt△PFR中，cos∠RPF=PF PR=2√55，进而得PQ=2√55PE，PR=√52PF．设点P横坐标为t，可用t表示PE、PF，即得到用t表示PQ、PR．又由S△PQB＝2S△QRB易得PQ＝2QR．要对点P位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系，即列得关于t的方程．求得t的值要注意是否符合各种情况下t的取值范围．【解题过程】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）∴﹣1﹣b+3＝解得：b＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3当x＝0时y＝3，∴C（0，3）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A （﹣1，0），B （3，0）∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3∵点D 为OC 的中点，∴D （0，32） ∴直线BD 的解析式为y =−12x +32，设P （t ，﹣t 2+2t +3）（0＜t ＜3），则M （t ，﹣t +3），N （t ，−12t +32），H （t ，0）∴PM ＝﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +3）＝﹣t 2+3t ，MN ＝﹣t +3﹣（−12x +32）=−12t +32，NH =−12t +32∴MN ＝NH∵PM ＝MN∴﹣t 2+3t =−12t +32解得：t 1=12，t 2＝3（舍去）∴P （12，154）∴P 的坐标为（12，154），使得PM ＝MN ＝NH ．（3）过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E∵OB ＝3，OD =32，∠BOD ＝90°∴BD =√OB 2+OD 2=3√52∴cos ∠OBD =OB BD =33√52=2√55 ∵PQ ⊥BD 于点Q ，PF ⊥x 轴于点F∴∠PQE ＝∠BQR ＝∠PFR ＝90°∴∠PRF +∠OBD ＝∠PRF +∠EPQ ＝90°∴∠EPQ ＝∠OBD ，即cos ∠EPQ ＝cos ∠OBD =2√55在Rt△PQE中，cos∠EPQ=PQPE=2√55∴PQ=2√55PE在Rt△PFR中，cos∠RPF=PFPR=2√55∴PR=PF2√55=√52PF∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB=12BQ•PQ，S△QRB=12BQ•QR∴PQ＝2QR设直线BD与抛物线交于点G∵−12x+32=−x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2=−12∴点G横坐标为−1 2设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，−12t+32）∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（−12t+32）|＝|﹣t2+52t+32|①若−12＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+52t+32∵PQ＝2QR∴PQ=23PR∴2√55PE=23•√52PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2+52t+32）＝5（﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去）∴P（2，3）②若﹣1＜t＜−12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE=−12t+32−（﹣t2+2t+3）＝t2−52t−32∵PQ＝2QR ∴PQ＝2PR∴2√55PE＝2•√52PF，即2PE＝5PF∴2（t2−52t−32）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t1=−43，t2＝3（舍去）∴P（−43，−139）综上所述，点P坐标为（2，3）或（−43，−139）．【知识点】二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；解一元二次方程；同角的余角相等；三角函数的应用28.（2019江苏常州，28，10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【思路分析】（1）①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解决问题．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．求出d＝5或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．【解题过程】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC=√CD2+OD2=√12+22=√5∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+√5，∴这个“窗户形“的宽距为1+√5．故答案为1+√5．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴当d＝5时．AM＝4，∴AT=√AM2−MT2=2√3，此时M（2√3−1，2），当d＝8时．AM＝7，∴AT=√82−22=2√15，此时M（2√15−1，2），∴满足条件的点M的横坐标的范围为2√3−1≤x≤2√15−1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2√15+1≤x﹣2√3+1．【知识点】圆综合题；平面图形S的“宽距”的定义；正方形的判定和性质；三角形的三边关系。
2019年江苏省常州市中考数学试卷与答案
2019年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣32．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠33．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD5．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：46．下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣7．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．8．随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．计算：a3÷a＝．10．4的算术平方根是．11．分解因式：ax2﹣4a＝．12．如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．17．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN ＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（8分）计算：（1）π0+（）﹣1﹣（）2；（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．21．（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD 相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．23．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）24．（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？25．（8分）如图，在▱OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC 的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、D．（1）求k的值；（2）求点D的坐标．26．（10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝；当n＝5，m＝时，y＝9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．28．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．2019年江苏省常州市中考数学试卷答案1．C．2．D．3．A．4．B．5．B．6．D．7．A．8．B．9．a2．10．2．11．a（x+2）（x﹣2）．12．55．13．5．14．5．15．1．16．30．17．．18．6．19．解：（1）π0+（）﹣1﹣（）2＝1+2﹣3＝0；（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1；20．解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，解不等式3x﹣8≤﹣x，得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：21．解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．22．解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为＝12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．23．解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．24．解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，由题意得：＝，解得：x＝18，经检验：x＝18是原分式方程的解，则30﹣18＝12（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．25．解：（1）∵OA＝2，∠AOC＝45°，∴A（2，2），∴k＝4，∴y＝；（2）四边形OABC是平行四边形OABC，∴AB⊥x轴，∴B的横纵标为2，∵点D是BC的中点，∴D点的横坐标为1，∴D（1，4）；26．解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC 分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n 边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．27．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）∴﹣1﹣b+3＝解得：b＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3当x＝0时y＝3，∴C（0，3）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0），B（3，0）∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3∵点D为OC的中点，∴D（0，）∴直线BD的解析式为y＝﹣+，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t+），H（t，0）∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣x+）＝﹣t+，NH＝﹣t+∴MN＝NH∵PM＝MN∴﹣t2+3t＝﹣t+解得：t1＝，t2＝3（舍去）∴P（，）∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°∴BD＝＝∴cos∠OBD＝∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝∴PQ＝PE在Rt△PFR中，cos∠RPF＝∴PR＝PF∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR∴PQ＝2QR设直线BD与抛物线交于点G∵﹣+＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣∴点G横坐标为﹣设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+）∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+∵PQ＝2QR∴PQ＝PR∴PE＝•PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2+t+）＝5（﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去）∴P（2，3）②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣∵PQ＝2QR∴PQ＝2PR∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t1＝﹣，t2＝3（舍去）∴P（﹣，﹣）综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣，﹣）．28．解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC＝＝＝∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+，∴这个“窗户形“的宽距为1+．故答案为1+．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴当d＝5时．AM＝4，∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），当d＝8时．AM＝7，∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），∴满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．。
2019年江苏省常州市中考数学试卷
2019年江苏省常州市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.−3的相反数是()A. 13B. −13C. 3D. −32.若代数式x+1x−3有意义，则实数x的取值范围是()A. x=−1B. x=3C. x≠−1D. x≠33.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 圆柱B. 正方体C. 圆锥D. 球4.如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是()A. 线段PAB. 线段PBC. 线段PCD. 线段PD5.若，相似比为1：2，则△ABC与的周长的比为()A. 2：1B. 1：2C. 4：1D. 1：46.下列各数中与2+√3的积是有理数的是()A. 2+√3B. 2C. √3D. 2−√37.判断命题“如果n<1，那么n2−1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为()A. −2B. −12C. 0 D. 128.随着时代的进步，人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)随时间t(ℎ)的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差)，则y2与t的函数关系大致是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9. 计算：a 3÷a =______．10. 4的算术平方根是______．11. 分解因式：ax 2−4a =______．12. 如果∠α=35°，那么∠α的余角等于______°.13. 如果a −b −2=0，那么代数式1+2a −2b 的值是______．14. 平面直角坐标系中，点P(−3,4)到原点的距离是______．15. 若{x =1,y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y =3的解，则a =______． 16. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC =120°，则∠CDB =______°.17. 如图，半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB =______．18. 如图，在矩形ABCD 中，AD =3AB =3√10，点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE =2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN =______．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19. 计算：(1)π0+(12)−1−(√3)2；(2)(x −1)(x +1)−x(x −1)．20. 解不等式组{x +1>0,3x −8≤−x,并把解集在数轴上表示出来．21. 如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C′处，BC′与AD 相交于点E ．(1)连接AC′，则AC′与BD 的位置关系是______；(2)EB 与ED 相等吗？证明你的结论．22. 在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位：元)，并绘制成下面的统计图．(1)本次调查的样本容量是______，这组数据的众数为______元；(2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．23.将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．(1)搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是______；(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．(不重叠无缝隙拼接)24.甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？25.如图，在▱OABC中，OA=2√2，∠AOC=45°，点C在y(x>0)的图轴上，点D是BC的中点，反比例函数y=kx象经过点A、D．(1)求k的值；(2)求点D的坐标．26.【阅读】数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】(1)如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；(2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2=______；【运用】(3)n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n=3，m=3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7．①当n=4，m=2时，如图4，y=______；当n=5，m=______时，y=9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=______(用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．27.如图，二次函数y=−x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(−1,0)，点D为OC的中点，点P在抛物线上．(1)b=______；(2)若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P，使得PM=MN=NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB=2S△QRB，求点P的坐标．28.已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．(1)写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：______；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：______；(2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)、B(1,0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d=2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：(−3)+3=0．故选：C．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单．2.【答案】D有意义，【解析】解：∵代数式x+1x−3∴x−3≠0，∴x≠3．故选：D．分式有意义的条件是分母不为0．本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．3.【答案】A【解析】解：该几何体是圆柱．故选：A．通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．4.【答案】B【解析】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．由垂线段最短可解．本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．5.【答案】B【解析】解：，相似比为1：2，∴△ABC与的周长的比为1：2．故选：B．直接利用相似三角形的性质求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6.【答案】D【解析】解：∵(2+√3)(2−√3)=4−3=1；故选：D．利用平方差公式可知与2+√3的积是有理数的为2−√3；本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．【解析】解：当n=−2时，满足n<1，但n2−1=3>0，所以判断命题“如果n<1，那么n2−1<0”是假命题，举出n=−2．故选：A．反例中的n满足n<1，使n2−1≥0，从而对各选项进行判断．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8.【答案】B【解析】解：当t=0时，极差y2=85−85=0，当0<t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10<t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20<t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．根据极差的定义，分别从t=0、0<t≤10、10<t≤20及20<t≤24时，极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．9.【答案】a2【解析】解：a3÷a=a2．故答案为：a2．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．10.【答案】2【解析】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．根据算术平方根的含义和求法，求出4的算术平方根是多少即可．此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．11.【答案】a(x+2)(x−2)【解析】解：ax2−4a，=a(x2−4)，=a(x+2)(x−2)．先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.【答案】55【解析】解：∵∠α=35°，∴∠α的余角等于90°−35°=55°故答案为：55．若两角互余，则两角和为90°，从而可知∠α的余角为90°减去∠α，从而可解．本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．【解析】解：∵a −b −2=0，∴a −b =2，∴1+2a −2b =1+2(a −b)=1+4=5；故答案为5．将所求式子化简后再将已知条件中a −b =2整体代入即可求值；本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 14.【答案】5【解析】解：作PA ⊥x 轴于A ，则PA =4，OA =3．则根据勾股定理，得OP =5．故答案为5．作PA ⊥x 轴于A ，则PA =4，OA =3，再根据勾股定理求解．此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x 轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．15.【答案】1【解析】解：把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y =3中， a +2=3，解得a =1．故答案是：1．把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y =3中即可求a 的值． 本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．16.【答案】30【解析】解：∵∠BOC =180°−∠AOC =180°−120°=60°，∴∠CDB =12∠BOC =30°． 故答案为30．先利用邻补角计算出∠BOC ，然后根据圆周角定理得到∠CDB 的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17.【答案】√35【解析】解：连接OB ，作OD ⊥BC 于D ，∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，∴∠OBC =∠OBA =12∠ABC =30°，∴tan ∠OBC =OD BD ，∴BD =OD tan30∘=√3√33=3，∴CD =BC −BD =8−3=5，∴tan ∠OCB =OD CD =√35．故答案为√35．根据切线长定理得出∠OBC=∠OBA=12∠ABC=30°，解直角三角形求得BD，即可求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．18.【答案】6【解析】解：作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM=∠PFN=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，BC=AD=3AB=3√10，∠A=∠C=90°，∴AB=CD=√10，BD=√AB2+AD2=10，∵点P是AD的中点，∴PD=12AD=3√102，∵∠PDF=∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴PFAB =PDBD，即PF√10=3√10210，解得：PF=32，∵CE=2BE，∴BC=AD=3BE，∴BE=CD，∴CE=2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，∵∠PFN=∠C=90°，∴△PNF∽△DEC，∴NFPF =CECD=2，∴NF=2PF=3，∴MN=2NF=6；故答案为：6．作PF⊥MN于F，则∠PFM=∠PFN=90°，由矩形的性质得出AB=CD，BC=AD= 3AB=3√10，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=√10，BD=√AB2+AD2=10，证明△PDF∽△BDA，得出PFAB =PDBD，求出PF=32，证出CE=2CD，由等腰三角形的性质得出MF=NF，∠PNF=∠DEC，证出△PNF∽△DEC，得出NFPF =CECD=2，求出NF=2PF=3，即可得出答案．本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】解：(1)π0+(12)−1−(√3)2=1+2−3=0；(2)(x−1)(x+1)−x(x−1)=x2−1−x2+x=x−1；【解析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式(单项式)的运算法则准确计算即可；本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式(单项式)的运算法则是解题的关键．20.【答案】解：解不等式x+1>0，得：x>−1，解不等式3x−8≤−x，得：x≤2，∴不等式组的解集为−1<x≤2，将解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】解：(1)AC′//BD；(2)EB与ED相等．由折叠可得，，∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE．【解析】解：(1)连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′//BD，故答案为：AC′//BD；(2)见答案．(1)根据，ED=EB，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到，进而得出；(2)依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠EBD，进而得出BE=DE．本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22.【答案】解：(1)30，10；=12(元)；(2)这组数据的平均数为6×5+11×10+8×15+5×2030(3)估计该校学生的捐款总数为600×12=7200(元)．【解析】解：(1)本次调查的样本容量是6+11+8+5=30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；(2)见答案；(3)见答案．(1)由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5=30，由众数的定义即可得出结果；(2)由加权平均数公式即可得出结果；(3)由总人数乘以平均数即可得出答案．此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．23.【答案】解：(1)23；(2)画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为26=13．【解析】解：(1)搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型(正方形)、B型(菱形)或C型(等腰直角三角形)这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23；故答案为：23；(2)见答案．(1)依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型(正方形)、B型(菱形)或C型(等腰直角三角形)这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；(2)依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．本题主要考查了概率公式，列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．24.【答案】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(30−x)个零件，由题意得：180x =12030−x，解得：x=18，经检验：x=18是原分式方程的解，则30−18=12(个)．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．【解析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(30−x)个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意检验．25.【答案】解：(1)∵OA=2√2，∠AOC=45°，∴A(2,2)，∴k=4；(2)由(1)知y=4x，∵四边形OABC是平行四边形OABC，∴AB⊥x轴，∴B的横纵标为2，∵点D是BC的中点，∴D点的横坐标为1，∴D(1,4)．【解析】(1)根据已知条件求出A点坐标即可；(2)四边形OABC是平行四边形OABC，则有AB⊥x轴，可知B的横纵标为2，D点的横坐标为1，结合解析式即可求解；本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性质确定点B的横坐标是解题的关键．26.【答案】解：(1)有三个Rt△其面积分别为ab，12ab和12c2．直角梯形的面积为12(a+b)(a+b)．由图形可知：12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2整理得(a+b)2=2ab+c2，a2+b2+2ab=2ab+c2，∴a2+b2=c2．故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2=c2．(2)1+3+5+7+⋯+2n−1.(3)①6，3；②n+2(m−1)【解析】解：(1)见答案．(2)n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n−1．由图形可知：n2=1+3+5+7+⋯+2n−1．故答案为1+3+5+7+⋯+2n−1．(3)①如图4，当n=4，m=2时，y=6，如图5，当n=5，m=3时，y=9．②方法1.对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y=n+2(m−1)．方法2.△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m+3)个点为顶点，可把△ABC分割成3+2(m−1)个互不重叠的小三角形．四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m+4)个点为顶点，可把四边形分割成4+2(m−1)个互不重叠的小三角形．故n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m+n)个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2(m−1)个互不重叠的小三角形．故可得y=n+2(m−1)．故答案为：①6，3；②n+2(m−1)．(1)此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．(2)由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n−1.故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．(3)根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．27.【答案】(1)2；(2)存在满足条件呢的点P，使得PM=MN=NH．∵二次函数解析式为y=−x2+2x+3，当x=0时y=3，∴C(0,3)当y=0时，−x2+2x+3=0解得：x1=−1，x2=3∴A(−1,0)，B(3,0)∴直线BC的解析式为y=−x+3∵点D为OC的中点，∴D(0,3 2 )∴直线BD的解析式为y=−12x+32，设P(t,−t2+2t+3)(0<t<3)，则M(t,−t+3)，N(t,−12t+32)，H(t,0)∴PM=−t2+2t+3−(−t+3)=−t2+3t，MN=−t+3−(−12t+32)=−12t+32，NH=−12t+32∴MN=NH∵PM=MN∴−t2+3t=−12t+32解得：t1=12，t2=3(舍去)∴P(12,154)∴P的坐标为(12,154)，使得PM=MN=NH．(3)过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E，∵OB=3，OD=32，∠BOD=90°，∴BD=√OB2+OD2=3√52，∴cos∠OBD=OBBD =33√52=2√55，∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F，∴∠PQE=∠BQR=∠PFR=90°，∴∠PRF+∠OBD=∠PRF+∠EPQ=90°，∴∠EPQ=∠OBD，即cos∠EPQ=cos∠OBD=2√55，在Rt△PQE中，cos∠EPQ=PQPE =2√55，∴PQ=2√55PE，在Rt△PFR中，cos∠RPF=PFPR =2√55，∴PR=PF2√55=√52PF，∵S△PQB=2S△QRB，S△PQB=12BQ⋅PQ，S△QRB=12BQ⋅QR，∴PQ=2QR，设直线BD与抛物线交于点G，∵−12x+32=−x2+2x+3，解得：x1=3(即点B横坐标)，x2=−12，∴点G横坐标为−12，设P(t,−t2+2t+3)(t<3)，则E(t,−12t+32)，∴PF=|−t2+2t+3|，PE=|−t2+2t+3−(−12t+32)|=|−t2+52t+32|，①若−12<t<3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF=−t2+2t+3，PE=−t2+52t+32，∵PQ=2QR，∴PQ=23PR，∴2√55PE=23⋅√52PF，即6PE=5PF，∴6(−t2+52t+32)=5(−t2+2t+3)，解得：t1=2，t2=3(舍去)，∴P(2,3)；②若−1<t<−12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ<QR，即S△PQB=2S△QRB不成立．③若t<−1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF=−(−t2+2t+3)=t2−2t−3，PE=−12t+32−(−t2+2t+3)=t2−52t−32，∵PQ=2QR，∴PQ=2PR，∴2√55PE=2⋅√52PF，即2PE=5PF，∴2(t2−52t−32)=5(t2−2t−3)解得：t1=−43，t2=3(舍去)∴P(−43,−139)综上所述，点P坐标为(2,3)或(−43,−139).【解析】解：(1)∵二次函数y=−x2+bx+3的图象与x轴交于点A(−1,0)，∴−1−b+3=0，解得：b=2，故答案为：2．(2)见答案；(3)见答案．(1)把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．(2)求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式．设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、N、H的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长．以PM=MN为等量关系列得关于t 的方程，求得t 的值合理(满足P 在第一象限)，故存在满足条件的点P ，且求得点P 坐标．(3)过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E ，根据同角的余角相等易证∠EPQ =∠OBD ，所以cos ∠EPQ =cos ∠OBD =2√55，即在Rt △PQE 中，cos ∠EPQ =PQ PE=2√55；在Rt △PFR中，cos ∠RPF =PFPR=2√55，进而得PQ =2√55PE ，PR =√52PF.设点P 横坐标为t ，可用t表示PE 、PF ，即得到用t 表示PQ 、PR.又由S △PQB =2S △QRB 易得PQ =2QR.要对点P 位置进行分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的方程．求得t 的值要注意是否符合各种情况下t 的取值范围．本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，同角的余角相等，三角函数的应用．第(3)题解题过程容易受第(2)题影响而没有分类讨论点P 的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路． 28.【答案】(1)①2； ②1+√5；(2)①如图2−1中，点C 所在的区域是图中正方形AEBF ，面积为2．②如图2−2中，当点M 在y 轴的右侧时，连接AM ，作MT ⊥x 轴于T ．∵AC ≤AM +CM ，又∵5≤d ≤8， ∴当d =5时．AM =4，∴AT =√AM 2−MT 2=2√3，此时M(2√3−1,2)， 当d =8时．AM =7，∴AT =√82−22=2√15，此时M(2√15−1,2)，∴满足条件的点M 的横坐标的范围为2√3−1≤x ≤2√15−1．同理，当点M 在y 轴的左侧时，满足条件的点M 的横坐标的范围为−2√15+1≤x ≤−2√3+1．【解析】解：(1)①半径为1的圆的宽距离为2，故答案为2．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC=√CD2+OD2=√12+22=√5∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+√5，∴这个“窗户形“的宽距为1+√5．故答案为1+√5．(2)①见答案；②见答案．(1)①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC.求出PC的最大值即可解决问题．(2)①如图2−1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2−2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T.求出d=5或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．本题属于圆综合题，考查了平面图形S的“宽距”的定义，正方形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。