人教版九年级数学上册课件：22.1.3二次函数y=a(x-h)2图像与性质
的图象2
2
2
解：列表得:
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y 1 x2 2
… －4.5 －2 －0.5
0 －0.5 －2 －4.5 …
y 1 x 12 …
2
－2
－0.5
0 －0.5 －2 －4.5 －8 …
y 1 x 12 …
2
－8
－4.5 －2
－0.5
0 －0.5 －2 …
4.已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 y轴向左平移2
个单位，那么在新的坐标系下抛物线解析式为 y 2(x 2)2 .
巩固训练
5 .二次函数y=a(x-1)2的图象向左平移2个单位后经过点M（ － 3，－4），则a= -1 。
6.抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=2x2的形状相同，其对称轴与抛物 线y=(x+1)2的相同，则a= ±2 ,h= -1 .
22.1二次函数的图像和性质——22.1.3第2课时
二次函数 y=a(x-h)2
的图像和性质
知识回顾
1.二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是什么形状？ 二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是一条抛物线。
2.二次函数y=ax2和y=ax2+k的性质是什么？
开口方向 解析式
a＞0 a＜0
y = ax2 ﹙a≠0﹚ 向 向
x=-1
x=1
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
2
探索新知
观察抛物线 y 1 x 12 y 1 x 12与抛物线y 1 x2
图像,完成以下填2空.
2
2
－4 －2
24
－2
y 1 x 12
－4
2
y 1 x 12
2
－6
以上三条抛物线的形状 相同 ,位置 不同
作业
1.已知二次函数y=-x2+4. (1)当x为何值时，y随x的增大而减小？
（2)当x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)当x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ （4）求图象与x轴、y轴的交点坐标。
2.填写下表：
巩固练习
1.填表
抛物线
y=2(x+3)2 y=7(x-8)2 y= -(x+6)2 y=-3(x -1)2
7.写出一个开口向上，顶点坐标为(-2，0)的抛物线解析式 为 y=(x+2)2(答案不唯一).
小结
二次函数 y=a(x-h)2 的图像及性质：
(1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、最值、开口大小； (3)对称轴两侧的增减性
作业
1.暗线本B：P35 练习 2.《课堂10分钟》P78
下课
如图所示：
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
－6
24
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
探索新知
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 1 x2 2
y 1 x 12
2
y 1 x 12
2
y轴(x=0) (0, 0)
向
下
直线x=-1 (-1,0)
直线x=1 (1, 0)
探索新知：二次函数y=a(x-h)2平移规律
y ax2 （左加右减）
(0,0)
y a x h2
(-h,0)
向左平移2h个单位 向右平移2h个单位
y a x h2
(h,0)
课堂讲练 学导练P23例3
【例2抛物线y=(x-1)2的开口 向上 ，对称轴是直线x=1， 顶点坐标是 (1，0) ，它可以看作是由抛物线y=x2向 右 平移 1 个单位得到的.
（x左加右减）
.
①抛物线 y 1 x2 向 左 平移 1 个单位后得到 y 1 x 12 ,
向右
2
平移 1 个单位后得到
y 1 x 12 .
2
②抛物线 y 1 x 12 , 向 右 平移 2 个单位后得到
2
2
y 1 x 12
2
探索新知：二次函数y=a(x-h)2的性质
（1）开口方向：当当aa＞＜00时时，，开开口口向向上下；;
开口方向
向上 向上 向下
向下
对称轴 顶点坐标
x=- 3 x=8 x=-6
(-3,0) (8,0) (-6,0)
x=1
(1,0)
2 . 将抛物线y= -2x2向左平移一个单位，再向右平移3个单 位得抛物线解析式为 y=-2(x – 2)2 .
3. 抛物线y=3(x+0.5)2可以看成由抛物线 y=3x2 向 左 平 移 0.5 个单位得到的。
上下 y = ax2+k ﹙a≠0﹚
对 称 顶点 轴 坐标
函数的增减性
a＞0
a＜0
（0，0）
对称轴左 侧y随x增
对称轴左 侧称轴右
（0，k） 侧y随x增 侧y随x增 大而增大； 大而减小。
探索新知：例2
在同一直角坐标系中画出二次函数
y 1 x2 y 1 x 12 y 1 x 12
（2）对称轴： 直线x=h; （3）顶点坐标：（h，0）
（4）函数的增减性：
当a＞0时，对对称称轴 轴左右侧侧((xx
≤ ≥
h时)y随x增大而减小， h时)y随x增大而增大；
当a＜0时，对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小。
（5）最值 若a＞0，当x=h时 ，y有最小值, 最小值为0 若a＜0，当x=h时， y有最大值，最大值为0
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人教版九上数学22.y=a(x-h)2k的图象和性质课件
(1) y=(x-3)2+2 (2)y=(x+4)2－5
2.与抛物线y=－4x 2形状相同， 顶点为（2，-3）的抛物线 解析式为_y_=__-_4_(_x_-2_)_2_-3_或__y_=__4_(_x_-2_)_2_-3
函数y= (x+1)2-9的图象
y 1
是 称轴是
，开口 ，对 ，顶点坐标是
10.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
各种情势的二次函数的关系
左 y = a( x - h )2 + k 上
左
右
下
加
平 移
平 移
练习3
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=__________
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），
求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位
得到的抛物线是
。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
练习4:
一条抛物线的形状与抛物线 y 3x2
右 减
y = ax2 + k
y = a(x - h )2 上
加
下Hale Waihona Puke 上下平移 y = ax2 左右平移
减
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状 相同，位置不同。∣a∣越大开口越小。
小练习:
抛物线
y 1 x2 2
2.与抛物线y=－4x 2形状相同， 顶点为（2，-3）的抛物线 解析式为_y_=__-_4_(_x_-2_)_2_-3_或__y_=__4_(_x_-2_)_2_-3
函数y= (x+1)2-9的图象
y 1
是 称轴是
，开口 ，对 ，顶点坐标是
10.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
各种情势的二次函数的关系
左 y = a( x - h )2 + k 上
左
右
下
加
平 移
平 移
练习3
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=__________
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），
求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位
得到的抛物线是
。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
练习4:
一条抛物线的形状与抛物线 y 3x2
右 减
y = ax2 + k
y = a(x - h )2 上
加
下Hale Waihona Puke 上下平移 y = ax2 左右平移
减
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状 相同，位置不同。∣a∣越大开口越小。
小练习:
抛物线
y 1 x2 2
九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
第二十五页，共32页。
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 人教版数学九年级上册课件
函数的增减性
最值
向上
y轴（直线x=0）
（0,k） 当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时， y随x增大而增大. x=0时，y最小值=c
向下
y轴（直线x=0）
（0,k） 当x<0时，y随x增大而 增大；当x>0时，y随x 增大而减小.
x=0时，y最大值=c
问题2 二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？
y
1 2
x
2向左平移 1个单位
y 1 (x 1)2 2
y
1 2
x
2
向右平移 1个单位
y 1 (x 1)2 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1 (x 1)2 2
-5
-6
-7
y 1 (x 1)2 2
-8
-9 -10
y 1 x2
2
一般地,抛物线y=a(x-h)2有如下特点:
第二十二章 二次函数
22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识回顾 例题讲解 课堂小结
获取新知 随堂演练
知识回顾 问题1 说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质.
a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标
(1)对称轴是x=h; (2)顶点是(h,0). (3)抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线 y=ax2向左或向右平移|h|得到. h>0，向右平移; h<0，向左平移
y x
最值
向上
y轴（直线x=0）
（0,k） 当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时， y随x增大而增大. x=0时，y最小值=c
向下
y轴（直线x=0）
（0,k） 当x<0时，y随x增大而 增大；当x>0时，y随x 增大而减小.
x=0时，y最大值=c
问题2 二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？
y
1 2
x
2向左平移 1个单位
y 1 (x 1)2 2
y
1 2
x
2
向右平移 1个单位
y 1 (x 1)2 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y 1 (x 1)2 2
-5
-6
-7
y 1 (x 1)2 2
-8
-9 -10
y 1 x2
2
一般地,抛物线y=a(x-h)2有如下特点:
第二十二章 二次函数
22.1.3 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识回顾 例题讲解 课堂小结
获取新知 随堂演练
知识回顾 问题1 说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象与性质.
a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标
(1)对称轴是x=h; (2)顶点是(h,0). (3)抛物线y=a(x-h)2可以由抛物线 y=ax2向左或向右平移|h|得到. h>0，向右平移; h<0，向左平移
y x
人教版九上数学教学课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
答：这个喷水池的直径 AB 是 20 m。
Thank you!
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离 池中心3m，水管应多长.
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点
3
与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直
随堂测试
基础巩固 1.抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平 移方法中正确的是( B ) A．先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
3 4 m 处达到最高，高度为 6 m，之后落在水池边缘，求这个喷水池的直径 AB 的值．
解：设 y 轴右侧抛物线的解析式为 y＝a(x－4)2＋6，将(0，10 )代入得 3
16a＋6＝10 ，解得 a＝－1 ，∴抛物线的解析式为 y＝－1 (x－4)2＋6，令 y
3
6
6
＝0 得－1 6
(x－4)2＋6＝0，x1＝10，x2＝－2(舍) ∴AB＝10－(－10)＝20(m).
R·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
− 3
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
22-1-3第2课时二次函数y=a(x-h)2的图像与性质课件人教版数学九年级上册
对称轴是 y轴 ，顶点是 ( 0，-3 ) ；
当x<0时，y随x 增大而减小，
当x>0时，y随x 增大而增大。
2.把直线y=-2x向左平移一个单位长度
得
。
探究
一 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1
1Байду номын сангаас
2
2
y x 1 , y x 1
2
2
画出二次函数
的图
象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
第二十二章
二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第2课时
二次函数
y=a(x-h)2的图象和性质
1.会画y=a(x-h)2的图象；
2.理解y=a(x-h)2的图象与y=ax2的关系，并能
结合图象掌握此类二次函数的性质.(重难点)
复习引入
1.抛物线y=2x2-3的开口方向 向上 ，
结 论 ： 抛 物 线 y=
y=a(x-h) 2 的图象相
当于把抛物线y=ax2
的图象 向右 （h＞0）
或 向左 （h＜0）
平移 |h| 个单位
a(x-h)2
(h<0) y
y
y = ax2
x
O
h
0
h
x
y = a(x-h)2 (h>0)
如何平移？
3
2
y ( x 1)
4
3
2
y ( x 3)
1.将二次函数 = 的图象向右平移3个单位后
得到新函数
的图象，其对称轴
（3,0），当x ＞3时，
当x<0时，y随x 增大而减小，
当x>0时，y随x 增大而增大。
2.把直线y=-2x向左平移一个单位长度
得
。
探究
一 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1
1Байду номын сангаас
2
2
y x 1 , y x 1
2
2
画出二次函数
的图
象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
第二十二章
二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第2课时
二次函数
y=a(x-h)2的图象和性质
1.会画y=a(x-h)2的图象；
2.理解y=a(x-h)2的图象与y=ax2的关系，并能
结合图象掌握此类二次函数的性质.(重难点)
复习引入
1.抛物线y=2x2-3的开口方向 向上 ，
结 论 ： 抛 物 线 y=
y=a(x-h) 2 的图象相
当于把抛物线y=ax2
的图象 向右 （h＞0）
或 向左 （h＜0）
平移 |h| 个单位
a(x-h)2
(h<0) y
y
y = ax2
x
O
h
0
h
x
y = a(x-h)2 (h>0)
如何平移？
3
2
y ( x 1)
4
3
2
y ( x 3)
1.将二次函数 = 的图象向右平移3个单位后
得到新函数
的图象，其对称轴
（3,0），当x ＞3时，
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质课件
人教版 九年级上
二次函数y=a（x-h）2+k 的图像和性质
导教入学新目课
标
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导教入学新目课
标
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。
2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而 减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
新教课学讲目解
标
练习：
抛物线y=-2x²向上移动1个单位后的对
称轴是
（D ）
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
新教课学讲目解
标
2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新教课学讲目解
标
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、
画图。
－4 －2 -2 -4 -6 -8
新教课学讲目解
标
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位 置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到 抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
新教课学讲目解
标
么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
二次函数y=a（x-h）2+k 的图像和性质
导教入学新目课
标
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.它具有怎样的图象特征和性质？ 3.你是怎么研究的？
y y=x2
0
x
导教入学新目课
标
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。
2.二次函数y=ax2的图象特征和性质： 对称轴是y轴，顶点是原点； 如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而 减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
新教课学讲目解
标
练习：
抛物线y=-2x²向上移动1个单位后的对
称轴是
（D ）
A.直线x= 1
2
B.直线x=- 1
2
C.直线x=2
D.y轴
新教课学讲目解
标
2. 类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
新教课学讲目解
标
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、
画图。
－4 －2 -2 -4 -6 -8
新教课学讲目解
标
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位 置不同． 把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到 抛物线y＝a(x－h)2＋k． 平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
新教课学讲目解
标
么位置关系?
-1.5 -1 y
6
y=2x2+1
5
y=2x2
4
y=2x2-1
3
2 1
22-1-3二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件人教版九年级数学上册
解：图象如图.
y = 2x2
函数 y = 2(x - 2)2 的图象可由函
数 y = 2x2 的图象向右平移 2 个
单位长度得到.
2
例3 已知二次函数 y＝ (x﹣1)2．
(1) 画出图象，并写出该二次函数的
y
图象的对称轴和顶点坐标；
4
2
解：对称轴为直线 x = 1. 顶点坐标为 (1，0).
-2-1 1 2 3 4 x
(2) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？
解：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大.
(3) 若 3≤x≤5，求 y 的取值范围；
的图象.
探究1：从函数解析式研究图象和性质.
x 的取值 y 的取 范围 值范围
当 x 取多少时， y 有最值
全体实数 y≤0 x = -1 时，y 有最大值
全体实数 y≤0 x = 1 时，y 有最大值
探究2：用“描点法”法作图
例1 画出二次函数
的图象，并
分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
解：列表如下：
4. 若 (- ，y1)，(- ，y2)，( ，y3) 为二次函数 y = (x - 2)2 图象上的三点，则 y1，y2 ，y3 的大小关系为 __y_1 _＞__y_2 _＞__y_3__.
5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x - 2)2 的 图象，并指出两个图象之间的平移关系．
(2) 图形的开口方向 向上 ；
(3) 从左到右对称轴分别是都
是 x = -1，x = 1 ； (4) 从左到右顶点坐标分别是
__(−_1_，__0_)_，__(_1_，__0_) __；
y = 2(x - 1)2
22.1.3二次函数的图像与性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
《22二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》课件九年级数学人教版上册
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
例1 画出函数
的图像.
括号内左加右减.
上下平移 y = ax2 左右平移
二次项系数a不变.
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
y = a( x - h ) + k 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
左 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线
？
上
简记为：
y = a( x - h )2 + k
右 下 上下平移， 在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管 平 平 应多长?
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
讲授新课
一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
探究归纳
对称轴是直线x=-1;
例1 画出函数 顶点坐标是(-1,-2)
y=
(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 (x 4)2 2 3
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
例1 画出函数
的图像.
括号内左加右减.
上下平移 y = ax2 左右平移
二次项系数a不变.
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
y = a( x - h ) + k 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
左 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线
？
上
简记为：
y = a( x - h )2 + k
右 下 上下平移， 在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管 平 平 应多长?
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
讲授新课
一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
探究归纳
对称轴是直线x=-1;
例1 画出函数 顶点坐标是(-1,-2)
y=
(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 (x 4)2 2 3
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3