2017上海静安区高三二模数学试题及答案
(完整word版)2017届上海市普陀区高三二模数学卷(含答案),推荐文档
2017届第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）（A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）816. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线N A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）FEBA P20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下： 第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、 解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分设,PC AB u u u r u u ur的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 分 所以，,PC AB u u u r u u u r 的夹角为arccos 3，即异面直线PC 与AB 所成角的大小为分 （2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分 又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC .--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=， 即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分 故m =1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分 所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分 从而221312k k ≥+，----------------------------12分 因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. -------------------------------------------------------------------14分19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分 在BPC ∆中，由正弦定理，得sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分 又31BC AB =，sin sin ABP CBP ∠=∠，--------------------------------------------6分故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分C B A P(2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分 由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分 在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分 解得x19=， 即无人机到丙船的距离为CP =3x275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称， 故AB 所在直线为x =1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分 所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=， 解得2212a b ==. ---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p Mp x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分 从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M (m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分 因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分 因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分 所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n-个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n -k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分 因此21n S -=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -1 则2×21n S -=n ×2+(n -1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n ＝2n+1-n -2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分 则21n S -+n +2=2(121n S --+n +1)，即数列{21n S -+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列, 所以21n S -+n +2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n -2. ------------------------------15分 S 2017=1021S -+S 994 -----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. ------------------------------------------------------------------------18分。
上海市浦东新区2017届高考数学二模试卷(解析版)
2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y |0≤y ＜4}，则A ∩B= ．2．若直线l 的参数方程为，t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是 ．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ．4．抛物线的焦点和准线的距离是 ．5．已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x ﹣y= ．6．若三个数a 1，a 2，a 3的方差为1，则3a 1+2，3a 2+2，3a 3+2的方差为 ． 7．已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是 ．8．函数，的单调递减区间是 ．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则= ．10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 ．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 ．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 ．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或016．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．18．（14分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19．（18分）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．20．（16分）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．21．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f （0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；（3）证明：f（x）是奇函数．2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=[2，4）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：由≥0，解得x≥2或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），集合B={y|0≤y＜4}=[0，4），则A∩B=[2，4），故答案为：[2，4），【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是1．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，∴直线l在y轴上的截距是1．故答案为1．【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：由题意，底面的半径r=2，∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，故答案为：8π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．4．抛物线的焦点和准线的距离是2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】首先将化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p=4，然后根据公式得到焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：化抛物线为标准方程形式：x2=4y∴抛物线开口向上，满足2p=4∵=1，焦点为（0，）∴抛物线的焦点坐标为（0，1）又∵抛物线准线方程为y=﹣，即y=﹣1∴抛物线的焦点和准线的距离为d=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题以一个二次函数图象的抛物线为例，着重考查了抛物线的焦点和准线等基本概念，属于基础题．5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y=5．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得3x﹣y=5．【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，两式相加得：3x﹣y=5，∴3x﹣y=5，故答案为：5．【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为9．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可．【解答】解：∵三个数a1，a2，a3的方差为1，设三个数的平均数是，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的平均数是3+2有1=∴3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差是+]==9故答案为：9．【点评】本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是0.98．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率．【解答】解：射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率：p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.98．故答案为：0.98．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．8．函数，的单调递减区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】函数=﹣sin（x﹣），将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】解：由函数=﹣sin（x﹣），令x﹣，k∈Z得： +2kπ≤x≤，∵，当k=0时，可得单调递减区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．9．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，则=．【考点】8J：数列的极限．【分析】先表示出S n，a n，即可求出极限的值．【解答】解：由于数列{a n}是公差为2的等差数列，S n是{a n}的前n项和，则S n=na1+n（n﹣1）•2=n（n+a1﹣1），a n=a1+（n﹣1）•2=2n+a1﹣2，则==．故答案为：．【点评】本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 6 ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f （x ）和g （x ）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f （x ）+f （2﹣x ）=0，②f （x ）﹣f （﹣2﹣x ）=0， ∴f （x ）图象的对称中心为（1，0），f （x ）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f （x ）和g （x ）的部分图象，如图所示，据此可知f （x ）与g （x ）的图象在[﹣3，3]上有6个交点． 故答案为：6．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 16 ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），可得a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），∴a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．根据a n +1=a n ，可得数列{a n }为等比数列，公比为．取a 9=a 1×，a 1＞0．又a 9=，∴=28，解得a 1=24=16． ∴a 1的最大值是16． 故答案为：16．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 5 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由向量投影的定义可得当++与共线时，取得最大值，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：||+|2|+3||=||+2||+3||，其几何意义为在的投影的绝对值与在上投影的绝对值的2倍与在上投影的绝对值的倍的3和，当++与共线时，取得最大值．∵•==，∴=﹣∴（||+|2|+3||）max2=||2+4||2+9||2+4||+6||+12||=1+4+9+2+3+6=25，故||+|2|+3||的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，即可得出结论．【解答】解：|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，因此在复平面上，满足|z+i|+|z﹣i|=2的复数z对应的点Z的集合表示的是：线段，∴复数在平面上对应的图形是线段．故选：D．【点评】本题考查了复平面上的两点间的距离公式及其复数的几何意义、点的集合，属于基础题．14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的直观图得到三视图．【解答】解：由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；关键放置的位置得到C；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或0【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】推导出cot==，由此能求出结果．【解答】解：∵cot===，2sinx=1+cosx，∴当cosx=﹣1时，sinx=0，无解；当cosx≠﹣1时，cot==2．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、降幂公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．16．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，根据a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），可得可得q的取值范围，再利用a4=a3q，即可得出．【解答】解：设公比为q，则∵a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），∴∴③÷②：1＜q＜4④③÷①：或q＞⑤由④⑤可得：＜q＜4∴a4=a3q，∴a4∈．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）（2017•浦东新区二模）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；L*：球面距离及相关计算．【分析】（1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）由题意，cos∠COD==，∴∠COD=，∴D，C两点在球O上的球面距离为；（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（，，），∴平面ABC的法向量为=（，，），∵=（0，﹣，﹣），∴直线CD与平面ABC所成角的正弦=||=，∴直线CD与平面ABC所成角的大小为．【点评】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2017•浦东新区二模）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB，利用基本不等式的性质即可得出最大值．方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．可得S2=+，即可比较出S1与S2的大小关系．【解答】解：（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos≥2ab+ab，可得ab，当且仅当时取等号．S=absin≤=．∴当且仅当时，养殖场△POQ的面积最大，（平方千米）（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB≤=，当且仅当x=时取等号．∴（平方千米），方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．∴S2=+≈0.144（平方千米）∴S1＜S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好．【点评】本题考查了基本不等式的性质、三角形面积计算公式、余弦定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（18分）（2017•浦东新区二模）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．【考点】KM：直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）求出与直线l平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，P到渐近线的距离d==，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=；（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x2+8mx+4m2+12=0，△=64m2﹣4（4m2+12）=0，可得m=±1，与直线l：y=x+2的距离分别为或，即d=或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．20．（16分）（2017•浦东新区二模）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】（1）数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：，可得a n+1+1=+1=≠0，即可证明．（2）正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，．b n===…==．又b1=10，利用指数的运算性质可得数列{b n}的前n项积T n=．（3）α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），可得β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n}的通项=βn﹣1×=．【解答】（1）解：数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：∵，∴2a n+1+1=+1=≠0，∴数列{2a n+1}是“2级创新数列”．（2）解：∵正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，∴．∴b n====…==．又b 1=10，∴数列{b n }的前n 项积T n =b n b n ﹣1•…•b 1==．（3）证明：α，β是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实根（α＞β）， ∴β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n }的通项=βn ﹣1×=βn ﹣1×=．∴c n +2=．c n +1+c n =+．∴c n +2﹣（c n +1+c n ）==0．∴c n +2=c n +1+c n ．【点评】本题考查了数列递推关系、指数的运算性质、一元二次风吹草动根与系数的关系、作差法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•浦东新区二模）对于定义域为R 的函数g （x ），若函数sin [g （x ）]是奇函数，则称g （x ）为正弦奇函数．已知f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0．（1）已知g （x ）是正弦奇函数，证明：“u 0为方程sin [g （x ）]=1的解”的充要条件是“﹣u 0为方程sin [g （x ）]=﹣1的解”；（2）若f （a ）=，f （b ）=﹣，求a +b 的值；（3）证明：f （x ）是奇函数． 【考点】3P ：抽象函数及其应用．【分析】（1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；（2）由f （x ）是单调递增的正弦奇函数，f （a ）=，f （b ）=﹣，可得a ，b互为相反数，进而得到答案．（3）根据f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0得到：f （﹣x）=﹣f（x），可得结论．【解答】证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，故sin[g（x）]是奇函数，当：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u0）]=1，则sin[g（﹣u0）]=﹣1，即“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；当：“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”时，sin[g（﹣u0）]=﹣1，则sin[g（u0）]=1，即“u0为方程sin[g（x）]=1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；综上可得：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；解：（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=，f（b）=﹣，则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1﹣1=0，则a=﹣b，则a+b=0证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．故sin[f（﹣x）]+sin[f（x）]=0，即sin[f（﹣x）]=﹣sin[f（x）]=sin[﹣f（x）]，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，充要条件，难度中档．。
2017-2018上海静安区数学一模试卷与答案
O
x
第 24 题图
25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 4 分）
已知：如图，四边形 ABCD 中，0°＜∠BAD ≤90°，AD=DC，AB=BC，AC 平分∠BAD． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）如果点 E 在对角线 AC 上，联结 BE 并延长，交边 DC 于点 G，交线段 AD 的延长线 于点 F（点 F 可与点 D 重合），∠AFB =∠ACB，设 AB 长度是 a （ a 是常数，且 a 0 ）， AC= x ，AF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）在第（2）小题的条件下，当△ CGE 是等腰三角形时， F 求 AC 的长．（计算结果用含 a 的代数式表示）
（A） 2 2 ； （B） 2 2 ； （C） 2 ；
3
4
（D） 3 ．
大力数学工作室 | 李老师
1
6．将抛物线 y1 x2 2x 3 先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位后，与抛物线
y2 ax2 bx c 重合，现有一直线 y3 2x 3与抛物线 y2 ax2 bx c 相交，当 y2
bd3
bd
8．已知线段 AB 长是 2 厘米，P 是线段 AB 上的一点，且满足 AP 2 =AB ·BP，那么 AP 长
为 ▲ 厘米．
9．已知△ ABC 的三边长分别是 2 、 6 、2 ，△ DEF 的两边长分别是1和 3 ，如果△ ABC
与△ DEF 相似，那么△ DEF 的第三边长应该是 ▲ ．
（D） a10 ．
2．下列方程中，有实数根的是
（A） x 1 1 0 ； （B） x 1 1； （C） 2x4 3 0 ；（D） 2 1．
28届静安区高三二模数学word版(附解析)
上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是2. 若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z =3.函数y 的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d 事件的概率是5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h =6. 如上右图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2)，则1BD uuu r的坐标为7.方程cos2x =的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上 一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的 标准方程为9. 秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所着的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=） 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为11. 在直角三角形ABC 中，2A π∠=，3AB =，4AC =，E 为三角形ABC 内一点，且2AE =，若AE AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则34λμ+的最大值等于12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-，若AB ≠∅，则实数a 取值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 能反映一组数据的离散程度的是（ ）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差 14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α，β，且||3αβ-=，那么实数m的值是（ ）A. 52B. 1C. 1-D.52- 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示，则()3f π的值为（ ）A.2 B. 2 C. 2D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数（即函数图像不间断）. 昆虫密度C 是指每平方米的昆虫数量，已知函数21000(cos(4)2)990,816()2,081624t t C t m t t ππ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩或， 这里的t 是从午夜开始的小时数，m 是实常数，(8)m C =.（1）求m 的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为1F 和2F ，椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12. 圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A . （1）求△12k A F F 的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆. 问：是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ？请说明理由.19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，2AC =，1BD =，2OP =.（1）求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值. 20. 已知数列{}n a 中，1a a =1(,)2a R a ∈≠-，1112(1)n n a a n n n -=+++，2n ≥，*n ∈N . 又数列{}n b 满足：11n n b a n =++，*n ∈N . （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若数列{}n b 的各项皆为正数，12log n n c b =，设n T 是数列{}n c 的前n 和，问：是否存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列？若存在，求出整数a ；若不存在，请说明理由.21. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {0,2,4}[1,)-+∞ 4. 125. 46. (4,3,2)--7. 5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 8. 24x y =-9. 50 10. 9411. 1 12. [ 二. 选择题13. D 14. A 15. C 16. B 三. 解答题17. 解（1）2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=； ……4分 （2）当cos((8))12t π⋅-=-时，C 达到最小值，得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈，……8分又[8,16]t ∈，解得10t =或14.所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10. ……14分18. 解：（1）设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，……1分由已知有212,2a a b ==， ……2分 所以椭圆方程为：221369x y +=， …… 3分圆心(,2)k A k - ……5分所以，△12k A F F 的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= ……6分 （2）当0k ≥时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：22601202115120k k ++--=+>，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；……10分当0k <时，22(6)01202115120k k -+---=->，可知椭圆顶点（-6，0）在圆外； 所以，不论k 取何值，圆k A 都不可能包围椭圆Γ．……14分19. 解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点， 直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． ……1分则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -． 所以(1,0,2)AP =-，11(,,1)22BM =--，52AP BM ⋅=，||5AP =，6||BM =． ……3分则cos ,||||5AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为6……6分 （2）1(1,,0)2AB =-，11(,,1)22BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =． ……9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =， ……10分 所以n 2OB ⋅=，||29n =，1||2OB =．则cos ,||||29n OBn OB n OB ⋅<>===. 故平面ABM 与平面PAC ……14分20. 解：（1）1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ 112122()n n a a n n--=+=+ ……2分 即12n n b b -= ……3分又111122b a a =+=+，由12a ≠-，则10b ≠所以{}n b 是以112b a =+为首项，2为公比的等比数列． ……4分（2）11()22n n b a -=+⋅，所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭ ……6分若{}n a 是单调递增数列，则对于*n N ∈，10n n a a +->恒成立 ……7分1111=2212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭111=22(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭……8分由111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭，得11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立， ∵112(1)(2)n n n --++递增，且1102(1)(2)n n n --<++，11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++， 所以102a +≥，又12a ≠-，则12a >-． ……10分 （3）因为数列{}nb 的各项皆为正数，所以102a +>，则12a >-．112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+， ……13分若数列{}n T 是单调递减数列，则21T T >，即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+->-++<-，即1122a +<，所以102a -<<．不存在整数a ，使得数列{}n T 是单调递减数列． ……16分21. 解：（1）由()0f x ≥得271x x -≥-， ……1分 解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……4分 （利用图像求解也可） （2）由01xx>-解得01x <<．由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥， 当01x <<时，该不等式即为(2)70a x -+≥； ……5分 当=2a 时，符合题设条件； ……6分 下面讨论2a ≠的情形，当2a >时，符合题设要求； ……7分 当2a <时，72x a ≤-，由题意得712a≥-，解得25a >≥-； 综上讨论，得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ……10分 （3）由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--， ……12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤，令()|27|2|1|1h x x x =---+，则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 74()()(1)62h h x h -=≤≤=，∴min ()4h x =- ……15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，则min (),4h x a a ≤≥-即． ……18分。
上海市浦东新区2017届高考数学二模试卷 含解析 精品
2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y |0≤y ＜4}，则A ∩B= ．2．若直线l 的参数方程为，t ∈R ，则直线l 在y 轴上的截距是 ．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ．4．抛物线的焦点和准线的距离是 ．5．已知关于x ，y 的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x ﹣y= ．6．若三个数a 1，a 2，a 3的方差为1，则3a 1+2，3a 2+2，3a 3+2的方差为 ． 7．已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是 ．8．函数，的单调递减区间是 ．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则= ．10．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①f （x ）+f （2﹣x ）=0；②f （x ）﹣f （2﹣x ）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f （x ）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为 ．11．已知各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），且a 1=a 10，则首项a 1所有可能取值中最大值为 ．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 ．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或016．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．18．（14分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19．（18分）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．20．（16分）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．21．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f （0）=0．（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；（2）若f（a）=，f（b）=﹣，求a+b的值；（3）证明：f（x）是奇函数．2017年上海市浦东新区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，集合B={y|0≤y＜4}，则A∩B=[2，4）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：由≥0，解得x≥2或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞），集合B={y|0≤y＜4}=[0，4），则A∩B=[2，4），故答案为：[2，4），【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是1．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，∴直线l在y轴上的截距是1．故答案为1．【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为8π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：由题意，底面的半径r=2，∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，故答案为：8π．【点评】熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．4．抛物线的焦点和准线的距离是2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】首先将化成开口向上的抛物线方程的标准方程，得到系数2p=4，然后根据公式得到焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1，最后可得该抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：化抛物线为标准方程形式：x2=4y∴抛物线开口向上，满足2p=4∵=1，焦点为（0，）∴抛物线的焦点坐标为（0，1）又∵抛物线准线方程为y=﹣，即y=﹣1∴抛物线的焦点和准线的距离为d=1﹣（﹣1）=2故答案为：2【点评】本题以一个二次函数图象的抛物线为例，着重考查了抛物线的焦点和准线等基本概念，属于基础题．5．已知关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则3x﹣y=5．【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得3x﹣y=5．【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，则二元一次方程组为：，两式相加得：3x﹣y=5，∴3x﹣y=5，故答案为：5．【点评】本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．6．若三个数a1，a2，a3的方差为1，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差为9．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可．【解答】解：∵三个数a1，a2，a3的方差为1，设三个数的平均数是，则3a1+2，3a2+2，3a3+2的平均数是3+2有1=∴3a1+2，3a2+2，3a3+2的方差是+]==9故答案为：9．【点评】本题考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．7．已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是0.98．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率．【解答】解：射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，甲、乙两人各向A目标射击一次，射手甲或射手乙击中A目标的概率：p=1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）=0.98． 故答案为：0.98．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．8．函数，的单调递减区间是．【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】函数=﹣sin （x ﹣），将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递减区间；即可求的单调递减区间．【解答】解：由函数=﹣sin （x ﹣），令x ﹣，k ∈Z得： +2kπ≤x ≤，∵，当k=0时，可得单调递减区间为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．9．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，则=．【考点】8J ：数列的极限．【分析】先表示出S n ，a n ，即可求出极限的值．【解答】解：由于数列{a n }是公差为2的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则S n =na 1+n （n ﹣1）•2=n （n +a 1﹣1）， a n =a 1+（n ﹣1）•2=2n +a 1﹣2，则==．故答案为：．【点评】本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！10．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x）﹣f（2﹣x）=0；③在[﹣1，1]上的表达式为，则函数f（x）与的图象在区间[﹣3，3]上的交点的个数为6．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f（x）和g（x）的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】解：∵①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，∴f（x）图象的对称中心为（1，0），f（x）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f（x）和g（x）的部分图象，如图所示，据此可知f（x）与g（x）的图象在[﹣3，3]上有6个交点．故答案为：6．【点评】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图象交点个数等问题，属于中档题．11．已知各项均为正数的数列{a n}满足（2a n+1﹣a n）（a n+1a n﹣1）=0（n∈N*），且a1=a10，则首项a1所有可能取值中最大值为16．【考点】8H ：数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），可得a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足（2a n +1﹣a n ）（a n +1a n ﹣1）=0（n ∈N *），∴a n +1=a n ，或a n +1a n =1．又a 1=a 10，a 9a 10=1，应该使得a 9取得最小值．根据a n +1=a n ，可得数列{a n }为等比数列，公比为．取a 9=a 1×，a 1＞0．又a 9=，∴=28，解得a 1=24=16． ∴a 1的最大值是16． 故答案为：16．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知平面上三个不同的单位向量，，满足•==，若为平面内的任意单位向量，则||+|2|+3||的最大值为 5 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由向量投影的定义可得当++与共线时，取得最大值，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：||+|2|+3||=||+2||+3||，其几何意义为在的投影的绝对值与在上投影的绝对值的2倍与在上投影的绝对值的倍的3和，当++与共线时，取得最大值．∵•==，∴=﹣∴（||+|2|+3||）2=||2+4||2+9||2+4||+6||+12||=1+4+9+2+3+6=25，max故||+|2|+3||的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4小题，满分16分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.13．若复数满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数在平面上对应的图形是（）A．椭圆B．双曲线C．直线D．线段【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，即可得出结论．【解答】解：|z+i|+|z﹣i|=2，在复平面上，复数z对应的点Z的集合表示的是：到两个定点E（0，﹣1），F（0，1）的距离之和为定值2的点的集合，而|EF|=2，因此在复平面上，满足|z+i|+|z﹣i|=2的复数z对应的点Z的集合表示的是：线段，∴复数在平面上对应的图形是线段．故选：D．【点评】本题考查了复平面上的两点间的距离公式及其复数的几何意义、点的集合，属于基础题．14．已知长方体切去一个角的几何体直观图如图1所示给出下列4个平面图如图2：则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）（3）C．（1）（3）（2）D．（2）（4）（1）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据几何体的直观图得到三视图．【解答】解：由于几何体被切去一个角，所以正视图、俯视图以及侧视图的矩形都有对角线；关键放置的位置得到C；故选C．【点评】本题考查了几何体的三视图；属于基础题．15．已知2sinx=1+cosx，则=（）A．2 B．2或C．2或0 D．或0【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】推导出cot==，由此能求出结果．【解答】解：∵cot===，2sinx=1+cosx，∴当cosx=﹣1时，sinx=0，无解；当cosx≠﹣1时，cot==2．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数关系式、二倍角公式、降幂公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．16．已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），则a4的取值范围是（）A．（3，8）B．（2，16）C．（4，8）D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q，根据a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），可得可得q的取值范围，再利用a4=a3q，即可得出．【解答】解：设公比为q，则∵a1∈（0，1），a2∈（1，2），a3∈（2，4），∴∴③÷②：1＜q＜4④③÷①：或q＞⑤由④⑤可得：＜q＜4∴a4=a3q，∴a4∈．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分80分）17．（14分）（2017•浦东新区二模）如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O﹣xyz的原点，半径为1，且球O分别与x，y，z轴的正半轴交于A，B，C三点．已知球面上一点．（1）求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；L*：球面距离及相关计算．【分析】（1）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离；（2）求出平面ABC的法向量，即可求直线CD与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）由题意，cos∠COD==，∴∠COD=，∴D，C两点在球O上的球面距离为；（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（，，），∴平面ABC的法向量为=（，，），∵=（0，﹣，﹣），∴直线CD与平面ABC所成角的正弦=||=，∴直线CD与平面ABC所成角的大小为．【点评】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2017•浦东新区二模）某地计划在一处海滩建造一个养殖场．（1）如图1，射线OA，OB为海岸线，，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一个△POQ的养殖场，问如何选取点P，Q，才能使养殖场△POQ的面积最大，并求其最大面积．（2）如图2，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB（点A，B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1；方案二：围成弓形CDE（点D，E在直线l上，C是优弧所在圆的圆心且），其面积为S2；试求出S1的最大值和S2（均精确到0.01平方千米），并指出哪一种设计方案更好．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB，利用基本不等式的性质即可得出最大值．方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．可得S2=+，即可比较出S1与S2的大小关系．【解答】解：（1）设OP=a，OQ=b，则12=a2+b2﹣2abcos≥2ab+ab，可得ab，当且仅当时取等号．S=absin≤=．∴当且仅当时，养殖场△POQ的面积最大，（平方千米）（2）方案一：设OA=x（0＜x＜1），则OB=1﹣x．则S1=（1﹣x）sin∠AOB≤=，当且仅当x=时取等号．∴（平方千米），方案二：设半径r（0＜r＜1），则=1．解得r=．∴S2=+≈0.144（平方千米）∴S1＜S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好．【点评】本题考查了基本不等式的性质、三角形面积计算公式、余弦定理、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（18分）（2017•浦东新区二模）已知双曲线，其右顶点为P．（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线l过点P，其法向量为=（1，﹣1），若在双曲线C上恰有三个点P1，P2，P3到直线l的距离均为d，求d的值．【考点】KM：直线与双曲线的位置关系．【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）求出与直线l平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，P（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，P到渐近线的距离d==，∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=；（2）由题意，直线l的斜率为1，设与直线l平行的直线方程为y=x+m，代入双曲线方程整理可得x2+8mx+4m2+12=0，△=64m2﹣4（4m2+12）=0，可得m=±1，与直线l：y=x+2的距离分别为或，即d=或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档题．20．（16分）（2017•浦东新区二模）若数列{A n}对任意的n∈N*，都有（k≠0），且A n≠0，则称数列{A n}为“k级创新数列”．（1）已知数列{a n}满足且，试判断数列{2a n+1}是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，若b1=10，求数列{b n}的前n 项积T n；（3）设α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），令，在（2）的条件下，记数列{c n}的通项，求证：c n+2=c n+1+c n，n∈N*．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】（1）数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：，可得a n+1+1=+1=≠0，即可证明．（2）正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，．b n===…==．又b1=10，利用指数的运算性质可得数列{b n}的前n项积T n=．（3）α，β是方程x2﹣x﹣1=0的两个实根（α＞β），可得β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n}的通项=βn﹣1×=．【解答】（1）解：数列{2a n+1}是“2级创新数列”，下面给出证明：∵，∴2a n+1+1=+1=≠0，∴数列{2a n+1}是“2级创新数列”．（2）解：∵正数数列{b n}为“k级创新数列”且k≠1，∴．∴b n====…==．又b 1=10，∴数列{b n }的前n 项积T n =b n b n ﹣1•…•b 1==．（3）证明：α，β是方程x 2﹣x ﹣1=0的两个实根（α＞β）， ∴β2﹣β﹣1=0，α2﹣α﹣1=0．在（2）的条件下，记数列{c n }的通项=βn ﹣1×=βn ﹣1×=．∴c n +2=．c n +1+c n =+．∴c n +2﹣（c n +1+c n ）==0．∴c n +2=c n +1+c n ．【点评】本题考查了数列递推关系、指数的运算性质、一元二次风吹草动根与系数的关系、作差法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•浦东新区二模）对于定义域为R 的函数g （x ），若函数sin [g （x ）]是奇函数，则称g （x ）为正弦奇函数．已知f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0．（1）已知g （x ）是正弦奇函数，证明：“u 0为方程sin [g （x ）]=1的解”的充要条件是“﹣u 0为方程sin [g （x ）]=﹣1的解”；（2）若f （a ）=，f （b ）=﹣，求a +b 的值；（3）证明：f （x ）是奇函数． 【考点】3P ：抽象函数及其应用．【分析】（1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；（2）由f （x ）是单调递增的正弦奇函数，f （a ）=，f （b ）=﹣，可得a ，b互为相反数，进而得到答案．（3）根据f （x ）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，f （0）=0得到：f （﹣x）=﹣f（x），可得结论．【解答】证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，故sin[g（x）]是奇函数，当：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u0）]=1，则sin[g（﹣u0）]=﹣1，即“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；当：“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”时，sin[g（﹣u0）]=﹣1，则sin[g（u0）]=1，即“u0为方程sin[g（x）]=1的解”；故：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；综上可得：“u0为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“﹣u0为方程sin[g（x）]=﹣1的解”；解：（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=，f（b）=﹣，则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1﹣1=0，则a=﹣b，则a+b=0证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．故sin[f（﹣x）]+sin[f（x）]=0，即sin[f（﹣x）]=﹣sin[f（x）]=sin[﹣f（x）]，f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，充要条件，难度中档．。
2018年上海市静安区高考数学二模试卷含详解
2018年上海市静安区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是．2．（4分）若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数的定义域为．4．（4分）在从4个字母a、b、c、d中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d事件的概率是．5．（4分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h= cm．6．（4分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为．7．（5分）方程的解集为．8．（5分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，﹣4）（a＞0）到焦点F的距离为5．则该抛物线的标准方程为．9．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为4，2，则输出q的值为．（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5*2=10）10．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且，，则a3的值为．11．（5分）在直角三角形ABC中，，AB=3，AC=4，E为三角形ABC内一点，且．若，则3λ+4μ的最大值等于．12．（5分）已知集合A={（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）能反映一组数据的离散程度的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差14．（5分）若实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根α，β，且|α﹣β|=3，那么实数m的值是（）A．B．1C．﹣1D．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．C．D．016．（5分）已知函数f（x）=x3+x+10，实数x1，x2，x3满足x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定大于30B．一定小于30C．等于30D．大于30、小于30都有可能三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）某峡谷中一种昆虫的密度是时间t的连续函数（即函数图象不间断）．昆虫密度C是指每平方米的昆虫数量，这个C的函数表达式为这里的t是从午夜开始的小时数，m是实常数，m=C（8）．（1）求m的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻．18．（14分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为F1和F2，椭圆Γ上一点到F1和F2的距离之和为12．圆的圆心为A k．（1）求△A k F1F2的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆．问：是否存在实数k使得圆A k包围椭圆Γ？请说明理由．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．20．（16分）已知数列{a n}中，．又数列{b n}满足：．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若数列{b n}的各项皆为正数，，设T n是数列{c n}的前n和，问：是否存在整数a，使得数列{T n}是单调递减数列？若存在，求出整数a；若不存在，请说明理由．21．（18分）设函数f（x）=|2x﹣7|+ax+1（a为实数）．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥0；（2）若当时，关于x的不等式f（x）≥1成立，求a的取值范围；（3）设，若存在x使不等式f（x）≤g（x）成立，求a的取值范围．2018年上海市静安区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，1，2，3，4，5}，则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是{0，2，4} ．【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据Venn图判断元素和集合的关系进行求解即可．【解答】解：由Venn图得元素是属于B但不属于A的元素构成，即B∩∁U A，∵A={1，3，5，7，9}，B={0，1，2，3，4，5}，∴B∩∁U A={0，2，4}，故答案为：{0，2，4}【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键．2．（4分）若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），则|z|=．【考点】A8：复数的模．【专题】35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z（1﹣i）（1+i）=2i（1+i），∴2z=2（i﹣1），∴z=i﹣1．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）函数的定义域为[﹣1，+∞）．【考点】4K：对数函数的定义域．【专题】11：计算题．【分析】根据对数的真数大于0，被开方数大于等于0，直接求出x的范围即可．【解答】解：应该满足，即2+x≥1，解得x≥﹣1所以函数的定义域为[﹣1，+∞）故答案为：[﹣1，+∞）【点评】本题考查了对数函数定义域的求法，属于基础题型．4．（4分）在从4个字母a、b、c、d中任意选出2个不同字母的试验中，其中含有字母d事件的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数n=，其中含有字母d的事件有m==3，由此能求出其中含有字母d事件的概率．【解答】解：在从4个字母a、b、c、d中任意选出2个不同字母的试验中，基本事件总数n=，其中含有字母d的事件有m==3，∴其中含有字母d事件的概率是p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=4cm．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】由三视图可知，几何体的底面为直角三角形，且一边垂直于底面，再根据公式求解即可．【解答】解：根据三视图可知，几何体的体积为：V=又因为V=20，所以h=4故答案为：4【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及公式的利用，是基础题．6．（4分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为（﹣4，﹣3，2）．【考点】JH：空间中的点的坐标．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5H：空间向量及应用．【分析】推导出DA=4，AB=3，DD1=2，从而B（4，3，0），D1（0，0，2），由此能求出的坐标．【解答】解：以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴DA=4，AB=3，DD1=2，∴B（4，3，0），D1（0，0，2），∴的坐标为（﹣4，﹣3，2）．故答案为：（﹣4，﹣3，2）．【点评】本题考查向量的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）方程的解集为．【考点】H7：余弦函数的图象．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果．【解答】解：满足方程的解集为：令2x=（k∈Z），解得：x=（k∈Z），故解集为：{x|x=（k∈Z）}．故答案为：{x|x=（k∈Z）}【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用．8．（5分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a，﹣4）（a＞0）到焦点F的距离为5．则该抛物线的标准方程为x2=﹣4y．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，设抛物线的方程为x2=﹣2py，求出准线方程，由抛物线的定义分析可得﹣（﹣4）=5，解可得p的值，将p的值代入抛物线的方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，要求抛物线的焦点在y轴上，且开口向下，设其方程为x2=﹣2py，则其准线方程为y=，又由抛物线上一点M（a，﹣4）（a＞0）到焦点F的距离为5，则M到准线的距离也为5，则有﹣（﹣4）=5，解可得p=2，则抛物线的方程为x2=﹣4y；故答案为：x2=﹣4y．【点评】本题考查抛物线的定义，涉及抛物线的定义，关键是求出抛物线的准线方程．9．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为4，2，则输出q的值为50．（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5*2=10）【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的q，i的值，当i=﹣1时，满足条件跳出循环，即可得解．【解答】解：初始值n=4，x=2，程序运行过程如下表所示：q=1，i=3q=1×2+3=5，i=2，不满足条件i＜0，执行循环体，q=5×2+2=12，i=1，不满足条件i＜0，执行循环体，q=12×2+1=25，i=0，不满足条件i＜0，执行循环体，q=25×2+0=50，i=﹣1，此时，满足条件i＜0，退出循环，输出q的值为50．故答案为：50．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且，，则a3的值为．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知利用等比数列的求和公式可求q，进而由已知可求首项，利用通项公式即可计算得解．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，设其公比为q，且，∴==﹣，可得：8q6+19q3﹣27=0，∴解得：q3=﹣，或1，解得：q=﹣，或1（舍去），∵，∴a1q3﹣a1q=﹣a1+a1=﹣，解得：a1=1，∴a3=a1q2=1×（﹣）2=．故答案为：．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式和通项公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．11．（5分）在直角三角形ABC中，，AB=3，AC=4，E为三角形ABC内一点，且．若，则3λ+4μ的最大值等于1．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】4M：构造法；5A：平面向量及应用．【分析】先由直角三角形建系，以两直角边做基底，由边长关系，将向量问题平方转化为模的问题，经过三角代换，转化为三角函数最值问题．【解答】解：根据题意以和为基底建立坐标系，Rt△ABC中，，AB=3，AC=4，E为三角形ABC内一点，且；．若，∴||2=（3λ）2+（4μ）2=∴∴3λ+4μ=（sinθ+cosθ）=sin（θ+φ）当θ+φ=时，3λ+4μ取到最大，最大值是1，故答案为：1．【点评】本题考查向量的基底思想，以及函数中三角代换的处理方法，属于中档题．12．（5分）已知集合A={（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为．【考点】1B：空集的定义、性质及运算．【专题】59：不等式的解法及应用；5B：直线与圆；5J：集合．【分析】集合A={（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，可得集合A={（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a ﹣1）2=a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．由A∩B≠∅，利用点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：∵集合A={（x，y）|（x+y）2+x+y﹣2≤0}，∴集合A={（x，y）|﹣2≤x+y≤1}，，其（x﹣2a）2+（y﹣a﹣1）2=a2﹣，由a2﹣≥0，解得a或a≤0．在此条件下，表示以（2a，a+1）为圆心，为半径的圆及其圆内的点．其圆心在直线x﹣2y+2=0上．由A∩B≠∅，①a≤0时，由≤，解得：≤a≤．②a时，由≤，解得：a∈∅．综上可得：实数a的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、不等式性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）能反映一组数据的离散程度的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差【考点】BC：极差、方差与标准差．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用众数、平均数、中位数、方差的定义及意义直接求解．【解答】解：众数代表一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的集合趋势，中位数可将数值集合划分为相等的上下两部分，方差能反映一组数据的离散程度，综上，能反映一组数据的离散程度的是方差．故选：D．【点评】本题考查方差的概念，考查基础知识、基本概率，考查基本定义的掌握程度，是基础题．14．（5分）若实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根α，β，且|α﹣β|=3，那么实数m的值是（）A．B．1C．﹣1D．【考点】A5：复数的运算．【专题】34：方程思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根α，β，解得：z=，利用|α﹣β|=3，即可得出．【解答】解：实系数一元二次方程z2+z+m=0有两虚数根α，β，解得：z=，则|α﹣β|==3，解得m=．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）A．B．C．D．0【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据顶点的纵坐标求A，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出θ的值，从而求得f（x）的解析式，进而求得f（）的值【解答】解：由图象可得A=，=﹣（﹣），解得T=π，ω==2．再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），故f（）=sin（﹣）=sin=，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=x3+x+10，实数x1，x2，x3满足x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定大于30B．一定小于30C．等于30D．大于30、小于30都有可能【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，设g（x）=f（x）﹣10=x3+x，分析可得g（x）为奇函数，且在R上为增函数，又由x1+x2＜0，即x1＜﹣x2，结合函数g（x）的奇偶性与单调性综合可得g（x1）+g（x2）＜0，则有f（x1）﹣10+f（x2）﹣10＜0，变形可得f（x1）+f（x2）＜20，同理可得f（x2）+f（x3）＜20，f（x1）+f（x3）＜20，将3个式子相加，即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣10=x3+x，则有g（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣g（x），函数g（x）为奇函数，又由g（x）=x3+x，则g′（x）=3x2+1＞0，则g（x）在R上为增函数，若x1+x2＜0，则x1＜﹣x2，则有g（x1）＜g（﹣x2）=﹣g（x2），即有g（x1）+g （x2）＜0，则有f（x1）﹣10+f（x2）﹣10＜0，变形可得f（x1）+f（x2）＜20，同理可得：f（x2）+f（x3）＜20，f（x1）+f（x3）＜20，三个式子相加，可得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜30；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析g（x）=f（x）﹣10的奇偶性与单调性．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）某峡谷中一种昆虫的密度是时间t的连续函数（即函数图象不间断）．昆虫密度C是指每平方米的昆虫数量，这个C的函数表达式为这里的t是从午夜开始的小时数，m是实常数，m=C（8）．（1）求m的值；（2）求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】38：对应思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据解析式计算C（8）即可；（2）令cos（（t﹣8））=0，求出t的值即可得出结论．【解答】解：（1）m=C（8）=1000（cos0+2）2﹣990=8010．（2）当时，C达到最小值，令，又t∈[8，16]，解得t=10或14．所以在10：00或者14：00时，昆虫密度达到最小值10．【点评】本题考查了分段函数值的计算，函数的最值计算，属于中档题．18．（14分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，长轴在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，两焦点分别为F1和F2，椭圆Γ上一点到F1和F2的距离之和为12．圆的圆心为A k．（1）求△A k F1F2的面积；（2）若椭圆上所有点都在一个圆内，则称圆包围这个椭圆．问：是否存在实数k使得圆A k包围椭圆Γ？请说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据题意，分析可得a、b的值，即可得椭圆的标准方程，求出圆的圆心坐标，分析可得答案；（2）根据题意，分k≥0与k＜0两种情况讨论，分析可得总有点在椭圆外部，结合题目中圆包围椭圆的定义即可得结论．【解答】解：（1）设椭圆方程为：，椭圆Γ上一点到F1和F2的距离之和为12，则有2a=12，即a=6，又由，长轴长是短轴长的2倍，即a=2b，则b=3，则椭圆方程为：，圆心A k（﹣k，2），所以，△A k F1F2的面积；（2）当k≥0时，将椭圆椭圆顶点（6，0）代入圆方程得：62+02+12k﹣0﹣21=15+12k ＞0，可知椭圆顶点（6，0）在圆外；当k＜0时，（﹣6）2+02﹣12k﹣0﹣21=15﹣12k＞0，可知椭圆顶点（﹣6，0）在圆外；所以，不论k取何值，圆A k都不可能包围椭圆Γ．【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与BM所成角的余弦值．（2）求出平面ABM的一个法向量和平面PAC的一个法向量，利用向量法能求出平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．=（﹣2，0，4），=（01，﹣1，2），cos＜，＞===．故直线AP与BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）=（﹣2，1，0），=（﹣1，﹣1，2）．设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=2，得=（2，4，3）．又平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜＞===．故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．…（10分）【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．20．（16分）已知数列{a n}中，．又数列{b n}满足：．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是单调递增数列，求实数a的取值范围；（3）若数列{b n}的各项皆为正数，，设T n是数列{c n}的前n和，问：是否存在整数a，使得数列{T n}是单调递减数列？若存在，求出整数a；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用已知条件求出数列是等比数列．（2）利用数列的单调性，求出数列的参数的范围．（3）利用假设法进行说明【解答】证明：（1）已知：，=，=，即：（3分）又：，由，则b1≠0所以{b n}是以为首项，2为公比的等比数列．解：（2），所以，若{a n}是单调递增数列，则对于n∈N*，a n+1﹣a n＞0恒成立=，=（8分）由：，得：对于n∈N*恒成立由于单调递增，且，，所以，又，则．解：（3）因为数列{b n}的各项皆为正数，所以，则．，若数列{T n}是单调递减数列，则T2＜T1，即﹣2log2（a+）﹣1＜﹣log2（a+），可得log2（a+）＞﹣1，即a+＞，即a＞0，且c n＜0时，a＞0成立．存在正整数a，使得数列{T n}是单调递减数列．【点评】本题考察：数列的通项公式的求法及应用，数列的单调性的应用，相消法的应用．21．（18分）设函数f（x）=|2x﹣7|+ax+1（a为实数）．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥0；（2）若当时，关于x的不等式f（x）≥1成立，求a的取值范围；（3）设，若存在x使不等式f（x）≤g（x）成立，求a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．【分析】（1）由f（x）≥0得|2x﹣7|≥x﹣1，解得即可，（2）由解得0＜x＜1，再分类讨论，即可求出a的取值范围，（3）先化简g（x）=2|x﹣1|+a（x+1），即可得到|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1≤a，构造函数h（x）=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，求出函数的最值即可，【解答】解：（1）由f（x）≥0得|2x﹣7|≥x﹣1，即或解不等式得．（利用图象求解也可）（2）由解得0＜x＜1．由f（x）≥1得|2x﹣7|+ax≥0，当0＜x＜1时，该不等式即为（a﹣2）x+7≥0；当a=2时，符合题设条件；下面讨论a≠2的情形，当a＞2时，符合题设要求；当a＜2时，，由题意得，解得2＞a≥﹣5；综上讨论，得实数a的取值范围为{a|a≥﹣5}；（3）由，代入f（x）≤g（x）得|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1≤a，令h（x）=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，则，，∴h（x）min=﹣4，若存在x使不等式f（x）≤g（x）成立，则h（x）min≤a，即a≥﹣4．【点评】本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．。
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2016年静安区高考数学(文科)二模卷(试卷满分150分 考试时间120分钟)考生注意：本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清 楚.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1•已知全集U = R,集合A = ｛x|(兀一 1)(兀一4),, 0],则集合A 的补集^A= __________2. __________________________________ 指数方程4' - 6x 2'-16 = 0的解是 ___________________________ .3. 已知无穷等比数列血｝的首项马=18,公比g =—丄,则无穷等比数列｛碍｝各项的和是 ______ .4. 函数y= cos2A ; x Z[0,兀]的递增区间为 ____________ ・5. ________________________________________ 算法流程图如图所示，则输出的力值是 _____________________ •6. 抛物线兀上一点到焦点的距离为1,则点的横坐标是 ___________ .7. _________________________________________________ 设函数f(x)= \2x-3\，则不等式/(x)<5的解集为 _________________________8. 关于&的函数/(^) = COS 2^-2XCOS ^-1的最大值记为M(x),则M(x)的解析式为 __________ .9. ______________________ 如图所示，是一个由圆柱和球组成的儿何体的三视图，若a = 2,b = 3, 则该几何体的体积等于 •10. __________________ 圆心在直线2x-y-7=0上的圆C 与y 轴交于4(0, -4)、8(0, -2)两点, 则圆C 的方程为 __________ .11•己知/MBC 外接圆的半径为2 ,圆心为0,且+ = , AB = Adx ...0,412若不等式组兀+ 3)，...4,所表示的平面区域被直线y =也+ ；分为面积相等的两部分，则 3x+y,,4k 的值是 ________ .13. ____________________ 掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n,贝IJ 复数为虚数单 位)为实数的概率为 .(第5题图) b b正视图侧视图 俯视图14.设关于x的实系数不等式(av + 3)(x2 -/?)… 0对任意xe [0,+8)恒成立，则a2b = __________ .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15.(1 + X)4的展开式中/ 的系数为( )A. 1B.4C.6D.121&在△A3C中，ZA、ZB、ZC所对的边分别为a、b、c,若△ABC的面积S =-（b2+ c2- a2）,4ZA( \的弧度数为7U A.—3兀B.—671C. 一2兀D.-417 .若函数F(x) = /(X)+ A2为奇函数,且g(x)= f(x) + 2,已知/(I) =1,则g（一1）的值为1 丿A.1B. —1C. 2D.-2x+y-2<0,18.已知实数兀y满足< x-y<0,则z=|x + 4y| 的最大值为x>-3,( )A. 17B. 15C. 9D. 5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）.求：正六棱锥P-ABCDEF的体枳和侧面积.（第19题图）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.2 2已知斥，人分别是椭圆C:二+与二1（其中a>b>0）的左、右焦点，椭圆C过点CT(-73,1)且与抛物线才=_8兀有一个公共的焦点.⑴求椭圆C的方程；⑵过椭圆C的右焦点且斜率为［的直线/与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度.21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，A、B是海岸线0M、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON 的距离分别为2km、響km.测得tanZMON = -3, OA = 6km.以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系•艘游轮以18^km/小时的平均速度在水上旅游线AB 航行(将航线看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q).⑴问游轮自码头A沿血方向开往码头B共需多少分钟?⑵海中有一处景点P (设点P在兀oy平面内，PQ丄0M，且PQ = 6km )游轮无法靠近.求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数y = /(x),若在区间/内有且只有一个实数C(CG Z),使得/(c) = 0成立，则称函数歹=/(兀)在区间/内具有唯一零点.⑴判断函数/(x) = log2|^|在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由;(¥，*), n=(sin2x,co S2x), 口0,町，证明张)=頑厉+ 1 在(2)已知向量加区间(0,兀)内具有唯一零点；⑶若函数/(x) = x2 + hwc + 2m在区间(-2,2)内具有唯一零点，求实数m的取值范围.23.(本小题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项为正的数列仏｝是等比数列，且％=2, 6Z5=32；数列仇｝满足：对于任意nt N*,有a｝b｝ + a2b2 + •••+ a n b n = (n -1) - 2,,+| + 2.⑴求数列仏“｝的通项公式；(2)求数列血｝的通项公式;⑶在数列伉｝的任懣相邻两项畋与eg Z间插入k个(-\)k b k(ke N*)后,得到一个新的数列｛c“｝.求数列｛c“｝的前2016项之和.2016年静安区高考数学(文科)二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集.【参考答案】(_oo,l)U(4,+oo)【试题分析】A = ｛x\ (x-l)(x-4)^0｝=｛x\,所以6A=(—8,1)U(4,+B),故答案为(—8,l)U(4,+8).2. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数方程和对数方程.【参考答案】x = 3【试题分析】令V = r(r>0),则有八_6『一16二0 ,所以r = 8或『二一2 (舍去)，即才=&x = 3 ,故答案为x = 3.3. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知 识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】12【试题分析】因为数列的公比gVl ,故数列存在极限，4. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质.【参考答案】［pK ］TT 【试题分析】因为y = cos2x 的递増区间为［―兀+ 2加,2"伙^ Z ，所以xw ［—二+TT TT又因为XE ［0,7C ］，所以XG ［-,K ］，故答案为［―,兀］.5. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数基本知识.【知识内容】方程与代数/算法初步/程序框图.【参考答案】5【试题分析】执行第一次，k = l,k 2-4k = -3<0 ,不满足判断条件，继续循环；则有 lim S n = lim〃T8 HT8 =12 故答案为12.18x[l-(-|)w ]k = 2y k 2-4k = -4<0，不满足判断条件，继续循环；k = 3,k2_4k = -3<0，不满足判 断条件，继续循环；k = 4,k 2-4k = 0，不满足判断条件，继续循环；£ = 5,/-4比=4>0 , 满足判断条件，输出k ,故答案为5.6. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.3【参考答案】-4【试题分析】因为y 2=x ,则抛物线的准线方程为x = -~，因为抛物线上的点到准线的距 41 3离与该点到焦点的距离相等，所以设该点的横坐标为如，则有x 0+- = l,^0=-,故答案 为2. 47. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/含有绝对值的不等式的解法.【参考答案】{x|-l<x<4}【试题分析】/(x)<5,即一5<2兀一3<5，所以-l<x<4，故答案为{x|-l<x<4}.8. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.【参考答案】M(x) = \「 °［一2兀 x<0【试题分析】f(ff) = cos 2 0-2x cos 0-1 = (cos 0-x)2-x 2 -1 , 因为 COS0W[—1,1]，所以当 x20 时，M(x) = (-i-x)2-x 2-\ = 2x ; 故答案为“TDo9. 【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.当兀<0 , M(x) = (l-x)2-x 2-i 2x,心 0-2x, x<0【知识内容】图形与几何/投影与画图/三视图；图形与几何/简单几何体的研究/柱体，球. 【参考答案】—3【试题分析】由图形的三视图可知球的半径为纟，圆柱的高b = 3 ,则几何体的体积2V丸+%)柱=快歹+心歹“扣1 + 3"平，故答案为晋.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的和基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程与一般方程.【参考答案】(兀一2)2+0 + 3)2 =5【试题分析】设圆的标准方程为(x-a)2^-(y-h)2=r2,因为点4(0,—4),B(0,—2)满足圆的方程，则有«2+(-4-Z?)2 = r2® , a2+(-2-b)2 = r②，由①•②得，b = —3 ,又因为圆心在直线2x-y-7 = 0上，故a = 2，贝U (x-2)2+(y + 3)2 = r2，把A(0,—4)代入得r2=5，所以圆的标准方程为(x-2)2+(y + 3)2=5，故答案为(x-2)2+(y+ 3)2 = 5.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】平面向量/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】12【试题分析】如图，取BC中点D ,联结的则AB + AC = 2AD，又因为AB^-AC = 2AO/ 所以O 为BC的中点，因为阿| = |码，所以是等边三角形,ZC球，因为△ ABC 外接圆的半径为2 ,所叫词=4,|列=2巧,所以鬲•质= 4x2Vj><¥ = 12,故答案为12.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/二次一次不等式所表示的平面区域.7 【参考答案】|4【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图（△/!〃€：）,直线）=也+亍恒过ZVIBC 的顶兀 + 3〉' = 4, c /侍 3兀+ y = 413. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.［知识内容］数据整理与概率统计/概率与统计初步/等可能事件的概率； 数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】i6【试题分析】复数Z =（加+ m ）（n - mi ） = 2mn + （n 2 - m 2）i 为实数，则m = n .掷两颗骰子, 其向上的点数的组合有36种，其中相等的组合有6种，故事件〃复数（加+ /7i ）S-加）为实 数啲概率为丄.614. 【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思 想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质； 函数与分析/指数函数与对数函数/简单的幕函数、二欠函数的性质.【参考答案】9【试题分析】令/⑴二祇+ 3,g （X ）= F_/?,在同一坐标系下作出两函数的图像：① 如图⑴，当g （x ） = x 2 -b 的在x 轴上方时，方WO , /（x ）＞0，但/（兀） = ax + 3W0对 XG ［0,+oo ）却不恒成立; 点人要使得其平分△ABC 的面积，则其过线段AB 的中点D,由 B(l,l),A(0,4),所以硝為)② 如图⑵f b>0,令g （x ） = 0得x = 4b ，令/（兀）=处+ 3 = 0得x = --，要使得不等式 a （6zx4-3）（x 2 — b ）WO 在xw ［0,+°°）上恒成立,只需= —,b = — ,ci~b — 9.综上，a 2b = 9 ,古攵答案为9.二、选择题15. ［测量目标］数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关整理与概率统计的基 本知识.［知识内容］整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【正确选项】C【试题分析】(1 + %)4展开式的第r 项为C ；F 所以含%2的为第3项其系数为C ：二6, 故答案为C.16. 【测量目标】数学基本知识和基本技能解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【正确选项】D【试题分析】因为△ ABC 的面积S =-bcsin A = -(b 2+c 2-a 2) = - be cos A ,所以 2 4 2tan A = \, A =—. 417. 【测量目标］数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知 识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；【正确选项】B【试题分析】因为/⑴=1，所以F ⑴承1) + 1 = 2，又因为F(x) = /(x) + x 2为奇函数， 所以F(-1) = _F(1) = -2 = .f(-1)+1，所以/(_1)二_3 g_l)= f(_l)+2=_l,故答案为 B.18. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】方程与代数/简单的线性规划/简单的线性规划.【正确选项】A第14题图⑴ apto8【试题分析】不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分),其中直线x +4y = 0将其分jx+y — 2 = 0, ［x — y = 0,为几S2的两部分，联立\ 得A(-3,5)，联立\ 得3(-3, —3),在§上，［兀=一3 ［x = -3直线z = x + 4y在A点有最大值，此时z = -3 + 4x5 = 17，在S?上，直线z =-兀-4y在B点有最大值,此时z = 3-4x(-3) = 15 ,所以z =|兀+4y |的最大值为17 ,故答案为A.三、解答题19.(本题满分12分)【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/球、锥体.【参考答案】设底面中心为O,则PO丄OM, ................ 2分OM丄AF, PM丄4F, 9：OA=OP=2f：・OM=羽,S底=6x—X2X yj3=^y/3 .V = ix6V3x2 = 4V3..3.............................. PM = V4 + 3 = V7S侧=6x—x 2 x >/7 =6>/7 .220.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【测量目标】(1 )数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.(2 )运算能力/能够根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径.【知识内容】(1 )图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.(2 )图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.【参考答案】(1)抛物线y2 = -8x的焦点为(-2,0).所以椭圆C:二+与=1的左焦点为(-2,0), c = 2 , h2=a2-4 .................................. 2分cr tr4F 中点为M,连结PO、OM、PM. A0,HEM6212分第19题图故椭圆C 的方程为令+分1•…6分y = x-2联立方程组］兀2 2 消去y 并整理得2兀2 _ 6x + 3 = 0 ............................... 10分6 2设A （西，yj, S （x 2,y 2）,故西+吃=3,西总=_• ........ 口 分 则I AB |= J1 +疋|西—兀？ |= J （1 +疋）［（舛+吃）2 — 4再勺］=品 14分21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【测量目标】（1 ）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、 生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2 ）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其 他学科的问题，并能解释其实际意义.【知识内容】（1 ）图形与几何/平面直线的方程/点到直线的距离、两条相交直线的交点和夹 角.（2）图形与几何/平面直线的方程/两条相交直线的交点和夹角、两条直线的平行关系与垂 直关系.【参考答案】（1）由已知得：A （6,0）,直线ON 的方程为丿=-3兀， . 1分 设 0(兀,2)(兀0>0),由卩］r N = 7\_1()及图兀0〉0 得兀0=4, 2(4,2),........ 3 分 V10 5・•・直线AQ 的方程为y - -（x - 6）,即x + y-6 = 0 ,...... 5分:二即心为， …•6分 .•・AB = 7(-3 - 6)2 + 92 = 9>/2 ,即水上旅游线AB 的长为9逅km .游轮在水上旅游线自码头A 沿殛方向开往码头B 共航行30分钟时间 ....... 8分（2）解法一：点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ................. 10分 由（1 ）知直线的方程为x+y-6 = 0 , •••P （4,8）,则直线PC 的方程为 兀_〉，+ 4 = 0, 12 分所以解直线的 和直线PC 的方程组，得点C 的坐标为（1, 5） .................. 14分 解法2：设游轮在线段A3上的点C 处，则 AC = ^yj2t f 0W/W 丄，.. 10 分2 ・•・ C(6-18r,18r),又存右i 得 a 4- 8/ + 12 = 0, 解得a2 =6 （/=2舍去）, （2）直线/的方程为y = x-2................... 7分P(4,8),・•・ PC 1=(2-18r)2 +(18r-8)2= 18(36?-20/)+ 68, OWfW*, ・・・0W/W 丄时, 2当心丄v 丄时，离景点p 最近，代入C(6-18r,18r)得离景点P 最近的点的坐标为⑴5). 18 214分22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分6分.【测量目标】(1 )数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本 知识.(2 )逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的 正确性.(3)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的 解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】(1 )函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数 与对数函数/对数函数的性质与图像.(2 )函数与分析/三角函数/函数y = Asin(oc + °)的图像和性质;图形与几何/平面向量的 坐标表示/平面向量的数量积.(3)函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质；函数与分析/指数函数与对数函数/ 简单的需函数、二次函数的性质.【参考答案】⑴ 函数/(^) = log 2|x|在定义域内不具有唯一零点 ....... 2分因为当x = ±l 时，都有/(±1) = 0； .........4 分—―► 5/3 | 71 因 为 m -n +1 =——sin 2x +—cos 2x +1 = sin(2x + —) + 1 2 2 6TTf(x) = sin(2x + —) +1, .......... 7 分62 2 ___________________________________内有且只有一个实数一兀,使得= 0成立，因此/(x) = m -z? +1在开区间(0,兀)内具 有唯一零点 ...... 10分⑶ 苗数f(x) = x 2+2nvc + 2m 在开区间(-2,2)内具有唯一零点，该二次函数的对称轴 为x =-加…以下分-力与区间(-2,2)的位置关系进行讨论.x x =Z ＞；因为 AC\I = 扌兀”所以在区间(0,兀) 12分 /(%) = 0的解集为A 二①当—加W — 2即加三2时,/(X )二F + 2mx +2m 在开区间(-2,2)是增函数，只需② 当-2 < -m < 2即—2<加<2时,若使函数在开区间(-2,2)内具有唯一零点,2m-m 2<09所以m < 0.分三种情形讨论:当加=0时，符合题意;当0 <m<2时,空集;当—2 v 加v 0时，只需]°，解得—2 v 加W —? ............... 14分 /(2)W0 3③ 当一加22即mW_2吋，/(x) = x 2 +2mr+2〃7在区间(-2,2)是减函数，只需心)>°,解得尺七/⑵< 02综上讨论，实数m 的取值范围是加W ——或〃7 = 0或加>2 .................. 16分323. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分8分.【测量目标】(1 )数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本 知识.(2) 分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的 解题策略，解决有关数学问题.(3) 数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究， 寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明.【知识内容】(1 )方程与代数/数列与数学归纳法/等比数列.(2 )方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.(3 )方程与代数/数列与数学归纳法/数列的有关概念.【参考答案】([)由6/5=32得，q = 2 ........... 2分 ci n = 2" ............. 4 分(2) = (1 - 1)22 4-2 = 2,得$=1 ..................... 5 分当 吋，a n b n =(绚勺 + …+ 勺仇)一(4% + …+ a n _}b n _x ) = n- 2" .................... 8 分丁•是仇=n ........... 10分/(-2) < 0/(2) > 0解得m> 2. .......... 12分(3)设数列仏｝的第k项是数列亿｝的第m k项，即a k =E ....... 12分当kM2时,m k =比+ [1 + 2+・・・+伙一1)]= 笃加62 = 62；63 = 1953, m63 =2016 , c20l6 = a63, c2015 =(-1)62 «/?62 ...... 14 分设S”表示数列｛c n｝的前n项之和.则S2OI6 =(a\ +a2+…+。
上海市静安区高三数学4月教学质量检测(二模)试题-人教版高三全册数学试题
静安区2015学年第二学期高三年级高考模拟文理科数学试卷（试卷满分150分考试时间120分钟） 2016.4 考生注意：本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.（文）已知全集，集合，则集合的补集 . （理）计算： _.2. （文）指数方程的解是 .（理）设复数满足（为虚数单位），则 .3. （文）已知无穷等比数列的首项，公比，则无穷等比数列各项的和是 .（理）若原点和点在直线的两侧，则的取值范围是．4．函数的递增区间为 .5．算法流程图如图所示，则输出的值是 .6. 抛物线上一点到焦点的距离为1，则点的横坐标是．7. （文）设函数，则不等式的解集为 .（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为 .8.关于的函数的最大值记为，则的解析式为 .9．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若，则该几何体的体积等于．（理）如图，正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为 .10. （文）圆心在直线2x y7=0上的圆C与y轴交于A(0,4)、B(0, 2) 两点，则圆C的方程为 .（理）已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的焦距的取值范围为 .11.已知△ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则 .12. （文）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 .（理）若以过点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为 .13. （文）掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)(i为虚数单位)为实数的概率为 .（理）已知数列满足，，则数列的前项和的最大值为 .14. 设关于的实系数不等式对任意恒成立，则 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（文）的展开式中的系数为（）A. 1B. 4C. 6D. 12（理）下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．16. （文）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，∠A的弧度数为（）A. B. C. D.（理）在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．B．C．D．17. 若函数为奇函数，且g(x)=f(x)＋2，已知 f(1) =1，则g(－1)的值为（） A．－1B．1C．－2D．218. （文）已知实数满足则的最大值为（）A. 17B. 15C. 9D. 5（理）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为，则E等于（）A． 4 B．4.5 C． 4.75 D． 5三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（文）（本题满分12分）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P—ABCDEF（底面正六边形ABCDEF的中心为球心）.求：正六棱锥P—ABCDEF的体积和侧面积．（理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知分别是椭圆（其中）的左、右焦点，椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，求线段的长度．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（文）题同理科第19题。
上海市普陀区2017届高考数学二模试卷 含解析 精品
2017年上海市普陀区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．计算：（1+）3=．2．函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为．3．若＜α＜π，sinα=，则tan=．4．若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=．5．曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为．6．若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．7．若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m的取值范围是．8．若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为．9．若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=．10．若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为．11．设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是．12．在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x214．若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β16．关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B 港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．20．（16分）已知椭圆T： +=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n}为等比数列，则称{a n}具有+1性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．计算：（1+）3=1．【考点】6F：极限及其运算．【分析】根据题意，对（1+）3变形可得（1+）3=（+++1），由极限的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（1+）3==（+++1）=1，即（1+）3=1；故答案为：1．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．2．函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣＞0，解得：x＞1或x＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【考点】GW：半角的三角函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．4．若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=﹣1+i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】先化简，再根据共轭复数的定义即可求出【解答】解：z=（1+i）•i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算以及共轭复数，是基础的计算题．5．曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为2．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2﹣y2=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程．6．若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=52×52，再求出两张牌都是K包含的基本事件个数m=13×13，由此能求出两张牌都是K的概率．【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，在放回抽取的情形下，基本事件总数n=52×52，两张牌都是K包含的基本事件个数m=13×13，∴两张牌都是K的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．7．若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m的取值范围是[1，] ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意，关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，转化为函数y=sin（x+）与函数y=m的图象有交点问题．【解答】解：由题意，sinx+cosx﹣m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=sin（x+）x∈[0，]上，则x+∈[，]∴sin（x+）∈[]∴函数y=sin（x+）的值域为[1，]关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则函数y=m的值域为[1，]，即m∈[1，]故答案为：[1，]．【点评】本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．8．若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为5．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125π，建立方程，即可求出此圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，∵体积为125π，∴=125π，∴h=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥体积的计算，考查方程思想，比较基础．9．若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=4．【考点】4R：反函数．【分析】由题意，log22x﹣log2x+1=3，根据x≥2，即可得出结论．【解答】解：由题意，log22x﹣log2x+1=3，∵x≥2，∴x=4，故答案为4．【点评】本题考查对数方程，考查反函数的概念，正确转化是关键．10．若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为20π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．11．设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是a≤﹣2．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需：求得a≥1或a≤﹣2，而a＜0故答案为：a≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．12．在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由三角形的面积公式，S △ABC =2S △MBC ，则S △MBC =，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴A 到BC 的距离=点A 到BC 的距离的一半，∴S △ABC =2S △MBC ，而△ABC 的面积1，则△MBC 的面积S △MBC =，S △MBC =丨MB 丨×丨MC 丨sin ∠BMC=，∴丨MB 丨×丨MC 丨=．∴•=丨MB 丨×丨MC 丨cos ∠BMC=．由余弦定理，丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC ，显然，BM 、CM 都是正数，∴丨BM 丨2+丨CM 丨2≥2丨BM 丨×丨CM 丨，∴丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos ∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos ∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin ∠BMC +cos ∠BMC=2，则sin （∠BMC +α）=2，tanα=，则sin （∠BMC +α）=≤1，解得：y ≥，•+2的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．动点P 在抛物线y=2x 2+1上移动，若P 与点Q （0，﹣1）连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为（ ） A ．y=2x 2B ．y=4x 2C ．y=6x 2D ．y=8x 2【考点】J3：轨迹方程．【分析】先设PQ 中点为（x ，y ），进而根据中点的定义可求出M 点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．【解答】解：设PQ 中点为（x ，y ），则M （2x ，2y +1）在抛物线y=2x 2+1上， 即2（2x ）2=（2y +1）﹣1， ∴y=4x 2． 故选B ．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据正切函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若“α≠β”，则“tanα≠tanβ”不成立，不是充分条件，反之也不成立，比如α=，β=，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查正切函数的性质，是一道基础题．15．设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．16．关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数【考点】H7：余弦函数的图象；GT：二倍角的余弦．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•普陀区二模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF 为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B1F∥DE，且B1F=DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四边形B1EDF是菱形；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，然后利用空间向量求异面直线A1C与DE所成的角．【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B1F∥DE，且B1F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形；（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，，0），∴，，∴cos＜＞==．∴异面直线A1C与DE所成的角为arccos．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）（2017•普陀区二模）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】GI：三角函数的化简求值；3K：函数奇偶性的判断．【分析】首先，根据已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=asin（x+），（1）将代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=时，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）为偶函数．理由：设g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函数g（﹣x）=g（x），为偶函数．【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．19．（14分）（2017•普陀区二模）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．【解答】解：（1）由题意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14 ②因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分目标函数p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，当x=11，y=3时，p 最小，此时，p=123﹣33﹣3=87【点评】本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）（2017•普陀区二模）已知椭圆T： +=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）利用两点之间距离公式，即可求得m的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可求证P必为Γ的焦点；（2）利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性，当x0=﹣2时，取最大值，代入即可求得m的值；（3）求得直线AB的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）证明：由椭圆焦点F（±1，0），由|PC|==2，解得：m=±1，∴P点坐标为（±1，0），∴P必为Γ的焦点；（2）设D（x0，y0），y02=3（1﹣），|PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2，有函数的对称轴x0=4m＞0，则当x0=﹣2时，取最大值，则|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0，解得：m=1或m=﹣5（舍去），∴m的值1；（3）直线l的一个法向量为=（1，k），则直线l的斜率﹣，则直线l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，丨AB丨=•=，则O到直线AB的距离d=，则△AOB面积S=×丨AB丨×d=××==≤=，当且仅当=，即k2=，取等号，∴△AOB面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•普陀区二模）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n}为等比+1数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．【考点】8B：数列的应用．}为等比数列，由a1=a2=1，a3=3，可得{a n+a n+1}的公比为2，【分析】（1）{a n+a n+1=2n，进而得出a4、a5的值；可得a n+a n+1（2）证明{b n+b n}是以公比为2的等比数列，即可得出结论；+1=2n，利用d n＞102，求正整数n的取值范围．（3）求出d n+d n+1【解答】解：（1）{a n+a n}为等比数列，+1∵a1=a2=1，a3=3，∴a1+a2=1+1=2，a2+a3=1+3=4，∴{a n+a n}的公比为2，+1=2n，∴a n+a n+1∴a3+a4=23=8，即a4=5，∴a4+a5=24=16，即a5=11；（2）∵b n=2n+（﹣1）n，=2n+（﹣1）n+2n+1+（﹣1）n+1=3•2n，∴b n+b n+1∴{b n+b n}是以公比为2的等比数列，+1∴数列{b n}具有性质P．（3）∵c1+c2+…+c n=n2+n，=（n﹣1）2+n﹣1，∴c1+c2+…+c n﹣1∴c n=2n，∵d1=1，d3﹣d2=c1=2，d2+d3=c2=4，∴d2=1，d3=3，∵数列{d n}具有性质P，=2n，∴d4=5，d5=11，d6=21，d7=43，d8=85，d9=171，由（1）可得，d n+d n+1∵d n＞102，∴正整数n的取值范围是[9，+∞）．【点评】本题考查新定义，考查等比数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
【上海市普陀区】2017届高三下学期质量调研(二模)数学试卷-答案
1) ，其中 d1
3
2
1 1 36
dn 2n
1 3
1 6
(
1 2
)n1
，即
dn
2n
(1)n1 3
dm 103 2m (1)m1 3 000
①若 m 为偶数，则 m log23 001，即 m 12 ；
②若 m 为奇数，则 m log2 2 099 ，即 m 13 ； 综上①②可得， m 的取值范围是 m 13 且 m N* ．
P 100 3(5 x) (8 y) 100 3(5 50) (8 300)
v
所以 P 123 150 300 （其中 4 v 20,30 100 ） v
（2） P 100 3(5 x) (8 y) 123 (3x y)
则
B1
(1,
0,1)
，
E
(1,
1 2
,
0)
，
D(0,1,
0)
，
F
(0,
1 2
,1)
DE
(1,
1 2
, 0)
，
FB1
(1,
1 2
, 0)
所以 DE FB1 ，即 DE∥FB1 且 DE FB1 ，故四边形 B1EDF 是平行四边形
又因为
B1E
(0,
1 2
,
1)
，所以
|
B1E
||
1 ������3
=
1
+
0
+
0 + 0 = 1；故填 1．