2020-2021初三数学上期中试卷及答案
A．AB=CD
B．AB=BC
C．AC⊥BD
D．AC=BD
12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB＝10， AC CD DB ，点 E 是点 D 关于
AB 的对称点，M 是 AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ 1 ∠DOB； 2
③DM⊥CE；④CM＋DM 的最小值是 10，上述结论中正确的个数是( )
15．如图， AD 为 ABC 的外接圆 O 的直径，如果 BAD 50 ，那么 ∠ACB __________．
16．二次函数 y ax2 bx c 的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值 y＞0 时，x 的取值范围是____________ 17．将一元二次方程 x2﹣6x+5=0 化成（x﹣a）2=b 的形式，则 ab=__．
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当 1＜x＜3 时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
10．有两个一元二次方程 M : ax2 bx c 0 ， N : cx2 bx a 0 ，其中， ac 0 ，
a c ，下列四个结论中错误的是（ ）
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据等腰三角形的性质得到 OE 的长，再利用弧长公式计算出弧 CD 的长，设圆锥的底面 圆半径为 r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得 到r ．
【详解】
过 O 作 OE AB 于 E ， OA＝OB＝90cm，AOB＝120 ，
D． 3 4
3．如图在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置，点 B、O 分
别落在点 B1、C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置，
点 C2 在 x 轴上，将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进
2020-2021 初三数学上期中试卷及答案
一、选择题
1．如图 A，B，C 是
上的三个点，若
，则
等于（ ）
A．50°
B．80°
C．100°
D．130°
2．如图，已知⊙O 的半径为 5，锐角△ABC 内接于⊙O，BD⊥AC 于点 D，AB=8，则
tan∠CBD 的值等于（ ）
A． 4 3
B． 4 5
C． 3 5
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
依题意可设 AB 2x ， BC 3x ，根据勾股定理列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的
值，进而可得答案. 【详解】
解：如图，设 AB 2x ， BC 3x ，根据勾股定理，得： 2x2 3x2 25 ，解得 x 5 ，∴ AB 10 .
故选 B.
∴∠BP′P=45°，PP′= 2 PB，
∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°﹣45°=90°， ∴△APP′是直角三角形，
设 P′A=x，则 AP=3x，根据勾股定理，PP′= AP2 P ' A2 = (3x)2 x2 = 2 2 x， ∴PP′= 2 PB= 2 2 x，解得 PB=2x，∴P′A：PB=x：2x=1：2．
）2+
；
（2）已知 x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求 x+y 的值；
（3）比较代数式：x2﹣1 与 2x﹣3 的大小．
23．如图，已知抛物线 y= x2 +mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐
标为（3，0）， （1）求 m 的值及抛物线的顶点坐标． （2）点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点，当 PA+PC 的值最小时，求点 P 的坐标．
∴从中随机抽取 2 本都是小说的概率＝ 6 ＝ 3 ． 20 10
故选：A． 【点睛】 本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】 由﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3 可得：x≤﹣3． 【详解】 ∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论 a 取何值，x≤﹣3． 故选 D． 【点睛】 本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．
因此 tan∠CBD=tan∠MBA= 3 ， 4
故选 D．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的 B 相 差 6 个单位长度，根据这个规律可以求得 B2018 的坐标． 【详解】
∵A（ 3 ，0），B（0，2）， 2
∴OA＝ 3 ，OB＝2， 2
名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的 A 类和 D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教
兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
25．已知关于 x 的方程 x2 ax a 2 0 .
（1）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及该方程的另一根；
三、解答题
21．解方程： x2 2x 2 0 .
22．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利
用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x
10．D
解析：D 【解析】 【分析】 分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可． 【详解】 解：A、∵方程 M 有两个不相等的实数根， ∴△＝b2−4ac＞0， ∵方程 N 的△＝b2−4ac＞0， ∴方程 N 也有两个不相等的实数根，故不符合题意； B、把 x＝4 代入 ax2＋bx＋c＝0 得：16a＋4b＋c＝0，
A． x 5
B． x 5
C． x 3
D． x 3
6．如图，从一张腰长为 90cm，顶角为120 的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇
形 OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径
为（ ）
A．15cm
B．12cm
C．10cm
D． 20cm
7．在 RtABC中， ABC 90， AB : BC 2 : 3 ， AC 5 ，则 AB =（ ）．
行下去…若点 A（ 3 ，0），B（0，2），则点 B2018 的坐标为（ ） 2
A．（6048，0）
B．（6054，0）
C．（6048，2）
D．（6054，2）
4．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是
（）
A． 3 10
B． 9 25
C． 4 25
D． 1 10
5．若 2a2 4a 5 x ，则不论 取何值，一定有（ ）
【点睛】 本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是 解题的关键.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 解：如图，连接 AP，∵BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BP′，∴BP=BP′，∠ABP+∠ ABP′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠ CBP′， 在△ABP 和△CBP′中，∵BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC， ∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP=P′C， ∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A，连接 PP′， 则△PBP′是等腰直角三角形，
（2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
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一、选择题
1．D 解析：D 【解析】 试题分析：根据圆周的度数为 360°，可知优弧 AC 的度数为 360°-100°=260°，然后根据同弧 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°． 故选 D 考点：圆周角定理
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
13．如图，△ODC 是由△OAB 绕点 O 顺时针旋转 40°后得到的图形，若点 D 恰好落在
AB 上，且∠AOC=105°，则∠C= __．
14．如图，量角器的 0 度刻度线为 AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与 量角器相切于点 C ，直尺另一边交量角器于点 A ， D ，量得 AD 10cm ，点 D 在量角器 上的读数为 60 ，则该直尺的宽度为____________ cm ．
故选 B．
【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全
等三角形以及直角三角形，把 P′A、P′C 以及 P′B 长度的 2 倍转化到同一个直角三角形中
是解题的关键．
9．B
解析：B 【解析】 分析：∵函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误。 当 x=1 时，y=1+b+c=1，故②错误。 ∵当 x=3 时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0。故③正确。 ∵当 1＜x＜3 时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0。故④正确。 综上所述，正确的结论有③④两个，故选 B。
2020-2021初三数学上期中一模试题(含答案)
2020-2021初三数学上期中一模试题(含答案)一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．方程x2+x-12=0的两个根为（）A．x1=-2，x2=6B．x1=-6，x2=2C．x1=-3，x2=4D．x1=-4，x2=33．下列事件中，属于必然事件的是（）A．随时打开电视机，正在播新闻B．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D．长度分别是3cm，5cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形4．如图在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…若点A（32，0），B（0，2），则点B2018的坐标为（）A．（6048，0）B．（6054，0）C．（6048，2）D．（6054，2）5．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．16．如图，是两条互相垂直的街道，且A到B,C的距离都是7km,现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4km/h，则两人之间的距离为5km时，是甲出发后（）A．1h B．0.75h C．1.2h或0.75h D．1h或0.75h7．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（）A ．45°B ．60°C ．45° 或135°D ．60° 或120° 8．设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020 9．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．8 10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0； ③213a -≤≤-； ④248acb a ->；其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④11．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④12．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同 D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若1211+x x＝﹣1，则k 的值为_____． 14．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．15．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．16．已知圆锥的底面半径是2cm ，母线长是3cm ，则圆锥侧面积是_________.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C （0，4），D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标：_____．18．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．19．如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，30,3A CD ︒∠==，则⊙O 的半径是_______．20．Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．三、解答题21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，且AE平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠EAB＝30°，OD＝3，求图中阴影部分的面积．22．（2016内蒙古包头市）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．23．某公司委托旅行社组织一批员工去某风景区旅游，旅行社收费标准为：如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加一人，人均旅游费降低10元；但人均旅游费不低于550元，公司支付给旅行社30000元，求该公司参加旅游的员工人数．24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）25．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：A 选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B 选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C 选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D 选项中是中心对称图形又是轴对称图形.故选B ．考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．2．D解析：D【解析】试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣3），解x+4=0或x ﹣3=0即可得出结论． x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0， 则x+4=0，或x ﹣3=0， 解得：x 1=﹣4，x 2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法3．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A ．是随机事件，故A 不符合题意；B ．是随机事件，故B 不符合题意；C ．是随机事件，故C 不符合题意；D ．是必然事件，故D 符合题意．故选D ．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．4．D解析：D【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的坐标．【详解】∵A（32，0），B（0，2），∴OA＝32，OB＝2，∴Rt△AOB中，AB52 =，∴OA+AB1+B1C2＝32+2+52＝6，∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2，即B2（6，2），∴B4的横坐标为：2×6＝12，∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，即B2018的坐标是（6054，2）．故选D．【点睛】此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．D解析：D【解析】【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF =AG =4x ，AF =7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案.【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF =AG =4x ，则AF =7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键.7．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA ，OB ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，∴∠AOB=90°， 若点P 在优弧ADB 上，则∠APB=12∠AOB=45°； 若点P 在劣弧AB 上， 则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C ．8．B解析：B【解析】【分析】根据题意，把x a =代入方程，得22019a a +=，再由根与系数的关系，得到1a b +=-，即可得到答案．【详解】解：∵设a b ，是方程220190x x +-=的两个实数根，∴把x a =代入方程，得：22019a a +=，由根与系数的关系，得：1a b +=-，∴222()201912018a a b a a a b ++=+++=-=；故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，正确求出代数式的值． 9．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120° ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13， ∵图形的面积是12cm 2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm 2；故答案为B ．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 10．B解析：B【解析】【分析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248acb a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0，∴224b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2a+b=0． ∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤． 解得：213a -≤≤-， 故③正确；④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0， ∴224b c a-<， ∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．11．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图.故选：D.【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.12．D解析：D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A、∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＞0，∵方程N的△＝b2−4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、把x＝4代入ax2＋bx＋c＝0得：16a＋4b＋c＝0，∴110 164c b a++=，∴即14是方程N的一个根，故不符合题意；C、∵方程M有两根符号相同，∴两根之积ca＞0，∴ac＞0，即方程N的两根之积＞0，∴方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根也可以是x＝－1，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】利用根与系数的关系结合＝﹣1可得出关于k 的方程解之可得出k 的值由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式解之即可得出k 的取值范围进而可确定k 的值此题得解【详解】∵关于x 的一 解析：【解析】【分析】 利用根与系数的关系结合1211+x x ＝﹣1可得出关于k 的方程，解之可得出k 的值，由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k 的值，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝﹣（2k +3），x 1x 2＝k 2， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣223k k +＝﹣1， 解得：k 1＝﹣1，k 2＝3．∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2k +3）2﹣4k 2＞0，解得：k ＞﹣34， ∴k 1＝﹣1舍去．∴k =3.故答案为：3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.14．5【解析】【分析】连接CC1根据M 是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5【解析】【分析】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=12AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．【详解】解：如图，连接CC1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，∴CM=A1M=C1M=12AC=5，∴∠A1=∠A1CM=30°，∴∠CMC1=60°，∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．15．10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算【详解】设圆锥底面圆的半径为r则2πr=解得：r=10所以圆锥的底面半径为10故答案为：10【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识解析：10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算．【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=12030 180π⋅，解得：r=10，所以圆锥的底面半径为10．故答案为：10．【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题关键是牢固掌握和弧长公式．16．【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=【详解】根据圆锥的侧面积公式：底面半径是2cm 母线长是3cm 的圆锥侧面积为故答案是：【点睛】本题考查圆锥的侧面积解题的关键是记住圆锥是侧面积公式 解析：26cm π【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=RL π．【详解】根据圆锥的侧面积公式：RL π底面半径是2cm ，母线长是3cm 的圆锥侧面积为 236ππ⨯⨯=故答案是：26cm π【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．17．（42）【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果【详解】解：∵△CDO 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBD′则BD′=OD=2∴点D 坐标为（46）；当将点C 与点O 重合时点C 向下平移4个单位得到△解析：（4，2）．【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果.【详解】解：∵△CDO 绕点C 逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′=OD =2，∴点D 坐标为（4，6）；当将点C 与点O 重合时，点C 向下平移4个单位，得到△OAD ′′，∴点D 向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为（4，2）．【点睛】平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.18．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰 解析：16【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个， ∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．2【解析】【分析】连接BC 由圆周角定理和垂径定理得出由直角三角形的性质得出得出求出即可【详解】解：连接BC 如图所示：∵AB 是⊙O 的直径弦于H 在中即⊙O 的半径是2；故答案为：2【点睛】考查的是垂径定理 解析：2【解析】【分析】连接BC ，由圆周角定理和垂径定理得出190,32ACB CH DH CD ︒∠====角三角形的性质得出223,323,2AC CH AC BC AB BC =====，得出2,4BC AB ==，求出2OA =即可．【详解】解：连接BC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ， 19032ACB CH DH CD ∴∠︒＝，＝＝＝ 30A ∠︒Q ＝，223AC CH ∴＝＝，在Rt ABC ∆中，30A ∠︒＝，3232AC BC AB BC ∴＝＝，＝，24BC AB ∴＝，＝，2OA ∴＝，即⊙O 的半径是2；故答案为：2【点睛】考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．20．2【解析】【分析】设ABBCAC 与⊙O 的切点分别为DFE ；易证得四边形OECF 是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=12（AC+BC-AB ）由此可求出r 的长【详解】解：如图；在Rt△ABC∠解析：2【解析】【分析】设AB 、BC 、AC 与⊙O 的切点分别为D 、F 、E ；易证得四边形OECF 是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC-AB ），由此可求出r 的长．【详解】解：如图；在Rt △ABC ，∠C=90°，AC=5，BC=12；根据勾股定理AB=四边形OECF 中，OE=OF ，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；∴四边形OECF 是正方形；由切线长定理，得：AD=AE ，BD=BF ，CE=CF ；∴CE=CF=（AC+BC-AB ）；即：r=（5+12-13）=2．故答案为2．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）93322π-. 【解析】试题分析：()1连接OE ．证明OE AC P ，从而得出∠OEB ＝∠C ＝90°，从而得证. ()2阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积.试题解析：()1连接OE ．∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝∠EAD ，∵OA ＝OE ，∴∠EAD ＝∠OEA ，∴∠OEA ＝∠CAE ，OE AC ∴P ，∴∠OEB ＝∠C ＝90°，∴OE ⊥BC ，且点E 在⊙O 上，∴BC 是⊙O 的切线．（2）解： ∵∠EAB ＝30°，∴∠EOD ＝60°，∵∠OEB ＝90°，∴∠B ＝30°，∴OB ＝2OE ＝2OD ＝6，∴223 3.BE OB OE =-=32OEB S =V 扇形OED 的面积3π.2=阴影部分的面积为：3π.22- 22．（1）2354y x x =-+；（2）横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．【解析】【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为32xcm ，根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；（2）根据“三条彩条所占面积是图案面积的25”，可列出关于x 的一元二次方程，整理后求解即可．【详解】（1）根据题意可知，横彩条的宽度为32xcm ， ∴y=20×32x+2×12•x ﹣2×32x•x=﹣3x 2+54x ，即y 与x 之间的函数关系式为y=﹣3x 2+54x ；（2）根据题意，得：﹣3x 2+54x=25×20×12， 整理，得：x 2﹣18x+32=0，解得：x 1=2，x 2=16（舍）， ∴32x=3， 答：横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．23．该公司有50人参加旅游．【解析】【分析】设该公司有x 人参加旅游，由308002400030000⨯=<，可得出x 30>，分30x 55<≤及x 55>两种情况考虑，由总价=单价⨯数量，可得出关于x 的一元二次方程(一元一次方程)，解之即可得出结论．【详解】设该公司有x 人参加旅游．308002400030000⨯=<Q ，x 30∴>．()308005501055(+-÷=人)．根据题意得：当30x 55<≤时，有()x 80010x 3030000⎡⎤--=⎣⎦，化简得：2x 110x 30000-+=，解得：1x 50=，2x 60(=舍去)；当x 55>时，有550x 30000=， 解得：600x (11=舍去)． 答：该公司有50人参加旅游．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，分30x 55<≤及x 55>两种情况，列出关于x 的方程是解题的关键．24．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000∵k=﹣200＜0，∴P 随x 的增大而减小，∴当x=32时，P 的值最小，P 最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．25．(1) 2m <；(2) m 的值是1.【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m 的不等式，解之可得； （2）由（1）中m 的范围且m 为非负整数得出m 的值，代入方程，解之可得．【详解】解：（1）根据题意得：()()22410m --->，解得：2m <.故m 的取值范围为2m <；（2）由（1）得：2m <m Q 为非负整数， 0m ∴=或1，把0m =代入原方程得：2210x x --=，解得：11x =21x =，0m =不合题意舍去；把1m =代入原方程得：220x x -=，解得：10x =，22x =.故m 的值是1.【点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题关键．。
2020-2021学年上海市松江区九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6 2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2 6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A．S2＝2S1B．S1＝S3C．S2＝2S4D．S3＝2S4二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若＝＝≠0，则＝．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是千米．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是cm．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝cm．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6【分析】判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【解答】解：A、2×5≠3×4，不成比例；B、2×6＝3×4，成比例；C、2×7≠3×5，不成比例；D、3×6≠4×5，不成比例；故选：B．2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；D、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理得，AB＝＝13，则tan A＝＝，A选项计算正确；cot A＝＝，B选项计算错误；sin A＝＝，C选项计算错误；cos A＝＝，D选项计算错误；故选：A．4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】若使DE∥BC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥BC．【解答】解：如图，若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，即＝，＝，＝，故B选项答案错误；故选：B．5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2【分析】根据平行向量的判定一一判断即可；【解答】解：A、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；B、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意；C、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意；D、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；故选：C．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A ．S 2＝2S 1B ．S 1＝S 3C ．S 2＝2S 4D ．S 3＝2S 4 【分析】由AD ∥BC ，推出△AOD ∽△COB ，推出＝＝＝，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：∵AD ∥BC ， ∴△AOD ∽△COB ， ∴＝＝＝，∴S △BOC ＝2S △AOB ＝2S △ODC ，S △DOC ＝2S △AOD ，＝（）2＝，∴选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若＝＝≠0，则＝．【分析】设＝＝＝k ≠0，得出x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：设＝＝＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ， 则＝＝；故答案为：．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是 30 千米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，可知实际距离＝图上距离÷比例尺． 【解答】解：根据题意，3÷＝3000 000厘米＝30千米．即实际距离是30千米． 故答案为：30．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是12．【分析】根据相似三角形的性质得到两相似三角形的面积比是4：9，根据题意列式计算即可．【解答】解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，∴两相似三角形的相似比是2：3，∴两相似三角形的面积比是4：9，∵较大的三角形的面积为27，∴较小的三角形的面积为：27×＝12，故答案为：12．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是6cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故答案为：6．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割点的定义，知AM是较长线段；则AM＝AB，代入数据即可得出AM的长．【解答】解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB＝6cm，∴AM＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，故答案为：（3﹣3）．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝4．【分析】如图，连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合BC＝6可求EF的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3，又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝6，∴EF＝4．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝5．【分析】根据AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，可得出FC：FD＝1：2，再根据FC＝2.5，即可得出FD的长度．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，∴FC：FD＝1：2，∵FC＝2.5，∴FD＝5．故答案为5．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝4．【分析】由DE∥BC可判定△ADE∽△ABC，从而可得比例式，结合DE：BC＝1：3，可求得AB的值，最后根据BD＝AB﹣AD计算即可．【解答】解：依题意画出图形，如图：在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE：BC＝1：3，∴＝，∵AD＝2，∴AB＝6，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．故答案为：4．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．【分析】根据勾股定理和A（3，4），可得OA的长，根据OA与x轴正半轴的夹角为α，可得sinα的值．【解答】解：∵A（3，4），∴OA＝＝5，∴sinα＝．故答案为：．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝12．【分析】首先由在△ABC中，∠ABD＝∠C，可以证明△ABD∽△ACB，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABD＝∠C，而∠A公共，∴△ABD∽△ACB，∴AB2＝AD•AC，而AD＝9，CD＝7，∴AC＝16，∴AB＝12．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝（+）．【分析】根据平行四边形的性质和平行线截线段成比例求得AE线段的长度，结合平行四边形法则求得即可．【解答】解：∵点F是CD的中点，∴FC＝DC．又∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，CD＝AB，∴＝，即＝＝，∴AE＝AC．∵＝，＝，∴＝+＝+，∴＝＝（+），故答案是：（+）．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M ＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，'＝BC'•DH＝BD•CM，∵S△BDC∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴点D到BC的距离为．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】根据平面向量的加法法则计算即可，利用三角形法则画出图形即可．【解答】解：2（2﹣）﹣3（+）＝4﹣2﹣3﹣＝﹣3．如图，即为所求．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．【分析】（1）根据题意作AD⊥BC于点D，然后根据题目中的条件可以求得AD的长，从而可以求得△ABC的面积；（2）根据题意和（1）中的条件可以求得CD和AC的，从而可以求得∠C的余弦值．【解答】解：（1）作AD⊥BC于点D，∵在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，∴∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝3，∴AD＝3，∴△ABC的面积是：；（2）由（1）知∠ADC＝90°，BD＝3，AD＝3，∵BC＝8，∴CD＝5，∴AC＝2，∴cos∠C＝．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）【分析】由勾股定理求得AB，所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝CD＝x，BD＝BC﹣CD＝6﹣x，先证明△BDE∽△BCA，于是可利用相似比求得x＝cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH ⊥AB于H，交MQ于J，先利用面积法计算出CH＝cm，设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，证明△CMQ∽△CBA，则可利用相似比计算出x＝cm，然后比较两个正方形的边长的大小来判断哪种方法利用率高．【解答】解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，则MN∥CH，AB＝＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC∴CH＝＝（cm），设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，∵QM∥AB，∴△CMQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为（cm）；∵＝＞，∴图1利用率高．23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【分析】（1）由“有两个角分别相等的三角形相似“来判定即可；（2）由△ABF∽△ACE可得比例式＝，再结合夹角相等，可判定△EAF∽△CAB，从而可得＝①，∠AEF＝∠ACB；然后结合角平分线的定义可得∠EAM＝∠CAN，则可判定△EAM∽△CAN，进而得出比例式＝②，由①②可得结论．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．【分析】（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE＝EF即可证得；（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得＝，∠FCE＝∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG＝∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则＝＝，即可证得＝，则所证结论即可得到．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴＝，＝，又∵DE＝EF，∴＝，∴＝；（2）∵CF2＝FG•FB，∴＝，又∵∠CFG＝∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∠FCE＝∠CBF，又∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠CBF，∴∠FCE＝∠EFG，又∵∠FEG＝∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴＝＝，∴＝，即CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．【分析】（1）证明△ABD为等腰直角三角形，求出BD＝，利用DE∥BA，则，即，即可求解；（2）证明△ABD∽△DCE，则，即可求解；（3）分AD＝DE、AD＝DE、AE＝DE三种情况，利用解直角三角形的方法和三角形相似，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，故点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，设tan B＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，则AH＝AB sinα＝20×＝12，BH＝16，则BC＝2BH＝32，∵ED∥AB，则∠ADE＝∠BAD＝∠B＝α，则△ABD为等腰三角形，在△ABD中，过点D作DM⊥AB于点M，则MD＝BD sin B，BM＝BD cos B＝AB，即BD＝AB＝×20，解得BD＝，∵DE∥BA，则，即，解得：AE＝；（2）如图2，在△ABD中，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，∵∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE，则，其中，AB＝20，CD＝32﹣x，BD＝x，CE＝20﹣y，故，化简得：y＝x2﹣x+20（0＜x＜32）；（3）①当AD＝DE时，此时点B、D重合，不符合题意；②当AD＝DE时，由（2）知则＝1，即＝1，解得x＝12，即BD＝12；③当AE＝DE时，∵AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝∠C，故△ADC为等腰三角形，则AD＝CD＝32﹣x，在△ABD中，BD＝x，AD＝32﹣x，如图1，则AH＝12，AH＝16，在△ADH中，AD＝32﹣x，DH＝16﹣x，AH＝12，由勾股定理得：（32﹣x）2＝（16﹣x）2+122，解得x＝19.5；综上，BD的长度为12或19.5．。
北京四中2020-2021学年度第一学期初三数学上册期中试卷【含答案】
画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________． （4）若直线 y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．
图1
图2
由图 2，同理可得 AP=BP+PC. （2）①如下图 3、图 4； ②请判断 PA、PB、PC 的关系，并给出证明.
由图 3，由∠APB=∠ACB=45°，做等腰直角三角形△APE. 可得△CAK≌△CBP，可得 AP-BP= 2 PC.
图3
图4
由图 4，同理可得 AP +BP= 2 PC.
24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx2 +2mx 3m 2 . （1） 求抛物线的对称轴； （2） 过点 P(0，2) 作与 x 轴平行的直线，交抛物线于点 M，N.求点 M，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段 MN 围成的封闭区域内(不包括
②将△POQ 绕原点 O 旋转一周，直线 = 晐 M 交 轴、y 轴于点 M、N，若线段 MN 上存在△POQ 关于边 PQ 的“Math 点”，求 M 的取值范围.
图1
图2
初三期中测试数学学科答案：
一、选择题
1、D 2、B 3、A 4、B 5、B 6、D 7、A
8、A
二、填空题
9、9
10、110 11、-6 12、2
2
y2，y3 的大小关系为（
）
A. y1＜y2＜y3
B. y1＜y3＜y2
C. y3＜y1＜y2
2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）1．（2分）若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞02．（2分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE 与△ABC相似的条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．D．4．（2分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．（2分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是136．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．07．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或49．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根10．（2分）下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．11．（2分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+12．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）13．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是．14．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为．15．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为．16．（3分）如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为17．（3分）方程（x+1）2＝9的根是．18．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．19．（3分）如图，EF是△ABC纸片的中位线，将△AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D处，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为．20．（3分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°+cos230°＝；sin245°+cos245°＝；sin260°+cos260°＝；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝．三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）21．（8分）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？22．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10093.5100%70%10080分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100频数05253040请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．23．（10分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．24．（12分）如图，BE、CD是△ABC的高，连接DE．（1）求证：AE•AC＝AB•AD；（2）若∠BAC＝120°，点M为BC的中点，求证：DE＝DM．25．（12分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）2020-2021学年河北省石家庄市栾城区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分，把每小题的正确选项填涂在答题纸上）1．（2分）若函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜﹣2B．m＜0C．m＞﹣2D．m＞0【解答】解：∵函数y＝的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2，故选：A．2．（2分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．3．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE 与△ABC相似的条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．D．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；C、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；D、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．故选：C．4．（2分）在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，故选：A．5．（2分）冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，11，13，15．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（）A．众数是11B．平均数是12C．方差是D．中位数是13【解答】解：数据11，10，11，13，11，13，15中，11出现的次数最多是3次，因此众数是11，于是A选项不符合题意；将这7个数据从小到大排列后，处在中间位置的一个数是11，因此中位数是11，于是D 符合题意；＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均数是12，于是选项B不符合题意；S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差为，于是选项C不符合题意；故选：D．6．（2分）已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．﹣1或2B．﹣1C．2D．0【解答】解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：m﹣2+4﹣m2＝0，﹣m2+m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2，∴m＝﹣1，故选：B．7．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．8．（2分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或4【解答】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．9．（2分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程1☆x ＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【解答】解：由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴Δ＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．10．（2分）下图中反比例函数y＝与一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选：B．11．（2分）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；（2）量得测角仪的高度CD＝a；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+【解答】解：过C作CF⊥AB于F，则四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tanα＝＝，∴AF＝b•tanα，∴AB＝AF+BF＝a+b tanα，故选：A．12．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，将正确答案填写在答题纸上）13．（3分）今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差s2（单位：千克2）如表所示：甲乙丙454542s2 1.8 2.3 1.8明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲．【解答】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；故答案为：甲．14．（3分）如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积为2．【解答】解：根据题意得△OAB的面积＝×|4|＝2．故答案为：2．15．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．【解答】解：根据题意得：2000×＝1100（人），答：其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为1100人．故答案为：1100人．16．（3分）如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为m【解答】解：在Rt△ABC中，cos A＝，∴AB＝＝，故答案为：m．17．（3分）方程（x+1）2＝9的根是x1＝2，x2＝﹣4．【解答】解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．18．（3分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是1．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，解得：k＝1．故答案为：1．19．（3分）如图，EF是△ABC纸片的中位线，将△AEF沿EF所在的直线折叠，点A落在BC边上的点D处，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为14．【解答】解：∵EF是△ABC纸片的中位线，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2，∴，∴S＝28，△ABC∵将△AEF沿EF所在的直线折叠，∴S＝S△DEF＝7，△AEF∴阴影部分的面积为＝28﹣7﹣7＝14，故答案为14．20．（3分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°+cos230°＝1；sin245°+cos245°＝1；sin260°+cos260°＝1；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A＝1．【解答】解：sin230°+cos230°＝（）2+（）2＝+＝1，sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝+＝1，sin260°+cos260°＝＝（）2+（）2＝+＝1，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴sin A＝，cos A＝，a2+b2＝c2，∴sin2A+cos2A＝＝（）2+（）2＝＝＝1，故答案为：1，1，1，1；三、解答题（本大题共5个小题，满分52分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤，将答案写在答题纸上）21．（8分）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？【解答】解：设应多种x棵桃树，则由题意可得：（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）整理，得：x2﹣400x+7600＝0，即（x﹣20）（x﹣380）＝0，解得：x1＝20，x2＝380因为所种桃树要少于原有桃树，所以x＝380不符合题意，应舍去，取x＝20，答：应多种20棵桃树．22．（10分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是方案三．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分10093.5100%70%10080分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100频数05253040请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析，是最符合题意的．故答案为：方案三；（2）①样本100人中，成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在90≤x＜95，因此中位数在90≤x＜95组中；②由题意得，1200×70%＝840（人），答：该校1200名学生中达到“优秀”的有840人．23．（10分）一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2＝（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．（1）分别求两个函数的解析式；（2）根据图象直接写出，当x为何值时，y1＜y2；（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．【解答】解：（1）把A（1，3）代入y2＝得n＝1×3＝3，∴反比例函数解析式为y2＝，把B（3，m）代入y2＝得3m＝3，解得m＝1，则B（3，1），把A（1，3），B（3，1）代入y1＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y1＝﹣x+4；（2）当0＜x＜1或x＞3时，y1＜y2；（3）设P（t，0），∵△OAP的面积为6，∴×|t|×3＝6，解得t＝4或﹣4，∴P点坐标为（﹣4，0）或（4，0）．24．（12分）如图，BE、CD是△ABC的高，连接DE．（1）求证：AE•AC＝AB•AD；（2）若∠BAC＝120°，点M为BC的中点，求证：DE＝DM．【解答】证明：（1）∵BE、CD是△ABC的高，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，而∠EAB＝∠DAC，∴△AEB∽△ADC，∴AB：AC＝AE：AD，∴AE•AC＝AB•AD；（2）连接ME，如图，∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＝60°，∴∠EBA＝30°，∵点M为BC的中点，∴MB＝ME＝MD＝MC，∴点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，∴∠DME＝2∠EBD＝2×30°＝60°，∴△MED为等边三角形，∴DE＝DM．25．（12分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，∴AD＝CD，∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴≈0.40，∴CD≈2，∴AD＝CD＝2，∴BD≈7﹣2≈5，∴AC＝2≈2.82，BC＝≈≈5.41，∴AC+BC≈2.82+5.41≈8.2（km）．答：新建管道的总长度约为8.2km．。
江阴市XX中学2020—2021年九年级上期中数学试卷含答案解析
江阴市XX中学2020—2021年九年级上期中数学试卷含答案解析一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣2=0 B．x2﹣4x﹣1=0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1=02．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范畴是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0 3．初三（1）班12名同学练习定点投篮，每人各投10次，进球数统计如下：进球数（个） 1 2 3 4 5 7 人数（人） 1 1 4 2 3 1这12名同学进球数的众数是（）A．3.75 B．3 C．3.5 D．74．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（）A．24 cm2B．48 cm2C．24π cm2D．12π cm25．有下列四个命题：①直径是弦；②通过三个点一定能够作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD 的度数为（）A．70°B．35°C．20°D．40°7．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣1则下列式子正确的个数是（1）abc＞0（2）2a+b=0（3）4a+2b+c＜0（4）b2﹣4ac＜0（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．生物爱好小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，假如全组有x名同学，则依照题意列出的方程是（）A．x （x+1）=182 B．x （x﹣1）=182 C．2x （x+1）=182 D．x （x﹣1）=182×210．如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C 随点A运动所形成的图形的面积为（）A．B．27πC．D．π二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分）11．设一元二次方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2=．12．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是．13．圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是cm2．14．若二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向下且通过原点，则a的值是．15．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=．16．如图，半径为6的圆中，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB的长为．17．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为．18．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判定：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判定的序号是．三、解答题（本大题共9小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．解方程：（1）（x﹣3）2=x﹣3（2）x2﹣2x﹣1=0．（3）x2﹣5x+6=0（4）（2y﹣5）2=4（3y﹣1）2．20．如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）；（2）若AB=12m，AC=5m，∠BAC=90°，求小明家花坛的面积（结果保留π）．21．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD 交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线．（2）若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）22．八（2）班组织了一次经典朗读竞赛，甲、乙两队各10人的竞赛成绩如下表（10分制）：甲7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）运算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是队．23．甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，竞赛规则规定：两队之间进行3局竞赛，3局竞赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局竞赛输赢的机会相同，且甲队差不多赢得了第1局竞赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）24．如图，抛物线y=﹣x2+5x+n通过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（3）将抛物线y=﹣x2+5x+n沿着坐标轴方向通过如何样的一次平移能够使它使它通过原点．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A动身沿边AC向点C 以1cm/s的速度移动，点Q从C点动身沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．（1）假如P、Q同时动身，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时刻；若不存在，说明理由．26．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且通过点N（2，3），与x轴交于A、B 两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+t通过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探究：在x轴上方是否存在如此的P点，使以P为圆心的圆通过A、B两点，同时与直线CD相切？若存在，要求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．27．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了如此一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，如此的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们通过讨论，大伙儿觉得本题实际上确实是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探究出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过运算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（2）事实上上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出现在圆形硬纸板的直径．2021-2021学年江苏省无锡市江阴市XX中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x﹣2=0 B．x2﹣4x﹣1=0 C．x2﹣2x﹣3 D．xy+1=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题依照一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、本方程未知数x的最高次数是1；故本选项错误；B、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；C、x2﹣2x﹣3是代数式，不是等式；故本选项错误；D、本方程中含有两个未知数x和y；故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判定一个方程是否是一元二次方程，第一要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范畴是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】在判定一元二次方程根的情形的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0【解答】解：依题意列方程组，解得k＜1且k≠0．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．初三（1）班12名同学练习定点投篮，每人各投10次，进球数统计如下：进球数（个） 1 2 3 4 5 7 人数（人） 1 1 4 2 3 1这12名同学进球数的众数是（）A．3.75 B．3 C．3.5 D．7【考点】众数．【分析】依照统计表找出各进球数显现的次数，依照众数的定义即可得出结论．【解答】解：观看统计表发觉：1显现1次，2显现1次，3显现4次，4显现2次，5显现3次，7显现1次，故这12名同学进球数的众数是3．故选B．【点评】本题考查了众数的定义以及统计表，解题的关键是找出哪个进球数显现的次数最多．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依照统计表中得数据，结合众数的定义找出该组数据的众数是关键．4．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（）A．24 cm2B．48 cm2C．24π cm2D．12π cm2【考点】圆锥的运算．【分析】依照扇形的面积公式运算即可．【解答】解：圆锥侧面展开图的面积为：×2π×4×6=24π，故选：C．【点评】本题考查的是圆锥的运算，正确明白得圆锥的侧面展开图与原先的扇形之间的关系是解决本题的关键，明白得圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．5．有下列四个命题：①直径是弦；②通过三个点一定能够作圆；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】命题与定理．【分析】依照弦的定义、三角形的内心、垂径定理分别对每一项进行分析即可．【解答】解：①直径是弦，故本选项正确；②通过不在同一直线的三个点能够确定一个圆，故本选项错误；③三角形的内心到三角形各边的距离相等，故本选项错误；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误．其中正确的有1个；故选D．【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是弦的定义、三角形的内心、垂径定理，判定命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD 的度数为（）A．70°B．35°C．20°D．40°【考点】切线的性质；圆周角定理．【分析】先依据切线的性质求得∠CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD的度数．【解答】解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴AB⊥AC．∴∠CAB=90°．又∵∠C=70°，∴∠CBA=20°．∴∠DOA=40°．故选：D．【点评】本题要紧考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得∠CBA=20°是解题的关键．7．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m 的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种专门好的方法，难度适中．8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣1则下列式子正确的个数是（1）abc＞0（2）2a+b=0（3）4a+2b+c＜0（4）b2﹣4ac＜0（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判定a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判定c与0的关系，然后依照对称轴及抛物线与x轴交点情形进行推理，进而对所得结论进行判定．【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c ＞0，﹣＜0，b＜0，∴abc＞0，故①正确；②对称轴x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故②错误；③当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故③正确．图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③正确．④图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故④错误；综上所述正确的个数为2个故选：B．【点评】本题要紧考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范畴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．9．生物爱好小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，假如全组有x名同学，则依照题意列出的方程是（）A．x （x+1）=182 B．x （x﹣1）=182 C．2x （x+1）=182 D．x （x﹣1）=182×2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】由题意可知，这是一道双循环的题目，从而能够列出相应的方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，x（x﹣1）=182，故选B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．10．如图，⊙P在第一象限，半径为3．动点A沿着⊙P运动一周，在点A运动的同时，作点A关于原点O的对称点B，再以AB为边作等边三角形△ABC，点C在第二象限，点C 随点A运动所形成的图形的面积为（）A．B．27πC．D．π【考点】轨迹．【分析】如图所示，点C随A运动所形成的图形为圆，依照等边三角形的性质求出CC′的长，即为圆的直径，求出圆的面积即可．【解答】解：如图所示，点C随A运动所形成的图形为圆，可得OC=OA，OC′=OA′，∴CC′=OC′﹣OC=（OA′﹣OA）=AA′=6，∴点C随点A运动所形成的圆的面积为π×（3）2=27π，故选B．【点评】此题考查了轨迹，以及等边三角形的性质，依照题意得出点C随A运动所形成的图形为圆是解本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分）11．设一元二次方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2=．【考点】根与系数的关系．【分析】已知方程有实数根，依照根与系数的关系即可直截了当求出x1+x2的值．【解答】解：依照一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=；故答案为：．【点评】此题考查了根与系数的关系，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．12．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是 1.6．【考点】方差．【分析】依照平均数的运算公式先求出x的值，再依照方差公式S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，代入运算即可．【解答】解：∵这组数据的平均数是10，∴（10+10+12+x+8）÷5=10，解得：x=10，∴这组数据的方差是×[3×（10﹣10）2+（12﹣10）2+（8﹣10）2]=1.6；故答案为：1.6．【点评】此题考查了方差，一样地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．13．圆心角为120°，半径长为6cm的扇形面积是12πcm2．【考点】扇形面积的运算．=进行运算即可得出答案．【分析】将所给数据直截了当代入扇形面积公式S扇形【解答】解：由题意得，n=120°，R=6cm，故=12π．故答案为12π．【点评】此题考查了扇形面积的运算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式中字母所表示的含义，难度一样．14．若二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图象开口向下且通过原点，则a的值是﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线通过原点（0，0），二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1与y轴交点纵坐标为a2﹣1，因此a2﹣1=0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．【解答】解：∵抛物线通过原点（0，0），∴a2﹣1=0，解得a=±1，∵图象开口向下，a＜0，∴a=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点：二次函数图象上点的坐标满足y=ax2+bx+c（a≠0）．也考查了二次函数的性质．15．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=32°．【考点】圆周角定理．【分析】依照圆周角定理求得∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；依照平角是180°知∠BOD=180°﹣∠AOD，故∠BCD=32°．【解答】解：连接OD．∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，∴∠AOD=2∠ABD=116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵∠BOD=180°﹣∠AOD，∠BOD=2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；∴∠BCD=32°；另法：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=90°﹣58°=32°，∵∠BCD和∠A差不多上BD所对圆周角，∴∠BCD=32°．故答案为：32°．【点评】本题考查了圆周角定理．解答此题时，通过作辅助线OD，将隐含在题中的圆周角与圆心角的关系（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）显现出来．16．如图，半径为6的圆中，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB的长为．【考点】垂径定理．【分析】设AB与OC的垂足为P点，连OA，依照垂径定理，由弦AB垂直平分OC，得到PA=PB，OP=PC，而⊙O的半径OC为6cm，得OP=3，在Rt△AOP中，再依照勾股定理运算出AP，即可得到AB．【解答】解：设AB与OC的垂足为P点，连OA，如图，∵弦AB垂直平分OC，∴PA=PB，OP=PC，而⊙O的半径OC为6cm，∴OP=3，而OA=6，∴AP==3，∴AB=2AP=6 cm．故答案为6．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，同时平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．17．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为．【考点】轴对称-最短路线问题；垂径定理；圆周角定理．【分析】第一利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，能够通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点确实是所要找的点P的位置，然后依照弧的度数发觉一个等腰直角三角形运算．【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点确实是所求作的点．现在PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，依照题意得：∵∠AMN=30°，∴弧AN的度数是60°，∵B为AN弧的中点，∴弧BN的度数是30°，∵NO⊥BC，∴=，∴弧CN的度数是30°，∴=+=90°∴∠AOC=90°，又∵OA=OC=1，∴AC==．即PA+PB的最小值为：，故答案为：．【点评】此题要紧考查了利用轴对称求最短路线问题，解答此题的关键是找到点B的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．18．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判定：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判定的序号是②．【考点】二次函数综合题．【分析】观看函数图象，利用抛物线在x轴上所对应的自变量的取值范畴可对①进行判定；确定点Q比点P离对称轴的距离要大，则依照二次函数的性质可对②进行判定；当m=2时，先确定D（1，4），C（0，3），E（2，3），利用勾股运算出DE=，作D点关于y 轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，利用关于坐标轴对称的点的坐标特点得到D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），依照对称的性质得FD=FD′，GE=GE′，因此FD+FG+GE=D′E′，依照两点之间线段最短可判定现在四边形EDFG周长的最小，然后利用勾股定理运算出D′E′=，因此可对③进行判定．【解答】解：由抛物线的性质，当x＞时，y＞0，因此①错误；因为x1＜1＜x2，因此点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，因此y1＞y2，因此②正确；当m=2时，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），C（0，3），∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，∴E（2，3），∴DE=，作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），∴FD=FD′，GE=GE′，∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′，∴现在四边形EDFG周长的最小，而D′E′=，∴四边形EDFG周长的最小值为+，因此③错误．故答案为②．【点评】此题是二次函数综合题，要紧考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和求最短路径的解决方法，熟知抛物线的性质是解本题的关键，确定出四边形EDFG的周长最小值是解本题的难点．三、解答题（本大题共9小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．解方程：（1）（x﹣3）2=x﹣3（2）x2﹣2x﹣1=0．（3）x2﹣5x+6=0（4）（2y﹣5）2=4（3y﹣1）2．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）因式分解法求解；（2）公式法求解；（3）因式分解法求解可得；（4）利用平方差公式分解因式求解可得．【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3﹣1）=0，即（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x﹣3=0或x﹣4=0，解得：x=3或x=4；（2）∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=4+4=8＞0，∴x==1，即x1=1+，x2=1﹣；（3）（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x﹣2=0或x﹣3=0，解得：x=2或x=3；（4）∵（2y﹣5）2﹣[2（3y﹣1）]2=0，∴（2y﹣5+6y﹣2）（2y﹣5﹣6y+2）=0，即（8y﹣7）（﹣4y﹣3）=0，∴8y﹣7=0或﹣4y﹣3=0，解得：y=或y=﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直截了当开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要依照方程的特点灵活选用合适的方法20．如图，小明家屋前有一块矩形空地，在空地上的点A、B、C处种有三棵树，小明想在矩形的空地上建一个圆形花坛，使这三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）；（2）若AB=12m，AC=5m，∠BAC=90°，求小明家花坛的面积（结果保留π）．【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．【分析】（1）直截了当利用垂直平分线的性质得出花坛的面积即可；（2）直截了当利用直角三角形的性质得出其外接圆的半径进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：点O即为所求；（2）∵AB=12m，AC=5m，∠BAC=90°，∴BC==13（cm），∴直角三角形ABC的外接圆半径为cm，∴小明家花坛的面积为：（）2×π=π（cm2）．【点评】此题要紧考查了应用设计与作图以及直角三角形的性质，正确把握直角三角形的性质是解题关键．21．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD 交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线．（2）若圆心O到弦DB的距离为1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定与性质；扇形面积的运算．【分析】（1）第一连接OD ，由BC 是⊙O 的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB ，OB=OD ，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD 为⊙O 的切线；（2）在Rt △OBF 中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD 的长，∠BOD 的度数，又由S 阴影=S扇形OBD﹣S △BOD ，即可求得答案．【解答】（1）证明：连接OD ，∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠ABC=90°， ∵CD=CB ， ∴∠CBD=∠CDB ， ∵OB=OD ， ∴∠OBD=∠ODB ，∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD ⊥CD ， ∵点D 在⊙O 上，∴CD 为⊙O 的切线；（2）解：过点O 作OF ⊥BD 于点F ，在Rt △OBF 中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=，∵OF ⊥BD ，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴S 阴影=S 扇形OBD ﹣S △BOD =﹣×2×1=π﹣．【点评】此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意把握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．22．八（2）班组织了一次经典朗读竞赛，甲、乙两队各10人的竞赛成绩如下表（10分制）：甲7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是9.5分，乙队成绩的众数是10分；（2）运算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是乙队．【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．【分析】（1）依照中位数的定义求出最中间两个数的平均数；依照众数的定义找出显现次数最多的数即可；（2）先求出乙队的平均成绩，再依照方差公式进行运算；（3）先比较出甲队和乙队的方差，再依照方差的意义即可得出答案．【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8，9，9，10，10，10，10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9.5（分），则中位数是9.5分；乙队成绩中10显现了4次，显现的次数最多，则乙队成绩的众数是10分；故答案为：9.5，10；（2）乙队的平均成绩是：×（10×4+8×2+7+9×3）=9，则方差是：×[4×（10﹣9）2+2×（8﹣9）2+（7﹣9）2+3×（9﹣9）2]=1；（3）∵甲队成绩的方差是1.4，乙队成绩的方差是1，∴成绩较为整齐的是乙队；故答案为：乙．【点评】本题考查方差、中位数和众数：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一样地设n个数据，x1，x2，…x n 的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．23．甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，竞赛规则规定：两队之间进行3局竞赛，3局竞赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局竞赛输赢的机会相同，且甲队差不多赢得了第1局竞赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）【考点】列表法与树状图法．【分析】依照甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后依照概率公式列式运算即可得解．【解答】解：依照题意画出树状图如下：一共有4种情形，确保两局胜的有3种，因此，P=．【点评】本题考查了用树状图列举随机事件显现的所有情形，并求出某些事件的概率，但应注意在求概率时各种情形显现的可能性务必相同．用到的知识点为：概率=所求情形数与总情形数之比．24．如图，抛物线y=﹣x2+5x+n通过点A（1，0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（3）将抛物线y=﹣x2+5x+n沿着坐标轴方向通过如何样的一次平移能够使它使它通过原点．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式．（2）本题要分两种情形进行讨论：①PA=AB，先依照抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出OB的长，进而可求出AB 的长，也就明白了PB的长，由此可求出P点的坐标；②PB=AB，现在P与A关于y轴对称，由此可求出P点的坐标．（3）观看图象结合解析式写出答案即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+5x+n通过点A（1，0）∴n=﹣4∴y=﹣x2+5x﹣4；（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+5x﹣4，∴令x=0，则y=﹣4，∴B点坐标（0，﹣4），AB=，①当PA=AB时，PA=AB，则有OB=OP现在P（0，4）②当PB=AB时，|PB|=，故P（0，）；P（0，﹣）因此P点的坐标为P（0，4）；P（0，）；P（0，﹣）；。