2018届中考数学全程演练数与代数第三单元方程与方程组第8课时二元一次方程组
中考数学第八章 二元一次方程组(讲义及答案)及答案
中考数学第八章 二元一次方程组(讲义及答案)及答案一、选择题1．二元一次方程组22x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解是（ ）A ．02x y =⎧⎨=-⎩B ．02x y =⎧⎨=⎩C ．2x y =⎧⎨=⎩D ．20x y =-⎧⎨=⎩2．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）A ．253x y x y-=+B ．x+y=1C ．2115x y =+ D ．3x+1=2xy3．已知关于x 、y 的方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的方程组232232316ax by a cax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解是 （ ） A ．42x y =⎧⎨=⎩B ．32x y =⎧⎨=⎩C ．52x y =⎧⎨=⎩D ．51x y =⎧⎨=⎩4．用一块A 型钢板可制成2块C 型钢板、3块D 型钢板；用一块B 型钢板可制成1块C 型钢板、4块D 型钢板．某工厂现需14块C 型钢板、36块D 型钢板，设恰好用A 型钢板x 块，B 型钢板y 块，根据题意，则下列方程组正确的是（ ） A ．2143436x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3214436x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．2314436x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2144336x y x y +=⎧⎨+=⎩5．已知2x y a =⎧⎨=⎩是方程25x y +=的一个解，则a 的值为( ) A ．1a =-B ．1a =C ．23a =D ．32a =6．端午节前夕，某超市用1680元购进A ，B 两种商品共60，其中A 型商品每件24元，B 型商品每件36元.设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件，依题意列方程组正确的是( )A ．6036241680x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．3624601680x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．2436601680x y x y +=⎧⎨+=⎩7．若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，则方程组111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是( )A．2128xy=⎧⎨=⎩B．98xy=⎧⎨=⎩C．714xy=⎧⎨=⎩D．9787xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩8．方程组22{?23x y mx y+=++=中，若未知数x、y满足x-y>0，则m的取值范围是( ) A．m＞1 B．m＜1 C．m＞-1 D．m＜-19．将一张面值100元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（）A．6种B．7种C．8种D．9种10．下列四组数值中，方程组2534a b ca b ca b c++=⎧⎪-+=-⎨⎪--=-⎩的解是( )A．11abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩B．121abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩C．112abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩D．123abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩二、填空题11．已知对任意a b，关于x y，的三元一次方程()()a b x a b y a b--+=+只有一组公共解，求这个方程的公共解_____________．12．小明今年五一节去三峡广场逛水果超市，他分两次购进了A、B两种不同单价的水果．第一次购买A种水果的数量比B种水果的数量多50%，第二次购买A种水果的数量比第一次购买A种水果的数量少60%，结果第二次购买水果的总数量比第一次购买水果的总数量多20%，且第二次购买A、B水果的总费用比第一次购买A、B水果的总费用少10%（两次购买中A、B两种水果的单价不变），则B种水果的单价与A种水果的单价的比值是______．13．历代数学家称《九章算术》为“算经之首”.书中有这样一道题的记载，译文为：今有5只雀、6只燕，分别聚集在一起称重，称得雀重，燕轻．若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等；将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设雀每只重x斤，燕每只重y斤，则可列方程组为________________14．如图，长方形ABCD被分成若干个正方形，已知32cmAB=，则长方形的另一边AD=_________cm.15．小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册共花142元，则两种纪念册共买______本．16．假设北碚万达广场地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过________小时车库恰好停满． 17．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装有3千克A 粗粮，1千克B 粗粮，1千克C 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮，2千克B 粗粮，2千克C 粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中,,A B C 三种粗粮的成本价之和.已知A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是____________________. （-=100%⨯商品的售价商品的成本价商品的利润率商品的成本价）18．已知|x ﹣z+4|+|z ﹣2y+1|+|x+y ﹣z+1|=0，则x+y+z=________．19．若方程组2313{3530.9a b a b -=+=的解是8.3{ 1.2,a b ==则方程组的解为________20．已知方程组1122a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩解为510x y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y 的方程组1112223232a x y a c a x y a c +=+⎧⎨+=+⎩的解是_______．三、解答题21．某中学库存一批旧桌凳，准备修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务，经协商得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天，乙小组每天比甲小组多修8套，甲小组每天修16套桌凳；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．（1）求甲、乙两个木工小组单独修理这批桌凳各需多少天．（2）在修理桌凳的过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有下面三种修理方案供选择：①由甲小组单独修理；②由乙小组单独修理；③由甲、乙两小组合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．22．对x ，y 定义一种新运算T ，规定()22,ax by T x y a y +=+（其中a ，b 是非零常数且0x y +≠），这里等式右边是通常的四则运算．如：()223193,1314a b a b T ⨯+⨯+==+，()24,22am bT m m +-=-． （1）填空：()4,1T =_____（用含a ，b 的代数式表示）； （2）若()2,02T -=-且()5,16T -=．①求a 与b 的值；②若()()310,33,310T m m T m m --=--，求m 的值．23．某县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是20040cm cm ⨯的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B 型两种板材．如图甲所示．（单位cm ） （1）列出方程（组），求出图甲中a 与b 的值；（2）在试生产阶段，若将625张标准板材用裁法一裁剪，125张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？24．某商贸公司有A 、B 两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：体积（立方米/件） 质量（吨/件） A 型商品0．8 0．5 B 型商品21（1）已知一批商品有A 、B 两种型号，体积一共是20立方米，质量一共是10．5吨，求A 、B 两种型号商品各有几件？（2）物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3．5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种：①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？25．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨，现有21吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题:(1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？(2)请你帮个体商贩张杰设计共有多少种租车方案？26．已知12xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程2x y a+=的一个解．(1)a=__________；(2)完成下表，并在所给的直角坐标系中描出表示这些解的点(x，y)，如果过其中任意两点作直线，你有什么发现？x013 y620【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】分析：方程组利用加减消元法求出解即可．详解：22x yx y+⎧⎨--⎩＝①＝②，①+②得：2x=0，解得：x=0，把x=0代入①得：y=2，则方程组的解为02x y ⎧⎨⎩＝＝， 故选B ．点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．2．B解析：B 【解析】根据二元一次方程的定义对四个选项进行逐一分析． 解：A 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；B 、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，故本选项正确；C 、D 、含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故本选项错误． 故选B ．3．B解析：B 【分析】方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（）（），由方程组2323216ax by cax by c -=⎧⎨+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩即可求得方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩. 【详解】方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（）（），∵方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩，∴142x y +=⎧⎨=⎩，即方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为32x y =⎧⎨=⎩. 故选B. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把方程组232232316ax by a cax by a c -+=⎧⎨++=⎩化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（）（）是解决问题的关键. 4．A解析：A 【分析】根据“用一块A 型钢板可制成2块C 型钢板、3块D 型钢板；一块B 型钢板可制成1块C 型钢板、4块D 型钢板及A 、B 型钢板的总数”可得 【详解】设恰好用A 型钢板x 块，B 型钢板y 块，根据题意，得：2143436x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：A ． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．5．B解析：B 【分析】直接把2x y a =⎧⎨=⎩代入方程，即可求出a 的值．【详解】解：根据题意，∵2x y a=⎧⎨=⎩是方程25x y +=的一个解， ∴225a ⨯+=， ∴1a =； 故选：B ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则进行解题．6．B解析：B 【分析】根据A 、B 两种商品共60件以及用1680元购进A 、B 两种商品,分别得出等式组成方程组即可． 【详解】解：设购买A 型商品x 件、B 型商品y 件，依题意列方程组：6024361680x y x y +=⎧⎨+=⎩． 故选B.． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列出方程组．7．C解析：C 【分析】先将111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩化简为11122232773277a x b y c a x b y c⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，然后用“整体代换”法，求出方程组的解即可； 【详解】解：111222327327a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，11122232773277a x b y c a x b y c ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，设3727x t y s ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，111222a t b s c a t b s c +=⎧∴⎨+=⎩， 方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，∴方程组111222a t b s c a t b s c +=⎧⎨+=⎩的解为34t s =⎧⎨=⎩，337247x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得：714x y =⎧⎨=⎩．故选C ． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．8．B解析：B 【解析】解方程组22{23x y m x y +=++=得43{123mx my -=+=， ∵x 、y 满足x-y>0，∴412330333m m m-+--=>， ∴3－3m>0, ∴m<1. 故选B.9．A解析：A 【解析】试题解析：设兑换成10元x 张，20元的零钱y 元，由题意得： 10x+20y=100， 整理得：x+2y=10，方程的整数解为：24x y =⎧⎨=⎩，43x y =⎧⎨=⎩，62x y =⎧⎨=⎩，81x y =⎧⎨=⎩，10{0x y ==，05x y =⎧⎨=⎩．因此兑换方案有6种， 故选A ．考点：二元一次方程的应用．10．B解析：B 【解析】分析：首先利用②－①和②+③得出关于a 和b 的二元一次方程组，从而求出a 和b 的值，然后将a 和b 代入任何一个式子得出c 的值，从而得出方程组的解．详解：0?25?34? a b c a b c a b c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪--=-⎩①②③，②－①可得：a －2b=－5 ④， ②+③可得：5a －2b=－9 ⑤，④－⑤可得：－4a=4，解得：a=－1， 将a=－1代入④可得：b=2，将a=－1，b=2代入①可得：c=－1，∴方程组的解为：121a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，故选B ．点睛：本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．二、填空题11．【分析】先把原方程化为的形式，再分别令a ，b 的系数为0，即可求出答案． 【详解】 解：由已知得： ∴两式相加得：，即， 把代入得到，， 故此方程组的解为：． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考解析：01x y =⎧⎨=-⎩ 【分析】先把原方程化为(1)(1)0a x y b x y ---++=的形式，再分别令a ，b 的系数为0，即可求出答案． 【详解】解：由已知得：(1)(1)0a x y b x y ---++= ∴1010x y x y --=⎧⎨++=⎩两式相加得：20x =，即0x =， 把0x =代入10x y --=得到，1y =-，故此方程组的解为：01x y =⎧⎨=-⎩．故答案为：01x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题，运用三元一次方程组的解法的知识进行计算，即可解答．12．【分析】根据水果数量的等量关系，可设第一次购买种水果数量为个，用分别表示第一次购买种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为元和元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方解析：12【分析】根据水果数量的等量关系，可设第一次购买B 种水果数量为x 个，用x 分别表示第一次购买A 种水果的数量和第二次购买两种水果的数量．再分别设两种水果的单价为a 元和b 元，根据两次购买价钱的等量关系列方程，所列方程中x 是可以约去的，化简即得到a 与b 的数量关系． 【详解】解：设第一次购买B 种水果数量为x ，∴第一次购买A 种水果的数量为：3(150%)2x x +=， ∴第二次购买A 种水果数量为：3323(160%)2255x xx -==， ∴第二次购买水果的总数量为：356()(120%)3225x x xx ++==， ∴第二次购买B 种水果个数为：312355x x x -=，设A 种水果单价为a 元，B 种水果单价为b 元，依题意得：3312()(110%)255ax bx a x b x +-=+， 化简得：2a b =∴12b a =， B ∴水果的单价与A 水果的单价的比值是12，故答案为：12． 【点睛】本题考查了一次方程的应用，在缺少确切数值的情况下，可先假设等量关系中的关键量为未知数，再列方程化简求值．13．【分析】设每只雀有x 两，每只燕有y 两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【详解】解：设每只雀有x 两，每只燕有y 两， 由题意得， 【解析：45561x y y xx y +=+⎧⎨+=⎩【分析】设每只雀有x两，每只燕有y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．【详解】解：设每只雀有x两，每只燕有y两，由题意得，45561 x y y xx y+=+⎧⎨+=⎩【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．14．【解析】【分析】可以设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，根据已知AB=CD=32cm，可得到两个关于x、y的方程，求方程组即可得解，然后求长方形另一边AD的长即可．【详解】解析：76843【解析】【分析】可以设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，根据已知AB=CD=32cm，可得到两个关于x、y的方程，求方程组即可得解，然后求长方形另一边AD的长即可．【详解】设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，将各个正方形的边长都用x和y 表示出来（如图），根据AB=CD=32cm，可得：643322532y x y xx y-+-⎧⎨+⎩＝＝解得：x=12843cm，y=22443cm．长方形的另一边AD=3y-x+y=4y-x=76843cm．故答案为：768 43【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和正方形的性质，解题的关键是读懂图意根据矩形的性质列出方程组并求解．15．26、24或22【解析】【分析】通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．【详解】解：假设购买小纪念册解析：26、24或22【解析】【分析】通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．【详解】解：假设购买小纪念册x本，购买大纪念册y本，则x，y为整数．则有题目可得二元一次方程：5x+7y=142，解得：x，y有4组整数解即：271xy=⎧⎨=⎩,206xy=⎧⎨=⎩,1311xy=⎧⎨=⎩,616xy=⎧⎨=⎩即有四种情况即：两种纪念册共买28、26、24或22本．故答案为28、26、24或22本．【点睛】本题考查了一次方程的实际应用,中等难度,解决此类问题的关键在于，找出题目中所给的等量关系，列出方程，求解方程．16．【解析】【分析】设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x解析：32 15【解析】【分析】设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据“如果开放2个进口和3个出口，8个小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2个小时车库恰好停满．”列出方程组求得x 、y ，进一步代入求得答案即可． 【详解】设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得：82375%23275%x y a x y a （）（）-=⎧⎨-=⎩解得：316332x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 则60%a ÷（2x -y ）=60%a ÷（316a ×2332-a ）＝3215（小时）． 故答案为3215． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．17．【解析】【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本，然后设设甲销售袋，乙销售袋使总利润率为24%，根据等量关系：（甲的成本+乙的成本）×24%=a 袋甲种粗粮的利润+b 袋乙种粗粮的利润，列出方程解析：89【解析】【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本，然后设设甲销售a 袋，乙销售b 袋使总利润率为24%，根据等量关系：（甲的成本+乙的成本）×24%=a 袋甲种粗粮的利润+b 袋乙种粗粮的利润，列出方程进行整理即可得. 【详解】用表格列出甲、乙两种粗粮的成分：由题意可得甲的成本价为：130%+=45（元），甲中A 的成本为：3×6=18（元），则甲中B 、C 的成本之和为：45-18=27（元）， 根据乙的组成则可得乙的成本价为：6+27×2=60（元），设甲销售a袋，乙销售b袋使总利润率为24%，则有（45a+60b）×24%=(58.5-45)a+(72-60)b，整理得：2.7a=2.4b，所以，a：b=8：9，故答案为8 9 .【点评】本题考查了方程的应用，难度较大，根据题意求出甲、乙两种包装的成本价是解题的关键.18．9【解析】由题意得,解得,所以x+y+z=9.解析：9【解析】由题意得4021010x zz yx y z-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-+=⎩,解得135xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以x+y+z=9.19．【解析】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为： .20．【分析】根据方程组解的定义，把x＝5，y＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的关系，再代入计算即可．【详解】解：∵方程组∵解为：x＝5，y＝10，∴，∴∵，∴，①−②，得3a解析：25 xy⎧⎨⎩＝＝【分析】根据方程组解的定义，把x＝5，y＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的关系，再代入计算即可．【详解】解：∵方程组1122==a x y c a x y c +⎧⎨+⎩∵解为：x ＝5，y ＝10， ∴1122510=510=a c a c +⎧⎨+⎩，∴()12125a a c c -=- ∵11122232=32=a x y a c a x y a c ++⎧⎨++⎩，∴112232=61032=610a x y a a x y a ++⎧⎨++⎩①②，①−②，得3a 1x−3a 2x ＝6a 1−6a 2， ∴x ＝2，把x ＝2代入①得，y ＝5，∴方程组11122232=32a x y a c a x y a c ++⎧⎨+=+⎩的解是=2=5x y ⎧⎨⎩，故答案为：=2=5x y ⎧⎨⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解法是解题的关键．三、解答题21．（1）60天，40天；（2）方案③既省时又省钱. 【分析】(1)设甲小组单独修完需要x 天，乙小组单独修完需要y 天，根据“甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天”，以及桌凳总数不变，便可建立方程组进行解答；(2)综合(1)所得求出这批旧桌凳的数目，然后求出三种方案的工作时间与实际花费，再进行比较即可. 【详解】解：(1)设甲小组单独修理这批桌凳需要x 天，乙小组单独修理这批桌凳需要y 天． 根据题意，得()16168,20.x y x y ⎧=+⎨-=⎩解得60,40.x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两个木工小组单独修理这批桌凳各需60天、40天． (2)这批旧桌凳的数目为60×16＝960(套)．方案①：学校需付费用为60×(80＋10)＝5400(元)； 方案②：学校需付费用为40×(120＋10)＝5200(元)；方案③：学校需付费用为()96016168++×(120＋80＋10)＝5040(元)．比较知，方案③既省时又省钱．故答案为（1）60天，40天；（2）方案③既省时又省钱. 【点睛】解答本题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，再求解. 22．（1）163a b +；（2）①11a b =⎧⎨=-⎩；②53m =【分析】（1）把（4，-1）代入新运算中，计算得结果；（2）①根据新运算规定和T （-2，0）=-2且T （5，-1）=6，得关于a 、b 的方程组，解方程组即可；②把①中求得的a 、b 代入新运算，并对新运算进行化简，根据T （3m-10，m ）=T （m ，3m-10）得关于m 的方程，求解即可． 【详解】解：（1）224(1)16(4,1)413a b a bT ⨯+⨯-+-==-； 故答案为：163a b+； （2）①∵()2,02T -=-且()5,16T -=，∴42,225 6.4aa b ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪⎩解得：1,1.a b =⎧⎨=-⎩②∵a=1，b=1-，且x+y≠0， ∴22()()(,)x y x y x y T x y x y x yx y-+-===-++．∴()310,33103610T m m m m m --=-+=-，()3,3103310610T m m m m m --=--+=-+∵()()310,33,310T m m T m m --=--， ∴610610m m -=-+， 解得：53m =．【点睛】本题考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法及新运算等相关知识，理解新运算的规定并能运用是解决本题的关键 23．（1）5040a b；（2）竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个．【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a 、b 的二元一次方程组求解；（2）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A 型板材和B 型板材的张数，然后根据竖式与横式礼品盒所需要的A 、B 两种型号板材的张数列出关于x 、y 的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：310200330200a b ab，解得：5040a b，答：图甲中a 与b 的值分别为：50、40；（2）由图示裁法一产生A 型板材为：3×625=1875，裁法二产生A 型板材为：1×125=125， 所以两种裁法共产生A 型板材为1875+125=2000（张），由图示裁法一产生B 型板材为：1×625=625，裁法二产生A 型板材为，3×125=375， 所以两种裁法共产生B 型板材为625+375=1000（张），设裁出的板材做成的竖式有盖礼品盒有x 个，横式无盖礼品盒有y 个， 则A 型板材需要（4x+3y ）个，B 型板材需要（x+2y ）个， 则有43200021000x y xy，解得200400x y．【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a 、b 的值，根据图示列出算式以及关于x 、y 的二元一次方程组．+24．（1）A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元 【分析】（1）设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，根据体积与质量列方程组求解即可； （2）①按车付费=车辆数⨯600；②按吨付费=10.5⨯200；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较. 【详解】（1））设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，0.82200.510.5x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得58x y =⎧⎨=⎩，答：A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件； （2）①按车收费：10.5 3.53÷=（辆），但是车辆的容积63⨯=18<20，3辆车不够，需要4辆车，60042400⨯=（元）； ②按吨收费：200⨯10.5=2100（元）；③先用车辆运送18m 3，剩余1件B 型产品，共付费3⨯600+1⨯200=2000（元）， ∵2400>2100>2000，∴先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题.25．(1)甲、乙两种车分别运载3吨，2吨；(2)共4种方案. 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种车分别运载x 吨，y 吨，根据题意列出二元一次方程组，求出x,y 即可得解；（2）列出二元一次方程，根据m ，n 都是整数，可得到方案. 【详解】解：(1)设甲、乙两种车分别运载x 吨，y 吨；23123417x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩； 答：1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货3吨，2吨； (2)设租甲、乙两种车分别m 辆，n 辆， 由题意得：3m+2n=21.19m n =⎧⎨=⎩，36m n =⎧⎨=⎩，53m n =⎧⎨=⎩，70m n =⎧⎨=⎩共4种方案. 方案一：甲车1辆，乙车9辆； 方案二：甲车3辆，乙车6辆； 方案三：甲车5辆，乙车3辆 方案四：甲车7辆，乙车0辆.答：甲车1辆，乙车9辆或甲车3辆，乙车6辆或甲车5辆，乙车3辆或甲车7辆，乙车0辆. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够找到等量关系列出二元一次方程组是解题关键.26．（1）4；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据代入法，把已知的二元一次方程的解代入方程即可求解a 的值；（2）利用（1）中的a 值，得到二元一次方程组，代入求解完成表格，然后描点即可.【详解】（1）将12xy=⎧⎨=⎩代入2x+y=a，解得a=4.（2）完成表格如下：x-10123y6420-2由图可知，如果过其中任意两点作直线，其他点也在这条直线上．【点睛】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．。
2023中考数学二元一次方程历年真题及答案
2023中考数学二元一次方程历年真题及答案1. 2018年真题已知二元一次方程组：2x - 3y = 14x + y = 7求解该方程组。
解法：首先，使用方法一拆解法，将第一个方程的x系数乘以2，得到4x - 6y = 2。
然后，将第二个方程乘以2，得到8x + 2y = 14。
我们可以得到下面的等式：4x - 6y = 28x + 2y = 14接着，我们对方程进行相减操作，消去y的系数。
计算得到：3x = 12最后，解得x = 4。
将x = 4代入第一个方程，可以求解出y的值：2(4) - 3y = 1-3y = -7y = 7/3所以，方程组的解为x = 4，y = 7/3。
2. 2019年真题已知二元一次方程组：2x - y = 5x + 3y = 11求解该方程组。
解法：首先，使用方法二代入法，将第一个方程解出x，得到x = y + 5。
然后，将x的表达式代入第二个方程，得到：(y + 5) + 3y = 114y + 5 = 114y = 6y = 6/4解得y = 3/2。
将y = 3/2代入x = y + 5，可以得到x的值：x = 3/2 + 10/2x = 13/2所以，方程组的解为x = 13/2，y = 3/2。
3. 2020年真题已知二元一次方程组：3x - 2y = 62x + y = -4求解该方程组。
解法：首先，使用方法一拆解法，将第一个方程的x系数乘以2，得到6x - 4y = 12。
然后，将第二个方程乘以3，得到6x + 3y = -12。
我们可以得到下面的等式：6x - 4y = 126x + 3y = -12接着，我们对方程进行相减操作，消去x的系数。
计算得到：-7y = 24最后，解得y = -24/7。
将y = -24/7代入第一个方程，可以求解出x的值：3x - 2(-24/7) = 63x + 48/7 = 63x = 6 - 48/73x = 12/7 - 48/73x = -36/7x = -12/7所以，方程组的解为x = -12/7，y = -24/7。
二元一次方程组及其应用
【思路分析】(1)由第一个方程得到x＝2y＋4， 然后利用代入消元法求解即可．(2)把方程组整理 5x－11y＝－1 ①， 成一般形式 －x＋5y＝3 ②， 然后利用代入或加减消元法求即可． x－2y＝4 ①， 【答案】(1) 由①得，x＝2y＋4③， 2x＋y－3＝0 ②，
③代入②得2(2y＋4)＋y－3＝0，解得y＝－1， 把y＝－1代入③得，x＝2×(－1)＋4＝2，所以，
(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的 平均分； (2)最后获知：A，B，C，D，E五位同学成绩分别 是95分，81分，64分，83分，58分． ①求E同学的答对题数和答错题数； ②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分 是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是 其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位 同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出 答案即可)．
【答案】(1)82.5分． (2)①设E同学答对x题，答错y题，由题意得 5x－2y＝58 x＝12 ， 解得 y＝1 . x＋y＝13
答：E同学答对12题，答错1题． ②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．
【开放探究题】 【试题】三个同学对问题“若方程组
a1x＋b1y＝c1，
a2x＋b2y＝c2 3a1x＋2b1y＝5c1， x ＝3 ， 的解是 求方程组 的解．” y＝4. 3a2x＋2b2y＝5c2 提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够， 不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律， 可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两 个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解 决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该 是________．
2x＋3y＝n， 3．已知方程组 的解x，y的和为12， 3x＋5y＝n+2 求n的值； 2x＋3y＝n，① 【答案】解法一：解方程组 3x＋5y＝n＋2，② x＝2n－6， 得 又∵x＋y＝12， y＝－n＋4. ∴(2n－6)＋(－n＋4)＝12，n＝14. 2x＋3y＝n，① 解法二：已知方程组 3x＋5y＝n＋2，②
2018年全国各地中考数学真题分类解析汇编：05二元一次方程
二元一次方程(组)及其应用一、选择题1．（2018?新疆，第8题5分）“六?一”儿童节前夕，某超市用3360元购进A，B两种童装共120套，其中A型童装每套24元，B型童装每套36元．若设购买A型童装x套，B型童装y套，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组分析：设购买A型童装x套，B型童装y套，根据超市用3360元购进A，B两种童装共120套，列方程组求解．解答：解：设购买A型童装x套，B型童装y套，由题意得，．故选B．点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．2．（2018?温州，第9题4分）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．分析：设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．解答：解：设男生有x人，女生有y人，根据题意得，．故选：D．点评：此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．3.（2018?毕节地区，第13题3分）若﹣2a m b4与5a n+2b2m+n可以合并成一项，则m n的值是（）A．2B．0C．﹣1 D．1考点：合并同类项分析：根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，根据乘方，可得答案．解答：解：若﹣2a m b4与5a n+2b2m+n可以合并成一项，，解得，m n=20=1，故选：D．点评：本题考查了合并同类项，同类项是字母相同且相同字母的指数也相同是解题关键．4.（2018?襄阳，第8题3分）若方程mx+ny=6的两个解是，，则m，n的值为（）A． 4，2 B．2，4 C．﹣4，﹣2 D．﹣2，﹣4考点：二元一次方程的解．专题：计算题．分析：将x与y的两对值代入方程计算即可求出m与n的值．解答：解：将，分别代入mx+ny=6中，得：，①+②得：3m=12，即m=4，将m=4代入①得：n=2，。
2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题5二元一次方程(组)及其应用试题(含解析)
二元一次方程(组)及其应用一.选择题. （·湖北荆州·分）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛，只羊，值金两；头牛，只羊，值金两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金两、两，则可列方程组为（）．．．．【解答】解：由题意可得，，故选：．. （·湖北十堰·分）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出钱，则剩余钱：如果每人出钱，则差钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有人，物品的价格为元，可列方程（组）为（）．．．．【分析】设有人，物品的价格为元，根据所花总钱数不变列出方程即可．【解答】解：设有人，物品的价格为元，根据题意，可列方程：，故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．. （•乐山•分）方程组﹣的解是（）．．．．解：由题可得：，消去，可得（﹣），解得，把代入，可得，∴方程组的解为．故选．．（·辽宁大连·分）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有匹大马，匹小马，根据题意可列方程组为．解：由题意可得：．故答案为：．二.填空题.（·云南省曲靖·分）一个书包的标价为元，按折出售仍可获利，该书包的进价为元．【解答】解：设该书包的进价为元，根据题意得：×﹣，解得：．答：该书包的进价为元．故答案为：．三.解答题. （·广西贺州·分）某自行车经销商计划投入万元购进辆型和辆型自行车，其中型车单价是型车单价的倍少元．（）求两种型号的自行车单价分别是多少元？（）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进型车多少辆？【解答】解：（）设型自行车的单价为元辆，型自行车的单价为元辆，根据题意得：，解得：．答：型自行车的单价为元辆，型自行车的单价为元辆．（）设购进型自行车辆，则购进型自行车（﹣）辆，根据题意得：（﹣）≤，解得：≤．答：至多能购进型车辆．.（·云南省昆明·分）（列方程（组）及不等式解应用题）水是人类生命之源．为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策．若居民每户每月用水量不超过立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价基本水价污水处理费）；若每户每月用水量超过立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价，每立方米污水处理费不变．甲用户月份用水立方米，缴水费元；乙用户月份用水立方米，缴水费元．（注：污水处理的立方数实际生活用水的立方数）（）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？（）如果某用户月份生活用水水费计划不超过元，该用户月份最多可用水多少立方米？【分析】（）设每立方米的基本水价是元，每立方米的污水处理费是元，然后根据等量关系即可列出方程求出答案．（）设该用户月份可用水立方米（＞），根据题意列出不等式即可求出答案．【解答】解：（）设每立方米的基本水价是元，每立方米的污水处理费是元解得：答：每立方米的基本水价是元，每立方米的污水处理费是元．（）设该用户月份可用水立方米（＞）×（﹣）×≤解得：≤答：如果某用户月份生活用水水费计划不超过元，该用户月份最多可用水立方米【点评】本题考查学生的应用能力，解题的关键是根据题意列出方程和不等式，本题属于中等题型．．（·重庆市卷）（分）为实现营养套餐的合理搭配，某电商推出两款适合不同人群的甲、乙两种袋装的混合粗粮．甲种袋装粗粮每袋含有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮；乙种袋装粗粮每袋含有千克粗粮，千克粗粮，千克粗粮．甲、乙两种袋装粗粮每袋成本分别等于袋中的三种粗粮成本之和．已知每袋甲种粗粮的成本是每千克种粗粮成本的倍，每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮售价高，乙种袋装粗粮的销售利润率是．当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为时，该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的袋数之比是（商品的销售利润率×）【分析】根据每袋甲种粗粮的成本是每千克种粗粮成本的倍，可得甲的成本，乙的成本；根据乙种袋装粗粮的销售利润率是，可得乙的售价，根据每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮售价高，可得甲的售价，根据甲的利润乙的利润（甲的成本乙的成本）×，根据等式的性质，可得答案．【解答】解：设的单价为元，的单价为元，的单价为元，当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为时，该电商销售甲的销售量为袋，乙的销售量为袋，由题意，得一袋的成本是，化简，得；乙一袋的成本是（），乙一袋的售价为（），甲一袋的售价为．根据甲乙的利润，得（﹣）×（）×化简，得，故答案为：．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键．. （•莱芜•分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元．（）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是件和件，该公司计划购买这两种型号的机器人共台，总费用不超过万元，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？【分析】（）利用二元一次方程组解决问题；（）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值．【解答】解：（）设甲型机器人每台价格是万元，乙型机器人每台价格是万元，根据题意得解这个方程组得：答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是万元、万元（）设该公可购买甲型机器人台，乙型机器人（﹣）台，根据题意得解这个不等式组得∵为正整数∴的取值为，，，∴该公司有种购买方案，分别是购买甲型机器人台，乙型机器人台购买甲型机器人台，乙型机器人台购买甲型机器人台，乙型机器人台设该公司的购买费用为万元，则（﹣）∵＞∴随的增大而增大当时，最小，最小×（万元）∴该公司购买甲型机器人台，乙型机器人台这个方案费用最低，最低费用是万元．【点评】本题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用．. （•陕西•分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国，小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：根据上表提供的信息，解答下列问题：()已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共，获得利润．万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；()根据之前的销售情况，估计今年月到月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共，其中，这种规格的红枣的销售量不低于．假设这后五个月，销售这种规格的红枣味（），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为（元），求出与之间的函数关系式，并求出这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．【答案】（）前五个月小明家网店销售这种规格的红枣袋，销售小米袋；（）小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润元．【解析】【分析】（）设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣袋，销售小米袋，根据等量关系：①销售红枣和小米共，②获得利润．万元，列方程组进行求解即可得；（）根据总利润红枣的利润小米的利润，可得与间的函数关系式，根据一次函数的性质即可得答案.【详解】（）设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣袋，销售小米袋，根据题意得：，解得：，答：前五个月小明家网店销售这种规格的红枣袋，销售小米袋；（）根据题意得：＝(－)＋(－)×＝＋，∵>，∴随的增大而增大，∵≥，∴当＝时，取得最小值，最小值为＝×＋＝，∴小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，弄清题意，找出各个量之间的关系是解题的关键..（·湖北咸宁·分）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带个学生，还剩个学生没人带；若每位老师带个学生，就有一位老师少带个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过元，为了安全，每辆客车上至少要有名老师．（）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有名老师，可知租用客车总数为辆；（）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．【答案】（）老师有名，学生有名；（）；（）共有种租车方案，最节省费用的租车方案是：租用甲种客车辆，乙种客车辆．【解析】【分析】（）设老师有名，学生有名，根据等量关系：若每位老师带个学生，还剩个学生没人带；若每位老师带个学生，就有一位老师少带个学生，列出二元一次方程组，解出即可；（）由（）中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车，再根据总人数以及汽车最多的是座的可以确定出汽车总数不能小于（取整为）辆，由此即可求出；（）设租用辆乙种客车，则甲种客车数为：（﹣）辆，由题意得出（﹣）≤，得出取值范围，分析得出即可．【详解】（）设老师有名，学生有名，依题意，列方程组为，解得：，答：老师有名，学生有名；（）∵每辆客车上至少要有名老师，∴汽车总数不能大于辆；又要保证名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为）辆，综合起来可知汽车总数为辆，故答案为：；（）设租用辆乙种客车，则甲种客车数为：（﹣）辆，∵车总费用不超过元，∴（﹣）≤，解得：≤，为使名师生都有座，∴（﹣）≥，解得：≥，∴≤≤（为整数），∴共有种租车方案：方案一：租用甲种客车辆，乙种客车辆，租车费用为元；方案二：租用甲种客车辆，乙种客车辆，租车费用为元；方案三：租用甲种客车辆，乙种客车辆，租车费用为元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车辆，乙种客车辆．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键..（·江苏常州·分）解方程组和不等式组：（）【分析】（）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（），①②得：，把代入②得：﹣，所以方程组的解为：；【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
认识二元一次方程组备课
课题：5.1认识二元一次方程组一．备课标：（一）内容标准：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
（二）核心概念：初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，探索具体问题中的数量关系并能根据数量关系列出方程，发展灵活运用数学知识解决实际问题能力。
十大核心概念在本节课中突出培养的是模型思想、应用意识。
二. 备重点、难点：（一）教材分析：本节课是八年级上册第五章《二元一次方程组》第一节“认识二元一次方程组”，属于“数与代数”领域中的“方程”。
本章的学习将使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数方法的优越性，也将有助于巩固有理数、整式运算、一元一次方程等知识，方程作为数学的一个重要分支，是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型，它既是一元一次方程的继续和发展，同时又是今后学习线性方程组及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下的作用. 本节的重点是通过丰富的实例学习二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程（组）的解的概念，体会二元一次方程组的模型思想，学习列方程解应用题的方法。
（二）重点、难点分析：本节通过丰富的实例，归纳建立二元一次方程和二元一次方程组的概念，并从中体会方程的模型思想。
基于学生对一元一次方程理解的基础上，教材从实际问题出发，通过引导学生经历自主探索和合作交流的活动，学习二元一次方程、二元一次方程组及其解等基本概念，所以确定：重点：1.理解二元一次方程（组）及其解的含义.2.体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识.难点：准确分析确定具体情境的等量关系，从实际问题中抽象出二元一次方程的过程.三．备学情：（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生了解方程、一元一次方程及其解的概念，具备了列一元一次方程解决实际问题的基础经验。
（2）支持性条件：学生初步体会了方程的模型思想，具备了用类比方法学习二元一次方程（组）概念的基本能力.此处表现为类比一元一次方程的形成过程学习二元一次方程。
考点05 方程与方程组-2018年中考数学考点归纳总结
一、方程和方程的解的概念 1．等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式． 2．方程含有未知数的等式叫做方程． 3．方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程． 二、一元一次方程及其解法 1．一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．学+科网注意：x 前面的系数不为0． 2．一元一次方程的解使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．三、二元一次方程（组）及解的概念 1．二元一次方程含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 5．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．学*科网 四、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）审题； （2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程； （4）解方程（组）； （5）检验结果；（6）作答(不要忽略未知数的单位名称）． 2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润=售价－成本价；利润率＝利润成本×100％；售价＝标价×折扣；销售额＝售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金×(1＋利率×期数)；贷款利息＝贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程＝速度×时间．（5）相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程＝追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度． 五、一元二次方程的概念 1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一般形式20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程，②必须只含有一个未知数，③所含未知数的最高次数是2． 六、一元二次方程的解法 1．直接开平方法适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程． 2．配方法（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3．公式法（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=； （2）确定,,a b c 的值； （3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可．4．因式分解法基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=． 七、一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根． 3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．八、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容． 1．增长率等量关系（1）增长率＝增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=． 2．利润等量关系（1）利润＝售价－成本． （2）利润率＝利润成本×100％． 3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．图1图2 图3九、分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数；②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答．考向一 一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是0ax b +=（,a b 是常数且0a ≠）．典例1 下列方程中，是一元一次方程的是A ．243x x -=B ．0x =C ．21x y +=D ．11x x-=【答案】B1．若方程270a x --=是一元一次方程，则a 等于 A ．3-B ．3C ．3±D ．02．已知下列方程：①32x x-=；②0.411x =；③512x x =-；④243y y -=；⑤0t =；⑥21x y +=．其中一元一次方程的个数是 A ．2B ．3C ．4D ．5考向二 解一元一次方程解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1．典例2 方程122x -=的解是 A ．14x =-B ．4x =-C ．14x =D ．4x =【答案】A【解析】将方程122x -=系数化1可得14x =-．故选A ． 【名师点睛】此方程比较简单，这是一个系数不为1的方程，将系数化为1，就可得到该方程的解．解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是使方程接近x a =（a 为常数）的形式．3．方程240x a +-=的解是2x =-，则a = A ．－8B ．0C ．2D ．84．如果230a +=，那么a 的值是 A ．32B ．32-C ．23D ．23-考向三 一元一次方程的应用列方程解实际应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； （2）设：恰当设出关键未知数； （3）列：找出适当等量关系，列方程； （4）解：解方程；（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义； （6）答：规范作答，注意单位名称．典例3 整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时．现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？【答案】先安排整理的人员有10人．【名师点睛】解决本题的关键是得到工作量1的等量关系；易错点是得到相应的人数及对应的工作时间．5．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店 A ．不赔不赚B ．赚了10元C ．赔了10元D ．赚了50元6．公园门票价格规定如下表：某校初一（1）、（2）两个班共104人去游公园，其中（1）班人数较少，不足50人． 经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： （1）两班各有多少学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果初一（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？考向四 二元一次方程（组）的定义（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程． （2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．典例4 下列方程中，是二元一次方程的是 A ．345x y z +=B ．20xy +=C ．231y x+=D ．142y x -=【答案】D典例5 下列方程中，是二元一次方程组的是A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩C ．245x x y ⎧=⎨+=⎩D ．75x y xy +=⎧⎨=⎩【答案】A【解析】根据定义可以判断：A 、4237x y x y +=⎧⎨+=⎩，满足要求；B 、23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩中含有a ，b ，c ，是三元方程；C 、245x x y ⎧=⎨+=⎩中含有2x ，是二次方程；D 、275x y x y +=⎧⎨-=⎩中含xy ，是二次方程．故选A ．【名师点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程．7．下列方程组中是二元一次方程组的是A ．12xy x y =⎧⎨+=⎩B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩CD8．若33125m n x y --=﹣是二元一次方程，则m =_______________，n =_______________．考向五 解二元一次方程组二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法．典例6 方程组3142x y y x +==⎧⎨⎩的解是_______________．【答案】24x y =⎧⎨=⎩【解析】3142x y y x +==⎧⎨⎩①②，把②代入①得614x x +=，解得2x =， 把2x =代入②得4y =，故方程组3142x y y x +==⎧⎨⎩的解为24x y =⎧⎨=⎩．故填24x y =⎧⎨=⎩．典例7 方程组23738x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是_______________．【答案】51x y =⎧⎨=-⎩【解析】23738x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，用①＋②得315x =，即5x =，把5x =代入②得538y -=，解得1y =-，所以方程组23738x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为51x y =⎧⎨=-⎩，故填51x y =⎧⎨=-⎩．9．二元一次方程组21328x+yx y=⎧⎨-=⎩的解为_______________．10．已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组51ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a b-=_______________．考向六二元一次方程组的应用由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤：①弄清题意；②找准题中的两个等量关系；③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组．典例8 母亲节那天，很多同学给自己的妈妈准备了鲜花和礼盒，由图中信息可知一束鲜花的价格是_______________元．学科+网【答案】15【解析】设一束鲜花x元，一个礼盒y元，由题意可得2552390x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得1520xy=⎧⎨=⎩，所以一束鲜花15元．故填15．11．如图，三个全等的小矩形沿“横-竖-横”排列在一个边长分别为5.7、4.5的大矩形中，则图中一个小矩形的周长等于_______________．12．如图所示，天平中各个正方体的质量相同、各个球的质量相同，若使两架天平都平衡，则下面天平右端托盘上正方体的个数为_______________．考向七 解一元二次方程一元二次方程的常见解法及适用情形：典例9 若2x =-是关于x a 的值为_______________． 【答案】1或4-【解析】因为2x =-是关于x2340a a +-=，整理得1)40()(a a +-=， 解得14a =-，21a =．故a 的值是1或4-．13．一元二次方程23830x x +-=的解是_______________． 14．方程()11x x x +=+的解是_______________．考向八 一元二次方程的判别式对于方程2(0)0ax bx c a ++=≠，24b ac ∆=-，①若∆>0，方程有两个不相等的实数根；②若∆=0，方程有两个相等的实数根；③若∆<0，方程没有实数根．典例10 有两个一元二次方程：①20ax bx c ++=，②20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下四个结论中，错误的是A ．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根B ．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是1x =C ．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根 D ．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异 【答案】B15A ．只有一个根B ．有两个不等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无实数根16．若方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________．考向九 根与系数关系设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．典例11 如果1x ，2x 是一元二次方程2650x x --=的两个实根，那么2212x x +=_______________． 【答案】46【解析】由根与系数关系，可得126x x +=，125x x =-，则222121212()2365246x x x x x x +=+-=+⨯=．17．设α，β是方程2210x x --=的两根，则代数式αβαβ++的值是A ．1B ．1-C ．3D ．3-18．如果2是方程230x x k -+=的一个根，则此方程的另一根为A ．2B ．1C ．1-D ．2-考向十 一元二次方程在实际问题中的应用列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．典例12 某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是_______________． 【答案】25％【解析】设药品平均每次降价的百分率是a ，则由题意可得243(616)a -=，25％．19．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有 A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人20．在一次聚会中，参加聚会的人每两位都相互握一次手，一共握手28次，设参加聚会有x 人，则可列方程_______________．考向十一 解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．典例13 A ．357()2x x -+=- B ．67()52x x x -+= C ．67()52x x x -+=-D ．6572x x x -+=-【答案】C【解析】方程两边同乘以2x 得，67()52x x x -+=-．故选C ．【名师点睛】本题主要考查分式方程的解法，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 典例14 方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =， 检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解．故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．21．若关于x 的方程21111a x x -=++有增根，则a 的值为A ．－12B ．12C ．2D ．2-22．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a 的值为A ．1B ．3C ．1-D ．3-23．解下列方程：（1）1233x x x =+--； （2）2316111x x x +=+--． 考向十二 分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．典例15 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+B ．2010154x x -=+C ．201015x x+=D ．201015x x-= 【答案】A典例16 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400解得 2.5x =元．故选B ．24．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x 千米/时，则可列出的方程为A ．906022x x =+- B ．906022x x =-+ C ．90602x x+=D ．60902x x+= 25．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程300030001510x x-=-．根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成26．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A ，B 两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B 商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A 商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为 A ．117元 B ．118元C ．119元D ．120元1．已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是 A ．352a b -=B ．3126a b +=+C ．325ac bc =+D ．2533a b =+2．若关于x A ．6x =B ．5x =C ．4x =D ．3x =3．已知方程521m n -=，当m 与n 相等时，m 与n 的值分别是A ．22m n =⎧⎨=⎩B ．33m n =-⎧⎨=-⎩C ．11m n =-⎧⎨=-⎩D4．若关于x 的一元二次方程22(2)520m x x m m -++-=的常数项为0，则m 的值为 A ．1B ．2C ．0或2D ．05．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为 A ．120元B ．100元C ．80元D ．60元6．若分式方程3211x mx x =+++无解，则m = A ．1-B ．3-C ．0D ．2-7．如果x my n =⎧⎨=⎩是方程20x y +=的一个解（0m ≠），那么A ．0m ≠，0n =B ．m ，n 异号C ．m ，n 同号D ．m ，n 可能同号，也可能异号8．方程230x x -=的解是 A ．3x =B ．10x =，23x =C ．10x =，23x =-D ．11x =，23x =9．某木工厂有22人，一个工人每天可加工3张桌子或10只椅子，1张桌子与4只椅子配套，现要求工人每天做的桌子和椅子完整配套而没有剩余，若设安排x 个工人加工桌子，y 个工人加工椅子，则列出正确的二元一次方程组为 A ．2212100x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．226100x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．2224100x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．2212200x y x y +=⎧⎨-=⎩10．设1x ，2x 是方程2530x x +-=的两个根，则12x x +=A ．5B ．5-C ．3D ．3-11．小林在某商店两次购买商品A ，B ，购买商品A ，B 的数量和费用如下表：则商品A ，B 的标价分别是 A ．60元，90元 B ．90元，60元 C ．90元，120元D ．120元，90元12．2017年某市人民政府投入1000万元用于改造乡村小学班班通工程建设，计划到2019年再追加投资210万元，如果每年的平均增长率相同，那么该市这两年该项投入的平均增长率为 A ．10%B ．8%C ．1.21%D ．12.1%13．若关于x 的方程233x mx x -=--有正数解，则 A ．0m >且3m ≠ B ．6m <且3m ≠ C ．0m <D ．6m >14．一元二次方程2210x x --=的根的情况为A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根15．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为A ．10801080615x x =+- B ．10801080615x x =-- C ．10801080615x x=-+D ．10801080615x x=++ 16．若关于x 的一元二次方程20x bx c -+=的两个实数根分别为2和4-，则b c +=A ．10-B ．10C ．6-D ．1-17．要使45x x --的值和424xx--的值互为倒数，则x 的值为 A ．0 B ．1- C ．12D ．118．已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m +--=有实数根，则m 的取值范围是A ．1m >B ．1m <C ．1m ≥D ．1m ≤19．若关于x 的方程3111k x x=---有增根，则k 的值为 A ．3B ．1C ．0D ．1-20．炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x 台，根据题意，列出方程_______________． 21．已知关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个相等的实数根，则m 的值是_______________． 22．若方程13323m n x y --+=是关于x ，y 的二元一次方程，则m =____________，n =____________． 23．解方程33122x x x-+=--的结果是_______________． 24．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A 港和B 港相距_______________千米．25．已知234||x y -+与25)2(x y -+互为相反数，则2017()y x -=_______________．26．为了拓展销路，商店对某种照相机的售价做了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，问该照相机的原售价是_______________元． 27．若关于x 的分式方程322x ax -=-的解为正数，那么字母a 的取值范围是_______________． 28．已知关于x 的一元二次方程2210ax x +-=无实数根，则a 的取值范围是_______________． 29．如果关x 的方程51763x -=与81142||22x x m -=++的解相同，那么m 的值是_______________． 30．有三个家庭团队结伴到一景区游玩，一号家庭团队有3个成年人和4个小孩参加，共交费150元，二号家庭团队有2个成年人和1个小孩参加，共交费75元，按照这样的收费标准，三号家庭团队有3个成年人和3个小孩参加，所需的费用为_______________元． 31．当x =_______________时，23x -与543x +的值互为倒数． 32．若二元一次方程组232x y m x y m+=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m 的值为_______________．33．在某年全国足球甲级A 组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，设该队共胜了x 场，则（1）该队平了_______________场（用含x 的式子表示）；（2）按比赛规则，该队胜场共得_______________分（用含x 的式子表示）； （3）按比赛规则，该队平场共得_______________分．34．已知直角三角形两边的长是方程218650x x -+=的两个根，则第三边的长为_______________．35．若关于x a 的取值范围是_______________． 36．用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？37．解下列方程：（1）10(1)2x -=； （2）7151322324x x x -++-=-； （3）2(2)3(41)9(1)y y y +--=-； （4）0.89 1.33511.20.20.3x x x --+-=．38．已知关于x的方程28120++-=有两个不相等的实数根．x x a（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数时，求出方程的解．39．某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？（2）请你帮学校设计出所有的租车方案；（3）若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的方案，并求出最省租金．40．解下列方程：（1）2235()x -=； （2）22330x x --=； （3）2()330x x --+=．41（1 （2）2111x x =---．42．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？1．（2017•南充）如果30a+=，那么a的值是A．3B．3-C．13D．13-2．（2017•眉山）已知关于x，y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则2a b-的值是A．2-B．2C．3D．3-3．（2017•衢州）二元一次方程组632x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解是A ．51x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．51x y =-⎧⎨=-⎩D ．42x y =-⎧⎨=-⎩4．（2017•绵阳）关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是2-和1，则m n 的值为 A ．8-B ．8C ．16D ．16-5．（2017•河南）解分式方程13211x x-=--，去分母得 A ．12(1)3x --=-B ．12(1)3x --=C ．1223x --=-D ．1223x -+=6．（2017•天津）方程组⎩⎨⎧=+=1532y x xy 的解是A ．⎩⎨⎧==32y xB ．⎩⎨⎧==34y xC ．⎩⎨⎧==84y xD ．⎩⎨⎧==63y x7．（2017•广东）如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为 A ．1B ．2C ．1-D ．2-8．（2017•十堰）甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每小时做x 个零件，下面所列方程正确的是A ．90606x x =- B ．90606x x =+ C ．90606x x=-D ．90606x x=+ 9．（2017•无锡）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是 A ．20%B ．25%C ．50%D ．62.5%10．（2017•河南）一元二次方程22520x x --=的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根11．（2017•滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是 A ．(22162)7x x =-B ．(16222)7x x =-C ．2162227()x x ⨯=-D ．2221627()x x ⨯=-12．（2017•嘉兴）用配方法解方程2210x x +-=时，配方结果正确的是A ．2(2)2x +=B ．2(1)2x +=C ．2(2)3x +=D ．2(1)3x +=13．（2017•广州）关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是A ．16q <B ．16q >C ．4q ≤D ．4q ≥14．（2017•苏州）关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为A ．1B ．1-C ．2D ．2-15．（2017•黔东南州）分式方程133(11)x x x =-++的根为A ．1-或3B ．1-C ．3D ．1或3-16．（2017•黔东南州）已知一元二次方程2210x x --=的两根分别为1x ，2x ，则1211x x +的值为A ．2B ．1-C ．12-D ．2-17．（2017•西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小时，根据题意可列出方程为A ．1.2 1.216x += B ．1.2 1.2162x += C ．1.2 1.2132x +=D ．1.2 1.213x+= 18．（2017•东营）若244||x x -+x y +的值为A ．3B ．4C ．6D ．919．（2017•成都）已知3x =是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为 A ．1-B ．0C ．1D ．2。
2018年中考数学真题知识分类练习试卷：方程(含答案)
方程一、单选题1．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，设大房间有个，小房间有个.下列方程正确的是( )A. B. C. D.【来源】广东省深圳市2018年中考数学试题【答案】A2．学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（）A. B. C. D.【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷【答案】A3．方程组的解是（）A. B. C. D.【来源】天津市2018年中考数学试题【答案】A【解析】分析：根据加减消元法，可得方程组的解．详解：，①-②得x=6，把x=6代入①，得y=4，原方程组的解为．故选A.点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．4．夏季来临，某超市试销、两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，型风扇每台200元，型风扇每台150元，问、两种型号的风扇分别销售了多少台？若设型风扇销售了台，型风扇销售了台，则根据题意列出方程组为（）A. B.C. D.【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题5．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 4【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选：B．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若,则的值是( )A. 2B. -1C. 2或-1D. 不存在【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题【答案】A7．某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）A. 2%B. 4.4%C. 20%D. 44%【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题【答案】C8．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（）A. ﹣2B. 1C. 2D. 0【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题【答案】D【解析】分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．详解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，故选D．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．学科#网9．关于的一元二次方程的根的情况是（）A. 有两不相等实数根B. 有两相等实数根C. 无实数根D. 不能确定【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.【详解】，△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．10．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【来源】2018年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题【答案】C11．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（）A. 的长B. 的长C. 的长D. 的长【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题12．若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A. B. 1 C. D.【来源】安徽省2018年中考数学试题【答案】A【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a 的方程，解方程即可得.【详解】x(x+1)+ax=0，x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，解得：a1=a2=-1，故选A.【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．13．一元二次方程根的情况是（）A. 无实数根B. 有一个正根，一个负根C. 有两个正根，且都小于3D. 有两个正根，且有一根大于3【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题【答案】D【解析】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．故选D．点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．14．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A. B.C. D.【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题15．分式方程的解是（）A. B. C. D.【来源】四川省成都市2018年中考数学试题【答案】A【解析】分析：观察可得最简公分母是x（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．详解：，去分母，方程两边同时乘以x（x-2）得：（x+1）（x-2）+x=x（x-2），x2-x-2+x=x2-2x，x=1，经检验，x=1是原分式方程的解，故选A．点睛：考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．学科#网16．分式方程的解为（）A. B. C. D. 无解【来源】山东省德州市2018年中考数学试题【答案】D17．若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（）A. B. C. 1 D. 2【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】C二、填空题18．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题【答案】【解析】分析：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，∴将解代入方程组可得m=﹣1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组整理为：解得：点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．19．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两.牛二，羊五，值金八两。
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第8课时 二元一次方程组
(55分)
一、选择题(每题5分，共15分)
1．[2016·广州]已知a，b满足方程组a＋5b＝12，3a－b＝4，则a＋b的值为 (B)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
【解析】 a＋5b＝12， ①3a－b＝4， ②
①＋②×5得16a＝32，即a＝2，
把a＝2代入①得b＝2，则a＋b＝4.
2．[2017·襄阳]若方程mx＋ny＝6的两组解是x＝1，y＝1，x＝2，y＝－1，则m，n的值为(A)
A．4，2 B．2，4
C．－4，－2 D．－2，－4
3．[2016·泰安]小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且
乙种水果比甲种水果少买了2 kg，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x kg，
乙种水果y kg，则可列方程组为 (A)
A.4x＋6y＝28x＝y＋2 B.4y＋6x＝28x＝y＋2
C.4x＋6y＝28x＝y－2 D.4y＋6x＝28x＝y－2
【解析】 设小亮妈妈买了甲种水果x kg，乙种水果y kg，根据两种水果共花去28元，乙种水果比甲种水
果少买了2 kg，据此列方程组4x＋6y＝28，x＝y＋2.
二、填空题(每题5分，共20分)
4．[2017·杭州]设实数x，y满足方程组13x－y＝4，13x＋y＝2.则x＋y＝__8__.
5．[2016·南充]已知关于x，y的二元一次方程组2x＋3y＝k，x＋2y＝－1的解互为相反数，则k的值是__－1__.
【解析】 解方程组2x＋3y＝k，x＋2y＝－1，得x＝2k＋3，y＝－2－k，
因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，
可得2k＋3－2－k＝0，
解得k＝－1.
6．[2016·武汉]定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝__10__.
【解析】 根据题中的新定义化简已知等式得a＋2b＝5，4a＋b＝6，解得a＝1，b＝2，
则2*3＝4a＋3b＝4＋6＝10.
7．[2017·苏州]某地准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道
的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由
乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则x＋
y
的值为__20__.
【解析】 设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，由题意得4x＋9y＝120，8x＋3y＝120，
解得x＝12，y＝8.∴x＋y＝20.
三、解答题(共20分)
8．(10分)[2016·聊城]解方程组：x－y＝5，2x＋y＝4.
解：x－y＝5， ①2x＋y＝4. ②
①＋②得3x＝9，即x＝3，
把x＝3代入①得y＝－2，
则方程组的解为x＝3，y＝－2.
9．(10分)[2016·福州]有48支队共520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队
12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
解：设有x支篮球队和y支排球队参赛，由题意得
x＋y＝48，10x＋12y＝520，解得
x
＝28，
y
＝20.
答：篮球、排球队分别有28支与20支参赛．