概率论数理统计答案

. word资料 习题答案

第1章 三、解答题 1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确. 2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(BAPBPAPABP， 又因为)()(BAPBP即.0)()(BAPBP 所以 (1) 当)()(BAPBP时P(AB)取到最大值，最大值是)()(APABP=0.6. (2) 1)(BAP时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A，B满足)()(BAPABP，记P(A) = p，试求P(B)． 解：因为)()(BAPABP，

即)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPABP， 所以 .1)(1)(pAPBP 4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求)(ABP． 解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)(ABPABP. . word资料 5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有410Cn

种，以下求至少有两只配成一双的取法k：

法一：分两种情况考虑：15Ck24C212)(C+25C

其中：2122415)(CCC

为恰有1双配对的方法数

法二：分两种情况考虑：!2

161815

CCCk



+2

5C

其中：!2

161815

CCC



为恰有1双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：)(142815CCCk+25C

其中：)(142815CCC

为恰有1双配对的方法数

法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815CCk-25C

法五：考虑对立事件：410Ck-45C41

2)(C

其中：45C41

2)(C

为没有一双配对的方法数

法六：考虑对立事件：!4

141618110410

CCCCCk





其中：!4141618110CCCC为没有一双配对的方法数 所求概率为.21

13410Ckp

6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．

解：(1) 法一：12131025C

Cp，法二：1213102513AACp

(2) 法二：20

1

310

24

C

C

p，法二：2013102413AACp

7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则 . word资料 834)(3341AMP, 1694)(324232ACMP, 1614)(3143CMP

8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则

3.0)(25232CCMP,6.0)(2512131CCCMP,1.0)(25

221

C

C

MP

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则

2121MMMMM且

.

所以.2813CCC

C)()()()(282328

252121MPMPMMPMP

10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x，y)：0  x，y  1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y)   ： x + y  6/5} 因此

2517154211)(2的面积的面积AAP．

图？

11．随机地向半圆220xaxy

（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区

域的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间

={(x，y)：

220,20xaxyax

}

事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于4” . word资料 ={(x，y)：

4

0,20,202

xaxyax

}

因此

211214121)(222aaaAAP的面积的面积．

12．已知21)(,31)(,4

1)(BAPABPAP，求)(BAP．

解：,121314

1)()()(ABPAPABP,6121121)|()()(BAPABPBP

.31121614

1)()()()(ABPBPAPBAP

13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

321)(1)(21026CCAPAP，152)(21024CCBP，

5132/152)()()()()|(APBPAPABPABP

14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

52)(,53)(1512APCCAP，由全概率公式得

,45235253)|()()|()()(19141915CCCCABPAPABPAPBP 由贝叶斯公式得 .23154523/53)()|()()|(1915CCBPABPAPBAP 15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是 . word资料 A的概率是多少？

解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知

,01.0)|(,02.0)|(MNPMNP.32)(MP 所以 ,99.0)|(,98.0)|(MNPMNP,31)(MP 由贝叶斯公式得 .197196)01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(MNPMPMNPMPMNPMPNMP

16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为41,31,51，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.

已知,41)(,31)(,5

1)(321APAPAP所以,43)(,32)(,54)(321

APAPAP

至少有一人能将此密码译出的概率为 .534332541)()()(1)(1221321

APAPAPAAAP

17．设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求)(ABP. 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且 P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)

将P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以 .5.05.01)(1)()()(1)()(1)(1)(BPAPBPAPAPABPABPABP

或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以 .5.05.01)(1)()(BPBPABP

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，