自动控制原理根轨迹知识点总结
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理4根轨迹
4.1 控制系统的根轨迹
根轨迹定义
[根轨迹]：控制系统的某一参数由零变化到无穷大时， 闭环系统的特征根（闭环极点）在[s]平面上形成的轨 迹。
[例]：如图所示二阶系统， R(s)
+
E ( s)
开环传递函数： K k G( s) , k 2 K s0.5s 1 ss 2 开环极点： p1 0， p2 2
nm
k
（ 3）
与横轴的交角： 2l 1 s a l 0,1,2,, n m 1 （4） nm 即，根轨迹渐近线是n-m条直线，它们有一个公共点 a，j0 ，与横轴有不同的交角。
渐近线与实轴的交点为 a 利用多项式除法和乘法，由（1）、（2）、（3）式， n m 得： pi z j i 1 j 1 （ 5） a nm 若开环传递函数无零点，取 z j 0 规则四 如果控制系统的开环零点数目m小于开环极点 数目n，当k→∞时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线共 有（n-m）条。这些渐近线在实轴上交于坐标为 a，j 0 的一点，而渐近线与实轴正向的夹角为（4）式。
渐近线与实轴的交点：
a
pi z j
i 1
3
nm
1 5 2 30
5
2 1
0
渐近线与实轴倾角：
5 l 0， ； l 1， ； l 2， 3 3 3
零极点分布和渐近线 （红线）如图所示。
5
j
180
”
z1
p3
再看s2点： 不满足根轨迹相角条件， 所以不是根轨迹上的点。
s s
p2
2
1
p1
自动控制原理之根轨迹
2 G(s)H(s)=k(2s+1)/s(s+5)
写出根轨迹方程，求出对应的零点和极点。
k(2s +1)
1+
= 0,
s(s + 5)
系统2： 零点：-0.5 极点为0, -5 Kg=2k
1+ 2k(s + 0.5) = 0 s(s + 5)
第四章 线性系统的根轨迹法
4.2 根轨迹的绘制法则
【 根轨迹性质 1】 根轨迹是连续的 【 根轨迹性质 2】 根轨迹关于实轴是对称的
4
将特征根画在 s平面上
s1 -0.005 -0.4 -1 -1+j1.73 -1+j3.87
s2 -1.995 -1.6 -1 -1-j1.73 -1-j3.87
将特征根随增益的变化在s平 面上轨迹称为根轨迹
K=2 K=0.1 k=1
-2j
j k=0.1
-2
-1
0
-j
-2j
第四章 线性系统的根轨迹法
2个无穷远的零点
同理，对于 G(s)H (s) = k(s +1)(s + 2) s
1个无穷远的极点
第四章 线性系统的根轨迹法
【法则一】根轨迹的渐近线
根轨迹的渐近线限定了当根轨迹趋向于无穷远时，根轨 迹的走向与形状。即根轨迹沿一组渐近线趋向于无穷远
处的开环零点。
与正实轴的夹角记为 φa
2k +1 φa = n − m π (k = 0,1,..., n − m −1)
3
d1,2 =
2×3
= −1± 3
d1,2=-1.577,-0.422
d1 d2 是否均为分离点吗？
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理第4章根轨迹法精
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
自动控制原理--控制系统的根轨迹分析及特殊根轨迹
j1
s0
j1
jk
s sk
j1
jk
单位阶跃响应为
n
y(t) A0 Akeskt k 1
m
m
Ks zi Kzi
A0
i1 n
s sj
i1 n
GB(0)
sj
j1
s0
j1
m
m
K s zi
Ak
i1 n
s sj
1 s
K sk zi
i1 n
sk sk sj
jk
1
s2
100 8s 100
4 3
os1
1.5
1.7
可求得 0.4, ，n 10
s3
所以 % e 1 2 100% 25%，ts (s3.)5 n 3.5 4 0.9
j
0
利用根轨迹分析控制系统的性能
例11 分析K的变化对系统稳定性的影响
K (s 3) G(s)H (s) s(s 5)(s 6)(s2 2s 2)
增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响
例9 已知某系统闭环传递函数
GB (s) 0.67s 1
1 0.01s2
0.08s 1
试计算在单位阶跃输入时的系统输出超调量 % 和调节时间t。s
解：该闭环系统有三个极点，s1 1.5, s2,3 零4 、j9.2极点 分布如右图。
系统稳定的K的范围为: 0<K<35
例12 分析K的变化对系统的影响。设负反馈系统的开环传递函数为
K s z G(s)H(s) ss p
z p
求系统闭环根轨迹，并分析 p 2, 时z系 统4 的动态性能。
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
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自动控制原理根轨迹知识点总结自动控制原理是控制工程学科的基础课程之一，涉及了丰富而复杂
的理论和实践知识。
在其中，根轨迹法是一种重要的分析和设计方法，用于评估系统的稳定性和性能，并确定控制器的参数。
本文将对根轨
迹法相关的知识点进行总结。
一、根轨迹法的基本原理
根轨迹法是通过分析系统的开环传递函数来评估其稳定性和性能。
它利用复变函数的性质，在复平面上绘制系统特征方程的根轨迹，从
而可视化地表示系统的特性。
根轨迹法的基本原理可以概括为以下几点：
1. 特征方程的根
特征方程是描述系统行为的方程，其根即为系统的极点。
极点的位
置和数量决定了系统的稳定性、震荡性以及响应速度等特性。
2. 根轨迹的绘制规则
根轨迹的绘制可以根据主要的规则来进行。
其中，当系统增益的变
化导致根轨迹相交或穿过虚轴时，会出现特殊情况，例如系统的稳定
性改变或出现振荡。
3. 根轨迹与系统性能
通过观察根轨迹的形状、分布和相互关系，可以初步评估系统的稳
定性和性能。
例如，根轨迹离虚轴越远，系统的稳定性越好；根轨迹
的角度反映了系统的相位裕度；根轨迹的频率响应则反映了系统的增益裕度。
二、根轨迹法的应用
根轨迹法广泛应用于自动控制系统的分析和设计中。
它可以帮助工程师们理解和改善系统的性能，确保系统稳定可靠。
以下是根轨迹法的几个重要应用方面：
1. 系统的稳定性分析
通过绘制根轨迹，可以判断系统是否稳定。
如果所有的根轨迹都位于虚轴的左侧，则系统稳定；如果有根轨迹位于虚轴右侧，则系统不稳定。
2. 控制器的设计
在根轨迹上，可以通过调整控制器的增益和相位来实现对系统性能的优化。
通过仔细观察根轨迹的形状和位置，可以选择合适的控制器参数，以满足系统的性能要求。
3. 震荡问题的解决
根轨迹法可以用于解决系统震荡或不稳定的问题。
通过调整系统的增益和相位，可以使根轨迹远离虚轴，并确保系统的稳定性。
三、注意事项与实践技巧
在应用根轨迹法进行系统分析和设计时，需要注意以下几点，以确保结果的准确性和可靠性：
1. 选择合适的模型
系统的数学模型对根轨迹法的应用至关重要。
确保所使用的模型能
够准确描述实际系统的行为，并符合分析和设计的要求。
2. 合理选择坐标轴
绘制根轨迹时，选择合适的坐标轴刻度和范围，以更清晰地呈现根
轨迹的形状和分布。
合理利用纵轴和横轴的比例，可以使得根轨迹更
加直观明了。
3. 迭代优化设计
根轨迹法的设计过程通常是一个迭代的过程，需要不断地进行调整
和优化。
通过观察根轨迹、分析系统性能，并根据需要调整控制器的
参数，直到满足系统的稳定性和性能要求。
综上所述，根轨迹法是自动控制原理中一种重要的分析和设计方法。
掌握根轨迹法的基本原理和应用技巧，可以帮助工程师们更好地理解
和优化控制系统。
在实际应用中，需要注重细节并进行实践，以确保
结果的准确性和可行性。
通过不断学习和实践，我们能够更好地运用
根轨迹法来解决实际的控制问题。