北京市海淀区清华附中2022-2023学年上学期八年级0月月考数学试卷
北京市海淀区人大附中2022年数学八上期末联考试题含解析
2022-2023学年八上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．分式方程32x -+32x x --=1的解是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝42．下列计算正确的是（ ）A ．235+=B ．222()-=-C ．33231-=D ．33(1)1-=- 3．用计算器依次按键,8,=，得到的结果最接近的是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．2.8 D ．34．已知一次函数y =kx +b 的图象经过一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A ．-1 B ．-2 C ．0 D ．25．如图，已知D 为△ABC 边AB 的中点，E 在AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．若∠B=65°，则∠BDF 等于（ ）A ．65°B ．50°C ．60°D ．1．5°6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点D ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AD ＝DCB ．AD ＝BDC ．∠DBC ＝∠AD ．∠DBC ＝∠ABD 7．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D ．若CD m =，AB n =，30B ∠=︒，那么ABD ∆的面积是( )A ．12mnB ．mnC ．13mnD ．2mn8．关于x 的一次函数y ＝kx ﹣k ，且y 的值随x 值的增大而增大，则它的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．9．不等式组1{1x x >-≤的解集在数轴上可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，已知∠ABC=∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（ ）A ．∠A=∠DB ．AB=DC C ．∠ACB=∠DBCD ．AC=BD二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在ABC 中，DM ，EN 分别垂直平分边AB 和AC ，交BC 于点D ，E ．若110BAC ∠=︒，则DAE =∠______︒．12．已知一粒米的质量是1．111121千克，这个数字用科学记数法表示为__________．13．如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为__.14．已知 x+y=1，则 12x ² + xy + 12y ² =_______ 15．若式子4x 2－mx ＋9是完全平方式，则m 的值为__________________．16．在平面直角坐标系中, 点B(1,2)是由点A(-1,2)向右平移a 个单位长度得到,则a 的值为______17．点（2，b ）与（a ，-4）关于y 轴对称，则a= ，b= .18．已知2,3m n a a ==，则32m n a +=______________．三、解答题(共66分)19．（10分）解方程：（1）3731x y x y +=⎧⎨-=-⎩ （2）12325x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩ 20．（6分）计算（1）（x ﹣3）（x +3）﹣6（x ﹣1）2（2）a 5•a 4•a ﹣1•b 8+（﹣a 2b 2）4﹣（﹣2a 4）2（b 2）421．（6分）已知ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点M 是AC 的中点，延长BM 至点D ，使DM ＝BM ，连接AD ．（1）如图①，求证：DAM≌BCM ；（2）已知点N 是BC 的中点，连接AN ． ①如图②，求证：ACN ≌BCM ；②如图③，延长NA 至点E ，使AE ＝NA ，连接，求证：BD ⊥DE ．22．（8分）计算或分解因式：（1）计算：()223127231334----+-； （2）分解因式：①382a a -；②32244x x y xy -+23．（8分）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，且,,AC BD A B E F =∠=∠∠=∠（1）求证：ADE BCF ∆≅∆（2）若65BCF ︒∠=，求DMF ∠的度数.24．（8分）如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于D 点，//DE CB 分别交直线AB 、AC 于点E 、F ．（1）如图1，当点E 在AB 边上时，求证：EF BE CF =-；（2）如图2，当点E 在BA 延长线上时，直接写出EF 、BE 、CF 之间的等量关系．（不必证明）25．（10分）在边长为的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC （三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）（1）写出ABC ∆的面积；（2）画出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆；（3）写出点A 及其对称点1A 的坐标．26．（10分）如图，AD 为ABC 的高，,AE BF 为ABC 角平分线，若32,72CBF AFB ∠=︒∠=.（1）求BAD ∠的度数；（2）求DAE ∠的度数；（3）若点G 为线段BC 上任意一点，当GFC 为直角三角形时，则求BFC ∠的度数.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据分式方程的计算方法先将方程转化为一元一次方程，然后进行计算即可得解.【详解】解：原式化简得3(3)2x x --=-即332x x -+=-，解得4x =， 经检验，当4x =时，原分式方程有意义，故原分式方程的解是4x =，故选：D.【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握去分母，去括号等相关计算方法是解决本题的关键.2、D【分析】先对各选项进行计算，再判断.【详解】AB 2，故错误；C 选项：=D 1=-，故正确；故选：D.【点睛】考查立方根、平方根和算术平方根的问题，关键是根据立方根、平方根和算术平方根的定义分析．3、C【详解】解：8 2.828≈，∴最接近的是2.1．故选：C ．【点睛】本题主要考查计算器的使用，解题的关键是掌握计算器上常用的按键的功能和使用顺序．4、D【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b 的符号，再找出符合条件的b 的可能值即可．【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，∴b>0，∴四个选项中只有2符合条件.故选D.【点睛】此题考查一次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握其性质.5、B【解析】试题分析：∵△DEF 是△DEA 沿直线DE 翻折变换而来，∴AD=DF ，∵D 是AB 边的中点，∴AD=BD ，∴BD=DF ，∴∠B=∠BFD ，∵∠B=65°，∴∠BDF=180°﹣∠B ﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．考点：翻折变换（折叠问题）6、C【分析】根据等腰三角形的性质可得,ACB ABC ACB BDC ∠=∠∠=∠，再结合三角形的内角和定理可得DBC A ∠=∠．【详解】AB AC =ACB ABC ∴∠=∠∵以B 为圆心，BC 长为半径画弧DB BC ∴=ACB BDC ∴∠=∠ACB BDC ABC ∴∠=∠=∠180180ACB ABC A ACB BDC DBC ∠+∠+∠=︒⎧⎨∠+∠+∠=︒⎩DBC A ∴∠=∠故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）、三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的相关性质是解题关键．7、A【分析】作DE ⊥AB,由角平分线性质可得DE=ED,再根据三角形的面积公式代入求解即可．【详解】过点D 作DE ⊥AB 交AB 于E,∵AD平分∠BAC, ∴ED=CD=m,∵AB=n,∴S△ABC=1122AB ED mn⋅=．故选A．【点睛】本题考查角平分线的性质,关键在于通过角平分线的性质得到AB边上高的长度．8、B【分析】根据一次函数的性质可得k的取值范围，进而可得﹣k的取值范围，然后再确定所经过象限即可．【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣k，且y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，﹣k＜0，∴图象经过第一三四象限，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b ＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．9、D【分析】先解不等式组11xx>-⎧⎨≤⎩可求得不等式组的解集是11x-<≤,再根据在数轴上表示不等式解集的方法进行表示.【详解】解不等式组11xx>-⎧⎨≤⎩可求得:不等式组的解集是11x -<≤,故选D.【点睛】本题主要考查不等组的解集数轴表示,解决本题的关键是要熟练掌握正确表示不等式组解集的方法.10、D【解析】A ．添加∠A =∠D 可利用AAS 判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；B ．添加AB =DC 可利用SAS 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；C ．添加∠ACB =∠DBC 可利用ASA 定理判定△ABC ≌△DCB ，故此选项不合题意；D ．添加AC =BD 不能判定△ABC ≌△DCB ，故此选项符合题意．故选D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】依据DM 、EN 分别垂直平分AB 和AC ，即可得到AD=BD ，AE=EC ，进而得出∠B=∠BAD ，∠C=∠EAC ，依据∠BAC=110°，即可得到∠DAE 的度数．【详解】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°-110°=70°，∵DM 是线段AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠DAB=∠B ，同理，EA=EC ，∴∠EAC=∠C ，∴∠DAE=∠BAC-∠DAB-∠EAC=∠BAC-（∠B+∠C ）=1°，故答案为：1．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12、【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×11-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．【详解】解：1.111121=2.1×11-2． 故答案为：2.1×11-2． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×11-n ，其中1≤|a|＜11，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．13、 (－12，－12) 【解析】试题解析：先过点A 作AB′⊥OB ，垂足为点B ′，由垂线段最短可知，当B′与点B 重合时AB 最短，∵点B 在直线y=x 上运动，∴△AOB′是等腰直角三角形， 过B′作B′C ⊥x 轴，垂足为C ，∴△B′CO 为等腰直角三角形，∵点A 的坐标为（﹣1，0），∴OC=CB′=12OA=12×1=12，∴B′坐标为（﹣12，﹣12），即当线段AB 最短时，点B 的坐标为（﹣12，﹣12）．考点：一次函数综合题．14、12 【分析】根据完全平方公式即可得出答案.【详解】∵x+y=1∴222()21x y x xy y +=++=∴22111222x xy y ++=【点睛】本题考查的是完全平方公式：()222 2a b a ab b ±=±+.15、±12【分析】由完全平方公式进行计算即可得解.【详解】由22249(2)3x mx x mx =-+－＋可知22312mx x x -=±⨯⨯=±，则12m =±，故答案为：±12. 【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的相关公式是解决本题的关键.16、1【分析】根据平面直角坐标系中，点坐标的平移规律即可得． 【详解】点(1,2)A -向右平移a 个单位长度得到(1,2)B11a ∴-+=解得2a =故答案为：1．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中，点坐标的平移规律，掌握点坐标的平移规律是解题关键．设某点坐标为(,)x y ，则有：（1）其向右平移a 个单位长度得到的点坐标为(,)x a y +；（1）其向左平移a 个单位长度得到的点坐标为(,)x a y -；（3）其向上平移b 个单位长度得到的点坐标为(,)x y b +；（4）其向下平移b 个单位长度得到的点坐标为(,)x y b -，规律总结为“左减右加，上加下减”．17、-2，-4.【解析】试题分析：关于y 轴对称的点的坐标的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数. 由题意得，.考点：关于y 轴对称的点的坐标的特征.18、1【分析】根据题意直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：∵2,3m na a ==，∴2332m m n n a a a +⨯=（）（）3223=⨯=1． 故答案为：1.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，运用相关运算法则正确将原式进行变形是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）21x y =⎧⎨=⎩；（2）13x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）把①×3+②消去y ，求出x 的值，再把x 的值代入①求出y 的值即可； （2）用②-①消去x ，求出y 的值，，再把y 的值代入②求出x 的值即可．【详解】（1）3731x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②， ①×3+②，得10x=20，∴x=2，把x=2代入①，得6+y=7，∴y=1，∴21x y =⎧⎨=⎩； （2）12325x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩①②， ②-①，得1273y y +=-， y=-3，把y 的值代入②，得x-6=-5，x=1，∴13x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．20、（1）﹣5x 2+12x ﹣15；（2）﹣2a 1b 1【分析】（1）直接利用乘法公式计算进而合并同类项得出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则进而计算得出答案．【详解】解：（1）原式＝x2﹣9﹣6（x2﹣2x+1）＝x2﹣9﹣6x2+12x﹣6＝﹣5x2+12x﹣15；（2）原式＝a1b1+a1b1﹣4a1b1＝﹣2a1b1．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，积的运算法则，解决本题的关键是熟练掌握乘法公式。
北京市海淀区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学检测试题(含答案)
北京市海淀区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学检测试题一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个三角形两边的长分别是和，则这个三角形第三边的长可能是( )35A. B. C. D. 1 1.5242.下列图中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D. 3.下列运算正确的是( )A. B. C. D. x 3+x 3=x 6x 2⋅x 3=x 6(x 2)3=x 6x 6÷x 3=x24.如图是四边形的外角，若，，则( )∠1,∠2ABCD ∠1=72∘∠2=108∘∠A +∠C =A. B. 160∘170∘C. D. 180∘190∘5.如图，三条公路两两相交，现计划在中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这▵ABC 三条公路的距离都相等，则探照灯位置是( )▵ABCA. 三条中线的交点B. 三边垂直平分线的交点C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点6.如图，是的中线，点，分别在和的延长线上，且，连接，AD ▵ABC E F AD AD DE =DF BF，则下列说法错误的是( )CE A. B. 和周长相等▵BDF≌▵CDE▵ABD ▵ACD C. D. 和面积相等BF//CE▵ABD ▵ACD 7.已知，，则的值为( )x m =6x n =3x 2m−n A. B. C. D. 939121088.如图，在中，，将沿直线折叠，使点落在点的位置，则的▵ABC ∠C =30∘▵ABC l C D ∠1−∠2度数是( )A. B. 30∘40∘C. D. 80∘60°120∘125∘A. B.10.如图，在平面直角坐标系中，对(3,1)2024C，则经过第次变换后点的对应点的坐标为(3,1)(−3,1)(−3,−1)(3,−1)A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
北京市清华大学附属中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题含答案
北京市清华大学附属中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）A ．诚B ．信C ．友D ．善 2．已知一个正方形的边长为1a +，则该正方形的面积为（ ）A ．221a a ++B ．221a a -+C ．21a +D ．21a + 3．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．10 B ．15 C ．17 D ．19 4．下列各式运算结果为9a 的是（ ）A ．63a a +B ．33a a ⋅C ．()33aD ．182÷a a 5．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（ ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70° 6．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．﹣a 2﹣b 2B ．x 2+（﹣y ）2C ．（﹣x ）2+（﹣y ）2D ．﹣m 2+17．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，ABC 的顶点均落在格点上，若点A 的坐标为()2,1--，则到ABC 三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）A ．()0,1B ．()1,0C ．()0,0D ．()1,1-8．如图，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：∠30APO DCO ∠+∠=︒；∠APO DCO ∠=∠；∠POC △是等边三角形；∠AB OA AP =+．其中正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠ 9．已知781a =，927b =，139c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>二、填空题10．若()0211x -=，则x ≠______．11．若点A （m ，n ）与点B （－3，2）关于y 轴对称，则m ＋n 的值是_____．12．若x+m 与x ﹣2的乘积之中不含x 的一次项，则m ＝_____．13．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在边BC 上，BAD CAE ∠=∠，若16BC =，6DE =，则CE 的长为______．14．若关于x 代数式244x mx ++是完全平方式，则常数m =______．15．已知225a a -=，则代数式()()2221a a -++的值为______． 16．如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，若5BD =，3AD =，P 是直线MN 上的任意一点，则PA PC +的最小值是______．17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图∠、∠两种方式摆放，则图∠的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a 、b 的代数式表示）．18．若实数x 满足2210x x --=，则322262020x x x --+=______．19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为54°，则该等腰三角形的底角的度数为_______．20．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋅⋅⋅在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，⋅⋅⋅均为等边三角形，若1OA a =，则223A B A △的边长为______．1n n n A B A +△的边长为______．三、解答题21．计算：(1)()3223x y xy ⋅- (2)()()122x x x ++-÷⎡⎤⎣⎦(3)()()22a b c a b c +++-22．因式分解：(1)326a ab +(2)2255x y -(3)22363x xy y -+-23．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足．求证：DE ＝DF ．24．运用所学乘法公式等进行简便运算：(1)()11110.1258-⨯(2)29.9 (3)22514951492++⨯ 25．已知13x =-，求代数式()()()()21422x x x x x -+-++-的值． 26．如图，在22⨯的正方形格纸中，ABC 是以格点为顶点的三角形，也称为格点三角形，请你在该正方形格纸中画出与ABC 成轴对称的所有的格点三角形（用阴影表示）．27．如图，ABC 是等边三角形，D 点是BC 上一点，2BD CD =，DE AB ⊥于点E ，CE 交AD 于点P ．求APE ∠的度数．28．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；(2)解决问题：如果10a b +=，12ab =，求22a b +的值；(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为()8x -和()2x -，且()()228220x x -+-=，求这个长方形的面积．29．我们规定：若实数a 与b 的平方差等于80，则称实数对(),a b 在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点”；若实数a 与b 的平方差等于0，则称实数对(),a b 在平面直角坐标系中对应的点为“十字点”．(1)若(),P a b 为“双曲点”，则a ，b 应满足的等量关系为______；(2)在点()8,4A ，()12,8B -，()21,19C ，()40,4D 中，是“双曲点”的有______；(3)若点()9,B k 是“双曲点”，求k 的值；(4)若点(),A x y 为“十字点”，点()5,5B x y y x +-是“双曲点”，求x ，y 的值．30．如图，点C 是线段AB 上一点，ACF 与BCE 都是等边三角形，连接AE ，BF ．(1)求证：AE BF =；(2)若点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，连接CM ，MN ，NC ．∠依题意补全图形；∠判断CMN △的形状，并证明你的结论．31．如图，在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点，()030BAD αα∠=︒<<，连接AD ．作点C 关于直线AD 的对称点为E ．连接EB 并延长交直线AD 于点F ．(1)依题意补全图形，直接写出AFE ∠的度数；(2)直接写出线段AF ，BF ，EF 之间的等量关系．参考答案：1．D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行分析即可得.【详解】A.不是轴对称图形，故不符合题意；B.不是轴对称图形，故不符合题意；C.不是轴对称图形，故不符合题意；D.是轴对称图形，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟知“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”是解题的关键.2．A【解析】【分析】先根据正方形的面积公式列式，然后再根据完全平方公式计算即可．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式成为解答本题的关键．3．C【解析】【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：∠当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍去．∠当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．4．C【解析】【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可直接进行排除选项．【详解】解：A、6a与3a不是同类项，不能合并，故不符合题意；B、336⋅=，计算结果不为9a，故不符合题意；a a aC、()339=，故符合题意；a aD、61821a a a÷=，计算结果不为9a，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法及幂的乘方是解题的关键．5．B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12∠ACB=35°．（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12【详解】∠AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∠∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=1（180°-∠CAB）=70°．2∠CE是△ABC的角平分线，∠∠ACE=12∠ACB=35°． 故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．6．D【解析】【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、22a b --，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；B 、()2222x y x y +-=+，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；C 、()()2222x y x y -=++-，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；D 、()()2221111m m m m -+=-=+-，可以利用平方差公式进行分解，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查利用平方差公式因式分解，掌握利用平方差公式因式分解时，多项式需满足的结构特征是解题关键．7．C【解析】【分析】到△ABC 三个顶点距离相等的点是AB 与AC 的垂直平分线的交点，画出交点，进而得出其坐标即可．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，AB与AC的垂直平分线的交点为点O，∴到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（0，0），故选：C．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8．A【解析】【分析】∠利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；∠因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；∠证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；∠证明△OP A≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：∠如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故∠正确；∠由∠知：∠APO ＝∠ABO ，∠DCO ＝∠DBO ，∵点O 是线段AD 上一点，∴∠ABO 与∠DBO 不一定相等，则∠APO 与∠DCO 不一定相等，故∠不正确；∠∵∠APC +∠DCP +∠PBC ＝180°，∴∠APC +∠DCP ＝150°，∵∠APO +∠DCO ＝30°，∴∠OPC +∠OCP ＝120°，∴∠POC ＝180°﹣（∠OPC +∠OCP ）＝60°，∵OP ＝OC ，∴△OPC 是等边三角形，故∠正确；∠如图2，在AC 上截取AE ＝P A ，∵∠P AE ＝180°﹣∠BAC ＝60°，∴△APE 是等边三角形，∴∠PEA ＝∠APE ＝60°，PE ＝P A ，∴∠APO +∠OPE ＝60°，∵∠OPE +∠CPE ＝∠CPO ＝60°，∴∠APO ＝∠CPE ，∵OP ＝CP ，在△OP A 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OP A ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，∴AB ＝AO +AP ，故∠正确；正确的结论有：∠∠∠，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．9．A【解析】【分析】根据幂的乘方的逆运算可直接进行排除选项．【详解】解：∠781a =，927b =，139c =，∠()742833a ==，()932733b ==，()1322633c ==， ∠a b c >>；故选A ．【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键．10．12##0.5 【解析】【分析】直接利用零指数幂的底数不为0可得出答案．【详解】解：∵（2x ﹣1）0＝1，∴2x ﹣1≠0，解得：x ≠12． 故答案为：12．【点睛】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的底数不为0是解题关键．11．5【解析】【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．【详解】解：∠点A（m，n）与点B（－3，2）关于y轴对称.∠m=3，n=2.∠m＋n=5.故填：5.【点睛】本题考查关于y轴对称的点坐标. 解题关键是理解关于y轴对称的两点，纵坐标不变，横坐标互为相反数.12．2【解析】【分析】乘积之中不含x的一次项，即乘积得到的关于x的一元二次代数式中，x的一次项的系数为0，由此可求得参数m的值.【详解】解：（x+m）（x﹣2）＝x2﹣2x+mx﹣2m＝x2+（m﹣2）x﹣2m，由题意知，m﹣2＝0，解得m＝2，故答案为2【点睛】本题考查一元二次代数式的系数和指数的概念.13．5【解析】【分析】由题意易得B C ∠=∠，然后可证ABD ACE △≌△，则有BD CE =，进而问题可求解．【详解】解：∠AB AC =，∠B C ∠=∠，∠BAD CAE ∠=∠，∠ABD ACE △≌△（ASA ），∠BD CE =，∠16BC =，6DE =，∠10BD CE BC DE +=-=，∠5BD CE ==；故答案为5．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．14．±1【解析】【分析】根据完全平方公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2求出m 的值．【详解】解：∵x 2±4x +4＝（x ±2）2，x 2+4mx +4是完全平方式，∴±4x ＝4mx ，∴m ＝±1．故答案为：±1．【点睛】本题考查了完全平方式，掌握a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2的熟练应用，两种情况是求m 值得关键．15．11【解析】【分析】先将原代数式化简，再将225a a -=代入，即可求解．【详解】解：()()2221a a -++ 24422a a a =-+++226a a =-+∠225a a -=，∠原式5611=+= ．故答案为：11【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．16．8【解析】【分析】如图，连接PB ．利用线段的垂直平分线的性质，可知PC ＝PB ，推出P A +PC ＝P A +PB ≥AB ，即可解决问题．【详解】解：如图，连接PB ．∵MN 垂直平分线段BC ，∴PC ＝PB ，∴P A +PC ＝P A +PB ，∵P A +PB ≥AB ＝BD +DA ＝5+3＝8，∴P A +PC ≥8，∴P A +PC 的最小值为8．故答案为：8．本题考查轴对称﹣最短问题，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．17．ab【解析】【详解】设大正方形的边长为x 1，小正方形的边长为x 2，由图∠和∠列出方程组得，12122{2x x ax x b +=-=解得，122{4a bx a b x +=-= ∠的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（2a b +）2-4×（4a b -）2=ab ． 故答案为ab.18．2022【解析】【分析】将x 2＝2x +1，x 2﹣2x ＝1代入计算可求解．【详解】解：∵x 2﹣2x ﹣1＝0，∴x 2＝2x +1，x 2﹣2x ＝1，∴原式＝2x •x 2﹣2x 2﹣6x +2020＝2x （2x +1）﹣2x 2﹣6x +2020＝4x 2+2x ﹣2x 2﹣6x +2020＝2x 2﹣4x +2020＝2（x 2﹣2x ）+2020＝2×1+2020＝2022．故答案为：2022本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键．19．72°或18°##18°或72°【解析】【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）如图当∠ABC是锐角三角形时，BD∠AC于D，则∠ADB=90°，∠∠ABD=54°，∠∠A=90°-∠ABD=36°，∠AB=AC，×（180°-∠A）=72°∠∠ABC=∠C=12（2）如图当∠EFG是钝角三角形时，FH∠EG于H，则∠FHE=90°，∠∠HFE=54°，∠∠HEF=90°-∠HFE=36°，∠∠FEG=180°-∠HFE=144°，∠EF=EG，∠∠EFG=∠G=1×（180°-∠FEG）=18°．2故答案为：72°或18°【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理，学会分类思想的应用是解题的关键．20． 2a 2n ﹣1a【解析】【分析】利用等边三角形的性质得到∠A 1OB 1＝∠A 1B 1O ＝30°，OA 1＝A 1B 1＝A 2B 1＝a ，利用同样的方法得到A 2O ＝A 2B 2＝2a ＝21a ，A 3B 3＝A 3O ＝2A 2O ＝4＝22a ，利用此规律即可得到AnBn ＝2n ﹣1a ．【详解】解：∵△A 1B 1A 2为等边三角形，∠MON ＝30°，∴∠A 1OB 1＝∠A 1B 1O ＝30°，OA 1＝A 1B 1＝A 2B 1＝a ，同理：A 2O ＝A 2B 2＝2＝21a ，A 3B 3＝A 3O ＝2A 2O ＝4a ＝22a ，……．以此类推可得△AnBnAn +1的边长为AnBn ＝2n ﹣1a ．故答案为：2a ；2n ﹣1a ．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．21．(1)436x y -(2)3x +(3)22242a b c ab +-+【解析】【分析】（1）根据单项式乘以单项式可直接进行求解；（2）先去括号，然后再利用多项式除以单项式进行求解即可；（3）把a +b 看作整体，然后利用平方差公式及完全平方公式进行化简．(1)解：原式=324366x x y y x y -⋅⋅⋅=-；(2)解：原式=()2322x x x ++-÷ =()23x x x +÷ =3x +(3)解：原式=()()222a b c +-=22242a b c ab +-+．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式及整式的运算是解题的关键． 22．(1)2a （a 2+3b ）；(2)5（x +y ）（x ﹣y ）；(3)﹣3（x ﹣y ）2．【解析】【分析】（1）直接提公因式2a 即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式即可；（3）先提公因式，再利用完全平方公式即可．(1)解：326a ab +＝2a （a 2+3b ）；(2)解：（2）原式＝5（x 2﹣y 2）＝5（x +y ）（x ﹣y ）；(3)解：（3）原式＝﹣3（x 2﹣2xy +y 2）＝﹣3（x ﹣y ）2．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．23．见解析．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B =∠C ，运用AAS 证明△DEB ∠△DFC 即可．【详解】∠AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∠∠B =∠C ，DB =DC ，∠DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠∠BED =∠CFD =90°，∠△DEB ∠△DFC （AAS ），∠DE =DF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．24．(1)﹣1．(2)98.01．(3)5000．【解析】【分析】（1）根据积的乘方逆运算求解即可．（2）根据完全平方公式求解即可．（3）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．(1)解：（1）（﹣0.125）11×811 ＝11111()88-⨯ ＝111(8)8-⨯＝﹣1．(2)解：（2）9.92＝（10﹣0.1）2＝102﹣2×10×0.1+0.12＝100﹣2+0.01＝98.01．(3)解：（3）2251495149 2++⨯＝22(501)(501)(501)(501) 2++-++⨯-＝222 5011005011005012++++-+-＝502+1+502﹣1＝5000．【点睛】本题主要考查积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键．25．2363x x--，2 3 -【解析】【分析】根据乘法公式进行整式的化简，然后再代入求解即可．【详解】解：原式=2222144x x x x x-++-+-=2363x x--，把13x=-代入得：原式=2112363333⎛⎫⎛⎫⨯--⨯--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查乘法公式及整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【解析】【分析】先找对称轴，再得到个点的对应点，即可求解．【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示：【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．27．60APE ∠=︒【解析】【分析】由题意易得60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，则有30BDE ∠=︒，然后可得BE CD =，进而可证BEC CDA ≌，则有BCE =∠∠CAD ，最后问题可求解．【详解】解：∠ABC 是等边三角形，∠60ABC ACB ∠=∠=︒，AB AC BC ==，∠DE AB ⊥，∠90DEB ∠=︒，∠30BDE ∠=︒，∠2BD BE =，∠2BD CD =，∠BE CD =，∠BEC CDA ≌（SAS ），∠BCE =∠∠CAD ，∠,60APE PAC ACP ACB DAC ACP ∠=∠+∠∠=∠+∠=︒，∠60∠=∠=︒．APE ACB【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．(1)（a+b）2＝a2+2ab+b2(2)76(3)8【解析】【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；（2）根据完全平方公式变形即可求解；（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．(1)解：（1）用大正方形面积公式求得图形的面积为：（a+b）2；用两个小正方形面积加两个长方形面积和求出图形的面积为：a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；(2)解：（2）∵a+b＝10，ab＝12，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76；(3)解：（3）设8﹣x＝a，x﹣2＝b，∵长方形的两邻边分别是8﹣x，x﹣2，∴a+b＝8﹣x+x﹣2＝6，∵（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2ab＝20，∴ab＝8，∴这个长方形的面积＝（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．29．(1)2280a b -=(2)()12,8B -，()21,19C(3)1k =±(4)2x y ==或2x y ==-【解析】【分析】（1）根据题干所给“双曲点”的定义可直接进行求解；（2）根据“双曲点”的定义分别取验算即可；（3）由题意易得22980k -=，然后问题可求解；（4）根据题意易得()()222205580x y x y y x ⎧-=⎪⎨+--=⎪⎩，然后进行求解即可． (1)解：由题意得：2280a b -=，故答案为2280a b -=；(2)解：由题意得：∠()222222228448,12880,211980,4041584-=--=-=-=，∠是“双曲点”的有()12,8B -，()21,19C ；故答案为()12,8B -，()21,19C ；(3)解：∠点()9,B k 是“双曲点”，∠22980k -=，解得：1k =±；(4)解：由点(),A x y 为“十字点”，点()5,5B x y y x +-是“双曲点”可得： ()()222205580x y x y y x ⎧-=⎪⎨+--=⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题主要考查平方差公式、实数及二元一次方程组的解法，解题的关键是理解“双曲点”和“十字点”的定义．30．(1)证明见解析；(2)∠补全图形见解析；∠CMN △是等边三角形，证明见解析．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可知60ACF BCE ∠=∠=︒，AC FC =，CB CE =．结合题意易得出ACE FCB ∠=∠．即可利用“SAS ”证明ACE FCB ≅，即得出AE BF =；（2）∠根据题意补全图形即可；∠由全等三角形的性质可知CAM CFN ∠=∠，AE BF =．再由题意点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，即得出AM FN =．即可利用“SAS ”证明ACM FCN ≅，得出结论CM CN =，ACM FCN ∠=∠．最后根据ACM FCM FCN FCM ∠-∠=∠-∠，即得出60ACF MCN ∠=∠=︒，即可判定CMN △是等边三角形．(1)∠ACF 与BCE 都是等边三角形，∠60ACF BCE ∠=∠=︒，AC FC =，CB CE =，∠ACF ECF BCE ECF ∠+∠=∠+∠，即ACE FCB ∠=∠，在ACE 和FCB 中，∠AC FC ACE FCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ACE FCB SAS ≅，∠AE BF =．(2)∠画图如下：∠CMN △是等边三角形．理由如下：∠ACE FCB ≅，∠CAM CFN ∠=∠，AE BF =．∠点M ，N 分别是AE ，BF 的中点，∠AM FN =，在ACM △和FCN △中，∠AC FC CAM CFN AM FN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ACM FCN SAS ≅，∠CM CN =，ACM FCN ∠=∠，∠ACM FCM FCN FCM ∠-∠=∠-∠，即60ACF MCN ∠=∠=︒，∠CMN △是等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点．利用数形结合的思想是解答本题的关键．31．(1)图形见解析，60°(2)AF =BF +EF ，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，连接AE ，根据等边三角形的性质，可得∠BAC =60°，AB =AC ，从而得到60CAD α∠=︒- ，再由E 、C 关于AD 对称，可得60DAE DAC α∠=∠=︒- ，AE =AC =AB ，从而得到602EAB α∠=︒- ，进而得到60E ABE α∠=∠=︒+ ，再由三角形的外角性质，即可求解；（2）连接CF ，在F A 上取一点J ，使得FJ =FC ，连接CJ ，根据E 、C 关于AD 对称，可得∠AFC =∠AFE =60°，EF =CF ，从而得到∠CFJ 是等边三角形，进而得到∠BCF =∠ACJ ，可证得∠BCF ∠∠ACJ ，即可求解．(1)解：图形如图所示：连接AE ，∠∠ABC 是等边三角形，∠∠BAC =60°，AB =AC ，∠BAD ∠=α，∠60CAD α∠=︒- ，∠E 、C 关于AD 对称，∠60DAE DAC α∠=∠=︒- ，AE =AC =AB ，∠602EAB α∠=︒- ， ∠()1180602602E ABE αα∠=∠=︒-︒+=︒+ ， ∠∠ABE =∠AFE +∠BAD ，∠∠AFE =60°；(2)结论：AF =BF +EF ，理由如下：如图2中，连接CF ，在F A 上取一点J ，使得FJ =FC ，连接CJ ，∠E、C关于AD对称，∠∠AFC=∠AFE=60°，EF=CF，∠FJ=FC，∠∠CFJ是等边三角形，∠CF=CJ，∠FCJ=60°，∠∠ABC是等边三角形，∠∠ACB=60°，CB=CA，∠∠ACB=∠FCJ，∠∠BCF=∠ACJ，在∠BCF和∠ACJ中，∠CB=CA，∠BCF=∠ACJ，CF=CJ，∠∠BCF∠∠ACJ (SAS)，∠BF=AJ，∠AF=FJ+AJ=EF+BF．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，熟练掌握等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质是解题的关键．。
2022北京海淀清华附中初二(下)期中数学试题及答案
2
附加题：（共 20 分，每题 4 分） 26. 一家游冰馆的游泳收费标准为 30 元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型
办卡费用（元）
每次游泳收费（元）
A类
50
25
B类
200
20
Байду номын сангаасC类
400
15
例如，购买 A 类会员年卡，一年内游泳 20 次，消费 50 + 25 20 = 550 元，若一年内在该游冰馆游泳的次数介于
24. 在正方形 ABCD 中， P 是边 BC 上一动点（不与点 B 、 C 重合）， E 是 AP 的中点，过点 E 作 MN ⊥ AP ，分 别交 AB 、 CD 于点 M ， N ．
（1）判定 MN 与 AP 的数量关系，并证明； （2）连接 BD 交 MN 于点 F ．
①根据题意补全图形；
间为 x ，线段 PM 的长度为 y ，表示 y 与 x 的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
.A
B.
1 / 28
C.
D.
二．填空题（每题 3 分，共 24 分）
9. 函数 y = x − 2 中，自变量 x 的取值范围是_____． 10. 关于 x 的一元二次方程 x2 + ax −1 = 0 的根的情况为______．
2022 北京清华附中初二（下）期中
2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级(下)期末数学试卷答案解析
2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷一.选择题（本大题共24分，每小题3分）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x2+＝2B．x2﹣xy＝2C．x2﹣2x﹣3＝0D．2（x﹣1）＝x 2．（3分）将抛物线y＝x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2 3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝02时，原方程变形正确的是（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x+2）2＝9 4．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）5．（3分）某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P＝100﹣2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．（x﹣30）（100﹣2x）＝200B．x（100﹣2x）＝200C．（30﹣x）（100﹣2x）＝200D．（x﹣30）（2x﹣100）＝2006．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 7．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等实数根，则m可以取以下哪个数值（）A．3B．2C．1D．08．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2二.填空题（本大题共16分，每小题2分）9．（2分）已知抛物线y＝x2+x+m与y轴的交点在原点下方，则整数m的值可以是．（写出一个符合条件的值即可）10．（2分）若关于的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝．11．（2分）二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，4），则代数式a+b的值为．12．（2分）关于x的一元二次方程（m+3）x2+x+m2﹣9＝0有一根为0，则m＝．13．（2分）抛物线y＝x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是．14．（2分）已知m是方程x2﹣4x﹣3＝0的一个实数根，则m2﹣4m+2023的值是．15．（2分）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是．16．（2分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：x﹣113y2﹣22点P（﹣2，m），Q（x1，m）是抛物线上不同的两点，则x1＝．三.解答题（本题共60分，第17题12分，第18-20题每题5分，第21-23题每题6分，第17．（12分）用适当的方法解方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+2x﹣4＝0；（3）（x﹣4）2+x（x﹣4）＝0；（4）2x2﹣3x+1＝0．18．（5分）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），求该抛物线的解析式．19．（5分）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计），若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长．20．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）这个二次函数的解析式是；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为．21．（6分）排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02461112竖直高度y/m 2.38 2.62 2.7 2.62 1.72 1.42①根据上述数据，求抛物线解析式；②判断该运动员第一次发球能否过网（填“能”或“不能”）．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x （单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02（x﹣5）2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．22．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（0，3），B（2，3），C（﹣1，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，部分图象如图所示，则：（1）该抛物线的对称轴为直线；（2）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为；（3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为；（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是．23．（6分）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx+m+4（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），且AB＝4，①求抛物线的解析式；②已知点P坐标为（3，4），点Q在抛物线的对称轴上，将抛物线y＝mx2+2mx+m+4在第二象限内的部分记为图象G，如果直线PQ与图象G只有一个公共点，请结合图象，直接写出点Q的纵坐标t的取值范围是．25．（8分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G．（1）如图1，求证：AF＝BG；（2）如图2，若F为BG中点，连接DF，用等式表示线段AD，DF之间的数量关系，并证明；（3）若AD＝13，BF＝5，直接写出线段DF的长是．四、附加题（本题共20分，第26～29题每题3分，第30题8分）26．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（m，n），m，n满足（m2+n2+1）（m2+n2+3）＝15，则OP的长为．27．（3分）关于x的方程x2+2x﹣c＝0无实数根，则二次函数y＝x2+2x﹣c的图象的顶点在第象限．28．（3分）已知抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在坐标轴上，则a＝．29．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确的是（填序号）．30．（8分）对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2﹣MB2|＝AB2，则称M 为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA＝AB或MB＝AB时，称M为线段AB 的等垂点，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（1，1）．（1）如图1，在点C（0，4），D（1，2），E（3，﹣2），F（﹣1，﹣1）中，线段AB的垂点是；（2）已知点P（t，1），Q（t+2，0）．①如图2，当t＝0时，若直线y＝﹣x+b上存在线段PQ的等垂点，求b的值；②如图3，若△ABC边上（包含顶点）存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是．2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共24分，每小题3分）1．【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．【解答】解：A．方程x2+＝2是分式方程，选项A不符合题意；B．方程x2﹣xy＝2是二元二次方程，选项B不符合题意；C．方程x2﹣2x﹣3＝0是一元二次方程，选项C符合题意；D．方程2（x﹣1）＝x是一元一次方程，选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．2．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y＝x2﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．3．【分析】利用配方法解方程即可．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝02，即x2﹣2x﹣5＝0，移项得：x2﹣2x＝5，配方得：x2﹣2x+1＝6，即（x﹣1）2＝6，故选：C．【点评】本题考查配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．4．【分析】由抛物线的性质，求解即可．【解答】解：y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），故选：B．【点评】此题考查了抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的有关性质．5．【分析】一天的利润＝（售价﹣进价）×销售量，把相关数值代入即可．【解答】解：∵每件商品的利润为（x﹣30）元，可售出（100﹣2x）件，∴根据每天的利润为200元可列的方程为（x﹣30）（100﹣2x）＝200，故选：A．【点评】考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．6．【分析】先求出二次函数y＝2（x﹣2）2+1的图象的对称轴，然后判断出A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）在抛物线上的位置，再求解．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣2）2+1，中a＝2＞0∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝2，∵B（3，y2），C（4，y3）中横坐标均大于2，∴它们在对称轴的右侧y3＞y2．A（﹣3，y1）中横坐标小于2，∵它在对称轴的左侧，它关于x＝2的对称点为2×2﹣（﹣3）＝7，A点的对称点是D（7，y1）7＞4＞3，∵a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴y1＞y3＞y2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是找到A点的对称点；掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．7．【分析】方程有两个不相等的实数根，则有Δ＝b2﹣4ac＞0，据此即可得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×m＝4﹣4m，∴要使方程有两不相等实数根，则有4﹣4m＞0，∴m＜1；∴m可以取0，故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式之间的关系．8．【分析】根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当y＜0时，x的取值范围．【解答】解：由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜2，故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二.填空题（本大题共16分，每小题2分）9．【分析】根据抛物线与y轴的交点在原点下方可知：m＜0，由此填写即可．【解答】解：∵物线与y轴的交点在原点下方，∴m＜0，∴m的值可以是：﹣2（答案不唯一）．故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握知识点是解决本题的关键．10．【分析】根据根的判别式列得方程，解方程即可．【解答】解：∵关于的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，即36﹣4k＝0，解得：k＝9，故答案为：9．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得关于k的方程是解题的关键．11．【分析】代入点的坐标以后即可得出结论．【解答】解：代入点（1，4）得4＝a+b﹣3，解得：a+b＝7故答案为：7．【点评】本题考查图象与点的关联，能够熟练把点代入解析式是解题关键．12．【分析】将x＝0代入（m+3）x2+x+m2﹣9＝0中求得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定符合题意的m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+3）x2+x+m2﹣9＝0有一根为0，∴m2﹣9＝0，m+3≠0，解得：m＝3，故答案为：3．【点评】本题考查一元二次方程的解及其定义，特别注意二次项系数不能为0．13．【分析】先设出抛物线与x轴的交点，再根据根与系数的关系求出x1+x2及x1•x2的值，再由完全平方公式求解即可．【解答】解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），∵x1+x2＝﹣4，x1•x2＝3，∴|x1﹣x2|＝＝＝2，∴抛物线y＝x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2．故答案为：2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，能由根与系数的关系得到x1+x2及x1•x2的值是解答此题的关键．14．【分析】把x＝m代入已知方程可以求得m2﹣4m＝3，所以将其整体代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣4x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣4m﹣3＝0，解得，m2﹣4m＝3，∴m2﹣4m+2023＝2023+3＝2026，故答案是：2026．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．15．【分析】方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．【解答】解：方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得：x＝2或x＝4，若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为2+4+4＝10，故答案为：10．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．【分析】根据表格中的点的坐标特点先确定对称轴，由抛物线的对称性即可求解；【解答】解：观察表格中的x、y的值，可知（﹣1，2）、（3，2）是对称点，∴抛物线的对称轴是直线x＝＝1，∵点P（﹣2，m），Q（x1，m）是抛物线上不同的两点，∴＝1，∴x1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的对称轴．三.解答题（本题共60分，第17题12分，第18-20题每题5分，第21-23题每题6分，第17．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（3）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（4）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2；（2）∵x2+2x﹣4＝0，∴x2+2x＝4，则x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，∴x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（3）∵（x﹣4）2+x（x﹣4）＝0，∴（x﹣4）（2x﹣4）＝0，∴x﹣4＝0或2x﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝2；（4）∵2x2﹣3x+1＝0，∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，则x﹣1＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，根据题目的特点选择适当的解法，熟练地掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．18．【分析】将（﹣1，5），（1，3）代入y＝2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣x+2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，得到两个关于b、c的方程是解题的关键，也是本题的难点．19．【分析】设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．【解答】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，依题意，得（42﹣3x）x＝144．解得x1＝6，x2＝8．由于x2＝8＞7，所以不合题意，舍去．所以x＝6符合题意．答：生态园垂直于墙的边长为6米．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．20．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵y＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，当x＝﹣0时，y＝﹣3，又对称轴为x＝﹣1，∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣4＜y＜5．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．21．【分析】（1）①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把（0，2.48）代入解析式求出a即可•；②当x＝9时求出y的值与2.24比较即可；（2）令y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88中的y＝0，解方程求出x的值与18比较即可．【解答】解：（1）①由表中数据可得顶点（4，2.7），设y＝a（x﹣4）2+2.7（a＜0），把（0，2.38）代入得16a+2.7＝2.38，解得：a＝﹣0.02，∴所求函数关系为y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.7；②能．当x＝9时，y＝﹣0.02（9﹣4）2+2.7＝2.3＞2.24，∴该运动员第一次发球能过网，故答案为：能；（2）判断：没有出界．第二次发球：y＝﹣0.02（x﹣5）2+2.88，令y＝0，则﹣0.02（x﹣4）2+2.88＝0，，解得x1＝﹣87（舍），x2＝17，∵x2＝17＜18，∴该运动员此次发球没有出界．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．22．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（0，3），B（2，3），可以求得该抛物线的对称轴；（2）根据（1）中的结果和二次函数具有对称性，可以求得抛物线与x轴的另一个交点，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；（3）根据抛物线与直线y＝mx+n的交点，可以写出一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解；（4）根据（2）中求出的抛物线与x轴的交点和经过点A（0，3），可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到该抛物线的最大值，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0无实数根，此时k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（0，3），B（2，3），∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝1，故答案为：x＝1；（2）由（1）知：该抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点C（﹣1，0），∴该抛物线过点（3，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，故答案为：x1＝﹣1，x2＝3；（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，3），C（﹣1，0），直线y＝mx+n（m ≠0）经过点B，C，∴一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x1＝2，x2＝﹣1，故答案为：x1＝2，x2＝﹣1；（4）设该抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵该抛物线经过点A（0，3），∴3＝a（0+1）（0﹣3），解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的最大值为4，∵一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是k＞4，故答案为：k＞4【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m+2）2≥0，进而可证出方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合m为整数且原方程有两个互不相等的正整数根，即可得出m的值．【解答】（1）证明：Δ＝（2﹣3m）2﹣4×m×（2m﹣4）＝4﹣12m+9m2﹣8m2+16m＝m2+4m+4＝（m+2）2，∵（m+2）2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0，∴[mx+（2﹣m）]（x﹣2）＝0，∴x1＝，x2＝2．∵m为整数，且原方程有两个互不相等的正整数根，∴m＝﹣1．答：m的值为﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两个实数根．24．【分析】（1）将y＝mx2+2mx+m+4配方即可；（2）①由抛物线的对称轴为x＝﹣1，且AB＝4（点A在点B的左侧）可得A（﹣3，0），B（1，0），代入抛物线即可；②分过点P的直线与x轴平行、过点P的直线过（0，3）、过点P的直线过（﹣3，0）三种情况分别求解即可．【解答】解：（1）y＝mx2+2mx+m+4，＝m（x2+2x+1）+4，＝m（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），（2）①∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且AB＝4（点A在点B的左侧），∴A（﹣3，0），B（1，0），将B（1，0）代入y＝mx2+2mx+m+4得：m+2m+m+4＝0，∴m＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，②图象G对应的部分抛物线如图所示：Ⅰ．当过点P的直线与x轴平行时，直线PQ与图象G只有1个交点，此时t＝4，Ⅱ．当过点P的直线过（0，3）时，直线PQ与图象G只有1个交点，设直线PQ的表达式为：y＝kx+3，将（3，4）代入得：3k+3＝4，∴k＝，∴y＝x+3，当x＝﹣1时，t＝，Ⅲ．当过点P的直线过（﹣3，0）时，直线PQ与图象G的交点在x轴上，此时直线PQ的表达式为：y＝x+2，当x＝﹣1时，t＝，综上：t＝4或．【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．25．【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABF≌△BCG（ASA），即可解决问题；（2）如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，根据正方形的性质利用勾股定理解答即可；（3）结合（2）的方法根据正方形的性质利用勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵AF⊥BE，CG⊥BE，∴∠AFB＝∠BGC＝90°，∴∠ABF＝∠BCG＝90°﹣∠CBG，∴△ABF≌△BCG（ASA），∴AF＝BG；（2）解：AD＝DF，理由如下：如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴四边形AHFN是矩形，∴AH＝FN，AN＝HF，∵F为BG中点，∴BF＝GF，∵AF⊥BG，CG⊥BG，∴FM∥CG，∴BM＝CM，∴FM＝CG，由（1）知：△ABF≌△BCG，∴BF＝CG，∴BF＝CG＝FG，设BF＝CG＝FG＝，∴FM＝CG＝，∴BM＝＝＝，∴AB＝AD＝BC＝2BM＝5，＝AB•FH＝AF•BF，∵AF＝BG＝2，S△ABF∴5FH＝2×，∴FH＝2，∴AN＝FH＝2，∴DN＝AD﹣AN＝5﹣2＝3，∵AH＝＝＝4，∴FN＝AH＝4，∴DF＝＝＝5，∴AD＝DF；（3）解：线段DF的长是．理由如下：如图3，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，∵AF⊥BE，AB＝AD＝13，BF＝5，∴AF＝＝12，∴13FH＝12×5，∴FH＝，∴AN＝FH＝，∴DN＝AD﹣AN＝13﹣＝，∵AH＝＝＝，∴FN＝AH＝，∴DF＝＝＝＝，∴线段DF的长是．故答案为：．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．四、附加题（本题共20分，第26～29题每题3分，第30题8分）26．【分析】OP2＝m2+n2，设t＝m2+n2，则用t代替方程中的m2+n2，将原方程转化为关于t的新方程，通过解新方程求得t即m2+n2的值即可．【解答】解：设t＝m2+n2，则由原方程，得（t+1）（t+3）＝15，整理，得t2+4t﹣12＝0，即（t+6）（t﹣2）＝0，解得t＝﹣6（舍去）或t＝2．∵P（m，n），∴OP2＝m2+n2＝2，∴OP＝（负值不合题意，舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．27．【分析】首先确定抛物线与x轴没有交点，再利用抛物线开口方向以及对称轴位置得出顶点的位置．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣c＝0无实数根，∴b2﹣4ac＝4+4c＜0，故二次函数y＝x2+2x﹣c的图象与x轴没有交点，∵二次函数y＝x2+2x﹣c的图象开口向上，对称轴为：直线x＝﹣＝﹣1，∴抛物线顶点在第二象限．故答案为：二．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关性质得出顶点位置是解题关键．28．【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．【解答】解：当抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在x轴上时，Δ＝0，即Δ＝[a（a+2）]2﹣4×9＝0，解得a＝﹣1+或a＝﹣1﹣；当抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在y轴上时，x＝﹣＝＝0，解得a＝0或a＝﹣2．故答案为：﹣1+或﹣1﹣或0或﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．29．【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可．【解答】解：由于抛物线的开口向下，因此a＜0，由于抛物线的对称轴是直线x＝1＞0，所以a、b异号，而a＜0，所以b＞0，由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，因此①不正确；由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b﹣a＞c，因此②正确；由抛物线的对称性以及图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此③正确；因为对称轴为x＝﹣＝1，即2a+b＝0，而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以3a+c＜0，即3a＜﹣c，因此④不正确；由于抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），即x＝1时，y的值最大，即a+b+c最大，当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c＜a+b+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），因此⑤正确；综上所述，正确的结论有：②③⑤，故答案为：②③⑤．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．30．【分析】（1）根据新定义“线段AB的垂点”，即可判断得出答案；（2）①当t＝0时，点P（0，1），Q（2，0），则线段PQ的等垂点为M（m，﹣m+b），过点M作MG⊥y轴于点G，过点M′作M′H⊥y轴于点H，可证得△PMG≌△QPO（AAS），进而可得M（1，3）或（﹣1，﹣1），代入M（m，﹣m+b），即可求得b的值；②根据新定义“线段AB的垂点”，线段PQ的垂点一定在直线y＝2x+b′上，分别求得t的最小值和最大值即可得出答案．【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），B（1，1），∴AB2＝4，∵|CA2﹣CB2|＝|（﹣1﹣0）2+（1﹣4）2﹣[（1﹣0）2+（1﹣4）2]|＝0，∴|CA2﹣CB2|≠AB2，∴点C不是线段AB的垂点；∵|DA2﹣DB2|＝|（1+1）2+（2﹣1）2﹣[（1﹣1）2+（2﹣1）2]|＝4，∴|DA2﹣DB2|＝AB2，∴点D是线段AB的垂点；∵|EA2﹣EB2|＝|（3+1）2+（﹣2﹣1）2﹣[（3﹣1）2+（﹣2﹣1）2]＝12，∴|EA2﹣EB2|≠AB2，∴点E不是线段AB的垂点；∵|FA2﹣FB2|＝|（﹣1+1）2+（﹣1﹣1）2﹣[（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2]＝4，∴|FA2﹣FB2|＝AB2，∴点F是线段AB的垂点；综上所述，点D、F是线段AB的垂点；故答案为：D（1，2），F（﹣1，﹣1）；（2）①当t＝0时，点P（0，1），Q（2，0），设点M是直线y＝﹣x+b上存在的线段PQ的等垂点，则M（m，﹣m+b），过点M作MG⊥y轴于点G，过点M′作M′H⊥y轴于点H，∴MP＝PQ，MP⊥PQ，∴∠PGM＝∠QOP＝90°，∴∠MPG+∠PMG＝90°，∠QPO+∠MPG＝90°，∴∠PMG＝∠QPO，∴△PMG≌△QPO（AAS），∴MG＝OP＝1，PG＝OQ＝2，∴OG＝OP+PG＝1+2＝3，∴M（1，3），∴，解得：；同理可得：M′（﹣1，﹣1），∴，解得：；∴b的值为或﹣；②∵P（t，1），Q（t+2，0）．∴线段PQ的垂点一定在直线y＝2x+b′上，把C（0，4）代入y＝2x+b′，得b′＝4，当Q（t+2，0）在直线y＝2x+4上时，0＝2（t+2）+4，解得：t＝﹣4，把B（1，1）代入y＝2x+b′，得b′＝﹣1，当P（t，1）在直线y＝2x﹣1上时，1＝2t﹣1，解得：t＝1，∴t的取值范围是﹣4≤t＜1；故答案为：﹣4≤t＜1．【点评】本题综合性比较强，考查了学生对平面直角坐标系和点的坐标的理解，要掌握正方形的性质，学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题。
2022-2023学年北师大版八年级上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年初中八年级上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：105 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1. 下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( )A.，，B.，，C.，，D.，，2. 实数，，，…（相连两个之间依次多一个),其中无理数有（ ）A.B.C.D.3. 已知两条线段的长分别为，，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长为( )A.B.C.D.或4. 下列各式是二次根式的是（ ）A.B.3455788151712–√3–√,,0,−π2–√28–√316−−√130.1010010001101234cm 2–√cm 3–√1cm5cmcm5–√1cm cm5–√−7−−−√2–√3−−−−−√C.D.5. 下列运算正确的是 A.B.C.D.6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.B.C.D.7. 估计的值在两个相邻整数( )A.与之间B.与之间C.与之间D.与之间8. 下列组数中，是勾股数的为( )A.B.，，C.，，D.9. 下列计算正确的是( )A.+1x 2−−−−−√ba−−√3()=±24–√(−3=27)3=416−−√=39–√315−−√12−−√15−−√9–√+130−−√344556674,,131415724255441−−√,,324252=2()2–√2−2−−−−−B.C.D.10. 对于实数，，，，规定一种运算，如，那么当时，的值为( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）11. 已知一直角三角形的木板，三边的平方和为，则斜边长为________.12. 已知一个表面积为的正方体，则这个正方体的棱长为________．13. 计算：________．14. 实数，，中无理数有________个．15. 的六次方根是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）16. 把下列各数填入相应集合内：，，，，，，，，，，整数集合： ；分数集合： ；无理数集合： ；正数集合： .=−2(−2)2−−−−−√=223−−√=−2(−)2–√2a b c d =ad −bc ∣∣∣a b c d ∣∣∣=∣∣∣102(−2)∣∣∣1×(−2)−0×2=−2=6∣∣∣2x x −x x ∣∣∣x 6–√±6–√2–√±2–√1800cm 212m 2m ×=23−−√6–√0 3.14144143−2 2.0˙1˙4 1.1010010001⋯−103π03%227−|−3|(−1)2012{⋯}{⋯}{⋯}{⋯}17.探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“”、“”或“”，并完成后面的问题．________，________，________，________…用，，表示上述规律为：________；利用中的结论，求的值设，，试用含，的式子表示． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫格点，已知是网格中的格点三角形．的长为________；求的面积；求边上的高．19. 如图，在中，，，，过点的圆与斜边相切于点，与，边分别交于点，（异于的交点）．求的值；的长是否有最小值？如果有，请求出该值；如果没有，请说明理由；若与相似，连接，求的面积．20. 解方程：；.(1)><=×4–√16−−√4×16−−−−−√×49−−√9–√49×9−−−−−√×925−−−√25−−√×25925−−−−−−−√×169−−−√425−−−√×169425−−−−−−−√a −√b √ab−−√(2)(1)×8–√12−−√(3)x =3–√y =6–√x y 54−−√1△ABC (1)BC (2)△ABC (3)BC Rt △ABC ∠C =90∘AC =6BC =8C AB D AC BC E F C (1)sin A (2)EF (3)△CEF △ABC DE △ADE (1)4−100=0(x −1)2(2)8=−125(x −5)3A21. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达地点相距米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多米，求该河的宽度为多少米？A B 5010BC参考答案与试题解析2022-2023学年初中八年级上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理【解析】根据勾股定理的逆定理依次判断各项后即可解答．【解答】解：，因为，所以能作为直角三角形三边长度，故不符合题意；，因为，所以不能作为直角三角形三边长度，故符合题意；，因为，所以能作为直角三角形三边长度，故不符合题意；，因为，所以能作为直角三角形三边长度，故不符合题意．故选．2.【答案】C【考点】无理数的判定【解析】本题考查了无理数的判断，熟练掌握无理数的概念是解题关键，根据无理数的概念逐一判断，即可求得答案.【解答】解：，，所以无理数有，，，共个.故选.3.A +=324252B +≠527282C +=82152172D +=12()2–√2()3–√2B =28–√3=416−−√2–√2−π0.1010010001⋯⋯3C【答案】D【考点】勾股定理【解析】根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．【解答】解：设第三边长为，则可能是斜边或者是直角边.根据勾股定理的逆定理可得：当是斜边时，，当是直角边时，．故选.4.【答案】C【考点】二次根式的定义及识别【解析】根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行判断即可．【解答】解：、，被开方数是负数，不是二次根式；、根指数不是，不是二次根式；、是二次根式；、根指数不是，不是二次根式，故选：．5.【答案】C【考点】立方根的实际应用算术平方根c c c c ==(cm)+()2–√2()3–√2−−−−−−−−−−−−√5–√c c ==1(cm)−()3–√2()2–√2−−−−−−−−−−−−√D A −7−−−√B 2–√32C +1x 2−−−−−√D b a−−√32C有理数的乘方【解析】先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的定义求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：，结果是，故本选项不符合题意；，结果是，故本选项不符合题意；，结果是，故本选项符合题意；，∵，的结果是，故本选项不符合题意；故选．6.【答案】A【考点】最简二次根式【解析】根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：是最简二次根式，所以此选项正确；，所以此选项错误；，所以此选项错误；，所以此选项错误，故选．7.【答案】D【考点】估算无理数的大小【解析】此题暂无解析【解答】解：，，A 2B −27C 4D =327−−√39–√39–√3C A.15−−√B.=212−−√3–√C.=15−−√5–√5D.=39–√A ∵25<30<36∴5<<630−−√∴6<+1<730−−√.故选.8.【答案】B【考点】勾股数【解析】欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：，因为 ，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意；，因为，，，，所以它们是勾股数，故本选项符合题意；，因为，但不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；，因为，所以它们不是勾股数，故本选项不合题意．故选.9.【答案】A【考点】二次根式的性质与化简【解析】本题考查二次根式的乘法和二次根式的化简，根据二次根式的乘法法则和性质解答.【解答】解：.原式，故正确；.原式，故错误；.原式，故错误； .原式，故错误.故选.10.【答案】∴6<+1<730−−√D A 131415B =4972=576242=625252+=72242252C +=（524241−−√）241−−√D (+(≠(32)242)252)2B A =2B =2C =22–√D =2AD【考点】平方根定义新符号【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，则，则.故选.二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）11.【答案】【考点】勾股定理【解析】设此直角三角形的斜边是，根据勾股定理及已知不难求得斜边的长．【解答】解：设此直角三角形的斜边是，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即，（负值舍去），取．故答案为：.12.【答案】【考点】算术平方根【解析】∣∣∣2x x −x x ∣∣∣=2x ⋅x −(−x)⋅x =3=6x 2=2x 2x =±2–√D 30cmc c 2=1800c 2cm 2c =±30cm c =30cm 30cm 2–√先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可．【解答】解：∵正方体有个面且每个面都相等，∴正方体的一个面的面积为，∴正方体的棱长为．故答案为：．13.【答案】【考点】二次根式的乘除法【解析】根据进行计算即可．【解答】解：原式.故答案为：．14.【答案】【考点】算术平方根无理数的识别【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】62m 2m 2–√2–√2⋅=(a ≥0,b ≥0)a −√b √ab −−√===2×623−−−−−√4–√22±2平方根【解析】直接构造六次幂结构，即可得出答案.【解答】解：∵，∴的六次方根是.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）16.【答案】解：整数集合：；分数集合：；无理数集合：；正数集合：.【考点】无理数的识别有理数的概念及分类【解析】此题暂无解析【解答】解：整数集合：；分数集合：；无理数集合：；正数集合：.17.【答案】,,,,===43()22326(−2)643±2±2{−2，4，0，−|−3|，(−1)2012}{2.，−，3%，0˙1˙103227}{1.1010010001⋯，π}{2.，4，1.1010010001⋯，π，3%，，(−10˙1˙227)2012}{−2，4，0，−|−3|，(−1)2012}{2.，−，3%，0˙1˙103227}{1.1010010001⋯，π}{2.，4，1.1010010001⋯，π，3%，，(−10˙1˙227)2012}====⋅=(a ≥0,b ≥0)a −√b √ab −−√(2)×8–√12−−√=8×12−−−−−√=4–√；∵，，∴．【考点】二次根式的乘法【解析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；（3）先分解质因数，再根据规律得出，即可得出答案．【解答】解：∵，，∴，同理：，，,.故答案为：；；；；.；∵，，∴．18.【答案】如图所示，=2(3)x =3–√y =6–√=54−−√3×3×6−−−−−−−√=××3–√3–√6–√=x ⋅x ⋅y=y x 2××3–√3–√6–√(1)×=2×4=84–√16−−√==84×16−−−−−√64−−√×=4–√16−−√4×16−−−−−√×=49−−√9–√49×9−−−−−√×925−−−√25−−√=×25925−−−−−−−√×=169−−−√425−−−√×169425−−−−−−−√×=a −√b √ab −−√====×=(a ≥0,b ≥0)a −√b √ab −−√(2)×8–√12−−√=8×12−−−−−√=4–√=2(3)x =3–√y =6–√=54−−√3×3×6−−−−−−−√=××3–√3–√6–√=x ⋅x ⋅y=y x 217−−√(2)．过点作于点，∵，∴，∴，∴边上的高为．【考点】勾股定理三角形的面积【解析】此题暂无解析【解答】解：由图可知： ．故答案为：.如图所示，．过点作于点，=−−−S △ABC S 正方形EDBF S △BCF S △ABD S △ACE =4×4−×1×4−×2×4−×2×3121212=16−2−4−3=7(3)A AH ⊥BC H =×BC ×AH S △ABC 127=××AH 1217−−√AH =1417−−√17BC 1417−−√17(1)BC ==+1242−−−−−−√17−−√17−−√(2)=−−−S △ABC S 正方形EDBF S △BCF S △ABD S △ACE =4×4−×1×4−×2×4−×2×3121212=16−2−4−3=7(3)A AH ⊥BC H ×BC ×AHABC 1∵，∴，∴，∴边上的高为．19.【答案】解：∵，，，∴，∴ ．的长有最小值，理由如下：∵，点，在圆上，∴为直径，设的中点为，则为圆心，连接，，如图，得.∵ 与相切于点，∴，连接，如图，有，由垂线段最短，当，，共线时，取得最小值，此时，由等积法可得，，∴，∴的长有最小值．有两种情况，①若，如图，则，过点作，易得，设，则，，，，∴，∴，解得，=×BC ×AH S △ABC 127=××AH 1217−−√AH =1417−−√17BC 1417−−√17(1)∠C =90∘AC =6BC =8AB ==10A +B C 2C 2−−−−−−−−−−√sin A ===BC AB 81045(2)EF 245∠C =90∘E F EF EF O O OC OD OC +OD =EF ⊙O AB D OD ⊥AB CD EF =OC +OD ≥CD C O D OC +OD AB ⋅CD =BC ⋅AC CD ===BC ⋅AC AB 8×610245EF 245(3)△CEF ∽△CAB EF//AB E EG ⊥AB EG =OD =OC EC =3x CF =4x EF =5x AE =6−3xEG =OD =OC =x 52sin A ==EG AE 45=x526−3x 45x =4849G =OD =OE =DG =x =5120∴，而，∴．②若，如图，则，而，∴，∵ ，∴，∴所在直线垂直于，而，∴，，三点共线，∴是直径，且，由知， ，∴，∴，，∴．【考点】勾股定理锐角三角函数的定义圆的综合题垂线段最短相似三角形的性质三角形的面积【解析】【解答】EG =OD =OE =DG =x =5212049AG ===EG =EGtan A EG BC AC349049=AD ⋅EG =(AG +DG)⋅EGS △ADE 1212=(+)⋅=12904912049120491800343△CEF ∽△CBA ∠EFC =∠A OF =OC ∠OCB =∠EFC =∠A ∠A +∠B =90∘∠OCB +∠B =90∘CD AB OD ⊥AB C O D CD ∠CED =90∘(2)CD =245AD ==⋅=CD tan A 34245185DE =AD ⋅sin A =⋅=185457225AE =AD ⋅cos A =⋅=×=185AC AB 1856105425=AE ⋅DE =××=S △ADE 1212542572251944625(1)∠C =90∘AC =6BC =8解：∵，，，∴，∴ ．的长有最小值，理由如下：∵，点，在圆上，∴为直径，设的中点为，则为圆心，连接，，如图，得.∵ 与相切于点，∴，连接，如图，有，由垂线段最短，当，，共线时，取得最小值，此时，由等积法可得，，∴，∴的长有最小值．有两种情况，①若，如图，则，过点作，易得，设，则，，，，∴，∴，解得，∴，而，∴．②若，如图，(1)∠C =90∘AC =6BC =8AB ==10A +B C 2C 2−−−−−−−−−−√sin A ===BC AB 81045(2)EF 245∠C =90∘E F EF EF O O OC OD OC +OD =EF ⊙O AB D OD ⊥AB CD EF =OC +OD ≥CD C O D OC +OD AB ⋅CD =BC ⋅AC CD ===BC ⋅AC AB 8×610245EF 245(3)△CEF ∽△CAB EF//AB E EG ⊥AB EG =OD =OC EC =3x CF =4x EF =5x AE =6−3x EG =OD =OC =x 52sin A ==EG AE 45=x 526−3x 45x =4849EG =OD =OE =DG =x =5212049AG ===EG =EG tan A EG BC AC349049=AD ⋅EG =(AG+DG)⋅EGS △ADE 1212=(+)⋅=12904912049120491800343△CEF ∽△CBA则，而，∴，∵ ，∴，∴所在直线垂直于，而，∴，，三点共线，∴是直径，且，由知， ，∴，∴，，∴．20.【答案】解：，，，，．，，．【考点】平方根立方根的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，，．∠EFC =∠A OF =OC ∠OCB =∠EFC =∠A ∠A +∠B =90∘∠OCB +∠B =90∘CD AB OD ⊥AB C O D CD ∠CED =90∘(2)CD =245AD ==⋅=CD tan A 34245185DE =AD ⋅sin A =⋅=185457225AE =AD ⋅cos A =⋅=×=185AC AB 1856105425=AE ⋅DE =××=S △ADE 1212542572251944625(1)4=100(x −1)2=25(x −1)2x −1=±5=6x 1=−4x 2(2)=(x −5)3−1258x −5=−52x =52(1)4=100(x −1)2=25(x −1)2x −1=±5=6x 1=−4x 2−125，，．21.【答案】解：根据题意可知米，米，设，由勾股定理得：，即，解得．答：该河的宽度为米.【考点】勾股定理的综合与创新勾股定理的应用【解析】根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离．【解答】解：根据题意可知米，米，设，由勾股定理得：，即，解得．答：该河的宽度为米.(2)=(x −5)3−1258x −5=−52x =52AB =50AC =BC +10BC =x A =A +B C 2B 2C 2(x +10=+)2502x 2x =120BC 120△ABC BC AB =50AC =BC +10BC =x A =A +B C 2B 2C 2(x +10=+)2502x 2x =120BC 120。
北京市海淀区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷
北京市海淀区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷一、单选题1．一个三角形两边的长分别是3和5，则这个三角形第三边的长可能是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．42．下列图中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．运算正确的是（）A ．336x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．()326x x =D ．632x x x ÷=4．如图12∠∠，是四边形ABCD 的外角，若172∠=︒，2108=︒∠，则A C ∠+∠=（）A ．160︒B ．170︒C ．180︒D ．190︒5．如图，三条公路两两相交，现计划在ABC V 中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是ABC V （）A ．三条中线的交点B ．三边垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点6．如图，AD 是ABC V 的中线，点E ，F 分别在AD 和AD 的延长线上，且DE DF =，连接BF ，CE ，则下列说法错误的是（）A ．BDF CDE ≌B ．ABD △和ACD 周长相等C ．BF CE∥D ．ABD △和ACD 面积相等7．已知x m =6,x n =3,则x 2m-n 的值为()A ．9B ．39C ．12D ．1088．如图，在ABC V 中，30C ∠=︒，将ABC V 沿直线l 折叠，使点C 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（）A ．30︒B ．40︒C ．80︒D ．60°9．如图，P 为ABC V 内一点，过点P 的线段MN 分别交AB 、BC 于点M 、N ，且M 、N 分别在PA 、PC 的中垂线上．若80ABC ∠=︒，则APC ∠的度数为（）A ．120︒B ．125︒C ．130︒D ．135︒10．如图，在平面直角坐标系中，对ABC V 进行循环往复地轴对称变换，若原来点C 的坐标是31（，），则经过第2024次变换后点C 的对应点的坐标为（）A ．31（，）B ．()31-，C ．()31-，-D ．()31，-二、填空题11．如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是．12．已知216x x k ++是完全平方式，则常数k 等于．13．若点P （m ，3）与点Q （1，n ）关于y 轴对称，则m =；n =．14．若x m -与23x +的乘积中不含一次项，则m 的值为．15．如图，ABC V 中，AD 为BAC ∠的角平分线，作BD 垂直AD 于D ，ACD 的面积为8，则ABC V 的面积为．16．如图，已知△ABC 三个内角的平分线交于点O ，点D 在CA 的延长线上，且DC ＝BC ，AD ＝AO ，若∠BAC ＝100°，则∠BCA 的度数为．三、解答题17．计算：(1)()23541022x x x x x ⋅+÷-；(2)()()()()()242m n m n m n m m n m -⎡⎤-+--⎦+÷⎣．18．已知2310x x --=，求代数式()()()252521x x x x +-+-的值．19．如图，在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出ABC V 关于直线l 对称的111A B C △；（要求：A 与1A ，B 与1B ，C 与1C 相对应）(2)ABC V 的面积是；(3)若有一格点P 到点A 、B 的距离相等()PA PB =，则网格中满足条件的点P 共有个；(4)在直线l 上找一点Q ，使QB QC +的值最小．20．如图，在ABC V 中，AD 是高，BE 是角平分线，它们相交于点F ，58BAC ∠=︒，72C ∠=︒，求DAC ∠和AFB ∠的度数．21．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为BC 边上一点，过D 作EDF B ∠=∠，分别与AB ，AC 相交于点E 和点F ．(1)求证：BED FDC ∠=∠；(2)若DE DF =，求证：BE CD =．22．回答下列问题(1)填空：22211x x x x ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭21x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭(2)若15a a +=，则221+=a a ；(3)若2310a a -+=，求221a a +的值．23．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x 的正方形，乙种纸片是边长为y 的正方形，丙种纸片是长为y ，宽为x 的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．(1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；(2)利用（1）中的等式解决下列问题．①已知2210a b +=，6a b +=，求ab 的值；②已知()()202120191c c --=，求()()2220212019c c -+-的值．24．如图，在长方形纸片ABCD 中，点P 在边BC 上，将长方形纸片沿AP 折叠后，点B 的对应点为点B '，PB '交AD 于点Q ．(1)判断DAP ∠和APQ ∠的大小关系，并说明理由；(2)连结PD ，若PD 平分QPC ∠，55PDA ∠=︒，求APB ∠的度数．25．在ABC V 中，,AO BO 分别平分,BAC ABC ∠∠．(1)如图1，若32C ∠=︒，则AOB ∠=；(2)如图2，连接OC ，求证：OC 平分ACB ∠；(3)如图3，若247ABC ACB AB AC ∠=∠==,,，求OB 的长．26．（1）【问题提出】如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △，已知90ACD B E ∠=∠=∠=︒，AC CD =，B C E 、、三点在一条直线上，5AB =， 6.5DE =，则BE 的长度为．（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4BC =，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，求BCD △的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD 的周边规划一个四边形ABCD 巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD 中，45ABC CAB ADC ∠=∠=∠=︒，AC BC =，ACD 面积为212km ，且CD 的长为6km ，则河流另一边森林公园BCD △的面积为2km ．。
2022-2023学年北京市海淀区第二十中学八年级上学期月考数学试卷(10月份)带讲解
∴ ∠DAC+ ∠ACF= （∠B+∠2）+ （∠B+∠1）= （∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），
∴∠AEC=180°﹣（ ∠DAC+ ∠ACF）=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A.6B.8C.10D.12
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
（2）若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为m．
【答案】（1）见解析（2）4
【分析】（1）先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
证明：∵AB DE
∴∠ABC=∠DEF
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)
【小问2详解】
解：∵△ABC≌△DEF，
A.120°B.70°C.60°D.50°
【答案】B
【分析】根据邻补角互补可得∠AEB=60°，再根据全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，再利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】∵∠AEC=120°，
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1
北京市海淀区清华附中2022-2023学年八年级（上）10月月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列式子是分式的是（ ）
A. B. C. D.
2．若分式的值等于0，则x的值为（ ）
A．±1 B．1 C．-1 D．0
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
4．若分式中x,y都扩大10倍，则该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的10倍
C．扩大为原来的100倍 D．缩小为原来的
5．分式可变形为（ ）
A． B. C. D.
6．下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
7．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+1=2（x-1） B．x-1=2（x+1） C．x-1=2 D．x+1=2
8．下列算式的结果最大的是（ ）
A. B．20 C．2-1 D．（-2）2
9．若算式的运算结果为x,则在“□”中添加的运算符号为（ ）
A．+ B．- C．+或× D．1或÷
2
10．一艘轮船往返于甲、乙两港之间，第一次往返航行时，水流速度为a km/h,第二次往返航行时，正遇上
发大水，水流速度为b km/h（b＞a），已知该船在两次航行中的静水速度相同，则该船这两次往返航行所用
时间的关系是（ ）
A．第一次往返航行所用的时间少
B．第二次往返航行所用的时间少
C．两种情况所用时间相等
D．无法比较两种情况所用时间的大小
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．石墨烯是已知强度最高的材料之一，同时还具有很好的韧性，石墨烯的理论厚度为0.0000000003
4m,这个数据用学记数法可表示为.
12．方程的解是.
13．化简的结果为.
14．若关于x的分式方程无解，则m的值为.
15．甲完成一项工作需要n天，乙完成该项工作需要的时间比甲多3天，则乙一天能完成的工作量是该
项工作的.
16．已知（n为正整数），则化简f2020的结果为 ．（结果
用含t的式子表示）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算：
18．计算：
19．解分式方程：
20．已知关于x的方程的解为x=1，求a的值．
3
21．先化简，再求值：其中
22．对于实数a,b,定义一种新运算“⊗”为：这里等式右边是通常的四则运算．例如：
解方程（-2）⊗x=1⊗x.
23．某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价6元出售，很
快售完．
由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1680元所购该书的数量比第
一次多50本，当按定价售出300本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的进价是多少元？
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，
赚多少？
24．观察下列方程及其解的特征：
①的解为x1=x2=1；
②的解为x1=2，x2=
③的解为x1=3，x2=；
…
解答下列问题：
（1）请猜想：方程的解为；
（2）请猜想：关于x的方程的解为x1=a,x2=
（3）利用（2）的结论解方程：
①
②