天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试数学试题 含答案
1 天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利！ 参考公式：
柱体的体积公式 ShV=柱体，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高．
锥体的体积公式 ShV31=锥体 ，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． 球的体积公式 334RV=球 ，其中R表示球的半径．
第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合2|A=xx，2,1,0,1B−=，则=BA (A) 1,0,1− (B) 1,0 (C) 1,0− (D) 2,1,0,1− （2）若数列na是等比数列，其前n项和为nS，且333aS=，则公比=q
(A) 21− (B) 21 (C) 1或21− (D) 1−或21 （3）已知21log31=a，31log21=b，32log3=c，则 (A) bac (B) abc (C) cba (D) acb 2
（4）设0log:2xp，12:1−xq，则p是q的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （5）若直线2−=xy被圆4)(22=+−yax所截的弦长为22，则实数a的值为 (A) 0或4 (B) 1−或3 (C) 1或3 (D) 2−或6
（6）已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是 (A) 32 (B) 34
(C) 334 (D) 38 （7）将函数xxycos3sin−=的图像沿x轴向右平移)0(mm个单位长度，所得函数的图像关于y轴对称，则m的最小值是 (A) 12− (B) 12 (C) 6− (D) 6
（8）已知双曲线)0,0(12222=−babyax的左顶点与抛物线)0(22=ppxy的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(−−，则双曲线的焦距为 (A) 22 (B) 32 (C) 4 (D) 52 （9）已知函数−−−=0,20,12)(2xxxxxfx，若函数mxfxg−=)()(有三个零点，则实数m的取值范围是 (A) ()0,− (B) ()+,1
(C) ()0,1 (D) 1,0
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 3
（10）若i为虚单位，则复数=−2)1(3i______. （11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有______.
（12）已知二项式21()nxx+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是______. （13）已知实数ba,满足条件：0ab，且1是2a与2b的等比中项，又是a1与b1的等差中项，则=++22ba
ba______.
（14）曲线)1ln3(+=xxy在点），（11处的切线方程为______. （15）已知ba,是单位向量，且0=ba，若向量c满足1=−−bac，则c的最大值是______.
三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分15分） 在△ABC中，内角CBA,,所对的边分别是cba,,，已知1=a，2=b，41cos=C. （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求)32sin(+C的值.
（17）（本小题满分15分） 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为32和43，且各次射击互相独立. （Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率； （Ⅱ）若甲连续射击3次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望.
武术社 摄影社 围棋社 高一 45 30 a 高二 15 10 20 4
（18）（本小题满分15分） 四棱锥ABCDP−中，⊥PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且 2==ABPA，3=AD，E是线段BC上的动点，F是线段PE的中点.
（Ⅰ）求证：⊥PB平面ADF；
（Ⅱ）若直线DE与平面ADF所成角为30， （1）求线段CE的长； （2）求二面角AEDP−−的余弦值.
（19）（本小题满分51分） 已知椭圆1:2222=+byaxC)0(ba经过点），（231P，离心率21=e，直线l的方程为4=x. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PMPBPA、、的斜率分别为321kkk、、.问：是否存在常数，使得321kkk=+？若存在，求
的值；若不存在，说明理由.
（20）（本小题满分51分） 函数axxxf−=ln)(，Ra.
（Ⅰ）讨论函数)(xf的单调区间和极值； （Ⅱ）已知ex=1和2x是函数)(xf的两个不同的零点，求a的值并证明：232ex.（其中e为自然对数的底数）
FPABC
DE5
天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试 数学参考答案 一、选择题 每题5分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A C A A A B D D C
二、填空题 每题5分
10. i23 11. 150 12. 10 13. 31− 14. 34−=xy 15. 12+ 三、解答题 16.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）因为Cabbaccos2222−+=；..............................3分
且1=a，2=b，41cos=C， 解得2=c；.......................................................................6分 （Ⅱ）因为1cossin22=+CC,
所以415sin=C，...............................................................7分
815cossin22sin==CCC,...........................................9分
871cos22cos2−=−=CC，..........................................11分
又3sin2cos3cos2sin)32sin(CCC+=+,...........13分 所以163715)32sin(−=+C......................................15分 17. （本小题满分51分） （Ⅰ）设“至少有一人命中目标”为事件A，
413243314332)(×+×+×=AP......................................4分
1211= .........................................................6分 6
（或设“两人都没命中目标”为事件B，1214131)(=×=BP..........4分 “至少有一人命中目标”为事件A，121112
1-1)(==AP..........6分）
（Ⅱ）的取值情况可能为0，1,2,3， ()27131313
1
0ξ=××==P
()27631313
2
1ξ13=××==CP
()271231323
2
2ξ23=××==CP
()27832323
2
3ξ=××==P..........................................................10分
的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 271 276 2712 27
8
...............................................13分 以22783271222761ξ=×+×+×=E 。 ................................................15分 18.（本小题满分15分）
（Ⅰ）依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图）， FP
ABEC
D
x
y
z
2020年天津市红桥区高考数学一模试卷 (Word 含解析)
2020年高考数学一模试卷一、选择题1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{3，4，5}，N ＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（ ） A ．M ∩N B ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ） A ．y ＝﹣x 2+1B ．y =1xC ．y ＝2﹣xD ．y ＝lnx3．方程log 2x +x ＝2的解所在的区间为（ ） A ．（0.5，1）B ．（1，1.5）C ．（1.5，2）D ．（2，2.5）4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π45．已知函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y ＝sin （ωx +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．−π46．在△ABC 中，“A ＞π3”是“cos A ＜12”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（ ） A ．95B ．185C ．65D ．2458．已知双曲线x 2−y 2m =1与抛物线y 2＝8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．√3x ±y =0D ．x ±√3y =09．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，E为CD的中点，则AB→⋅AE→的值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．i是虚数单位，则21+i=．11．函数f（x）＝x2e x的单调减区间是．12．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y＝0所截得的弦长为．13．（2√x−√x）6的二项展开式中的常数项为（用数字作答）．14．若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是．15．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数h（x）＝f（x）﹣g （x）在[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“关联函数”．若f(x)=13x3+m与g(x)=12x2+2x在[0，3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝4，C＝2B．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin(2B−π4)的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD＝2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面MNC；（Ⅱ）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角M﹣NC﹣D的余弦值．18．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且右焦点到直线x ﹣y +2＝0的距离为2√2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ⋅k BD =−b 2a 2，证明：四边形ABCD 的面积为定值．19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是公比大于0的等比数列，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ={2，n 为奇数−2a n b n，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n ．20．已知函数f （x ）＝x 2+2x +alnx ．（1）若函数f （x ）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）当t ≥1时，不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为（）A．M∩N B．（∁U M）∩NC．M∩（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【分析】根据元素之间的关系进行求解即可．解：∵M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，∴M∩N＝{5}，（∁U M）∩N＝{1，2}，M∩（∁U N）＝{3，4}，（∁U M）∩（∁U N）＝∅，故选：B．2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2+1B．y=1x C．y＝2﹣x D．y＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣x2+1，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，y=1x，为反比函数，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于C，y＝2﹣x＝（12）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝lnx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选：B．3．方程log2x+x＝2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）【分析】判断f（x）＝log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）•f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．解：设f（x）＝log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．∵f（1）＝0+1﹣2＝﹣1＜0，f （1.5）＝log 21.5﹣0.5＝log 21.5﹣log 2√2＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f （x ）的零点在（1，1.5）区间 内 ∴方程log 2x +x ＝2的解所在的区间为（1，1.5） 故选：B ．4．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，由此能求出该圆柱的体积．解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r =√12−(12)2=√32，∴该圆柱的体积：V ＝Sh =π×(√32)2×1=3π4．故选：B ．5．已知函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y ＝sin （ωx +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为（ ）A ．3π4B ．π4C ．0D ．−π4【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的奇偶性的应用求出结果．解：函数y ＝sin （ωx +φ）的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω＝2，现将y ＝sin （2x +φ）的图象向左平移π8个单位后得到一个g （x ）＝sin （2x +π4+φ）为偶函数，则φ+π4=kπ+π2（k ∈Z ），整理得φ＝k π+π4（k ∈Z ），当k＝0时，φ=π4．故选：B．6．在△ABC中，“A＞π3”是“cos A＜12”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的取值范围进行判断即可．解：在三角形内0＜A＜π，由cos A＜12，则π3＜A＜π，则“A＞π3”是“cos A＜12”的充要条件，故选：C．7．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（）A．95B．185C．65D．245【分析】一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，由此能求出一次摸奖中奖的概率P．ξ的所有可能取值为0、1、2、3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3）．由此能求出ξ的分布列和Eξ．解：一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，∴p=C31C21C52=35．ξ的所有可能取值为0、1、2、3，则P（ξ＝0）＝（25）3=8125，P（ξ＝1）=C31⋅(25)2⋅(35)1=36125，P（ξ＝2）=C32⋅(25)1⋅(35)2=54125，P（ξ＝3）＝（35）3=27125．∴ξ的分布列为：ξ0 1 23P8125361255412527125∴E ξ＝0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=95． 故选：A ．8．已知双曲线x 2−y 2m=1与抛物线y 2＝8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．√3x ±y =0D ．x ±√3y =0【分析】根据抛物线y 2＝8x 上的点P 满足|PF |＝5，可得P （3，±2√6），代入双曲线方程算出m 的值，即可得到双曲线的a 、b 之值，从而得到该双曲线的渐近线方程． 解：∵点P 在抛物线y 2＝8x 上，|PF |＝5，∴P （x 0，y 0）满足x 0+p 2=5，得x 0＝5−p2=5﹣2＝3 因此y 02＝8x 0＝24，得y 0＝±2√6∴点P （3，±2√6）在双曲线x 2−y 2m=1上可得9−24m=1，解之得m ＝3 ∴双曲线标准方程为x 2−y 23=1，得a ＝1，b =√3，渐近线方程为y ＝±bx a，即y ＝±√3x故选：C ．9．如图所示，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠DAB ＝60°，E 为CD 的中点，则AB →⋅AE →的值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2【分析】利用平面向量的加法运算可知，AE →=AD →+12AB →，代入AB →⋅AE →，并结合数量积的运算即可得解．解：∵菱形ABCD ，∴AD ＝AB ＝1，AB →⋅AE →=AB →⋅(AD →+DE →)=AB →⋅(AD →+12AB →)=AB →⋅AD →+12|AB →|2=1×1×cos60°+12×1=1．故选：A ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．i 是虚数单位，则21+i= 1﹣i ．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式． 解：∵21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1﹣i ，∴21+i=1﹣i ，故答案为：1﹣i11．函数f （x ）＝x 2e x 的单调减区间是 （﹣2，0） ．【分析】先求出函数的导数，令导数小于零，解得x 的范围，就可得到函数的单调减区间．解：函数f （x ）＝x 2e x 的导数为y ′＝2xe x +x 2e x ＝xe x （x +2）， 令y ′＜0，解得﹣2＜x ＜0，故函数的单调减区间是 （﹣2，0）， 故答案为 （﹣2，0）．12．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0所截得的弦长为 2√3 ．【分析】先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长． 解：设弦长为l ；过原点且倾斜角为60°的直线为y =√3x整理圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，圆心为（0，2），半径r ＝2 圆心到直线的距离为|2+0|2=1，则l2=√4−1=√3；∴弦长l ＝2√3 故答案为：2√313．（2√x −√x）6的二项展开式中的常数项为 ﹣160 （用数字作答）．【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r ，将r 的值代入通项求出展开式的常数项． 解：（2√x 1√x ）6展开式的通项为T r +1＝C 6r •（2√x ）6﹣r •（1√x）r ＝（﹣1）r •C 6r •26﹣r •x 3﹣r ，令3﹣r ＝0，可得r ＝3，其常数项为T 4＝（﹣1）r •C 6r •26﹣r ＝﹣160；故答案为﹣160．14．若4x +4y ＝1，则x +y 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．【分析】由4x +4y ＝1，得（2x ）2+（2y ）2＝1，利用三角代换设2x ＝sin α，2y ＝cos α，所以2x+y =12sin2α，再利用三角函数的范围，即可求出x +y 的范围． 解：∵4x +4y ＝1，∴（2x ）2+（2y ）2＝1， 设2x ＝sin α，2y ＝cos α，∴2x ⋅2y =2x+y =sinα⋅cosα=12sin2α ≤12，∴0＜2x+y ≤12， ∴x +y ≤﹣1，∴x +y 的取值范围是：（﹣∞，﹣1]， 故答案为：（﹣∞，﹣1]．15．设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f （x ）与g （x ）在[a ，b ]上是“关联函数”．若f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0，3]上是“关联函数”，则实数m 的取值范围是 [32，103） ．【分析】由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点；即y ＝m 与k （x ）=−13x 3+12x 2+2在[0，3]上有两个交点；作函数的图象求解．解：∵f(x)=13x 3+m 与g(x)=12x 2+2x 在[0，3]上是“关联函数”，由定义可得，可把问题转化为m =−13x 3+12x 2+2有两个零点； 即y ＝m 与k （x ）=−13x 3+12x 2+2在[0，3]上有两个交点；∵k ′（x ）＝﹣x 2+x +2＝﹣（x +1）（x ﹣2）； ∴k （x ）在[0，2]上递增，在[2，3]上递减； 且k （0）＝0，k （2）=103，k （3）=32； 故实数m 的取值范围是：[32，103）．故答案为：[32，103）．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝4，C ＝2B ． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2B −π4)的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得c ＝2b cos B ，结合已知可求cos B 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB =√53，利用二倍角公式可求sin2B ，cos2B的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算求解sin （2B −π4）的值． 解：（Ⅰ）因为C ＝2B ， 所以sin C ＝sin2B ， 可得sin C ＝2sin B cos B ， 可得c ＝2b cos B ， 因为b ＝3，c ＝4， 所以cosB =23．（Ⅱ）由cosB =23，可得sinB =√53，因为sin2B =2sinBcosB =4√59，cos2B ＝cos 2B ﹣sin 2B =−19，故sin （2B −π4）＝sin2B cos π4−cos2B sinπ4=4√10+√218． 17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ＝2AD ，PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点． （Ⅰ）证明：PA ∥平面MNC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角M ﹣NC ﹣D 的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明MN ∥PA ，然后证明PA ∥平面MNC ．（Ⅱ）以点D ﹣xyz 为原点建立空间直角坐标系（如图），求出平面MNC 的法向量，设直线PB 与平面MNC 所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可． （Ⅲ）求出平面NCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】（Ⅰ）证明：因为PN ＝ND ，DM ＝MA ，所以MN ∥PA ， 且PA ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ，则PA ∥平面MNC ． （Ⅱ）解：因为PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，且AD ∩CD ＝D ， 所以PD ⊥平面ABCD ，则以点D ﹣xyz 为原点建立空间直角坐标系（如图），设AD ＝2，可得A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），N （0，0，2），M （1，0，0），P （0，0，4）．向量PB →=(2，2，−4)，NC →=(0，2，−2)，MN →=(−1，0，2)．设n →=(x ，y ，z)为平面MNC 的法向量， 则{NC →⋅n →=0MN →⋅n →=0即{2y −2z =0−x +2z =0， 不妨令y ＝1，可得n →=(2，1，1)为MNC 平面的一个法向量， 设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 于是有sinα=cos〈n →⋅PB →〉=n →⋅PB→|n →|⋅|PB →|=16． （Ⅲ）解：因为AD →=(1，0，0)为平面NCD 的法向量， 所以cos〈DA →⋅n →〉=DA →⋅n→|DA →|⋅|n →|=√63．18．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率e =√22，且右焦点到直线x ﹣y +2＝0的距离为2√2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ⋅k BD =−b2a2，证明：四边形ABCD 的面积为定值．【分析】（Ⅰ）求出右焦点（c ，0）c ＞0，到直线x ﹣y +2＝0的距离解得c ＝2，利用离心率，求出a ，然后求解b ，即可得到椭圆方程． （Ⅱ）设l AB ：y ＝kx +m 代入x 28+y 24=1，利用韦达定理，通过k AC ⋅k BD=−b2a2，结合S ABCD ＝4S △AOB ，转化求解即可． 解：（Ⅰ）因为右焦点（c ，0）c ＞0，到直线x ﹣y +2＝0的距离为d =√2=2√2， 解得c ＝2，e =√22=c a ，a 2＝b 2+c 2，a =2√2，b =2，所以x 28+y 24=1．（Ⅱ）证明：设l AB ：y ＝kx +m ，代入x 28+y 24=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0， 则x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1⋅x 2=2m 2−81+2k2，因为k AC ⋅k BD=−b2a2，得x 1•x 2＝﹣2y 1•y 2，即x 1•x 2＝﹣2（kx 1+m ）（kx 2+m ）， 解得m 2＝4k 2+2， 因为S ABCD ＝4S △AOB ， 且S △AOB =12|AB|d ，又|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，d =√1+k，整理得S △AOB=12|m|√16k 2m 2(1+2k 2)2−8(m 2−4)1+2k 2=2√2， 所以S ABCD =4⋅2√2=8√2为定值．19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是公比大于0的等比数列，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）令c n ={2，n 为奇数−2a n bn，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）c n ={2，n 为奇数2n−12n−1，n 为偶数．对n 分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ＞0，且b 1＝﹣2a 1＝2，a 3+b 2＝﹣1，S 3+2b 3＝7．∴a 1＝﹣1，b 1＝2，﹣1+2d +2q ＝﹣1，3×（﹣1）+3d +2×2×q 2＝7， 解得d ＝﹣2，q ＝2．∴a n ＝﹣1﹣2（n ﹣1）＝1﹣2n ，b n ＝2n ． （2）c n ={2，n 为奇数2n−12n−1，n 为偶数．①n ＝2k （k ∈一、选择题*）时，数列{c n }的前n 项和T n ＝T 2k ＝（c 1+c 3+…+c 2k ﹣1）+（c 2+c 4+…+c 2k ） ＝2k +（32+723+⋯+4k−122k−1），令A k =32+723+⋯+4k−122k−1， ∴14A k =323+725+⋯+4k−522k−1+4k−122k+1，∴34A k =32+4(123+125+⋯+122k−1)−4k−122k+1=32+4×18(1−14k−1)1−14−4k−122k+1， 可得A k =269−12k+139×22k−1． ∴T n ＝T 2k ＝2k +269−12k+139×22k−1． ②n ＝2k ﹣1（k ∈N *）时，数列{c n }的前n 项和T n ＝T 2k ﹣2+a 2k ﹣1＝2（k ﹣1）+269−12(k−1)+139×22(k−1)−1+2＝2k +269−12k+19×22k−3． ∴T n ={2k +269−12k+139×22k−1，n =2k 2k +269−12k+19×22k−3，n =2k −1，k ∈N *． 20．已知函数f （x ）＝x 2+2x +alnx ．（1）若函数f （x ）在区间（0，1）上是单调函数，求实数a 的取值范围； （2）当t ≥1时，不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由f （x ）＝x 2+2x +alnx （a ∈R ），知f′(x)=2x 2+2x+a x，设g （x ）＝2x 2+2x +a ，由函数f （x ）在区间（0，1）上为单调函数，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围． （2）不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3可化为2t 2﹣4t +2≥alnt 2﹣aln （2t ﹣1），即2t 2﹣alnt 2≥2（2t ﹣1）﹣aln （2t ﹣1），令h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1），要使上式成立，只需要h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1）是增函数即可，从而可求实数a 的取值范围． 解：（1）函数f （x ）的定义域是（0，+∞） ∵f （x ）＝x 2+2x +alnx∴f′(x)=2x 2+2x+a x（x ＞0），设g （x ）＝2x 2+2x +a ，则g （x ）=(x +12)2−12+a ，∵函数f （x ）在区间（0，1）上为单调函数， ∴g （0）≥0，或g （1）≤0， ∴a ≥0，或2+2+a ≤0，∴实数a 的取值范围是{a |a ≥0，或a ≤﹣4}．（2）不等式f （2t ﹣1）≥2f （t ）﹣3可化为2t 2﹣4t +2≥alnt 2﹣aln （2t ﹣1） ∴2t 2﹣alnt 2≥2（2t ﹣1）﹣aln （2t ﹣1）令h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1），则问题可化为h （t 2）≥h （2t ﹣1） ∵t ≥1，∴t 2≥2t ﹣1要使上式成立，只需要h （x ）＝2x ﹣alnx （x ≥1）是增函数即可即h ′（x ）＝2−ax ≥在[1，+∞）上恒成立，即a ≤2x 在[1，+∞）上恒成立，故a ≤2 ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，2]．。
2020年3月高三第二次在线大联考(天津卷)-数学(全解全析)
又 EE1 平面 E1EB ，所以 EE1 BC ．（6 分）
（2）由题意知 AE1 2 ， EE1 2 2 ， AE 2 ，所以 AE1 AE ， 结合（1）可知 AE 、 AD 、 AE1 两两垂直，故以 AE 、 AD 、 AE1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图所 示的空间直角坐标系，（8 分）
所以“ x 4 ”是“ x2 x 12 0 ”的充分必要条件．故选 C．
3．A 【解析】由题意，该函数的定义域为 (0，
)
，可排除
B，C，由
f
(x)
ln x x
得
f '(x)
1 ln x2
x
，由
f '(x)
0
得 x e ，即函数 f (x) 在 (0,e) 上单调递增，在 (e, ) 上单调递减，排除 D，故选 A．
|12 7 | 42 32
1，
圆的半径 r d 1 ，故直线和圆相切．
12． 33 【解析】令 x 1可得 (1 3)5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 = 32 ，令 x 0 可得15 a0 ，即 a0 1 ，则
a1 a2 a3 a4 a5 32 1 33 ．
1
1 k2
1
2 k2
2
3
k2 1 ， k2 2
所以菱形 ABCD 的面积为
S 1 | AC | | BD | 6 2
(1 k 2 )2
6
(2 k2 ) (1 2k2 )
1 2
4k 4
k2 10k 2
4
6
1 2
4k 2
1 4 k2
(k 10
0) ，
∵ 4k 2
4 k2
10
2021年天津市红桥区高考数学二模试卷(解析版)
2021年天津市红桥区高考数学二模试卷一、选择题（共9小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{1，3，4} 2．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．函数（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．4．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为（）A．650B．660C．680D．7005．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，则棱锥O﹣ABCD 的体积为（）A．B．C．D．126．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x8．设函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，给出下列结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在[，]单调递减；③y＝f（x）的图象关于直线x＝对称；④把函数y＝cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知函数f（x）＝，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（5，e+3]B．[4，4+e）C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．i为虚数单位，复数z＝，则z＝．11．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）12．过点（1，）的直线l，截圆x2+y2＝4所得弦长为，则直线l的方程为．13．在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生，乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为．14．已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为．15．如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD，则的值为．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝2，．（Ⅰ）求边a及角B的值；（Ⅱ）求的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面PBC；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．18．已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．19．已知等比数列{a n}的公比为3，且a4﹣a3＝30．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n，及前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足﹣1，且b1＝1．（ⅰ）求数列{b n}的通项公式b n；（ⅱ）求．20．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R且a≠0），g（x）＝（b﹣1）x﹣xe x﹣（b∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，若关于x的不等式f（x）+g（x）≤﹣2恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{1，3，4}解：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，∴∁U A＝{2，4}∵B＝{4}，∴（∁U A）∩B＝{4}故选：B．2．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：∵x2﹣3x＜0，∴0＜x＜3，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|0＜x＜3}，∴x2﹣3x＜0是1＜x＜2的必要不充分条件．故选：C．3．函数（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．解：显然y＝是偶函数，图象关于y轴对称，排除D，当x＞0时，y′＝，∴当0＜x＜2时，y′＞0，当x＞2时，y′＜0，∴y＝在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，排除B，C，故选：A．4．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为（）A．650B．660C．680D．700解：由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在（30，90]分的频率为（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.35，所以学生初赛成绩大于90分的频率为1﹣0.35＝0.65，则该校获得复赛资格的人数为0.65×1000＝650．故选：A．5．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，则棱锥O﹣ABCD 的体积为（）A．B．C．D．12解：∵矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，∴矩形的对角线的长为：＝4，∴球心到矩形的距离为：＝2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：V O﹣ABCD＝＝8．故选：A．6．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a＝﹣f（）＝f（log25），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．7．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x解：∵抛物线y2＝4x的焦点坐标F（1，0），p＝2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p＝2c，即c＝1，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|＝m+＝m+1＝，∴m＝．∴P点的坐标为（，±）∴解得：，则渐近线方程为y＝±x，故选：C．8．设函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，给出下列结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在[，]单调递减；③y＝f（x）的图象关于直线x＝对称；④把函数y＝cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：对于①：f（x）＝cos2x+sin x•cos x＝cos2x+sin2x＝cos（2x﹣），最小正周期T＝＝＝π，故①对．对于②：令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k为整数，解得kπ+≤x≤kπ+，令k＝0得≤x≤，故f（x）在[，]上单调递减．令2kπ+π≤2x﹣≤2kπ+2π，k为整数，解得+kπ≤x≤+kπ，令k＝0得x∈[，]，故f（x）在[，]上单调递增．故x∈[，]时，f（x）在[]上单调递减，在[，]上单调递增，故②错误．对于③：令2x﹣＝kπ，k为整数，解得x＝，k为整数．令k＝0，故x＝即f（x）图象关于x＝对称，③对．对于④：把函数y＝cos2x图象上点向右平移个单位长度，则得到y＝cos2（）＝cos（2x﹣）＝f（x）的图象，故④对．综上所述，正确结论有①，③，④这三个．故选：C．9．已知函数f（x）＝，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（5，e+3]B．[4，4+e）C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]解：函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，即两函数y＝f（x）与y＝a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1＜a≤e，x1，x2是方程的两根，即x2+2x+1﹣lna＝0的两根，∴x1x2＝1﹣lna，x3，x4是方程的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，∴x1x2+x3+x4＝4+a﹣lna，∵函数y＝a﹣lna，在（1，e]上单调递增，∴4+a﹣lna∈（5，e+3]，∴x1x2+x3+x4的取值范围为（5，e+3]．故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．i为虚数单位，复数z＝，则z＝4﹣3i．解：复数z＝＝＝＝4﹣3i，故答案为：4﹣3i．11．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）解：（x﹣）7的展开式的通项为＝，由7﹣3r＝1，得r＝2，∴一次项的系数是．故答案为：21．12．过点（1，）的直线l，截圆x2+y2＝4所得弦长为，则直线l的方程为或x＝1．解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，代入x2+y2＝4，得y＝，则弦长为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y﹣，即kx﹣＝0．由，解得k＝．此时直线方程为．综上，所求直线方程为或x＝1．故答案为：或x＝1．13．在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生，乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为．解：甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生，乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，基本事件总数n＝6×6＝36，其中抽调出的两名医生都是男医生包含的基本事件个数m＝4×1＝4，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为P＝＝＝．故答案为：．14．已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为10．解：已知正实数a，b满足a+b＝1，则＝a++b+＝a+b++＝1++＝1+（a+b）（+）＝1+5++≥6+2＝10，当且仅当＝且a+b＝1时，取等号，即a＝，b＝时取等号，则的最小值为10；故答案为：10．15．如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD，则的值为﹣．解：如图以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系；则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1）；则＝（﹣2，1），由相似三角形易得O（，）．设M（λ，0），则＝（λ﹣，﹣），因为OM⊥BD，所以＝﹣2（λ﹣）﹣＝0，解得λ＝．则＝（，0），所以＝（，0）（﹣2，1）＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝2，．（Ⅰ）求边a及角B的值；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc⋅cos A，可得，sin A＝＝，由正弦定理＝，可得sin B＝1．B∈（0，π），所以．（Ⅱ）由于，，所以sin2C＝2sin C•cos C＝2××＝，，所以．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面PBC；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE＝1，如图，以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），，，，P（0，0，1），由N为PD的中点，∴，则＝（，﹣，），设平面PBC的一个法向量为，，，则，令y＝1，解得：，，∴，又AN⊄平面PBC，所以AN∥平面PBC．（Ⅱ）解：设平面PAD的一个法向量为：，，，，令a＝1，解得，∴，即平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为．18．已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．解：（Ⅰ）当M为椭圆的短轴端点时，取得最大值，即，又因为，a2＝b2+c2，解得：，b＝1，c＝1，所以椭圆方程为．（Ⅱ），根据题意，直线l斜率存在且不为0，设直线，B（x0，y0），联立，得，，即，由题意得：，，所以直线，令x＝0，则，＝，即8k4+18k2﹣5＝0，解得：（舍），所以：，直线或．19．已知等比数列{a n}的公比为3，且a4﹣a3＝30．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n，及前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足﹣1，且b1＝1．（ⅰ）求数列{b n}的通项公式b n；（ⅱ）求．解：（Ⅰ）由等比数列{a n}的公比为3，，∴，解得所以，．（Ⅱ）（i）由b1＝1，且，当n＝1，b1＝b2﹣1，即b2＝2当n≥2时，，又，两式相减可得方法一：化为（方法二：化为，累乘）所以b n＝n，上式对n＝1也成立，所以b n＝n，n∈N*．（ii）＝，①，②①﹣②可得：＝，化简可得．20．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R且a≠0），g（x）＝（b﹣1）x﹣xe x﹣（b∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，若关于x的不等式f（x）+g（x）≤﹣2恒成立，求实数b的取值范围．解：（Ⅰ）∵，当a＜0时，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，由f'（x）＞0得：；由f'（x）＜0得：，∴f（x）在单调递减，在单调递增综上：当a＜0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由题意：当a＜0时，不等式f（x）+g（x）≤﹣2，即．即在（0，+∞）恒成立，令，则，令u（x）＝x2e x+lnx，则，∴u（x）在（0，+∞）单调递增又，所以，u（x）有唯一零点x0（）所以，u（x0）＝0，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（※）当x∈（0，x0）时，u（x）＜0即h'（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，u（x）＞0即h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x0）为h（x）在定义域内的最小值．令则方程（※）等价于k（x）＝k（﹣lnx）又易知k（x）单调递增，所以x＝﹣lnx，，所以，h（x）的最小值所以b﹣1≤1，即b≤2，所以实数b的取值范围是（﹣∞，2]．。
2023年天津市红桥区高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年天津市红桥区高考数学一模试卷1. 已知全集，集合，或，那么集合等于( )A. B. 或C. D.2. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.4. 某校有200位教职员工，他们每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示.据图估计，每周锻炼时间在小时内的人数为( )A. 18B. 46C. 54D. 925. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 36.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. ，，，B. ，，C. ，D. ，7. 设，且，，，则m，n，p的大小关系为( )A. B. C. D.8. 某班级有50名学生，期中考试数学成绩，已知，则的人数为( )A. 5B. 10C. 20D. 309. 函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.10. 已知，其中i是虚数单位，那么实数______.11. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为______.12. 的展开式中的常数项为______ .13. 已知两圆和相交于A，B两点，则直线AB的方程是______.14. 已知x，，则的最小值为______ .15. 如图所示，在中，点D为BC边上一点，且，过点D的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点交两点不重合若，则______ ，若，则的最小值为______ .16. 已知的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且求角C的大小；求的值；求的值.17. 如图，在长方体中，E、F分别是棱BC，上的点，，AB：AD：：2：4，求异面直线EF与所成角的余弦值；证明平面；求二面角的正弦值．18. 已知数列是公差为2的等差数列，为数列的前n项和，且，数列是公比大于0的等比数列，，求数列和的通项公式；令，，求数列的前2n项和；令，求数列的前n项和19.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率，长轴为4，且过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M、N两点.求椭圆C的标准方程；若，其中O为坐标原点，求直线l的斜率；若AB是椭圆C经过原点O的弦，且，判断是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由.20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若恒成立，求实数k的取值范围；证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：全集，集合，或，，，故选：利用补集的定义求出，再利用两个集合的交集的定义，求出本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出是解题的关键．2.【答案】A【解析】解析：由得，所以易知选A故选A由绝对值的意义解出“”再进行判断．本题考查充要条件的判断，属基本题．3.【答案】D【解析】解：，函数是偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除选项B；当时，，故排除AC；故选：由题意可得函数的图象关于y轴对称，从而排除选项B；再由当时，可排除本题考查了函数的奇偶性的应用，同时考查了排除法的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由频率分布直方图得：每周锻炼时间在小时内的频率为：，每周锻炼时间在小时内的频率为：每周锻炼时间在小时内的人数为：故选：由频率分布直方图求出每周锻炼时间在小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在小时内的人数．本题主要考查评率分布直方图，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．求出抛物线的焦点坐标，渐近线方程，利用已知条件，列出关系式，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，可得：，可得，所以，因为，所以双曲线的离心率为故选：6.【答案】D【解析】解：m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于A，，，，，也可能相交，所以A不正确；对于B，，，也可能异面，所以B不正确；对于C，，有可能，所以C不正确；对于D，，，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确．故选：利用空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，判断选项的正误即可．本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，注意定理的条件是解题的关键，属于基础题和易错题．7.【答案】B【解析】解：当时，有均值不等式可知，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知又恒大于二次项系数大于0，根的判别式小于0，函数值恒大于，即，再由以a为底对数函数在定义域上单调递增，从而可知又当时2a显然大于，同上，可知综上故选：当时，比较与的大小，然后比较与2a的大小，再比较与2a的大小，最后利用时对数函数单调性可判断获解．本题主要考查对数函数的单调性，其中，底数大于1，只要比较真数大小即可．注意：真数比较时均值不等式的应用，二次函数当二次项系数大于0时，根的判别式小于0时，函数值恒大于8.【答案】D【解析】解：期中考试数学成绩，考试的成绩X关于对称，，，，的人数为故选：根据考试的成绩，得到考试的成绩X关于对称，根据，得到，从而得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X关于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．9.【答案】A【解析】解：当时，，即关于x的方程始终有一个根为，当时，由，得，依题意，当时，直线与函数的图象仅有一个交点，设，则，易知当时，，单增，当时，，单减，且，当时，，作出函数的图象如下图所示，由图象可知，要使直线与函数的图象仅有一个交点，则则或或故选：易知为方程的一个根，则当时，直线与函数的图象仅有一个交点，作出函数的图象，结合图象即可得解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．10.【答案】【解析】【分析】本题考查复数相等的条件，属于基础题.直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：，得故答案为11.【答案】【解析】解：该选手被淘汰的对立事件是该选手通过三轮考核，该选手被淘汰的概率为：故答案为：利用对立事件、相互独立事件概率计算公式能求出该选手被淘汰的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】15【解析】解：二项式展开式的通项公式为，，1，，令，解，展开式中的常数项为故答案为：求出二项式展开式的通项公式，令x的指数为0，可得二项式展开式的常数项．本题考查二项式的展开式，考查组合数的计算，属于基础题．13.【答案】【解析】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程，将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：，故答案为当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程．14.【答案】3【解析】解：根据题意，，又由x，，则，当且仅当时等号成立，则有，当且仅当时等号成立，即的最小值为故答案为：根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析的最小值，由此分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对原式的变形，属于基础题．15.【答案】【解析】解：，，，又，不共线，，；，且D，E，F三点共线，，且，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为：故答案为：根据即可得出，从而得出，从而求出mn的值；可得出，根据D，E，F三点共线即可得出，并且，，然后可根据基本不等式和1的代换即可求出的最小值．本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，三点共线的充要条件，基本不等式和1的代换，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】解：在中，由，，，根据余弦定理得，又因为，所以；在中，由，，，及正弦定理，可得；由，知角A为锐角，由，可得，进而，，所以【解析】利用余弦定理可得角C；利用正弦定理可得；利用二倍角公式，两角和差公式即可得．本题考查正余弦定理，考查二倍角公式，两角和差公式，属于基础题．17.【答案】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设，依题意得，，，易得，于是，所以异面直线EF与所成角的余弦值为证明：连接ED，易知，，，于是，因此，，又，所以平面设平面EFD的一个法向量为，则即不妨令，可得由可知，为平面的一个法向量．于是，，从而，二面角的正弦值是【解析】在空间坐标系中计算出两个直线的方向向量的坐标，由数量公式即可求出两线夹角的余弦值．在平面中找出两条相交直线来，求出它们的方向向量，研究与向量内积为0即可得到线面垂直的条件．两个平面一个平面的法向量已知，利用向量垂直建立方程求出另一个平面的法向量，然后根据求求二面角的规则求出值即可．本题考查用向量法求异面直线所成的角，二面角，以及利用向量方法证明线面垂直，利用向量法求异面直线所成的角要注意异面直线所成角的范围与向量所成角的范围的不同．18.【答案】解：由题意可得，，解得，故，，设等比数列的公比为，则，化简整理，得，解得舍去，或，，由题意及可得，由题意及可得，，则【解析】先根据等差数列的求和公式及题意列出关于首项的方程，解出的值，即可计算出等差数列的通项公式，再设等比数列的公比为，根据题干已知条件列出公比q的方程，解出q的值，即可计算出等比数列的通项公式；根据题意及第题的结果运用分组求和法，等差数列的求和公式，平方差公式即可推导出前2n 项和；先根据题意及第题的结果先计算出数列的通项公式，运用裂项相消法即可计算出前n 项和本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，分组求和法，裂项相消法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：由题意可得，解得，，所以椭圆C的标准方程为：；由可得右焦点，当直线l的斜率为0时，则直线l的方程为，代入椭圆的方程可得，即，设，，则，所以可得直线l的斜率不为0，斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，，联立，整理可得：，因为在椭圆内部，显然，，，，所以，整理可得：，解得，即直线l的斜率；当直线AB的斜率为0时，则，可知；当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为，代入椭圆的方程，可得，所以，，所以，因为，所以直线MN的方程为!，由可得，所以，综上所述：为定值【解析】由离心率的中及长轴的大小，再由a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；分类讨论直线l的斜率为0和不为0两种情况，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的表达式，由题意可得参数的值，即求出直线l 的斜率；分直线AB的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得的表达式，由题意设直线MN的方程，由可得的表达式，进而求出为定值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．20.【答案】解：当时，函数，，，，曲线在点处的切线方程为恒成立，化为的最大值，由，，可得时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．时，函数取得极大值即最大值，，实数k的取值范围为证明：由可得：，，，分别令，，…，，则，，…，【解析】当时，函数，，利用导数的运算法则可得，即可得出，利用点斜式即可得出曲线在点处的切线方程．恒成立，化为的最大值，由，，利用导数研究其单调性即可得出极值与最值，进而得出实数k的取值范围．由可得：，可得，，分别令，，…，，利用累加求和方法即可证明结论．本题考查了利用导数研究其单调性与极值及最值、切线方程、累加求和方法、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
天津市河北区2020届高考二模数学试题(含答案解析)
天津市河北区2020届高考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{1234}U =,,,，集合{13}A =,，{4}B =，则()U A B =（ ）A ．{2}B ．{4}C ．{24},D ．{134},,2．命题“000,1xx R e x ∃∈>+”的否定是（ ） A ．,1x x R e x ∀∈<+ B ．0001xx R e x ∃∈<+, C ．,1x x R e x ∀∈≤+ D ．0001x x R e x ∃∈≤+,3．若复数()122aia R i+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．16D ．16-4．袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是（ ） A ．35B ．45C ．720D ．13205．某班同学进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p ，a 的值分别为（ ）A ．0.79，20B ．0.195，40C ．0.65，60D ．0.975，806．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>和直线153x y +=，若过C 的左焦点和点(0,)b -的直线与l 平行，则双曲线C 的离心率为 A ．54B ．53C ．43D ．57．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，直线()2py k x =-交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若等边三角形AFE的面积为，则BEF ∆的面积为 A．B．C ．16D．8．已知函数2()cos cos f x x x x +，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 的图象关于直线6x π=对称9．已知函数()ln ()f x x x m m =-+∈R ，若()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，下列选项中不正确的是（ ） A ．1m <- B ．1212x x x ex -=C ．101x <<D ．122x x +≤二、填空题10．6x ⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为________．11．圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为的方程为______________. 12．已知0,0a b >>，且33+122a b =++，则2+a b 的最小值为______________.13．在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ︒∠=，若CE ED =，2DF FB =，则AE AF ⋅=_______.14．已知函数21,1()242,1xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+->⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围是_______.三、双空题15．曲线1xy e x=-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为_______，在该点处的切线方程为______.四、解答题16．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足222(cos cos )b c a c a C c A +-=+.（1）求角A 的大小； （2）若cos 3B =，求sin(2)B A +的值； （3）若ABC，3a =，求ABC 的周长. 17．如图，直三棱柱111-ABC A B C 的所有棱长都是2，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ；（2）求直线AB 与平面1A BD 所成角的正弦值； （3）求二面角11B A D B --的余弦值.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2347n n S a n =+-． （1）证明：数列{}2n a -为等比数列； （2）若()()1211n n n n a b a a +-=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为13．（1）求椭圆C 的标准方程;（2）设椭圆C 的左，右焦点分别为1F ，2F 左，右顶点分别为A ，B ，点M ，N ，为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若12320k k +=，求直线1F M 的方程.20．已知函数1ln ()12xf x ax a x=-+-，其中a R ∈. （1）若()f x 为单调递减函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.参考答案1．B 【分析】先根据补集的定义求出U C A ，再根据交集的定义求出()UA B 即可.【详解】解：因为{1234}U =,,,，{13}A =,， 所以{}2,4U C A =，又因为{4}B =， 所以{}()4UA B =.故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的交集和补集的运算，考查学生的计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解. 【详解】因为命题“000,1xx R e x ∃∈>+是特称命题，所以其否定为全称命题，即为命题：,1x x R e x ∀∈≤+. 故选：C 【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a 的值． 【详解】∵复数()()()()12212221422255ai i ai a a i i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴221455a a -+=，解得a 16=．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 4．D 【分析】从6个球中取三个球可能的情况三类，一类恰有一种颜色，二类恰有两种颜色，三种恰有三种颜色，即可求得恰有两种颜色的概率. 【详解】由题可得，从中任取三个球一共有3620C =种可能的情况， 恰有一种颜色的情况有1种，即三个全是蓝球， 恰有三种颜色的情况有1236⨯⨯=种，所以恰有两种颜色的情况共13种情况，所以其概率为1320. 故选：D 【点睛】此题考查求古典概型，当正面分类计算比较麻烦的情况可以考虑利用对立事件求解概率. 5．C 【分析】根据表格求出第一组人数，结合频率分布直方图求出总人数，分别求解每组人数即可得解. 【详解】第一组人数为1200.6=200÷人，由频率分布直方图可得第一组频率为50.4=0.2⨯， 所以20010000.2n ==， 所以第三组200人，第四组50.031000150⨯⨯=人，第五组100人，第六组50人， 所以第二组300人，1950.65,1500.460300p a ===⨯=. 故选：C 【点睛】此题考查频率分布直方图和频率与频数的关系，关键在于熟练掌握频率分布直方图的性质准确计算求解，属于中档题. 6．A利用两条直线平行的判定定理，可得到,b c 之间的关系，化简整理为,a c 的关系，即可求出离心率. 【详解】过C 的左焦点和点()0,b -的直线可写为：:1x y l c b+-'=-，即0bx cy bc ++= l '与l 平行 11053c b ⇒-= 35b c ⇒=又222b c a =- 222925c c a ⇒=- 221625a c ⇒=54c e a ∴=== 本题正确选项：A 【点睛】本题考查直线平行的判定定理以及双曲线离心率的求解，关键在于通过直线平行12210A B A B -=得到,a c 的关系.7．B 【分析】由AFE ∆为等边三角形，得k =AFE ∆边长为2p ，结合条件中的面积可得p ，进而由直线与抛物线联立可得交点坐标，利用面积公式求解即可. 【详解】因为AFE ∆为等边三角形，所以60,EFO AFE AFx k ∠=∠=∠=︒=AFE ∆边长为2p ，由12222p p ⨯⨯⨯=，得6p =，抛物线方程为212y x =，联立)2312y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得21090x x -+=，所以91A B x x =⎧⎨=⎩， 所以4BF =，12AF =.故14122BEF S ∆=⨯⨯=故选B 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用了抛物线的定义研究抛物线上的点到焦点的距离，考查了数形结合和计算能力，属于中档题. 8．D 【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】解：2111()cos cos 2cos 2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++ 对于A 选项，因为22T ππ==，故A 不正确； 对于B 选项，因为111()sin 2sin 0012126222f πππ⎛⎫⎛⎫-=⨯-++=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确； 对于C 选项，因为当sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 13122f x =+=，故C 不正确； 对于D 选项，因为113()sin 2sin 6662222f ππππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，是()f x 的最大值， 所以()f x 的图象关于直线6x π=对称，故D 正确.故选：D. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题. 9．D【分析】由题意求出函数()f x 的导函数()'fx ,判断出函数()f x 的单调性，进而求出函数()f x 的最值,根据函数零点的概念作出函数()f x 的图象,逐个判断每个选项的结论正确与否即可. 【详解】因为函数()ln ()f x x x m m =-+∈R ,所以11()1x f x x x'-=-=,其定义域为()0,∞+, 令()0f x '=，解得1x =， 所以当01x <<时,()'0fx <；当1x >时,()'0f x >;故()f x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 因为函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <, 所以函数()f x 的图象如图所示：故min ()(1)10f x f m ==+<，即1m <-，并且101x <<，故选项A 、C 正确；由于12x x ⋅为()f x 的零点，故有1122ln 0ln 0x x m x x m -+=⎧⎨-+=⎩，两式相减得1122lnx x x x -=，即1212x x x e x -=，故选项B 正确；因为1m <-,所以当2ln 2m ≤-+时，22x ≥， 所以122x x +>，故选项D 不正确. 故选: D 【点睛】本题考查利用函数的导数判断函数的单调性和最值,根据函数的零点求参数的范围;函数()f x 单调性的正确判断和最值的正确求解及零点概念的应用是求解本题的关键;属于难度大型、综合型试题. 10．15 【详解】试题分析：展开式的通项公式为()362161r rr r TC x-+=-，令36042r r -=∴=，常数项为()446115C -=考点：二项式定理11．22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++= 【分析】设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据圆心在直线30x y -=，得到3b a =，再根据圆与x 轴相切，得出圆的方程为222()(3)9x a y a a -+-=，结合圆的弦长公式，求得a 的值，即可求得圆的方程. 【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，可得圆心坐标为(,)a b ，半径为()0r r >， 由圆心在直线30x y -=，可得30a b -=，即3b a =， 又由圆与x 轴相切，可得3r b a ==， 所以圆的方程为222()(3)9x a y a a -+-=，则圆心到直线的距离为d ==根据圆的弦长公式，可得2229a +=，化简得21a =，解得1a =±，所以所求圆的方程为22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=. 故答案为：22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中设出圆的标准方程，数练应用圆的弦长公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．3 【分析】先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案. 【详解】由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++， 又由()32336(2)[(2)2(2)]()9992222a b a b a b a b +++++⋅+=++≥+=+++++，当且仅当()326(2)=22a b a b ++++时，即22)a b +=+时等号成立，即z 的最小值为9+2+a b 的最小值是3.故答案为3. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 13．52【分析】判断可知，E 为CD 上二等分点，F 为BD 上靠近B 的三等分点，结合向量线性运算的加法与减法公式，将斜向量,AE AF 分别代换为以,AB AD 为基底的向量，再结合向量的数量积运算即可求解 【详解】由题意，如图所示，设,AB a AD b ==，则||2,||1a b ==，又由CE ED =，2DF FB =，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点， 则12AE AD DE b a =+=+，221()333AF AD DF b a b a b =+=+-=+， 所以22121151233363AE AF a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221515212cos 6013632︒=⨯+⨯⨯+⨯=． 故答案为：52.【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 14．102a <<或12a ≤< 【分析】根据解析式作出图象，将关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，转化为()y f x =与()a R y a ∈=的图象有两个不同的交点，由临界点位置即可得出结果.【详解】作出21,1()242,1xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+->⎩和()()f x a a R =∈的图象如图， 因为关于x 的方程()()f x a a R =∈恰有两个互异的实数解，所以()y f x =与()a R y a ∈=的图象有两个不同的交点，由图象可知102a <<或12a ≤<. 故答案为：102a <<或12a ≤<,【点睛】本题考查在函数与方程的数学思想在解决函数图象的交点问题中的应用，考查数形结合的思想，属于中档题.15．1e + (1)2y e x =+- 【分析】求出函数的导数，代入1x =，得到切线的斜率，1x =代入函数解析式可得切点，点斜式即可得出结果． 【详解】曲线1x y e x =-，可得x21e y x'=+， 所以曲线1xy e x=-在点()()1,f 1处的切线的斜率为：(1)1f e '=+． 因为(1)1f e =-，即切点为()1e ，-1，所以在切点处的切线方程为：()()()111y e e x --=+-，即(1)2y e x =+-故答案为：1e +；(1)2y e x =+-． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法及切点处的切线方程，考查计算能力，属于基础题．16．（1）3π；（2）6；（3）8 【分析】（1）根据余弦定理，将题中条件进行转化，化简得到222b c a bc +-=，进一步应用余弦定理得到1cos 2A =，结合三角形内角的取值范围，得到角A 的大小；（2）利用同角三角函数关系式，得到3sinB =，之后应用余弦倍角公式和正弦和角公式求得结果；（3）利用三角形面积公式得到163bc =，结合余弦定理求得5b c +=，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）∵222(cos cos )b c a c a C c A +-=+，由余弦定理得，222222222()22a b cb c ab c a c a cabbc+-+-+-=+.化简得，222b c a bc +-=.∴2221cos 22b c a A bc +-==.又0A π<<， ∴3A π=.（2）由已知得，sin B =∴sin 22sin cos B B B = 21cos 22cos 13B B =-=-.∴sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 3336B A B B B πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.（3）∵11sin 22S bc A bc ===∴163bc =. 由余弦定理得，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A .即2169()33b c =+-⨯， 解得5b c +=.∴ABC ∆的周长为8a b c ++=. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，属于简单题目.17．（1）证明见解析；（2；（3【分析】（1）取11AC 的中点G ，连接DG ，以D 为坐标原点，以DG ，DA ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得1AE DA DB ,，，证得1AE DA ⊥，AE DB ⊥，即可求解；（2）由（1）得到(1,2,0)n =-，即为平面1A BD 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；（3）求得平面11A B D 的法向量m ，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）如图所示，取11AC 的中点G ，连接DG ，由直三棱柱111-ABC A B C 的所有棱长都是2，D 是AC 中点，BD AC ⊥， 又平面ACB ⊥平面11ACC A ，平面ACB 平面11ACC A AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，由,D G 分别为11,AC AC 的中点，可得DG AC ⊥,可得DG ，DA ，DB 两两垂直. 以D 为坐标原点，以DG ，DA ，DB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(0,1,0)A ，1(2,1,0)A ，(1,1,0)E -，B ，1(2B ,，可得1(120),(210)AE DA =-=,,,,，DB =，∵10AE DA ⋅=，0AE DB ⋅=，∴1AE DA ⊥，AE DB ⊥， 又1DA DB D =，∴AE ⊥平面1A BD .（2）由（1）可得AE ⊥平面1A BD ，则(1,2,0)n AE ==-，即为平面1A BD 的一个法向量，又由(0,1AB =-，设直线AB 与平面1A BD 所成的角为α，可得2sin cos ,2AB n αAB n AB n⋅====⨯⋅， 所以直线AB 与平面1A BD（3）设平面11A B D 的法向量(,,)m x y z =，因为11(2,1,0),DA DB ==，可得1100m DA m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x+=⎧⎪⎨=⎪⎩，不妨取x =(32),m =--. 设二面角11B A D B --的平面角为θ，由5cos cos ,5m n θm n m n⋅====⨯⋅ 所以二面角11B A D B --【点睛】本题考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及利用空间向量求解线面角与二面角，着重考查了推理与运算能力. 18．（1）证明见解析；（2）114232=-⨯+n n T . 【分析】（1）利用当2n ≥时，1=n n n a S S --，可得134n n a a -=-，等式两边同时减去2，可得()1232n n a a --=-，可得证明；（2）将n a 代入n b 的表达式中，利用裂项相消法可得数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】解：（1）当1n =时，11233a a ，则13a =．当2n ≥时，因为2347n n S a n =+-，所以1123411n n S a n --=+-， 则()1234n n n a a a -=-+，即134n n a a -=-．从而()1232n n a a --=-，即1232nn a a --=-， 因为13a =，所以121a -=，所以数列{}2n a -是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）可得123n n a --=，即132n n a -=+．因为()()1211n n n n a b a a +-=--，所以()()1113111231313131n n n n n n b ---⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 则011221111111111123131313131313131n n n n n T ---⎛⎫=⨯-+-++-+-⎪++++++++⎝⎭，故0111111112313122314232n n n nT ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⨯+⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质、数列前n 项和与数列通项的关系及数列求和的裂项相消法，考查学生的计算能力及运用知识解决相关问题的能力，属于中档题.19．（1）22198x y （2）0y -+=【分析】（1）由题意可得：2b ＝，c1a 3=，a 2＝b 2+c 2．联立解出即可得出椭圆C 的标准方程．（2）A （﹣3，0），B （3，0），F 1（﹣1，0），F 2（1，0），设F 1M 的方程为：x ＝my ﹣1，M （11x ,y ），（1y ＞0），直线F 1M 与椭圆的另一个交点为M′（22x ,y ）．由12FM //F N 根据对称性可得：()22N x ,y --.直线方程与椭圆方程联立化为：（8m 2+9）y 2﹣16my ﹣64＝0，根据根与系数的关系及其123k 2k 0+=，得12123y 2y my 2my 2+=++0，联立解得m ． 【详解】（1）由题意，得2b =c 1a 3=. 又222a c b -=，∴a 3=，b =c 1=.∴椭圆C 的标准方程为22x y 198+=（2）由（1），可知()A 3,0-，()B 3,0，()1F 1,0-. 据题意，直线1FM 的方程为x my 1=- 记直线1FM 与椭圆的另一交点为M '，设()()111M x ,y y 0>，()22M x ,y '. ∵12FM //F N ，根据对称性，得()22N x ,y --. 联立228x 9y 721x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()228m 9y 16my 640+--=，其判别式Δ0>，∴12216m y y 8m 9+=+，12264y y 8m 9=-+.① 由123k 2k 0+=，得12123y 2y 0my 2my 2+=++，即12125my y 6y 4y 0++=.②由①②，解得12128m y 8m 9=+，22112my 8m 9-=+ ∵1y 0>，∴m 0>.∴()()12222128m?112m 64y y 8m 98m 9--==++.∴m 12=. ∴直线1FM的方程为x 1=-，即y 0-+=. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20．（1）31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）(2,)+∞ 【分析】（1）求出导函数211ln ()2x f x a x '-=-，使()0f x '≤，分离参数可得222ln x a x -≤，设222ln ()xg x x-=，利用导数求出()g x 的最小值即可求解. （2）21(1)ln 2()ax a x xf x x---=，设21()(1)ln 2h x ax a x x =---，函数()f x 有两个不同的零点等价于函数()h x 有两个不同的零点，求出(1)(1)()x x h x x α'+-=，分类讨论当0a ≥、1a =-、10a -<<或1a <-时，利用导数判断函数的单调性即可得出函数的零点个数，进而确定a 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.∵1ln ()12xf x ax a x =-+-， ∴211ln ()2x f x a x '-=-.若函数()f x 为单调递减函数， 则()0f x '≤.∴222ln xa x -≤对(0,)x ∈+∞恒成立. 设222ln ()xg x x -=. 令34ln 6()0x g x x'-==，解得3ln 2x =. ∴32x e =.令34ln 6()0x g x x '-=>，解得32x e >， 令34ln 6()0x g x x '-=<，解得320x e <<， ∴函数()g x 在320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴函数()g x 的最小值为3231g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∴31a e ≤-，即a 的取值范围是31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. （2）由已知，21(1)ln 2()ax a x xf x x---=. 设21()(1)ln 2h x ax a x x =---，则函数()f x 有两个不同的零点等价于函数()h x 有两个不同的零点.∵21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x x h x ax a x x xα'---+-=---==， ∴1当0a ≥时，函数()h x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增. 若函数()h x 有两个不同的零点， 则1(1)102h a =-+<，即2a >. 当2a >时，当(1,)x ∈+∞时，(2)22(1)ln 22ln 20h a a =---=->. 当(0,1)x ∈时，()21()2ln 2h x a x x x x =-+-， ∵2120x x -<-<， ∴1()ln 2h x a x x >-+-.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二次联考数学理科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二次联考数学理科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)函数2lg(2)()x x f x x-++=的定义域为（ ） A(-1,0)(0,2) B ．（-1,0)(0,+∞) C ．（一∞，-1)(2,+∞) D ．（-1,2)(2)已知集合{}|2,*M x x a b a N ==+∈，对任意,x y M ∈，则下列说法错误的是（ ）A ．x y M +∈B ．2x M ∈C ．x y M ⋅∈D ．x M y∈ (3)已知225535232(),(),log ,,,555a b c a b c ===则的大小关系是（ ） A. a<c<b B. b<a<e C. c<a<b D. a<b<c(4)下列函数中，随x(x>0)的增大，增长速度最快的是（ ）A. y =1，x ∈ZB. y=xC. y= 2xD. y=x e(5)11(2)ex dx x +⎰等于（ ） A. e 2 -2 B. e 一1 C. e 2 D.e+1(6)原命题为“三角形ABC 中，若cosA <0，则三角形ABC 为钝角三角形”，关于其遵命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A ．真，真，真 B. 假，假，真C ．真，真，假D ．真，假，假(7)已知函数()ln f x x b x =+在区间(0，2)上不是单调函数，则b 的取值范围是（ ）A ．（一∞，0)B ．（一∞，-2)C ．（-2,0)D ．（-2,+∞）(8)函数()sin ln ||f x x x =⋅的图象大致是（ ）(9)下列函数中，与函数()3x x e e f x --=的奇偶性、单调性均相同的是（ ） (10)已知函数()|1|x f x e =-满足()()()f a f b a b =≠，在区间[a ，2b]上的最大值为e-1，则b 为（ ）A.ln3B. 13C. 12D.l (11)已知定义在R 上的函数()f x 满足：()2f x +∈①=2f(x);②当x [-1,1]时，()cos .2f x x π=记函数g (x)= f (x) -log 4(x+l)，则函数g(x)在区间[0，10]内零点个数是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．9(12)函数()f x 在R 上可导，下列说法正确的是（ ）A ．若()'()0f x f x +>对任意x ∈R 恒成立，则有(2)(1)ef f <B ．若()'()0f x f x -<对任意x ∈R 恒成立，则有2(1)(1)e f f -＜ C ．若()'()1f x f x +>对任意x ∈R 恒成立，则有(0)(1)1f e ef +>+D ．若()'()1f x f x -<对任意x ∈R 恒成立，则有(1)(0)1ef e f -+>+第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)命题“任意x ∈(0，+∞)，都有x 2-2x >0”的否定是____。
天津市2024-2025学年高三上学期第二次月考数学检测试卷(含解析)
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的天津市2024-2025学年高三上学期第二次月考数学检测试卷.1. 已知集合3{|log 1}A x x =<，集合2{Z |230}B x x x =∈--≤，则A B = （ ）A. {}1,0,1,2- B. {}0,1,2 C. {}1,2 D. {}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数的性质，求出集合A ，利用一元二次不等式的解法，求出集合B ，再利用集合的运算，即可求解.【详解】由33log 1log 3x <=，得到03x <<，所以{}|03x x <<，由2230x x --≤，得到13x -≤≤，又Z x ∈，所以{1,0,1,2,3}B =-，得到A B = {}1,2，故选：C.2. 已知直线1l ：210x ay +-=和直线2l ：()3110a x ay ---=，则“12//l l ”是“16a =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线平行以及充分和必要条件等知识来求得正确答案.【详解】由12//l l ，得()()1231a a a ⨯-=⨯-，解得0a =或16a =.当0a =时，12:1,:1l x l x ==-，符合题意.当16a =时，1211:10,:2033l x y l x y +-=++=，符合题意.即12//l l 等价于0a =或16a =，所以“12//l l ”是“16a =”的必要不充分条件.故选：B3. 函数()e e sin π4x xf x x -+=⋅在区间[]3,3-上的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除AC ，再结合23x <<时，()0f x >即可排除D ，进而得到答案.【详解】由题意，()e e sin π4x xf x x -+=⋅，[]3,3x ∈-，则()()()e e e e sin πsin π44x x x xf x x x f x --++-=⋅-=-⋅=-，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故AC 不满足；当23x <<时，e e 04x x -+>，sin π0x >，则()e e sin π04x xf x x -+=⋅>，故D 不满足，B 符合题意.故选：B.4. 下列说法错误的是（ ）A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率0.05α=值的独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样计算判断A ；求出第75百分位数判断B ；利用线性相关系数的意义判断C ；利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A ，该校高一年级女生人数是503020050500-=，A 正确；对于B ，由875%6⨯=，得第75百分位数为911102+=，B 正确；对于C ，线性回归方程中，线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C 错误；对于D ，由20.053.937 3.841x χ=>=，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D 正确.故选：C5. 设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面.给出下列四个命题：①若//m α，//n β，α//β，则//m n ；②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，α//β，则//n β；④若αβ⊥，l αβ= ，//m α，m l ⊥，则m β⊥．其中正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析即可得答案．【详解】①若//m α，//n β，α//β，则m 与n 平行、相交或异面，故错误；②若αβ⊥，m β⊥，则m α⊂或//m α，又m α⊄，则//m α，故正确；③若m α⊥，α//β，则m β⊥，又m n ⊥，则n β⊂或//n β，故错误；④假设m '是m 在面α上的投影，//m α，m l ⊥，即m l '⊥，m α'⊂，若αβ⊥，l αβ= ，m α'⊂，得m m ββ'⊥⇒⊥，故正确．故选：B6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足167a =，112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，则下列结论正确的为（ ）A. 202137a = B. 202257a =C. 20191344S =D. 20221348S =【答案】D 【解析】【分析】根据题意先求数列的前四项，即可看到数列具有周期性，因此根据这一特性，即可逐一计算各项中的值，即可判断答案.【详解】因为167a =，112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，所以213265532121,21217777a a a a =-=⨯-==-=⨯-=，43627a a ==，故数列{}n a 是以3为周期的周期数列，则202167332257a a a ⨯+===，故A 错；202267333337a a a ⨯+===，故B 错； 又1236532777a a a ++=++=，故2019673367321346S S ⨯==⨯=，故C 错；2022674367421348S S ⨯==⨯=，故D 对，故选：D.7. 设函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为π3．则下列选项正确的是（ ）A. 函数()f x 的周期为π3B. 将函数()f x 的图像向左平移π4个单位，得到的函数为奇函数C. 当ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 的值域为⎫⎪⎪⎭D. 方程()0f x =在区间[]π,π-上的根的个数共有6个【答案】D 【解析】【分析】由条件结合三角函数图像得到函数的周期判断A 选项，得到参数ω的值写出平移后的解析式判断函数奇偶性判断B 选项；通过x 取值范围，求出π34x -范围，得到函数()f x 的值域判断C 选项；令()π3πZ 4x k k -=∈，求方程在[]π,π-的解的个数判断D 选项.【详解】因为函数()[]1,1f x ∈-，()()122f x f x -=，则()()12,f x f x 一个最大值一个最小值，可知函数半个周期12min π23T x x =-=，即周期2π3T =，A 选项错误；由2π2π3T ω==，∴3ω=，∴()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向左平移π4个单位，得到的函数为()πππsin 3sin 3cos3442g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是偶函数，B 选项错误；当ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ3π3,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴()f x ⎤∈⎥⎦，C 选项错误；令()π30πZ 4x k k -=+∈，则()π+4Z 12k x k π=∈，令π+4ππ12k π-≤≤，则131144k -≤≤，∵Z k ∈，∴k 的值可以为：3,2,1,0,1,2---，方程()0f x =在区间[]π,π-上的根的个数共有6个，D 选项正确.故选：D.8. 已知正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 是线段1AC 上的点，且1AE EF FC ==，分别过点E ，F 作与直线1AC 垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ）A.13B.12C.23D.34【答案】C 【解析】【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，连接111111,,,,,,C B AC A B A D BD D C B D ，利用线面垂直的判定定理可得1AC ⊥平面1A BD ，1AC ⊥平面11B CD ，再由体积相等可得1AC 被平面1A BD 、平面11B CD 三等分，所以平面1A BD 、平面11B CD 可看作平面α、β，再求体积之比可得答案.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 连接111111,,,,,,C B AC A B A D BD D C B D ，可得ACBD ⊥，1CC ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面平面1ACC ，又1AC ⊂平面平面1ACC ，可得1AC BD ⊥，同理可得11AC A B ⊥，111AC B D ^，11AC CD ⊥，且1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，且1111B D CD D ⋂=，111,B D CD ⊂平面11B CD ，所以1AC ⊥平面11B CD ，11112228ABCD A B C D V -=⨯⨯=，1111114222323--==⨯⨯⨯⨯=ABD C A C D B V V ，因为111111======A B A D B B B D D C D C ，所以11112=== A BD CD B S S ，分别设1,A C 到平面1A BD 、平面11B CD 的距离为12,h h ，则11111111211,33--== A A BD C ABD C B D CD B V S h V S h ，即124141,3333=⨯=⨯，解得12h h ==1==AC ，又=可得1AC 被平面1A BD 、平面11B CD 三等分，所以平面1A BD 、平面11B CD 可看作平面α、β，正方体夹在平面α与β之间的部分的体积为816833-=，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的162383=.故选：C.9. 已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. y =C. y x =D. y x =【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线定义和已知列方程组，可用,a p 表示12,MF MF ，然后可表示出四边形12F NF M 的面积，结合已知可得,a p 关系，最后根据勾股定理得出,a b 的关系即可得解.【详解】由题意可得，121222MF MF a p MF MF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1244p MF a p MF a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又12F F 为直径，所以四边形12F NF M 为矩形，所以22124p S MF MF a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，又232S p =，所以222324p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2232p a =，由2221212MF MF F F +=，得222248p a c +=，即()2222322a a c b ==+，所以222a b =，即b a =所以双曲线渐近线方程为y x =.故选：B ．【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222a b c +=可求得ba的值，则渐近线方程可求.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.10. 已知m ，R n ∈，i 是虚数单位，若(i)(1i)i m n -+=，则|i |m n -=__________．【解析】【分析】根据复数乘法运算结合复数相等的充要条件可得1,2m n =-=-，即可由模长公式求解.【详解】由(i)(1i)i m n -+=可得()11i i m m n ++-=，故10m +=且1m n -=，解得1,2m n =-=-，所以i m n -==，11. 一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数（第75百分位数）为的n，则22nx ⎛ ⎝展开式中的常数项为______.【答案】10【解析】【分析】求数据中的四分位数得5n =，利用二项式展开式通项求常数项即可.【详解】由题设675% 4.5⨯=，则5n =，所以，522x ⎛+ ⎝展开式通项为5102552155C (2)2C rr r r r r r T x x---+==，当4r =，则4552C 10T ==，即常数项为10.故答案为：1012. 甲箱中有5个红球、2个白球、1个黄球和2个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球、2个黄球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，设事件1A ，2A ，3A ，4A 分别表示从甲箱中取出的是红球、白球、黄球和黑球，事件B 表示从乙箱中取出的球是红球，则()1|P B A =______，()P B =______．【答案】 ① 512 ②. 38##0.375【解析】【分析】分别求出甲箱中拿出红、白、黄、黑球事件的概率，依据条件概率的公式和全概率公式分别计算结果.【详解】由题意知：()112P A =，()215P A =，()3110P A =，()415P A =，()()()111155212|1122P BA P B A P A ⨯===，同理：()21|3P B A =，()31|3P B A =，()41|3P B A =，由全概率公式可知：()()()413|8iii P B P A P B A ===∑．故答案为：512，3813. 已知圆()22:29C x y +-=的圆心C 与抛物线()220x py p =>的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为A ，则原点到直线AC 的距离为______．【解析】.【分析】根据题意，首先解出抛物线的方程，联立方程组，解出交点A 的坐标，再求出直线AC 的方程，最后由点到直线的距离公式，即可得到答案.【详解】 圆心(0,2)C 与22(0)x py p =>的焦点重合，22482p p x y ===，，∴∴∴由222(2)98x y x y ⎧+-=⎨=⎩可得1)A，(02)AC C k ==,，∵∴∴由点斜式方程可得：2AC l y -=：，480y +-=，∴原点到AC l的距离d ==．.14. 在平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，23AD AB =，点E 在边DC 上，满足13DE DC = ，则向量AE在向量AD 上的投影向量为__________（请用AD表示）；若3AB =，点M ，N 分别为线段AB ，BC 上的动点，满足1BM BN +=，则EM EN ⋅的最小值为__________．【答案】 ①. 54AD ②.238【解析】【分析】由向量AE 在向量AD上的投影向量为2AD AE AD AD，根据向量的线性运算和数量积的运算法则，求解即可；以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设()01BN t t =<<，用含t 的式子表示出点M 和点N 的坐标，再根据向量的数量积的坐标运算法则，求解即可.【详解】由13DE DC = ，知13DE AB =，因为60A ∠=︒，23AD AB =，所以()13AD AE AD AD DE AD AD AB ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭22221131533224AD AD AB AD AD AD =+=+⨯⨯= ，所以向量AE 在向量AD上的投影向量为2225544AD AD AE AD AD AD AD AD== ；若3AB =，则2AD =，以A为原点建立空间直角坐标系，则(E ，设BN t =，则1BM t =-，01t <<，所以()2,0M t +，132N t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(,EM t =，112EN t ⎛=+ ⎝ ，所以(2211311,13322222EM EN t t t t t t t ⎛=+=+-+=-+ ⎝ ，是关于t 的开口向上，对称轴为12t =的二次函数，当12t =时，EM EN 取得最小值238.故答案为：54AD ；23815. 已知函数()241f x ax x =+-，若方程()2430f x ax +++=有2个实数根，则a 的取值范围是______．【答案】()(),00,2-∞ 【解析】【分析】由题意对a 分类讨论，并通过数形结合即可得解.【详解】题分析：令()243g x ax =-+-，已知函数()241f x ax x =+-，依题意()f x 与()g x 图象有2个不同的交点．当0a =时，()7f x =-与()41g x x =-图象有1个交点，不符合题意．当0a <时，函数()f x 与()g x的图象如图所示，两个函数图象始终有2个交点，所以，0a <符合题意．当0a >时，函数()f x 与()g x 的图象如图所示，因为23g a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，22224411f a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，413a--<-，解得2a <，所以，02a <<．综上所述，a 的取值范围为()(),00,2∞-⋃．故答案为：()(),00,2∞-⋃.【点睛】关键点点睛：在讨论当0a >时，通过画图得出413a--<-，由此即可顺利得解.三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知24sin4sin sin 22A B A B -+=+（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC V 的面积为6，求：①边长c 的值；②()cos 2B C -的值.【答案】（1）π4（2）；【解析】【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；（2）①根据题意利用面积公式可求得a =，再利用余弦定理运算求解；②先利用余弦定理求得cos B =，再根据平方求sin B ，利用倍角公式和两角差的余弦公式运算求解.【小问1详解】由题意可得：()21cos 4sin 4sin sin 44sin sin 22cos cos 2sin sin 4sin sin 22A B A B A B A B A B A B A B ---+=⨯+=--+()()22cos cos sin sin 22cos 22cos 2A B A B A B C =--=-+=+=可得cos C =，∵()0,πC ∈，∴π4C =.【小问2详解】①∵ABC V 的面积11sin 4622S ab C a ==⨯⨯=，∴a =，由余弦定理：2222cos 18162410c a b ab C =+-=+-⨯=，则c =；②∵222cos 02a c b B ac +-===>，即π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin B ==，∴2413sin 22sin cos 2,cos 22cos 121555B B B B B ====-=⨯-=-，故()34cos 2cos 2cos sin 2sin 55B C B C B C ⎛⎫-=+=-+= ⎪⎝⎭17. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求平面1ACD 与平面1ACB 的夹角的余弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 的夹角的正弦值为13，求线段1A E 的长．【答案】（1）证明见解析；（2（32-．【解析】【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，可得()0,0,1n = 为平面ABCD 的法向量，可求得0MN n ⋅= 即可证明；（2）求出平面1ACD 和平面1ACB 的法向量，即可由向量关系求出；（3）设111A E A B λ= ，可得()1,2,1NE λ=-+ ，结合()0,0,1n = 为平面ABCD 的法向量，再由1cos ,3NE n NE n NE n ⋅==⋅ 即可求出.【详解】（1）证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得()0,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,0C ，()1,2,0D -，()10,0,2A ，()10,1,2B ，()12,0,2C ，()11,2,2D -，又因为M ，N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,2,1N -．可得()0,0,1n = 为平面ABCD 的法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，由此可得0MN n ⋅= ，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD ．（2）解：()11,2,2AD =- ，()2,0,0AC = ，设()1,,n x y z = 为平面1ACD 的法向量，则11100n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩不妨设1z =，可得()10,1,1n = ．设()2,,n x y z = 为平面1ACB 的法向量，则21200n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，又()10,1,2AB = ，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得()20,2,1n =- ．因此有121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅ ，所以，平面1ACD 与平面1ACB（3）解：依题意，可设111A E A B λ= ，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+ ，又()0,0,1n = 为平面ABCD 的法向量，由已知，得1cos ,3NE n NE n NE n ⋅=== ，整理得2430λλ+-=，又因为[]0,1λ∈，解得2λ=-，所以，线段1A E 2．【点睛】利用空间向量求解立体几何问题的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，且212PF F F ⊥，12tan PF F ∠=．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点M ，满足234OA OB OM += ，试求椭圆C的方程．【答案】（1）e =（2）22551164x y +=【解析】【分析】（1）由212tan 2b a PF F c ∠==222a c b -=，建立关于e 的方程，即可得到结果；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由（1）可知224a b =，可设椭圆方程为22244x y b +=，根据234OA OB OM += ，可得120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，设1:(1)2AB y k x =--将其与椭圆方程联立，由韦达定理和点M 满足椭圆方程，可求出2b ，进而求出结果.【小问1详解】解：因2212tan 22b b a PF F c ac ∠===26b =，即()226a c -=，则，解得e =．【小问2详解】解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由22234c e a ==，得2243a c =，所以222221134b a c c a =-==，所以224a b =设2222:14x y C b b+=，即22244x y b +=由于,A B 在椭圆上，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，①由234OA OB OM += ，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,即222121223234444x x y y b ++⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为即()()()2222211121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②将①代入②得：212124x x y y b +=，③若直线AB 的斜率不存在，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意，线段AB 的中点为11,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:(1)2AB y k x =--可知()22211244y k x x y b⎧=--⎪⎨⎪+=⎩()()22222148444410k x k k x k k b +-+++-+=212284121142k k x x k k ++==⨯⇒=+，所以222220x x b -+-=，其中0∆>，解得212b >，所以21222x x b ⋅=-，AB 方程112y x =-又()2121212121111111122422b y y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④将④代入③得：22221422425b b b b --+⋅=⇒=，经检验满足212b >，所以椭圆C 的方程为22551164x y +=.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.19. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比不为1的等比数列，26a =，4522a a +=，1134a b =，且22b 是13b 与3b 的等差中项．（1）求：数列{}n a 和{}n b 的通项公式．为（2）设()21,283636,n n n n n a b n d n n n b ⎧-⎪⎪=⎨-+-⎪⎪⎩为奇数为偶数，求21i i n d =∑．（3）若对于数列{}n a 、{}n b ，在k a 和1k a +之间插入k b 个()*2k ∈N ，组成一个新的数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2025T ．【答案】（1）22n a n =+,3n n b =（2）()221324943239n n i ni n n d=-=+-∑ （3）20254106T =【解析】【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式，计算可得；（2）结合两个数列的通项公式，可判断的前项中两个数列的项数，然后分组和错位相减求和可得；（3）求出{}n a 的项数和总共有多少个2，利用分组求和可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，1q ≠，由2456,22a a a =+=，则222322a d a d +++=，故2=d ，所以()()2262222n a a n d n n =+-=+-=+，则14a =，由1134a b =，则13b =，又由22b 是13b 与3b 的等差中项，所以213223b b b ⨯=+，即21293q q =+，解得3q =或1q =（舍去），故111333n n n n b b q --==⋅=；【小问2详解】由()21,283636,n n n n n a b n d n n n b ⎧-⎪⎪=⎨-+-⎪⎪⎩为奇数为偶数 ，则()()231,83636,3n n n n n d n n n ⎧-+⎪=⎨-+-⎪⎩为奇数为偶数1212212n nn i i dd d d d -==++++∑ ()()1321242n n n n d d d d d d P Q -=+++++++=+ ，则()()()()321234323n n P n -=⋅-+-++- ，()()()()35219234323n n P n +=⋅-+-++- ，两式相减得，()()()()()32121823232323n n n P n -+-=⋅-+-++--- ，()()()221313822319n n n P n +⎡⎤---⎣⎦-=⋅---，则()3249332n n n P --=，()222242828284333n n n Q ⎡⎤--⨯-⨯=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 242362363643636236836333n n n n M N ⨯-⨯-⨯-⎡⎤++++=-+⎢⎥⎣⎦其中()()2222222422222424333999n n n n n M =+++=+++ ①，422213211321339939n n nn n N --=+++=+++ ()22223121249999n n n M +=+++ ②-②相减可得，()()()22221218422821213214999999999n n n n n n n n n M ++--⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭ ，则2221321448363699999n n n n n n n n M N -⎛⎫=+++-=- ⎪⎝⎭ ，所以249n n Q n =，则()212324934329n i i nn n n d =--∑=+；【小问3详解】根据题意可得，1231,2,2,2,,2,2,2,2,2,2,2,2,2,,,,,k k a a a a a + 则213332025k k +++++≤ ，故()3131202513kk -++≤-，则131202522k k ++-≤，故当6k =时，73161099202522+-=≤成立，当7k =时，8317202522+->成立，所以{}n a 共有7项，共有2018个2，则()2025742722201841062T ⨯+⨯+=⨯+=.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.20. 设m 为实数，函数()ln f x x mx =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当e m =时，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，求2+a b 的最小值；（3）若方程()()()2R f x m x n n =-+∈有两个实数根()1212,x x x x <，证明：12e 22x x +>.（注：e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）【答案】（1）当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)m ，单调递减区间为1(,)m+∞； （2）e 2ln 2--；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论根据其正负判断函数的单调性，即得；（2）根据导数的几何意义得切线方程，进而可得2+a b 的表达式，构造函数，然后利用导数求最值即得；（3）由题可得()1122ln 2x x x x =-，利用换元法变形为()22ln 2t tx x =-，从而将证明12e 22x x +>，转化为证明()()21ln e 1t t t +<-，再构造函数，利用导数求其最值进而即得.【小问1详解】因为()ln f x x mx =-，所以()11mx f x m x x-+'=-=，()0x >，当0m ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m >时，由()0f x '>，解得10x m<<，函数()f x 在1(0,)m 上单调递增，由()0f x '<，解得1x m >，函数()f x 在1(,)m+∞上单调递减；综上，当0m ≤时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)m ，单调递减区间为1(,)m+∞；【小问2详解】当e m =时，()ln e f x x x =-，设切点为()000,ln e x x x -，则切线斜率()001e k f x x ==-'， 切线方程为()()00001ln e e y x x x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，001e ln 1y x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴01e a x =-，0ln 1b x =-，所以00122ln e 2a b x x +=+--，令()00012ln e 2g x x x =+--，则()00220002112x g x x x x -='-+=，由()00g x '<，可得0102x <<，由()00g x '>，可得012x >，∴()0g x 在0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()in 0m 1e 2ln 22g x g ⎛⎫==--⎪⎝⎭，即2+a b 的最小值为e 2ln 2--；【小问3详解】由()()ln 2f x x mx m x n =-=-+，可得ln 2x x n -=，令()ln 2F x x x =-，则12()x F x x -'=，由()0F x '>，可得102x <<，由()0F x '<，可得12x >，所以()F x 在0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且()12F =-，∴2n <-，不妨设12102x x <<<，则1122ln 2ln 2x x n x x n-=⎧⎨-=⎩ ，故()1122ln 2x x x x =- ,令12x t x =，()22ln 2t tx x =-，所以()2ln 21t x t =-，()1ln 21t t x t =-，01t <<，要证12e 22x x +>，只要证2ln ln e 11t t t t t +>--，只要证()()21ln e 1t t t +<-，令()()()21ln e 1h t t t t =+--，则()12ln e 2h t t t=-'++，设()1()2ln e 2t h t t t ϕ=+-'=+，则()221t t tϕ-'=，由()0t ϕ'<，可得102t <<，由()0t ϕ'>，可得12t >，∴()h t '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∵0e 1h ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，e 10h =-+<'，()13e 0h ='->，则存在0t ⎫∈⎪⎭，使得()00h t '=，∴()h t 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在01e ,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,1t 上单调递增，∵12e 20e e h ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()10h =，∴()()()21ln e 10h t t t t =+--<在01t <<上恒成立，所以12e 22x x +>．点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.【。
2024年天津市红桥区中考二模数学试题
2024年天津市红桥区中考二模数学试题一、单选题1．计算：()23⨯-的结果等于（ ）A ．1-B ．1C ．6-D ．62．下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．将数据686000000用科学记数法表示应为（ ）A ．90.68610⨯B ．86.8610⨯C ．768.610⨯D ．668610⨯ 4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．估计1 ）A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间 6．3tan302sin60+︒︒的值等于（ ）A ．2B ．C ．D ．7．已知点()()()123,2,,1,,1A x B x C x --在反比例函数2y x=-的图象上，则123x x x ，，的大小关系是（ ）A ．321x x x <<B ．123x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x <<8．计算2111x x x+--的结果为（ ） A ．1x + B ．1x - C ．1x - D ．11x x +- 9．若一元二次方程220x x +-=的两个根分别为12,x x ，则1211+x x 的值为（ ） A ．12- B ．12 C ．2- D ．210．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒．以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点D ；分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧相交于点P ，连接PB ，PA ，PD ．若25APB ∠=︒，则C ∠的大小为（ ）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒11．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上两点，BF BE >，且45EAF ∠=︒．将A D F △以点A 为中心顺时针旋转90︒得到ABG V ，点D ，F 的对应点分别为点B ，G ，连接EG ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AEF AEG ∠=∠B ．AE AF =C ．AFD AEB∠=∠ D ．222BG DF EF += 12．如图，有一块矩形空地ABCD ，学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH 上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E ，F ，G ，H 分别在边AD ，AB ，BC ，CD上，且AE AF CG CH ===．已知20m,40m AD AB ==．有下列结论：①铺设草坪的面积可以是2360m ；②种花的面积的最大值为2450m ；③AF 的长有两个不同的值满足种花的面积为2432m ．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．14．计算的结果是． 15．计算()()224x x x +-+的结果等于．16．若直线y x m =-+（m 为常数）与x 轴相交于点()1,0A ，与y 轴相交于点B ，则AB 的长为．17．如图，在ABC V 中，4AB AC BC ==．（1）ABC V 的面积为；（2）以AC 为边作正方形ACDE ，过点D 作DF BC ⊥，与BC 的延长线相交于点F ，则EF 的长为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 在格点上，90CAB ∠=︒，以AB 为直径的半圆与边BC 的交点D 在网格线上．（1）CD DB的值等于； （2）若P 为边AC 上的动点，当．2PC PB +取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题19．解不等式组21351x x x +≥⎧⎨-≤⎩①② 请结合题意填空，完成本题的解答．(1)解不等式①，得______________；(2)解不等式②，得______________；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(4)原不等式组的解集为______________．20．某校为了解学生课外阅读的情况，随机调查了a 名学生一个学期阅读课外书的册数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：(1)填空：a 的值为______________，图①中m 的值为______________；(2)求统计的这组册数数据的平均数、众数和中位数．21．以AB 为直径的O e 分别与ABC V 的边,AC BC 相交于点D ，E ，AE 平分CAB ∠．(1)如图①，连接BD ，若64C ∠=︒，求DBA ∠的大小；(2)如图②，过点E 作O e 的切线，与AB 的延长线相交于点F ，与AC 相交于点G ．若30,1F CG ∠=︒=，求AE 的长．22．综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度．如图，在梯形平台CDEF 上有一座高为AB 的古塔，已知6m 30CD DCF ∠=︒=，，点A 在水平线DE 上．某学习小组在梯形平台C 处测得古塔顶部B 的仰角为50.2,︒在梯形平台D 处测得古塔顶部B 的仰角为60︒．(1)求梯形平台的高AG 的长；(2)设古塔AB 的高为h （单位：m ）．①用含有h 的式子表示线段CG 的长（结果保留根号）：______________．②求古塔AB 的高度（tan50.2 1.2︒≈1.7，结果取整数）．23．已知学生宿舍、体育场、凉亭依次在同一条直线上，凉亭离宿舍1.2km ，体育场离宿舍2km ．张强从宿舍出发，先匀速骑行10min 到达体育场，在体育场锻炼了50min ，之后匀速步行10min 到达凉亭，在凉亭休息了10min 后，匀速骑行了5min 返回宿舍．下面图中x 表示时间，y 表示高宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：(1)①填表：②填空：张强从体育场到凉亭的步行速度为______________km /min ；③当7085x ≤≤时，请直接写出张强离宿舍的距离y 关于时间x 的函数解析式；(2)当张强离开体育场5min 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.08km /min ，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）24．在平面直角坐标系中，O 为原点，矩形OABC 的顶点()4,0A ，(C ，等边三角形ODE的顶点()6,0E -，顶点D 在第二象限．(1)填空：如图①，点B 的坐标为______________，点D 的坐标为______________；(2)将ODE V 沿x 轴向右平移，得O D E '''△，点O ，D ，E 的对应点分别为,,O D E '''．设O O t '=，O D E '''△与矩形OABC 重叠部分的面积为S ．①如图②，当O D E '''△与矩形OABC 重叠部分为五边形时，边O D ''与AB 相交于点F ，边D E ''与OC 相交于点G ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；②当16t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．25．已知抛物线24y ax bx =++（a ，b 为常数，0a ≠）经过点()1,0A 和点()4,0B ，与y 轴相交于点C ，M 为抛物线上横坐标为m 的点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当14m <<时，过点M 作x 轴的垂线与BC 相交于点N ，若MN OC =，求点M 的坐标；(3)D 为线段OC 的中点，当MDB DBO ∠=∠时，求点M 的坐标．。
2022——2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题(一模二模)含答案
2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题（一模）一、选一选：1.拒绝“餐桌浪费”，刻没有容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50000000000千克，这个数据用科学记数法表示为A.0.5×1011千克B.50×109千克C.5×109千克D.5×1010千克2.如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A.=B.=C.4=D.3=-4.将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个没有透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，没有放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（）A.18 B.16 C.14 D.125.如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（）A.60°B.80°C.85°D.90°6.若2x +mx+16是一个完全平方式,则m 的取值是（)A.8± B.-8C.8D.4±7.如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P 从点A 出发，沿A﹣B﹣C﹣O 的路线匀速运动，设动点P 的运动时间为t，△OAP 的面积为S，则下列能大致反映S 与t 之间关系的图象是（）A. B. C. D.8.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A.115°B.120°C.145°D.135°9.下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是()A. B. C. D.10.如图，AB 是⊙O 的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO 的度数是（）A.51°B.56°C.68°D.78°11.为了筹备班级元旦联欢晚会，班长打算先对全班同学爱吃什么水果进行民意，再决定买哪种水果.下面的数据中，他最应该关注的是()A.众数B.中位数C.平均数D.加权平均数12.如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值没有存在；④使得M=1的x值是12 或22．其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：13.在数：4，5，6，－1中，是没有等式x－2＜3的解的有________．14.如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____.15.若函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．16.分解因式：ab3-ab=_______．17.如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为_____cm2．18.△ABC 是边长为18的正三角形,点D、E 分别在边AB、BC 上,且BD=BE.若四边形DEFG 是边长为6的正方形时，则点F 到AC 的距离等于__________.三、解答题：19.解方程：2134134x x ---=20.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？21.九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会，并根据学生做家务的时间来评价他们在中的表现.老师了全班50名学生在这次中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A ：0.5≤x ＜1，B ：1≤x ＜1.5，C ：1.5≤x ＜2，D ：2≤x ＜2.5，E ：2.5≤x ＜3，制作成两幅没有完整的统计图（如图）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次中学生做家务时间的中位数所在的组是____________；（2）补全频数分布直方图；（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗．请用适当的统计知识说明理由．22.已知B 港口位于A 观测点的东向，且其到A 观测点正向的距离BD 的长为16千米，一艘货轮从B 港口以48千米/时的速度沿如图所示的BC 方向航行，15分后到达C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东75 方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长（大0.1千米）1.41≈ 1.73≈2.24≈ 2.45≈）23.某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示．（1）第20天的总用水量为多少米3？（2）当x≥20时，求y与x之间的函数关系式；（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？24.如图，已知正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F.求证：DE=DF.25.如图,⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AD的长．26.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4．点D是线段BC上的一个动点．点D与点B、C没有重合，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点．（1）设∠BAC=α（如图①），求∠AEF的大小；（用含α的代数式表示）（2）当点F与点C重合时（如图②），求线段DE的长度；（3）设BD=x，△EDF与△ABC重叠部分的面积为S，试求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围．2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题（一模）一、选一选：1.拒绝“餐桌浪费”，刻没有容缓．据统计全国每年浪费食物总量约50000000000千克，这个数据用科学记数法表示为A.0.5×1011千克B.50×109千克C.5×109千克D.5×1010千克【正确答案】D【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．【详解】解：50000000000一共11位，从而50000000000=5×1010．故选：D．2.如图，一个放置在水平桌面上的圆柱，它的主（正）视图是（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】试题解析：圆柱的主（正）视图为矩形．故选C．点睛：画物体视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．3.下列计算正确的是（）A.=B.=C.4=D.=-3【分析】根据同类二次根式，二次根式的乘法和化简二次根式逐项计算判断即可．【详解】A没有是同类二次根式，没有能直接加，故该选项错误，没有符合题意；BCD3=，故该选项错误，没有符合题意；故选B．本题考查同类二次根式的判断，二次根式的乘法和化简二次根式．熟练掌握各知识点和运算法则是解题关键．4.将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个没有透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，没有放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（）A.18 B.16 C.14 D.12【正确答案】B【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球，随机摸出一球，没有放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是1 6.故选B.考点：简单概率计算.5.如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1+∠2的值为（）A.60°B.80°C.85°D.90°【分析】过点C 作CD ∥a ，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：过点C 作CD ∥a ，则∠1=∠ACD ．∵a ∥b ，∴CD ∥b ，∴∠2=∠DCB ．∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°．故选D ．本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．6.若2x +mx+16是一个完全平方式,则m 的取值是（)A.8± B.-8C.8D.4±【正确答案】A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【详解】∵x 2+mx+16=x 2+mx+42，∴mx=±2x ×4，解得m=±8.故选A.本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的概念.7.如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，3），动点P 从点A 出发，沿A﹣B﹣C﹣O 的路线匀速运动，设动点P 的运动时间为t，△OAP 的面积为S，则下列能大致反映S 与t 之间关系的图象是（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】∵A（4，0）、C（0，4），∴OA=AB=BC=OC=4，①当P由点A向点B运动，即0≤t≤4，S=12OA·AP=2t；②当P由点A向点B运动，即4＜t≤8，S=12 OA·AP=8；③当P由点A向点B运动，即8＜t≤12，S=12OA·AP=2（12﹣t）=﹣2t+24；图象可知，符合题意的是A．故选A．8.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（）A.115°B.120°C.145°D.135°【正确答案】D【分析】由下图三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．故选D．此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形思想的应用．9.下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是()A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A.是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；B.没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；C.是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；D.既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．故选D．本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．10.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A.51°B.56°C.68°D.78°【正确答案】A【详解】试题分析：由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE 的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．解：如图，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故选A．考点：圆心角、弧、弦的关系．11.为了筹备班级元旦联欢晚会，班长打算先对全班同学爱吃什么水果进行民意，再决定买哪种水果.下面的数据中，他最应该关注的是()A.众数B.中位数C.平均数D.加权平均数【正确答案】A【分析】众数、中位数、平均数从没有同角度反映了一组数据的集中趋势，但该问题应当看吃哪种水果的人至多，故应当用众数．【详解】此问题应当看吃哪种水果的人至多，应当用众数．故选A．本体考查了众数、中位数、平均数的意义，解题时要注意题目的实际意义．12.如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值没有存在；④使得M=1的x值是12 或22．其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】B【详解】试题分析：∵当y1=y2时，即-2x2+2=2x+2时，解得：x=0或x=-1，∴当x＜-1时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当-1＜x＜0时，y1＞y2；当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①错误；∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②错误；∵抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=-2x2+2，值为2，故M大于2的x值没有存在；∴使得M大于2的x值没有存在，∴③正确；抛物线与x轴的交点为（-1，0）（1，0），由图可知，-1＜x＜0时，M=2x+2，当M=1时，2x+2=1，解得x=-12，x＞0时，M=-2x2+2，当M=1时，-2x2+2=1，解得x=-12，所以，使得M=1的x值是−12或22，故④正确，综上所述，③④都正确．故选B．考点：二次函数的性质；函数的性质．二、填空题：13.在数：4，5，6，－1中，是没有等式x－2＜3的解的有________．【正确答案】4-1【详解】解没有等式x-2＜3得x＜5；∴4、5、6、-1中，4、-1是没有等式的解．故答案是：4,-1.14.如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____.【正确答案】AB=DC(答案没有)【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可．【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB，∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC，故答案为：AB=DC(答案没有)．本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键．15.若函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．【正确答案】﹣3【详解】∵y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，∴29030 mm-⎧⎨-≠⎩＝解得m=-3．故答案是：-3.16.分解因式：ab3-ab=_______．【正确答案】ab（b+1）（b-1）.【详解】试题解析：ab3-ab，=ab（b2-1），=ab（b+1）（b-1）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．17.如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为_____cm2．【正确答案】40【详解】试题分析：由▱ABCD的周长为36cm，可得AB+BC=18cm①，又由过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，由等积法，可得4AB=5BC②，继而求得答案．解：∵▱ABCD的周长为36cm，∴AB+BC=18cm①，∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，∴4AB=5BC②，由①②得：AB=10cm，BC=8cm，∴▱ABCD的面积为：AB•DE=40（cm2）．故答案为40．考点：平行四边形的性质．18.△ABC是边长为18的正三角形,点D、E分别在边AB、BC上,且BD=BE.若四边形DEFG是边长为6的正方形时，则点F到AC的距离等于__________.【正确答案】6【详解】如图，作BL⊥AC于L交DE于H，交FG于K．∵△ABC 是等边三角形，AC=BC=AB=18，∴∠B=90°，∵BE=BD ，∴△BED 是等边三角形，∴BE=BD=DE=6，∵HK=EF=6，∴，∴（），∵∠BED=∠C=60°，∴DE ∥AC ，∵DE ∥FG ，∴FG ∥AC ，∴点F 到AC 的距离-6．故答案是：-6.考查正方形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.三、解答题：19.解方程：2134134x x ---=【正确答案】x=-4【详解】解：2134134x x ---=去分母得，4（2x-1）-3（3x-4）=12，去括号得，8x-4-9x+12=12，移项得，8x-9x=12-12+4，合并同类项得，-x=4把x的系数化为1得，x=-4.20.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？这些图书共有多少本？【正确答案】见解析【详解】设这个班有x个学生3x+20=4x-25x=45图书：3x+20=3×45+20=155(本)答这个班有45名学生，图书有155本.21.九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会，并根据学生做家务的时间来评价他们在中的表现.老师了全班50名学生在这次中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅没有完整的统计图（如图）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次中学生做家务时间的中位数所在的组是____________；（2）补全频数分布直方图；（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗．请用适当的统计知识说明理由．【正确答案】（1）C组；（2）作图见解析；（3）符合，理由见解析【分析】（1）可根据中位数的概念求值；（2）根据（1）的计算结果补全统计图即可；（3）根据中位数的意义判断．【详解】解：（1）C组的人数是：50×40%=20（人），B 组的人数是：50-3-20-10-2=15（人），把这组数据按从小到大排列为，由于共有50个数，第25、26位都落在1.5≤x ＜2范围内，则中位数落在C 组；故答案为C 组；（2）根据（1）得出的数据补图如下：（3）符合实际．设中位数为m ，根据题意，m 的取值范围是1.5≤m ＜2，∵小明帮父母做家务的时间大于中位数，∴他帮父母做家务的时间比班级中一半以上的同学多．22.已知B 港口位于A 观测点的东向，且其到A 观测点正向的距离BD 的长为16千米，一艘货轮从B 港口以48千米/时的速度沿如图所示的BC 方向航行，15分后到达C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东75 方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长（大0.1千米）1.41≈ 1.73≈2.24≈ 2.45≈）【正确答案】此时货轮与A 观测点之间的距离AC 约为15.7km．【详解】试题分析：根据在Rt △ADB 中，sin ∠DAB=DB AB ，得出AB 的长，进而得出tan ∠BAH=BH AH，求出BH 的长，即可得出AH 以及CH 的长，进而得出答案．试题解析：BC=48×1560=12，在Rt△ADB中，sin∠DAB=DBAB＝22，∴22=，如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC-∠DAB=75°-45°=30°，tan∠BAH=BHAH=33，∴，BH2+AH2=AB2，BH2+）2=（）2，∴，∴，在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴CH=4，∴AC=AH-CH=8-4≈15.7km，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为15.7km．23.某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图所示．（1）第20天的总用水量为多少米3？（2）当x≥20时，求y与x之间的函数关系式；（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？【正确答案】（1）1000；（2）y=300x﹣5000；（3）40【分析】根据题意得出第20天的总用水量；y与x的函数关系式为分段函数，则需要分两段分别求出函数解析式；将y=7000代入函数解析式求出x的值．【详解】（1）第20天的总用水量为1000米3当0＜x＜20时，设y=mx∵函数图象点（20，1000），（30，4000）∴m=50y与x之间的函数关系式为：y=50x当x≥20时，设y=kx+b∵函数图象点（20，1000），（30，4000）∴100020400030k bk b=+⎧⎨=+⎩解得k300b5000=⎧⎨=-⎩∴y与x之间的函数关系式为：y=300x﹣5000（3）当y=7000时，有7000=300x﹣5000，解得x=40考点：函数的性质24.如图，已知正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F.求证：DE=DF.【正确答案】见解析【详解】试题分析：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G，则可知四边形AOGE是矩形，可证得EG=12BD=12E，所以∠EBD=30°，条件可求得∠BED=75°，∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，故∠DEF=∠DFE，即可得到DF=DE．试题解析：证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AE∥BD，∴四边形AOGE是矩形，∴EG=AO=12AC=12BD=12BE，∴∠EBD=30°，∵∠EBD=30°，BE=BD，∴∠BED=75°，∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，∴∠DEF=∠DFE，∴DF=DE．25.如图,⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，BD是⊙O的直径，PA∥BC，与DB的延长线交于点P，连接AD．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AD的长．【正确答案】（1）见解析；（2）【详解】试题分析：（1）连接OA交BC于点E，根据垂径定理的推论求得OA⊥BC，然后根据平行线的性质证得∠PAO=90°，即可证得结论．（2）根据勾股定理求得AE，得出tan∠C=12AECE＝，根据∠D=∠C，得出tan∠D=12ABAD=，从而求得AD的长．试题解析：（1）证明：连接OA交BC于点E，如图所示：由AB=AC可得OA⊥BC，∵PA∥BC，∴∠PAO=∠BEO=90°．∵OA为⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线．（2）解：根据（1）可得CE=12BC=2．Rt△ACE中，AE1，∴tan∠C=12 AE CE＝∵BD是直径，∴∠BAD=90°，又∵∠D=∠C，∴tan∠D=12 ABAD=，∴AD=2运用了切线的判定、勾股定理、正切函数等；半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．26.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4．点D是线段BC上的一个动点．点D与点B、C没有重合，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点．（1）设∠BAC=α（如图①），求∠AEF的大小；（用含α的代数式表示）（2）当点F与点C重合时（如图②），求线段DE的长度；（3）设BD=x，△EDF与△ABC重叠部分的面积为S，试求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【正确答案】（1）1800-2α．（2）1；（3）S=221024{34424 4x xx x x≤-+-（＜）（＜＜）【详解】试题分析：（1）首先在Rt△ABC中，判断出∠ABC=90°-∠BAC=90°-α；然后根据翻折的性质，可得∠EFB=∠EBF；根据三角形外角的性质，可得∠AEF=∠EFB+∠EBF，据此解答即可．（2）当点F与点C重合时，BD=CD时，判断出AC∥ED，即可判断出AE=BE；然后根据三角形中位线定理，求出线段DE的长度是多少即可．（3）根据题意，分两种情况：①当点F在AC的右侧时，即0＜x≤2时；②当点F在AC的左侧时，即2＜x＜4时；然后分类讨论，求出S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围即可．试题解析：（1）如图①，，在Rt△ABC中，∠ABC=90°-∠BAC=90°-α，∵将△ABC沿着直线DE翻折，使点B落在直线BC上的F点，∴∠EFB=∠EBF，∴∠AEF=∠EFB+∠EBF=2∠EBF=2（900-∠BAC）=1800-2α．（2）如图②，，当点F 与点C 重合时，BD=CD 时，∵ED ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴AC ∥ED ，∴AE=BE ，∴DE=12AC=12×2=1．（3）当点F 与点C 重合时，BD=CD=12BC=12×4=2．①如图③，，当点F 在AC 的右侧时，即0＜x≤2时，重叠部分是△EDF ．∵AC ∥ED ，∴△ABC ∽△EDB ，∴ED BDAC BC =，即24ED x=，∴ED=12x ，∴S △EDF =12×ED×DF=12×12x ×x=14x 2，（0＜x≤2）．②如图④，，当点F 在AC 的左侧时，即2＜x ＜4时，设EF 与AC 相交于点M ，则重叠部分是四边形EDCM ．∴FC=FD-CD=x-（4-x ）=2x-4∵∠ACB=∠MCF=90°，∠EFB=∠EBF ，∴△ABC ∽△MFC ，∴MC FCAC BC =，即2424MC x -=，∴MC=x-2，∴S 四边形EDCF =S △EDF -S △EDF =12×x×12x -12×（x-2）×（2x-4）=-34x 2+4x-4，（2＜x ＜4）．综上，可得S=221024{344244x x x x x ≤-+-（＜）（＜＜）考点：函数综合题．2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题（二模）一、（本大题共10小题，每小题3分，共30分）以下各题后面给出的4个选项中，只有1项符合题目要求，请将其选出用2B 铅笔涂抹答题卡对应题目的标号．多选、没有选、错选均没有给分．1.2018的相反数（）A.2018B.-2018C.|-2018|D.12018-2.将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2没有一定互补的是（）A. B. C. D.3.已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在160165cm ～区间的有8名学生，那么这个小组的人数占全体的()A.10%B.15%C.20%D.25%4.下列变形中没有正确的是()A.若a>b ，则ac 2>bc 2(c 为有理数)B.由a b ->-得b a >C.由a b >得b a< D.由12x y -<得2x y >-5.二次函数y ＝2x 2﹣8x +m 满足以下条件：当﹣2＜x ＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当6＜x ＜7时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（）A.8B.﹣10C.﹣42D.﹣246.当A 为锐角，且12＜cos ∠A ＜2时，∠A 的范围是（）A.0°＜∠A ＜30°B.30°＜∠A ＜60°C.60°＜∠A ＜90°D.30°＜∠A＜45°7.八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数没有到8棵若设同学人数为x 人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是()A.()7x 99x 10+-->B.()7x 99x 18+--<C .()()7x 99x 107x 99x 18⎧+--≥⎪⎨+--<⎪⎩ D.()()7x 99x 107x 99x 18⎧+--≥⎪⎨+--≤⎪⎩8.如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是()A.﹣4＜P ＜0B.﹣4＜P ＜﹣2C.﹣2＜P ＜0D.﹣1＜P ＜09.如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x(k>0，x>0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k>0，x>0)交于点B ，若OA ＝3BC ，则k 的值为()A.3B.6C.94D.9210.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 分别交l1，l2，l3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l1，l2，l3于点D 、E 、F ，AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF=（）A.35 B.2 C.25 D.12二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.17-的倒数是_____________．12.当x=2的值是_________．13.某学生7门学科考试成绩的平均分是80分，其中=门学科都考了78分，则另外4门学科成绩的平均分是_____________.14.如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是 CD 上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____．15.已知，如图，半径为1的⊙M直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为(，0)，⊙M的切线OC与直线AB交于点C.则∠ACO＝________.16.如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数kyx=的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，点E在CD上，CD＝5，△ABE的面积为10，则点E的坐标是_____．三、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）17.计算：0112(2018)2sin 60(3π---++︒+18.若没有等式x a 3x 24x 1>⎧⎨+<-⎩的解集是x ＞3，则a 的取值范围是_______．19.先化简，再求值：111)111a a a （-÷+--，其中1a =-．四、（本大题共3小题，每小题10分，共30分）20.如图，在Rt △ABC ，∠ACB =90°，AC =BC ，分别过A 、B 作直线的垂线，垂足分别为M 、N ．（1）求证：△AMC ≌△C ；（2）若AM =3，BN =5，求AB 的长．21.某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会，后，就的个主题进行了抽样（每位同学只选最关注的一个），根据结果绘制了两幅没有完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次的学生共有多少名；（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；（3）如果要在这个主题中任选两个进行，根据（2）中结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注至多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A 、B 、C 、D 、E ）．22.某商场用36万元购进A 、B 两种商品，完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B进价(元/件)12001000售价(元/件)13801200（注：获利＝售价－进价）(1)该商场购进A 、B 两种商品各多少件?(2)商场第二次以原进价购进A 、B 两种商品．购进B 种商品的件数没有变，而购进A 种商品的件数是次的2倍，A 种商品按原价出售，而B 种商品打折．若两种商品完毕，要使第二次经营获利没有少于81600元，B 种商品售价为每件多少元?五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23.如图，O 是△ABC 的内心，BO 的延长线和△ABC 的外接圆相交于D ，连接DC 、DA 、OA 、OC ，四边形OADC 为平行四边形．（1）求证：△BOC ≌△CDA （2）若AB =2，求阴影部分的面积．24.已知：关于x 的一元二次方程：()()2m 1x m 2x 10(m -+--=为实数)．()1若方程有两个没有相等的实数根，求m 的取值范围；()2若12是此方程的实数根，抛物线()()2y m 1x m 2x 1=-+--与x 轴交于A 、B ，抛物线的顶点为C ，求ABC 的面积．六、（本大题共2小题，25题12分，26题13分，共25分）25.如图，在△ABC 中，ABAC ，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平分线BM 交AE 于点M ，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．26.如图，抛物线y=–43x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A没有重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．2022-2023学年天津市红桥区中考数学专项提升仿真模拟试题（二模）一、（本大题共10小题，每小题3分，共30分）以下各题后面给出的4个选项中，只有1项符合题目要求，请将其选出用2B铅笔涂抹答题卡对应题目的标号．多选、没有选、错选均没有给分．1.2018的相反数（）A.2018B.-2018C.|-2018|D.1 2018【正确答案】B【详解】2018的相反数是-2018，故选B.2.将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2没有一定互补的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】A选项：∠1+∠2=360°－90°×2=180°；B选项：∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°；C选项：∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；D选项：∠1和∠2没有一定互补.故选D.点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系.～区间的有8名学生，那么3.已知某班有40名学生，将他们的身高分成4组，在160165cm这个小组的人数占全体的()A.10%B.15%C.20%D.25%【正确答案】C【分析】用这个小组的人数除以全班人数即可求得结果．÷=．【详解】根据题意得：84020%故选C．本题主要考查了有理数除法的应用，掌握理数除法法则是解题的关键．4.下列变形中没有正确的是()->-得b a>A.若a>b，则ac2>bc2(c为有理数)B.由a bC.由a b >得b a <D.由12x y -<得2x y >-【正确答案】A【详解】分析:根据没有等式的性质进行判断.详解:A 、当c 为0时,没有符合题意；B 、由a b ->-得b a >，正确；C 、由a b >得b a <,正确；D 、由12x y -<得2x y >-，正确；故选A.点睛:考查了没有等式的性质．要认真弄清没有等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在没有等式两边同乘以（或除以）同一个数时，没有仅要考虑这个数没有等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，没有等号的方向必须改变.5.二次函数y ＝2x 2﹣8x +m 满足以下条件：当﹣2＜x ＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当6＜x ＜7时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（）A.8B.﹣10C.﹣42D.﹣24【正确答案】D【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x 2=，通过顶点坐标位置特征求出m 的范围，将A 选项剔除后，将B 、C 、D 选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．【详解】 抛物线22y 2x 8x m 2(x 2)8m =-+=--+的对称轴为直线x 2=，而抛物线在2x 1-<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当6x 7<<时，它的图象位于x 轴的上方，m 0∴<，当m 10=-时，则2y 2x 8x 10=--，令y 0=，则22x 8x 100--=，解得1x 1=-，2x 5=，则有当2x 1-<<-时，它的图象位于x 轴的上方；当m 42=-时，则2y 2x 8x 42=--，。
天津河北区2020届高考数学总复习质量检测(二)(二模)试题(含答案)
河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．第Ⅰ卷（选择题 共45分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{1234}U =，，，，集合{13}A =，，{4}B =，则()U A B =I ð（A ）{2} （B ）{4}（C ）{24}， （D ）{134}，，（2）命题“000e 1x x x ∃∈>+R ，”的否定是（A ）e 1x x x ∀∈<+R ，（B ）000e1x x x ∃∈<+R ，（C ）e 1x x x ∀∈+R ，≤ （D ）000e 1xx x ∃∈+R ，≤（3）若复数12i2ia +-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a 的值为 （A ）16（B ）16-（C ）1 （D ）1-（4）袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中任取3个球，则恰有两种颜色的概率是（A ）35（B ）45（C ）720（D ）1320（5）某班同学进行社会实践，对[2555]，岁的人群随机抽取n 人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p ，a 的值分别为（A ）0.79，20 （B ）0.195，40（C ）0.65，60 （D ）0.975，80（6）已知双曲线2222:1(00)x y C a b ab-=>>，和直线:153x y l +=，若过双曲线C 的左焦点和点(0)b -，的直线与直线l 平行，则双曲线C 的离心率为（A ）54（B ）53（C ）43（D ）5（7）已知抛物线22(0)y px p >=的焦点为F ，准线为l ，直线()2p y k x =-交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，若等边AEF ∆的面积为363，则BEF ∆的面积为（A ）3 （B ）123 （C ）16 （D ）243（8）已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（A ）()f x 的最小正周期为2π （B ）()f x 的图象关于点π(0)12-，对称 （C ）()f x 的最大值为2 （D ）()f x 的图象关于直线π6x =对称（9）已知函数()ln ()f x x x m m =-+∈R ，若()f x 有两个零点1212()x x x x <，，则下列选项中不正确．．．的是 （A ）1m <- （B ）122x x +≤（C ）101x << （D ）1212ex x x x -=河北区2019－2020学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学第Ⅱ卷注意事项：1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。