2020-2021九年级数学上期中第一次模拟试卷附答案(2)
7．B
解析：B
【解析】 【分析】 【详解】 解：如图，连接 AP，∵BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BP′，∴BP=BP′，∠ABP+∠ ABP′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠ CBP′， 在△ABP 和△CBP′中，∵BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC， ∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP=P′C， ∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A，连接 PP′， 则△PBP′是等腰直角三角形，
2020-2021 九年级数学上期中第一次模拟试卷附答案(2)
一、选择题 1．如图是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分，图象过点 A（﹣3，0），对称轴为直
线 x=﹣1，给出四个结论：
①c＞0；
②若点
B（
3 2
，
y1
）、C（
5 2
，
y2
）为函数图象上的两点，则
y1
y2
；
③2a﹣b=0；
等级
成绩（s）
频数（人数）
A
90＜s≤100
4
B
80＜s≤90
x
C
70＜s≤80
16
D
s≤70
6
根据以上信息，解答以下问题：
（1）表中的 x=
；
（2）扇形统计图中 m=
，n=
，C 等级对应的扇形的圆心角为
度；
（3）该校准备从上述获得 A 等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，
已知这四人中有两名男生（用 a1，a2 表示）和两名女生（用 b1，b2 表示），请用列表或画 树状图的方法求恰好选取的是 a1 和 b1 的概率．
率是（ ）
A． 4 9
B． 1 3
C． 2 9
D． 1 9
10．如图，△ABC 绕点 A 旋转一定角度后得到△ADE，若 BC=4，AC=3，则下列说法正确的是
（）
A．DE=3
B．AE=4
C．∠ACB 是旋转角 D．∠CAE 是旋转角
11．100 个大小相同的球，用 1 至 100 编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概
6．C
解析：C 【解析】 【分析】 首先连接 OA，OB，由⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周 角定理，即可求得∠APB 的度数． 【详解】 连接 OA，OB， ∵⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆， ∴∠AOB=90°，
若点 P 在优弧 ADB 上，则∠APB= 1 ∠AOB=45°； 2
∴∠BP′P=45°，PP′= 2 PB，
∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°﹣45°=90°， ∴△APP′是直角三角形，
设 P′A=x，则 AP=3x，根据勾股定理，PP′= AP2 P ' A2 = (3x)2 x2 = 2 2 x， ∴PP′= 2 PB= 2 2 x，解得 PB=2x，∴P′A：PB=x：2x=1：2．
∵b=-2a， ∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0， ∴④4a+2b+c＜0 错误； ∵直线 y=kx+c 经过一、二、四象限， ∴k＜0． ∵OA=OD， ∴点 A 的坐标为（c，0）． 直线 y=kx+c 当 x=c 时，y＞0， ∴kc+c＞0 可得 k＞-1． ∴③-1＜k＜0 正确； ∵直线 y=kx+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象有两个交点， ∴ax2+bx+c=kx+c，
④ 4ac b2 ＜0，其中，正确结论的个数是（ ） 4a
A．1
B．2
C．3
D．4
2．抛物线 y=﹣（x+2）2﹣3 向右平移了 3 个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是
（）
A．（﹣5，﹣3） B．（﹣2，0） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
3．用配方法解一元二次方程 x2﹣6x﹣10＝0 时，下列变形正确的为( )
的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）
①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k．
A．①②③
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②③④⑤
9．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出
一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概
A．(x+3)2＝1
B．(x﹣3)2＝1
C．(x+3)2＝19
D．(x﹣3)2＝19
4．已知关于 x 的方程 m 1 xm21 2x 3 0 是一元二次方程，则 m 的值为（ ）
A．1
B．-1
C．
D．2
5．如图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵抛物线与 y 轴交于正半轴， ∴c＞0，①正确； ∵对称轴为直线 x=﹣1， ∴x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴y1＞y2②错误； ∵对称轴为直线 x=﹣1，
∴﹣ b =﹣1， 2a
则 2a﹣b=0，③正确； ∵抛物线的顶点在 x 轴的上方， ∴ 4ac b2 ＞0，④错误；
故选 B．
【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全
等三角形以及直角三角形，把 P′A、P′C 以及 P′B 长度的 2 倍转化到同一个直角三角形中
是解题的关键．
8．B
解析：B 【解析】 试题解析：∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵抛物线对称轴是 x=1， ∴b＜0 且 b=-2a． ∵抛物线与 y 轴交于正半轴， ∴c＞0． ∴①abc＞0 错误； ∵b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a＞0， ∴②3a+b＞0 正确；
15．一副三角板如图放置，将三角板 ADE 绕点 A 逆时针旋转 (0 90 ) ，使得三角 板 ADE 的一边所在的直线与 BC 垂直，则 的度数为______.
16．如图，从一个直径为 1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为 90°的扇形，再将剪下的扇 形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m．
135°，P′A∶P′C＝1∶3，则 P′A∶PB＝( )
A．1∶ 2
B．1∶2
C． 3 ∶2
D．1∶ 3
8．如图，直线 y=kx+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象都经过 y 轴上的 D 点，抛物线与 x 轴交
于 A、B 两点，其对称 轴为直线 x=1，且 OA=OD．直线 y=kx+c 与 x 轴交于点 C（点 C 在点 B
|3b＋2c|，则 P，Q 的大小关系是______．
14．如图，矩形 ABCD 对角线 AC、BD 交于点 O，边 AB=6，AD=8，四边形 OCED 为菱 形，若将菱形 OCED 绕点 O 旋转一周，旋转过程中 OE 与矩形 ABCD 的边的交点始终为 M，则线段 ME 的长度可取的整数值为___________________．
故选 D．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的定义得出 m-1≠0，m2+1=2，求出 m 的值即可． 【详解】
∵关于 x 的方程 m 1 xm21 2x 3 0 是一元二次方程，
∴m2+1=2 且 m-1≠0， 解得：m=-1， 故选：B． 【点睛】
本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未 知数，③所含未知数的项的最高次数是 2，且二次项系数不为 0．
得 x1=0，x2= k b a
由图象知 x2＞1，
∴ k b ＞1 a
∴k＞a+b， ∴⑤a+b＜k 正确， 即正确命题的是②③⑤． 故选：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不 变，横坐标加 3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。故选 D
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】
方程移项得： x2 6x 10， 配方得： x2 6x 9 19 ， 即 (x 3)2 19 ，
率是 （ ）
A． 1 20
B． 19 100
C． 1 4
D．以上都不对
12．如图，弦 AB 的长等于⊙O 的半径，点 C 在弧 AMB 上，则∠C 的度数是（ ）
A．30º
B．35º
C．25º
D．60º
二、填空题
13．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 11 所示，且 P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正方形的边长为 3，可得弧 BD 的弧长为 6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形 DAB= 1 lr ， 2
计算即可． 【详解】 解：∵正方形的边长为 3， ∴弧 BD 的弧长=6，
∴S 扇形 DAB= 1 lr = 1 ×6×3=9． 22
故选 D． 【点睛】 本题考查扇形面积的计算．
17．在一个不透明的口袋中装有 3 个红球，1 个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若 把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是 _________. 18．如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为 6，则这个正六边形的边心距 OM 的 长为__．
2020-2021学年山东省临沂市河东区九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年山东省临沂市河东区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．2．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝3．一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝2+2，x2＝2﹣2D．x1＝2，x2＝﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1cm B．2cm C．cm D．2cm5．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定6．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°7．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬物发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%8．从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点10．知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD11．将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x﹣4）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x+1）2+5 12．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（）A．B．C．4D．513．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A．a≥﹣2B．a＜3C．﹣2≤a＜3D．﹣2≤a≤3 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c ﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分）15．点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是．16．用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径是．17．如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置，恰好使得DC∥AB，则∠CAB的大小为．18．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）19．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝．三、解答题（本大题共7小题，共63分）20．（8分）①x2﹣4x﹣3＝0；②（x+3）2＝﹣2（x+3）．21．（6分）A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是；（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．22．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为；（3）在（2）中的旋转过程中，求出线段OA扫过的图形的面积．23．（9分）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．求证：（1）BE＝CE；（2）EF为⊙O的切线．24．（11分）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：每千克售价x（元）…253035…日销售量y（千克）…11010090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（11分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．2020-2021学年山东省临沂市河东区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列交通标志是中心对称图形的为（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．【解答】解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D、不是中心对称的图形，不合题意．故选：C．2．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x﹣）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x﹣）2＝【分析】化二次项系数为1后，把常数项﹣右移，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣x＝，x2﹣x+＝+，（x﹣）2＝，故选：A．3．一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2C．x1＝2+2，x2＝2﹣2D．x1＝2，x2＝﹣2【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，移项得：x2﹣4x＝8，配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，开方得：x﹣2＝±2，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2．故选：B．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB边上，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1cm B．2cm C．cm D．2cm【分析】由直角三角形的性质得到AB＝2AC＝2，然后根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质得到AB′＝BB′．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1cm，∴AC＝AB，则AB＝2AC＝2cm．又由旋转的性质知，AC′＝AC＝AB，B′C′⊥AB，∴B′C′是△ABB′的中垂线，∴AB′＝BB′．根据旋转的性质知AB＝AB′＝BB′＝2cm．故选：B．5．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57°B．52°C．38°D．26°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由∠ABC＝38°，即可求得∠A的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝52°，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故选：B．7．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬物发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）A．20%B．30%C．40%D．50%【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年全年新增5G用户2（1+x）万户，2021年全年新增5G用户2（1+x）2万户，根据计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年全年新增5G用户2（1+x）万户，2021年全年新增5G用户2（1+x）2万户，依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．故选：C．8．从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出恰好抽到马鸣和杨豪的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能情况数，其中恰好抽到马鸣和杨豪的有2种，则恰好抽到马鸣和杨豪的概率是＝；故选：C．9．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y 随x的增大而增大，令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，∴抛物线与x轴有两个交点．故选：C．10．知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD【分析】利用作法得到MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝＝，则可对A选项进行判断；当OM＝MN时，△MON为等边三角形，则可对B选项进行判断；作半径OE⊥CD，如图，利用垂径定理得到＝，＝，所以OE⊥MN，则可对C选项进行判断；利用两点之间线段最短可对D选项进行判断．【解答】解：由作法得MC＝CD＝DN，OM＝ON＝OC＝OD，∴＝＝，∴∠COM＝∠COD＝∠DON，所以A选项的结论正确；当OM＝MN，而OM＝ON，∴此时△MON为等边三角形，∴∠MON＝60°，∴∠AOB＝∠MON＝20°，所以B选项的结论正确；作半径OE⊥CD，如图，则＝，∴＝，∴OE⊥MN，∴MN∥CD，所以C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，∴3CD＞MN，所以D选项错误．故选：D．11．将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x﹣4）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x+1）2+5【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的顶点坐标是（1，2），∴将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x﹣1+2）2+2+3＝（x+1）2+5．故选：D．12．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（）A．B．C．4D．5【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，由正方形和圆的性质求得OE＝OF＝AB，结合正三角形的外接圆的性质得到OE＝OF＝2，由此得到关于AB的方程AB＝2，易得AB＝4．【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴AC是直径，AC＝AB，∴OE＝OF＝AB．∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，∴OE＝OF＝×2×＝2，∴AB＝2，∴AB＝4．即⊙O的内接正方形ABCD的边长为4．故选：C．13．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A．a≥﹣2B．a＜3C．﹣2≤a＜3D．﹣2≤a≤3【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0解得：a≥﹣2；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，∴a≤3，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．故选：D．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c ﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②抛物线的对称轴为x＝1，∴（﹣1，y）关于直线x＝1的对称点为（3，y），（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c）∴x＝2，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；③抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由对称轴可知：＝1，∴2a+b＝0，故④错误；⑤由图象可知：y＝3时，此时ax2+bx+c＝3只有一解x＝1，∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相同的根，故⑤正确；故选：C．二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分）15．点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是（﹣2，﹣1）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：∵点A（2，1）与点B关于原点对称，∴点B的坐标是（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．16．用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径是3．【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝3，即这个圆锥的底面圆半径是3．故答案为3．17．如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置，恰好使得DC∥AB，则∠CAB的大小为70°．【分析】根据旋转的性质得到AC＝AD，∠CAD＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠ADC＝70°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置，∴AC＝AD，∠CAD＝40°，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∵DC∥AB，∴∠CAB＝∠ACD＝70°，故答案为：70°．18．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．19．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝﹣1．【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1＝A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共7小题，共63分）20．（8分）①x2﹣4x﹣3＝0；②（x+3）2＝﹣2（x+3）．【分析】①利用配方法求解即可；②利用因式分解法求解即可．【解答】解：①∵x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝4﹣3，即（x﹣2）2＝1，则x﹣2＝±1，∴x1＝3，x2＝1；②∵（x+3）2+2（x+3）＝0，∴（x+3）（x+5）＝0，则x+3＝0或x+5＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣5．21．（6分）A，B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒里三张卡片上分别标有数字1，2，3，B盒里三张卡片上分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是；（2）从A盒，B盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率．【分析】（1）由概率公式即可得出结果；（2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的情况，再由概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率为；故答案为：；（2）画树状图得：共有9种等可能的结果，抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的有3种情况，∴两次抽取的卡片上数字之和大于7的概率为＝．22．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为（1，0）；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为（﹣2，3）；（3）在（2）中的旋转过程中，求出线段OA扫过的图形的面积．【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、O1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2即可；（3）先利用勾股定理计算出OA，然后根据扇形的面积公式计算．【解答】解：（1）如图，△A1O1B1为所作，点B1的坐标为（1，0）；（2）如图，△A2OB2为所作，点A2的坐标为（﹣2，3）；故答案为（1，0）；（﹣2，3）；（3）如图，OA＝＝，而∠AOA2＝90°，所以线段OA扫过的图形的面积＝＝π．23．（9分）如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．求证：（1）BE＝CE；（2）EF为⊙O的切线．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EAM＝∠EBC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EAM＝∠EBC，∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE；（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC，∴EH⊥BC，∴EH⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．24．（11分）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：每千克售价x（元）…253035…日销售量y（千克）…11010090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“日销售利润＝每千克利润×日销售量”可得函数解析式，根据获得1000的日销售利润列方程解出即可；（3）将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．【解答】解：（1）设y＝kx+b，将（25，110）、（30，100）代入，得：，解得：，∴y＝﹣2x+160；（2）由题意得：（x﹣20）（﹣2x+160）＝1000，即﹣2x2+200x﹣3200＝1000，解得：x＝30或70，又∵每千克售价不低于成本，且不高于40元，即20≤x≤40，答：该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．（3）设超市日销售利润为w元，w＝（x﹣20）（﹣2x+160），＝﹣2x2+200x﹣3200，＝﹣2（x﹣50）2+1800，∵﹣2＜0，∴当20≤x≤40时，w随x的增大而增大，∴当x＝40时，w取得最大值为：w＝﹣2（40﹣50）2+1800＝1600，答：当每千克樱桃的售价定为40元时日销售利润最大，最大利润是1600元．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝时函数有最小值﹣，进而求得它们的差；（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根据题意得到4﹣m＞3，解得m＜1．【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝时函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴y的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．26．（11分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为BC＝DC+EC；探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．【分析】问题：证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；探索：连接CE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可．【解答】解：问题：BC＝DC+EC，理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，故答案为：BC＝DC+EC；探索：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又∵AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2．。
2020-2021学年上海市松江区九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6 2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2 6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A．S2＝2S1B．S1＝S3C．S2＝2S4D．S3＝2S4二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若＝＝≠0，则＝．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是千米．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是cm．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝cm．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．2020-2021学年上海市松江区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列各组线段中，能组成比例线段的（）A．2，3，4，5B．2，3，4，6C．2，3，5，7D．3，4，5，6【分析】判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【解答】解：A、2×5≠3×4，不成比例；B、2×6＝3×4，成比例；C、2×7≠3×5，不成比例；D、3×6≠4×5，不成比例；故选：B．2．下列图形中一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个正方形【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、两个等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B、两个菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C、两个直角三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；D、两个正方形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么下列各式中正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理得，AB＝＝13，则tan A＝＝，A选项计算正确；cot A＝＝，B选项计算错误；sin A＝＝，C选项计算错误；cos A＝＝，D选项计算错误；故选：A．4．已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】若使DE∥BC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥BC．【解答】解：如图，若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，即＝，＝，＝，故B选项答案错误；故选：B．5．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．＝2B．∥，∥C．||＝||D．＝，＝2【分析】根据平行向量的判定一一判断即可；【解答】解：A、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；B、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意；C、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意；D、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意；故选：C．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC与BD相交于点O，把△ABO、△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确（）．A ．S 2＝2S 1B ．S 1＝S 3C ．S 2＝2S 4D ．S 3＝2S 4 【分析】由AD ∥BC ，推出△AOD ∽△COB ，推出＝＝＝，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：∵AD ∥BC ， ∴△AOD ∽△COB ， ∴＝＝＝，∴S △BOC ＝2S △AOB ＝2S △ODC ，S △DOC ＝2S △AOD ，＝（）2＝，∴选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．若＝＝≠0，则＝．【分析】设＝＝＝k ≠0，得出x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【解答】解：设＝＝＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝5k ，z ＝4k ， 则＝＝；故答案为：．8．在比例尺为1：1000000的地图上，量得两地间的距离为3厘米，那么两地间的实际距离是 30 千米．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，可知实际距离＝图上距离÷比例尺． 【解答】解：根据题意，3÷＝3000 000厘米＝30千米．即实际距离是30千米． 故答案为：30．9．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是12．【分析】根据相似三角形的性质得到两相似三角形的面积比是4：9，根据题意列式计算即可．【解答】解：∵两相似三角形的对应中线的比是2：3，∴两相似三角形的相似比是2：3，∴两相似三角形的面积比是4：9，∵较大的三角形的面积为27，∴较小的三角形的面积为：27×＝12，故答案为：12．10．如果线段a＝4cm，b＝9cm，那么它们的比例中项是6cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故答案为：6．11．已知点M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），如果AB＝6cm，那么AM＝（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割点的定义，知AM是较长线段；则AM＝AB，代入数据即可得出AM的长．【解答】解：∵M是线段AB的黄金分割点（AM＞MB），AB＝6cm，∴AM＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，故答案为：（3﹣3）．12．如图，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝4．【分析】如图，连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝2GP，则AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，结合BC＝6可求EF的长度．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．∵G为△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF过点G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3，又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∵BC＝6，∴EF＝4．13．如图，梯形ABCD中，点E、F分别在AB、DC边上，AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，若FC＝2.5，则FD＝5．【分析】根据AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，可得出FC：FD＝1：2，再根据FC＝2.5，即可得出FD的长度．【解答】解：∵AD∥BC∥EF，BE：EA＝1：2，∴FC：FD＝1：2，∵FC＝2.5，∴FD＝5．故答案为5．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，AD＝2，则BD＝4．【分析】由DE∥BC可判定△ADE∽△ABC，从而可得比例式，结合DE：BC＝1：3，可求得AB的值，最后根据BD＝AB﹣AD计算即可．【解答】解：依题意画出图形，如图：在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵DE：BC＝1：3，∴＝，∵AD＝2，∴AB＝6，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4．故答案为：4．15．在平面直角坐标系xOy中有一点A（3，4），如果OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα＝．【分析】根据勾股定理和A（3，4），可得OA的长，根据OA与x轴正半轴的夹角为α，可得sinα的值．【解答】解：∵A（3，4），∴OA＝＝5，∴sinα＝．故答案为：．16．如图，已知在△ABC中，∠ABD＝∠C，AD＝9，CD＝7，那么AB＝12．【分析】首先由在△ABC中，∠ABD＝∠C，可以证明△ABD∽△ACB，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABD＝∠C，而∠A公共，∴△ABD∽△ACB，∴AB2＝AD•AC，而AD＝9，CD＝7，∴AC＝16，∴AB＝12．17．如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，BF和AC交于点E．如果＝，＝，如果用、表示，那么＝（+）．【分析】根据平行四边形的性质和平行线截线段成比例求得AE线段的长度，结合平行四边形法则求得即可．【解答】解：∵点F是CD的中点，∴FC＝DC．又∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，CD＝AB，∴＝，即＝＝，∴AE＝AC．∵＝，＝，∴＝+＝+，∴＝＝（+），故答案是：（+）．18．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，联结AC′．若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M ＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，'＝BC'•DH＝BD•CM，∵S△BDC∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴点D到BC的距离为．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．20．（10分）如图，已知两个不平行的向量、，先化简，再求作．2（2﹣）﹣3（+）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【分析】根据平面向量的加法法则计算即可，利用三角形法则画出图形即可．【解答】解：2（2﹣）﹣3（+）＝4﹣2﹣3﹣＝﹣3．如图，即为所求．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．【分析】（1）根据题意作AD⊥BC于点D，然后根据题目中的条件可以求得AD的长，从而可以求得△ABC的面积；（2）根据题意和（1）中的条件可以求得CD和AC的，从而可以求得∠C的余弦值．【解答】解：（1）作AD⊥BC于点D，∵在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，∴∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝3，∴AD＝3，∴△ABC的面积是：；（2）由（1）知∠ADC＝90°，BD＝3，AD＝3，∵BC＝8，∴CD＝5，∴AC＝2，∴cos∠C＝．22．（10分）△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，如图将它加工成正方形零件，试说明哪种方法利用率高？（得到的正方形的面积较大）【分析】由勾股定理求得AB，所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝CD＝x，BD＝BC﹣CD＝6﹣x，先证明△BDE∽△BCA，于是可利用相似比求得x＝cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH ⊥AB于H，交MQ于J，先利用面积法计算出CH＝cm，设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，证明△CMQ∽△CBA，则可利用相似比计算出x＝cm，然后比较两个正方形的边长的大小来判断哪种方法利用率高．【解答】解：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则DE＝xcm，BD＝BC﹣CD＝（6﹣x）cm，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为cm；当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CH⊥AB于H，交MQ于J，则MN∥CH，AB＝＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC∴CH＝＝（cm），设正方形MNPQ边长为x，则QM＝x，BJ＝﹣x，∵QM∥AB，∴△CMQ∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝（cm），即正方形BDEF边长为（cm）；∵＝＞，∴图1利用率高．23．（12分）已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【分析】（1）由“有两个角分别相等的三角形相似“来判定即可；（2）由△ABF∽△ACE可得比例式＝，再结合夹角相等，可判定△EAF∽△CAB，从而可得＝①，∠AEF＝∠ACB；然后结合角平分线的定义可得∠EAM＝∠CAN，则可判定△EAM∽△CAN，进而得出比例式＝②，由①②可得结论．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．24．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE 至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF（1）求证：＝；（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．【分析】（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及DE＝EF即可证得；（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得＝，∠FCE＝∠CBF，然后根据平行线的性质证明∠FEG＝∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则＝＝，即可证得＝，则所证结论即可得到．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴＝，＝，又∵DE＝EF，∴＝，∴＝；（2）∵CF2＝FG•FB，∴＝，又∵∠CFG＝∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴＝，∠FCE＝∠CBF，又∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠CBF，∴∠FCE＝∠EFG，又∵∠FEG＝∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴＝＝，∴＝，即CG•CE＝BC•DE．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝，点D为BC边上的动点（点D 不与点B、C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E．（1）如图2，当ED∥AB时，求AE的长；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△ADE是等腰三角形时，直接写出线段BD的长．【分析】（1）证明△ABD为等腰直角三角形，求出BD＝，利用DE∥BA，则，即，即可求解；（2）证明△ABD∽△DCE，则，即可求解；（3）分AD＝DE、AD＝DE、AE＝DE三种情况，利用解直角三角形的方法和三角形相似，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，故点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ABH中，设tan B＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，则AH＝AB sinα＝20×＝12，BH＝16，则BC＝2BH＝32，∵ED∥AB，则∠ADE＝∠BAD＝∠B＝α，则△ABD为等腰三角形，在△ABD中，过点D作DM⊥AB于点M，则MD＝BD sin B，BM＝BD cos B＝AB，即BD＝AB＝×20，解得BD＝，∵DE∥BA，则，即，解得：AE＝；（2）如图2，在△ABD中，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠BAD+∠B，∵∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠BAD，∴△ABD∽△DCE，则，其中，AB＝20，CD＝32﹣x，BD＝x，CE＝20﹣y，故，化简得：y＝x2﹣x+20（0＜x＜32）；（3）①当AD＝DE时，此时点B、D重合，不符合题意；②当AD＝DE时，由（2）知则＝1，即＝1，解得x＝12，即BD＝12；③当AE＝DE时，∵AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝∠C，故△ADC为等腰三角形，则AD＝CD＝32﹣x，在△ABD中，BD＝x，AD＝32﹣x，如图1，则AH＝12，AH＝16，在△ADH中，AD＝32﹣x，DH＝16﹣x，AH＝12，由勾股定理得：（32﹣x）2＝（16﹣x）2+122，解得x＝19.5；综上，BD的长度为12或19.5．。
2020-2021学年四川省成都市武侯区石室佳兴外国语学校九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年四川省成都市武侯区石室佳兴外国语学校九年级（上）期中数学试卷A卷（100分）一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（）A．x3﹣2＝x2B．2x2+x+1＝0C．3x+2＝0D．2．（3分）如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．154．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为（）A．2B．3C．4D．55．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，若y1＜y2＜0，则下列结论正确的是（）A．x1＜x2＜0B．x2＜x1＜0C．0＜x1＜x2D．0＜x2＜x1 6．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝47047．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D 9．（3分）小明每天上学按一固定路线骑自行车从家到学校，骑自行车的平均速度y（km/h ）和骑车时间x（h）之间的函数图象是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（）A．15B．12C．9D．6二．填空题（共4小题，每题4分，共16分）11．（4分）已知，4m＝7n（mn≠0），则＝．12．（4分）已知x＝1是方程x2+ax+3＝0的一个根，则a的值为．13．（4分）如图，已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k＝．14．（4分）如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝6，BP＝4，则AC的长为．三．解答题（共6小题，共54分）15．（12分）解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0；（2）x2+x﹣3＝0；（3）（x﹣3）2＝5（x﹣3）．16．（6分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．17．（8分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．（1）本次共调查了名员工，条形统计图中m＝；（2）若该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率．18．（8分）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹竿竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，小明到竹竿的距离DF＝2m，竹竿到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度．19．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y1＝的图象上．一次函数y2＝x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OA和OB，求△OAB的面积；（3）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．20．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，（1）求证：CH＝BE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，求的值．B卷（50分）一.填空题（共5小题，每题4分，共20分）21．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为．22．（4分）点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝cm．23．（4分）从数﹣3，，0，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b．若k＝a+b，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限的概率是．24．（4分）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2．连接AI，交FG于点G，则QI＝．25．（4分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边上一点，且满足AM＝2DM，点N为AB边上任意一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C．则线段A′C长度的最小值是．二.解答题（共3小题，共30分，26题8分，27题10分，28题12分）26．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB中点，DC⊥CE，交BA延长线于点D，（1）求证：△DAC∽△DCB；（2）当时，求的值；（3）在（2）的条件下，作∠CDB的角平分线，与BC交点F，若DF＝2，求DE的长．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y 轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m＝4，n＝20时，①点B的坐标为，点D的坐标为，BD的长为．②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．2020-2021学年四川省成都市武侯区石室佳兴外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析A卷（100分）一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程属于一元二次方程的是（）A．x3﹣2＝x2B．2x2+x+1＝0C．3x+2＝0D．【解答】解：A、该方程属于一元三次方程，故本选项不符合题意．B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．C、该方程属于一元一次方程，故本选项不符合题意．D、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．故选：B．2．（3分）如图，该几何体是由5个相同的小正方体搭成的，则这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形．故选：A．3．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．15【解答】解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：＝0.25，解得x＝5，∴袋子中红球的个数最有可能是5个，故选：A．4．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，∴EF＝＝4，故选：C．5．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，若y1＜y2＜0，则下列结论正确的是（）A．x1＜x2＜0B．x2＜x1＜0C．0＜x1＜x2D．0＜x2＜x1【解答】解：∵﹣3＜0，∴图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵y1＜y2＜0，∴图象在第四象限，∴0＜x1＜x2，故选：C．6．（3分）如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704m2，则根据题意可列出方程（）A．5000﹣150x＝4704B．5000﹣150x﹣x2＝4704C．5000﹣150x+＝4704D．（100﹣x）（50﹣x）＝4704【解答】解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4704，故选：D．7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∴tan B＝＝，故选：C．8．（3分）如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D 【解答】解：A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形；D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；故选：C．9．（3分）小明每天上学按一固定路线骑自行车从家到学校，骑自行车的平均速度y（km/h ）和骑车时间x（h）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【解答】解：根据：路程s＝速度y×时间x．∴，x＞0，由于家到学校的路程不变，可以看作常量．因此速度与时间成反比例函数关系，而且是双曲线只在第一象限．故选：B．10．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，S＝3，则△ABC的面积为（）A．15B．12C．9D．6【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴△ABC≌△A1B1C1，BC∥B1C1，∴△OBC≌△OB1C1，∴＝＝，∴＝（）2，∵S＝3，∴△ABC的面积＝3×4＝12，故选：B．二．填空题（共4小题，每题4分，共16分）11．（4分）已知，4m＝7n（mn≠0），则＝．【解答】解：∵4m＝7n（mn≠0），∴＝．故答案为：．12．（4分）已知x＝1是方程x2+ax+3＝0的一个根，则a的值为﹣4．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+3＝0得1+a+3＝0，即a＝﹣4．故答案是：﹣4．13．（4分）如图，已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为1，则k＝﹣2．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得△AOB的面积等于|k|＝1，解得k＝±2，∵反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第二和第四象限，∴k＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（4分）如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝6，BP＝4，则AC的长为2．【解答】解：∵AP＝6，BP＝4，∴AB＝10，∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴，∴AC2＝6×10，∴AC＝2，故答案为：2．三．解答题（共6小题，共54分）15．（12分）解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0；（2）x2+x﹣3＝0；（3）（x﹣3）2＝5（x﹣3）．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣4＝0，x2﹣4x+4＝4+4，（x﹣2）2＝8，∴x﹣2＝±2，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）x2+x﹣3＝0，x2+x＝3，x2+x+＝3+，∴（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝，x2＝；（3）（x﹣3）2＝5（x﹣3），（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，∴x1＝3，x2＝8．16．（6分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围．【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，解得a＜2且a≠1．17．（8分）2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强．为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．（1）本次共调查了60名员工，条形统计图中m＝20；（2）若该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司内普及防护措施，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一男一女的概率．【解答】解：（1）本次调查的员工总人数为24÷40%＝60（名），条形统计图中m＝60﹣（12+24+4）＝20，故答案为：60，20；（2）估计不了解防护措施的人数为1000×＝200（名）；（3）用列表法表示所有可能出现的结果如下：女男1男2男3女女，男女，男女，男男1男，女男，男男，男男2男，女男，男男，男男3男，女男，男男，男由表格可知，从4名学生中，随机抽取2名学生，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有6种，所以恰好抽中一男一女的概率为．18．（8分）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹竿竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，小明到竹竿的距离DF＝2m，竹竿到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度．【解答】解：∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，∵小明眼睛离地面1.5m，竹竿顶端离地面2.4m，∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，∵CD∥AB，∴△EGC∽△EHA∵DF＝2mDB＝32m，∴，即＝，解得：AH＝15.3m，∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，答：古塔的高度是16.8m．19．（10分）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y1＝的图象上．一次函数y2＝x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OA和OB，求△OAB的面积；（3）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，5）是直线y＝x+b与反比例函数y＝的图象的一个交点，∴5＝2+b，k＝2×5＝10，∴b＝3，即k和b的值分别为10、3，故反比例函数和一次函数的解析式分别为y1＝和y2＝x+3；（2）解方程组，得，∴点B（﹣5，﹣2）．∵点C是直线y＝x+3与y轴的交点，∴点C（0，3），∴S△OAB＝S△OAC+S△OBC＝×3×2+×3×5＝，即△OAB的面积为；（3）观察函数图象可知，y1＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣5或0＜x＜2．20．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CH⊥BE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE，（1）求证：CH＝BE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE＝8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当的值为时，求的值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS），∴CH＝BE；（2）∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DH∥BC，∴，∴GC＝2GH，设GH＝x，则，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝；（3）当的值为时，则，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DH∥BC，∴，∴，＝，设S△DGH＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．B卷（50分）一.填空题（共5小题，每题4分，共20分）21．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为1．【解答】解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，所以，x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝6﹣5＝1，故答案为1．22．（4分）点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝（）cm．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC＝AB，而AB＝2cm，∴AC＝×2＝（﹣1）cm．故答案为（﹣1）．23．（4分）从数﹣3，，0，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b．若k＝a+b，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限的概率是．【解答】解：反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则k＞0，（1）当a＝﹣3时，b＝，0，2，则k＝a+b，均小于0，（2）a＝﹣时，b＝﹣3，0，2，k＝﹣，﹣，，即k＞0数值的个数为1个；（3）a＝0时，同理可得：即k＞0数值的个数为1个；（4）a＝2时，同理可得：即k＞0数值的个数为2个；故在k的12个数值中有4个大于0的，即概率为＝，故答案为：．24．（4分）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2．连接AI，交FG于点G，则QI＝．【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，如图，∵△ABC为等腰三角形，∴BM＝CM＝1，∴AM＝＝，∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，∴CE＝EG＝GI＝BC＝2，∠ACB＝∠FGE，∴MI＝7，在Rt△AMI中，AI＝＝8，∵∠ACB＝∠FGE，∴AC∥QG，∴＝＝，∴QI＝AI＝．故答案为．25．（4分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边上一点，且满足AM＝2DM，点N为AB边上任意一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C．则线段A′C长度的最小值是﹣2．【解答】解：在菱形ABCD中，AD＝3，∠A＝60°，∵AB∥CD，∴∠ADC＝120°，由折叠知，A'M＝AM，∵AM＝2DM，AD＝3，∴A'M＝AM＝2MD＝2，DM＝1，∴当点A'在CM上时，A'C的长度取得最小值，过点M作MH⊥CD于H，在Rt△MDH中，∠HDM＝60°，DM＝1，∴∠HMD＝30°，∴DH＝DM＝，∴MH＝DH＝，CH＝CD+DH＝3+＝，在Rt△CHM中，根据勾股定理，得CM＝＝＝＝，∴A'C＝CM﹣A'M＝﹣2．故答案为：﹣2．二.解答题（共3小题，共30分，26题8分，27题10分，28题12分）26．（8分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【解答】解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意，得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，化简，得：y2+4y﹣12＝0，解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB中点，DC⊥CE，交BA延长线于点D，（1）求证：△DAC∽△DCB；（2）当时，求的值；（3）在（2）的条件下，作∠CDB的角平分线，与BC交点F，若DF＝2，求DE的长．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，E为AB中点，∴AE＝BE＝CE，∴∠BCE＝∠B，∵DC⊥CE，∴∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠BCE，∴∠B＝∠DCA，且∠CDA＝∠CDB，∴△DAC∽△DCB（2）∵，∴设DC＝4a，CE＝3a，∴DE＝＝＝5a，∵AE＝BE＝CE＝3a，∴DB＝8a，∵△DAC∽△DCB∴＝（3）∵DF平分∠CDB，∴∠CDF＝∠BDF，且∠B＝∠DCG，∴△DGC∽△DFB，∴＝∴BF＝2CG，DG＝DF＝1，∴GF＝1∴∠CGF＝∠CDG+∠DCG，∠CFG＝∠FDB+∠B，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF，∵CG2+CF2＝GF2，∴CF＝，∴BF＝2CF＝，∴BC＝，∵，∴AC＝∵AC2+BC2＝AB2，∴+＝36a2，∴a＝∴DE＝5a＝28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y 轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m＝4，n＝20时，①点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），BD的长为4．②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．【解答】解：（1）①当x＝4时，y＝＝1，∴点B的坐标为（4，1）；当y＝2时，2＝，解得：x＝2，∴点A的坐标为（2，2）；当n＝20时，y＝，当x＝4时，y＝5，故点D（4，5），BD＝5﹣1＝4，故答案为（4，1）；（4，5）；4；②∵BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标为2，∴A（2，2），C（10，2）．∴AC＝8，∴四边形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×4＝16；③四边形ABCD为菱形，理由如下：由①得：点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），∵点P为线段BD的中点，∴点P的坐标为（4，3）．当y＝3时，3＝，解得：x＝，∴点A的坐标为（，3）；当y＝3时，3＝，解得：x＝，∴点C的坐标为（，3）．∴P A＝4﹣＝，PC＝﹣4＝，∴P A＝PC．∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形；（2）四边形ABCD能成为正方形．当四边形ABCD为正方形时，设P A＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0）．当x＝4时，y＝＝，∴点B的坐标为（4，），∴点A的坐标为（4﹣t，+t）．∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，∴点D的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，∴点D的坐标为（4，8﹣），∴4×（8﹣）＝n，整理，得：m+n＝32．即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n＝32．。
九年级(上)期中数学试卷 附答案
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）若代数式有意义，则x的取值范围是（）≤﹣≤B224．（2分）（2013•金湾区一模）已知⊙O的半径为3cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点5．（2分）如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径作弧MN．若∠1=∠2，AB=2，则弧MN的长为（）Bπl=（弧长为l==6．（2分）如图所示，AB、AC分别切⊙O于B、C两点，D是⊙O上一点，∠D=40°，则∠BAO=（）CAO=都对，二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）已知矩形长为cm，宽为cm，那么这个矩形对角线长为cm．．cm8．（3分）若方程（m+1）x2﹣mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠﹣1．9．（3分）（2011•上海）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=3，那么BC=6．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（﹣4，5）．AN=AB=411．（3分）如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=15°，∠C=10°，E、B、C在同一直线上，则旋转角度是25度．12．（3分）（2012•岳阳）圆锥底面半径为，母线长为2，它的侧面展开图的圆心角是90°．圆锥底面半径是，13．（3分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程为：100（1+x）2=121．14．（3分）（2011•济南）如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．为圆心、D=，利用解直角三角D=．D=为圆心、为圆心、为半三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）计算：．×÷=3÷=16．（5分）（2010•海安县一模）用配方法解方程：x2﹣4x+3=0．17．（5分）（2013•武汉模拟）解方程：x（2x﹣5）=4x﹣10．=18．（5分）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积．边长为cm边长为﹣=12四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）如图（1），正方形网格中有一个平行四边形．（1）把图（1）中的平行四边形分割成四个全等的四边形；（2）把（1）中所得的四个全等的四边形在图（2）中拼成一个轴对称图形，在图（3）中拼成一个中心对称图形，要求：所得图形与原图形不全等且各个顶点都落在格点上．20．（7分）当宽为3cm的刻度尺的一边与⊙O相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为多少cm？AB=4cmx=cm21．（7分）（2011•东莞）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），⊙P的半径为2，将⊙P沿x轴向右平移4个单位长度得⊙P1（1）画出⊙P1，并直接判断⊙P与⊙P1的位置关系；（2）设⊙P1与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为A、B．求劣弧与弦AB围成的图形的面积（结果保留π）再作差即可求得劣弧==与弦22．（7分）（2012•遵义）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O 于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．五、解答题（共2小题，满分16分）23．（8分）（2012•广元）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=3，∠ABE=60°．①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积．×=BE=，×；=S×××﹣24．（8分）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P 点为优弧CBA上一点（不与A、C重合）（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到弧CB的中点时，四边形OBPC是什么特殊的四边形，说明理由．OA=OB=OC=AB=2∠六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，连接D′E．（1）如图1，当∠BAC=120°，∠DAE=60°时，求证：DE=D′E；（2）如图2，当DE=D′E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．DAE=∠∠，DAE=∠DAE=26．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3cm，DC=15cm，BC=24cm．点P从A点出发，沿A→D→C方向以1cm/s的速度向终点C匀速运动，同时点Q从C点出发，沿C→B方向以2cm/s的速度向终点B匀速运动．在整个运动过程中，△APQ的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）当t=2（s），t=4（s），t=16（s）时，求S的值；（2）在整个运动过程中，求S与t的函数关系式；（3）试确定当t为何值时，△APQ的面积S=27cm2；（4）当点P在AD上，当t为何值时，△APQ是直角三角形．=15﹣﹣=159；，﹣，t=27＞﹣tt=＜t=t=时，。
2020-2021学年福建省泉州市厦门外国语学校石狮分校九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年福建省泉州市厦门外国语学校石狮分校九年级（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列各数中，化为最简二次根式后能与合并的是（）A．B．C．D．2．（4分）下面计算正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝3C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝3 4．（4分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（）A．2B．3C．4D．55．（4分）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．6．（4分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则由题意可列方程（）A．x（x﹣12）＝864B．x（x﹣12）＝864×2C．x（x+12）＝864D．x（x+12）＝864×27．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．58．（4分）化简+|x﹣2|结果为（）A．4﹣2x B．2x﹣4C．0D．49．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S：S△BDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）△CDEA．B．C．D．10．（4分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的为（）A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若，则＝．12．（4分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为．13．（4分）已知M是满足不等式﹣＜a＜的所有整数的和，N是满足不等式x≤的最大整数，则M+N的平方根为．14．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为．15．（4分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝．三.解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算下列各式的值：（1）；（2）．18．（8分）解方程：（1）（x+4）2＝5（x+4）；（2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2．19．（8分）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．20．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3），△ABC与△A1B1C1关于y轴对称．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；（2）求以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积．21．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．22．（10分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：＝＝＝7，＝＝＝7，不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．23．（10分）“对角线红茶馆”是一家网红茶店，但最近该店的招牌茶饮“对角线AB”的销量却不乐观．四月第一周该店只卖出30杯“对角线AB”，已知该茶饮每杯的成本为20元，卖价为40元；第二周，该店推出了一款新口味茶饮命名为”对角线CD”，“对角线CD ”每杯的成本为15元，卖价仍为40元，并且从第二周开始不再售卖“对角线AB ”．（1）若要使这两周卖这两款茶饮的总利润不低于2850元，则第二周至少应该卖出多少杯“对角线CD ”？（2）在实际制作过程中，“对角线CD ”按照（1）中杯数的最低数量进行制作，但由于材料、店面等因素的影响，每杯成本比15元多了a %（a ＞10），于是该店决定将售价也提高a %，附近的商户受到该店的启发，也纷纷推出了新品，在市场冲击下，“对角线红茶馆”有a %的“对角线CD ”变质而无法卖出，但第二周仍比第一周获利多1650元，求a 的值．24．（12分）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一根为2t ，因此ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，所以有b 2﹣ac ＝0；我们记“K ＝b 2﹣ac ”，即K ＝0时，方程ax 2+bx +c ＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是；（写出序号）①方程x 2﹣x ﹣2＝0；②x 2﹣6x +8＝0；（2）若关于的x 方程mx 2+（n ﹣2m ）x ﹣2n ＝0是倍根方程，求4m 2+5mn +n 2的值；（3）若A （m ，n ）在一次函数y ＝3x ﹣8的图象上，且关于x 的一元二次方程x 2﹣n＝0是倍根方程，求此倍根方程．25．（14分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝a ，D 是AB 边上一动点（点D 与A ，B 不重合），连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE ．（1）猜想线段DB 、BE 、DE 的数量关系，并说明理由；（2）M 、N 分别为线段AB 、DE 的中点，在D 的运动过程中，的值是否发生改变，若改变请说明理由，若不变求出的值；（3）求线段BF 的取值范围（用含a 的代数式表示）．2020-2021学年福建省泉州市厦门外国语学校石狮分校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列各数中，化为最简二次根式后能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．即可解答．【解答】解：因为＝3，＝2，＝，＝，所以能与合并的是，故选：B．【点评】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是掌握同类二次根式的定义．2．（4分）下面计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的性质对A、B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝5，所以A选项错误；B、原式＝5，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项正确；D、原式＝＝，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．（4分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝3C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝3【分析】把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方．【解答】解：把方程x2+2x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+2x＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+2x+1＝1+1，配方得（x+1）2＝2．故选：C．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（4分）如果4是方程x2﹣6x+k＝0的一个根，则方程的另一个根是（）A．2B．3C．4D．5【分析】把x＝4代入方程求出k，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣24+k＝0，解得：k＝8，即方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解一元一次方程的应用，主要考查学生的计算能力．5．（4分）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选：B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．6．（4分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则由题意可列方程（）A．x（x﹣12）＝864B．x（x﹣12）＝864×2C．x（x+12）＝864D．x（x+12）＝864×2【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12），再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），∴矩形的长为（x+12）（步）．依题意，得：x（x+12）＝864．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．8．（4分）化简+|x﹣2|结果为（）A．4﹣2x B．2x﹣4C．0D．4【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：由题意可得：2﹣x≥0，则x﹣2≤0，故原式＝2﹣x+2﹣x＝4﹣2x．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．9．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S：S△BDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）△CDEA．B．C．D．【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到＝，借助相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵S：S△CDE＝1：3，△BDE∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴＝，∴＝，故选：D．【点评】该命题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．10．（4分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的为（）A．①②③④B．①②③C．①③④D．②③④【分析】根据判别式，根与系数的关系，二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0，∴Δ＝4+4a，∴①当a＞﹣1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，解法二：构造图象法，令y1＝x2﹣2x，y2＝a，画出两个函数图象，利用图像法解决问题即可．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若，则＝．【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．【解答】解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．12．（4分）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为3．【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝2，ab＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得a+b＝2，ab＝﹣1，所以a+b﹣ab＝2﹣（﹣1）＝3．故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．13．（4分）已知M是满足不等式﹣＜a＜的所有整数的和，N是满足不等式x≤的最大整数，则M+N的平方根为±2．【分析】利用无理数的估算得到M＝2，N＝2，然后根据平方根的定义求解．【解答】解：∵满足不等式﹣＜a＜的所有整数为﹣1，0，1，2，∴M＝2，∵x≤的最大整数为2，即N＝2，∴M+N＝4，∴M+N的平方根为±2．故答案为±2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了无理数的估算．14．（4分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．【分析】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019得到x﹣1＝2019，从而可判断一元二次方程a（x ﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2019，则x﹣1＝2019，解得x＝2020，所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根为x＝2020．故答案是：x＝2020．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（4分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64cm．【分析】如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．求出CE，EF，DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．∵AB∥EF，AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE∥PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案为64．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝．【分析】先求出∠EFG＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出△AEF∽△AFC，即可得出结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF，∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°，∴∠BAD+∠ABE＝45°，∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，在Rt△EFG中，EF＝，∴FG＝EG＝1，∵AF＝4，∴AG＝AF﹣FG＝3，根据勾股定理得，AE＝＝，∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴CF是∠ACB的平分线，∴∠ACF＝45°＝∠AFE，∵∠CAF＝∠FAE，∴△AEF∽△AFC，∴，∴AC＝＝＝，故答案为．【点评】此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE 是解本题的关键．三.解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算下列各式的值：（1）；（2）．【分析】（1）利用二次根式的乘法法则和平方差公式计算；（2）根据二次根式的除法法则和绝对值的意义计算．【解答】解：（1）原式＝﹣（5﹣3）＝3﹣2＝1；（2）原式＝﹣+3﹣＝﹣+3﹣＝3﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）解方程：（1）（x+4）2＝5（x+4）；（2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2．【分析】（1）方程移项后用因式分解法解方程即可；（2）方程整理后运用公式法求解即可．【解答】解：（1）（x+4）2＝5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x﹣1）＝0，x+4＝0，x﹣1＝0，解得，x1＝﹣4，x2＝1；（2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2，整理得，3x2﹣17x+20＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝49＞0，∴，∴x1＝4，．【点评】本题考查的是解一元二次方程的因式分解法和公式法，熟知解一元二次方程的基本方法是解答此题的关键．19．（8分）如图，某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度CD，用长为1m的竹竿AB 作测量工具，移动竹竿，使竹竿影子的顶端、树影子的顶端落在水平地面上的同一点E，且点E，A，C在同一直线上．已知EA＝3m，AC＝9m，求这棵树的高度CD．【分析】直接利用已知得出△EAB∽△ECD，再利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EAB∽△ECD，∴，∵AB＝1，∴CD＝4．答：这棵树的高度CD为4m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．20．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，1），C（0，3），△ABC 与△A1B1C1关于y轴对称．（1）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；（2）求以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积．【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（2）利用梯形的面积公式计算．【解答】解：（1）如图，△A2B2C2为所作；（2）以B1、B2、A1、A2四个点为顶点构成的四边形的面积＝×（2+4）×3＝9．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．21．（8分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝a2+4，则可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到Δ＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得a≠0，∵Δ＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，而a2＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．22．（10分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：＝＝＝7，＝＝＝7，不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．【分析】（1）直接选择一组数据代入计算得出答案；（2）利用3个数据之间的关系进而计算得出答案．【解答】（1）解：答案不唯一，如：＝＝＝7；（2）证明：设中间那个数为n，则：∵＝＝＝＝7，∴＝7．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．23．（10分）“对角线红茶馆”是一家网红茶店，但最近该店的招牌茶饮“对角线AB”的销量却不乐观．四月第一周该店只卖出30杯“对角线AB”，已知该茶饮每杯的成本为20元，卖价为40元；第二周，该店推出了一款新口味茶饮命名为”对角线CD”，“对角线CD”每杯的成本为15元，卖价仍为40元，并且从第二周开始不再售卖“对角线AB”．（1）若要使这两周卖这两款茶饮的总利润不低于2850元，则第二周至少应该卖出多少杯“对角线CD”？（2）在实际制作过程中，“对角线CD”按照（1）中杯数的最低数量进行制作，但由于材料、店面等因素的影响，每杯成本比15元多了a%（a＞10），于是该店决定将售价也提高a%，附近的商户受到该店的启发，也纷纷推出了新品，在市场冲击下，“对角线红茶馆”有a%的“对角线CD”变质而无法卖出，但第二周仍比第一周获利多1650元，求a的值．【分析】（1）设第二周应该卖出x杯“对角线CD”，根据总利润＝每杯的利润×销售数量结合使这两周卖这两款茶饮的总利润不低于2850元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；（2）根据总利润＝销售总价﹣总成本结合第二周比第一周获利多1650元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设第二周应该卖出x杯“对角线CD”，依题意，得：（40﹣20）×30+（40﹣15）x≥2850，解得：x≥90．答：第二周至少应该卖出90杯“对角线CD”．（2）依题意，得：40（1+a%）×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90＝（40﹣20）×30+1650，整理，得：a2﹣25a＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2﹣ac＝0；我们记“K＝b2﹣ac”，即K＝0时，方程ax2+bx+c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是②；（写出序号）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2﹣n ＝0是倍根方程，求此倍根方程．【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；(2)根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2＝﹣得到m＝﹣n或m＝﹣n，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0；(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2﹣ac＝0，据此求解可得．【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x1＝﹣1，x2＝2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x1＝2，x2＝4，∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案为②；（2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣，∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，∴2＝﹣或4＝﹣，即m＝﹣n或m＝﹣n，∴m+n＝0或4m+n＝0；∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；（3）设其中一根为t，则另一个根为2t，则ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，∴b2﹣ac＝0，∵x2﹣n＝0是倍根方程，∴（﹣）2﹣×2×n＝0，整理，得：m＝3n，∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，∴n＝3m﹣8，∴n＝1，m＝3，∴此倍根方程为x2﹣x+＝0．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，D是AB边上一动点（点D 与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．（1）猜想线段DB、BE、DE的数量关系，并说明理由；（2）M、N分别为线段AB、DE的中点，在D的运动过程中，的值是否发生改变，若改变请说明理由，若不变求出的值；（3）求线段BF的取值范围（用含a的代数式表示）．【分析】（1）证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠A，进而得到∠DBE＝90°，根据勾股定理证明即可；（2）连接CM、CN，根据等腰直角三角形的性质得到＝，证明△MCN∽△ACD，根据相似三角形的性质证明；（3）分点D与点A重合、BF⊥DE两种情况，分别求出BF，得到答案．【解答】解：（1）DB2+BE2＝DE2，理由如下：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝45°，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠DBE＝∠CBA+∠CBE＝90°，由勾股定理得，DB2+BE2＝DE2；（2）的值不变，理由如下：连接CM、CN，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝a，M为线段AB的中点，∴CM＝AB＝AC，∴＝，同理，＝，∴＝，∵∠ACM＝∠DCN＝45°，∴∠ACD＝∠MCN，∴△MCN∽△ACD，∴＝＝，∴的值不变，＝；（3）当点D与点A重合时，BF＝0，∵点D与点A不重合，∴BF＞0，当BF⊥DE时，BF最大，此时，BM＝BE＝AD＝，∴DE＝＝a，∵∠DBE＝90°，BM＝BE，BE⊥BD，∴BF＝DE＝a，∴0＜BF≤a．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握旋转变换的性质、三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．。
苏教版九年级上学期期中试卷(数学)附答案
九年级上学期期中试卷（数学）注意事项：1．本试卷共3大题，27小题，满分130分，考试用时120分钟．2．答题前，请将你的学校、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相对应的位置上；并用2B铅笔认真正确填涂考试号下方的数字．3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题．4．答题必须答在答题卡上，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、选择题（本犬题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是正确的，请把正确答案填涂在答题卷相应的位置）1．下列方程不是一元二次方程的是A．9x2＝7x B．y2＝8 C．3y(y－1)＝y(3y＋1) D(x2＋1)2．抛物线y＝(x＋4)2－5可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是A．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位B．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位3．关于x的一元二次方程k x2－2x－1＝0有实数根，则k的取值范围是A．k≤－1 B．k>－1且k≠0 C．k≥－1 D．k≥－1且k≠04．如果a<0，b>0，c>0，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致是5．已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1、x2，则2x1－x1x2＋2x2的值为A．8 B．－12 C．12 D．－86．某商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是A．400(1－x)2＝225 B．225(1－x)2＝400C．225(1－2x)＝ 400 D．400(1－2x)＝2257．若抛物线y＝x2＋2x＋a的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是A．a>1 B．a<1 C．a≥1 D．a≤18．若二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 A．m＝3 B．m>3 C．m≥3 D．m≤39．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝ax与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是．10．设一元二次方程(x－2)(x－4)＝m (m>0）的两实根分别为a，β(设a<β，则a，β满足A．a<2<β<4 B．2<a<4<β C．2<a<β<4 D．a<2且β>4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填写在答题卷相应位置上）11．一元二次方程x2＝2x的根是▲．12．抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是▲．13．将抛物线y＝2(x－1)2－4沿y轴翻折，所得抛物线的关系式是▲．14．若一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0有一个根为0，则m＝▲．15．如图，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t（单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是▲．16．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴一交点为B(5，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c>0的解集是▲．17．设x1、x2是一元二次方程x2＋4x－3＝0的两个根，2x1(x22＋3x2－3)＋a＝2，则a＝▲．18．如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a＋b＋c＝0；②b >2a ；③a －2b ＋c>0；④4a －2b ＋c<0其中正确的命题是 ▲ ．（只要求填写正确命题的序号）三、解答题（本大题共9题，共76分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．（本题12分）解方程：(1)2x 2－5x －1＝0 (2)(x －3)2－(3－x )＝0 (3)()221120x x x x----= 20．（本题7分）二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)、(0，3)，(1)求函数解析式；(2)用配方法求出顶点D 的坐标；(3)图象与x 轴交于A 、B(A 在B 左侧)与y 轴交于C ，用 描点法画出函数的图像，并求四边形ABCD 的面积．21．（本题7分）已知关于x 的一元二次方程x 2－2(1－m)x ＋m 2＝0的两根为x 1，x 2． (1)求m 的取值范围；(2)若x 12＋12m ＋x 22＝10，求m 的值．22．（本题8分）已知二次函数y ＝x 2＋bx －c 的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），(－2m ， 0)(m ≠0)． (I)证明：c ＝2b 2：(2)若该函数图象的对称轴为直线x ＝－1，试求二次函数的关系式．23．（本题8分）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m ．(可利用的围墙长度超过6m)． (1)若矩形的面积为4m 2，求边AB 的长度；(2)当边AB 的长度为多少时矩形的面积最大？最大面积为多少？24．（本题8分）如图，等腰Rt △ABC(∠ACB ＝90°)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当△ABC 与正方形DEFG 重合部分的面积为32时， 求CD 的长．25．（本题8分）已知抛物线y ＝x 2＋m x －14m 2(m>0)与x 轴交于A 、B 两点．(1)求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；(2)设抛物线与y轴交于点C，若∠ACB＝90°，求m的值．26．（本题9分）已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于两点A、B(A在B左侧)，与y轴交于点C．(1)对于任意实数m，点M(m，－3)是否在该抛物线上？请说明理由；(2)求∠ABC的度数；(3)若点P在抛物线上，且使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形，试求出点P的坐标．27．（本题9分）如图，已知过坐标原点的抛物线经过A(x1，0)，B(x2，3)两点，且x1、x2是方程x2＋5x＋6＝0两根(x1>x2)，抛物线顶点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；(3)P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．∴存在P（1，3）、P（－5，15）、P（－53，－59）、P（－73，－79）(4分)。
2020-2021上海民办华育中学九年级数学上期中试题(含答案)
2020-2021上海民办华育中学九年级数学上期中试题(含答案)一、选择题1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1B ．1C ．-4D ．42．﹣3的绝对值是（ ） A ．﹣3B ．3C ．-13D ．133．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．84．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10＝0时，下列变形正确的为( )A ．(x+3)2＝1B ．(x ﹣3)2＝1C ．(x+3)2＝19D ．(x ﹣3)2＝195．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．76．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣5m+4=0有一个根为0，则m 的值等于（ ） A ．1B ．1或4C ．4D ．07．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．12k >且k ≠1 B ．12k >C ．12k ≥且k ≠1 D ．12k <8．解一元二次方程 x 2﹣8x ﹣5＝0，用配方法可变形为（ ） A ．（x +4）2＝11B ．（x ﹣4）2＝11C ．（x +4）2＝21D ．（x ﹣4）2＝219．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．10．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，60B ∠=，1BC =，''A B C 由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（ ）A ．3B ．3C ．4D ． 311．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④12．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ） A ．2yx B ．2(12)y x =- C ．(12)y x x =- D ．2(12)y x =-二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA 'B ′C '的位置，则点B '的坐标为_____．14．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠D ＝20°，则∠CBA 的度数是__．15．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 边上的动点，且CE ＝3BD ，则△BDE 面积的最大值为_____．16．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．17．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__．19．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为____________________．20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为BB ，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题21．在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况：下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据：抛掷次数n1002003004005006007008009001000针尖不着地的频数m63120186252310360434488549610针尖不着地的频率mn0.630.600.630.600.620.610.61（1）填写表中的空格；（2）画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图；（3）根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖着地”的概率为．22．小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．（1）请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．（2）这个游戏公平吗？请说明理由．23．已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：AC·AD=AB·AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．24．如图，已知AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作AE的垂线，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P．（1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若tan∠P=34，AD=6，求线段AE 的长． 25．甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援湖北武汉抗击疫情． (1)若从甲、乙两医院支援的医护人员中分别随机选1名，则所选的2名医护人员性别相同的概率是 ；(2)若从支援的4名医护人员中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名医护人员来自同一所医院的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 【详解】解：根据题意可得： △=2(4) －4×4c=0，解得：c=1 故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．2．B解析：B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案. 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B ． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.3．A解析：A 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m ＞0，然后解不等式得到m ＜4，然后对各选项进行判断． 【详解】根据题意得：△=16﹣4m ＞0，解得：m ＜4，所以m 可以取3，不能取5、6、8． 故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．D解析：D 【解析】 【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】方程移项得：2610x x -=， 配方得：26919x x -+=， 即2(3)19x -=， 故选D ．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称， ∴13m -=-，25n -=-， 解得：2m =-，7n =， 则275m n +=-+= 故选C . 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.6．C解析：C 【解析】 【分析】先把x ＝0代入方程求出m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值． 【详解】解：把x ＝0代入方程得m²−5m ＋4＝0，解得m ₁＝4，m ₂＝1， 而a−1≠0， 所以m ＝4． 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．7．A解析：A 【解析】 【分析】由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根， ∴224(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->， 解得：12k >， ∵10k -≠，则1k ≠， ∴k 的取值范围是12k >且k≠1； 故选：A ． 【点睛】本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围．8．D解析：D 【解析】 【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】解：∵x2-8x=5，∴x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，故选D．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程的能力，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．9．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．A解析：A【解析】【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×1=2，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A ′B ′C=∠B ′AC+∠B ′CA ， ∴∠B ′CA=60°-30°=30°， ∴B ′A=B ′C=1，∴AA ′=AB ′+A ′B ′=2+1=3． 故选：A ． 【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．11．D解析：D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图. 【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图. 故选：D. 【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数. 【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ， ∴另一边为12-x ，故面积2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =-故选C 【点睛】此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.二、填空题13．【解析】【分析】首先连接OBOB′过点B′作B′E ⊥x 轴于E 由旋转的性质易得∠BOB′＝105°由菱形的性质易证得△AOB 是等边三角形即可得OB′＝OB ＝OA ＝1∠AOB＝60°继而可求得∠AOB′解析：22(,)22-【解析】【分析】首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′＝105°，由菱形的性质，易证得△AOB是等边三角形，即可得OB′＝OB＝OA＝1，∠AOB ＝60°，继而可求得∠AOB′＝45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，根据题意得：∠BOB′＝105°，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∠AOB＝12∠AOC＝12∠ABC＝12×120°＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴OB＝OA＝1，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝105°﹣60°＝45°，OB′＝OB＝1，∴OE＝B′E＝OB′•sin45°＝1×22 22=，∴点B′的坐标为：（22，﹣22）．故答案为：（22，﹣22）．【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，辅助的正确作出是解题的关键.14．70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°∠A=∠D＝20°根据三角形内角和定理可求解【详解】因为AB为⊙O的直径所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CB解析：70°【解析】【分析】根据圆周角定理可得：∠ACB=90°，∠A=∠D＝20°，根据三角形内角和定理可求解．【详解】因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB=90°因为∠D＝20°所以∠A=∠D＝20°所以∠CBA=90°-20°=70°故答案为：70°【点睛】考核知识点：圆周角定理．熟记圆周角定理是关键．15．【解析】【分析】设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x根据S△DEB＝·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式利用配方法变形为顶点式即可【详解】解：设BD＝x则EC＝3xAE＝6﹣3x∵∠A＝90°解析：3 2【解析】【分析】设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，根据S△DEB＝12·BD·AE得到关于S与x的二次函数解析式，利用配方法变形为顶点式即可.【详解】解：设BD＝x，则EC＝3x，AE＝6﹣3x，∵∠A＝90°，∴EA⊥BD，∴S△DEB＝12•x（6﹣3x）＝﹣32x2+3x=﹣32（x﹣1）2+32，∴当x＝1时，S最大值＝3 2 .故答案为：32．【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，解此题的关键在于根据题意设出未知数，根据题意列出函数解析式.16．【解析】【分析】根据题意使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目根据概率的计算方法计算可得答案【详解】根据题意从有4根细木棒中任取3根有234；345；23解析：34【解析】 【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案． 【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=34. 故其概率为：34． 【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单 解析：25(1)1y x =-+-【解析】 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可． 【详解】抛物线251y x =-+的顶点坐标为（0，0），∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度， ∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2）， ∴所得抛物线的解析式是()2511y x =-+-． 故答案为：()2511y x =-+-． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．18．3【解析】连接OB∵六边形ABCDEF 是⊙O 内接正六边形∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3解析： 【解析】 连接OB ，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM=36062︒⨯=30°，∴OM=OB•cos∠BOM=6×32=33，故答案为：33.19．（60532）【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律从而得解【详解】第一次P1（52）第二次P2（81）第三次P3（101）第四次P4（131）第五次P5（172）…发现点P的位置4次一个循环解析：（6053，2）．【解析】【分析】根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.【详解】第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，1），第五次P5（17，2），…发现点P的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，∴P2017（6053，2），故答案为（6053，2）．考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．20．【解析】分析：连接DBDB′先利用勾股定理求出DB′=A′B′=再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C计算即可详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△AB′C此时点A′在斜边解析：3 2π【解析】分析：连接DB、DB′，先利用勾股定理求出2212=5+，2222=22+，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C，计算即可．详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，连接DB、DB′，则DB′=2212=5+，A′B′=2222=22+，∴S阴=905253 1222222= 360242（）ππ⨯-⨯÷--⨯÷-.故答案为53 42π-．点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）见表格解析；（2）见解析；（3）0.39．【解析】【分析】（1）先由频率＝频数÷试验次数算出频率；（2）根据表格作出折线统计图即可；（3）根据表格观察抛掷的次数增多时，频率稳定到哪个数值，这就是概率．【详解】解：（1）抛掷次数n1002003004005006007008009001000针尖不着地的频数m63120186252310360434488549610针尖不着地的频率0.630.600.620.630.620.600.620.610.610.61（2）（3）通过大量试验，发现频率围绕0.39上下波动，于是可以估计概率是1﹣0.61＝0.39．【点睛】考核知识点：用频率表示概率.求出频率是关键.22．（1）列表见解析；（2）游戏公平，理由见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意列表，由表格求得所有等可能的结果；（2）根据小明获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平．【详解】解：（1）总共有16种结果，每种结果出现的可能性是相同的，两次数字之和大于11的结果有6种，所以，P（小明获胜）63 == 168，两次数字之和小于11的结果有6种，所以，P（小亮获胜）63 == 168，因为，33=88，所以，这个游戏是公平的．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．23．（1）证明见解析；（2）AC=4.【解析】【分析】（1）连接DE，由题意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，从而可得△ADE ∽△ABC，由相似比即可得；（2）连接OB，由BD是切线，得OD⊥BD，有E为OB中点，则可得OE=BE=OD，从而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；【详解】（1）连接DE，∵AE是直径，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC 中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴，即AC·AD=AB·AE（2）连接OD，∵BD是圆O的切线，则OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.考点：1.圆周角定理；2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30°的直角三角形的性质.24．（1）PC是⊙O的切线；（2）9 2【解析】试题分析：（1）结论：PC是⊙O的切线．只要证明OC∥AD，推出∠OCP=∠D=90°，即可．（2）由OC∥AD，推出OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154，由BE∥PD，AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P，由此计算即可．试题解析：解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由如下：连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB．又∵∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AD．∵AD⊥PD，∴∠OCP=∠D=90°，∴PC是⊙O的切线．（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP=90°，AD=6，tan∠P=34，∴PD=8，AP=10，设半径为r．∵OC∥AD，∴OC OPAD AP=，即10610r r-=，解得r=154．∵AB是直径，∴∠AEB=∠D=90°，∴BE∥PD，∴AE=AB•sin∠ABE=AB•sin∠P=152×35=92．点睛：本题考查了直线与圆的位置关系．解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（1）12；（2）13【解析】【分析】（1）根据甲、乙两所医院分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画图如下：共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，则所选的2名教师性别相同的概率是：21 42 =；故答案为：1 2 .（2）将甲、乙两医院的医生分别记为男1、女1、男2、女2，画树形图得：所以共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．∴P(2名医生来自同一所医院的概率) ＝41 123=．【点睛】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．。
2020-2021学年江西南昌市凤凰城上海外国语学校九年级(上)期中数学复习试卷(附答案详解)
2020-2021学年江西省南昌市红谷滩区凤凰城上海外国语学校九年级（上）期中数学复习试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列图形是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB=40°，则∠AOD=()A. 45°B. 40°C. 35°D. 30°3.如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是()A. (0,4)B. (2,−2)C. (3,−2)D. (−1,4)4.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是()A. (3,−1)B. (0,0)C. (2,−1)D. (−1,3)5.在图形旋转中，下列说法错误的是()A. 图形上的每一点到旋转中心的距离相等B. 图形上的每一点转动的角度相同C. 图形上可能存在不动点D. 图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等6.如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是()A. −1≤x≤3B. x≤−1C. x≥1D. x≤−1或x≥37.抛物线y=−x2+mx+4−m2的图象如图所示，则m的值为()A. ±2B. 4C. 2D. −28.我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2−4a>0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2−2x−3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是()①图象与坐标轴的交点为(−1,0)，(3,0)和(0,3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=−1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x=1时，函数的最大值是4，A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.如图，香港特别行政区区徽由五个相同的花瓣组成，它是以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转所组成，这四次旋转中，旋转角度最小是______度．10.下列图形：(1)线段；(2)等边三角形；(3)平行四边形；(4)矩形；(5)菱形；(6)正方形；其中是中心对称图形，但不是轴对称图形是______(填序号)11.已知抛物线y=x2+x−2与x轴的两个交点坐标分别为(−2,0)，(1,0)，则一元二次方程x2+x−2=0的根为______．12.如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α(0°<α<90°)，得到△AB′C′，若B′，C，C′三点在同一条直线上，∠B′CB=46°，则α的度数是______．x2+3.5的一部分，如图所示，13.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−15若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是______ m.14.用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD.则正方形ABCD的面积为______.(用含a，b的代数式表示)三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）15.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′；(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．16.轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．17.已知抛物线y=−x2+4x+5．(1)用配方法将y=−x2+4x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)若抛物线上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，如果x1>x2>2，试比较y1与y2的大小．18.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．(1)求证：△AEM≌△ANM．(2)若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长．19.将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC．(1)固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1=______度；②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．(2)将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3所示的位置，使AB//CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD．20.某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示．(1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．(2)设这种商品月利润为W(元)，求W与x之间的函数关系式．(3)这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大?最大月利润是多少?答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2.【答案】D【解析】[分析]首先根据旋转角定义可以知道∠BOD=70°，而∠AOB=40°，然后根据图形即可求出∠AOD．此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是了解旋转前后对应边对应角相等．[详解]解：∵△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，∴∠BOD=70°，而∠AOB=40°，∴∠AOD=70°−40°=30°．故选D．3.【答案】D【解析】【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．本题考查了坐标与图形变换−旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求，则点A的对应点A′的坐标是(−1,4)．故选：D．4.【答案】A【解析】解：连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．观察图形知，E(3,−1)．故选A．连接对应点AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标．此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定E点位置是关键．5.【答案】A【解析】解：A、在图形旋转中，根据旋转的性质，图形上对应点到旋转中心的距离相等，故本选项错误；B、图形上的每一点转动的角度都等于旋转角，正确；C、以图形上一点为旋转中心，则这个点不动，正确；D、旋转前后两个图形全等，则图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等，正确．故选A．根据旋转的性质分别对各选项进行判断．本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的图像、二次函数的性质的知识，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．根据函数图象写出直线y=1以及下方部分的x 的取值范围即可．【解答】解：由图可知，x≤−1或x≥3时，y≤1．故选D．7.【答案】D【解析】解：由图可知二次函数图象经过点(0,0)，所以，4−m2=0，解得m=±2，∵−b2a <0，即−m2×(−1)<0，解得m<0，∴m=−2，故选：D．根据图形可知，函数图象经过原点，然后把(0,0)代入函数解析式进行计算求得m的值，再根据−b2a<0，求得m的符号即可得解．本题考查了二次函数图象，观察图象得到已知条件是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：①∵(−1,0)，(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2−2x−3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=−1或x=3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x<−1或x>3，函数值要大于当x=1时的y=|x2−2x−3|=4，因此⑤是不正确的；故选：A．由(−1,0)，(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y=|x2−2x−3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=−1或x=3，因此④也是正确的；从图象上看，当x<−1或x>3，函数值要大于当x=1时的y=|x2−2x−3|=4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y=|ax2+bx+c|与二次函数y=ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．9.【答案】72【解析】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成，∴旋转角度是360°÷5=72°，∴这四次旋转中，旋转角度最小是72°．根据旋转的性质和周角是360°求解即可．本题把旋转的性质和一个周角是360°结合求解．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．注意结合图形解题的思想．10.【答案】(3)【解析】解：①线段，既是轴对称图形，又是中心对称图形；②等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形；③平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形；④矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形⑤菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形；⑥正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形．综上可得(3)正确．故答案为：(3)．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．11.【答案】x1=−2，x2=1【解析】解：∵抛物线y=x2+x−2与x轴的两个交点坐标分别为(−2,0)，(1,0)，∴一元二次方程x2+x−2=0的根为：x1=−2，x2=1，故答案为：x1=−2，x2=1．直接利用y=0时，抛物线与x轴的交点横坐标，即一元二次方程x2+x−2=0的根，即可得出答案．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确应用交点式是解题关键．12.【答案】46°【解析】解：由题意可得：AC=AC′，∠C′=∠ACB，∴∠ACC′=∠C′，∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转α，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上，∴∠B′CB+∠ACB=∠C′+∠CAC′，∠B′CB=∠CAC′=46°．故答案为：46°．利用旋转的性质得出AC=AC′，再利用等腰三角形的性质得出∠CAC′的度数，则可求出答案．此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据题意得出AC=AC′是解题关键．13.【答案】4.5x2+3.5中得：【解析】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=15x=±1.5(舍去负值)，即OB=1.5，所以l=AB=2.5+1.5=4．x2+3.5中得：令解：把y=3.05代入y=−15x1=1.5，x2=−1.5(舍去)，∴L=3+1.5=4.5米．故答案为：4.5．如图，实际是求AB的距离，而OA已知，所以只需求出OB即可；而OB的长，又是C点的横坐标，所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答．本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14.【答案】a+b【解析】解：如图1，正方形ABCD是由4个相同大小的阴影部分和和一个小正方形组成；的大正方形的面如图2，由图中对应的两个三角形全等可知，每个阴影部分的面积等于14积，故四个相同阴影部分面积的和等于大正方形的面积，即和为a．故正方形ABCD的面积=a+b．故答案为a+b．如图，正方形ABCD是由4个相同的阴影部分和一个小正方形组成，4个阴影部分的面积和等于大正方形的面积a，由此即可解决问题．本题考查全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】解：(1)如图1中，△A′B′C′即为所求．(2)如图2中，△AB′C′即为所求．【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．(2)根据AB=2√5，BC=√5，AC=5，利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：【解析】利用轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．分别得出图形的对称轴与对称中心即可得出答案．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的性质，根据性质得出图形的中心是解决问题的关键．17.【答案】解：(1)y=−x2+4x+5=−x2+4x−4+4+5=−(x−2)2+9，即y=−(x−2)2+9；(2)∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为(2,9)，对称轴为直线x=2；(3)∵抛物线的对称轴方程为x=2，∵x1>x2>2，∴A，B在对称轴的右侧，∵a=−1<0，∴抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵x1>x2>2，∴y1<y2．【解析】(1)利用配方法将抛物线解析式化成y=−(x−2)2+9；(2)根据顶点式即可求得；(3)由抛物线的性质解答即可．本题主要考查抛物线的顶点式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．18.【答案】(1)证明：∵△ADN≌△ABE，∴∠DAN=∠BAE，DN=BE，∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，∴∠MAE=∠MAN，∵MA=MA，∴△AEM≌△ANM(SAS)．(2)解：设CD=BC=x，则CM=x−3，CN=x−2，∵△AEM≌△ANM，∴EM=MN，∵BE=DN，∴MN=BM+DN=5，∵∠C=90°，∴MN2=CM2+CN2，∴25=(x−2)2+(x−3)2，解得，x=6或−1(舍弃)，∴正方形ABCD的边长为6．【解析】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．(1)想办法证明∠MAE=∠MAN=45°，根据SAS证明三角形全等即可．(2)设CD=BC=x，则CM=x−3，CN=x−2，在Rt△MCN中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．19.【答案】160【解析】解：(1)①∵将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，∴∠A1CA=20°∴∠ACB1=70°，∴∠BCB1=∠ACB+∠ACB1=160°；故答案为160；②当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．理由如下：当AB与A1B1垂直时，∠A1ED=90°，∴∠A1DE=90°−∠A1=90°−30°=60°，∴∠BDC=60°，∵∠B=60°，∴∠A1CB=180°−∠BDC−∠B=60°，∴∠ACA1=90°−∠A1CB=30°；即旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；(2)∵AB//CB1，∠ACB1=90°，∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠A=30°，∴CD =12AC ，∵图2中的三角板ABC 绕点C 顺时针方向旋转至图3所示的位置，∴AC =A 1C ，∴CD =12A 1C ， ∴A 1D =CD ．(1)①根据旋转的性质得∠A 1CA =20°，则利用互余得∠ACB 1=70°，然后根据∠BCB 1=∠ACB +∠ACB 1进行计算；②利用AB 与A 1B 1垂直得∠A 1ED =90°，则∠A 1DE =90°−∠A 1=60°，根据对顶角相等得∠BDC =60°，由于∠B =60°，利用三角形内角和定理得∠A 1CB =180°−∠BDC −∠B =60°，所以∠ACA 1=90°−∠A 1CB =30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直；(2)由于AB//CB 1，∠ACB 1=90°，根据平行线的性质得∠ADC =90°，在Rt △ADC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD =12AC ，再根据旋转的性质得AC =A 1C ，所以CD =12A 1C ，则A 1D =CD ．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．20.【答案】解：(1)当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ，将(40,140)，(60,120)代入得{40k +b =14060k +b =120,， 解得：{k =−1b =180， ∴y 与x 之间的函数关系式为y =−x +180；当60<x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y =mx +n ，将(90,30)，(60,120)代入得{90m +n =3060m +n =120， 解得：{m =−3,n =300， ∴y =−3x +300；综上所述，y ={−x +180(40≤x ≤60)−3x +300(60<x ≤90)； (2)当40≤x ≤60时，W =(x −30)y =(x −30)(−x +180)=−x 2+210x −5400，当60<x ≤90时，W =(x −30)(−3x +300)=−3x 2+390x −9000，综上所述，W ={−x 2+210x −5400(40≤x ≤60)−3x 2+390x −9000(60<x ≤90)； (3)当40≤x ≤60时，W =−x 2+210x −5400，∵−1<0，对称轴x =−210−2=105，∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，∴当x =60时，W 最大=−602+210×60−5400=3600，当60<x ≤90时，W =−3x 2+390x −9000，∵−3<0，对称轴x =−390−6=65， ∵60<x ≤90，∴当x =65时，W 最大=−3×652+390×65−9000=3675，∵3675>3600，∴当x =65时，W 最大=3675，答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675元．【解析】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用，也考查了运用待定系数法求一次函数解析式．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．(1)当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ，当60<x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y =mx +n ，解方程组即可得到结论；(2)当40≤x ≤60时和当60<x ≤90时，分别根据题意即可得到函数解析式；(3)当40≤x ≤60时，W =−x 2+210x −5400，得到当x =60时，W 最大=−602+210×60−5400=3600，当60<x ≤90时，W =−3x 2+390x −9000，得到当x =65时，W 最大=−3×652+390×65−9000=3675，于是得到结论．。
2023_2024学年浙江省嘉兴市九年级上册11月期中数学模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年浙江省嘉兴市九年级上册11月期中数学模拟测试卷考生须知：1．本卷满分120分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析．一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．若，则的值等于（ ）43a b =a b b-A ．B ．C ．D ．1313-7373-2．已知在中，，，，则的外接圆直径为（ Rt ABC △90C ∠=︒5AC =12BC =ABC △）A ．5B ．12C ．13D ．6.53．若将函数的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线表达式23y x =为（ ）A ．B ．C ．D ．()2324y x =+-()2324y x =++()2324y x =--()2324y x =-+4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（）m ．第4题图A ．1B ．2C ．3D ．45．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）()224y x =+-A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()2,4-C ．该函数的最大值是-4D ．当时，y 随x 的增大而增大2x ≥-6．如图，中，，，，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，与ABC △90A ∠=︒6AB =10BC =BC 的垂线CE 相交于点E ，过点D 作于点F ，则为（ ）DF BC ⊥:BD DE第6题图A ．3∶2B ．5∶3C ．4∶3D ．2∶17．小舟给出如下题目：二次函数的图象如图所示，点A 坐标为()20y ax bx c a =++≠，给出下列结论：①；②；③是方程()1,0-20b a +<240b ac -<3x =的其中一个解；④；其中正确的是（ ）()200ax bx c a ++=≠30a b +>第7题图A ．①B ．②C ．③D ．④8．如图，点A ，B ，C ，D 为上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，，O 2CE =，则AC 的长为（ ）3CD =第8题图A ．4B ．4.5C ．5D ．5.59．如图，已知，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC 、OC 交于点ABC △D 、E ，设，（ ）A α∠=C β∠=第9题图A ．若，则的度数为20°B ．若，则的度数为40°70αβ+=︒ DE70αβ+=︒ DEC ．若，则的度数为20°D ．若，则的度数为40°70αβ-=︒ DE70αβ-=︒ DE10．定义平面内任意两点，之间的距离，称为这()11,P x y ()22,Q x y 2121PQ d x x y y =-+-两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点与点()3,2P --之间的曼距，若点A 在直线上，点B ()2,2Q 3222549PQ d =--+--=+=122y x =-为抛物线上一点，则曼距的最小值（）22y x x =+AB dA B ．C ．D ．6940231632二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．请写出一个开口向下并且顶点在y 轴上的二次函数表达式______．12．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b 为4米，则a 约为______米．（结果精确到一位小数）第12题图13．二次函数的图象如图所示，当时，x 的取值范围是______．()()53y a x x =+-0y >第13题图14．如图，在扇形EOF 中放置有三个全等的矩形方格，点O 为扇形的圆心，格点A 、B 、C和1，则阴影部分的面积为______．第14题图15．如图，矩形纸片ABCD ，点E 在边AD 上，连接BE ，点F 在线段BE 上，且，13EF BF =折叠矩形纸片使点C 恰好落在点F 处，折痕为DG ，若，则折痕DG 的长为______．4AB =第15题图16．量角器和三角板是我们平常数学学习中常用的工具。
2023_2024学年广东省广州市天河区九年级上册期中数学模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年广东省广州市天河区九年级上册期中数学模拟测试卷注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、座位号、考生号；再用2B 铅笔把考号对应的数字涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（）A ．B ．C ．D ．2．二次函数的顶点坐标是（）()23y x =+A ．B ．C ．D ．()3,0()3,0-()0,3-()0,33．用配方法解方程，配方正确的是（）2420x x --=A ．B ．C ．D ．()222x +=()222x -=()222x -=-()226x -=4．抛物线与y 轴的交点坐标为（）222y x x =-+A ．B ．C ．D ．()2,0()1,1()0,2()0,2-5．关于二次函数，下列说法中正确的是（）235y x =-+A ．图象的开口向上B ．当时，y 随x 的增大而增大1x >-C ．当时，y 有最小值是5D ．图象的顶点坐标是0x =()0,56．已知关于x 的方程的一个根为，且这个方程的两个根恰好是等23520x mx m -+-=2x =腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（）A ．8B ．10C ．8或10D ．6或107．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y （平方米）和长方形的一边的长x （米）的关系式为（）A ．B ．C ．D ．220y x x=-+220y x x=-210y x x=-+210y x x=-8．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）2210kx x --=A ．B ．C ．且D ．且1k >-1k <1k <0k ≠1k >-0k ≠9．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且，，则()()2a m a n ++=()()2b m b n ++=的值为（）ab mn -A ．-2B ．-1C ．2D ．410．已知二次函数的图象过原点，如图所示．给出以下四个结论：①()20y ax bx c a =++≠；②；③；④．正确的有（）0abc =0a b c ++>a b >240ac b -<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．二次函数经过点，则________．2y ax =()1,2P -a =12．已知点P 的坐标是，则该点关于原点对称的点的坐标是________．()3,413．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个()2213y x =-+单位，得到的抛物线解析式为________．14．关于x 的一元二次方程的两根分别为，，则2370x x +-=αβ________．24ααβ++=15．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，且，则四边形12AC BD +=ABCD 面积的最大值为________．16．二次函数与x 轴有两个交点，且这两个交点的横坐标在-2和0之间（不包241y ax x =--括-2和0），则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出详细过程或计算步骤）17．（本小题满分4分）解方程：；2450x x --=18．（本小题满分4分）如图，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转45°后得到，若，，A B C '''△45A ∠=︒100B '∠=︒求的度数．B CA '∠19．（本小题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC 各顶点都在格点上，点A ，C 的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：()1,2-()0,1-（1）________；AC =（2）将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的，直接写出A 点对应点11A B C △的坐标．1A 20．（本小题满分6分）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2021年绿化面积约1000万平方米，预计2023年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．（1）求每年绿化面积的平均增长率；（2）若2024年的绿化面积继续保持相同的增长率，则2024年的绿化面积是多少?21．（本小题满分8分）如图，抛物线与x 轴交于和两点．212y ax x c =-+()1,0A -()3,0B（1）求此抛物线的解析式；（2）过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点D ，若点D 的纵坐标为5，请直接2y mx n =+写出当时，x 的取值范围是________．21y y <22．（本小题满分10分）已知关于x 的方程有两个实数根．()222110x m x m +++-=（1）求m 的取值范围；（2）若是方程的一个根，求方程的另一个根．0x =23．（本小题满分10分）已知抛物线，直线，的对称轴与交于点．点A 与21y x mx n =-++2y kx b =+1y 2y ()1,5A -的顶点B 的距离是4．1y （1）求的解析式；1y （2）若随着x 的增大而增大．且与都经过x 轴上的同一点，求的解析式．2y 1y 2y 2y24．（本小题满分12分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边CD 、BC 上的两点，且．AE 、AF 分45EAF ∠=︒别交正方形的对角线BD 于G 、H 两点，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△ABQ ，连接EF ．（1）求证：FA 平分∠QAE ．（2）求证：．EF BF DE =+（3）试探索BH 、HG 、GD 三条线段间的数量关系，并加以说明．25．（本小题满分12分）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．2y ax bx c =++30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数在时，y 的最大值为2，求a 的值：2y ax bx c =++14x ≤≤（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线A B ''A B ''仅有一个交点，求a 的取值范围．241y ax bx c a =+++-九年级数册中考答案题号12345678910答案AB D CD B CD AC题号111213141516答案2()3,4--()2212y x =++418744a -<<-注：解答题答案仅供参考，有不同做法的请根据实际酌情给分。