第37节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图 1．简单几何体 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台

图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形

(2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球

图形

母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点

轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环

2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线． 说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图． (2)作、看三视图的3原则 ①位置原则：

②度量原则：长对正、高平齐、宽相等(即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽)． ③虚实原则：轮廓线——现则实、隐则虚．

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( ) (4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．( ) (5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )

解析：选B 俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B. 3．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为( ) A．2,23 B．22，2 C．4,2 D．2,4 解析：选D 由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为23，故底面边长为4，故选D. 4．(教材习题改编)如图，长方体ABCD -A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是______．

答案：五棱柱 三棱柱 5．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的个数是________． 解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误，故结论正确的个数为1. 答案：1

考点一 空间几何体的结构特征 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考] 空间几何体的结构特征是立体几何的基础知识，很少单独考查.多作为载体与三视图、表面积、体积等综合考查，题型为选择题或填空题，难度较低. 1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析：选C 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体． 2．给出下列几个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B ①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． 3．给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________． 解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形． 答案：②③④ [怎样快解·准解] 空间几何体概念辨析题的常用方法 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定． 反例法 通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可.

考点二 空间几何体的直观图 基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考]

单独考查空间几何体的直观图的题目很少，多与三视图、表面积、体积等综合考查，题型为选择题或填空题，难度较低. 1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )

解析：选A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为22.故选A. 2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________． 解析：如图，图①、图②分别表示△ABC的实际图形和直观图． 从图②可知，A′B′＝AB＝2，

O′C′＝12OC＝32，C′D′＝O′C′sin 45°＝32×22＝64. 所以S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×2×64＝64. 答案：64 3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴．已知四边形ABCD的面积为22 cm2，则原平面图形的面积为________ cm2. 解析：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2. 答案：8 [怎样快解·准解] 1．原图形与直观图中的“三变”与“三不变”

(1)“三变” 坐标轴的夹角改变与y轴平行的线段的长度改变减半图形改变 (2)“三不变” 平行性不变与x轴平行的线段长度不变相对位置不变 2．原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：

(1)S直观图＝24S原图形；(2)S原图形＝22S直观图． 考点三 空间几何体的三视图 题点多变型考点——追根溯源 空间几何体的三视图的辨析是高考的热点内容，一般以选择题或填空题的形式出现.常见的命题角度有：1已知几何体，识别三视图；2已知三视图，判断几何体；3已知几何体的三视图中的某两个视图，确定另一种视图.

[题点全练] 角度(一) 已知几何体，识别三视图 1.(2018·河北衡水中学调研)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )

解析：选C 如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形．

[题型技法] 识别三视图的步骤 (1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置； (2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； (3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．

角度(二) 已知三视图，判断几何体 2．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( ) A．32 B．23 C．22 D．2 解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为 AC1＝AC2＋CC21＝22＋22＋22＝23. [题型技法] 由三视图确定几何体的3步骤 熟练掌握规则几何体的三视图是三视图还原几何体的基础，在明确三视图画法规则的基础上，按以下步骤可轻松解决此类问题：

角度(三) 已知几何体三视图中的某两个视图，确定另外一个视图 3．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为( )

解析：选D 由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D. [题型技法] 由几何体的部分视图画出剩余视图的方法 解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．