江苏省南通市如东县2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_38
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡，上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {3}D. {1，3}【答案】C【解析】【分析】首先求集合，再求.【详解】由条件可知，.故选：C【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2.下列函数中，在定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析每个函数在定义域内是否是增函数和奇偶性，得到正确答案.【详解】A.在上是减函数，并且不是奇函数，故不正确；B.在定义域上是增函数，但不是奇函数，故不正确；C.在定义域上是增函数，并且满足，是奇函数，故正确；D.在定义域不是增函数，是奇函数，故不正确.故选：C【点睛】本题考查根据函数的性质判断满足条件的函数解析式，意在考查灵活掌握函数性质，属于基础题型.3.设则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件可知，再根据函数的单调性判断的大小.【详解】是增函数，，，即.故选：A【点睛】本题考查比较指数，对数式的大小，属于简单题型.4.已知函数，则函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次判断区间端点的函数值的正负，根据零点存在性定理，得到答案.【详解】，，，，根据零点存在性定理可知函数的零点必在区间.故选：B【点睛】本题考查零点存在性定理，意在考查基本的判断方法，属于简单题型.5.我国古代数学名著《九章算术》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几尺（注：1丈即10尺）？该问题的答案为34尺.若圆木长为3尺，圆周为2尺，同样绕圆木两周刚好顶部与圆木平齐，那葛藤最少又是长（）尺？A. 34尺B. 5尺C. 6尺D. 4尺【答案】B【解析】分析】由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成的对角线的长，画图求解.【详解】由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示，一条直角边（圆木的高）长3尺，另一条直角边长是两个圆周长尺，因此葛藤长为（尺）故选：B【点睛】本题考查旋转体的最短距离，意在考查空间想象能力，本题的关键是正确画出侧面展开图，属于基础题型.6.设是直线，，是两个不同的平面（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】【分析】利用线面平行,垂直和面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.【详解】对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α＝m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C 错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选:B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7.圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以对称圆方程为．考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程．8.已知函数，若恰好有3个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，恰好有3个零点，等价于与有3个交点，画出函数的图象，求的取值范围.【详解】由条件可知恰好有3个零点，等价于与有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知.故选：D【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是画出函数的图象.9.如图所示，为正方体，给出以下四个结论：①平面；②直线与BD所成的角为60°；③二面角的正切值是；④与底面ABCD所成角的正切值是；其中所有正确结论的序号为（）A. ①②③B. ②③C. ①②④D. ①②【答案】D【解析】【分析】逐一分析选项，①根据线面垂直的判断定理证明；②根据,异面直线与BD所成的角是；③是二面角的平面角，直接求;④与底面ABCD所成角是.【详解】①连接，，，平面，，同理：，，平面，故①正确；②,异面直线与BD所成的角是或其补角，是等边三角形，，故②正确；③，连接，是二面角的平面角，,故③不正确；④平面，是与底面ABCD所成角，,故③不正确.故选：D【点睛】本题考查几何体中的线线，线面位置关系的判断，意在考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于基础题型.10.函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足以下两个条件：（1）在[m，n]上是单调函数；（2）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（）个.①②③A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①②两个函数都是单调递增函数，假设存在“倍值区间”，转化为判断在定义域内是否有两个不等实根；③在单调递减，在单调递增，分两个区间讨论是否存在“倍值区间”.【详解】①是增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，则，即有两个实数根，分别是，，即存在“倍值区间”，故①存在；②是单调递增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，则，即，存在两个不同的实数根，分别是，，即存在“倍值区间”，故②存在；③，在单调递减，在单调递增，若在区间单调递减，则，解得，不成立，若在区间单调递增，则，即有两个不同的大于1的正根，解得：不成立，故③不存在.存在“倍值区间”的函数是①②.故选：C.【点睛】本题考查新定义背景的函数性质，意在考查函数性质的灵活掌握，关键是读懂题意，并能转化为方程实根个数问题，属于中档题型.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的横线上.11.已知空间两点，，则P，Q两点间的距离是__________.【答案】【解析】分析】根据空间两点间的距离公式直接计算结果.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查空间两点间距离，属于简单题型.12.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】由函数的形式，直接列不等式求函数的定义域.【详解】由题意可知，解得：，函数的定义域是.故答案为：【点睛】本题考查具体函数的定义域，意在考查基础知识，属于简单题型.13.已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________．【答案】【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，故答案为x2+（y+2）2=25．14.已知的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的高所在直线的一般式方程为______________.【答案】【解析】【分析】首先求边上的高所在直线的斜率，先写出点斜式方程，再化为一般式直线方程.【详解】边上的高所在直线的斜率，边上的高所在直线方程是，一般方程是.故答案为：【点睛】本题考查直线方程，意在考查求直线方程的方法和直线形式，属于简单题型.15.如图所示，边长为2的正方形中，E、F分别是，的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S—EFG，使、、三点重合，重合后记为G，则三棱锥S—EFG的外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】首先将三棱锥补成如图所示的长方体，利用长方体和三棱锥有同一外接球，求外接球的表面积.【详解】由题意可知，，，所以三棱锥补成如图所示的长方体，它们有同一的外接球，，所以外接球的直径，三棱锥S—EFG的外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和转化与化归的思想，属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.16.（1）设集合，，求；（2）计算：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求，再求；（2）利用指数式和对数的运算公式化简，求值.【详解】（1）或，.（2）原式=.【点睛】本题考查集合的运算和指数，对数的运算，属于简单题型.17.如图所示，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，D为的中点，点P为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥B-CDP体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）连接，要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明；（2）先证明平面，再根据线面垂直的性质定理和证明；（3）利用等体积转化，求解.【详解】（1）证明：连接∵D，P分别是，AB的中点，∴又：（2）∵AA1⊥平面ABC，.AA1⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥AC，又AA1∩AC=A，∴BC⊥平面ACC1A1∴BC⊥AC1∵AC1//DP，所以BC⊥PD（3）过D作DE⊥BC交BC于E，则DE为三棱锥D—BCP 的高且为1，所以【点睛】本题考查线面平行，线线垂直的证明，和体积的计算，考查空间想象能力和推理证明，属于基础题型.18.科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为该物质的数量，x为月份数，a，b，c，p，q，r为常数.（1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由.（2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？【答案】（1）乙模型更好，详见解析（2）月增长量为，月增长量为，月增长量为；越到后面当月增长量快速上升.【解析】【分析】（1）根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当时的函数值，最接近32的模型好；（2）第月的增长量是，由增长量总结结论.【详解】（1）对于甲模型有，解得：当时，.对于乙模型有，解得：，当时，因此，乙模型更好；（2）时，当月增长量为，时，当月增长量为，时，当月增长量为，从结果可以看出，越到后面当月增长量快速上升.（类似结论也给分）【点睛】本题考查函数模型，意在考查对实际问题题型的分析能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是读懂题意. 19.已知圆C经过点，两点，且圆心C在直线上.（1）求圆C的方程；（2）设，对圆C上任意一点P，在直线MC上是否存在与点M不重合的点N，使是常数，若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在满足条件【解析】【分析】（1）由圆的性质可知圆心是线段的垂直平分线和直线的交点，再求圆的半径，写出圆的标准方程；（2）假设存在点满足条件，设，利用两点距离公式计算，若为常数时，求的值.【详解】（1）线段AB的中点坐标为，∴线段AB的中垂线所在的直线方程为，∵圆心C在直线与直线的交点上，联立两条直线方程可得圆心C的坐标为，设圆C的标准方程为，将点A坐标代入可得，，∴圆C的方程为.（2）点，，直线MC方程为，假设存在点满足条件，设，则有，，，当是常数时，是常数，.∴存在满足条件.【点睛】本题考查圆的方程的求法，以及定值问题的综合应用，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型.20.已知函数为偶函数.（1）求实数的值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数，，是否存在实数m，使得的最小值为2，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）利用公式，求实数的值；（2）由题意得恒成立，求的取值范围；（3），，通过换元得，，讨论求函数的最小值，求实数的值.【详解】（1）是偶函数，，.（2）由题意得恒成立，.（3），，令，则，，1°当时，的最小值为3，不合题意，舍去；2°当时，开口向上，对称轴为，在上单调递增，，故舍去；3°当时，开口向下，对称轴为，当即时，y在时取得最小值，，符合题意；当即时，y在时取得最小值，，不合题意，故舍去；综上可知，.【点睛】本题考查复合型指，对数函数的性质，求参数的取值范围，意在考查分类讨论的思想，转化与化归的思想，以及计算能力，本题的难点是第三问，讨论，首先讨论函数类型，和二次函数开口方向讨论，即分，，和三种情况，再讨论对称轴和定义域的关系，求最小值.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有三道大题，共20道小题，满分100分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡，上的姓名、准考证号和科目.3、考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A∩B=（）A. {1}B. {2}C. {3}D. {1，3}【答案】C【解析】【分析】首先求集合，再求.【详解】由条件可知，.故选：C【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2.下列函数中，在定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析每个函数在定义域内是否是增函数和奇偶性，得到正确答案.【详解】A.在上是减函数，并且不是奇函数，故不正确；B.在定义域上是增函数，但不是奇函数，故不正确；C.在定义域上是增函数，并且满足，是奇函数，故正确；D.在定义域不是增函数，是奇函数，故不正确.故选：C【点睛】本题考查根据函数的性质判断满足条件的函数解析式，意在考查灵活掌握函数性质，属于基础题型.3.设则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件可知，再根据函数的单调性判断的大小.【详解】是增函数，，，即.故选：A【点睛】本题考查比较指数，对数式的大小，属于简单题型.4.已知函数，则函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次判断区间端点的函数值的正负，根据零点存在性定理，得到答案.【详解】，，，，根据零点存在性定理可知函数的零点必在区间.故选：B【点睛】本题考查零点存在性定理，意在考查基本的判断方法，属于简单题型.5.我国古代数学名著《九章算术》中有云：“有木长三丈，围之八尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”意思为：圆木长3丈，圆周为8尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长几尺（注：1丈即10尺）？该问题的答案为34尺.若圆木长为3尺，圆周为2尺，同样绕圆木两周刚好顶部与圆木平齐，那葛藤最少又是长（）尺？A. 34尺B. 5尺C. 6尺D. 4尺【答案】B【解析】分析】由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，葛藤长是两个矩形相连所成的对角线的长，画图求解.【详解】由题意可知，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示，一条直角边（圆木的高）长3尺，另一条直角边长是两个圆周长尺，因此葛藤长为（尺）故选：B【点睛】本题考查旋转体的最短距离，意在考查空间想象能力，本题的关键是正确画出侧面展开图，属于基础题型.6.设是直线，，是两个不同的平面（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】【分析】利用线面平行,垂直和面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.【详解】对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α＝m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选:B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7.圆关于直线对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以对称圆方程为．考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程．8.已知函数，若恰好有3个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，恰好有3个零点，等价于与有3个交点，画出函数的图象，求的取值范围.【详解】由条件可知恰好有3个零点，等价于与有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知.故选：D【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是画出函数的图象.9.如图所示，为正方体，给出以下四个结论：①平面；②直线与BD所成的角为60°；③二面角的正切值是；④与底面ABCD所成角的正切值是；其中所有正确结论的序号为（）A. ①②③B. ②③C. ①②④D. ①②【答案】D【解析】【分析】逐一分析选项，①根据线面垂直的判断定理证明；②根据,异面直线与BD所成的角是；③是二面角的平面角，直接求;④与底面ABCD所成角是.【详解】①连接，，，平面，，同理：，，平面，故①正确；②,异面直线与BD所成的角是或其补角，是等边三角形，，故②正确；③，连接，是二面角的平面角，,故③不正确；④平面，是与底面ABCD所成角，,故③不正确.故选：D【点睛】本题考查几何体中的线线，线面位置关系的判断，意在考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于基础题型.10.函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足以下两个条件：（1）在[m，n]上是单调函数；（2）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有（）个.①②③A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】①②两个函数都是单调递增函数，假设存在“倍值区间”，转化为判断在定义域内是否有两个不等实根；③在单调递减，在单调递增，分两个区间讨论是否存在“倍值区间”.【详解】①是增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，则，即有两个实数根，分别是，，即存在“倍值区间”，故①存在；②是单调递增函数，若存在区间是函数的“倍值区间”，则，即，存在两个不同的实数根，分别是，，即存在“倍值区间”，故②存在；③，在单调递减，在单调递增，若在区间单调递减，则，解得，不成立，若在区间单调递增，则，即有两个不同的大于1的正根，解得：不成立，故③不存在.存在“倍值区间”的函数是①②.故选：C.【点睛】本题考查新定义背景的函数性质，意在考查函数性质的灵活掌握，关键是读懂题意，并能转化为方程实根个数问题，属于中档题型.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的横线上.11.已知空间两点，，则P，Q两点间的距离是__________.【答案】【解析】分析】根据空间两点间的距离公式直接计算结果.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查空间两点间距离，属于简单题型.12.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】由函数的形式，直接列不等式求函数的定义域.【详解】由题意可知，解得：，函数的定义域是.故答案为：【点睛】本题考查具体函数的定义域，意在考查基础知识，属于简单题型.13.已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________．【答案】【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，故答案为x2+（y+2）2=25．14.已知的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的高所在直线的一般式方程为______________.【答案】【解析】【分析】首先求边上的高所在直线的斜率，先写出点斜式方程，再化为一般式直线方程.【详解】边上的高所在直线的斜率，边上的高所在直线方程是，一般方程是.故答案为：【点睛】本题考查直线方程，意在考查求直线方程的方法和直线形式，属于简单题型.15.如图所示，边长为2的正方形中，E、F分别是，的中点，沿SE、SF 及EF把这个正方形折成一个三棱锥S—EFG，使、、三点重合，重合后记为G，则三棱锥S—EFG的外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】首先将三棱锥补成如图所示的长方体，利用长方体和三棱锥有同一外接球，求外接球的表面积.【详解】由题意可知，，，所以三棱锥补成如图所示的长方体，它们有同一的外接球，，所以外接球的直径，三棱锥S—EFG的外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和转化与化归的思想，属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.16.（1）设集合，，求；（2）计算：.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求，再求；（2）利用指数式和对数的运算公式化简，求值.【详解】（1）或，.（2）原式=.【点睛】本题考查集合的运算和指数，对数的运算，属于简单题型.17.如图所示，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，，D为的中点，点P为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥B-CDP体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）连接，要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明；（2）先证明平面，再根据线面垂直的性质定理和证明；（3）利用等体积转化，求解.【详解】（1）证明：连接∵D，P分别是，AB的中点，∴又：（2）∵AA1⊥平面ABC，.AA1⊥BC，又∠ACB=90°∴BC⊥AC，又AA1∩AC=A，∴BC⊥平面ACC1A1∴BC⊥AC1∵AC1//DP，所以BC⊥PD（3）过D作DE⊥BC交BC于E，则DE为三棱锥D—BCP的高且为1，所以【点睛】本题考查线面平行，线线垂直的证明，和体积的计算，考查空间想象能力和推理证明，属于基础题型.18.科研人员在对某物质的繁殖情况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为该物质的数量，x为月份数，a，b，c，p，q，r为常数.（1）若5月份检测到该物质有32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由.（2）对于乙选择的模型，试分别计算4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？【答案】（1）乙模型更好，详见解析（2）月增长量为，月增长量为，月增长量为；越到后面当月增长量快速上升.【解析】【分析】（1）根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当时的函数值，最接近32的模型好；（2）第月的增长量是，由增长量总结结论.【详解】（1）对于甲模型有，解得：当时，.对于乙模型有，解得：，当时，因此，乙模型更好；（2）时，当月增长量为，时，当月增长量为，时，当月增长量为，从结果可以看出，越到后面当月增长量快速上升.（类似结论也给分）【点睛】本题考查函数模型，意在考查对实际问题题型的分析能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是读懂题意.19.已知圆C经过点，两点，且圆心C在直线上.（1）求圆C的方程；（2）设，对圆C上任意一点P，在直线MC上是否存在与点M不重合的点N，使是常数，若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在满足条件【解析】【分析】（1）由圆的性质可知圆心是线段的垂直平分线和直线的交点，再求圆的半径，写出圆的标准方程；（2）假设存在点满足条件，设，利用两点距离公式计算，若为常数时，求的值.【详解】（1）线段AB的中点坐标为，∴线段AB的中垂线所在的直线方程为，∵圆心C在直线与直线的交点上，联立两条直线方程可得圆心C的坐标为，设圆C的标准方程为，将点A坐标代入可得，，∴圆C的方程为.（2）点，，直线MC方程为，假设存在点满足条件，设，则有，，，当是常数时，是常数，.∴存在满足条件.【点睛】本题考查圆的方程的求法，以及定值问题的综合应用，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型.20.已知函数为偶函数.（1）求实数的值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数，，是否存在实数m，使得的最小值为2，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）利用公式，求实数的值；（2）由题意得恒成立，求的取值范围；（3），，通过换元得，，讨论求函数的最小值，求实数的值.【详解】（1）是偶函数，，.（2）由题意得恒成立，。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_58
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单选题(本题共12小题，每小题5分，共60分）1.如果幂函数的图象经过点,则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设幂函数的表达式为，由题意得，，则，所以幂函数的表达式为有．故选.考点：幂函数的概念及其表达式，待定系数法.2.若是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. 2B. 6C. －2D. －6【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的性质得到，计算即得解.【详解】由奇函数的性质得到.故选：C【点睛】本题主要考查奇函数性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.下列各组函数表示同一函数的是A. B. f（x）=x，g（x）=C. f（x）=1，g（x）=x0D.【答案】B【解析】【分析】通过求函数的定义域可以判断出A，C ，D中的函数都不是同一函数，而对于B显然为同一函数．【详解】A.的定义域为,的定义域为，定义域不同，不是同一函数；B．f（x）=x和g（x）=的定义域和对应法则都相同，为同一函数,C．f（x）=1的定义域为，g（x）=x0的定义域为，不是同一函数；D．定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．故选B ．【点睛】本题考查函数的三要素：定义域，值域，对应法则，而判断两函数是否为同一函数，只需判断定义域和对应法则是否都相同即可．4.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间．【详解】∵连续减函数，∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=﹣log24＜0，∴函数的零点所在的区间是（3，4），故选C．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．5.设，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据对数函数的性质，可得，，又由指数函数的性质，可得，即可得到答案.【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得，，又由指数函数的性质，可得，所以.故选A.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中合理利用对数函数与指数函数的图象与性质，得出的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，化简求解，即可得到答案．【详解】由题意，利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，化简得，又由，则，所以，故选A．【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简与运算，其中解答中合理应用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．7.函数的单调减区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性，同增异减原则，求得答案.【详解】因为，所以函数的定义域为，令，则，因为函数在区间单调递减，单调递增，所以在单调递减.故选：C.【点睛】本题考查复合函数的单调区间，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意单调区间为定义域的子区间.8.如图在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，，若，则A.B.C.D. 6【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和平面向量的定义解答．【详解】解：，故，．所以．故选D．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应熟知平面向量的三角形法则，属基础题．9.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（）A. 6.33平方寸B. 6.35平方寸C. 6.37平方寸D. 6.39平方寸【答案】A【解析】【分析】连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积．【详解】连接OC，设半径为r，寸，则在直角三角形中，即，解得则，所以则所以扇形的面积三角形的面积所以阴影部分面积为所以选A【点睛】本题考查了直线与圆位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题．10.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，，故其在内单调递增，又∵函数定义域为，，故其为偶函数，综上可得在内单调递减，在内单调递增且图象关于轴对称，即等价于且，即不等式的解集为，故选C.点睛：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性在解抽象函数不等式中的应用，熟练掌握初等函数的形式是解题的关键；根据性质得到为定义域内的偶函数且在内单调递减，在内单调递增，故而可将不等式等价转化为在定义内解不等式即可.11.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解．【详解】由题意，函数是定义域为奇函数，且当时，，所以当时，，因为函数有六个零点，所以函数与函数的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，不妨设，由图知关于直线对称，关于直线对称，所以，而，所以，所以，所以，取等号的条件为，因为等号取不到，所以，又当时，，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．12.函数，，若在区间上是单调函数，，则的值为（）A. B. 2 C. 或 D. 或2【解析】【分析】先根据单调性得到的范围，然后根据得到的对称轴和对称中心，考虑对称轴和对称中心是否在同一周期内，分析得到的值.【详解】因为，则；又因为，则由可知得一条对称轴为，又因为在区间上是单调函数，则由可知的一个对称中心为；若与是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以；若与不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以.【点睛】对称轴和对称中心的判断：对称轴：，则图象关于对称；对称中心：，则图象关于成中心对称.二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数，则 .【答案】试题分析：∵，∴考点：本题考查了分段函数求值点评：解决分段函数的求值问题的关键是弄清自变量所在的范围．14.已知,则的值是_______________.【答案】2【解析】【分析】由代入原式中替换1，再分子分母同时除以，结合正切值即可得解.【详解】由.因为，所以原式.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系的妙用，属于基础题.15.已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________【答案】【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于对任意的，时，都有，所以函数在上为增函数，所以，解得.故答案为.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.16.给出下列命题，其中正确的命题序号是______________①将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像；②若为锐角三角形，则③是函数的图像的一条对称轴；④函数的周期为.【答案】②③【解析】利用三角函数的图像和性质逐项判断可得正确的结论.【详解】对于①，函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式为，故①错.对于②，因为为锐角三角形，故，所以，故②正确.对于③，令，则，当时，，故③正确.对于④，令，则，而，，故不是以为周期的函数.故答案为：②③.三、解答题（本题共6题，共70分）17.计算下列各式(1)(2)【答案】(1) 0；(2)2.【分析】（1）利用诱导公式和特殊角的三角函数值可求代数式的值.（2）利用对数运算性质可求代数式的值.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】（1）诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”.（2）对数的运算规则可分成三大类：①；；②；③．18.记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合,集合．（Ⅰ）求集合,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】【详解】试题分析：(1)由2x-3>0得，由得，所以,(2)当时，应有，当时，应有，所以的取值范围为考点：本题考查了集合的运算及定义域的求法点评：解答此类题型的主要策略有以下几点：①能化简的集合先化简，以便使问题进一步明朗化，同时掌握求解各类不等式解集方法，如串根法、零点分区间法、平方法、转化法等；②在进行集合的运算时，不等式解集端点的合理取舍是难点之一，可以采用验证的方法进行取舍；③解决含参数不等式与集合问题，合理运用数轴来表示集合是解决这类问题的重要技巧.19.美国对中国芯片技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：；对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）9千万元.【解析】【分析】（1）对于芯片，可设，利用题设条件可求，对于芯片，根据图象可得关于的方程，解方程后可得函数的解析式.（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），则利润，利用换元法可求该函数的最大值.【详解】（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设，因为每投入千万元，公司获得毛收入千万元，故，所以，因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.对于芯片，由图像可知，，故.因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），假设利润为，则利润.令，则，当即（千万元）时，有最大利润为（千万元）.答：当对芯片投入亿，对芯片投入千万元时，有最大利润千万元.【点睛】本题考查无理函数在实际中的应用，注意根据解析式的形式换元求最大值，本题属于基础题.20.已知函数.（1）若点在角的终边上,求和的值；（2）求使成立的的取值集合；（3）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先求出值后可求的值，再将代入计算可得的值.（2）利用正弦函数的性质可求不等式的解.（3）求出的最大值后可得的取值范围.【详解】（1）因为点在角的终边上，故，.故，又.（2）等价于，故，故，所以不等式的解为.（3）当时，，所以，因为不等式恒成立在上恒成立，故即.【点睛】本题考查终边相同的角、三角不等式的解以及三角函数在给定范围的最值，注意解三角方程可利用三角函数的图像和性质，也可以利用三角函数线，对于函数在给定范围上的最值问题，一般先求的范围后再利用正弦函数的性质求最值.21.如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点.（1）求函数的解析式及的单调增区间；（2）若时，函数的最小值为，求实数的值.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）由点是线段的中点可得以及个周期，再利用最高点的坐标可求的值，从而得到函数的解析式，最后利用正弦函数的性质可求单调增区间.（2）令，利用可求的范围，再就对称轴的位置分类讨论求出的最小值后可求的值.【详解】（1）因为点是线段的中点，故且，所以，故且，故即，故.又，故即.因为，故，所以.令，解得，故单调增区间为：.（2）令，因为，故，所以.令.当时，，解得.当时，，解得（舍）.当时，，故，但，故此时无解.综上，.【点睛】本题考查正弦型函数解析式的求法以及含的复合函数的最值，根据正弦型函数的图像求解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算.含的复合函数的最值问题，可换元转化为常见函数的最值问题.22.已知函数，其中，其中.（1）判断并证明函数在上的单调性；（2）求的值（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用减函数的定义可证明为上的减函数.（2）可证对任意的恒成立，从而可得所求的值.（3）利用的单调性和奇偶性可把原不等式转化为对任意的均成立，参变分离后可求实数的取值范围.【详解】（1），为减函数.设任意，则，因为，故所以故即，所以，因此在上为减函数.（2）,,故.（3）因为，故，故，而，该定义域关于原点对称，故为奇函数.故等价于.由（1）可知在上为减函数，故，所以对任意均成立，故即.故的取值集合为.【点睛】本题考查对数型函数的奇偶性、单调性以及这些性质在函数不等式中的应用，解函数不等式时，注意利用单调性和奇偶性去掉对应法则，注意定义域的要求，本题属于中档题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单选题(本题共12小题，每小题5分，共60分）1.如果幂函数的图象经过点,则的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设幂函数的表达式为，由题意得，，则，所以幂函数的表达式为有．故选.考点：幂函数的概念及其表达式，待定系数法.2.若是定义在上的奇函数，当时，，则（）A. 2B. 6C. －2D. －6【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的性质得到，计算即得解.【详解】由奇函数的性质得到.故选：C【点睛】本题主要考查奇函数性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.下列各组函数表示同一函数的是A. B. f（x）=x，g（x）=C. f（x）=1，g（x）=x0D.【答案】B【解析】【分析】通过求函数的定义域可以判断出A，C ，D中的函数都不是同一函数，而对于B显然为同一函数．【详解】A.的定义域为,的定义域为，定义域不同，不是同一函数；B．f（x）=x和g（x）=的定义域和对应法则都相同，为同一函数,C．f（x）=1的定义域为，g（x）=x0的定义域为，不是同一函数；D．定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．故选B ．【点睛】本题考查函数的三要素：定义域，值域，对应法则，而判断两函数是否为同一函数，只需判断定义域和对应法则是否都相同即可．4.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间．【详解】∵连续减函数，∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=﹣log24＜0，∴函数的零点所在的区间是（3，4），故选C．【点睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．5.设，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据对数函数的性质，可得，，又由指数函数的性质，可得，即可得到答案.【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得，，又由指数函数的性质，可得，所以.故选A.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中合理利用对数函数与指数函数的图象与性质，得出的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，化简求解，即可得到答案．【详解】由题意，利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，化简得，又由，则，所以，故选A．【点睛】本题主要考查了三角函数式的化简与运算，其中解答中合理应用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．7.函数的单调减区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性，同增异减原则，求得答案.【详解】因为，所以函数的定义域为，令，则，因为函数在区间单调递减，单调递增，所以在单调递减.故选：C.【点睛】本题考查复合函数的单调区间，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意单调区间为定义域的子区间.8.如图在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，，若，则A.B.C.D. 6【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和平面向量的定义解答．【详解】解：，故，．所以．故选D．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应熟知平面向量的三角形法则，属基础题．9.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）（）A. 6.33平方寸B. 6.35平方寸C. 6.37平方寸D. 6.39平方寸【答案】A【解析】【分析】连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积．【详解】连接OC，设半径为r，寸，则在直角三角形中，即，解得则，所以则所以扇形的面积三角形的面积所以阴影部分面积为所以选A【点睛】本题考查了直线与圆位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题．10.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，，故其在内单调递增，又∵函数定义域为，，故其为偶函数，综上可得在内单调递减，在内单调递增且图象关于轴对称，即等价于且，即不等式的解集为，故选C.点睛：本题主要考查了函数的单调性与奇偶性在解抽象函数不等式中的应用，熟练掌握初等函数的形式是解题的关键；根据性质得到为定义域内的偶函数且在内单调递减，在内单调递增，故而可将不等式等价转化为在定义内解不等式即可.11.已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解．【详解】由题意，函数是定义域为奇函数，且当时，，所以当时，，因为函数有六个零点，所以函数与函数的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图，不妨设，由图知关于直线对称，关于直线对称，所以，而，所以，所以，所以，取等号的条件为，因为等号取不到，所以，又当时，，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．12.函数，，若在区间上是单调函数，，则的值为（）A. B. 2 C. 或 D. 或2【答案】D【解析】【分析】先根据单调性得到的范围，然后根据得到的对称轴和对称中心，考虑对称轴和对称中心是否在同一周期内，分析得到的值.【详解】因为，则；又因为，则由可知得一条对称轴为，又因为在区间上是单调函数，则由可知的一个对称中心为；若与是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以；若与不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以.【点睛】对称轴和对称中心的判断：对称轴：，则图象关于对称；对称中心：，则图象关于成中心对称.二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数，则 .【答案】【解析】试题分析：∵，∴考点：本题考查了分段函数求值点评：解决分段函数的求值问题的关键是弄清自变量所在的范围．14.已知,则的值是_______________.【答案】2【解析】【分析】由代入原式中替换1，再分子分母同时除以，结合正切值即可得解.【详解】由.因为，所以原式.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系的妙用，属于基础题.15.已知函数，且对任意的，时，都有，则a的取值范围是________【答案】【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于对任意的，时，都有，所以函数在上为增函数，所以，解得.故答案为.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.16.给出下列命题，其中正确的命题序号是______________①将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像；②若为锐角三角形，则③是函数的图像的一条对称轴；④函数的周期为.【答案】②③【解析】【分析】利用三角函数的图像和性质逐项判断可得正确的结论.【详解】对于①，函数的图像向左平移个单位长度，所得图像的解析式为，故①错.对于②，因为为锐角三角形，故，所以，故②正确.对于③，令，则，当时，，故③正确.对于④，令，则，而，，故不是以为周期的函数.故答案为：②③.三、解答题（本题共6题，共70分）17.计算下列各式(1)(2)【答案】(1) 0；(2)2.【解析】【分析】（1）利用诱导公式和特殊角的三角函数值可求代数式的值.（2）利用对数运算性质可求代数式的值.【详解】（1）原式.（2）原式.【点睛】（1）诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”.（2）对数的运算规则可分成三大类：①；；②；③．18.记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合,集合．（Ⅰ）求集合,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】【详解】试题分析：(1)由2x-3>0得，由得，所以,(2)当时，应有，当时，应有，所以的取值范围为考点：本题考查了集合的运算及定义域的求法点评：解答此类题型的主要策略有以下几点：①能化简的集合先化简，以便使问题进一步明朗化，同时掌握求解各类不等式解集方法，如串根法、零点分区间法、平方法、转化法等；②在进行集合的运算时，不等式解集端点的合理取舍是难点之一，可以采用验证的方法进行取舍；③解决含参数不等式与集合问题，合理运用数轴来表示集合是解决这类问题的重要技巧.19.美国对中国芯片技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：；对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）9千万元.【解析】【分析】。
2019-2020学年江苏省南通市启东市高一数学上学期期末考试数学试题含解析
A. B.
C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
作出图形，由向量加法的三角形法则得出 可得出答案.
〖详 解〗如下图所示：
由题意可得 ，
由向量加法的三角形法则可得 .
故选：A.
〖点 睛〗本题考查利用基底来表示向量，涉及平面向量加法的三角形法则的应用，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
对于B选项，设 ，定义域为 ，关于原点对称，
且 ，该函数为偶函数，
当 时， ，则该函数在区间 上为增函数；
对于C选项，设 ，定义域为 ，关于原点对称，
且 ，该函数为偶函数，
当 时， ，则该函数在区间 上为增函数，该函数在区间 上为减函数；
对于D选项，函数 为奇函数，且在区间 上不单调.
故选：AC.
〖点 睛〗本题考查基本初等函数单调性与奇偶性的判断，考查推理能力，属于基础题.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
由 可得出 ，根据题意得出 ，结合 可得出关于 和 的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系可求出 的值.
〖详 解〗 ，则 ，由正余混弦的定义可得 .
则有 ，解得 ，因此， .
故选：D.
〖点 睛〗本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用，根据题意建立方程组求解 和 的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
〖点 睛〗本题考查利用指数函数和幂函数的单调性来比较指数幂的大小关系，解题时要结合指数幂的结构选择幂函数和指数函数的单调性来判断，考查推理能力，属于基础题.
8.在平面直角坐标系中，设角 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是 ，规定：比值 叫做 的正余混弦，记作 .若 ，则 （ ）
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_11
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分.考试时间120分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集的概念和运算，求得.【详解】根据补集的概念和运算可知.故选：D【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】对于A选项，为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，为奇函数，且在上递增，符合题意.对于C选项，是奇函数，且在上递减，不符合题意.对于D选项，是奇函数，且在上递减，在上递增，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在中,点M、N分别在边BC、CA上,若,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得的表达式.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理，判断出函数零点所在区间.【详解】依题意，当时，，根据零点存在性定理可知，零点所在区间是.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则( )A. 6B. 12C. 18D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】取线段的中点，得.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得【详解】取线段的中点，得.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题.6.不等式的解集为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A【解析】【分析】解正切型三角不等式求得不等式的解集.【详解】依题意，所以，故原不等式的解集为..故选：A【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7.函数大致图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为，且，所以函数为上的奇函数，由此排除A,B,C三个选项.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题.8.已知角A是的内角,若,则下列式子正确的是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合与，求得，由此判断出正确选项.【详解】由于，则，所以为锐角，由，即，解得.所以，，，.C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9.设函数,则下列结论错误的是( )A. 设,则有B. 对任意,都有C. 对任意,都有D. 对任意,都有【答案】C【解析】【分析】A选项利用函数的单调性进行判断.B选项利用函数的周期性进行判断.CD选项通过计算证明等式是否正确.【详解】A，由解得，所以在上单调递减，所以,则有，故A选项正确.B，函数最小正周期为，所以对任意,都有，故B选项正确.C，当时，，所以C选项错误.D，，，所以对任意,都有，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10.已知,函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简不等式，分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】原命题等价于存在,使得成立,即存在,使得成立，即,因此.故选：B【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】分析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为，由扇形的面积公式得.故答案为：(1). 2 (2). 1【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12.已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据图像求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值.【详解】根据图像可知，，所以，即，解得.所以，则，，由于，所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题.13.若,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】将对数式化为指数式，求得的值，进而求得的值以及的值.【详解】由得，所以，.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.设函数,则的单调递增区间为________,的值域为________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】画出的图像，根据图像求得的单调递增区间和值域.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，的单调递增区间为，的值域为.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线对称.若的终边经过点,则________.【答案】【解析】【分析】由终边上一点的坐标，求得，根据对称性求得终边上一点的坐标，由此求得，进而求得.【详解】由于的终边经过点，所以.点关于直线对称点为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于对称点的坐标的特点，属于基础题.16.已知为第四象限角,化简,________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意为第四象限角，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17.非零平面向量,,满足,且,则最小值________.【答案】【解析】【分析】首先求得与的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得的最小值.【详解】,,设与的夹角为,因此即与的夹角为（如图）,的终点在射线BA上,因此的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合,函数,记的定义域为B.(Ⅰ)当时,求,;(Ⅱ)若,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ),; (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合，由此求得,.（II）根据列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时,得,由,得,于是,;（Ⅱ）若,则,得【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19.已知,,是同一平面内的三个向量,且.(Ⅰ)若,且,求的坐标;(Ⅱ)若,且与垂直,求向量与夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ),或; (Ⅱ).【解析】【分析】（I）利用设出的坐标，根据列方程，由此求得的坐标.（II）根据与垂直，则，化简后求得，利用向量夹角公式，计算出向量与夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）设,,即,故,或;（Ⅱ）,即,代入整理得,向量与的夹角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20.已知函数,满足.(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的取值范围.【答案】(Ⅰ),.单调递增区间为,(Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用，结合，求得的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据图象变换的知识求得的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得在上的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为,,所以,因此,又,,因为,所以,即,因此函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由（Ⅰ）得,因此，又,所以.【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的零点;(Ⅱ)若对任意,恒有,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)【解析】【分析】（I）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点.（II）方法一：当时，求得表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及列不等式，解不等式求得的值.当时，分成和两种情况进行分类讨论，结合函数的单调区间和最值列不等式（组），由此求得的取值范围.方法二：利用在区间端点的函数值不小于列不等式组，解不等式组求得的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的的取值范围，恒有.【详解】（Ⅰ）当时,,（i）当时,令,即,解得;（ⅱ）当时,令,即,此方程,无实数解.由（i）（ⅱ）,得的零点为,（Ⅱ）方法1.（i）当时,对于,得,显然函数在上递减,要使恒成立,只需,即,得,又,所以符合题意.（ⅱ）当时,由,知函数在上递增,在上递减.以下对a再进行分类当,即时,函数在上递增,在上递减.此时,只需即解得,即又,所以符合题意.当,即时,函数在上递增.要使恒成立,只需,即,得,又所以符合题意.由（i）（ⅱ）,得实数a的取值范围是.方法2.因为对任意,恒有,所以,即,解得.下面证明,当时,对任意,恒有,（i）当时,递增,故成立;（ⅱ）当时,,,,故成立.由此,对任意,恒有,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分.考试时间120分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集的概念和运算，求得.【详解】根据补集的概念和运算可知.故选：D【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】对于A选项，为非奇非偶函数，不符合题意.对于B选项，为奇函数，且在上递增，符合题意.对于C选项，是奇函数，且在上递减，不符合题意.对于D选项，是奇函数，且在上递减，在上递增，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3.在中,点M、N分别在边BC、CA上,若,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得的表达式.【详解】依题意.故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理，判断出函数零点所在区间.【详解】依题意，当时，，根据零点存在性定理可知，零点所在区间是.故选：B【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则( )A. 6B. 12C. 18D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】取线段的中点，得.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得【详解】取线段的中点，得.所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题.6.不等式的解集为( )A. ,B. ,C. ,D. ,【分析】解正切型三角不等式求得不等式的解集.【详解】依题意，所以，故原不等式的解集为..故选：A【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7.函数大致图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项.【详解】依题意函数的定义域为，且，所以函数为上的奇函数，由此排除A,B,C三个选项.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题.8.已知角A是的内角,若,则下列式子正确的是( )A. B.C. D.【分析】结合与，求得，由此判断出正确选项.【详解】由于，则，所以为锐角，由，即，解得.所以，，，.C选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9.设函数,则下列结论错误的是( )A. 设,则有B. 对任意,都有C. 对任意,都有D. 对任意,都有【答案】C【解析】【分析】A选项利用函数的单调性进行判断.B选项利用函数的周期性进行判断.CD选项通过计算证明等式是否正确.【详解】A，由解得，所以在上单调递减，所以,则有，故A选项正确.B，函数最小正周期为，所以对任意,都有，故B选项正确.C，当时，，所以C选项错误.D，，，所以对任意,都有，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10.已知,函数,若存在,使得成立,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简不等式，分离常数，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】原命题等价于存在,使得成立,即存在,使得成立，即,因此.故选：B【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【答案】 (1). 2 (2). 1【解析】分析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为，由扇形的面积公式得.故答案为：(1). 2 (2). 1【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12.已知函数（其中,）的部分图象如图所示,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】首先根据图像求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值.【详解】根据图像可知，，所以，即，解得.所以，则，，由于，所以.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题.13.若,则________,________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】将对数式化为指数式，求得的值，进而求得的值以及的值.【详解】由得，所以，.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.设函数,则的单调递增区间为________,的值域为________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】画出的图像，根据图像求得的单调递增区间和值域.【详解】画出的图像如下图所示，由图可知，的单调递增区间为，的值域为.故答案为：(1). (2).【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以x轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线对称.若的终边经过点,则________.【答案】【解析】【分析】由终边上一点的坐标，求得，根据对称性求得终边上一点的坐标，由此求得，进而求得.【详解】由于的终边经过点，所以.点关于直线对称点为，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于对称点的坐标的特点，属于基础题.16.已知为第四象限角,化简,________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.【详解】依题意为第四象限角，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17.非零平面向量,,满足,且,则最小值________.【答案】【解析】【分析】首先求得与的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得的最小值.【详解】,,设与的夹角为,因此即与的夹角为（如图）,的终点在射线BA上,因此的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合,函数,记的定义域为B. (Ⅰ)当时,求,;(Ⅱ)若,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ),; (Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合，由此求得,.（II）根据列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.【详解】（Ⅰ）当时,得,由,得,于是,;（Ⅱ）若,则,得【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19.已知,,是同一平面内的三个向量,且.(Ⅰ)若,且,求的坐标;(Ⅱ)若,且与垂直,求向量与夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ),或; (Ⅱ).【解析】【分析】（I）利用设出的坐标，根据列方程，由此求得的坐标.（II）根据与垂直，则，化简后求得，利用向量夹角公式，计算出向量与夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）设,,即,故,或;（Ⅱ）,即,代入整理得,向量与的夹角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20.已知函数,满足.(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求在上的取值范围.【答案】(Ⅰ),.单调递增区间为,(Ⅱ)【解析】【分析】（I）利用，结合，求得的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据图象变换的知识求得的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得在上的取值范围.【详解】（Ⅰ）因为,,所以,因此,又,,因为,所以,即,因此函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由（Ⅰ）得,因此，又,所以.【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求函数的零点;(Ⅱ)若对任意,恒有,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)【解析】【分析】（I）当时，将表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得的零点.（II）方法一：当时，求得表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及列不等式，解不等式求得的值.当时，分成和两种情况进行分类讨论，结合函数的单调区间和最值列不等式（组），由此求得的取值范围.方法二：利用在区间端点的函数值不小于列不等式组，解不等式组求得的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的的取值范围，恒有.【详解】（Ⅰ）当时,,（i）当时,令,即,解得;（ⅱ）当时,令,即,此方程,无实数解.由（i）（ⅱ）,得的零点为,（Ⅱ）方法1.（i）当时,对于,得,显然函数在上递减,要使恒成立,只需,即,得,又,所以符合题意.（ⅱ）当时,由,知函数在上递增,在上递减.以下对a再进行分类当,即时,函数在上递增,在上递减.此时,只需即解得,即又,所以符合题意.当,即时,函数在上递增.要使恒成立,只需,即,得,又所以符合题意.由（i）（ⅱ）,得实数a的取值范围是.方法2.因为对任意,恒有,所以,即,解得.下面证明,当时,对任意,恒有,（i）当时,递增,故成立;（ⅱ）当时,,,,故成立.由此,对任意,恒有,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_61
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（考试时间:120分钟试卷总分:150分）注意事项:1.答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.2.全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂.1.已知全集则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，再求交集即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题.2.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求解.【详解】由扇形面积公式可得这个扇形面积为故选：A【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由零点存在性定理求解即可.【详解】，，，，因为，，，所以函数的零点所在的区间是故选：A【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.4.设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数得到，，计算出，即可得到.【详解】函数是定义在R上的奇函数，则所以故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，属于基础题.5.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意求出直角三角形的面积以及斜边的长，由勾股定理以及三角形面积公式列出等式，求解即可.【详解】因为大正方形的面积为5，所以直角三角形的斜边为小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则每一个直角三角形的面积为设直角三角形的两直角边分别为：，则有解得：则故选：B点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式以及求正切，属于基础题.6.已知则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的余弦公式将展开，平方后化简得到，求出，即可得出.【详解】因为所以，化简得到又，所以，即，即所以所以故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.7.已知，则的最小值是（）A. 0B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】将展开化简得到，再由化简得到，根据的范围，即可得到的最小值.【详解】因为，所以当时，取最小值：故选：A【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及模长的求法，属于中档题.8.函数的图象大致是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性排除D，取特殊值排除A，C，即可得出答案.【详解】令，则函数为奇函数所以排除D，解得：，因为，，所以排除A，C故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.9.若，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性得出，利用对数的运算得出，利用指数的运算化简并与比较，即可得出答案.【详解】因为，，所以故选：C【点睛】本题主要考查了比较大小，属于中档题.10.已知函数则的最大值为（）A. 1B. 3C.D.【答案】D【解析】【分析】化简，利用正弦函数的性质求出，利用换元法以及二次函数的单调性即可求解.【详解】因为，所以令，则,二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最大值为故选：D【点睛】本题主要考查了求函数正弦的二次式的最值，属于中档题.11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得出，根据平移变换得到，由结合正弦函数的性质得到,或,，由即可得到答案.【详解】因为，，所以由题意可得，解得：,或,即,或,当时，故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的平移变换等，属于中等题.12.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用符号表示不大于的最大整数，如，则叫做高斯函数.给定函数，若关于的方程有5个解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】证明函数是以为周期的周期函数，并根据时，的图象画出，，将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论的取值，根据图像，列出相应不等式即可得到实数的取值范围.【详解】所以函数是以为周期的周期函数，当时，，则要使得有5个解，即函数与函数的图象有5个交点.当时，函数与函数，的图象如下图所示不满足题意当时，函数与函数，的图象如下图所示要使得函数与函数的图象有5个交点，则函数的图象低于点A，不低于点B故有，解得：故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置13.若向量与共线，则实数___________;【答案】【解析】【分析】由向量共线得到，即可得到.【详解】向量与共线，则，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题. 14.求值=___________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式得到，逆用两角和的余弦公式，即可求解.【详解】则故答案为：【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的逆用，属于基础题.15.若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】先确定的解，画出函数的图像，根据图像分析即可得出实数的取值范围.【详解】，解得；，解得函数的图像如下图所示由图可知，要使得函数在上的最大值为2，则【点睛】本题主要考查了根据函数的最值求参数，属于中档题.16.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“和谐函数”:（1）任意恒成立;（2）任意且，都有以下四个函数:①；②；③；④中是“和谐函数”的为________________（写出所有正确的题号）.【答案】③④【解析】先由单调性以及奇偶性定义得到“和谐函数”满足的条件，再以此为依据，分别判断奇偶性以及单调性，即可判断.【详解】任意恒成立，则任意即函数在上为奇函数取，因任意且，都有，所以在上增函数①函数的定义域为，故①不是和谐函数；②，令，则函数在上为奇函数，但，即不是增函数，故②不是和谐函数；③令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，所以，即所以函数在上为增函数，故③为和谐函数；④令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，，所以即即函数在上为增函数，故④是和谐函数；故答案为：③④【点睛】本题主要考查了函数单调性的证明以及奇偶性的证明，属于中等题.三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.已知全集，集合（1）求（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】(1)化简集合B，求出集合A的补集，即可求解(2)根据集合A与集合C没有公共部分，画出韦恩图，列出相应不等式，即可求解.【详解】解：（1）因为，或，（2）因为，所以集合A与集合C没有公共部分或故有或，解得：或即实数的取值范围是或【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算以及已知集合间的关系求参数，属于中等题.18.如图，在矩形ABCD中，点E是AC的中点，点F在边CD上.（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，试用表示;（2）若AB＝2，BC＝3，当时，求DF的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据平行四边形法则得到，，结合三角形法则并化简得；(2)建立直角坐标系，用坐标表示、，即可得到DF的长.【详解】解：（1）因为是中点，所以.因为是上靠近的三等分点，所以，.所以.（2）如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系设的长为,则.所以.因为，所以,所以,即的长为.【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知数量积求模长，属于中档题.19.已知函数（1）求的单调递增区间;（2）若，且求的值.【答案】（1）单调递增区间为（2）【解析】【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、诱导公式、辅助角公式化简，根据正弦函数的单调增区间化简得到的单调递增区间；(2)根据函数的解析式以及化简得到，再由确定，再由两角和的正切公式求出.【详解】解：（1）由已知得：由得.所以的单调递增区间为.（2）因为,所以,即.因为所以因此即所以.【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及两角和的正切公式，属于中档题.20.在国庆期间，某商场进行优惠大酬宾活动，在活动期间，商场内所有商品按标价的80％出售;同时，当顾客在该商场内消费满一定金额（元）后，还可按如下方案获得相应金额（元）的奖券:根据上述优惠方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，购买标价为300元的商品，则消费金额为240元，获得的优惠额为:（元）.设购买商品得到的，试问:（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在（元）内的商品，要使顾客购买某商品获得30％的优惠率，则该商品的标价是多少?【答案】（1）购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是（2）购买标价为元的商品可以得到的优惠率【解析】【分析】(1)根据题意求出优惠额，利用题设所给公式即可得到优惠率；(2) 设购买标价为元的商品可以得到的优惠率，分别讨论和，根据优惠率列出等式，求出相应的标价，即可得出满足题意的标价.【详解】解：（1）标价为元商品优惠额为:元,所以优惠率为：.答：购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是.（2）设购买标价为元的商品可以得到的优惠率.当时，，优惠率为：，解得.因为，所以不合题意，舍去.当时，，优惠率为：，解得.因为，符合题意.答：购买标价为元的商品可以得到的优惠率.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的应用，属于中档题.21.已知函数是函数的零点，是函数图象的对称轴，且.（1）求函数的解析式;（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)根据函数图象的对称轴以及，得出，由，列出方程组，解出，根据得出，；(2)将零点问题转化为函数与函数的交点问题，根据图像，求出的取值范围.【详解】解：（1）是函数图象的对称轴，且，则由已知得所以所以,又因为所以，，故（2）依题意知函数与在上有个交点结合图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.22.已知函数（1）当时，求满足方程的的值;（2）若函数是定义在R上的奇函数.①若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围;②已知函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】(1)解方程求出的值即可；(2)根据函数是定义在R上的奇函数，由定义列出方程，求出，对于①，利用函数单调性的定义证明的单调性，利用单调性化简不等式得到，由，即可得到实数的取值范围；对于②，由的解析式得到的解析式，化简，结合换元法以及基本不等式得到实数的最大值.11【详解】解：（1）因为，，所以，化简得，解得（舍）或，所以.（2）因为是奇函数，所以，所以化简变形得：要使上式对任意恒成立，则且解得：或，因为的定义域是，所以舍去所以，，所以.①，对任意，，且有：，因为，所以，所以，因此在上单调递增，因为，当时成立，所以，当时成立，即，当时成立，当时，，所以.②因为，所以，所以，不等式恒成立，即，令，因为且，所以，即，所以，当时恒成立，即，当时恒成立，因为，，当且仅当时，等号成立，所以，即实数的最大值为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的性质、利用函数单调性解不等式以及基本不等式，属于难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）（考试时间:120分钟试卷总分:150分）注意事项:1.答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上.2.全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂.1.已知全集则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】求出，再求交集即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（）A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求解.【详解】由扇形面积公式可得这个扇形面积为故选：A【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由零点存在性定理求解即可.【详解】，，，，因为，，，所以函数的零点所在的区间是【点睛】本题主要考查了零点存在性定理，属于基础题.4.设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数得到，，计算出，即可得到.【详解】函数是定义在R上的奇函数，则所以故选：B【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质，属于基础题.5.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意求出直角三角形的面积以及斜边的长，由勾股定理以及三角形面积公式列出等式，求解即可.【详解】因为大正方形的面积为5，所以直角三角形的斜边为小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则每一个直角三角形的面积为设直角三角形的两直角边分别为：，则有解得：则故选：B点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式以及求正切，属于基础题.6.已知则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的余弦公式将展开，平方后化简得到，求出，即可得出.【详解】因为所以，化简得到又，所以，即，即所以所以故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.7.已知，则的最小值是（）A. 0B. 1C.D.【答案】A【解析】【分析】将展开化简得到，再由化简得到，根据的范围，即可得到的最小值.【详解】因为，所以当时，取最小值：故选：A【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及模长的求法，属于中档题.8.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性排除D，取特殊值排除A，C，即可得出答案.【详解】令，则函数为奇函数所以排除D，解得：，因为，，所以排除A，C故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.9.若，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性得出，利用对数的运算得出，利用指数的运算化简并与比较，即可得出答案.【详解】因为，，所以故选：C【点睛】本题主要考查了比较大小，属于中档题.10.已知函数则的最大值为（）A. 1B. 3C.D.【答案】D【解析】【分析】化简，利用正弦函数的性质求出，利用换元法以及二次函数的单调性即可求解.【详解】因为，所以令，则,二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的最大值为故选：D【点睛】本题主要考查了求函数正弦的二次式的最值，属于中档题.11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得出，根据平移变换得到，由结合正弦函数的性质得到,或,，由即可得到答案.【详解】因为，，所以由题意可得，解得：,或,即,或,当时，故选：C【点睛】本题主要考查了正弦函数的平移变换等，属于中等题.12.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用符号表示不大于的最大整数，如，则叫做高斯函数.给定函数，若关于的方程有5个解，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】证明函数是以为周期的周期函数，并根据时，的图象画出，，将方程的解的个数转化为函数的交点个数，讨论的取值，根据图像，列出相应不等式即可得到实数的取值范围.【详解】所以函数是以为周期的周期函数，当时，，则要使得有5个解，即函数与函数的图象有5个交点.当时，函数与函数，的图象如下图所示不满足题意当时，函数与函数，的图象如下图所示要使得函数与函数的图象有5个交点，则函数的图象低于点A，不低于点B故有，解得：故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于难题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置13.若向量与共线，则实数___________;【答案】【解析】【分析】由向量共线得到，即可得到.【详解】向量与共线，则，解得故答案为：【点睛】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题.14.求值=___________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式得到，逆用两角和的余弦公式，即可求解.【详解】则故答案为：【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的逆用，属于基础题.15.若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】先确定的解，画出函数的图像，根据图像分析即可得出实数的取值范围.【详解】，解得；，解得函数的图像如下图所示由图可知，要使得函数在上的最大值为2，则【点睛】本题主要考查了根据函数的最值求参数，属于中档题.16.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“和谐函数”:（1）任意恒成立;（2）任意且，都有以下四个函数:①；②；③；④中是“和谐函数”的为________________（写出所有正确的题号）.【答案】③④【解析】【分析】先由单调性以及奇偶性定义得到“和谐函数”满足的条件，再以此为依据，分别判断奇偶性以及单调性，即可判断.【详解】任意恒成立，则任意即函数在上为奇函数取，因任意且，都有，所以在上增函数①函数的定义域为，故①不是和谐函数；②，令，则函数在上为奇函数，但，即不是增函数，故②不是和谐函数；③令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，所以，即所以函数在上为增函数，故③为和谐函数；④令，定义域为，则函数在上为奇函数；设，因为，，所以即即函数在上为增函数，故④是和谐函数；故答案为：③④【点睛】本题主要考查了函数单调性的证明以及奇偶性的证明，属于中等题.三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤.17.已知全集，集合（1）求（2）如果，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）或【解析】【分析】(1)化简集合B，求出集合A的补集，即可求解(2)根据集合A与集合C没有公共部分，画出韦恩图，列出相应不等式，即可求解.【详解】解：（1）因为，或，（2）因为，所以集合A与集合C没有公共部分或故有或，解得：或即实数的取值范围是或【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算以及已知集合间的关系求参数，属于中等题. 18.如图，在矩形ABCD中，点E是AC的中点，点F在边CD上.（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，试用表示;（2）若AB＝2，BC＝3，当时，求DF的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据平行四边形法则得到，，结合三角形法则并化简得；(2)建立直角坐标系，用坐标表示、，即可得到DF的长.【详解】解：（1）因为是中点，所以.因为是上靠近的三等分点，所以，.所以.（2）如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系设的长为,则.所以.因为，所以,所以,即的长为.【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知数量积求模长，属于中档题.19.已知函数（1）求的单调递增区间;（2）若，且求的值.【答案】（1）单调递增区间为（2）【解析】【分析】(1)利用二倍角的余弦公式、诱导公式、辅助角公式化简，根据正弦函数的单调增区间化简得到的单调递增区间；(2)根据函数的解析式以及化简得到，再由确定，再由两角和的正切公式求出.【详解】解：（1）由已知得：由得.所以的单调递增区间为.（2）因为,所以,即.因为所以因此即所以.【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及两角和的正切公式，属于中档题.20.在国庆期间，某商场进行优惠大酬宾活动，在活动期间，商场内所有商品按标价的80％出售;同时，当顾客在该商场内消费满一定金额（元）后，还可按如下方案获得相应金额（元）的奖券:根据上述优惠方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，购买标价为300元的商品，则消费金额为240元，获得的优惠额为:（元）.设购买商品得到的，试问:（1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价在（元）内的商品，要使顾客购买某商品获得30％的优惠率，则该商品的标价是多少?【答案】（1）购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是（2）购买标价为元的商品可以得到的优惠率【解析】【分析】(1)根据题意求出优惠额，利用题设所给公式即可得到优惠率；(2) 设购买标价为元的商品可以得到的优惠率，分别讨论和，根据优惠率列出等式，求出相应的标价，即可得出满足题意的标价.【详解】解：（1）标价为元商品优惠额为:元,所以优惠率为：.答：购买一件标价为元的商品，顾客得到的优惠率是.（2）设购买标价为元的商品可以得到的优惠率.当时，，优惠率为：，解得.因为，所以不合题意，舍去.当时，，优惠率为：，解得.因为，符合题意.答：购买标价为元的商品可以得到的优惠率.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的应用，属于中档题.21.已知函数是函数的零点，是函数图象的对称轴，且.（1）求函数的解析式;（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1)根据函数图象的对称轴以及，得出，由，列出方程组，解出，根据得出，；(2)将零点问题转化为函数与函数的交点问题，根据图像，求出的取值范围.【详解】解：（1）是函数图象的对称轴，且，则由已知得所以所以,又因为所以，，故（2）依题意知函数与在上有个交点结合图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.22.已知函数（1）当时，求满足方程的的值;（2）若函数是定义在R上的奇函数.①若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围;②已知函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】(1)解方程求出的值即可；(2)根据函数是定义在R上的奇函数，由定义列出方程，求出，对于①，利用函数单调性的定义证明的单调性，利用单调性化简不等式得到，由，即可得到实数的取值范围；对于②，由的解析式得到的解析式，化简，结合换元法以及基本不等式得到实数的最大值.11【详解】解：（1）因为，，所以，化简得，解得（舍）或，所以.（2）因为是奇函数，所以，所以化简变形得：要使上式对任意恒成立，则且解得：或，因为的定义域是，所以舍去所以，，所以.①，对任意，，且有：，因为，所以，所以，因此在上单调递增，因为，当时成立，所以，当时成立，即，当时成立，当时，，所以.②因为，所以，所以，不等式恒成立，即，令，因为且，所以，即，所以，当时恒成立，即，当时恒成立，因为，，当且仅当时，等号成立，。
江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题(含解析)
2.利用二分法求方程 log3 x 3 x 的近似解，可以取的一个区间是（
A. 0,1
B. 1, 2
C. 2,3
【答案】C
）
3, 4
D.
【解析】
【分析】
构造函数 f (x) log3 x 3 x ，将 x 1, 2, 3, 4 代入 f (x) 看所对应的值正负，进而得到答案.
【详解】设 f (x) log3 x 3 x ，
【详解】令 t 2 x 0 ，则 x 2 t2 （ t 0 ）
所以 f (t) 2 t2 t(t 0)
由
f
(t)
2
t2
t
t
1 2
2
9 4
又t 0
所以 f (t) 2
即 f x x 2 x 的值域为 , 2.
故选 C
【点睛】本题主要考查了换元法求函数的值域，解决此类问题时，在换元的过程中注意自变
当连续函数 f (x) 满足 f (a) f (b) 0 时， f (x) 在区间 (a, b) 上有零点，即方程
log3 x 3 x 在区间 (a, b) 上有解，
f
1
log3 1 3 1
2
0
,又
f
(2)
log3
2 1
0
，
f (3) log3 3 3 3 1 0 , f (4) log3 4 3 4 1 log3 4 2 0
三、填空题
Hale Waihona Puke 13.计算：(8 27
２
) ３＋log
5
3
log5
15
(
2 1)lg1
=_________________
1 【答案】 4
江苏省南通市启东市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
函数 在区间 上也有两个零点，
令 ,解得 , ，由题意可得 ，解得 。
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查数形结合思想以及代数法的应用,属于中等题。
四、解答题：
17.设全集 ，集合 ， 。
（1）当 时，求 ;
（2)在① ,② ,③ 这三个条件中任选一个，求实数 的取值范围。
【详解】（1)当 时， ，
, ，
因此， ；
(2) ， 。
选择①, ,则 或 ，解得 或 ,
此时，实数 的取值范围是 ；
选择②， , ，则 ,解得 ，
此时,实数 的取值范围是 ;
选择③， ， 或 ，解得 或 ，
此时，实数 的取值范围是 。
综上所述,选择①，实数 取值范围是 ；
选择②，实数 的取值范围是 ;
C 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义可判断出A、C选项的正误;利用共线向量的定义可判断出B选项的正误;在等式 两边平方，可判断出D选项的正误。
【详解】对于A选项，设 与 的夹角为 ，则 ，则 ， ，
则 与 同向，所以 ，A选项正确；
对于B选项，由于 、 、 是三个非零向量，且 ， ，则存在非零实数 、 ，使得 ， ， ， ,B选项正确;
则有 ，解得 ,因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用,根据题意建立方程组求解 和 的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。
二、多项选择题:
9.已知全集 ，集合 、 满足 ，则下列选项正确的有（ ）
南通市如皋市2019_2020学年高一数学上学期教学质量调研试题一含解析
故选: B
【点睛】此题考查基本初等函数单调性问题，注意掌握每种函数单调性特点即可，属于基础简单题目。
4。已知函数 已知 ，则实数 的值为( ）
A. 或1B。 或2C. 1D. 或2或1
江苏省南通市如皋市2019—2020学年高一数学上学期教学质量调研试题（一）（含解析)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分)
1.设集合 ， ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
A表示 属于 的实数，B表示取 三个数，取相同部分即可.
【详解】A可取整数为0,1,2,所以
易得 时，
故选:A
【点睛】此题考查通过函数图像解不等式，关键点准确画出函数图像，通过函数图像易得满足条件的 取值范围。
10.已知函数 的定义域为 ，其图象关于 轴对称，且当 时，满足 ，则 的大小关系为（ ）
A。 B。
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
图象关于 轴对称易得函数 为偶函数, 等价于 ，推出 在 为增函数，将已知点通过偶函数性质转化到同一单调区间即可。
A。 1B. 2C。 3D。 5
【答案பைடு நூலகம்D
【解析】
【分析】
,有两个元素;且 ，所以B中有一个或者三个元素，然后分情况讨论。
【详解】因为 ,有两个元素， ，所以B中有一个或者三个元素.
当B有一个元素时， 有一个解，可得 。
当B有3个元素时, 有三个解，其中 ，
当 有一个解时,则 ，可得
当 有两个解且其中一个和0或者 相等时也满足条件.
江苏省南通市如皋中学2019-2020学年高一数学上学期第一次阶段考试试题(含解析)
x
，即函数在 (0, + ) 的图象是 y
=
1 2
x
在
(
0,
+
)
的图象，
可排除选项 B, D ，故选 C.
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年 高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循. 解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
C.
2 3
,
+
D. 1, +)
-4-
“分段函数分段处理”对 a 的范围进行讨论 a 1 ， a 1 两种情况，则我们能对应求出 f (a) 的
表达式，进而解不等式 f (a) 1 .
【详解】
f
(x)
=
3x −1, x 1 2x , x 1 ，所以当 a
画出 y1 = 5−x , y2 = 5x , y3 = 0.5x 的图象如下，
5x 0.5x 5−x ，故选 B。
9.设函数
f
(x)
=
3x −1, x 1 2x , x 1 ，则满足
f
(a)
1时
a
的取值范围是（
）
A.
2 3
,1
【答案】C
【解析】
B. 0,1
x → 0+, x → 0−, x → +, x → −时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项
一一排除. 8.若－1<x<0，则不等式中成立的是( ) A. 5－x<5x<0.5x C. 5x<5－x<0.5x 【答案】B 【解析】
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_11
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知角的终边过点，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的广义定义可得的值.【详解】因为，故选B.【点睛】本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力.2. 圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是( )A. cm2B. cm2C. πcm2D. 3πcm2【答案】B【解析】∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，∴S＝lr＝××6＝(cm2)．【详解】∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，∴S＝lr＝××6＝(cm2)．3.函数的零点所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出的值，从而求出函数的零点所在的范围．【详解】由题意，，，所以，所以函数的零点所在的大致区间是，故选C.【点睛】本题考察了函数的零点问题，根据零点定理求出即可，本题是一道基础题．4.已知，是第四象限角，则的值是( )A. B. C. D.【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【详解】∵cosα，α为第四象限角，∴sinα，则tanα．故选D．【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5.若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】指数函数单调性不确定，可以分类讨论.【详解】指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1则解得a=故选D【点睛】该题考查指数函数单调性，a>1,函数单调递增，0<a<1函数单调递减.6.设，，那么是A. 奇函数且在（0，＋∞）上是增函数B. 偶函数且在（0，＋∞）上是增函数C. 奇函数且在（0，＋∞）上是减函数D. 偶函数且在（0，＋∞）上是减函数【答案】D【解析】满足，所以是偶函数；当时，，为减函数.故选D.7.在上，满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数和的图像，根据图像求得不等式的解集.【详解】如图所示，在同一坐标系内作出在上的图像和的图像.由图可知：满足的的取值范围是.故选C.【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用待定系数法求出的表达式即可．【详解】解：设，则，解得，则，则．故选B．【点睛】本题主要考查函数值计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．9.下列函数中最小正周期为的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给函数的最小正周期即可.【详解】逐一考查所给函数的最小正周期：A. 的最小正周期为；B. 的最小正周期为；C. 的最小正周期为；D. 的最小正周期为；故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期及其判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.函数的单调递增区间为（）A. （－∞，1）B. （2，+∞）C. （－∞，）D. （，+∞）【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性求解即可.【详解】因为为减函数,且定义域为.所以,即或故求的单调递减区间即可.又对称轴为,在上单调递减.又,故的单调递增区间为.故选：A【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间,需要注意对数函数的定义域,属于基础题型.11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】首先利用，求得的值，然后结合图像，求得解得个数.【详解】依题意，解得，所以，画出函数图像和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故有个解.故选C.【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查方程的解与函数图像交点的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.二、填空题：本大题4小题,每小题５分,共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上.13.______.【答案】【解析】【分析】根据指对数的运算法则求解即可.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型. 14.若，，则__________．【答案】【解析】分析】将等式两边平方，可计算出，由得出，，然后将代数式平方，可计算出的值，联立方程组，解出和的值，然后利用同角三角函数的商数关系可求出的值.【详解】，，将等式两边平方得，得，，则,，所以，，则有，解得，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用同角三角函数平方关系以及商数关系求值，在涉及值的计算时，一般将代数式平方来进行计算，考查计算能力，属于中等题.15.函数的单调减区间___________【答案】【解析】当时，，由，得，所以减区间为．16.设函数，则下列结论正确的是______写出所有正确命题的序号函数的递减区间为；函数的图象可由的图象向左平移得到；函数的图象的一条对称轴方程为；若，则的取值范围是．【答案】【解析】【分析】利用正弦函数的单调性判断；利用正弦函数图象的平移变换判断；利用正弦函数的对称性判断；利用正弦函数的图象判断．【详解】令，解得，所以函数的递减区间为，故正确；由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，故错误；令，解得，所以函数的图象的对称轴方程为，故错误；由于，所以，当时，，当时，，故正确，故答案为．【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、对称性、最值以及三角函数图象的变化规律，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间.三、解答题：本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知，（1）求值：；（2）求值：.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】Ⅰ.利用弦化切，即可得出结论．Ⅱ了由诱导公式化简，根据已知可得结论【详解】Ⅰ.Ⅱ【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，属基础题.18.已知函数，它的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）依题意，则，将点的坐标代入函数的解析式可得，故，函数解析式为.（2）由题意可得，结合三角函数的性质可得函数的值域为.试题解析：（1）依题意，，故.将点的坐标代入函数的解析式可得，则，，故，故函数解析式为.（2）当时，，则，，所以函数的值域为.点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．第三步：求出所求函数的值域(或最值)．19.设，且.(1)求的值；(2)求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）直接由求得的值；（2）由对数的真数大于0求得的定义域，判定在上的增减性，求出在上的最值，即得值域．【详解】解：(1)∵，∴，∴；(2)由得，∴函数定义域为，，∴当时，是增函数；当时，是减函数，∴函数在上的最大值是．【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．20.已知是第三象限角，且.（1）若，求的值；（2）求函数，的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简和，再利用同角三角函数的基本关系即可得到的值；（2）由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数在上的值域．【详解】解：（1），∴，是第三象限角，∴，∴；（2），令，则，故在上值域等价于在上的值域；∴当时，，当时，函数的值域是.【点睛】本题考查诱导公式应用、同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数在区间上的值域，属于中档题21.已知函数.（1）求函数的单调递增区间和对称中心；（2）当时,方程有解，求实数的取值范围．【答案】（1）对称中心为（，1），（k∈Z）．单调递增区间为[kπ，kπ]，（k∈Z）．（2）[，].【解析】【分析】（1）利用正弦函数的图象的对称性求得该函数的对称中心；利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y sin（2x）在上的最值即得的取值范围．【详解】（1）∵函数f（x）sin（2x）+1，∴令2x kπ，解得x，∴对称中心为（，1），（k∈Z）．由y sin（2x）的减区间满足：2kπ2x2kπ，（k∈Z），解得kπx≤kπ，∴函数f（x）sin（2x）+1的单调递增区间为[kπ，kπ]，（k∈Z）．（2）方程有解，即为sin（2x）=m有解，令y sin （2x）则当时，2x∈[，]，∴当2x，即x时，函数y sin（2x）取得最大值1，当2x，即x时，函数f（x）取得最小值．∴y∈[，]，即m∈[，].【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域以及它的图象的对称性，考查了方程有解的问题的转化，属于中档题．22.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式，.【答案】（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性和题干得到，进而求得参数；（2）根据奇偶性和单调性得到求解即可.【详解】（1），；（2）任取，所以函数在上是增函数；（3）.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题；对于解不等式问题，一种方法是可以直接代入函数表达式，进行求解，一种方法是通过研究函数的单调性和奇偶性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知角的终边过点，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的广义定义可得的值.【详解】因为，故选B.【点睛】本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力.2. 圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是( )A. cm2B. cm2C. πcm2D. 3πcm2【答案】B【解析】【分析】∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，∴S＝lr＝××6＝(cm2)．【详解】∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，∴S＝lr＝××6＝(cm2)．3.函数的零点所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出的值，从而求出函数的零点所在的范围．【详解】由题意，，，所以，所以函数的零点所在的大致区间是，故选C.【点睛】本题考察了函数的零点问题，根据零点定理求出即可，本题是一道基础题．4.已知，是第四象限角，则的值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【详解】∵cosα，α为第四象限角，∴sinα，则tanα．故选D．【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5.若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】指数函数单调性不确定，可以分类讨论.【详解】指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1则解得a=故选D【点睛】该题考查指数函数单调性，a>1,函数单调递增，0<a<1函数单调递减.6.设，，那么是A. 奇函数且在（0，＋∞）上是增函数B. 偶函数且在（0，＋∞）上是增函数C. 奇函数且在（0，＋∞）上是减函数D. 偶函数且在（0，＋∞）上是减函数【答案】D【解析】满足，所以是偶函数；当时，，为减函数.故选D.7.在上，满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数和的图像，根据图像求得不等式的解集.【详解】如图所示，在同一坐标系内作出在上的图像和的图像.由图可知：满足的的取值范围是.故选C.【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用待定系数法求出的表达式即可．【详解】解：设，则，解得，则，则．故选B．【点睛】本题主要考查函数值计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．9.下列函数中最小正周期为的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意逐一考查所给函数的最小正周期即可.【详解】逐一考查所给函数的最小正周期：A. 的最小正周期为；B. 的最小正周期为；C. 的最小正周期为；D. 的最小正周期为；故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期及其判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.函数的单调递增区间为（）A. （－∞，1）B. （2，+∞）C. （－∞，）D. （，+∞）【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的单调性求解即可.【详解】因为为减函数,且定义域为.所以,即或故求的单调递减区间即可.又对称轴为,在上单调递减.又,故的单调递增区间为.故选：A【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间,需要注意对数函数的定义域,属于基础题型.11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】首先利用，求得的值，然后结合图像，求得解得个数.【详解】依题意，解得，所以，画出函数图像和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故有个解.故选C.【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查方程的解与函数图像交点的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.二、填空题：本大题4小题,每小题５分,共20分.请将答案填写在答题卷中的横线上.13.______.【答案】【解析】【分析】根据指对数的运算法则求解即可.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型.14.若，，则__________．【答案】【解析】分析】将等式两边平方，可计算出，由得出，，然后将代数式平方，可计算出的值，联立方程组，解出和的值，然后利用同角三角函数的商数关系可求出的值.【详解】，，将等式两边平方得，得，，则,，所以，，则有，解得，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用同角三角函数平方关系以及商数关系求值，在涉及值的计算时，一般将代数式平方来进行计算，考查计算能力，属于中等题.15.函数的单调减区间___________【答案】【解析】当时，，由，得，所以减区间为．16.设函数，则下列结论正确的是______写出所有正确命题的序号函数的递减区间为；函数的图象可由的图象向左平移得到；函数的图象的一条对称轴方程为；若，则的取值范围是．【答案】【解析】【分析】利用正弦函数的单调性判断；利用正弦函数图象的平移变换判断；利用正弦函数的对称性判断；利用正弦函数的图象判断．【详解】令，解得，所以函数的递减区间为，故正确；由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，故错误；令，解得，所以函数的图象的对称轴方程为，故错误；由于，所以，当时，，当时，，故正确，故答案为．【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、对称性、最值以及三角函数图象的变化规律，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间.三、解答题：本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知，（1）求值：；（2）求值：.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】Ⅰ.利用弦化切，即可得出结论．Ⅱ了由诱导公式化简，根据已知可得结论【详解】Ⅰ.Ⅱ【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，属基础题.18.已知函数，它的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）依题意，则，将点的坐标代入函数的解析式可得，故，函数解析式为.（2）由题意可得，结合三角函数的性质可得函数的值域为.试题解析：（1）依题意，，故.将点的坐标代入函数的解析式可得，则，，故，故函数解析式为.（2）当时，，则，，所以函数的值域为.点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的形式．第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．第三步：求出所求函数的值域(或最值)．19.设，且.(1)求的值；(2)求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）直接由求得的值；（2）由对数的真数大于0求得的定义域，判定在上的增减性，求出在上的最值，即得值域．【详解】解：(1)∵，∴，∴；(2)由得，∴函数定义域为，，∴当时，是增函数；当时，是减函数，∴函数在上的最大值是．【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．20.已知是第三象限角，且.（1）若，求的值；（2）求函数，的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简和，再利用同角三角函数的基本关系即可得到的值；（2）由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数在上的值域．【详解】解：（1），∴，是第三象限角，∴，∴；（2），令，则，故在上值域等价于在上的值域；∴当时，，当时，函数的值域是.【点睛】本题考查诱导公式应用、同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数在区间上的值域，属于中档题21.已知函数.（1）求函数的单调递增区间和对称中心；（2）当时,方程有解，求实数的取值范围．【答案】（1）对称中心为（，1），（k∈Z）．单调递增区间为[kπ，kπ]，（k∈Z）．（2）[，].【解析】【分析】（1）利用正弦函数的图象的对称性求得该函数的对称中心；利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y sin（2x）在上的最值即得的取值范围．【详解】（1）∵函数f（x）sin（2x）+1，∴令2x kπ，解得x，∴对称中心为（，1），（k∈Z）．由y sin（2x）的减区间满足：2kπ2x2kπ，（k∈Z），解得kπx≤kπ，∴函数f（x）sin（2x）+1的单调递增区间为[kπ，kπ]，（k∈Z）．（2）方程有解，即为sin（2x）=m有解，令y sin（2x）则当时，2x∈[，]，∴当2x，即x时，函数y sin（2x）取得最大值1，当2x，即x时，函数f（x）取得最小值．∴y∈[，]，即m∈[，].【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域以及它的图象的对称性，考查了方程有解的问题的转化，属于中档题．22.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式，.【答案】（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性和题干得到，进而求得参数；（2）根据奇偶性和单调性得到求解即可.【详解】（1），；（2）任取，所以函数在上是增函数；（3）.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题；对于解不等式问题，一种方法是可以直接代入函数表达式，进行求解，一种方法是通过研究函数的单调性和奇偶性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系.。