数学基础2
第2章 信息安全数学基础new(数论)
3.素数个数定理（1）：素数的个数是无限的。
证明：反证法 pk 假设正整数个数是有限的，设为p1,p2,….., ..,p 令：p1p2…pk +1=N (N>1) …,k). 则N有一个素数p，且p≠pi（i=1,2, i=1,2,… 故p是上述k个素数外的另外一个素数。 因此与假设矛盾。 原因： （1）N（N>1）的除1外的最小正因数q是一个素数 …,k), 且q|N，因此q|(N （2）如果q=pi，（i＝1,2, 1,2,… q|(Npk )，所以q|1，与q是素数矛盾。 p1p2,….. ..p
2015-3-18
最大公约数的欧几里得算法（续）
�
欧几里得算法（例1）
求：gcd（1180，482）
1180＝2 × 482＋216 482＝2 × 216＋50 216＝4 × 50＋16 50＝3 ×16＋2 16＝8 × 2＋0
gcd（1180，482）＝2
2015-3-18
最大公约数的欧几里得算法（续）
2015-3-18
素数定义及素数个数定理
3.素数个数定理（2）： , 设π(x)是小于x的素数个数，则 π(x) ≈ x / lnx lnx, ) →1 即x→∝时，比值π(x) /(x / lnx lnx) : 可以估算100位素数的个数： eg eg: π(10100) - π(1099) ≈ 10100/(ln10100) – 1099/(ln1099) ≈3.9 * 1097.
2. 求最大公约数的两种方法：
(1)因数分解： : eg eg: 1728 = 2632，4536 = 23347, gcd(1728, 4536) = 2332 = 72。2015-3-18来自最大公约数的欧几里得算法
七年级数学第2单元知识点
七年级数学第2单元知识点数学作为一门重要的科学，具有着深厚的学术实力和普遍的应用场景。
其中，数学的基础知识扎实程度直接影响着数学学科的学习和运用。
在七年级的数学教学中，数学教师们会着重讲解各种数学知识，其中第2单元是一大重点。
该单元主要围绕代数式和代数式的运算方法进行深入讲解。
在这篇文章中，我们将针对七年级数学第2单元的知识点进行全面分析和总结。
1. 代数式的概念代数式是指一个或多个代数符号以及数字通过加、减、乘、除等基本运算符号的组合所得出的式子，如 a+b、2x-3y等。
2. 代数式的运算代数式的运算是指针对代数式的基本运算符号如加减乘除，进行数学运算的过程。
代数式的加减运算，主要是指对代数式中相同变量和幂次的项进行合并。
3. 同类项的概念和判断同类项是指代数式中变量和幂次相同的项，如5x^2和3x^2就是同类项。
在合并同类项的时候，需要判断它们是否为同类项。
4. 代数式的乘法运算代数式的乘法运算分为同底数幂的乘法、异底数幂的乘法和代数式的乘法法则。
同底数幂的乘法要求底数相同，而指数相加。
异底数幂的乘法则一定要先合并同底数幂，再进行乘法运算。
5. 代数式的除法运算代数式的除法运算是指将分式合并为一个代数式。
在进行数据转换和计算的时候，常常需要将分式转换为代数式。
6. 代数式的平方及其方法代数式的平方是指将一个代数式乘以它自身，即 a^2= a×a。
求代数式平方的方法有：公式法、代数竖式法和分配律法。
7. 平方根的概念和计算平方根是指一个数的平方等于这个数的根号，如√16=4。
平方根的计算一般通过列竖式法、约分法、完全平方数法等不同的方式来求解。
总结：七年级数学第2单元的内容主要围绕代数式和代数式的运算法则展开，如代数式的加减、乘法和除法运算，同时也是对同类项、代数式的平方、平方根等知识进行了深入讲解。
这些知识点需要我们认真掌握并进行实际应用，才能更好的理解数学的本质，为更高层次数学的学习与应用奠定坚实的基础。
初中数学分式方程的应用基础训练2(附答案详解)
（1）求N95口罩进价每只多少元？
（2）国家规定：N95口罩销售价不得高于30元/只．根据市场调研：N95口罩每天的销量y(只)与销售单价x(元/只)之间的函数关系式为y=－10x+500，该药店决定对一次性医用口罩按进价销售，但又想销售口罩每天获利2400元，该药店需将N95口罩的销售价格定为每只多少元？
26．商合杭高铁是国内高速铁路网“八纵八横”主通道的重要组成部分，预计于2020年6月建成通车，建成之后相比普通列车，芜湖到合肥的时间将缩短1个小时，已知芜湖与合肥相距约 ，普通列车速度为 ，则商合杭高铁设计时速为多少？
27．一艘轮船在静水中的最大航速为35千米/时，当江水匀速流动时，这艘轮船以最大航速沿江顺流航行120千米所用时间，与以最大航速沿江逆流航行90千米所用时间相同，求江水的流速．
23．为厉行节能减排，倡导绿色出行，我市推行“共享单车”公益活动．某公司在小区分别投放A、B两种不同款型的共享单车，其中A型车的投放量是B型车的投放量的 倍，B型车的成本单价比A型车高20元，A型、B型单车投放总成本分别为30000元和26400元，求A型共享单车的成本单价是多少元？
24．2019年10月17日是我国第6个扶贫日，也是第27个国际消除贫困日．为组织开展好铜陵市2019年扶贫日系列活动，促进我市贫困地区农产品销售，增加贫困群众收入，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批铜陵生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．
十四五中等职业学校教材 数学学习指导与练习 基础模块2下册
十四五中等职业学校教材数学学习指导与练习基础
模块2下册
本教材根据职业教育的特点，把知识传授与能力培养相结合，在尊重学生的基础上，遵循学生的认知规律，面向大多数学生精选最基本、应用最广泛的内容搭建数学知识平台。
课程内容的设置注意了多样性和选择性，确保“人人都能学习数学”，让数学基础不同的学生都能获得不同的提高。
教材注意从学生熟悉、感兴趣的事物或可能产生的疑问出发，提出问题。
解决问题，引入知识，以利学生理解，提高学习的积极性和兴趣。
教材编写中，注意与初中阶段学习的衔接；注重结论，淡化过程，减少证明，简化计算；注意数形结合，增强直观；引导学生边学边做，在问题解决中学习知识；不过分追求系统性、完整性和严密性，对传统的体系作了部分调整。
对于提前出现的概念，可作为问题留待后续学习中解决。
叙述尽可能简洁通俗，深入浅出，体现亲切。
插入彩图，增强趣味性，激发学生的求知欲。
第1章 算法概论(2-数学基础)
数学基础
多项式函数
p(n)= a0+a1n+a2n2+…+adnd； ad>0; p(n) = (nd); f(n) = O(nk) f(n)多项式有界； f(n) = O(1) f(n) c; k d p(n) = O(nk) ; k d p(n) = (nk) ; k > d p(n) = o(nk) ; k < d p(n) = (nk) .
数学基础
关于递推方程中取下整和取上整的处理（续）
for any a > 0,
logbn = o(na)，即：对数的阶低于 多项式的阶
数学基础
阶乘函数 stirling近似公式
数学基础 3、求和 算术级数： 几何级数：
1 2 k 1 2 ... n n(n 1) (n ) 2 k 1
n
1 x 1 x ... x x 1 k 0
数学基础
单调函数
单调递增：m n f(m) f(n) ; 单调递减：m n f(m) f(n); 严格单调递增：m < n f(m) < f(n); 严格单调递减：m < n f(m) > f(n). x ：不大于x的最大整数； x ：不小于x的最小整数。
故，对数复杂度函数 通常忽略其对数底是 什么。 常常涉及到问题的二 分，认为对数的底取 2最自然。
|x| 1
x2 x3 x4 x5 ln(1 x) x . 2 3 4 5
for x > -1,
x ln(1 x) x 1 x
log b n log b n lim a log n lim 0 , a n ( 2 ) n n
第2章 信息安全数学基础new(数论)
2015-3-20计算X a ( mod n) ,其中 x, a, n ∈Z +Eg Eg Eg:: 计算21234 (mod 789) 一种有效的方法：224 ≡ 16 28 ≡ 256 216 ≡ 2562 ≡ 49 232 ≡ 492 ≡ 34 264 ≡ 342 ≡ 3672128 ≡ 3672 ≡ 5592256 ≡ 5592 ≡ 372512 ≡ 372 ≡ 58021024 ≡ 5802 ≡ 2861234 = 1024+128+64+16+2 （1234 = (10011010010)2） 221234 = 286 × 559 559 ×367367 ×4949×4 ≡ 481 (mod 789)模的幂运算优势：模的幂运算可快速完成，并且不需要太大内存2015-3-2022/2 (2-1)/2 (y y y y y y y ÷⎧÷⎨⎩表示除以取整，即：是偶数＝（是奇数）但是，上述计算过程并不适合于计算机程序实现。
为此，可以采用“重复平方-乘”运算来进行指数模运算。
2222() () (y yy x y x x x y ÷÷⎧⎪⎨⎪⎩因此：是偶数＝是奇数）2015-3-20重复平方-乘算法求模指数运算的重复平方-乘算法输入：整数x ，y ，n ：x >0，y ?0，n>1输出：(mod )y x n算法描述：00 mod_exp(x ,y , n )01 if y=0 return(1)02 if y (mod 2)=0 return(mod_exp(x 2(mod n ), y ÷2, n )（mod n ）03 return(x i mod_exp(x 2(mod n ), y ÷2, n )(mod n ))�请用平方-乘算法计算：（1） 3460 mod 51（2） 34589 mod 1012015-3-20第2章信息安全数学基础2.5 本原根2015-3-20整数的次数由欧拉定理知道：如果(a, m)＝1，m>1，则aϕ(n(n))≡1(mod m)也就是说，如果(a, m)＝1，m>1，则存在一个整数γ满足:aγ≡1(mod m)定义（整数的次数）：若(a, m)＝1，m>1，则使得同余式a aγ≡1(mod m)成立的最小正整数γ叫做a对模m的次数。
第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
中考数学基础过关(2)
数学基础过关（2）1．图1所示的是一个上下两个面都为正方形的长方体，现将图1的一个角切掉，得到图2所示的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．2．图①是五棱柱形状的几何体，则它的三视图为（）A．B．C．D．3．如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，则这个几何体是（）A．B．C．D．4．如图是一个正三棱柱的三视图，则这个三棱柱摆放方式正确的是（）A．B．C．D．5．如图，下列图形从正面看是三角形的是（）A．B．C．D．6．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为．7．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为．8．为了配合新型冠状病毒的防控工作，某社区欲购进一批酒精对社区进行消毒，现有A、B 两种酒精可供选择，B种酒精比A种酒精每瓶贵2元，用600元购买A种酒精和用800元购买B种酒精的数量相同，现要求出A、B两种酒精每瓶的价格．设A种酒精每瓶的价格为x元，则可列方程为．9．随着市民环保意识的日渐增强，文明、绿色的环保祭扫方式（鲜花祭奠、网络祭奠等）正成为一种趋势，清明节期间，我区某花店用4000元购买了若干花束，很快就售完了，接着又用4500元购买了第二批花束．已知第二次购买的花束的数量是第一批所购花束的数量的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元．若设第一批所购花束的数量为x 束，则可列方程为．10．两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米．第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程．11．方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．12．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，则b的值为．13．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为；14．设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝．15．若a、b是关于一元二次方程x2+x﹣3＝0的两实数根，则的值为．16．在一次投篮比赛中，某小组8名同学的成绩（单位：分）分别是：6，10，7，7，8，6，9，6，则这组数据的中位数是．17．疫情期间小隆和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶测量体温（单位：℃），结果分别为36.2、37.1、36.5、37.1、36.6，其中中位数是．18．某班统一为学生采购校服60件，收集尺码如下表：尺码/cm165170175180185190数量/件37201875则这组数据的中位数是．19．若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为．20．初三（1）班的五个学习小组的人数分别是：9，5，7，x，5．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是．21．疫情当前，根据上级要求学生在校期间每天都要检测体温，小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3，那么这组体温的众数是．22．一个射手连续射靶22次，其中3次射中10环，7次射中9环，9次射中8环，3次射中7环．则射中环数的中位数和众数分别为，．23．我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量（单位：t），并将调查结果绘成了如下的条形统计图，则这10个样本数据的平均数是，众数是，中位数是．24．已知一组从小到大排列的数据：1，x，y，2x，6，10的平均数与中位数都是5，则这组数据的众数是．25．下图是某小组美术作业得分情况，则该小组美术作业得分的众数为分．编号12345678910得分（分）343554355426．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝35°，则∠3＝．27．如图，已知∠A+∠C＝180°，∠APM＝118°，则∠CQN＝°．28．如图，直线a，b分别与直线c，d相交，且∠1+∠3＝135°，∠2﹣∠3＝45°，若∠3＝α，则∠4的度数为．29．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1＝100°，∠2＝100°，∠3＝125°，那么∠4等于度．30．如图，若∠1＝∠2＝∠3＝48°，则∠4＝°．31．如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝6，△ABD和△BCD的周长的差是．32．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为19cm，则△ABD的周长为．33．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝5，则它的周长等于．34．如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是cm．35．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB＝4cm，AC＝3cm，BE＝5cm，则△ABC的周长是cm．三．解答题（共15小题）36．为落实优秀传统文化进校园，某校计划购进“四书”、“五经”两套图书供学生借阅，已知这两套图书单价和为660元，一套“四书”比一套“五经”的2倍少60元．（1）分别求出这两套图书的单价；（2）该校购买这两套图书不超过30600元，且购进“四书”至少33套，“五经”的套数是“四书”套数的2倍，该校共有哪几种购买方案？37．义安中学工会“三八妇女节”共筹集会费1800元，工会决定拿出不少于270元，但不超过300元的资金为“优秀女职工”购买纪念品，其余的钱用于给50位女职工每人买一瓶洗发液或护发素，已知每瓶洗发液比每瓶护发素贵9元，用200元恰好可以买到2瓶洗发液和5瓶护发素．（1）求每瓶洗发液和每瓶护发素价格各是多少元？（2）有几种购买洗发液和护发素的方案？哪种方案用于为“优秀女职工”购买纪念品的资金更充足？38．某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．39．某文具店准备购进甲，乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲中钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种．40．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．A种产品B种产品成本（万元/件）25利润（万元/件）13（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，求工厂的最大利润？41．解分式方程：+＝1．42．解方程：．43．①；②．44．解方程：．45．解方程：．46．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出小球上的数字相同的概率；（2）两次取出小球上的数字之和不小于4的概率．47．九（3）班“2017年新年联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率是．（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？通过树状图分析说明理由．48．某校计划从各班各抽出1名学生作为代表参加学校组织的海外游学计划，明明和华华都是本班的候选人，经过老师与同学们商量，用所学的概率知识设计摸球游戏决定谁去，设计的游戏规则如下：取M、N两个不透明的布袋，分别放入黄色和白色两种除颜色外均相同的乒乓球，其中M布袋中放置3个黄色的乒乓球和2个白色的乒乓球；N布袋中放置1个黄色的乒乓球，3个白色的乒乓球．明明从M布袋摸一个乒乓球，华华从N布袋摸一个乒乓球进行试验，若两人摸出的两个乒乓球都是黄色，则明明去；若两人摸出的两个乒乓球都是白色，则华华去；若两人摸出乒乓球颜色不一样，则放回重复以上动作，直到分出胜负为止．根据以上规则回答下列问题：（1）求一次性摸出一个黄色乒乓球和一个白色乒乓球的概率；（2）判断该游戏是否公平？并说明理由．49．某游乐场设计了一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的，并且规定：①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值6元小兔玩具，否则应付费4元．（1）问游玩者得到小兔玩具的机会有多大；（2）假设有100人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？50．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出小球上的数字相同的概率；（2）两次取出小球上的数字之和大于3的概率．。
数学2课件：第三章 3.4 基本不等式：ab≤a+b2
[解析] 当建成 n 个球场时，每平方米的购地费用为12180×001n04＝1 2n80， 由题意，知 n＝5 时，f(n)＝400， 则 f(5)＝m1＋5－ 205＝400，所以 m＝400. 所以 f(n)＝4001＋n2－05＝20n＋300. 从而每平方米的综合费用为 y＝f(n)＋1 2n80＝20n＋6n4＋300
(2)年平均利润为ny＝－2(n＋4n9－20) ≤－2(2 n·4n9－20)＝12. 当且仅当 n＝4n9，即 n＝7 时上式取等号． 所以，当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元．
利用基本不等式证明不等式 [典例] (本题满分 12 分)(1)已知 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， 求证：1a＋1b＋1c≥9； (2)已知 a，b>0，a＋b＝1，求证： a＋12＋ b＋12≤2.
2 x－3·x－4 3＋3＝7， 当且仅当 x－3＝x－4 3即 x＝5 时，f(x)取到最小值 7. (3)法一：∵x>0，y>0,2x＋y＝1， ∴1x＋1y＝2xx＋y＋2x＋ y y＝3＋xy＋2yx≥3＋2 xy·2yx＝3＋2 2， 当且仅当xy＝2yx，即 y＝ 2x 时，等号成立，
课时作业
第10课 罗密欧与朱丽叶(节选)
诗海探珠 生查子·独游雨
岩 辛弃疾 溪边照影行， 天在清溪底。 天上有行云， 人在行云里。 高歌谁和余？ 空谷清音起。
佳诗品韵清幽书香
【赏析】 这首词是作者在游雨岩的时候 写的。上片以溪为中心，用天、人、云来烘 托出一幅色调清雅的图画。下片写自己的清 傲孤独。“高歌谁和余？”这高歌不是一般的 歌，是正义的，抗金的歌。和者是“空谷清音 起。”从这里也看出作者寄情山水是迫不得已 的，但是倔强不渝的爱国决心，却从高歌中 唱了出来。词调轻快清新，景色如画。此词 上阕以写形为主，笔法自然平实，下阕以写
高中数学学习记忆的口诀详解（2）
高中数学学习记忆的口诀详解(2)高三的数学基础知识点第一部分集合(1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2;(2) 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。
(3)第二部分函数与导数1.映射：注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一，或多对一。
2.函数值域的求法：①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性 ;⑤换元法;⑥利用均值不等式; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性( 、、等);⑨导数法3.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数 ;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数的定义域是内函数的值域。
4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;⑵ 是奇函数 ;⑶ 是偶函数 ;⑷奇函数在原点有定义，则 ;⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性;(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性;6.函数的单调性⑴单调性的定义：① 在区间上是增函数当时有 ;② 在区间上是减函数当时有 ;⑵单调性的判定1 定义法：注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法(见2 (2));④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 (其中为非零常数)，则称函数为周期函数，为它的一个周期。