专题3 空间向量基本定理 讲义

专题1.3 空间向量基本定理知识点一 空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使得p ＝xa ＋yb ＋zc.我们把{a ，b ，c}叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i ，j ，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量xi ，yj ，zk 使得a ＝xi ＋yj ＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三 证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb.(2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝xa ＋yb.知识点四 求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|. (2)若a ，b 是非零向量，则a∥b ⇔a·b ＝0. 知识点五 求距离(长度)问题 ||a ＝a·a( ||AB →＝AB →·AB → )．【题型1 空间向量基底的判断】【例1】（2020秋•嘉祥县校级期中）已知{a →，b →，c →}是空间向量的一个基底，则与向量p →=a →+b →，q →=a →−b →可构成空间向量基底的是（ ） A ．a →B ．b →C ．a →+2b →D ．a →+2c →【变式1-1】（2020秋•桃城区校级期中）已知{e 1→，e 2→，e 3→}是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（ ）①e 1→，2e 2→，e 2→−e 3→②2e 2→，e 2→−e 1→，e 2→+2e 1→③2e 1→+e 2→，e 2→+e 3→，−e 1→+5e 3→ ④e 3→，e 1→+e 3→，e 1→+e 3→．A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③【变式1-2】（2020秋•赤峰校级期末）{a →，b →，c →}＝是空间向量的一个基底，设p →=a →+b →，q →=b →+c →，r →=c →+a →，给出下列向量组：①{a →，b →，p →}，②{b →，c →，r →}，③{p →，q →，r →}，④{p →，q →，a →+b →+c →}，其中可以作为空间向量基底的向量组有（ ）组． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【变式1-3】已知{e 1→，e 2→，e 3→}为空间的一个基底，且OA→=e 1→+2e 2→−e 3→，OB→=−3e 1→+e 2→+2e 3→，OC→=e 1→+e 2→−e 3→，能否以{OA →，OB →，OC →}作为空间的一组基底？【题型2 空间向量基本定理的应用（表示向量）】【例2】（2020秋•南开区校级月考）在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，AA 1→=c →，AB →=b →，AD →=a →，E 是BC 的中点，用a →，b →，c →表示A 1E →为（ ） A ．12a →+b →−c →B ．a →+b →−c →C ．12a →−b →−c →D ．12a →−b →+c →【变式2-1】（2020秋•南阳期末）已知空间四边形OABC ，其对角线OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，用向量OA →，OB →，OC →，表示向量OG →是（ ）A ．OG →=OA →+23OB →+23OC →B ．OG →=12OA →+23OB →+23OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →+13OB →+23OC →【变式2-2】（2020秋•随州期末）已知在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a →，b →，c →表示MN →，则MN →等于 ．【变式2-3】（2020秋•珠海期末）四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，点G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA →=a →，PB →=b →，PC →=c →，用基底{a →，b →，c →}表示向量BG →= ．【题型3 空间向量基本定理的应用（求参数）】【例3】（2020秋•江苏期末）在三棱锥O ﹣ABC 中，AD →=DB →，CE →=2EB →，若DE →=xOA →+yOB →+zOC →，则（ ）A ．x =12，y =−16，z =13 B ．x =12，y =16，z =−13 C ．x =−12，y =16，z =13 D ．x =12，y =16，z =13【变式3-1】（2020秋•资阳期末）如图，M ，N 是分别是四面体O ﹣ABC 的棱OA ，BC 的中点，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，若MN →=x a →+y b →+z c →，则x ，y ，z 的值分别是（ ）A ．12，12，12B ．12，12，−12C ．−12，12，−12D ．−12，12，12【变式3-2】（2020秋•白水县期末）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若AG →=xAB →+yAD →+zAC →，则x+y+z ＝ ．【变式3-3】（2020秋•番禺区期末）在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，E ，F ，分别在棱B1B 和D1D 上，且BE =13BB 1，DF =23DD 1．若EF →=xAB →+yAD →+zAA 1→，则x+y+z ＝ ．【题型4 利用空间向量基本定理解决几何问题】【例4】如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD －A1B1C1D1 ，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是________．(填序号)① (AA1—→＋AB →＋AD →)2＝2(AC →)2 ； ②AC1—→·(AB →－AD →)＝0 ；③向量B1C —→与AA1—→的夹角是60°； ④BD1与AC 所成角的余弦值为63.【变式4-1】如图，二面角α－l －β等于2π3，A ，B 是棱l 上两点， BD, AC 分别在平面α，β内，AC∥l ，BD∥l ，且 2AB ＝AC ＝BD ＝2，则CD 的长等于( )A ．2 3 B.13 C ．4 D ．5【变式4-2】如图所示，在三棱锥 A －BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ＝DA ＝2，E 为BC 的中点．(1)证明：AE∥BC ；(2)求直线AE 与DC 的夹角的余弦值．【变式4-3】如图，正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 是DD1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B1O∥平面PAC.【课后检测】一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2020秋•烟台期中）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个2．（3分）（2020秋•碑林区校级月考）若{a →、b →、c →}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是（ ）A ．{a →，a →+b →，a →−b →} B ．{b →，a →+b →，a →−b →} C ．{c →，a →+b →，a →−b →} D ．{a →+b →，a →−b →，2a →+b →}3．（3分）（2020秋•枣庄期末）如图：在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，M 为A1C1，B1D1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →4．（3分）（2020秋•榆林期末）如图，在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，M 为A1C1与B1D1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则下列向量中与AM →相等的向量是（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →5．（3分）（2020秋•安顺期末）如图，在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，则OG →等于（ ）A ．13OA →+13OB →+13OC →B ．12OA →+13OB →+14OC →C ．12OA →+14OB →+14OC →D ．14OA →+14OB →+16OC →6．（3分）（2020秋•新乡期末）如图，在长方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，P 是线段D1B 上一点，且BP ＝2D1P ，若AP →=x AB →+y AD →+z AA 1→，则x+y+z ＝（ ）A ．53B ．23C ．43D ．17．（3分）（2020秋•皇姑区校级期末）若O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则（ ）A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线 C ．OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面8．（3分）（2020秋•吉林期末）在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若OG →=13OA →+xOB →+yOC →，且G ，M ，N 三点共线，则x+y ＝（ ） A ．−13 B ．13 C ．23 D ．−23二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021春•徐汇区校级期中）在平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1中，设AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，用a →、b →、c →作为基底向量表示D 1B →= ．10．（4分）（2020秋•沈阳期中）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且MP ＝2PN ，设向量OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则OP →= .（用{a →，b →，c →}表示）11．（4分）（2020秋•浙江月考）已知正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，A 1E →=13A 1C 1→，若AE →=xAA 1→+yAB →+zAD →，则x ＝ ，y+z ＝ ．12．（4分）（2020•闵行区校级模拟）在正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，点M 和N 分别是矩形ABCD 和BB1C1C 的中心，若点P 满足DP →=m DA →+n DM →+k DN →，其中m 、n 、k∥R ，且m+n+k ＝1，则点P 可以是正方体表面上的点 ．三．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2020秋•淄博期末）已知空间向量i →，j →，k →都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）A ．向量i →+j →+k →的模是3B ．{i →+j →，i →−j →，k →}可以构成空间的一个基底C ．向量i →+j →+k →和k →夹角的余弦值为√33 D ．向量i →+j →与k →−j →共线14．（4分）（2020秋•荔湾区期末）在空间四边形OABC 中，E 、F 分别是OA 、BC 的中点，P 为线段EF 上一点，且PF ＝2EP ，设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则下列等式成立的是（ ） A ．OF →=12b →+12c →B ．EP →=−16a →+16b →+16c →C ．FP →=−13a →+13b →+13c →D ．OP →=13a →+16b →+16c →15．（4分）（2020秋•山东月考）设{a →，b →，c →}是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ） A ．a →，b →，c →可以为任意向量B ．对空间任一向量p →，存在唯一有序实数组（x ，y ，z ），使p →=x a →+y b →+z c →C ．若a →⊥b →，b →⊥c →，则a →⊥c →D ．{a →+2b →，b →+2c →，c →+2a →}可以作为构成空间的一组基底16．（4分）（2020秋•乳山市校级月考）给出下列命题，其中正确命题有（ ） A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量a →∥b →，则存在向量可以与a →，b →构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面 D ．已知向量组{a →，b →，c →}是空间的一个基底，若m →=a →+c →，则{a →，b →，m →}也是空间的一个基底 四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，求证：{a →+b →，b →+c →，c →+a →}可以构成空间的一个基底． 18．（6分）（2020秋•乐山期中）如图，在平行六面体ABCD ﹣A'B'C'D'中，AB ＝4，AD ＝3，AA'＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，且点F 为BC'与B'C 的交点，点E 在线段AC'上，有AE ＝2EC'． （1）求AC'的长；（2）将EF →用基向量AB →，AD →，AA′→来进行表示．设EF →=x AB →+y AD →+z AA′→，求x ，y ，z 的值．19．（8分）（2020秋•兴庆区校级期中）如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，设AB →=a →，AC →=b →，AD →=c →，a →，b →，c →为空间向量的一组基底， 计算： （1）EF →⋅BA →； （2）|EG|．20．（8分）（2020秋•成都期末）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1．（I ）若G 为△ABC 的重心，A 1M →=3MG →，设AB →=a ，AD →=b ，AA 1→=c ，用向量a 、b 、c 表示向量A 1M →； （II ）若平行六面体ABCD ﹣A1B1C1D1各棱长相等且AB ⊥平面BCC1B1，E 为CD 中点，AC1∩BD1＝O ，求证：OE ⊥平面ABC1D1．21．（8分）已知在四面体P ﹣ABC 中，PA →=a →，PB →=b →，PC →=c →，G∥平面ABC ． 证明：G 为△ABC 的重心的充要条件是PG →=13（a →+b →+c →）22．（8分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，点G 为△ABC 的重心，点M 在PG 上，且PM ＝3MG ，过点M 任意作一个平面分别交线段PA ，PB ，PC 于点D ，E ，F ，若PD →=m PA →，PE →=n PB →，PF →=t PC →，求证：1m +1n +1t 为定值，并求出该定值．。