向量加法的几何解释
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2.2.1向量加法运算及其几何意义
三 向量的加法满足 交换律 与 结合律
a b b a ( a b) c a (b c )
D
D
b A a a+b
a b B
C
a+b+c A
a B b+c a+b
c
C b
练习 根据图示填空: DA (1)a+d=____________ CB (2)c+b=____________
A （3）以OA,OB为邻边作平行四边形
o
B
（ )4）则 a+ b=OC
C
这种作法叫做 向量加 法的平行四边形法则
规律：起点相同
练习 已知向量a,b,分别用向量加法的 三角形法则与向量加法的平行四边形 法则作出a+b
a b
当向量a , b是共线向量时, a b又如何 作出来? (1) 同向
D
C
d c O b
a
A
B
例:如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h 的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h 的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向 C 解:如图,设用向量 AC D 表示船向垂直于对岸的速 度,用向量 AB 表示水流 B A 的速度
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 实际行驶的速度
f
a
d
c f
f g
A
c
b
C
(3)a b d (4)c d e
B
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
2.2.1向量加法运算及其几何意义(高中数学人教A版必修四)
ab
b
C
交换律: a b b a
B
结合律: (a b) c a (b c)
向量加 法
学以致用
例１.化简
AD (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC _____ 0
方向相同
AC a b
方向相反
向量加 法
课堂练习
教材P84页练习1. 1、（1）
ab
a
（3）
ab
b
（2）
a
b b
ab
a
b
b
（4） a b
a
b b
向量加 法
课堂练习
教材P84页练习2. 2、（1）
b
ab b a
（2）
b a
ab
a
向量加 法
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
o
向量加 法
探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的 航向应该如何?在白纸上作图探究.
D C
5
A
2
B
向量加 法
向量加法
只有坚定不移，才能驶向成功彼岸！
向量加法
向量加 法
(1)向量的相反向量的意义; (2)向量减法运算几何意义;
(3)向量的减法运算遵循什么法则.
向量加法运算及其几何意义
a b
向量加法
C B
C
B
A O
A
AB BC AC
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
A
解：（1）如图所示, AD表示船速, AB 表示水速，以AD、 AB为邻边做平行四边形ABCD，则AC表示船实际航行的速度.
（2）在RtABC中，AB 2, BC 5.
所以 AC
2
2
AB BC
22 52
29 5.4
D
C
因为tan CAB 5 , 2
由计算器得CAB 68 .
A
１.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平 行四边形法则作两个向量的和向量； ２.掌握向量的加法的交换律和结合律，并会用它们进行向 量计算； ３.通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习， 增强学生的识图能力，为今后培养用数形结合的方法解题 奠定基础．
回忆巩固
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反 映的？什么叫零向量和单位向量？
同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2
之间的关系如何？
图1
F1
M
C
EO
F2
F1 F
F2
图2 M
EO
F F F1 F2
思考6：人在河中游泳，人的游速为 OA 水流速为 OB ， 那么人在水中的实际速度 OC 与 OA 、OB 之间的关系如
何？
O
B
A
C
uuur uuur uuur OC OA OB
思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平 行四边形法则.对于下列两个向量 a与b ，如何用平行四 边形法则求其和向量？
a
B
C
b a＋b
O
b
a
A
思考8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和 向量，其作图特点分别如何？ 三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
解：（1）如图所示, AD表示船速, AB 表示水速，以AD、 AB为邻边做平行四边形ABCD，则AC表示船实际航行的速度.
（2）在RtABC中，AB 2, BC 5.
所以 AC
2
2
AB BC
22 52
29 5.4
D
C
因为tan CAB 5 , 2
由计算器得CAB 68 .
A
１.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平 行四边形法则作两个向量的和向量； ２.掌握向量的加法的交换律和结合律，并会用它们进行向 量计算； ３.通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习， 增强学生的识图能力，为今后培养用数形结合的方法解题 奠定基础．
回忆巩固
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反 映的？什么叫零向量和单位向量？
同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2
之间的关系如何？
图1
F1
M
C
EO
F2
F1 F
F2
图2 M
EO
F F F1 F2
思考6：人在河中游泳，人的游速为 OA 水流速为 OB ， 那么人在水中的实际速度 OC 与 OA 、OB 之间的关系如
何？
O
B
A
C
uuur uuur uuur OC OA OB
思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平 行四边形法则.对于下列两个向量 a与b ，如何用平行四 边形法则求其和向量？
a
B
C
b a＋b
O
b
a
A
思考8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和 向量，其作图特点分别如何？ 三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
向量加法运算及其几何意义 课件
3.AB BC CA _0__
探究:求合力的方法
图甲表示橡皮条GE在两 个力的共同作用下，沿着直 线GC伸长了EO这样的长 度．
图乙表示撤去F1和F2，用 一个力F作用在橡皮条上，使 橡皮条沿着相同的直线伸长 相同的长度．力F对橡皮条产 生的效果跟力F1和F2共同产 生的效果相同，所以力F等于 F1和F2的合力．
向量加法运算 及其几何意义
由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再从香港到上海，2005年实行春节包机之 后可直接由台北飞往上海,说明什么?
位移是向量还是数量？
上海
台北 香港
向量的加法
飞机从A到B,再改变方向从B到C,则两次的位 移的和应该是: AC
C
A
B
AB BC —A—CA—
b a
o·
B
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA a ,OB b (3)作 OC a b
A
C
力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型。
注意:共始点
探究：求和时用三角形法则与平行四边形法则 一样吗？比较一下两种法则
C
Da C
a+b
b
A
B
a
特点：（通过平移）
首尾相接
b a+b
b
B Aa
特点：（通过平移）
起点相同
不同法则，效果相同
教材84页1,2题
练习答案
1பைடு நூலகம்（1）
ab
b
a
（3） a b b
a
b
2、（1）
b
b
ab a
（2）
b
a ab b
（4） a b
探究:求合力的方法
图甲表示橡皮条GE在两 个力的共同作用下，沿着直 线GC伸长了EO这样的长 度．
图乙表示撤去F1和F2，用 一个力F作用在橡皮条上，使 橡皮条沿着相同的直线伸长 相同的长度．力F对橡皮条产 生的效果跟力F1和F2共同产 生的效果相同，所以力F等于 F1和F2的合力．
向量加法运算 及其几何意义
由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再从香港到上海，2005年实行春节包机之 后可直接由台北飞往上海,说明什么?
位移是向量还是数量？
上海
台北 香港
向量的加法
飞机从A到B,再改变方向从B到C,则两次的位 移的和应该是: AC
C
A
B
AB BC —A—CA—
b a
o·
B
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA a ,OB b (3)作 OC a b
A
C
力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型。
注意:共始点
探究：求和时用三角形法则与平行四边形法则 一样吗？比较一下两种法则
C
Da C
a+b
b
A
B
a
特点：（通过平移）
首尾相接
b a+b
b
B Aa
特点：（通过平移）
起点相同
不同法则，效果相同
教材84页1,2题
练习答案
1பைடு நூலகம்（1）
ab
b
a
（3） a b b
a
b
2、（1）
b
b
ab a
（2）
b
a ab b
（4） a b
第二章向量的加法【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
=a+b+c.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 求和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将其中一向量的
起点平移至该点,之后再将其他向量平移并首尾相接,从一个向量的始
点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量
如今,两岸直航包机启航.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到
上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.
想一想,向量a、b、c有何关系?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的加法及其运算法则
1.向量加法的概念
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线的向量 a,b,如图,在平面内任取一点 A,作有向线段
想一想,向量a、b、c有何关系?
以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机先从台北到香港,再从香港到上海.
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.
变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
)
实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
的结合律调整向量相加的顺序.
探究一
探究二
探究三
变式训练3下列等式错误的是(
A.a+0=0+a=a
B. + + =0
C. + =0
D. + = + +
答案B
探究四
)
当堂检测
探究一
探究二
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 求和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将其中一向量的
起点平移至该点,之后再将其他向量平移并首尾相接,从一个向量的始
点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量
如今,两岸直航包机启航.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到
上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.
想一想,向量a、b、c有何关系?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的加法及其运算法则
1.向量加法的概念
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线的向量 a,b,如图,在平面内任取一点 A,作有向线段
想一想,向量a、b、c有何关系?
以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机先从台北到香港,再从香港到上海.
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.
变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(
)
实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
的结合律调整向量相加的顺序.
探究一
探究二
探究三
变式训练3下列等式错误的是(
A.a+0=0+a=a
B. + + =0
C. + =0
D. + = + +
答案B
探究四
)
当堂检测
探究一
探究二
向量加减运算及几何意义
B
AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地
a
三、几何意义： 的终点的向量
O
a
a b
b
B
b
A
a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a
（ 三 角 形 法 则 ）
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
| a + b |< =| a b |+ |a b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 A 2、不共线 a o· b
a
a+ b
b
B
三角形的两边之和大于第三边
| a+ b|< | a|+ |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定： 0a a0 a
解：（1 ） OA OC OB ;
E
D
（2） BC FE AD;
（3） OA FE 0.
F A
O
B
C
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地
a
三、几何意义： 的终点的向量
O
a
a b
b
B
b
A
a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a
（ 三 角 形 法 则 ）
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
| a + b |< =| a b |+ |a b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 A 2、不共线 a o· b
a
a+ b
b
B
三角形的两边之和大于第三边
| a+ b|< | a|+ |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定： 0a a0 a
解：（1 ） OA OC OB ;
E
D
（2） BC FE AD;
（3） OA FE 0.
F A
O
B
C
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
(完整)2.2.1向量加法运算及其几何意义
22 52 = 29 5.4
因为 tanCAB 5 ,
2
CAB 68o
A
B
船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向
与水的流速间的夹角为68°
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：首尾相连首尾连) 2.向量加法的平行四边形法则
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
2、力的合成
F1 + F2 = F
F1
F2
F
数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可 以认为是AB与BC的和,F可以认为是F1与 F2的和,即位移,
力的合成可看作向量的加法.
向量加法的三角u形r 法uur则
rr
已知向量 a , b,求作向量a + b
(要点：两向量起点重合组成 平行四边形两邻边) 3.向量r 加法r 满足r 交换r 律及结合律
a+ b= b+ a rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
作业 活页 作业
补充练习
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度(保留两个有效数字)
解:(1)
船实际航行速度
D
C
船速 A
B
水速
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用
与江水速度间的夹角表示,精确到度).
uuur uuur
向量加法运算及其几何意义(一)
已知向量 a，b. 在平面内任A 取 ，一
作ABa， BC b，则向 A叫 C 量 a与 作 b 的
和 ，a 记 b.即 a 作 b： A BBC A， C
a
b
a b C
a
a
b
b
A
B
规a 定 0 0 a ：a b
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
已知向量 a，b. 在平面内任A 取 ，一
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
已知向量 a，b. 在平面内任A 取 ，一
作ABa， BC b，则向 A叫 C 量 a与 作 b 的
和 ，a 记 b.即 a 作 b： A BBC A， C
a
b
a b C
a
a
b
b
A
B
规a 定 0 0 a ：a b
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
高一一部数学备课组
复习引入
向量的定义以及有关概念.
向量是既有大小又有方向的量.长度 相等、方向相同的向量相等.因此，我们 研究的向量是与起点无关的自由向量， 即任何向量可以在不改变它的方向和大 小的前提下，移到任何位置 .
复习引入
问题 数可进行加法运算：1＋2＝3 ．那
解(： ABBC )CD
D
A C
B
讲授新课
A
B
规a 定 0 0 a ：
讲授新课
2. 三角形法则 (“首尾相接，首尾连”)
已知向量 a，b. 在平面内任A 取 ，一
作ABa， BC b，则向 A叫 C 量 a与 作 b 的
6.2.1向量的加法运算及其几何意义
如图：
| a b || a | - | b | (或 | b | - | a |);
且 | a b || a | + | b |;
| a | | b | | a b || a | + | b |;
(2)当a与b共线时， (ⅰ)当a与b同向时， 如图：
| a b | = | a | + | b || a | - | b | (或 | b | - | a |); | a | | b | | a b | = | a | + | b |;
6.2.1向量加法运算及其几何意义
思考：
(1).某人从A地到B地,再从B地按原来的方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
A
C
(2).飞机从A地到B地,再从B地左转450方向到C地,
则两次位移的和 AB BC __A_C____
C A
B
这是物理学中从点A到点B,再从点B到点C的问题。
因此： AB BC AC
1、向量的加法的定义：
求两个向量和的运算叫向量的加法。
B C
a
b
A
口诀：首尾相接，首尾连 2.向量的加法的作法： 三角形法则
(1)在平面内任取一点A (2)作 AB a, BC b
(3)则向量 AC a+b.
特别地：
方向相同 a b
A
B
C
AC a b
a0 0a a
练习2. 如图,已知a,b用向量加法的平行四边形法则作出a b
（1）
性质
(1) 交换律:a b b a
b ab b
a
(2) 结合律:(a b) c a (b c)
abc
向量的加法运算及其几何意义课件
作平移,首尾连， 作平移,首尾连，由起点指终点
当向量 a ，是共线向量时，a + b 又如何 b是共线向量时， 作出来？ 作出来？
(1) 同向
a
(2)反向
a
b
A a a+b B b C
b
a+b C b A a B
AC = a + b
AC = a + b
规定： + 0 = 0 + a = a a
向量的加法
探究一： 探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
B
C
AB + BC = AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
A
B
AB + BC = AC
已知 a = 8, b = 6, 则 a + b 的最大值和最小值是 ___
14 2
数的加法满足交换律与结合律,即对任 数的加法满足交换律与结合律 即对任 意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 有 任意向量a,b的加法是否也满足交换律 任意向量 的加法是否也满足交换律 与结合律? 与结合律
∴ tan ∠DAB = 3 ∴ ∠ D A B = 6 0 o
答:船实际行驶速度的大小为 船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角60 o . 方向与水流速度间的夹角 船实际行驶速度的大小为
课时小结 课时小结
１.向量加法的定义 向量加法的两种法则： ２.向量加法的两种法则：