2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<<

B ．}42{x x -<<-

C ．}{22x x -<<

D ．}{23x x <<

2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．2

2

+11()x y +=

B ．221(1)x y +=-

C ．22(1)1y x +-=

D ．2

2(+1)1y x +=

3．已知0.20.32

log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．b c a <<

4．古希腊时期，0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚

105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是

A ．165 cm

B ．175 cm

C ．185 cm

D ．190 cm

5．函数f (x )=

2

sin cos ++x x

x x

在[,]-ππ的图像大致为 A ．

B ．

C ．

D ．

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A ．

516

B ．

1132

C ．

2132

D ．

1116

7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．

π6

B ．

π3

C ．

2π3

D ．

5π6

8．如图是求

112122

+

+的程序框图，图中空白框中应填入

A ．A =

1

2A

+ B ．A =12A

+

C ．A =

1

12A

+

D ．A =112A

+

9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则

A ．25n a n =-

B ． 310n a n =-

C ．2

28n S n n =-

D ．2

122

n S n n =

- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，

1||||AB BF =，则C 的方程为

A ．2

212x y += B ．22

132x y += C ．22

143x y += D ．22

154

x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数

②f (x )在区间（

2

π，π）单调递增

③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2

其中所有正确结论的编号是 A ．①②④

B ．②④

C ．①④

D ．①③

12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F

分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为

A ．

B ．

C ．

D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线2

3()e x

y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．

14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2

1461

3

a a a ==，，则S 5=____________．

15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前

期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

16．已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线

分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ?=u u u r u u u u r

，则C 的离心率为____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分)

ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．

（1）求A ；

（22b c +=，求sin C ． 18．（12分）

如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．

（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A?MA 1?N 的正弦值． 19．（12分）

已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3

2

的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；

（2）若3AP PB =u u u r u u u r

，求|AB |．

20．（12分）

已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2

π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 21．（12分）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈

且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中

(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ?-=??+??=?+?

，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）

222111

a b c a b c

++≤++； （2）333

()()()24a b b c c a +++≥++．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学?参考答案

一、选择题

1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题

13．y =3x 14．

121

3

15．0.18 16．2

三、解答题

17．解：（1）由已知得2

22sin

sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．

由余弦定理得2221

cos 22

b c a A bc +-=

=． 因为0

180A ?

?<<，所以60A ?=．

（2）由（1）知120

B C ?

=-()sin 1202sin A C C ?+-=，

即

1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602

C ?+=-．

由于0

120C ?

?<<，所以()sin 602

C ?+=

，故 ()sin sin 6060C C ??=+-

()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ????=+-+

4

=

． 18．解：（1）连结B 1C ，ME ．

因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点， 所以ME ∥B 1C ，且ME =

1

2

B 1

C ． 又因为N 为A 1

D 的中点，所以ND =

1

2

A 1D ． 由题设知A 1

B 1=P D

C ，可得B 1C =P A 1

D ，故M

E =

P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ． 又MN ?平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ． （2）由已知可得DE ⊥DA ．

以D 为坐标原点，DA uuu r

的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D ?xyz ，则

(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)

，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r

，1(12)AM =--u u u u r

，1(1,0,2)A N =--u u u u r

，(0,MN =u u u u r

．

设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则110

0A M A A ??=???=??u u u u r u u u r m m ，

所以2040x z z ?-+-=??-=??，

．

可取=m ．

设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ??=???=??u u u u r u u u u

r ，

．n n

所以020p r ?=??--=??，

．

可取(2,0,1)=-n ．

于是cos ,||???=

==

‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --

的正弦值为

5

． 19．解：设直线()()11223

:,,,,2

l y x t A x y B x y =

+． （1）由题设得3,04F ??

???

，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．

由2323y x t y x

?

=+???=?，可得22

912(1)40x t x t +-+=，则12

12(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --

=，得7

8

t =-．

所以l 的方程为3728

y x =

-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r

可得123y y =-．

由232

3y x t y x

?

=+???=?，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得121

3,3

x x ==

．

故||AB =

． 20．解：（1）设()()g x f 'x =，则1

()cos 1g x x x

=-

+，2

1sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π?

?∈- ???时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π?

?- ???

有唯一零点，

设为α.

则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,

2x α?

π?

∈ ???

时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ?? ???单调递减，故()g x 在1,2π?

?- ???存在唯一极大值点，

即()f 'x 在1,2π?

?- ??

?存在唯一极大值点.

（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.

（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.

（ii ）当0,2x ?π?∈ ???时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ??

???

单调递减，而(0)=0f '，

02f 'π??< ???，

所以存在,2βαπ??∈ ???，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ??

∈ ???时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ??

???

单调递减.

又(0)=0f ，1ln 1022f ππ????=-+> ? ?????，所以当0,2x ?π?∈ ???时，()0f x >.从而，()f x 在0,2??

?

??

π没有零点.

（iii ）当,2x π??∈π ???时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π??

π ???单调递减.而

02f π??

> ???

，()0f π<，所以()f x 在,2π??

π ???

有唯一零点.

（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.

21．解：X 的所有可能取值为1,0,1-.

(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，

，

，

所以X 的分布列为

（2）（i ）由（1）得0.4,

0.5,0.1a b c ===.

因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即

()114i i i i p p p p +--=-.

又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 为公比为4，首项为1p 的等比数列． （ii ）由（i ）可得

()()()88877610087761013

4 1 p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=L L .

由于8=1p ，故18

3

41

p =

-，所以 ()()()()44433221101411

.325 7

p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=

4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治

愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为41

0.0039257

p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()

2

2

2

22

222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+，所以C 的直角坐标方程为2

2

1(1)4

y x x +=≠-.

l

的直角坐标方程为2110x ++=.

（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,

2sin x y αα

=??

=?（α为参数，ππα-<<）.

C 上的点到l

π4cos 11

α?

?-+ ?=.

当2π3α=-

时，π4cos 113α?

?-+ ??

?取得最小值7，故C 上的点到l

.

23．解：（1）因为2

2

2

2

2

2

2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有

222111

ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c

++++≥++=

=++.

所以

222111

a b c a b c

++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有

333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c

3≥???

=24.

所以333

()()()24a b b c c a +++++≥.