2018—2019学年度第一学期高二年级期中考试数学科试卷(理科)含答案解析
2018—2019学年度第一学期 高二年级期中考试数学科试卷(理科)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项） 1．“1x <”是“31x <“的（ ）
． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件
2．命题“0x ∀≥，有()0f x ≥成立”的否定形式是（ ）
． A ．0x ∃<，有()0f x <成立 B ．0x ∃<，有()0f x ≥成立 C ．0x ∀≥，有()0f x <成立 D ．0x ∃≥，有()0f x <成立
3．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．
A ．12
B ．23
C ．34
D ．14
4．若双曲线22
14x y k +=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）
． A ．(,0)-∞ B ．(3,0)- C ．(12,0)- D ．(60,12)--
5．已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则6S =（ ）．
A ．80
B ．85
C ．90
D ．95
6．变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数3z x y =+的最小值为（ ）．
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】B
7．在ABC △中，||||3AB AC ==u u u r u u u r
，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB CA ⋅=
u u u r u u u r （ ）．
A ．3
B ．3-
C ．9
2
D ．92-
8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙
中普通物质的原子总数N 约为80
10．则下列各数中与M
N
最接近的是（参考
数据：lg30.48≈）（ ）．
A ．3310
B ．5310
C ．7310
D ．9310
9．将函数π3sin 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应
的函数（ ）．
A ．在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减
B ．在区间π7π,1212⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递
增
C ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减
D ．在区间ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上单调递增
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的长度为（ ）
．
正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
A
． B
． C
． D ．2
11．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为1F ，若椭圆上存在点P ，满
足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）．
A
．2 B ．23 C ．59 D
．3
12．已知函数2
2||,2,
()(2),2,
x x f x x x -⎧=⎨->⎩≤函数()(2)g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x ==恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）．
A ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．7,24⎛⎫
⎪⎝⎭
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题：（本大题共4 小题每小题5分，共20分，答案填在答卷上）
13．已知π02x <<，且π1tan 47x ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin cos x x +=__________．
14．与双曲线2244x y -=
有共同的渐近线，并且经过点(2,的双曲线方程是__________．
15．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，且
PA PB PC PD ===，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是__________．
16．非零向量m u r 、n r 的夹角为π
3
，且满足||||(0)n m λλ=>r u r ．
向量组1x r ，2x r ，3x r 由一个m u r
和两个n r 排列而成，向量组1y u r ，2y u r ，3y u r 由一
个n r 和两个m u r
和排列而成，若123123x y x y x y ⋅+⋅+⋅r u r r u r r u r 所有可能值中最小值为
24m ，则λ=__________．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置）
17．
（本小题满分10分）
已知函数π()(0)6f x x ωω⎛
⎫=-> ⎪⎝⎭图象上相邻两个最高点的距离为π．
（1）求ω的值和函数()f x 的对称轴方程．
（2
）若π2π2463f αα⎛⎫
⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．
18．
（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和22
n n n S +=，*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．
（Ⅱ）设2(1)n a n n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T
19．
（本小题满分12分） ABC △中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
若4c =，2B C =． （Ⅰ） 求cos B 的值．
（Ⅱ） 若5c =，点D 为边BC 上一点，且6BD =，求ADC △的面积．
20．
（本小题满分12分） 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F
，斜率为的直线交抛物线于
11(,)A x y ，2212(,)()B x y x x <两点，如图，且||9AB =．
（Ⅰ）求该抛物线的方程．
（Ⅱ）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+，求λ的值．
21．
（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，
2AB =，60ABC =︒∠，E 、F 分别是BC 、PC 中点．
（Ⅰ）证明：AE PD ⊥．
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD
所成最大角的正切值为2，
求二面角E AF C --的余弦值．
P
D
A B
E
F
22．
（本小题满分12分） 已知动点P 与定点(1,0)F -的距离和它到定直线4x =-的距离的比是1:2，
记动点P的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程．
（Ⅱ）设A是曲线E上的一个点，直线AF交曲线E于另一点B，以AB为边作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在轨迹E上，判断平行四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．
（Ⅲ）当平行四边形ABCD的面积取得最大值时，判断它的形状，并求出其最大值．。
2018-2019学年度上学期高二数学(理)期中考试试题卷
2018-2019学年度上学期高二数学（理）期中考试试题卷说明：1本卷共有两大题．22小题,全卷满分150分,考试时间为120分钟.2本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上．不得在试题卷上作答．否则不给分.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)的．1．已知直线过不同的两点,则的斜率（A）等于（B）等于（C）不存在（D）与的取值有关2．以圆的圆心为圆心,半径为的圆的方程是（A）（B）（C）（D）3．三个顶点,则边上的中线长为（A）（B）（C）（D）4．曲线与曲线的（A）长轴长相等（B）短轴长相等（C）离心率相等（D）焦距相等5．已知直线,,若,则（A）（B）（C）（D）6．已知圆,圆,则这两个圆的位置关系是（A）相离（B）外切（C）相交（D）内含7．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（A）（B）（C）（D）8．若圆上恰有三点到直线的距离为2,则的值为（A）或（B）或（C）（D）9．已知椭圆与直线相交于两点,为中点,为坐标原点.若直线的斜率为,则的值为（A）（B）（C）（D）10．已知椭圆的左右焦点分别为,点为椭圆上一点.的重心为,内心为,且.则该椭圆的离心率为（A）（B）（C）（D）11.已知点A（2,0），抛物线C：的焦点为F，直线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则( )A. B. C. D.12.已知圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则实数b的取值范围是（）A. B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知直线l，圆C:，则圆C的圆心到直线l的距离为________.14.若双曲线的离心率为，则的值为_______.15.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料4吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料2吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过20吨、B原料不超过18吨，则该企业在一个生产周期内可获得的最大利润为________万元．16.已知F是双曲线的左焦点，A点坐标为（1,4），P是双曲线右支上的动点，则的最小值为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知的顶点是.直线l平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，且的面积是的面积的.（1）求点E，F的坐标；（2）求直线l的方程.18.（本小题满分12分）求直线被曲线所截得的弦长.19.（本小题满分12分）直线l：y=x+b与抛物线C：相切于点A.（1）求实数b的值；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.20.（本小题满分12分）已知椭圆与直线相交于A，B两点，C是AB的中点，若，OC的斜率为，求椭圆方程.21.（本小题满分12分）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．128．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC =120°，AB =2，BC =CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若直线l ：y =ax ﹣1与抛物线C ：y 2=（a ﹣1）x 恰好有一个公共点，则实数a 的值构成的集合为（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1， }C ．{0， }D ．{1，，0}10．直线kx ﹣y ﹣2k +2=0恒过定点A ，若点A 是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x +4y ﹣10=0B ．2x ﹣y ﹣2=0C ．4x +y ﹣10=0D ．4x ﹣y ﹣6=011．如图F 1、F 2是椭圆C 1： +y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：﹣=1（m ＞0，n ＞0）有共同的焦点F 1，F 2，且在第一象限的交点为P ，满足2•=2（其中O 为原点）设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2当3e 1+e 2取得最小值时，e 1的值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 ．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（ ）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（ ）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解： =﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A． +=1B． +=1C． +=1D． +=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（ ）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN 和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1， }C．{0， }D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1： +y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为 ﹣=1 ．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1B与平面MBC所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，2），设直线D1B与平面MBC所成角为θ，则sinθ===．故直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为 +1 ．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为 2 ．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上， ====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知， =，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知， =，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为： +=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN的一个法向量为=（x，y，z），由，得，取z=2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos＜，＞==．∴二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k≠0，∴，联立y2=﹣x得：ky2+y﹣k=0显然：△＞0，∴，∴=（﹣y12）（﹣y22）+y1y2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S△OAB=×1×|y1﹣y2|===，解得：k=±，∴直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x﹣3y+2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c2=3a2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．…（9分）因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为： =1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
2018-2019高二数学(理科)期中考试题
2018-2019高二数学（理科）期中考试题第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卷的相应位置1.定积分的值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据微积分基本定理，计算出定积分.【详解】.故选C.【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理，计算定积分.2.用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得结果是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，给等式左边赋值，由此得出正确选项.【详解】当时，左边为，故选C.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.3.在复平面内，复数表示的点所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法和乘方运算化简为的形式，由此判断出对应点所在的象限.【详解】对应的点在第二象限,，故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数对应点坐标所在的象限.4.某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表经计算，则下列选项正确的是（）附表0.02000155.024A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D. 有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】【分析】根据的值，结合附表所给数据，选出正确选项.【详解】依题意，故有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，所以选A.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验的知识，属于基础题.5. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．6.已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是，若，，成等比数列，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据等比中项列方程，然后利用基本元的思想，将已知转化为的形式，用特殊值法选出正确选项.【详解】，不妨令，，.故选B.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算，属于基础题.7.设变量满足约束条件且不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出可行域，根据在点处取得最大值，求得的取值范围.【详解】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然，否则可行域无意义．由图可知在点处取得最大值，由得，，综上：【点睛】本小题主要考查已知线性目标函数的取值范围，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8.如图，在中，于点，于点，则有，类似地有命题：如图（2），在三棱锥中，面ABC，若在内的射影为 ,则，那么上述命题（）A. 是真命题B. 增加条件“”后才是真命题C. 是假命题D. 增加条件“三棱锥是正三棱锥”后才是真命题【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形中的射影定理，类比到空间三棱锥的摄影定理.【详解】由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图（2）中的，，分别与题图（1）中的AB，BD，BC进行类比即可．严格推理如下：连结DO并延长交BC于点E，连结AE，则，．因为面ABC，所以．又因为，所以，所以．故选A．【点睛】本小题主要考查类比推理，考查合情推理的方法，属于基础题.9.已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用常用不等式，求得，且，由此得出正确选项.【详解】，当且仅当时等号成立，故选A【点睛】本小题主要考查识别函数图像，考查常用不等式.属于基础题.10.若函数在内有极值，则实数b的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令函数的导函数等于零，分离常数得到，根据的取值范围，求得的取值范围.【详解】，在内有极值，．注时，在上递增，没有极值．故选A.【点睛】本小题主要考查利用导数研究极值问题，属于基础题.11.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.12.已知是定义在R上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（）A. 对于任意，B. 对于任意，C. 当且仅当，D. 当且仅当，【答案】B【解析】【分析】取特殊值，令，结合题目所给不等式，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】从选择支看，只需判断的符号，，，，排除A、C、D，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与导数，考查特殊值法解选择题，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置．13.复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝______.【答案】2【解析】【分析】由题易知a2－1=0，且(a＋1)0，求得a的值，得出复数z，再求得其模长.【详解】因为复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，所以a2－1=0，且(a＋1)0，解得所以复数，即|z|＝2故答案为2【点睛】本题考查了复数的定义，纯虚数，以及模长的求法，属于基础题.14.已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积等于________【答案】【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体可看作长方体一角，长方体的外接球即是三棱锥的外接球，根据长方体的体对角线，求得外接球的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是长方体一角，体对角线即外接球的直径，故.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查长方体外接球半径的求法，属于基础题.15.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，为坐标原点．若，则的长________．【答案】【解析】【分析】画出图像，根据抛物线的定义求得，利用相似三角形，对应边成比例，列方程求得的长.【详解】设,如图：；，由相似于三角形FHB得：.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查相似三角形的性质，属于基础题.16.已知函数，则最小值是_____________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卷相应题目的答题区域内作答．17.设等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式及前n项和公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，由此求得数列的通项公式以及前项和公式.（2）利用放缩法和裂项求法和，证得不等式成立.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由已知得，即解得，故，.（2）．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式以及前项和公式，考查放缩法和裂项求和法证明不等式，属于中档题.18.已知函数，．（1）若是函数的极值点，求的单调区间；（2）求证：．【答案】（1）在单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据列方程，由此求得的值，进而利用导数求得函数的单调区间.（2）根据（1）的结论，得到，对进行赋值，然后相加，利用对数运算公式化简，由此证得不等式成立.【详解】（1）解：，,因为，所以，得，令或,又，所以在单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，，，，.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查不等式的证明，属于中档题.19.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．(1)证明：∥平面；(2)设二面角为，，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）证明线面平行，根据判定定理就是要证线线平行，而平行线的寻找，又是根据线面平行的性质定理找到，设与交点为，过的平面与平面的交线就是，这就是要找的平行线，由中位线定理易证；（2）要求三棱锥的体积，关键是求得底面三角形的面积（高为到底面的距离，即为的一半），已知条件是二面角大小为，为此可以为轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得，从而可求得底面积，体积．试题解析：（1）证明：连，设，连，∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则．设．则．设为平面的法向量，则取．又为平面的一个法向量，∴，∴．因为为的中点，所以三棱锥的高为，∴．考点：线面平行判定，二面角．20.某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图)．表中．（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1）更适宜；（2）；（3）时，煤气用量最小．【解析】【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．【详解】（1）更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型．（2）由公式可得：，，所以所求回归方程为．（3）设，则煤气用量，当且仅当时取“=”，即时，煤气用量最小．【点睛】本题考查可化为线性相关的回归方程的求解，基本不等式的应用，熟记回归方程计算公式和基本不等式，准确计算是关键，属于中档题．21.设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．（1）求直线AB的方程；（2）判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？若是求出圆的方程，若不是说明理由．【答案】（1）；（2）是，.【解析】【分析】（1）利用点差法列式进行化简，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）求得直线的方程，代入椭圆方程，利用根与系数关系以及弦长公式，求得弦长，求得中点的坐标.同理求得弦长，计算到直线的距离，由此计算出【详解】（1）设，，则有,依题意，，．是AB的中点，，，从而．又，在椭圆内，直线AB的方程为，即．（2）垂直平分AB，直线CD的方程为，即，代入椭圆方程，整理得①．又设，，CD的中点为，则，是方程①的两根，，且，，即中点,于是由弦长公式可得将直线AB的方程，代入椭圆方程得,同理可得．点M到直线AB的距离为．，四点共圆，且原方程为：.【点睛】本小题主要考查利用点差法求解有关弦的中点问题，考查四点共面的证明，属于中档题.22.已知为函数的导函数.（1）分别判断与奇偶性；（2）若，求的零点个数；（3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）为偶函数，为奇函数；（2）三个；（3）.【解析】【分析】（1）根据奇偶函数定义对的奇偶性进行判断.（2）根据（1）求得的的奇偶性可知，只需先研究时的零点．利用的导数，研究的单调性，由此判断出在时，存在唯一解，根据函数为奇函数，得到的零点个数为个.（3）由（1）知为偶函数，要使，恒成立，只需研究时.对分成，利用函数的一阶导数，和二阶导数研究的单调性，由此求得的取值范围.【详解】（1），为偶函数；，且所以为奇函数；（2）由（1）知只需先研究时的零点．记的导数为，令，，设方程两根为，又，，，或或又，在减，在增，，且，在时，存在唯一解，在R上有三个零点；（3），为偶函数，要使，恒成立，只需研究时.①时，，在增，，在增，；②时，令由（1）知，在减，在恒成立，存在，使得，所以不满足题意,综上所述，.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.23.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：.【答案】(1)-1；(2)；(3)参考解析【解析】试题分析：（1），可知在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以最大值为f(1).(2)在区间上为单调递增函数,即在上恒成立。
2018至2019高二理科数学上学期期中试卷加答案
2018至2019高二理科数学上学期期中试卷加答案考试时间：120分钟；满分：150第I卷（选择题）一、单选题：（共12题，每题5分，共60分）1．不等式的解集为（）A．B．C．D．2．在中，＝60°，，，则等于（）A．45°或135°B．135°C．45°D．30°3．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞) B．(－∞，3) C．(1，3) D．4．已知为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（）A．29 B．30 C．31 D．335．设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．4 B．2 C．1 D．6．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．如图所示的曲线方程是（）A．B．C．D．8．已知命题：“”的否定是“”；命题：“”的一个必要不充分条件是“”，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．9．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知tanA= ，B= ，b=1，则a等于（）A．B．1 C．D．10．已知圆是圆上任意一点，过点向轴作垂线，垂足为，点在线段上，且，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．11．下列四个结论：①命题“”的否定是“”；②若是真命题，则可能是真命题；③“且”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减.其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知两点，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”.给出下列直线：①；②；③；④.其中为“型直线”的是（）A．①③B．③④C．①②D．①④第II卷（非选择题）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．14．已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为8，则m=________.15．已知且若恒成立，则实数m的取值范围是_________．16.已知O为坐标原点，F是椭圆的左焦点，A、B分别为C的左右顶点。
河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷(解析版)
河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷（解析版）河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，2，，则A. 0，1，2，B.C. 0，D.【答案】B【解析】解：0，1，，故选：B．求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.在中，已知，，，则A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】解：，，，由正弦定理，可得：，，，或．故选：C．由已知利用正弦定理可求，结合A的范围即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.若数列是公比为的正项等比数列，则是A. 公比为的等比数列B. 公比为的等比数列C. 公差为的等差数列D. 公差为的等差数列【答案】A【解析】解：数列是公比为的正项等比数列，则，，故选：A．根据等比数列的定义即可求出．1 / 12本题考查了等比数列的定义和通项公式，属于基础题．4.若a，b，，且，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，即，所以，故选：D．根据同向不等式的可加性得，再除以2即可得．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围为A. B.C. D. 或【答案】A【解析】解：由题意得，有两解时需要：，则，解得；故选：A．有两解时需要：，代入数据，求出b的范围．本题考查了解三角形一题多解的问题，注意理解，属于基础题．6.若实数x，y满足不等式组，则的最小值为A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】解：实数x，y满足不等式组的可行域如下图所示：令变形为，作出直线将其平移至点A时，纵截距最大，z最小由得，则的最小值为：，故选：A．画出不等式的可行域，将目标函数变形，作出目标函数对应的直线将其平移，由图判断出当经过点C时纵截距最大，z的值最小，联立直线的方程求出交点C的坐标，河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷（解析版）将坐标代入目标函数求出最小值．本题考查利用线性规划求函数的最值，关键是画出不等式组表示的平面区域；判断出目标函数具有的几何意义．7.设数列是等比数列，且为其前n项和，若为常数，则A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】解：当时，，当时，，当时，，，，解得或，当时，，不能为等比数列，当时，，符合题意，，故选：C．根据数列的递推公式和等比中项的性质即可求出．本题考查了数列的递推公式和等比数列的性质，属于中档题．8.若实数x，y满足不等式组，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域，则则的几何意义为区域内的点到的斜率，由图象知，P与可行域A点，B点连线的斜率，取得最小值与最大值，由解得，由解得，则的最大值为：2，最小值为．则的取值范围是：．3 / 12故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：中，，，，即，；又，，当且仅当时取“”，；此时取得最大值为．故选：D．利用余弦定理和基本不等式求出的最小值，从而求出的最大值．本题考查了解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.已知数列的通项公式为，，，依次为等比数列，的前3项，则的最大值为A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】解：由数列的通项公式为，可得，，，由，，依次为等比数列的前3项，可得，即，解得．，，，则．．河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷（解析版）当时，，当时，，当时，，当时，，当时，．的最大值为2．故选：B．由已知列式求得k，进一步求出等比数列的通项公式，代入，分析n的取值可得的最大值．本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．11.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a，c，b成等差数列，，且的面积为3，则A. B. C. D. 5【答案】C【解析】解：，，解得：，，，c，b成等差数列，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，可得：，解得：．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求，，利用等差数列的性质可求，利用三角形面积公式可求，由余弦定理即可解得c的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，等差数列的性质，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12.设n为正整数，在n与之间插入n个x，构成数列1，x，2，x，x，3，x，x，x，4，，若该数列的前2018项的和为7881，则A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】解：在n与之间插入n个x，可得，最后一个数为63，5 / 12共有个数，则数列的前2018个数的和为，解得，故选：A．由题意可得，且最后一个数为63时，共有2016项，由等差数列的求和公式，解方程可得所求值．本题考查等差数列的求和公式，考查判断能力和推理能力，以及运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列满足，，且与的等差中项为6，则______．【答案】【解析】解：设公比为q，由，，且与的等差中项为6，可得，即，即，解得或舍去，，故答案为：设公比为q，由，，且与的等差中项为6，可得，即，进一步求出公比，利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式本题考查了等差数列的性质和等比数列的通项公式，属于基础题14.不等式的解集为A，则A中的整数元素是______．【答案】1和2【解析】解：不等式可化为，解得，，则A中的整数元素是1和2．故答案为：1和2．求出不等式的解集A，再写出A中的整数元素．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．15.某工厂一车间计划每天生产A，B，C型产品共30个，生产一个A型产品需要资金100元，生产一个B型产品需要资金120元，生产一个C型产品需要资金80元，且该车间每天可支配的生产资金为3200元，若生产一个A型产品可获利160元，生产一个B型产品可获利180元，生产一个C型产品可获利120元，则该车间每天的最大利润为______元河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷（解析版）【答案】5200【解析】解：设生产A型产品x个，生产B型产品y个，生产C型产品个，则满足的条件为，即，设利润为z，则，画出约束条件，如图所示：当目标函数经过点A时利润最大，由，解得，，则，，故答案为：5200．设生产A型产品x个，生产B型产品y个，生产C型产品个，利润总额为z 元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解属中档题．16.数列满足，且，设为的前n项和，则______．【答案】3【解析】解：根据题意，满足，变形可得，又由，则有，则有，则数列的周期为6，又由，则，则有，则；故答案为：3．根据题意，将变形可得，又由，分析可得，则有，分析可得数列的周期为6；又由，则，进而可得，则7 / 12，分析可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列的周期，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题）17.已知，，不等式的解集为求m，n；Ⅱ正实数a，b满足，求的最大值．【答案】解：Ⅰ因为不等式的解集为和n是一元二次方程的两根，，，解得，Ⅱ由题意得：，即，当且仅当，，时取等，故的最大值为【解析】Ⅰ因为不等式的解集为和n是一元二次方程的两根，再根据韦达定理可得；ⅡⅡ由题意得：，即，然后根据基本不等式求出的最小值，最后求出的最大值．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．Ⅰ求角B；Ⅱ若，，求的面积．【答案】解：Ⅰ，由正弦定理可得：，可得：，可得：，，可得，，．河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷（解析版）Ⅱ，，，由余弦定理可得：，解得：，，．【解析】Ⅰ由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由于，可得，结合范围，可求B的值．Ⅱ由余弦定理可得c的值，进而可求a的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.在等差数列中，，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ等差数列的公差设为d，，，可得，，解得，，则；Ⅱ若，，即有数列的前n项和，即有，两式相减可得，，化简可得前n项和．【解析】Ⅰ等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项；Ⅱ求得，，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式，以及等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．求角C的大小；若，求周长的取值范围．【答案】本题满分为12分解：在中，．由正弦定理可得：，即，分9 / 12，由C为三角形内角，分由可知，分分，，，，周长的取值范围分【解析】利用正弦正理化简已知等式可得：，由余弦定理可得求得，结合A的范围，即可求得A的值．由正弦定理用、表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出的取值范围，即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了两角和差的正弦函数公式，解题时注意分析角的范围，属于中档题．21.如图，在平面四边形ABCD中，，，Ⅰ求的值；Ⅱ若，，求的大小．【答案】解：Ⅰ在中，，，．由余弦定理可得：，，；河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷（解析版）Ⅱ由Ⅰ可得，，，，由正弦定理可得，即，，或，，．【解析】Ⅰ先用利用余弦定理即可解得BD的值，再用余弦定理即可求出，Ⅱ根据两角差的正弦公式，先求出，再利用正弦定理，利用特殊角的三角函数值即可得解A．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，熟练掌握正弦定理余弦定理是解题的关键，属于中档题．22.已知数列满足，且且．Ⅰ求证：数列是等差数列；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ证明：数列满足，且，可得，即有数列是首项为3，公差为1的等差数列；Ⅱ由Ⅰ可得，即，，可得前n项和．【解析】Ⅰ由已知等式变形，结合等差数列的定义即可得证；Ⅱ由Ⅰ可得，即，，11 / 12再由数列的裂项相消求和即可得到所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．。
20182019学年高二第一学期期中理科答案
山西大学附中2018-2019学年高二第一学期期中考试数学参考答案（理科）考查时刻：90分钟 总分值：100分一. 选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） BDCAA CDDBA CB 二． 填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.） 13．33π 14.),43[]4,0[πππ⋃ 15.62 16. ①③ 三.解答题（本大题共4小题，共48分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤.）17.（本小题10分）解：设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为a -6.∴直线l 的方程为16=-+ay a x ． ∵点)2,1(在直线l 上，∴1621=-+aa ，0652=+-a a ，解得2=a 或3=a ． 当2=a 时，直线的方程为142=+y x ，直线通过第一、二、四象限． 当3=a 时，直线的方程为133=+y x ，直线通过第一、二、四象限． 综上所述，所求直线方程为042=-+y x 和03=-+y x ． ------10分18.（本小题12分）（1）证明：∵G F E ,,别离是AP AC AB ,,的中点,∴BC EF //,又⊂BC 平面PBC ,⊄EF 平面PBC∴//EF 平面PBC ,同理可得：//GF 平面PBC ,又⊂EF 平面GEF ,⊂GF 平面GEF ,F EF GF = ,∴平面//GEF 平面PBC . ------5分（2）以C 为坐标原点,以CP CB CA ,,为坐标轴成立空间直角坐标系如下图：则)0,0,1(),0,1,0(),0,0,2(),1,0,0(F B A P ,∴)1,0,1(),0,1,2(),1,0,2(-=-=-=PF AB PA ,设平面PAB 的法向量),,(z y x m = ,则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00AB m PA m , ∴⎩⎨⎧=+-=-0202y x z x ,令1=x 可得)2,2,1(=m . ∴62321,cos =•-==m PF mPF m PF . 设PF 与面PAB 所成角为θ,那么62cos sin =•=m PF θ.∴PF 与面PAB 所成角的正弦值为62. ------12分 19.（本小题12分） 解：(1)取DC 中点O ,连接PO ,∵侧面PDC 是正三角形,平面⊥PDC 平面ABCD , ∴⊥PO 底面ABCD ,因为底面ABCD 为菱形,且︒=∠60ADC ,2=DC , ∴1=DO ,DC OA ⊥,以O 为原点,别离以OP OC OA ,,所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,成立空间直角坐标系,则),0,1,0(),0,1,0(),0,2,3(),3,0,0(),0,0,3(-D C B P A )23,1,23(M , ∴)020()30,3()23,2,23(，，，，，=-==DC PA DM , ∴0,0=•=•DC PA DM PA ,∴DC PA DM PA ⊥⊥,,又D DC DM = ,∴⊥PA 平面CDM . ------5分(2))01,3()23,0,23(，，==CB CM ,设平面BMC 的一个法向量),,(z y x n =, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=+=•030y x CB n z x CM n ,取1=z ,得)1,3,1(-=n ,由(1)知平面CMD 的法向量为)3,0,3(-=PA ,∴5106532,cos -=⨯-==PA n PAn PA n , 由图象得二面角B MC D --是钝角,因此二面角B MC D --的余弦值为510-. ------12分20.（本小题14分）（1）证明：在直三棱柱111C B A ABC -中,∵⊥1CC 平面ABC ∴AC CC ⊥1∵平面⊥D CC 1平面11A ACC ,且平面 D CC 1平面111CC A ACC =∴⊥AC 平面D CC 1∴1DC AC ⊥ ------4分（2）在直三棱柱111C B A ABC -中,∵⊥1AA 平面111C B A ,∴111111,C A AA B A AA ⊥⊥,又︒=∠=∠90111BAC C A B ,成立如下图的空间直角坐标系,由已知可得)0,0,2(A ,)2,3,1(),1,0,0(),1,0,2(),0,3,0(),0,3,2(11D B B C C , ),1,3,1(),0,0,2(1----BB设平面1DBB 的法向量),,(z y x ∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001n BB n ∴⎩⎨⎧=--=-0302z y x x , 令1=y 那么)3,1,0(=n ,∵M 为1DC 的中点,∴)1,3,23(),1,3,21(-M , ∵0=⋅n AM ∴n AM ⊥又⊄AM 平面1DBB ,∴//AM 平面1DBB ------8分 （3）由（2）可知平面1DBB 的法向量)3,1,0(=n , 设[]1,0∈=λλBC , 则)1,331(),1,32(λλλ---=-，，P ,假设直线DP 与平面1DBB 所成的角为3π,则23544232cos 2=+-==λλλ解得[]1,045∉=λ, 故不存在如此的点P ,使得直线DP 与平面1DBB 所成的角为3π. ------14分。
九校2018-2019学年高二上学期期中联考数学（理）试题含答案
九校2018-2019学年⾼⼆上学期期中联考数学（理）试题含答案2018---2019学年上期期中联考⾼⼆数学试题（理科）第I 卷共60分⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1、若设0,0a b c d >><<，则⼀定有（） A.a b c d > B.a b c d < C.a bd c > D.cd b a < 2、命题“对任意R x ∈，都有02≥x ”的否定为 ( )A .对任意R x ∈，都有02B .不存在R x ∈，使得02C .存在R x ∈0，使得020D .存在R x ∈0，使得020≥x3、已知x 1，x 2∈R ，则“x 1＞1且x 2＞1”是“x 1＋x 2＞2且x 1x 2＞1”的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且63=S ，03=a ，则公差d 等于（）A .-2B . -1C . 1D . 25、原点和点（1，1）在直线x+y ﹣a=0两侧，则a 的取值范围是（） A ．0≤a≤2B ．0＜a ＜2C ．a=0或a=2D ．a ＜0或a ＞26、钝⾓三⾓形ABC 的⾯积是21，1=AB ，2=BC ，则=AC （）A . 1B . 2C . 5D . 57、在△ABC 中，⾓A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．若sin B ?sin C=sin 2A ，则△ABC 的形状是（）A ．钝⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．等边三⾓形D ．等腰直⾓三⾓形8、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有⼥⼦善织，⽇益功，疾，初⽇织五尺，今⼀⽉织九匹三丈（1匹=40尺，⼀丈=10尺），问⽇益⼏何？”其意思为：“有⼀⼥⼦擅长织布，每天⽐前⼀天更加⽤功，织布的速度也越来越快，从第⼆天起，每天⽐前⼀天多织相同量的布，第⼀天织5尺，⼀⽉织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若⼀个⽉按30天算，则每天增加量为（）A．尺B．尺C．尺 D．尺9、已知y x ,满⾜线性约束条件≤≥-+≥+-30505x y x y x 则y x z 42+=的最⼤值为（）A 、14B 、28C 、48D 、3810、若{}n a 是等差数列，⾸项110071008100710080,0,0,a a a a a >?<+>则使前n 项和0n S >成⽴的最⼤⾃然数n 是( )A ．2 012B ．2 013C ．2 014D ．2 015 11、已知函数f （x ）=4x 2﹣1，若数列1{}()f n 前n 项和为S n ，则S 2018的值为（） A． B． C．D．12、若两个正实数x ，y满⾜+=1，且不等式x+＜m 2﹣3m 有解，则实数m 的取值范围（）A ．(1,4)-B ．(,1)(4,)-∞-+∞ C ．(4,1)- D ．(,0)(3,)-∞+∞第Ⅱ卷共90分⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上 13、在中，⾓A,B,C 所对边长分别为a,b,c ，若1.则c=14、ABC ?中，⾓A,B,C 成等差数列，则=CA b acsin sin 2。
2018-2019学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题说明：考试时间120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质得D成立，举例说明A,B,C错误.【详解】因为2>1,-1>-2,2(-1)=1(-2),所以A错；因为2>1 ,2✖02=1✖02,所以B错；因为-2<-1,->-1 ,所以C错；由不等式性质得若，则，所以D对，选D.【点睛】本题考查不等式性质，考查分析判断能力.2.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求集合A,B，再根据交集定义求结果.【详解】因为，，所以=，选B.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3.在中，，则（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得sinB==，结合范围，即可解得B的值．【详解】∵∴由正弦定理可得：sinB===，,∴解得：B=或π．故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查．4.在各项都为正数的数列中，首项，且点在直线上，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】代入点，化简可得数列{a n}为首项为2，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．【详解】在正数数列{a n}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，可得a n2=9a n﹣12，即为a n=3a n﹣1，可得数列{a n}为首项为2，公比为3的等比数列，则{a n}的前n项和S n等于==3n﹣1．故选：B．【点睛】本题考查数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用．5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”A. 6斤B. 7斤C. 斤D. 斤【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.等差数列中，，且，为其前项和，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】由题意可得：由等差数列的性质可得．即可得到答案.【详解】由题意可得：因为a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，所以由等差数列的性质可得：．故选B．【点睛】本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前n项和公式．7.不等式对于一切恒成立，那么的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，利用二次函数的性质列出满足的条件，结合两种情况，即可得到答案．【详解】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，则须，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选B．【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用一元二次函数的图象与性质，注意对二次项系数的分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8.已知数列的前项和，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据和项与通项关系求，根据等比数列定义判断为等比数列，最后根据等比数列求和公式得结果.【详解】当时;当时;所以，，因此数列为等比数列，前项和为，选C.【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.9.设的内角所对的边分别为,若，则的形状为（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简2sin A cos B＝sin C得A=B.【详解】由已知得2sin A cos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin(A －B)＝0，因为－π<A－B<π，所以A＝B.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角恒等变换时，要“三看”（看角看名看式）“三变”（变角变名变式）. 10..已知数列的通项公式为，设其前项和为，则使成立的正整数有A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值【答案】A【解析】【分析】先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜-5转化为关于n的不等式即可．【详解】∵，，又因为，故使S n＜-5成立的正整数n有最小值：63故选：A．【点睛】本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．11.已知，则函数的最小值是（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式求出，再利用基本不等式，即可求出答案。
(精品)2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理
湖北省部分重点中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题理湖北省部分重点中学2018-2019学年度高二上学期期中考试理科数学答案 1~16题：BBDAB DAABC DD 13.、21 14．15．.. 16．②③.17．解析：（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()1,1A -， ()2,2B ， ()1,3C ，代入圆方程2{228 310D E F D E F D E F -++=-++=-++=-，……………………….2分解得1{ 3 0D E F =-=-=，……………………………………………….4分∴圆方程为2230x y x y +--=．………………………….5分。
（2）∵圆心在3y x =上，∴设圆心坐标为(),3m m ，……………..6分 又∵圆与x 轴相切，∴半径3r m =，……………………………….7分弦心距d ==，………………………………………..8分又∵227r d =+即22927m m =+，∴1m =±，……………………9分 ∴圆方程为()()22139x y -+-=或()()22139x y +++=．……….10分 18．详解：(1)因为在平面上的射影恰好在上，所以平面，又平面，所以，又，，所以平面．又平面，所以．……………………………….4分(2)因为四边形是矩形，所以．由(1)知，所以平面，又平面，所以平面平面．………………..8分(3)因为平面，所以．又==，所以，所以===．即三棱锥的体积为48…………..12分19．【详解】（1）由所给数据计算得：,，…………………………3分∴＝，…………………………………..4分∴＝－，∴所求回归直线方程是．……………………….5分令100=14+5，解得=6.79.∴预测答题正确率是100﹪的强化训练次数为7次．…….6分（2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9,其平均数是7，……..8分所以“强化均值”的标准差是，……..11分∴这个班的强化训练有效．…………………………….12分20.【详解】（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，即圆心（a，b）在直线3x﹣2y=0上，圆C与直线3x﹣4y+1=0相切，则C到直线l的距离d=r=1，则有，…………………………….4分解得或（舍）∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…………………5分（2）假设存在直线l，使得=6，设M（x1，y1）N（x2，y2），由得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，，…………………………………….6分由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0得，…………………………8分•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）++4=6，解得k=﹣1或，…………………………………………10分不满足△＞0，所以不存在直线l，使得=6．………………………..12分21.．【详解】：（1）该城市这30天空气质量指数的平均值为……………………2分（2）空气质量优有2个数据，记为A，B；空气质量中重度污染有3个数据C，D，E；从中选取两个有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共有10种可能，空气质量优和空气质量中重度污染数据恰均被选中有6种可能，记“空气质量优和空气质量中重度污染数据恰均被选中”为事件M，则;…………………………………5分（3）设“在本月30天中随机抽取一天，该天经济损失不超过600元”为事件N，分三种情况：当时，，此时其概率为 (7)当时，由，此时其概率为…………………..9分当时，由，此时其概率为………………………11分综上由互斥情况可得答：估计这天的经济损失S不超过600元的概率…………………………..12分22．详解：（1）∵圆：∴圆心，半径∵直线与圆相交于，两点，且∴圆心到的距离为∴，解得：∵∴………………………………….2分（2）∵圆与轴交于，两点（点在点上方）∴∴，设直线与圆方程联立：，化简得：∴，同理可求：…………….4分∵三点共线，且，∴，……………………………7分化简得：∵∴，即∴存在实数，使得恒成立．……….9分（3）设∴且∴由（2）知：，代入得：为定值∴点在定直线上．…12分。
18—19学年上学期高二期中考试数学(理)试题(附答案)
高级中学2018-2019（一）期中考试高二年级 理科数学第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.设,,a b c R ∈,则命题“若a b >,则22ac bc >”的逆否命题是( ) A. 若22ac bc ≤，则a b ≤ B. 若22ac bc >，则a b ≤ C. 若22ac bc ≤，则a b > D. 若22ac bc >，则a b >2. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC ,BD ，则“BD AC ⊥”是“四边形ABCD 为菱形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有不能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数4.双曲线8222=-y x 的焦点坐标是( )A. (±B. (0,±C. (2,0)±D.(0,2)± 5.已知一个圆柱底面半径为2，体积为12π，则此圆柱的表面积为（ ）A. 20πB. 18πC. 16πD. 8π 6. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b 7.正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A.90 B.60 C.45 D.308.已知(1,1,3),(1,1,1),(2,,1)a b c x =-=-=若向量2a b +与c 垂直，则x 的值为（ ）A. 1B.2-C.9D. 39.如图三棱锥O ABC -中，P 是棱BC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===，则AP 可以表示为（ ）A. 111222a b c -++ B.1122a b c -++ C.1122a b c ++ D. 111222a b c ++ 10.如图，棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是'',BB CC 上动点，则'AE EF FD ++的最小值是( )A.4B.5C.第9题图 第10题图11．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±12．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．221189x y += B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 共20分13.已知点(3,8)M 在双曲线C ：22221(0,0)-x y a b a b=>>上，C 的焦距为6，则它的离心率为__________．14点,A B 到平面α的距离分别为6cm 和8cm ，则线段AB 的中点M 到α平面的距离为 ___cm15.长方体的一个顶点上三条棱的长度分别为2、3、4，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是______________16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点是,M N ,P 是椭圆C 上异于,M N 的任意一点，如果直线,PM PN 的斜率乘积为13-，则椭圆C 的离心率e =______三、解答题：本大题共6小题， 共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知命题:p 关于x 的方程222(1)0x m x m --+=有实数根命题:q 方程22112x y m m +=-+表示双曲线 （1）若q 是真命题，求m 的取值范围（2）若命题()p q ⌝∧是真命题，求m 的取值范围 18. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，两个焦点为12,F F ，2(3,0)F ，短轴长为8， （1）求C 的方程（2）P 是椭圆C 上位于第一象限内的一点，且12PF PF ⊥,求12PF F △的面积19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为D ，11.B C BC E =I求证：（1）11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥20. （本小题满分12分）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的一点.(I)求证:平面 PAC ⊥平面PBC (II)若2AB AC PA ===，1， 求二面角C PB A --的余弦值21. (本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于,A B 两点．（1）写出C 的方程； （Ⅱ）若OA ⊥OB ，求k 的值； 22. （本小题满分12分）已知直线l 与椭圆22:132x y C +=交于,A B 两点，O 是坐标原点（1）若l 过椭圆C 的右焦点，且倾斜角为45，求AOB △的面积（2）若l 与坐标轴不平行，线段AB 的中点是P .求证：直线l 与OP 的斜率乘积是定值参考答案一、选择题13. 3 14. 1或7 15. 29π16.3三、解答题17.（1）q 是真命题则(1)(2)0m m -+<，解得21m -<< （2）命题()p q ⌝∧是真命题，则p 是假命题且q 是真命题即：224(1)4021m m m ⎧∆=--<⎨-<<⎩，得1(2,)2m ∈-18.（1）由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，28,4,3b b c ===，得22225a b c =+=所以椭圆方程为：2212516x y +=（2）据椭圆定义，12||||=10PF PF +又12PF PF ⊥,2221212||||=||=36PF PF F F +可得，12||||=32PF PF ⋅，121||||=162S PF PF ∆=⋅19.证明：（1）由题意知，E 为1C B 的中点， 又D 为1AB 的中点，因此D //C E A ．又因为D E ⊄平面11C C AA ，C A ⊂平面11C C AA ， 所以D //E 平面11C C AA ．（2）因为棱柱111C C AB -A B 是直三棱柱，所以1CC ⊥平面C AB ．因为C A ⊂平面C AB ，所以1C CC A ⊥．又因为C C A ⊥B ，1CC ⊂平面11CC B B ，C B ⊂平面11CC B B ，1C CC C B =，所以C A ⊥平面11CC B B ．又因为1C B ⊂平面11CC B B ，所以1C C B ⊥A ．因为1C CC B =，所以矩形11CC B B 是正方形，因此11C C B ⊥B ． 因为C A ，1C B ⊂平面1C B A ，1CC C A B =，所以1C B ⊥平面1C B A ．又因为1AB ⊂平面1C B A ，所以11C B ⊥AB ．20.(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥, 又PAAC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PACBC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .(Ⅱ)如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,BC ∴.又1PA =,()0,1,0A ∴,)B,()0,1,1P .故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩nn 1110,0,y z =∴+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,0,z y =⎧⎪∴-= 不妨令21x =，则()2=n .于是12cos ,==n n 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为421. （Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，．OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是2221212222233241104444k k k x x y y k k k k -++=---+==++++． 12k =±22.设1122(,),(,)A x y B x y（1）易知，椭圆右焦点为(1,0)，直线l 斜率tan 451k == 所以l 方程是1y x =-，将l 方程代入椭圆方程整理得：25630x x --=， 所以：121263,55x x x x +==-||AB ==O 到直线l的距离d =12AOB S ∆==（2）设:l y kx m =+，代入椭圆方程整理得：222(23)6(36)0k x kmx m +++-=，所以：122623kmx x k +=-+点P 的坐标为：1223223P x x km x k +==-+ ,2223P Pmy kx m k =+=+ 直线OP 的斜率23P OP P y k x k==-， 显然直线l 与直线OP 斜率之积为：22()33k k ⋅-=-。