第26章《二次函数》培优专题10：二次函数的综合应用
第26章《二次函数》培优习题10：二次函数综合应用考点1：二次函数与三角形知识的综合应用题型1：二次函数与三角形面积问题综合应用例1、如图，直线l ：83+-=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线922++-=a ax ax y （0 a ）经过点B .（1）求a 的值，并写出抛物线的表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ①当点M （2，n ）时，求n ，并求ABM ∆的面积；②当点M 的横坐标为m ，ABM ∆的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值和此时点M 的坐标。
【同步练习】1、如图，OAP ∆是等腰直角三角形，︒=∠90OAP ，点A 在第四象限，点P 坐标为（8，0），抛物线c bx ax y ++=2经过原点O 和A 、P 两点。
（1）求抛物线的函数关系式；（2）点B 是y 轴正半轴上一点，连接AB ，过点B 作AB 的垂线交抛物线于C 、D 两点，且AB BC =，求点B 坐标；（3）在（2）的条件下，点M 是线段BC 上一点过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，求C B M ∆面积的最大值。
3、如图，二次函数62-+=bx ax y 的图象与x 轴交于A ，B 两点，并经过点C （8，﹣6），对称轴交x 轴于点D 、已知点A 坐标是（2，0）.（1）求点B 和点D 的坐标；（2）连接并延长CD 交抛物线于点E ，连接BC ，BE ，求EBC ∆的面积； （3）抛物线上有一个动点P ，与A ，B 两点构成ABP ∆，是否存在DBC ABP S S ∆∆=21？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
4、如图，抛物线bx ax y +=2经过点A （4，0）与直线y ＝kx 交于点（1）求a ，b ，k 的值；（2）直线y ＝kx 向上平移m 个单位，使直线与抛物线只有一个交点，求m 值； （3）抛物线bx ax y +=2顶点D ，能否在直线OB 上方的抛物线上找到另一点P ，使OB D OB P S S ∆∆=，若能求出P 点坐标；若不能说明理由。
5、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点。
（1）求抛物线的解析式；（2）过点O 作AB OP //交抛物线于点P ，求点P 的坐标；（3）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值。
例2、如图，已知抛物线223212+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C .（1）判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A 、C 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
【同步练习】已知：如图，抛物线32-+=bx ax y 与x 轴交于A 点，与y 轴交于C 点，且A （1，0）、B （3，0），点D 是抛物线的顶点。
（1）求抛物线的解析式；（2）在y 轴上是否存在M 点，使得MAC ∆是以AC 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若ADP ∆面积为3，求点P 的坐标。
例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线42++=bx ax y 经过点A （4，0），B （﹣1，0），交y 轴于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）点D 是直线AC 上一动点，过点D 作DE 垂直于y 轴于点E ，过点D 作x DF ⊥轴，垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点D 的坐标；（3）在AC 上方的抛物线上是否存在点P ，使得ACP ∆是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。
【同步练习】1、如图，已知抛物线542++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）直接写出点A 、B 、C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PC PA +的值最小，求此时点P 的坐标； （3）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C 、B 不重合）过点D 作x DF ⊥轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 把BDF ∆的面积分成两部分，使3:2:=∆∆BEF BDE S S ，请求出点D 的坐标；（4）若M 为抛物线对称轴上一动点，使得MBC ∆为直角三角形，请直接写出点M 的坐标。
2、已知，抛物线c bx x y ++-=2经过点A （﹣1，0）和C （0，3）. （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PC PA +的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当MAC ∆是直角三角形时，求点M 的坐标。
题型4：二次函数与相似三角形问题例4、如图，已知抛物线c bx ax y ++=2经过A （﹣3，0）、B （8，0）、C （0，4）三点，点D是抛物线上的动点，连结AD 与y 轴相交于点E ，连结AC ，CD .（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当AD 平分CAB ∠时，①求直线AD 所对应的函数表达式；②设P 是x 轴上的一个动点，若PAD ∆与CAD ∆相似，求点P 的坐标。
【同步练习】 1、如图，直线232+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线c bx x y ++-=234经过点A ，B .（I ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）M （m ，0）为x 轴上一个动点，过点M 作直线MN 垂直于x 轴，与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM ∆相似，求点M 的坐标； ②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”，请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值。
2、已知抛物线32-+=bx ax y 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），顶点为D ，点C 是直线l ：5+=x y 与x 轴的交点。
（1）求该二次函数的表达式；（2）点E 是直线l 在第三象限上的点，连接EA 、EB ，当ECA ∆∽BCE ∆时，求E 点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接AD 、BD ，在直线DE 上是否存在点P ，使得ADB APD ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
题型5：二次函数与线段、周长的最值问题例5、如图，已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （3-，0），B （33，0）两点，与y轴交于点C （0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC ∆的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）。
过点D 作PC DE //交x 轴于点E 、设CD 的长为m ，问当m 取何值时，ABMC PDE S S 四边形91=∆.【同步练习】1、二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（﹣1，4），且与直线121+-=x y 相交于A 、B 两点（如图），A 点在y 轴上，过点B 作x BC ⊥轴，垂足为点C （﹣3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N 是二次函数图象上一点（点N 在AB 上方），过N 作x NP ⊥轴，垂足为点P ，交AB 于点M .①求线段MN 的最大值；②直接写出能使BM 与NC 互相垂直平分的N 点的坐标。
2、如图，抛物线c+=2与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点。
y+xbx（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使A C M∆的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）设抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时、满足8S，并=∆PAB求出此时P点的坐标。
3、如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OB=，抛物线OA4OC= +=2（0axcbxy+≠a）图象经过A，B，C三点。
（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作ACPD⊥于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值。
备用图4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），连接AC ，BC 、点P 是该二次函数位于第一象限内图象上的一个动点，过点P 作x PD ⊥轴，垂足为D ，交BC 于点E ，过点P 作AC PF //，交x 轴于点F ，交BC 于点G 、设点P 的横坐标是m .（1）求该二次函数的表达式；（2）连接AE ，在点P 运动的过程中，是否存在点E ，使ACE ∆是以AC 为腰的等腰三角形？如果存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当m 为何值时，EG 有最大值？考点2：二次函数与四边形知识的综合应用例6、在平面直角坐标系中，二次函数22++=bx ax y 的图象与x 轴交于A （﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C .（1）求这个二次函数的关系解析式，x 满足什么值时0 y ？（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使A CP ∆面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。
【同步练习】1、如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C .（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标。
2、如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线333+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点F 是点B 关于x 轴的对称点，抛物线c bx x y ++=233经过点A 和点F ，与直线AB 交于点C .（1）求b 和c 的值；（2）点P 是直线AC 下方的抛物线上的一动点，连结P A ，PB 、求△P AB 的最大面积及点P 到直线AC 的最大距离；（3）点Q 是抛物线上一点，点D 在坐标轴上，在（2）的条件下，是否存在以A ，P ，D ，Q 为顶点且AP 为边的平行四边形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。
二次函数培优专题
二次函数培优专题一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。
- 题目解析：判断一个函数是否为二次函数，关键看其是否符合y = ax^2+bx + c(a≠0)的形式。
比如y=3x + 2就不是二次函数，因为它不符合二次函数的定义形式，其中x的最高次数是1；而y=(1)/(x^2)也不是二次函数，因为它不是整式函数。
2. 二次函数的图象- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如，对于二次函数y = x^2，a = 1>0，其图象开口向上；对于y=-2x^2，a=-2 < 0，其图象开口向下。
- 题目解析：给定二次函数，判断其图象开口方向是常见题型。
如y = 3x^2-2x + 1，因为a = 3>0，所以图象开口向上。
对于二次函数图象开口方向的理解，可以从二次函数的增减性角度来看，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。
3. 二次函数的对称轴和顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴公式为x =-(b)/(2a)，顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 3，a = 2，b=-4，c = 3。
对称轴x=-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1，所以顶点坐标为(1,1)。
培优讲义二次函数的应用
“培优班”培优讲义《二次函数的应用》一、几何图形类11米高处飞出，水平飞行5例1.一个小朋友坐在池塘边向水中抛掷石头，石头从距离水面12米达到最高处，此时距离水面3米，石头落到水面上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相11米．同，最大高度比原来最大高度降低12（1）求石头飞出到第一次落到水面时的抛物线表达式；（2）石头第二次落到水面的位置距离池塘边多远？练习1：某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，到柱子OP的距离为1米．(1) 求这条抛物线的关系式；(2) 若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．练习2：某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54，请你寻求： （1）柱子OA 的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．练习3：如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少．(1)m x二、销售问题例2．某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现,该商品每天的销售量w (千克)与销售价x (元/千克)有如下关系:280w x =-+.设这种商品的销售利润为y (元).(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在不亏本的前提下,销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?练习4：某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．（1）假设每件商品降低x 元（每件商品都不亏本），商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请你写出y 与x 之间的函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）这种小商品每件销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？注：销售利润=销售收入－购进成本．练习5：某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用㈠一、典例精析考点一：二次函数与方程1.已知抛物线与x轴没有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．2.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．考点二：二次函数与最大问题3、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点. （1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：（其中是原点）；（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
5、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.7、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ，c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．8如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．9．如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C ．（1）求∠ACB 的度数；（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．10如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．11在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()40A -，，()04B -，，()20C ，三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB △的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能够使得点P Q B O ，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．12如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x 轴于点P ，交y 轴于点A ．抛物线y=x 2+bx+c 的图象过点E （﹣1，0），并与直线相交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标；（3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
九年级数学专题辅导十一：二次函数的综合应用(教师版)
九年级数学专题辅导十一：二次函数综合应用类型一动点产生的面积问题1、如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD ＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM ＝2S△ABM，求点M的坐标．图12、如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1类型二因动点产生的相似三角形问题3、直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图14、如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．图1类型三动点产生的平行四边形问题5、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图26、在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2参考答案1、满分解答：（1）因为BC ∥OA ，所以BC ⊥CD ．因为CD ＝CB ＝3，所以△BCD 是等腰直角三角形．因此∠BCD ＝45°．又因为BC ⊥CD ，所以∠ODE ＝45°．所以△ODE 是等腰直角三角形，OE ＝OD ＝1．所以点E 的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B （3，4）和点E （1，0），所以934,10.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ 解得6,5.b c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －5，抛物线的对称轴为直线x ＝3． ②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ）．C EM M EF C O E O FM C S S S S ∆∆∆=--梯形111(4)321442222t t t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯=+．（ⅰ）如图2，当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(21．解方程)4(242t t -=+，得58=t ．此时点M 的坐标为（3，58）．（ⅱ）如图3，当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(21-=⨯-=∆t t S ABM ．解方程)4(242-=+t t ，得8=t ．此时点M 的坐标为（3，8）．图2 图32、满分解答：(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122O E O C b b ⋅=⨯⨯=．②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD ＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯-252b b =-+． (2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图43、满分解答：（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩则抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标(1，4)． （3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°． 因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么BQ ==． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD①当3B Q B A =3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．②当13B QB A =13=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图34、满分解答 ：（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为：22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAO PMAM ，那么214)4)(1(21=----xx x ．解得2=x ．点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---xx x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xx x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m mm ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m mDE m m2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m mS DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图65、满分解答：(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-．(2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222M D m m m m m =---+-=--．所以2142M D AM D B S S S M D O A m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++． 因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 若点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-．①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得2x =-±．此时点Q 的坐标为(22-+-（如图3），或(22--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．图3 图4 图5 图3 图46、满分解答(1)如图2，作BH ⊥x 轴，垂足为H ，那么四边形BCOH 为矩形，OH ＝CB ＝3．在Rt △ABH 中，AH ＝3，BA ＝，所以BH ＝6．因此点B 的坐标为(3,6)． (2) 因为OE ＝2EB ，所以223E B x x ==，243E B y y ==，E (2,4)．设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入D (0,5)，E (2,4)，得5,2 4.b k b =⎧⎨+=⎩ 解得12k =-，5b =．所以直线DE 的解析式为152y x =-+．（3) 由152y x =-+，知直线DE 与x 轴交于点F (10,0)，OF ＝10，DF ＝①如图3，当DO 为菱形的对角线时，MN 与DO 互相垂直平分，点M 是DF 的中点．此时点M 的坐标为(5,52)，点N 的坐标为(－5,52)．②如图4，当DO 、DN 为菱形的邻边时，点N 与点O 关于点E 对称，此时点N 的坐标为(4,8)． ③如图5，当DO 、DM 为菱形的邻边时，NO ＝5，延长MN 交x 轴于P ．由△NPO ∽△DOF ，得N P P O N OD OO FD F==，即510NP PO ==．解得N P =，PO =N 的坐标为(-．。
(完整版)二次函数综合应用---含答案
二次函数应用（能力提高）一、选择题：1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ C ）（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-142.已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过(B)（A）一、二、三象限（B）一、二、四象限（C）一、三、四象限（D）一、二、三、四象限3.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（ A ）（C）（D）第7题4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（ A ）（A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是5.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是(C )(A)0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<16.将抛物线y=-2x2-1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ A ）（A）个单位 (B)1个单位 (C)个单位 (D)个单位232127.如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4,2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，则m的值为（ D ）（A）0（B）（C）－1（D）0或或－121-21-8.（2015浙江）设二次函数11212())0(()y a x x x x a x x=--≠≠，的图象与一次函数()2y dx e d=+≠的图象交于点1(0)x，，若函数21y y y=+的图象与x轴仅有一个交点，则（ B ）（A）12()a x x d-=（B）21()a x x d-=（C）212()a x x d-=（D）()212a x x d+=二、填空题：1.已知二次函数y＝－4x2－2mx＋m2与反比例函数y＝的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是xm42+－2，则m的值是 -7t h 2.已知抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴上截得的线段长为6，则该抛物线的解析式为 _ y = −(x +1)(x −5)___3.已知二次函数y ＝ax 2（a≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 42+254.老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。
专题10 二次函数中取值范围专题(二)(解析版)九下数学专题培优训练
专题10 二次函数中的取值范围专题（二）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 已知函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m 的取值范围是( )A. m ≥−2B. 0≤m ≤12C. −2≤m ≤−12D. m ≤−12【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12;再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的范围． 【解答】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12;∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12−[1−(−12)]=−2时，y =1，∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，且m ≤−12; ∴−2≤m ≤−12．2. 已知抛物线y =ax 2+4x +c(a ≠0)与直线y =x 只有一个交点且横坐标为32 ，当0≤x ≤m 时，函数y =ax 2+4x +c −34(a ≠0)的最小值为−3，最大值为1，则m 的取值范围是( )A. −1≤m ≤0B. 2≤m <72C. 2≤m ≤4D. 94<m ≤72【答案】C【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．根据和谐点的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，△=32−4ac=0，即4ac=9，方程的根为−32a =32，从而求得a=−1，c=−94，所以函数y=ax2+4x+c−34=−x2+4x−3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．【解答】解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，△=32−4ac=0，即4ac=9，又方程的根为−32a =32，解得a=−1，c=−94，故函数y=ax2+4x+c−34=−x2+4x−3，如图，该函数图象顶点为(2,1)，与y轴交点为(0,−3)，由对称性，该函数图象也经过点(4,−3)．由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=−x2+4x−3的最小值为−3，最大值为1，∴2≤m≤4，3.已知二次函数y=−x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点(0,t)且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是()A. −1≤t≤0B. −1≤t≤−12≤t≤0 D. t≤−1或t≥0C. −12【答案】A【分析】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值等有关知识，找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．【解答】解：如图1所示，当t等于0时，∵y=−(x−1)2+4，∴顶点坐标为(1,4)，当x=0时，y=3，∴A(0,3)，当x=4时，y=−5，∴C(4,−5)，∴当t=0时，D(4,5)，∴此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当t=−1时，此时最小值为−1，最大值为4．综上所述：−1≤t≤0，4.小华通过学习函数发现：若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(x1,y1)，(x2,y2)(x1<x2)，若y1y2<0，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x0的取值范围是x 1<x 0<x 2，请你类比此方法，推断方程x 3+x −1=0的实数根x 0所在范围为( )A. −12<x 0<0B. 0<x 0<12C. 12<x 0<1D. 1<x 0<32【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x 轴的交点、一元二次方程的根等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的结论解决问题，属于中考创新题目．根据二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)(x 1<x 2)，若y 1y 2<0，则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一个根x 0的取值范围是x 1<x 0<x 2，由此即可判断． 【解答】解：对于函数y =x 3+x −1， ∵x 1=12时，y 1=−38， x 2=1时，y 2=1， ∵y 1y 2<0，由题意，x 3+x −1=0的有一个实数根x 0在12<x 0<1范围内，5. 已知关于x 的二次函数y =x 2−(2a −1)x +2，当−1≤x ≤3时，y 在x = 3时取得最大值，则实数a 的取值范围是( )．A. a <72B. a ≤32C. a >12D. a ≥−12【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．根据二次函数的增减性，利用对称轴列出不等式求解即可． 【解答】解：∵−1≤x ≤3时，y 在x =3时取得最大值， ∴2a−12≤−1+32，解得a≤32．6.如图所示，抛物线L：y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为x=5，且与x轴的左交点为(1,0)，则下列说法正确的有()①C(9,0)；②b+c>−10；③y的最大值为−16a；④若该抛物线与直线y=8有公共交点，则a的取值范围是a≤12．A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ①④【答案】B【分析】利用图象信息以及二次函数的性质一一判断即可．本题考查二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：∵抛物线L：y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为x=5，且与x轴的左交点为(1,0)∴抛物线L与x轴的交点C为(9,0)故①正确；∵抛物线L与x轴的左交点为(1,0)∴a+b+c=0∴b+c=−a>0>−10故②正确；∵抛物线L：y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为x=5∴−b2a=5，即b=−10a又∵a+b+c=0∴c=9a∴4ac−b24a =4a×9a−100a24a=−16a故③正确；若该抛物线与直线y =8有公共交点，则有8≤−16a ， ∴a ≤−12 故④错误．7. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s(米)与其距地面高度ℎ(米)之间的关系式为ℎ=−112s 2+23s +32.如图，已知球网AB 距原点5米，乙(用线段CD 表示)扣球的最大高度为94米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是 ( )A. 5<m <9B. 5<m <4+√7C. 4<m <8+√7D. 5<m <4−√7【答案】B 【分析】本题是二次函数的应用题，求范围的问题，可以选取h 等于最大高度，求自变量的值，再根据题意确定范围.先求乙恰好扣中的情况，当ℎ=94时，−112m 2+23m +32=94，求出方程的解；由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，说明乙站到了恰好扣中的那个点和网之间． 【解答】解：先求乙恰好扣中的情况，当ℎ=94时，−112m 2+23m +32=94， 解方程得：m 1=4+√7，m 2=4−√7． 但扣球点必须在球网右边，即m >5，∴m 2=4−√7(舍去)，由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，∴5米<m 米<(4+√7)米，二、填空题8.当a≤x≤a+1时，函数y=x2−2x+1的最小值为0，则a的取值范围是______．【答案】0≤a≤1【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=0时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值0，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=0时x的值是解题的关键．【解答】解：当y=0时，有x2−2x+1=0，解得：x1=x2=1．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值0，∴a=1或a+1=1，∴0≤a≤1，9.已知二次函数y=(x−ℎ)2−ℎ+2，当自变量x的取值在0≤x≤2的范围中时，函数有最小值h，则h的值为______．【答案】1或3+√3【分析】若ℎ<0，利用而次函数的性质得当x=0时，y有最小值h，即(0−ℎ)2−ℎ+2=ℎ；若0≤ℎ<2，根据二次函数的性质得−ℎ+2=ℎ，解得ℎ=1；若ℎ≥2，讨论可得当x=2时，y有最小值h，即(2−ℎ)2−ℎ+2=ℎ，然后分别解关于h的方程即可．本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(−b2a ,4ac−b24a)，对称轴直线x=−b2a，当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，当x<−b2a 时，y随x的增大而减下；当x>−b2a时，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，当x<−b2a时，y随x的增大而增大，当x>−b2a时，y随x的增大而减小．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=ℎ，若ℎ<0，则当x=0时，y有最小值h，即(0−ℎ)2−ℎ+2=ℎ，此方程没有实数解；若0≤ℎ<2，则当x=ℎ时，y有最小值h，即−ℎ+2=ℎ，解得ℎ=1；若ℎ≥2，则当x=2时，y有最小值h，即(2−ℎ)2−ℎ+2=ℎ，解得ℎ1=3+√3，ℎ2= 3−√3(舍去)；综上所述，h的值为1或3+√3．10.已知二次函数y=x2+bx的最小值为−4，若关于x的方程x2+bx−2m=0有实数根，则m的取值范围是__．【答案】m≤2【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程x2+bx−2m=0有实数相当于y=x2+bx(a≠0)平移2m个单位与x轴有交点，结合二次函数图象性质可得出m 的范围．【解答】解：方程x2+bx−2m=0有实数根，相当于y=x2+bx(a≠0)平移2m个单位与x轴有交点，又二次函数y=x2+bx的最小值为−4，即y=−4，∴二次函数最多可以向上平移4个单位，∴−2m≥−4，则m≤2．11.某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6m，则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的最大范围是m.【答案】√5【分析】本题考查二次函数的意义，掌握利用二次函数解决抛物线模型问题的一般步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放在坐标系中;(2)结合图形和已知条件，分析变量间的关系;(3)用待定系数法求函数解析式;(4)利用二次函数的解析式及其性质，求解实际问题即可解答． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y =a(x −52)2+2(a ≠0)， 由题意得0=a ×(0−52)2+2，解得a =−825， ∴y =−825(x −52)2+2，当y =1.6时，1.6=−825(x −52)2+2，解得x 1=52+√52，x 2=52−√52，∴他在不弯腰的情况下在大棚内活动的最大范围是52+√52−(52−√52)=√5(m)．12. 若规定|a ，b|表示a 、b 两个数中的最大值，则直线y =kx −1与函数y =|−x 2，x −2|的图象有且只有一个交点，则k 的范围是______ ． 【答案】k <0或k >32 【分析】画出函数图象，结合图象，首先求出直线y =x −2与抛物线y =−x 2的交点A(1,−1)，B(−2,−4)与直线y =kx −1与y 轴交于C(0,−1)，再求出直线AC ，BC 的斜率，进而求得k 的范围．本题主要考查了求函数交点的方法，求直线斜率，掌握分类和数形结合的思想方法是解体的关键．【解答】解：解方程组{y =−x 2y =x −2得：{x 1=1y 1=−1，{x 2=−2y 2=−4， ∴A(1,−1)，B(−2,−4)， x =0时，y =kx −1=−1，∴直线y =kx −1与y 轴交于C(0,−1)， ①k AC =−1−(−4)0−(−2)=32(恰有两点，逆时针旋转至y 轴时都满足)，∴k >32时，满足条件，②k BC =0(恰有两点，逆时针旋转至y 轴时都满足)， ∴k <0时，满足条件，综上：满足条件时，k <0或k >32，三、解答题13. 已知二次函数y =−x 2+bx +c 的图象经过点(1,−2)和(2,−3)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x 在什么取值范围内，y 随x 的增大而增大？ (3)该函数是有最大值还是有最小值？求出这个最值．【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法，二次函数的性质，关键是熟练掌握二次函数的性质．(1)把两个点的坐标代入二次函数可得b ，c 的值，从而可得二次函数的解析式； (2)根据二次函数的性质进行确定即可； (3)根据二次函数的最值的判定方法可得结论．【解答】解：(1)∵二次函数y =−x 2+bx +c 的图象经过点(1,−2)和(2,−3) ∴代入两个点的坐标可得{−1+b +c =−2−4+2b +c =−3解得{b =2c =−3则这个二次函数的解析式为y =−x 2+2x −3； (2)∵y =−x 2+2x −3=−(x −1)2−2， ∴当x ≤1时，y 随x 的增大而增大；(3)∵y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2，所以当x=1时，二次函数有最大值，最大值为−2．14.定义：用函数的最值来判定参数的取值范围，这种方法称为“最值判定法”.例如：当−1≤x≤2时，x+a≤0恒成立，求a的取值范围．可令y=x+a，因为y随x 的增大而增大，所以当x取最大值2时，对应的y取最大值2+a，由2+a≤0，得a≤−2．(1)①对于反比例函数y=−2，当0<x≤a(a>0)时y≤−1恒成立，求a的取值x范围．②当x≥2时，−x−2b≤3恒成立，求b的最小值．(2)若当−1≤x≤1时，不等式−x2+ax−3≤x恒成立，求实数a的取值范围．(3)若当−1≤x≤1时，二次函数y=−x2+(a−1)x−3有最大值a，求实数a的值．【分析】(1)①根据反比例函数的增减性，当0<x≤a(a>0)时y≤−1恒成立，即当x 取最大值a时，y≤−1，即可求出a的取值范围，②根据一次函数的增减性，当x≥2时，−x−2b≤3恒成立，即当x取最小值2时，−x−2b≤3，即可求出b的取值范围，进而求出b的最小值，(2)不等式−x2+ax−3≤x变形为−x2+(a−1)x−3≤0，令y=−x2+(a−1)x−3，当−1≤x≤1时，分组讨论，令y的最大值≤0，求取实数a的取值范围，(3)通过(2)的过程分组讨论，当−1≤x≤1时，y的最大值a，从而求出实数a的值．本题考查反比例函数、一次函数及其二次函数的性质，增减性及分组讨论是解决本题的关键，综合性较强．随着x的增大而减小，【解答】解：(1)①∵当0<x≤a(a>0)时，反比例函数y=−2x∴当x=a时，对应的y取最大值−2，a∵y≤−1恒成立，≤−1，∴−2a∴0<a≤2，故实数a的取值范围为0<a≤2；②令y=−x−2b，∵y随着x的增大而减小，又∵x ≥2，∴当x =2时，y 取到最小值为−2−2b ，∵−x −2b ≤3恒成立，∴−2−2b ≤3，∴b ≥−52， 故b 的最小值为−52；(2)不等式变形为−x 2+(a −1)x −3≤0，令y =−x 2+(a −1)x −3，抛物线的对称轴为x =a−12， 若a−12≥1，即a ≥3时，x =1，y 取到最大值a +3≤0，a 无解，若a−12≤−1，即a ≤−1时，x =−1，y 取到最大值−a −3≤0，−3≤a ≤−1，若−1<a−12<1，即−1<a <3时， x =a−12，y 取到最大值12−(a−1)2−4≤0a 无解，故实数a 的取值范围为−3≤a ≤−1，(3)若a−12≥1，即a ≥3时，x =1，y 取到最大值a +3=a无意义(舍去)，若a−12≤−1，即a ≤−1时，x =−1，y 取到最大值−a −3=a ，a =−32(符合题意)，若−1<a−12<1，即−1<a <3时， x =a−12，y 取到最大值12−(a−1)2−4=a ，a =3±2√5(舍去)，符合要求的a的值为−3，2．故实数a的值为−3215.在平面直角坐标系xoy中，关于x的二次函数y=x2+px+q的图象过点(−1,0)(2,0)．(1)求p，q的值，并写出这个二次函数与y轴的交点坐标；(2)若将二次函数y=x2+px+q绕着原点旋转180°得到新的二次函数，请求出新函数值大于零时，自变量x的取值范围；(3)当−2≤x≤1时，求二次函数y=x2+px+q的最大值与最小值的差；(4)当一次函数y=(2−m)x+2−m的图象与二次函数y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a<3<b，求m的取值范围．【分析】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等，(1)由二次函数的图象经过(−1,0)和(2,0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式，所以当x=0时，y=−2，便可得出二次函数与y轴的交点坐标；(2)得出新函数y=−x2−x+2，便可得出当−2<x<1时，y>0；(3)先得出二次函数对称轴为x=1，然后求出y的最大值及最小值，便可得出最大值与2最小值的差；(4)由题意及(1)得(x+1)[x−(4−m)]=0，再根据Δ=(3−m)2+4(4−m)>0，得出m≠5，得出a，b为方程(x+1)[x−(4−m)]=0的两个解，根据a<3<b，得出4−m>3，便可得出结果．【解答】解：(1)∵y=x2+px+q的图象过点(−1,0)，(2,0)，∴{1−p +q =04+2p +q =0, 解得{p =−1q =−2, ∴y =x 2−x −2 ，当x =0时，y =−2，∴ 二次函数与y 轴的交点坐标为(0,−2)；(2)新函数y =−(x −1)(x +2)，即y =−x 2−x +2，当−2<x <1时，y >0．(3)由(1)得，二次函数对称轴为x =12，∴当−2≤x ≤1时，y 的最大值为(−2)2−(−2)−2=4，y 的最小值为(12)2−12−2=−94， ∴y 的最大值与最小值的差为4−(−94)=254；(4)由题意及(1)得，{y =(2−m )x +2−m y =x 2−x −2, 整理得x 2−(3−m)x −(4−m)=0，即(x +1)[x −(4−m )]=0， ∵一次函数y =(2−m)x +2−m 的图象与二次函数y =x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴Δ=(3−m )2+4(4−m )>0，化简得m 2−10m +25>0，即(m −5)2>0，解得m ≠5，∴a，b为方程(x+1)[x−(4−m)]=0的两个解，又∵a<3<b，∴a=−1，b=4−m，即4−m>3，∴m<1，综上所述，m的取值范围为m<1．16.在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，点A在抛物线y=ax2+bx−3a(a<0)上，将点B向右平移3个单位长度，得到点C．(1)抛物线的顶点坐标为____(用含a的代数式表示)；(2)若a=−1，当t−1≤x≤t<1时，函数y=ax2+bx−3a(a<0)的最大值为y1，最小值为y2，且y1−y2=2，求t的值；(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象直接写出a的取值范围．【答案】(1)(1,−4a)；(2)解：∵a=−1，∴抛物线y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4．①当t<1时，y1−y2=−t2+2t+3−[−(t−1)2+2(t−1)+3]=−2t+3=2∴t=1．2②当t−1>1时，即t>2时，y1−y2=−(t−1)2+2(t−1)t+3−(−t2+2t+3)=2t−3=2∴t=5．2③当1≤t≤1时，y1−y2=4−[−(t−1)2+2(t−1)+3]=t 2−4t +4=2∴t =2±√2(舍去)．④当32<t <2时，y 1−y 2=4−(−t 2+2t +3)=t 2−2t +1=2∴t =1±√2(舍去)．答：t 的值12为或52．①把x =0代入抛物线，得y =−3a ，当抛物线的顶点不在线段BC 上时，抛物线与线段BC 只有一个交点，∴−3a >4，∴a <−43，②当抛物线的顶点在线段BC 上时，则顶点坐标为(1,4)，∴a −2a −3a =4∴a =−1，答：a 的取值范围是a <−43或a =−1【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数和一次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的最值、坐标的平移有关知识．(1)将A(−1,0)代入抛物线得b =−2a ，再将抛物线解析式化为顶点式即可求解；(2)当a =−1时，抛物线顶点坐标为(1,4)，然后分情况根据抛物线的性质即可解答；(3)先求点B 坐标，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，利用抛物线的顶点坐标求解．【解答】解：(1)：(1)直线y =4x +4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A(−1,0)，B(0,4)，点A 在抛物线y =ax 2+bx −3a(a <0)上，∴b =−2a ，∴抛物线y=ax2+bx−3a=a(x−1)2−4a，∴抛物线的顶点坐标为(1,−4a)．故答案为(1,−4a)．17.如图，抛物线y=16x2−2√33x−6与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)与y轴交于点C，连接AC、BC.过点A作AD//BC交抛物线于点D(8√3,10)，点P为线段BC 下方抛物线上的任意一点，过点P作PE//y轴交线段AD于点E．(1)如图1.当PE+AE最大时，分别取线段AE，AC上动点G，H，使GH=5，若点M为GH的中点，点N为线段CB上一动点，连接EN、MN，求EN+MN的最小值；(2)如图2，点F在线段AD上，且AF：DF=7：3，连接CF，点Q，R分别是PE与线段CF，BC的交点，以RQ为边，在RQ的右侧作矩形RQTS，其中RS=2，作∠ACB的角平分线CK交AD于点K，将△ACK绕点C顺时针旋转75°得到△A′CK′，当矩形RQTS与△A′CK′重叠部分(面积不为0)为轴对称图形时，请直接写出点P横坐标的取值范围．【分析】(1)先通过二次函数解析式求出点A，B的坐标，再求出AC，AB，CB的长度，用勾股定理逆定理证直角三角形，求出直线AD的解析式，用含相同字母的代数式分别表示E，Q，P的坐标，并表示出EP长度，求出AE长度，根据二次函数的性质求出EA+EP 最大值时点E的坐标．最后作出点E关于CB的对称点，利用两点之间线段最短可求出结果；(2)由旋转的性质得到三角形CA′K与三角形CAK全等，且为等腰直角三角形，求出A′，K′的坐标，求出直线A′K′及CB的解析式，求出交点坐标，通过图象观察出P的横坐标的取值范围．本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数，二次函数的性质，旋转的性质，两点之间线段最短等众多知识点，综合性非常强，解此题的关键是对初中阶段各知识点都要掌握熟练．【解答】解：(1)在抛物线y =16x 2−2√33x −6中，当y =0时，x 1=−2√3，x 2=6√3，当x =0时，y =−6，∵抛物线y =16x 2−2√33x −6与x 轴交于A ，B(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ， ∴A(−2√3,0)，B(6√3,0)，C(0,−6)，∴AB =8√3，AC =√(2√3)2+62=4√3，BC =√(6√3)2+62=12，在△ABC 中，AC 2+BC 2=192，AB 2=192，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°，∵AD//BC ，∴∠CAD =90°，过点D 作DL ⊥x 轴于点L ，在Rt △ADL 中，DL =10，AL =10√3，tan∠DAL =DL AL =√33， ∴∠DAB =30°，把点A(−2√3,0)，D(8√3,10)代入直线解析式，得{−2√3k +b =08√3k +b =10， 解得k =√33，b =2， ∴y AD =√33x +2，设点E 的横坐标为a ，EP ⊥y 轴于点Q ，则E(a,√33a +2)，Q(a,0)，P(a,16a 2−2√33a −6)， ∴EQ =√33a +2，EP =√33a +2−(16a 2−2√33a −6)=−16a 2+√3a +8， ∴在Rt △AEB 中，AE =2EQ =2√33a +4，∴PE+AE=2√33a+4+(−16a2+√3a+8)=−16a2+5√33a+12=−16(a−5√3)2+492∴根据函数的性质可知，当a=5√3时，PE+AE有最大值，∴此时E(5√3,7)，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，则∠EAC=∠ACB=∠ACF=90°，∴四边形ACFE是矩形，作点E关于CB的对称点E′，在矩形ACFE中，由矩形的性质及平移规律知，x F−x E=x C−x A，y E−y F=y A−y C，∵A(−2√3,0)，C(0,−6)，E(5√3,7)，∴x F−5√3=0−(−2√3)，7−y F=0−(−6)，∴x F=7√3，y F=1，∴F(7√3,1)，∵F是EE′的中点，∴x E+x E′2=x F，y E+y E′2=y F，∴x E′=9√3，y E′=−5，∴E′(9√3,−5)，连接AE′，交BC于点N，则当GH的中点M在E′A上时，EN+MN有最小值，∴AE′=√(11√3)2+52=2√97，∵M是Rt△AGH斜边中点，∴AM=12GH=52，∴EN+MN=E′M=2√97−52，∴EN+MN的最小值是2√97−52．(2)在Rt △AOC 中，∵tan∠ACO =OA AC =√33， ∴∠AOC =30°， ∵KE 平分∠ACB ，∴∠ACK =∠BCK =45°，由旋转知，△CA′K′≌△CAK ，∠AC′A′=75°， ∴∠OCA′=75°−∠ACO =45°，∠AC′K′=45°， ∴OCK′=90°，∴K′C ⊥y 轴，△CAK′是等腰直角三角形， ∴A′C =AC =4√3，∴x A′=4√3√2=2√6，y A′=2√6−6，∴A′(2√6,2√6−6)，∴K′(4√6,−6)，将A′(2√6,2√6−6)，K′(4√6,−6)，代入一次函数解析式， 得{2√6k +b =2√6−64√6k +b =−6， 解得k =−1，b =4√6−6，∴y A′K′=−x +4√6−6，∵CB//AD ，∴将点C(0,−6)，B(6√3,0)代入一次函数解析式， 得{b =−66√3k +b =0，解得k=√3，b=−6，3x−6，∴y CB=√33x−6，联立y A′K′=−x+4√6−6和y CB=√33x−6，得−x+4√6−6=√33∴x=6√6−6√2，∴直线CB与A′K′的交点横坐标是6√6−6√2，∵当EP经过A′时，点P的横坐标是2√6，∴如图2，当2√6<x P<6√6−6√2时，重叠部分是轴对称图形；如图3，由于RS的长度为2，由图可看出当x P=2√6−1时，重叠部分同样为轴对称图形；综上，当x P=2√6−1或2√6<x P<6√6−6√2时，矩形RQRS和△A′CK′重叠部分为轴对称图形．。
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用一、二次函数与几何图形问题例一：（2019 吉林中考）如图，抛物线y=(x-1)²+k与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(0，-3)。
P为抛物线上一点，横坐标为m，且m>0。
(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P位于x轴下方时，求ΔABP面积的最大值;(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.①求h关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围!②当h=9时，直接写出ΔBCP的面积.二、二次函数与销售问题例一：（2020 湖北中考）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元且不高于52元，某商户在销售期间发现，当销售单价定价为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元。
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）将纪念品的销售单价定位多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大？最大利润是多少元？（3）该商户从每天的利润中提出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的取值范围。
三、二次函数与增长率问题例一：为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进就放改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设。
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4，32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？四、二次函数与行程问题例一：（2019 江西中考）蜗牛A和蜗牛B分别从相距120厘米的甲水坑和乙水坑以相同的速度同时相向而行，相遇后，两只蜗牛继续前进，蜗牛A的速度不变，蜗牛B每分钟比原来多走1厘米，结果蜗牛B到达甲水坑后蜗牛A还需10分钟才能到达乙水坑，求两只蜗牛原来的速度是多少？五、二次函数与动点问题例一：（2019秋惠州期末）如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；六、二次函数与阅读理解型问题（新定义题型）例一：（2019 ）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心（x，x）都在直线y=x上，所以称这两个函数为关于直线y=x的“相依函数”．例如：y=3/4*x和y=5/4*x为关于直线y=x的“相依函数”。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数与一次函数的综合应用【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数与一次函数的综合应用一、单选题1．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数（为y =x 2−x +c c 常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）−2<x <4c A ．B ．C ．D ．−2<c <14−4<c <94−4<c <14−10<c <942．已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点y =kx +2y =kx +2y =x 2−2x +3个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个3．抛物线 （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y =x 2+bx +c （ ）有交点，则c 的值不可能是（ ） y =2x−11≤x <3A ．5B ．7C ．10D ．144．函数y=ax+b 和y=ax 2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知0＜x ＜1，10＜y ＜20，且y 随x 的增大而增大，则y 与x 的关系式不可以是（ ）A ．y ＝10x+10B ．y ＝﹣10（x﹣1）2+20C ．y ＝10x 2+10D ．y ＝﹣10x+206．在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax+a （a ＜0）的图象的大致位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于题目“一段抛物线L ：y=﹣x （x﹣3）+c （0≤x≤3）与直线l ：y=x+2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确8．将二次函数 的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图y =−x 2+2x +3所示.当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）y =x +bA ． 或B ． 或 −214−3−134−3C ． 或D ． 或 214−3134−39．已知抛物线 与直线 相交，若 ，则 的取值范围是（ y 1=−2x 2+2y 2=2x +2y 1>y 2x ）.A ．B ．x >−1x <0C ．D ． 或 −1<x <0x >0x <−110．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y=0是抛物线y= x 2的切线；14②直线x=﹣2与抛物线y= x 2 相切于点（﹣2，1）；14③若直线y=x+b 与抛物线y= x 2相切，则相切于点（2，1）；14④若直线y=kx﹣2与抛物线y= x 2相切，则实数k= ．142其中正确命题的是（ ）A ．①②④B ．①③C ．②③D ．①③④11．一次函数与二次函数的图象交点（ ）y =2x +1y =x 2−4x +3A ．只有一个B ．恰好有两个C ．可以有一个，也可以有两个D ．无交点12．将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）A ．（0，3）或（﹣2，3）B ．（﹣3，0）或（1，0）C ．（3，3）或（﹣1，3）D ．（﹣3，3）或（1，3）二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交y 轴于点A ，直线AB 交x 轴正半轴于y =x 2−2x +2点B ，交抛物线的对称轴于点C ，若 ，则点C 的坐标为 .OB =2OA14．函数 与 的图象如图所示，有以下结论：① ，②y =x 2+bx +c y =x b 2−4c >0 ，③ ，④当 时， ．则正确的个数为 b +c +1=03b +c +6=01<x <3x 2+(b−1)x +c <0个．15．已知一次函数y 1＝kx+m （k≠0）和二次函数y 2=ax 2+bx+c （a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是 ．y=ax2+c y=mx+n A(−1,p)B(3,q)16．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式ax2+mx+c<n的解集是 ．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 ．y=ax+b(a<0，b>0)18．如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函y=−kx+k(k>0)数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是y=mx2+2mx+c m≠0（），那么这个一次函数的解析式为 ．三、综合题19．如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．过点P 作PD ⊥OB 于D 点（1）直接写出BD 的长并求出点C 的坐标（用含t 的代数式表示）（2）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（3）点P 从点O 运动到点A 时，点C 运动路线的长是多少？20．如图，函数 的图象与函数 ( )的图象相交于点P （3，k ），Q 两点.y =2x y =ax 2−3a ≠0（1） = ， = ；a k （2）当 在什么范围内取值时， ＞ ；x 2x ax 2−3（3）解关于 的不等式： ＞1.x |ax 2−3|21．如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的y =3+3x 2+bx +c x A B A B 左、右两侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， BO =3AO =3B y C D .BC =3CD（1）求 ， 的值；b c （2）求直线 的函数解析式；BD 22．如图，抛物线y=-x 2+bx+c 的图像过点A(-1，0)、C(0，3)，顶点为M 。
九年级数学下册第26章二次函数练素养3用二次函数解实际应用问题的五种常见类型作业课件新版华东师大版
3.用二次函数解实际应用 练素养 问题的五种常见类型
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1 苏北里下河水乡溱潼镇，过去有着“出门就过河”的 历史，随着经济的发展，桥梁逐渐增多．如图，现测 得某一钢架桥跨径为24 m，拱高为14.4 m，每隔3 m有 一根立柱．
(1)该钢架可以看作是一个二次函数的图象，请在图中建 立适当的平面直角坐标系，并写出这个二次函数的表 达式；
5 [2022·台州]如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边 线l的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直 高度为h m．如图②，我们可以把灌溉车喷出水的上、 下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的一部分；
把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝ 3 m，竖直高度为EF的长，下边缘抛物线是由上边缘 抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷 水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到l 的距离OD为d m.
当 x＝0 时，y＝83＞2.44， ∴球不能射进球门．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度 均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米 射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？ 【解】设小明带球向正后方移动 m m，则移动后的抛物 线表达式为 y＝－112(x－2－m)2＋3，
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时， 点 D，F 恰好分别在两条抛物线上， ∵DE＝3 m，∴设点 D(m，0)，则 E(m＋3，0)， F(m＋3，－18(m＋3－2)2＋h＋0.5)， ∵D 在下边缘抛物线上， ∴－18(m＋2)2＋h＋0.5＝0.
∵EF＝1 m，∴－18(m＋3－2)2＋h＋0.5＝1. ∴－18(m＋3－2)2＋h＋0.5－[－18(m＋2)2＋h＋0.5]＝1， 解得 m＝2.5， 代入－18(m＋2)2＋h＋0.5＝0，得 h＝6352. ∴h 的最小值为6352.
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题一、单选题1．在平面直角坐标系中，已知点M ，N 的坐标分别为，若抛物线(−1，3)，(3，3)与线段MN 只有一个公共点，则的取值范围是（ ）y =x 2−2mx +m 2−m +2m A ．或B ．或−1⩽m <07−17<m⩽7+17−1⩽m <0m >7−17C ．或D ．m <07−172<m⩽7+172−1⩽m⩽7+1722．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB=2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD=x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P 从点A 出发，以 cm/s 的速度沿AB 方向运2动到点B ．动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线AC CB 方向运动到点B ．设△APQ 的→面积为y （cm 2）.运动时间为x （s ），则下列图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）A．B．C．D．4．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y=的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）14(x−4)2A．5B．C．4D．17﹣4π2255．已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）A．B．C．D．4522521692096．如图，抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A，B顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D’，点A对应点C，连接DD’，CD’，DC，当△CDD’是直角三角形时，a的值为（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 12321332133312337．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是()A ．AE=6cmB ．sin∠EBC =45C ．当0＜t≤10时，D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形y =25t 28．如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）A ． cm 2B ． cm 2C ． cm 2D ． cm 2332392327239．如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿Rt △ABC ，∠ABC =90∘A(3，4)△ABC x 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 △A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3… 三顶点的抛物线解析式为（ ）△A 14B 14C 14A ．B ．y =−35(x−51)(x−55)y =−512(x−51)(x−55)C ．D ．y =−35(x−55)(x−60)y =−512(x−55)(x−60)10．用一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y ＝－x 2＋50x B ．y ＝x 2－50x C ．y ＝－x 2＋25xD ．y ＝－2x 2＋2511．如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH.设A 、E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知一个直角三角形的两边长分别为a 和5，第三边长是抛物线y=x²-10x+21与x 轴交点间的距离，则a 的值为( )4141A．3B．C．3或D．不能确定二、填空题ABCD BC=8,AB=6E CD C,D CE13．如图，矩形中，，点为边上一动点（不与重合）、以CEFG CE:CG=3:4BF,ОOE OE为边向外作矩形，且，连接点是线段BF的中点.连接，则的最小值为 .A(3,3)B(0,2)A y=x2+bx−9AB14．如图，已知点，点，点在二次函数的图象上，作射线AB A45°C C，再将射线绕点按逆时针方向旋转，交二次函数图象于点，则点的坐标为 15．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．16．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.17．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积24m 10m 为 .m 218．在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为60°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，在抛物线y=x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 三、综合题19．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长方形空地上修建一个长方形花圃.已知AB=20m ，BC=30m ，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 米，花圃的面x 积为 （ ）.S m 2（1）求 关于 的函数关系式；S x （2）如果通道所占面积是184 ，求出此时通道的宽 的值；m 2x （3）已知某园林公司修建通道每平方米的造价为40元，花圃每平方米的造价是60元，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过花圃宽的 ，则通道宽为13多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y= （x ＞0，m ＞1）图象上一点，m 3−m 2x 点A 的横坐标为m ，点B （0，﹣m ）是y 轴负半轴上的一点，连接AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使得AD=AC ，过点A 作AE 平行于x 轴，过点D 作y 轴平行线交AE 于点E ．（1）当m=3时，求点A 的坐标；（2）DE= ，设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式和自变量的取值范围；（3）连接BD ，过点A 作BD 的平行线，与（2）中的函数图象交于点F ，当m 为何值时，以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？21．如图，矩形ABCD 的四个顶点在正△EFG 的边上，已知正△EFG 的边长为2，记矩形ABCD 的面积为S ，边长AB 为x 。