广东省中考数学第2章方程(组)与不等式(组)含6年中考真题
第二章 方程(组)与不等式(组)
第一节 一次方程(组)
命题点1 解一次方程(组)(省卷6年2考)
1. (2012省卷13，6分)解方程组x－y＝4 ①3x＋y＝16 ②.
2. (2013省卷17，5分)解方程组x＝y＋1 ①2x＋y＝8 ②.
命题点2 一次方程(组)的实际应用(省卷6年2考)
3. (2014省卷21，7分)某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标
价的八折销售，仍可盈利9%.
(1)求这款空调机每台的进价；(利润率＝利润进价＝售价－进价进价)
(2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
第二节 一元二次方程及其应用
命题点1 解一元二次方程(省卷仅2015年考查)
1. (2015省卷17，6分)解方程：x2－3x＋2＝0.
命题点2 根的判别式(省卷6年2考)
2. (2015省卷8，3分)若关于x的方程x2＋x－a＋94＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范
围是( )
A. a≥2 B. a≤2 C. a＞2 D. a＜2
命题点3 一元二次方程的实际应用(省卷6年2考)
3. (2013省卷21，8分)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈
灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐
款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
第三节 分式方程及其应用
命题点1 解分式方程(省卷仅2015年考查)
1. (2015省卷13，4分)分式方程3x＋1＝2x的解是________．
命题点2 分式方程的实际应用(省卷6年2考)
2. (2011省卷16，7分)某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促
销活动，若整箱购买，购买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有
多少瓶？
3. (2016省卷20，7分)某工程队修建一条长1200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，
结果提前4天完成任务．
(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？
(2)在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计
划增加百分之几？
第四节 一元一次不等式(组)
命题点1 不等式的有关概念及其性质(省卷仅2013年考查)
1. (2013省卷4，3分)已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是( )
A. a－5＜b－5 B. 2＋a＜2＋b
C. a3＜b3 D. 3a＞3b
命题点2 一元一次不等式(组)的解法及解集表示(省卷6年5考)
类型一 一元一次不等式的解法及解集表示
2. (2013省卷8，3分)不等式5x－1＞2x＋5的解集在数轴上表示正确的是( )
3. (2012省卷7，4分)不等式3x－9＞0的解集是________．
类型二 一元一次不等式组的解法及解集表示
4. (2016省卷13，4分)不等式组x－1≤2－2x2x3＞x－12的解集是________．
5. (2014省卷15，4分)不等式组2x＜84x－1＞x＋2的解集是________．
6. (2011省卷12，6分)解不等式组2x＋1＞－38－2x≤x－1，并把解集在数轴上表示出来．
【拓展猜押1】不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是( )
【拓展猜押2】不等式组2x－3＜3x－22（x－2）≥3x－6的解集是________．
命题点3 不等式的实际应用(省卷仅2015年考查)
7. (2015省卷22，7分)某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台
30元，40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台
B
型号计算器，可获利润120元．
(1)求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润＝销售价格－进货价格)；
(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的
计算器多少台？
2025年中考数学总复习十年中考真题分类汇编第二章方程(组)与不等式(组)第3节一元二次方程及其应用
2.3 一元二次方程及其应用一、解一元二次方程1．（2024安徽中考第15题）解方程：223-=x x2.（2019安徽中考第15题）解方程：(x−1)2=43．（2019安徽中考第16题）解方程：x2−2x＝4．二、一元二次方程根的判别式4．（2020安徽中考第5题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1=2x B．x2+1=0C．x2−2x=3D．x2−2x=05．（2018安徽中考第7题）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．−1B．1C．−2或2D．−3或16．（2022安徽中考第12题）若一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=．三、一元二次方程的实际应用7．（2017安徽中考第8题）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足（）A.16(1+2x)=25B.25(1−2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1−x)2=168．（2015安徽中考第6题）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1＋x）＝4.5B．1.4（1＋2x）＝4.5C．1.4（1＋x）2＝4.5D．1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5参考答案与解析一、解一元二次方程1．（2024安徽中考第15题）解方程：223x x -=【答案】13x =，21x =-【详解】解：∵223x x -=，∴223=0x x --，∴(3)(1)0x x -+=，∴13x =，21x =-．2.（2019安徽中考第15题）解方程：(x −1)2=4【答案】x 1＝3，x 2＝−1【详解】解：直接开平方，得 x −1= ±2，解得：x 1＝3，x 2＝−1．3．（2019安徽中考第16题）解方程：x 2−2x ＝4．【答案】x 1＝1+√5，x 2＝1−√5【详解】解：配方x 2−2x +1＝4+1∴（x −1）2＝5∴x ＝1±√5∴x 1＝1+√5，x 2＝1−√5．二、一元二次方程根的判别式4．（2020安徽中考第5题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．x 2+1=2xB ．x 2+1=0C ．x 2−2x =3D ．x 2−2x =0 【答案】A【详解】A.x 2+1=2x 变形为x 2−2x +1=0，此时△=4−4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A 正确；B.x 2+1=0中△=0−4=−4＜0，此时方程无实数根，故选项B 错误；C.x 2−2x =3整理为x 2−2x −3=0，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误；D.x 2−2x =0中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误.故选：A.5．（2018安徽中考第7题）若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．−1B．1C．−2或2D．−3或1【答案】A【详解】解：x(x+1)+ax=0，△x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2−4×1×0=0，解得：a1=a2=−1，故选A．6．（2022安徽中考第12题）若一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则m=．【答案】2【详解】解：由题意可知：a=2，b=−4，c=m△=b2−4ac=0，△16−4×2×m=0，解得：m=2．故答案为：2．三、一元二次方程的实际应用7．（2017安徽中考第8题）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满足（）A.16(1+2x)=25B.25(1−2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1−x)2=16【答案】D【详解】第一次降价后的而价格为25（1−x），第一次降价后的而价格为25(1−x)2，则，25(1−x)2=16,故选答案D.8．（2015安徽中考第6题）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1.4（1＋x）＝4.5B．1.4（1＋2x）＝4.5C．1.4（1＋x）2＝4.5D．1.4（1＋x）＋1.4（1＋x）2＝4.5【答案】C【详解】解：设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，由题意得：1.4（1+x）2=4.5，故选C．。
2025中考复习数学考点突破课件：第二章 方程(组)与不等式(组) 考点6 分式方程
D. 1＋3(x－1)＝3 x
【解析】将方程两边同乘(x－1)，得1＋3(x－1)＝－3 x .故选B.
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考点5
2.
分式方程
[2024四川成都中考]分式方程
＝ 的解是
−
x ＝3
.
【解析】去分母得 x ＝3(x－2)，
去括号得 x ＝3 x －6，
解得 x ＝3.
经检验， x ＝3是分式方程的解.
考点6
分式方程
2
2
2
2
【解析】把方程 x ＋
＝a＋
变形为 x －1＋
＝ a －1＋
.因为关于 x
−1
−1
−1
−1
2
的方程 x ＋ ＝ a ＋ 的解是 x1＝ a ， x2＝ ，所以方程 x －1＋
＝ a －1＋
−1
2
2
+1
的解是 x －1＝ a －1或 x －1＝
，即 x1＝ a ， x2＝
的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(
A. 200
B. 300
C. 400
B )
D. 500
【解析】设改造后每天生产的产品件数为 x ，则改造前每天生产的产品件数
600
400
为 x －100.根据题意，得
＝
，解得 x ＝300，经检验， x ＝300是分式
−100
方程的解，且符合题意，故选B.
甲、乙两个工程队的投标书.甲工程队施工一天需付工程款1.5万元，乙
工程队施工一天需付工程款1.1万元.根据甲、乙两队的投标书测算，现
2021年中考数学总复习第二章 方程(组)与不等式(组)第四节 一元一次不等式(组)及其应用
5. 不等式 3 x - x 4 可以表示( C ) 2
A. 3 x 与x的差大于4 2
B. 3 x 与x的差小于4 2
C. 3 x 与x的差最小值为4 2
D. 3 x 与x的差最大值为4 2
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第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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6. (2011河北22题8分)甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40 分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． (1)问乙单独整理多少分钟完工？
(1)求购进A，B两种型号的口罩机各多少台；
【分层分析】(1)设购进A种型号的口罩机x台，B种型号的口罩机y台，由表格和题干① 可得等式为__1_6_x_+_1_4_._8_y=__4_5_6__；由题干②可得等式为_x_+_y_=_3_0__，列方程组求解即可，
也可只设一个未知数，列一元一次方程求解；
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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(2)①嘉嘉在去分母和去括号时出错了，去分母时漏乘了没有分母的常数项－1，去 括号时没有变号． 正确的解法是： 去分母，得 2(x＋2)－3(x－1)≥－6， 去括号，得 2x＋4－3x＋3≥－6， 移项，得 2x－3x≥－6－4－3， 合并同类项，得 －x≥－13， 系数化为1，得 x≤13；
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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(4)若2x-6<3x的解集能使关于x的不等式 a 2 x x - 2 - a 成立，求常数a的取值范
围．
3
3
(4)∵不等式2x-6＜3x的解集为x＞-6，
不等式 a 2 x x - 2 - a 的解集为x≤6a+2，
近五年广东省中考数学真题及答案
2022年广东中考数学真题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．|2|-=（）A．﹣2 B．2 C．12-D．122．计算22（）A．1 B．2C．2 D．4 3．下列图形中有稳定性的是（）A．三角形B．平行四边形C．长方形D．正方形4．如题4图，直线a//b，∠1=40°，则∠2=（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如题5图，在△ABC中，BC=4，点D，E分别为AB，AC的中点，则DE=（）A．14B．12C．1 D．26．在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（1，﹣1）7．书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（）A．14B．13C．12D．238．如题8图，在▱ABCD中，一定正确的是（）A ．AD=CDB ．AC=BDC ．AB=CD D ．CD=BC9．点（1，1y ），（2，2y ），(3，3y )，（4，4y ）在反比例函数4y x=图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（ ）A ．1yB ．2yC ．3yD ．4y10．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，则圆周长C 与r 的关系式为C =2πr ．下列判断正确的是（ ）A ．2是变量B ．π是变量C ．r 是变量D ．C 是常量参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BDABDABCDC二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．sin 30°=____________．12．单项式3xy 的系数为____________．13．菱形的边长为5，则它的周长为____________． 14．若x =1是方程220x x a -+=的根，则a =____________．15．扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为____________． 参考答案： 题号 11 12 13 14 15答案 123201π三、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 16．解不等式组：32113x x ->⎧⎨+<⎩参考答案：32113x x ->⎧⎨+<⎩①② 由①得：1x > 由②得：2x <∴不等式组的解集：12x <<17．先化简，再求值：211a a a -+-，其中a ＝5．参考答案：原式=(1)(1)1211a a a a a a a -++=++=+-将a ＝5代入得，2111a +=18．如题18图，已知∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ． 求证：△OPD ≌△OPE ． 参考答案：证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴∠PDO ＝∠PEO=90° ∵在△OPD 和△OPE 中 PDO PEO AOC BOC OP OP ∠⎪∠⎧∠=⎩∠⎪⎨＝＝ ∴△OPD ≌△OPE （AAS ）四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？ 参考答案：设学生人数为x 人8374x x -=+7x =则该书单价是8353x -=（元）答：学生人数是7人，该书单价是53元．20．物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）满足看数关系y =kx +15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．x 0 2 5 y151925（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当弹簧长度为20cm 时，求所挂物体的质量． 参考答案：（1）将2x =和19y =代入y =kx +15得19=2k +15解得：2k =∴y 与x 的函数关系式：y =2x +15 （2）将20y =代入y =2x +15得20=2x +15解得： 2.5x =∴当弹簧长度为20cm 时，求所挂物体的质量是2.5kg ．21．为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8（1）补全月销售额数据的条形统计图．（2）月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？（3）根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？参考答案：（1）月销售额数据的条形统计图如图所示：（2）3445378210318715x +⨯+⨯++⨯+⨯+==（万元）∴月销售额的众数是4万元；中间的月销售额是5万元；平均月销售额是7万元． （3）月销售额定为7万元合适．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22．如题22图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为⊙O 的直径，∠ADB =∠CDB ． （1）试判断△ABC 的形状，并给出证明； （2）若2AB =，AD =1，求CD 的长度．参考答案：（1）△ABC 是等腰直角三角形，理由如下：∵∠ADB =∠CDB ∴AB BC = ∴AB BC = ∵AC 是直径 ∴∠ABC 是90°∴△ABC 是等腰直角三角形 （2）在Rt △ABC 中222AC AB BC =+可得：2AC = ∵AC 是直径 ∴∠ADC 是90° ∴在Rt △ADC 中 222AC AD DC =+可得：3DC = ∴CD 的长度是323．如题23图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，A （1,0），AB =4，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ //BC 交AC 于点Q ． （1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标． 参考答案：（1）∵A （1,0），AB =4∴结合图象点B 坐标是（﹣3,0）将（1,0），（﹣3,0）代入2y x bx c =++得 01093b c b c =++⎧⎨=-+⎩解得：23b c =⎧⎨=-⎩ ∴该抛物线的解析式：223y x x =+- （2）设点P 为(,0)m∵点C 是顶点坐标∴将1x =-代入223y x x =+-得4y =- ∴点C 的坐标是(1,4)--将点(1,4)--，（1,0）代入y kx b =+得 04k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得：22k b =⎧⎨=-⎩ ∴AC 解析式：22y x =-将点(1,4)--，（﹣3,0）代入y kx b =+得034k b k b =-+⎧⎨-=-+⎩解得：26k b =-⎧⎨=-⎩ ∴BC 解析式：26y x =-- ∵PQ //BC∴PQ 解析式：22y x m =-+ 2222y x m y x =-+⎧⎨=-⎩解得：121m x y m +⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴点Q 坐标：1(,1)2mm +-（注意：点Q 纵坐标是负的） CPQ ABC APQ CPB S S S S =--△△△△11144(3)4(1)(1)222CPQ S m m m =⨯⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-△21322CPQ S m m =--+△21(1)22CPQ S m =-++△当1m =-时，CPQ S △取得最大值2，此时点P 坐标是（﹣1,0） ∴△CPQ 面积最大值2，此时点P 坐标是（﹣1,0）2021年广东省中考数学真题及答案一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）1．下列四个选项中，为负整数的是（）A．0 B．﹣0.5 C．﹣D．﹣22．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣63．方程＝的解为（）A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝64．下列运算正确的是（）A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+＝3C．（a2b3）2＝a4b6D．（a﹣2）2＝a2﹣45．下列命题中，为真命题的是（）（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（3）（4）6．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（）A．B．C．D．7．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．59．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在函数y＝﹣（x ＜0）的图象上，若点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（）A．（，2）B．（，）C．（2，）D．（，）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是．12．方程x2﹣4x＝0的实数解是．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若CD＝1，则AD的长为．14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为．16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）．（1）H是FK的中点（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17．解方程组．18．如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．19．已知A＝（﹣）•．（1）化简A；（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．20．某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：次数 1 2 3 4 5 6人数 1 2 a 6 b 2 （1）表格中的a＝，b＝；（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为，中位数为；（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．21．民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．（1）求A、B两点的坐标；（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．24．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；（2）当CG＝2时，求AE的长；（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列四个选项中，为负整数的是（）A．0 B．﹣0.5 C．﹣D．﹣2【分析】根据整数的概念可以解答本题．【解答】解：A、0是整数，但0既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；B、﹣0.5是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；C、﹣是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；D、﹣2是负整数，故此选项符合题意．故选：D．2．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6【分析】根据相反数的性质，由a+b＝0，AB＝6得a＜0，b＞0，b＝﹣a，故AB＝b+（﹣a）＝6．进而推断出a＝﹣3．【解答】解：∵a+b＝0，∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．又∵AB＝6，∴b﹣a＝6．∴2b＝6．∴b＝3．∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．故选：A．3．方程＝的解为（）A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6【分析】求解分式方程，根据方程的解得结论．【解答】解：去分母，得x＝2x﹣6，∴x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．故选：D．4．下列运算正确的是（）A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+＝3C．（a2b3）2＝a4b6D．（a﹣2）2＝a2﹣4【分析】根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式等知识进行计算即可．【解答】解：A、|﹣（﹣2）|＝2，原计算错误，故本选项不符合题意；B、3与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；C、（a2b3）2＝a4b6，原计算正确，故本选项符合题意；D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原计算错误，故本选项不符合题意．故选：C．5．下列命题中，为真命题的是（）（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（4）D．（3）（4）【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，真命题为（1）（4），故选：B．6．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，∴恰好抽到2名女学生的概率为＝，故选：B．7．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm【分析】首先利用相切的定义得到∠OAC＝∠OBC＝90°，然后根据∠ACB＝60°求得∠AOB＝120°，从而利用弧长公式求得答案即可．【解答】解：由题意得：CA和CB分别与⊙O分别相切于点A和点B，∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴＝16π（cm），故选：B．8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5【分析】根据抛物线于x周两交点，及于y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y＝﹣5．【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可画出上图，∵抛物线对称轴x＝＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．故选：A．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的长，即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，∴BC'＝4，∴B'B＝＝＝4，∴sin∠BB′C′＝＝＝，故选：C．10．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在函数y＝﹣（x ＜0）的图象上，若点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（）A．（，2）B．（，）C．（2，）D．（，）【分析】如图，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，通过证得△COE∽△OAD得到＝，则OE ＝2AD，CE＝2OD，设A（m，）（m＞0），则C（﹣，2m），由OE＝0﹣（﹣）＝得到m﹣（﹣）＝，解分式方程即可求得A的坐标．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠COE＝∠OAD，∵∠CEO＝∠ODA，∴△COE∽△OAD，∴＝（）2，，∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，∴＝，∴OE＝2AD，CE＝2OD，设A（m，）（m＞0），∴C（﹣，2m），∴OE＝0﹣（﹣）＝，∵点B的横坐标为﹣，∴m﹣（﹣）＝，整理得2m2+7m﹣4＝0，∴m1＝，m2＝﹣4（舍去），∴A（，2），故选：A．二．填空题（共6小题）11．代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是x≥6 ．【分析】二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数．【解答】解：代数式在实数范围内有意义时，x﹣6≥0，解得x≥6，∴x应满足的条件是x≥6．故答案为：x≥6．12．方程x2﹣4x＝0的实数解是x1＝0，x2＝4 ．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故答案为：x1＝0，x2＝4．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若CD＝1，则AD的长为 2 ．【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，进而求解．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝1，∴BD＝2CD＝2，∴AD＝2．故答案为2．14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1＞y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．【分析】由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣4m＝0，解得m＝4，∵m＞0，∴反比例函数y＝图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2，故答案为＞．15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为32°．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝38°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD 的度数．【解答】解：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝38°，∵B′D∥AC，∴∠ADB′＝∠A＝38°，∵点B关于直线CD的对称点为B′，∴∠CDB′＝∠CDB＝（38°+180°）＝109°，∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣39°﹣109°＝32°．故答案为32°．16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有（1）（3）（4）（填写所有正确结论的序号）．（1）H是FK的中点（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝【分析】（1）先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，AH⊥FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点；（2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；（3）分别过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，由余弦三角函数和勾股定理算出了HM，HT，再算面积，即得S△AHG：S△DHC＝9：16；（4）余弦三角函数和勾股定理算出了FK，即可得DK．【解答】解：（1）在△ABE与△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴AH⊥FK，由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点，故（1）正确；（2）如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，∴＝，∴AH＝，HM＝，∴HN＝4﹣＝，即HM≠HN，∵MN∥CD，∴MD＝CN，∵HD＝，HC＝，∴HC≠HD，∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确；（3）由（2）知，AM＝＝，∴DM＝，∵MN∥CD，∴MD＝HT＝，∴＝＝，故（3）正确；（4）由（2）知，HF＝＝，∴，∴DK＝DF﹣FK＝，故（4）正确．三．解答题（共9小题）17．解方程组．【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：，将①代入②得，x+（x﹣4）＝6，∴x＝5，将x＝5代入①得，y＝1，∴方程组的解为．18．如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．【分析】欲证AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE ≌△DCF．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌DCF（AAS）．∴AE＝DF．19．已知A＝（﹣）•．（1）化简A；（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简A；（2）根据m+n﹣2＝0，可以得到m+n＝2，然后代入（1）中化简后的A，即可求得A的值．【解答】解：（1）A＝（﹣）•＝＝＝（m+n）；（2）∵m+n﹣2＝0，∴m+n＝2，当m+n＝2时，A＝×2＝6．20．某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：次数 1 2 3 4 5 6人数 1 2 a 6 b 2 （1）表格中的a＝ 4 ，b＝ 5 ；（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 4 ，中位数为 4 ；（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．【分析】（1）由题中的数据即可求解；（2）根据中位数、众数的定义，即可解答；（3）根据样本估计总体，即可解答．【解答】解：（1）由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，故答案为：4，5；（2）该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，∵4出现的最多，由6次，∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数＝4，故答案为：4，4；（3）300×＝90（人）．答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．21．民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设李某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入＝李某去年的年工资收入×（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，依题意得：31+2x+x＝100，解得：x＝23．答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．（2）设李某的年工资收入增长率为m，依题意得：9.6（1+m）≥12.48，解得：m≥0.3＝30%．答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）想办法证明EB＝EF，∠BEF＝60°，可得结论．【解答】（1）解：如图，图形如图所示．（2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAC＝45°，∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，∵BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等边三角形．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．（1）求A、B两点的坐标；（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．【分析】（1）根据直线y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x ＝﹣8，即得A，B的坐标；（2）设P（x，），根据三角形面积公式，表示出S关于x的函数解析式，根据P在线段AB上得出x的取值范围；（3）将S△POQ表示为OP2，从而当△POQ的面积最小时，此时OP最小，而OP⊥AB时，OP最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，∴当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝﹣8，∴A（﹣8，0），B（0，4）；（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，∴P（x，），∴S△APO＝＝2x+16（﹣8＜x＜0）；∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），∴OA＝8，OB＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝，在⊙C中，∵PQ是直径，∴∠PQO＝90°，∵∠BAO＝∠Q，∴tan Q＝tan∠BAO＝，∴，∴OQ＝2OP，∴S△POQ＝，∴当S△POQ最小，则OP最小时，∵点P在线段AB上运动，∴当OP⊥AB时，OP最小，∴S△AOB＝，∴，∵sin Q＝sin∠BAO，∴，∴，∴PQ＝8，∴⊙C半径为4．24．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1．【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴点（2，4）不在抛物线上；（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），化简得（，），顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，此时顶点坐标为：（2，5）；（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x+1，由得：或，∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在线段EF上，∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；（2）当CG＝2时，求AE的长；（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，（2）利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解，（3）利用图形法，判断G点轨迹为一条线段，在对应点处求解．【解答】解：（1）连接DF，CE，如图所示：，∵E为AB中点，∴AE＝AF＝AB，∴EF＝AB，∵四边形ABCD是菱形，∴EF∥AB，∴四边形DFEC是平行四边形．（2）作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，，∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥EF，∴△CDG∽△FEG，∴，∴FG＝2m，在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，sin60°＝，CH＝，cos60°＝，BC＝1，在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，CF²＝CH²+FH²，即（2+2m）²＝（）²+（3+m）²，整理得：3m²+2m﹣8＝0，解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），∴．（3）因H点沿线段AB直线运动，F点沿线段BA的延长线直线运动，并且CD∥AB，线段ED与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG，运动刚开始时，A、F、H、G四点重合，当H点与B点重合时，G点运动到极限位置，所以G点轨迹为线段AG，如图所示，作GH⊥AB，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，∴CD∥BF，BD＝2，∴△CDG∽△FBG，∴，即BG＝2DG，∵BG+DG＝BD＝2，∴BG＝，在Rt△GHB中，BG＝，∠DBA＝60°，sin60°＝，GH＝，cos60°＝，BH＝，在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，GH＝，AG²＝（）²+（）²＝，∴AG＝．∴G点路径长度为．2020年广东中考数学真题及答案一、选择题（本大题10小题，每小題3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1.9的相反数是（ ）A.－9B.9C.19D.19- 2.一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ）A.5B.35C.3D.253.在半面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A.(3,2)-B.(2,3)-C.(2,3)-D.(3,2)-4.若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（ ）A.4B.5C.6D.75.24x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A.2x ≠B.2x ≥C.2x ≤D.2x ≠-6.已知ABC ∆的周长为16，点D ，E ，F 分别为ABC ∆三条边的中点，则DEF ∆的周长为（ ）A.8B.22C.16D.4 7.把函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A.22y x =+B.2(1)1y x =-+C.2(2)2y x =-+D.2(1)3y x =-- 8.不等式组231,12(2)x x x -≥-⎧⎨-≥-+⎩的解集为（ ） A.无解 B.1x ≤ C.1x ≥- D.11x -≤≤9.如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，60EFD ∠=︒.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为（ ）A.1B.2C.3D.2 10.如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是1x =.下列结论：①0abc >；②240b ac ->；③80a c +<；④520a b c ++>，正确的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（本大题7小題，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.11.分解因式：xy x -=_________.12.如果单项式3m x y 与35nx y -是同类项，那么m n +=_________. 13.若2|1|0a b -++=，则2020()a b +=_________. 14.已知5x y =-，2xy =，计算334x y xy +-的值为_________.15.如图，在菱形ABCD 中，30A ∠=︒，取大于12AB 的长为半径，分别以点A ，B 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连接BE ，BD ，则EBD ∠的度数为_________.16.如图，从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________m .17.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，90ABC ∠=︒，点M ，N 分别在射线BA ，BC 上，MN 长度始终保持不变，4MN =，E 为MN 的中点，点D 到BA ，BC 的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为_________.三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18.先化简，再求价：22()()()2x y x y x y x +++--，其中2x =3y =19.某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级.随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下： 等级非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数（人）24 72 18 x（1）求x 的值；（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？20.如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是AB 、AC 边上的点，BD CE =，ABE ACD ∠=∠，BE 与CD 相交于点F ，求证：ABC ∆是等腰三角形.。
中考数学专题复习 第五章 方程与不等式 第2讲 不等式(组)课件
变式运用►3.[2017·常州中考]某校计划购买一批篮球和足球(zúqiú) ，已知购买2个篮球和1个足球(zúqiú)共需320元，购买3个篮球和2个 足球(zúqiú)共需540元．
(1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么 最多可购买多少个足球？
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
(2)若甲，乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多 少万件？
【思路分析】(1)可设甲种商品的销售单价(dānjià)为x元，乙种商品 的销售单价(dānjià)为y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种 商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多 1500元，列出方程组求解即可；(2)可设销售甲种商品a万件，根据甲 、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
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4．[2012·泰安，6，3分]将不等式组
的解集在数轴上表示(biǎoshì)出来，正确的是( C )
得分(dé fēn)要领►求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取大， 同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
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命题点2 确定不等式组中字母(zìmǔ)的取值范围
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类型(lèixíng)3 不等式的应用
【例3】[2017·宁波中考]2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作 (hézuò)高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作 (hézuò)协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国 家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比 2件乙种商品的销售收入多1500元．
方程(组)与不等式(组)-2021年中考数学真题专项汇编(含答案)
方程（组）与不等式（组） ——2021年中考数学真题专项汇编1.【2021年河北，3】已知a b >，则一定有44a b --，“□”中应填的符号是( ) A.> B.<C.≥D.=2.【2021年重庆，3】不等式2x ≤在数轴上表示正确的是( ) A.B.C.D.3.【2021年天津，7】方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是( )A. 02x y =⎧⎨=⎩B. 11x y =⎧⎨=⎩C. 22x y =⎧⎨=-⎩D. 33x y =⎧⎨=-⎩4.【2021年河南，7】若方程220x x m -+=没有实数根，则m 的值可以是( )A. -1B. 0C. 1D.5.【2021年福建，6】某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是( ) A.()0.6310.68x +=B.()20.6310.68x += C.()0.63120.68x +=D.()20.63120.68x +=6.【2021年山东临汾，12】某工厂生产A ，B 两种型号的扫地机器人.B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫1002m 所用的时间，A 型机器人比B 型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为( ) A.10010020.53x x =+ B.10021000.53x x +=C.10021003 1.5x x+=D.10010021.53x x =+ 7.【2021年广东，14】若一元二次方程20x bx c ++=（b ,c 为常数）的两根1x ，2x 满足131x -<<-，213x <<，则符合条件的一个方程为________.8.【2021年广东15】若1136x x +=且01x <<，则221x x-=______. 9.【2021年江苏南京，10】设1x ，2x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =______.10.【2021年山东枣庄，13】已知x ，y 满足方程组43123x y x y +=-⎧⎨+=⎩，则x y +的值为________.11.【2021年陕西，16】解方程：213111x x x --=+-. 12.【2021年河北，21】已知训练场球筐中有A 、B 两种品牌的乒乓球共101个，设A 品牌乒乓球有x 个.(1)淇淇说：“筐里B 品牌球是A 品牌球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程：1012x x -=.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；(2)据工作人员透露：B 品牌球比A 品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A 品牌球最多有几个.13.【2021年天津，19】解不等式组43,65 3.x x x +≥⎧⎨≤+⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为___________.14.【2021年重庆，23】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元，1件A 产品与1件B 产品售价和为500元. （1）A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间.预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加%a ；B 产品产量将在去年的基础上减少%a ，但B 产品的销售单价将提高3%a .则今年A 、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925%a .求a 的值.15.【2021年福建，20】某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？答案以及解析1.答案：B解析：解：根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变. a b >， 44a b ∴-<-.故选：B. 2.答案：D 3.答案：B 4.答案：D 5.答案：B 6.答案：D 7.答案：240x -= 8.答案：6536- 9.答案：2 10.答案：-211.答案：解：方程两边都乘以()()11x x +-得：()()()27371x x x --=+-， 238131x x x -+-=-， 222183x x x --=--+， 23x -=，12x =-，检验：当82x =-时，()()130x x +-≠，所以15x =-是原方程的解.12.答案：(1)嘉嘉所列方程为1012x x -=， 解得：2333x =，又x 为整数，2333x ∴=不合题意，∴淇淇的说法不正确.(2)设A 品牌乒乓球有x 个，则B 品牌乒乓球有()101x -个， 依题意得：10128x x --≥， 解得：1362x ≤，又x 为整数，x ∴可取的最大值为36.答：A 品牌球最多有36个. 13.答案：（Ⅰ）1x ≥-； （Ⅱ）3x ≤；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示（Ⅳ）13x -≤≤.14.答案：（1）设B 产品的销售单价为x 元，则A 产品的销售单价为()100x +元. 根据题意，得()100500x x ++=. 解这个方程，得200x =. 则100300x +=.答：A 产品的销售单价为300元，B 产品的销售单价为200元.（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件，根据题意，得 ()()()293001%20013%1%5001%25a t a t a t a ⎛⎫+⋅++⋅-=⋅+ ⎪⎝⎭设%a m =，则原方程可化简为250m m -=. 解这个方程，得121,05m m ==（舍去）.20a ∴=.答：a 的值是20.15.答案：（1）设该公司当月零售农产品x 箱，批发农产品y 箱. 依题意，得70404600,100,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得20,80.x y =⎧⎨=⎩所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱.（2）设该公司零售农产品m 箱，获得总利润w 元.则批发农产品的数量为(1000)m -箱， 该公司零售的数量不能多于总数量的30% 300m ∴≤依题意，得7040(1000)3040000,300w m m m m =+-=+≤. 因为300>，所以w 随着m 的增大而增大， 所以300m =时，取得最大值49000元， 此时1000700m -=.所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元.。
中考数学《方程与不等式》专题训练50题(含参考答案)
中考数学《方程与不等式》专题训练50题含参考答案一、单选题1．不等式组1036x x -<⎧⎨<⎩的解集是（ ）A ．无解B ．1x >C ．2x <D ．12x <<【答案】D【分析】分别解出两个不等式，取公共解集即可.【详解】解：1036x x -<⎧⎨<⎩①② 解①得：1x > ， 解①得：2x < ，故此不等式组的解集为：12x << 故选D.【点睛】此题考查的是解不等式组，掌握解不等式的一般步骤、不等式的基本性质和不等式组公共解集的取法是解决此题的关键.2．如果3m =3n ，那么下列等式不一定成立的是（ ） A ． m -3=n -3 B ．3m +3=3n +2 C ．5+m =5+n D ．3m -=3n -3．若()()221x ax x +--的展开式中不含x 的一次项，则a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】B【分析】先将多项式展开，然后令x 的系数为0，求出a 的值即可．【详解】解：()()221x ax x +--32222x x ax ax x =-+--+()()32122x a x a x =+-+-++，①()()221x ax x +--展开后不含x 的一次项，①20a +=， ①2a =-； 故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 4．方程23x +＝11x -的解为( ) A ．x ＝3 B ．x ＝4C ．x ＝5D ．x ＝﹣5【答案】C【详解】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得 x+3-2(x-1)=0， 解得：x=5，检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0， 所以x=5是原方程的解， 故选C.5．下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．（x －1）2＝x 2＋3x ＋2 C ．x 2＝x ＋1D ．2x 2－1x＋1=0【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，逐项分析即可，一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程． 【详解】A. ax 2＋bx ＋c ＝0（0a ≠），故该选项不正确，不符合题意；6．若2x-1=15与kx-1=15的解相同，则k的值为（）A．8B．6C．-2D．2【答案】D【分析】先解2x-1=15求出x的值，再把求得的x的值代入kx-1=15，然后解关于k的方程即可求出k的值.【详解】①2x-1=15，①2x=16,①x=8.把x=8代入kx-1=15得8k-1=15,①k=2.故选D.【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；①去括号；①移项；①合并同类项；①未知数的系数化为1.7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．10080807644⨯-=B．2x-+=(100)7644x x【分析】利用平移的方法，平移后的剩余部分仍是矩形，且长与宽均减小x 米，从而由面积可列出方程．【详解】矩形场地上的两条路分别向上和向右平移后如图所示，则平移后剩余部分的长为(100-x )米，宽为(80-x )米，题意得：(100-x )(80-x )=7644 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是运用平移的思想，问题得以简化并得到解决．8．下列各组数中，是方程x+y=7的解的是（ ） A ．23x y =-⎧⎨=⎩B ．31x y =-⎧⎨=⎩C ．43x y =⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=⎩【答案】C【分析】将四个答案逐一代入，能使方程成立的即为方程的解． 【详解】解：A 、2317-+=≠，故此选项不符合题意； B 、3127-+=-≠，故此选项不符合题意； C 、437+=，故此选项符合题意； D 、2357+=≠，故此选项不符合题意； 故选C ．【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解掌握方程的解的定义是解答关键． 9．若表格中每对，的值都是同一个二元一次方程的解，则这个方程为（ ）A ．53+=x yB ．5x y +=C ．20x y -=D ．35x y +=【分析】设方程为y=kx+b ，把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出方程．【详解】解：设方程为y=kx+b ，把（0，5）与（1，2）代入得：52b k b =⎧⎨+=⎩ 解得：53b k =⎧⎨=-⎩，①这个方程为y=-3x+5，即3x+y=5， 故选：D ．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．10．若0xy ≤x ，y 满足的条件是（ ）． A ．0x ≥，0y ≥ B ．0x ≥，0y ≤ C ．0x ≤，0y ≥ D ．0x ≤，0y ≤【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件得出20x y ≥，结合题意即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，20x y ≥， ①20x ≥， ①0y ≥， ①0xy ≤， ①0x ≤， 故选C ．【点睛】题目主要考查二次根式有意义的条件及不等式的性质，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．11．若a b <，则下列各式正确的是（ ） A ．22a b > B ．22a b ->-C ．34a b -<-D ．22a b> 【答案】B【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A 、①a ＜b ，①2a ＜2b ，故该选项不符合题意； B 、①a ＜b ，①-2a ＞-2b ，故该选项符合题意；12．下列说法：①a为任意有理数，a2+1总是正数；①方程x+2＝1x是一元一次方程；①若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0；①代数式2,,23t a bb+都是整式；①若a2＝（﹣2）2，则a＝﹣2．其中错误的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个13．观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（）A．33x=-B．22301x+=+C．()32x xx+=+D．221x xx-+=-【答案】C【分析】根据解分式方程的步骤逐一解答即可选出正确选项.去分母化为整式方程，解14．用配方法解一元二次方程x 2+6x ﹣3＝0，原方程可变形为（ ） A ．（x +3）2＝9 B ．（x +3）2＝12 C ．（x +3）2＝15 D ．（x +3）2＝39【答案】B【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】解：①x 2+6x ＝3， ①x 2+6x +9＝3+9，即（x +3）2＝12， 故选：B ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题需要注意解题步骤的准确应用，选择配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为1，一次项系数是2的倍数15．已知关于x 、y 的二元一次方程()()23230m x m y m -+-+-=，当m 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ） A ．31x y =⎧⎨=-⎩B ．13x y =⎧⎨=-⎩C ．13x y =-⎧⎨=⎩D ．31x y =-⎧⎨=⎩【答案】D【分析】把原方程整理得：m （x +y +2）-（2x +3y +3）=0，根据“当m 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m 无关，得到关于x 和y 的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：原方程可整理得： m （x +y +2）-（2x +3y +3）=0，根据题意得：202330x y x y ++=⎧⎨++=⎩ 解得31x y =-⎧⎨=⎩．故选D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键． 16．利用求根公式求21562x x +=的根时，a ，b ，c 的值分别是（ ） A ．5，12，6 B ．5，6，12C ．5，﹣6，12D ．5，﹣6，﹣1217．如表是德国足球甲级联赛某赛季的部分球队积分榜：规定：负一场积0分．观察后可知，柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是（ ）A ．18场 B ．19场C ．20场D ．21场【答案】B胜场次数x 场，根据胜场积分与平场积分的和=总积分列出方程，解方程即可． 【详解】解：设球队胜一场积m 分，平一场积n 分， 由题意得：2166920767m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：31m n =⎧⎨=⎩，球队胜一场积3分，平一场积1分，设柏林赫塔在这个赛季的胜场次数x 场，则平（34-x -8）=（26-x ）场， 根据题意得：3x +（26-x ）=64， 解得：x =19，①柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是19， 故选：B ．【点睛】考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与平场的和．18．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶600km ．它们各自单独行驶并返回的最远距离是300km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．380km B ．400kmC ．450kmD ．500km【答案】B【分析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回 A 地时燃料用完，根据题意得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】解：如图，设行驶途中停下来的地点为C 地，AB xkm =，AC ykm =，根据题意，得226002600x y x y x +=⨯⎧⎨-+=⎩，解得400200x y =⎧⎨=⎩，①AB 的最大长度是400km ．【点睛】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键．19．关于x 的方程220ax +=是一元二次方程，则a 满足（ ） A ．a ＞0 B ．a =1C ．a ≥0D ．a ≠0【答案】A【详解】根据一元二次方程的定义，得000a a a ≠⎧⇒>⎨≥⎩ .故选A. 20．代数式22244619x xy y x -+++的最小值是（ ） A ．10 B ．9 C ．19 D ．11【答案】A【分析】把代数式22244619x xy y x -+++根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解即可．【详解】解：2222244619(3)(2)10x xy y x x x y -+++=++-+ ①22(3)0,(2)0x x y +≥-≥①代数式22244619x xy y x -+++的最小值是10． 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用-用配方法确定代数式的最值，解此题的关键是将原代数式化成几个完全平方和的形式．二、填空题21．含有____________的_________叫方程. 【答案】 未知数; 等式.【分析】方程是指含有未知数的等式.所以方程必须具备两个条件：（1）含有未知数（2）等式.【详解】解：根据方程的定义可知：含有未知数的等式是方程. 故答案为未知数；等式.【点睛】本题主要考查了方程的定义，熟记方程的定义是解题的关键.22．某童装店按每套88元的价格购进1000套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，如果要获得不低于20000元的纯利润，则每套童装至少售价_____元．【分析】设每套童装的售价为x 元，根据利润＝销售收入﹣税费﹣进货成本结合利润不低于20000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】解：设每套童装的售价为x 元，依题意，得：1000x ﹣10%×1000x ﹣88×1000≥20000，解得：x ≥120．故答案为：120．【点睛】此题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到不等关系列式求解．23．如果方程1)k k x -（＋3＝0是关于x 的一元一次方程，那么k 的值是______． 【答案】-1【分析】根据一元一次方程的定义知|k |=1且未知数是系数k -1≠0，据此可以求得k 的值．【详解】解：①方程（k -1）x |k |+3=0是关于x 的一元一次方程，①|k |=1，且k -1≠0，解得，k =-1；故答案是：-1．【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和绝对值方程．一元一次方程的未知数的指数为1，且未知数的系数不为零．24．我县某一天的最高气温是11①，最低气温是零下4①，则当天我县气温t （①）应满足的不等式是 __________．【答案】﹣4≤t ≤11【分析】根据题意写出不等式即可．【详解】解：因为最低气温是零下4①，所以﹣4≤t ，最高气温是11①，t ≤11，则今天气温t （①）的范围是﹣4≤t ≤11．故答案是：﹣4≤t ≤11．【点睛】本题考查的是不等式的定义，不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式．25．已如m 是方程2350x x --=的一个根，则代数式262m m -的值为______．【答案】10-【分析】方程的根就是方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m 代入原方程即可求m 2-3m 的值，然后对原式进行变形代入计算．【详解】解：把x=m 代入方程2350x x --=可得：235m m -=①22622(3)2510=m m m m ---=-⨯=-；故答案为：-10．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m 2-3m 当成一个整体．利用了整体的思想．26．如果x －2y =1，那么用含x 的代数式表示y ，则y =______．27．对任意四个有理数 a ，b ，c ，d 定义新运算：,a b ad bc c d =-那么当43 77x x=-时，x =________．28．某种药品的说明书上注明：口服，每天30～60mg ，分2～3次服用．这种药品一次服用的剂量范围是_____mg～_____mg．【答案】1030【详解】试题分析：根据等量关系：一次服用剂量=每日用量÷每日服用次数，即可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式组求解即可．解：设这种药品一次服用的剂量为xmg当每日用量30mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小；当每日用量60mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大；根据依题意列出不等式组，解得所以这种药品一次服用的剂量范围是10mg～30mg．考点：一元一次不等式组的应用点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等关系，列出不等式求解．29．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为13xa<-，则a的取值范围是_____．30．如果不等式组112x mx m-≤⎧⎨+≥⎩无解，则不等式2x+2＜mx+m的解集是______．【答案】1x>-【详解】分析：首先根据不等式无解得出m的取值范围，然后根据不等式的解法得出不等式的解．详解：解不等式组可得：121x m x m ≤+⎧⎨≥-⎩，①不等式无解， ①2m －1＞m+1，解得：m ＞2，①2x －mx ＜m －2， 即(2－m)x ＜m －2， ①m ＞2， ①2－m ＜0， ①x ＞－1． 点睛：本题主要考查的是解不等式及不等式组的方法，属于中等难度的题型．理解不等式的解法是解题的关键．系数含参时，我们首先要判断系数的正负性，然后进行求解．如果在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，则不等符号需要改变． 31．已知关于x 的方程()344a x x a +-=-的解为2x =-，则=a ______．【答案】4【分析】将x=-2代入方程，然后解方程求得a 的值．【详解】解：①()344a x x a +-=-的解为2x =-，①()23424a a -+-=--，解得：4a =故答案为：4．【点睛】本题考查方程的解和解一元一次方程，掌握方程的解的概念及解一元一次方程的步骤，正确计算是解题关键．32．不等式2x-1>5的解集为______．【答案】x>3【详解】考点：解一元一次不等式．分析：先移项，再合并同类项，系数化为1即可．解：移项得，2x>5+1，合并同类项得，2x>6，系数化为1得，x>3．故答案为x>3．点评：本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 33．若关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1＝0有实数根，则a 的最大整数值为_____．【答案】4．【分析】由关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1＝0有实数根，则a ≠0，且①≥0，即①＝42﹣4a ＝16﹣4a ≥0，解不等式得到a 的取值范围，最后确定a 的最大整数值．【详解】解：①关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1＝0有实数根，①a ≠0，且①≥0，即①＝42﹣4a ＝16﹣4a ≥0，解得a ≤4，①a 的取值范围为a ≤4且a ≠0，所以a 的最大整数值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式①＝b 2−4ac ．当①＞0，方程有两个不相等的实数根；当①＝0，方程有两个相等的实数根；当①＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的特殊解． 34．已知代数式4x -与3(2)x 的值相等，则x 的值为______．【答案】1x =【分析】根据题意列方程，然后进行解答即可得出x 的值．【详解】解：由题意，得4-x=3(2-x)解得x=1故答案为1x =．【点睛】本题考查了解一元一次方程．关键在于根据题意列出方程．35．某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得300元．若该店第二天销售香蕉t 千克，则第三天销售香蕉____千克．（用含t 的代数式表示．）36．若x 1，x 2是方程x 2+x -1=0的两根，则（x 12+x 1-2）（x 22+x 2-2）的值为_______．【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义得到2111x x +=，2221x x +=，代入计算即可．【详解】解：①x 1，x 2是方程x 2+x -1=0的两根，①21110x x +-=，22210x x +-=，①2111x x +=，2221x x +=，①()()22112222x x x x +-+-=()()1212--=1故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解体的关键是掌握方程的解能使方程等式两边成立．37．若实数m 、n 满足|m ﹣3|+0，且m 、n 恰好是Rt △ABC 的两条边长，则第三条边长为_______．5##5【分析】先由非负数的性质求出m ＝3，n ＝4，由于题中直角三角形的斜边不能确定，38．若方程(a-3)x |a|-1+2x-8=0是关于x 的一元二次方程，则a 的值是_____.【答案】-3【分析】根据一元二次方程的定义列方程求出a 的值即可.39．一种药品现在售价56.10元，比原来降低了15％，原售价为____元．【答案】66．【详解】试题分析：设这种药品的原售价为x 元，则比原来降低了15%后的售价为（1-15%）x 元，根据题意得（1-15%）x=56．1，解得x=66．故答案为66．考点：列一元一次方程解应用题．40．如果关于x 的方程22220x ax b +-+=有两个相等的实数根，且常数a 与b 互为负倒数，那么a b +=__________. 【答案】0【分析】根据根的判别式求出0⊿＝，得到222a b +=，再根据完全平方公式求出即可.【详解】关于x 的方程22220x ax b +-+=有两个相等的实数根，()()2224120a b ∴-⨯⨯-+=⊿＝，化简得：222a b +=常数a 与b 互为负倒数，即1ab =-()222222(1)0a b a b ab ∴+=++=+⨯-= 0a b ∴+=故答案为0【点睛】本题考查了根的判别式，得到等式222a b +=和1ab =-是解题的关键.三、解答题41．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，设南瓜种植面积的增长率为x ． (1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______k g （用含x 的代数式表示）(2)今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．42．已知点P（2m﹣4，m+4），解答下列问题：(1)若点P在y轴上，则点P的坐标为______；(2)若点P的纵坐标比横坐标大7，求出点P坐标；(3)若点P在过A（2，3）点且与x轴平行的直线上，则AP的长为多少？【答案】(1)（0，6）(2)P点的坐标为（﹣2，5）(3)AP=8【分析】（1）让横坐标为0求得m的值，代入点P的坐标即可求解；（2）利用纵坐标-横坐标=7得m的值，代入点P的坐标即可求解；（3）利用纵坐标为3求得m的值，代入点P的坐标即可求解．（1）解：令2m-4=0，解得m=2，所以P点的坐标为（0，6），故答案为：（0，6）；（2）解：令m+4-（2m-4）=7，解得m=1，所以P点的坐标为（-2，5）；（3）解：①点P在过A（2，3）点且与x轴平行的直线上，①m+4=3，解得m=-1．①P点的坐标为（-6，3），①AP=2+6=8．【点睛】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．43．甲乙两个施工队在六安(六盘水——安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，若设甲队每天铺设x 米，乙队每天铺设y米.(1)依题意列出二元一次方程组;(2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？【答案】(1)100 56x yx y-=⎧⎨=⎩(2)甲施工队每天各铺设600米，乙施工队每天各铺设500米.【分析】（1）利用每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，得x-y=100；利用甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，得5x=6y，从而可得答案（2）解方程组即可得到答案．（1）解：设甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米，则10056x y x y -=⎧⎨=⎩ （2）10056x y x y -=⎧⎨=⎩解得：600500x y =⎧⎨=⎩答：甲施工队每天各铺设600米，乙施工队每天各铺设500米.44．解不等式：并把不等式的解集在数轴上表示出来：4-()314x +≥()528x ++2 【答案】x ≤0，数轴表示见解析【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：去分母，得：32-6（x +1）≥5（x +2）+16，去括号，得：32-6x -6≥5x +10+16，移项，得：-6x -5x ≥10+16-32+6，合并，得：-11x ≥0，系数化为1，得：x ≤0，将不等式的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 45．（1）用配方法解方程：21090x x -+=.（2）某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,求平均每次降价的百分率．【答案】（1）121,9x x ==；（2）平均每次降价的百分率为：20%．【详解】试题分析：(1)先配方,再进行开方,化简即可；（2）利用数量关系：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格,设出未知数,列方程解答即可．试题解析：（1）21090x x -+=210252590x x -+-+=()2516x -=54x -=±121,9x x ==；(2) 设这种商品平均每次降价的百分率为x,根据题意列方程得,125（1﹣x ）2=80,解得x 1=0.2=20%,x 2=﹣1.8（不合题意,舍去）；故平均每次降价的百分率为：20%．考点：1. 配方法解方程,2. 一元二次方程的应用．46．解下列方程或不等式组：（1）解方程：122134x x -+=- （2）解不等式组()2563212x x x ⎧+≥⎨->+⎩47．在某校园超市中买1支英雄牌钢笔和3本硬皮笔记本需要18元钱；买同样的钢笔2支和笔记本5本需要31元.（1）求每支英雄牌钢笔和每本硬皮笔记本的价格；（2）九年一班准备用班费购买48件上述价格的钢笔和笔记本．作为毕业联欢会的奖品，已知班费不少于200元，求最少可以买多少本笔记本？【答案】（1）每支英雄牌钢笔3元，每本硬皮笔记本5元；（2）至少可以购买28本笔记本【分析】（1）用二元一次方程解决问题的关键是找到两个合适的等量关系.本问中两个等量关系是：1支钢笔的价钱＋3本笔记本的价钱＝18,2支钢笔的价钱＋5本笔记本的价钱＝31，根据这两个等量关系可以列出方程组；（2）本问可以列一元一次不等式解决.用钢笔数＝48－笔记本数代入下列不等式关系：购买钢笔钱数＋购买笔记本钱数≤200，可以列出一元一次不等式，求解即可.【详解】解：（1）设每支英雄牌钢笔x 元，每本硬皮笔记本y 元由题意得3182531x y x y +=⎧⎨+=⎩解得35x y =⎧⎨=⎩答：每支英雄牌钢笔3元，每本硬皮笔记本5元（2）设可以购买a 本笔记本由题意得()3485200a a -+≥解得28a ≥答：至少可以购买28本笔记本【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题中的等量关系或不等关系：1支钢笔的价钱＋3本笔记本的价钱＝18,2支钢笔的价钱＋5本笔记本的价钱＝31，购买钢笔钱数＋购买笔记本钱数≤200.48．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款3000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．请你根据上述信息，就这两个公司的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的题，并写出解题过程．【答案】问：甲、乙两公司各有多少名员工？；见解析；甲公司有30名员工，乙公司有25名员工【分析】问：甲、乙两公司各有多少名员工？设乙公司有x 名员工，则甲公司有1.2x 名员工，根据人均捐款钱数=捐款总钱数÷人数结合乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：问：甲、乙两公司各有多少名员工？设乙公司有x 名员工，则甲公司有1.2x 名员工，49．列方程（组）或不等式（组）解应用题：（1）甲工人接到240个零件的任务，工作1小时后，因要提前完成任务，调来乙和甲合作，合做了5小时完成.已知甲每小时比乙少做4个，那么甲、乙每小时各做多少个？（2）某工厂准备购进A 、B 两种机器共20台用于生产零件，经调查2台A 型机器和1台B 型机器价格为18万元，1台A 型机器和2台B 型机器价格为21万元.①求一台A 型机器和一台B 型机器价格分别是多少万元？①已知1台A 型机器每月可加工零件400个，1台B 型机器每月可加工零件800个，经预算购买两种机器的价格不超过140万元，每月两种机器加工零件总数不低于12400个，那么有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？【答案】（1）甲每小时加工个20零件，乙每小时加工24个零件；（2）①A ，B 两种型号机器的单价分别为5万元和8万元；①有三种购买方案：方案一：购买A 型机器7台，B 型机器13台，方案二：购买A 型机器8台，B 型机器12台，方案三：购买A 型机器9台，B 型机器11台，方案三更省钱．【分析】（1）设甲每小时加工x 个零件，乙每小时加工y 个零件，利用乙每小时比甲多做4个，以及利用甲工作了1小时后，调来乙工人与甲合作了5小时完成，240个零件的任务得出等式方程求出即可；（2）①设A ，B 两种型号机器的单价分别为x 万元和y 万元，根据题意得方程组218221x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，解答即可； ①设购买A 型机器m 台，则购买B 型机器（20-m ）台，根据购买总价和生产数量列出不等式组求解即可．【详解】（1）设甲每小时加工x 个零件，乙每小时加工y 个零件，根据题意得：465240x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，50．解方程组：(1)2(1)61x yx y+-=⎧⎨=-⎩(2)3(1)51135x yy x-=+⎧⎪-⎨=+⎪⎩【答案】(1)56 xy=⎧⎨=⎩(2)57x y =⎧⎨=⎩【分析】（1）用代入法求解即可；（2）用加减法求解即可．【详解】（1）解：()2161x y x y ⎧+-=⎨=-⎩①② ， 将①代入①得：6y =，把6y =代入①得5x =，①原方程组的解为56x y =⎧⎨=⎩； （2）解：整理得：383520x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②， ①-①，得428y =，解得：7y =，把7y =代入①，得378x -=，解得：5x =，①方程组的解是57x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减法解二元一次方程组是解题的关键．。
(精品中考卷)广东省中考数学真题(解析版)
2022年广东省初中学业水平考试数学本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时90分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 2-的值等于（）A. 2B.12- C. 12D. ﹣2【答案】A【解析】【详解】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以22-=，故选A．2. 计算22的结果是（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】利用乘方的意义计算即可．【详解】解：22224=⨯=故选：D ．【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解答本题的关键．3. 下列图形中具有稳定性的是（ ）A. 平行四边形B. 三角形C. 长方形D. 正方形【答案】B【解析】【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性可得结论． 详解】解：三角形具有稳定性；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，比较简单．4. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=40°，则∠2等于（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】B【解析】 【分析】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.即：两直线平行，同位角相等.【详解】 //a b ，140∠=︒，∴240∠=︒.故选B .【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等. 5. 如图，在ABC 中，4BC =，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE =（ ）A. 14B. 12 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【【分析】利用中位线的性质即可求解．【详解】∵D 、E 分比为AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线， ∴12DE BC =， ∵BC =4，∴DE =2，故选：D ．【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）A. ()3,1B. ()1,1-C. ()1,3D. ()1,1- 【答案】A【解析】【分析】把点()1,1的横坐标加2，纵坐标不变，得到()3,1，就是平移后的对应点的坐标．【详解】解：点()1,1向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为()3,1．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律是解答本题的关键． 7. 书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】B【解析】【分析】根据概率公式直接求概率即可；【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，选中的书是物理书的结果有1种，∴从中任取1本书是物理书的概率=13， 故选： B ．【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键． 8. 如图，在ABCD 中，一定正确的是（ ）A. AD CD =B. AC BD =C. AB CD =D. CD BC =【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB =CD ，AD =BC故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 9. 点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x=图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（ ）A. 1yB. 2yC. 3yD. 4y 【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质可直接进行求解． 【详解】解：由反比例函数解析式4y x=可知：40>， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∵点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x =图象上， ∴1234y y y y >>>，故选D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 10. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r ，则圆周长C 与r 的关系式为2πC r =．下列判断正确的是（ ）A. 2是变量B. π是变量C. r 是变量D. C 是常量【答案】C【解析】【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．【详解】解：2与π为常量，C 与r 为变量，故选C ．【点睛】本题考查变量与常量概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11. sin30°的值为_____． 【答案】12【解析】【详解】试题分析：根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12．12. 单项式3xy 的系数为___________．【答案】3【解析】【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．【详解】3xy 的系数是3，故答案为：3．【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义． 13. 菱形的边长为5，则它的周长为____________．【答案】20【解析】【分析】根据菱形的四条边相等，即可求出．【详解】∵菱形的四条边相等．∴周长：5420⨯=，故答案为：20．【点睛】本题考查菱形的性质；熟练掌握菱形的性质是本题解题关键．14. 若1x =是方程220x x a -+=的根，则=a ____________．【答案】1【解析】【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x =1代入方程得到a 的值．【详解】把x =1代入方程220x x a -+=，得1−2+a =0，解得a =1，故答案：1． 的为【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．15. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留π）为____________．【答案】π【解析】【分析】根据扇形面积公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的面积为2902360ππ⨯⨯=； 故答案为π．【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．16. 解不等式组：32113x x ->⎧⎨+<⎩． 【答案】12x <<【解析】【分析】分别解出两个不等式，根据求不等式组解集的口诀得到解集．【详解】解：32113x x ->⎧⎨+<⎩①②解①得：1x >，解②得：2x <，∴不等式组的解集是12x <<．【点睛】本题考查求不等式组的解集，掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．17. 先化简，再求值：211a a a -+-，其中5a =． 【答案】21a +，11【解析】【分析】利用平方差公式约分，再合并同类项可；【详解】解：原式=()()111211a a a a a a a +-+=++=+-， a =5代入得：原式=2×5+1=11；【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握平方差公式是解题关键．18. 如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为的D ，E ．求证：OPD OPE ≌V V ．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌V V ．【详解】证明：∵AOC BOC ∠=∠，∴OC 为AOB ∠的角平分线，又∵点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∴PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∵PO PO =（公共边），∴()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19. 《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．【解析】【分析】设学生人数为x 人，然后根据题意可得8374x x -=+，进而问题可求解．【详解】解：设学生人数为x 人，由题意得：8374x x -=+，解得：7x =，∴该书的单价为77453⨯+=（元），答：学生人数为7人，该书的单价为53元．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．20. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）满足函数关系15y kx =+．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．x 0 2 5y 15 19 25（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当弹簧长度为20cm 时，求所挂物体的质量．【答案】（1）215y x =+（2）所挂物体的质量为2.5kg【解析】【分析】（1）由表格可代入x =2，y =19进行求解函数解析式；（2）由（1）可把y =20代入函数解析式进行求解即可．【小问1详解】解：由表格可把x =2，y =19代入解析式得： 21519k +=，解得：2k =，∴y 与x 的函数关系式为215y x =+；【小问2详解】解：把y =20代入（1）中函数解析式得：21520x +=，解得： 2.5x =，即所挂物体的质量为2.5kg ．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是得出一次函数解析式． 21. 为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：10，4，7，5，4，10，5，4，4，18，8，3，5，10，8（1）补全月销售额数据的条形统计图．（2）月销售额在哪个值的人数最多（众数）？中间的月销售额（中位数）是多少？平均月销售额（平均数）是多少？（3）根据（2）中的结果，确定一个较高的销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？【答案】（1）作图见解析；（2）月销售额在4万元的人数最多；中间的月销售额为5万元；平均数为7万元；（3）月销售额定为7万元合适，【解析】【分析】（1）根据所给数据确定销售额为4万元的人数为4人；销售额为8万元的人数为2人，然后补全条形统计图即可；（2）根据众数、中位数及平均数的计算方法求解即可；（3）根据题意，将月销售额定为7万元合适．【小问1详解】解：根据数据可得：销售额为4万元的人数为4人；销售额为8万元的人数为2人；补全统计图如图所示：【小问2详解】由条形统计图可得：月销售额在4万元的人数最多；将数据按照从小到大排序后，中间的月销售额为第8名销售员的销售额为5万元； 平均数为：3144537182103181715⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=万元； 小问3详解】月销售额定为7万元合适，给予奖励，可以激发销售员的积极性，振兴乡村经济．【点睛】题目主要考查条形统计图及相关统计数据的计算方法，包括，众数、中位数、平均数，以及利用平均数做决策等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．22. 如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 为O 的直径，ADB CDB ∠=∠．（1）试判断ABC 的形状，并给出证明；（2）若AB =，1AD =，求CD 的长度．【答案】（1）△ABC 是等腰直角三角形；证明见解析；（2【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC =90°，由∠ADB =∠CDB 根据等弧对等角可得∠ACB =∠CAB ，即可证明；（2）Rt △ABC 中由勾股定理可得AC ，Rt △ADC 中由勾股定理求得CD 即可；【【小问1详解】证明：∵AC 是圆的直径，则∠ABC =∠ADC =90°，∵∠ADB =∠CDB ，∠ADB =∠ACB ，∠CDB =∠CAB ，∴∠ACB =∠CAB ，∴△ABC 是等腰直角三角形；【小问2详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC =AB ，∴AC 2=，Rt △ADC 中，∠ADC =90°，AD =1，则CD =∴CD ； 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．23. 如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A ，4AB =，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．（1）求该抛物线的解析式；（2）求CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．【答案】（1）223y x x =+-（2）2；P （-1，0）【解析】【分析】（1）用待定系数法将A ，B 的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；（2）分别求出C 点坐标，直线AC ，BC 的解析式，PQ 的解析式为：y =-2x +n ，进而求出P ，Q 的坐标以及n 的取值范围，由CPQ CPA APQ S S S =-△△△列出函数式求解即可．【小问1详解】解：∵点A （1，0），AB =4，∴点B 的坐标为（-3，0），将点A （1，0），B （-3，0）代入函数解析式中得：01093b c b c =++⎧⎨=-+⎩， 解得：b =2，c =-3，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；【小问2详解】解：由（1）得抛物线的解析式为223y x x =+-，顶点式为：2y (x 1)4=+-，则C 点坐标为：（-1，-4），由B （-3，0），C （-1，-4）可求直线BC 的解析式为：y =-2x -6，由A （1，0），C （-1，-4）可求直线AC 的解析式为：y =2x -2，∵PQ ∥BC ，设直线PQ 的解析式为：y =-2x +n ，与x 轴交点P ,02n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由222y x n y x =-+⎧⎨=-⎩解得：22,42n n Q +-⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵P 在线段AB 上， ∴312n -<<， ∴n 的取值范围为-6＜n ＜2，则CPQ CPA APQ S S S =-△△△11214122222n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()21228n =-++ ∴当n =-2时，即P （-1，0）时，CPQ S △最大，最大值为2．【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键。
2025年广东中考数学第一部分 中考考点精准解读第3章 第12讲 函数与方程(组)、不等式
函数
第12讲
函数与方程
(组)、不等式
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CONTENTS
01
第一部分：考点梳理·精整合
02
第二部分：方法讲练·拓思维
考点梳理·精整合
知识体系
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考点梳理·精整合
考点清单
考点
类型1
函数与方程(组)、不等式的关系
一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系
一次函数y＝kx＋m(k≠0)，y＝ax＋b(a≠0)
(－2，0)，顶点坐标B
，
.下列结论：①a＜0，b＞0，c＞0；②3a＋b
＞0；③关于x的不等式ax2＋c＜－bx的解集为x＜－2或x＞3；④关于x的
一元二次方程ax2＋bx＋c－n－1＝0没有实数根.其中，正确的是( C )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
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方法讲练·拓思维
(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2
①②④
的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为________.
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方法讲练·拓思维
提示：①由点(－3，5)和点(1，5)，可知抛物线对称轴为直线x＝－1，可
得点(－1，9)为顶点.设二次函数y＝a(x＋1)2＋9，将点(－4，0)代入，得a
一个
与x轴有②______交点
交点(x1，0)，(x2，0)
点
有两个不相等的
实数根x1，x2
有两个相等的实数根
没有实数根
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类型4
考点梳理·精整合
一次函数、二次函数与一元二次方程的关系
2024年中考数学真题重组卷(广东省卷专用)(解析版)
2024年中考数学真题重组卷01（广东省卷专用）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考点细目表一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列各数中，最小的是( )A ．2−B ．0C ．12D ．2【答案】A【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案． 【详解】解：正数大于零，零大于负数，得12022−<<<， 故选：A ．2．（2023·广东·统考中考真题）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．【详解】解：符合轴对称图形的只有A 选项，而B 、C 、D 选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合；故选A ．3．（2023·江苏·统考中考真题）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约4900mL ．数据4900用科学记数法表示为（ ）． A ．40.4910×B ．44.910×C ．34.910×D ．24910×【答案】C【分析】将4900写成10n a ×的形式即可，其中110a ≤<，n 为正整数． 【详解】解：4900的小数点向左移动3位得4.9，因此34900 4.910=×，故选C ．4．（2023·青海西宁·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）A ．检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查B ．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件C ．数据4，9，5，7的中位数是6D ．甲、乙两组数据的方差分别是20.4s =甲，22s =乙，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】C【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可【详解】解：A ．检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意； B ．任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故选项错误，不符合题意；C ．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意；D ．甲、乙两组数据的方差分别是20.4s =甲，22s =乙，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意．故选：C ．5．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）以下因式分解正确的是（ ）A ．()221ax a a x −=−B ．()321m m m m +=+ C ．()22323x x x x +−=+− D ．()()22331x x x x +−=−+【答案】B【分析】利用平方差公式，21x −还可分解因式；利用十字相乘法，223(3)(1)x x x x +−=+−．【详解】解：22(1)1)(1)ax a a x a x −=−=+−；故A 不正确，不符合题意．32(1)m m m m +=+；故B 正确，符合题意．223(3)(1)x x x x +−=+−；故C ，D 不正确，不符合题意．故选：B ．6．（2023·海南·统考中考真题）如图，直线m n ∥，ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，点C 在直线n 上．若150∠=°，则2∠的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D【分析】延长AB 交直线n 于点D ，根据平行线的性质求出ADC ∠，再根据直角三角形的特征解答即可．【详解】延长AB 交直线n 于点D ，如图所示．∵m n ∥，∴150A DC ∠=∠=°． 在Rt BCD 中，29040A D C ∠=°−∠=°．故选：D ．7．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，有一张矩形纸片ABCD ．先对折矩形ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ﹐同时得到线段BN ，MN ．观察所得的线段，若1AE =，则MN =（ ）A B ．1 C D ．2【答案】C【分析】根据折叠的性质，得出ABM NBM ∠=∠ ，AB BN =，进而得到30ABM MBN NBC ∠=∠=∠=°，在Rt BEK 中，由特殊锐角的三角函数可求MN 即可．【详解】解：根据折叠的性质可知：ABM NBM ∠=∠，AB BN =，1AE BE ==，AD EF ∥，∴2ANBN == ∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=°，AD EF BC ∥∥， ∴90AEN ABC BEN ∠=∠=∠=°，在Rt BEN △中，1sin 2BE BNE BN ∠==， ∴30BNE ∠=°， ∴30BNE NBC ∠=∠=° ∴30ABM NBM ∠=∠=°， 在Rt BMN △中，tan MN NBM BN∠=，∴2MN =，∴MN ， 故选：C ．8．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB AC =，120BAC ∠=°，D 是BC 边上一点，连接AD 并延长交O 于点E ．若2AD =，3DE =，则O 的半径为（ ）A B C ． D ．【答案】A【分析】连接,,OA OC CE , 根据等腰三角形的性质得到30B ACB ∠=∠=°, 根据等边三角形的性质得到AC OA =，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【详解】连接,,OA OC CE ,∵,120AB AC BAC =∠=°, ∴30B ACB ∠=∠=° ∴60AOC ∠=°, ∵OA OC =,∴AOC 是等边三角形,∴ AC OA =,∵30AEC ACB ∠=∠=°，CAD EAC ∠=∠, ∴ACD AEC ∽,AC AE AD AC∴=， ∴2·AC AD AE =,∵2,3AD DE ==,AC ∴===，OA AC ∴==，即O 的半径为 ，故选: A .9．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，点P 是对角线BD 上的一点，PF AD ⊥于点F ，PE AB ⊥于点E ，连接PC ，当:1:2PE PF =时，则PC （ ）AB ．2CD ．52【答案】C【分析】先证四边形AEPF 是矩形，可得PE AF =，90PFD ∠=°，由等腰直角三角形的性质可得PF DF =，可求AF ，DF 的长，由勾股定理可求AP 的长，由“SAS ”可证ABP CBP △≌△，可得AP PC ==【详解】解：如图：连接AP ，四边形ABCD 是正方形，3AB AD ∴==，45ADB ∠=°，PF AD ⊥ ，PE AB ⊥，90BAD ∠=°， ∴四边形AEPF 是矩形，PE AF ∴=，90PFD ∠=°， PFD ∴ 是等腰直角三角形，PF DF ∴=，:1:2PE PF = ，:1:2AF DF ∴=，1AF ∴=，2DF PF ==，AP ∴===AB BC = ，45ABD CBD ∠=∠=°，BP BP =，(SAS)ABP CBP ∴△≌△，AP PC ∴==故选：C ．10．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）抛物线()20y ax bx c a ++≠与x 轴的一个交点为()30A −,，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，对称轴为直线1x =−，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①0abc >；②()11,E x y ，()22,F x y 是抛物线()20y ax bx a =+≠上的两个点，若12x x <，且122x x +<−，则12y y <；③在x 轴上有一动点P ，当PC PD +的值最小时，则点P 的坐标为3,07 −；④若关于x 的方程()()2240ax b x c a +−+=−≠无实数根，则b 的取值范围是1b <．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】由图可知0,0,0a b c >><，即可判断①；易得2y ax bx c ++向上平移c 个到位长度得到2y ax bx =+，则2y ax bx =+的对称轴也为直线1x =−，根据122x x +<−，得出1212x x +<−，则()11,E x y 离对称轴的距离大于()22,F x y 离对称轴的距离，即可判断②；作点C 关于x 轴对称的对应点C ′，连接C D ′，交x 轴于点P ，把()30A −,代入2y ax bx c ++得到093a b c =−+，根据对称轴得到2b a =，则3c a =−，进而得出()0,3C a ′，把=1x −代入2y ax bx c ++得出()1,4D a −，用待定系数法求出直线C D ′的函数解析式为73y ax a =+，即可判断③；由图可知，当244b a −<−时，抛物线2y ax bx c ++与直线24y b =−没有交点，则原方程无实数根，求出1b <，结合0b >，即可判断④．【详解】解：由图可知，∵该抛物线开口向上，对称轴在y y 轴交于负半轴，∴0,0,0a b c >><，∴<0abc ，故①不正确，不符合题意；∵2y ax bx c ++向上平移c 个到位长度得到2y ax bx =+，∴2y ax bx =+的对称轴也为直线1x =−，∵122x x +<−， ∴1212x x +<−， ∵12x x <，∴()11,E x y 离对称轴的距离大于()22,F x y 离对称轴的距离，∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，∴12y y >，故②不正确，不符合题意；作点C 关于x 轴对称的对应点C ′，连接C D ′，交x 轴于点P ，把()30A −,代入2y ax bx c ++得：093a b c =−+， ∵抛物线2y ax bx c ++的对称轴为直线1x =−， ∴12b a−=−，则2b a =， ∴096a a c =−+，整理得：3c a =−，∴()03C a −,，则()0,3C a ′，把=1x −代入2y ax bx c ++得：234y a b c a a a a =−+=−−=−， ∴()1,4D a −，设直线C D ′的函数解析式为y mx n =+， 把()0,3C a ′，()1,4D a −−代入得：34a n a m n = −=−+ ，解得：73m a n a= = ， ∴直线C D ′的函数解析式为73y ax a =+， 把0y =代入得：073ax a =+， 解得：37x =−， ∴3,07P −，故③正确，符合题意；方程()()2240ax b x c a +−+=−≠整理为224ax bx c b ++−， ∵()1,4D a −−，由图可知，当244b a −<−时，抛物线2y ax bx c ++与直线24y b =−没有交点， 则原方程无实数根，∵2b a =，∴242b b −<−，解得：1b <，∵0b >，∴b 的取值范围为01b <<，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有③，共1个，故选：A ．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（2023·江苏·统考中考真题）方程1121x x −=+的解是 ． 【答案】2x =−【分析】将分式方程转化为整式方程，求解即可． 【详解】解：由1121x x −=+可得：121x x −=+ 解得2x =−经检验2x =−是原分式方程的解，故答案为：2x =−12．（2023·海南·统考中考真题）设n 为正整数，若1n n <<+，则n 的值为 ．【答案】1【详解】解：124<< ，<<12<<，111∴<<+，1n ∴=，故答案为：1．13．（2023·四川攀枝花·统考中考真题）2420x x −−=的两根分别为m 、n ，则11m n+= ． 【答案】2−【分析】依据题意，由根与系数的关系得，4m n +=，mn 2=−，再由11m n m n mn ++=进而代入可以得解． 【详解】解：由题意，根据根与系数的关系可得， 4m n +=，mn 2=−，11422m n m n mn +∴+−−===， 故答案为：2−．14．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为 ．【答案】59【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则总面积为9，其中阴影部分面积为5， ∴飞镖落在阴影部分的概率是59，故答案为：59．15．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A 、B 在x 轴上，分别以OA ，AB 为边，在x 轴上方作正方形OACD ，ABEF ．反比例函数()0ky k x=>的图象分别交边CD ，BE 于点P ，Q ．作PM x ⊥轴于点M ，QN y⊥轴于点N ．若2OA AB =，Q 为BE 的中点，且阴影部分面积等于6，则k 的值为 ．【答案】24【分析】设4OA a =，则2AB a =，从而可得()4,0A a 、()6,0B a ，由正方形的性质可得()4,4C a a ，由QN y ⊥轴，点P 在CD 上，可得,44k P a a，由于Q 为BE 的中点，BE x ⊥轴，可得1==2BQ AB a ，则()6,Q a a ，由于点Q 在反比例函数()0ky k x =>的图象上可得26k a =，根据阴影部分为矩形，且长为4k a，宽为a ，面积为6，从而可得124=6ak a ××，即可求解． 【详解】解：设4OA a =，∵2OA AB =， ∴2AB a =，∴==6OB AB OA a +， ∴()6,0B a ，在正方形ABEF 中，2ABBE a ==， ∵Q 为BE 的中点， ∴=12=BQ AB a ， ∴()6,Q a a ， ∵Q 在反比例函数()0ky k x=>的图象上， ∴2=6=6k a a a ×， ∵四边形OACD 是正方形， ∴()6,6C a a ， ∵P 在CD 上， ∴P 点纵坐标为4a ， ∵P 点在反比例函数()0ky k x=>的图象上， ∴P 点横坐标为=4k x a， ∴,44k P a a，∵===90HMO HNO NOM ∠∠∠°， ∴四边形OMHN 是矩形， ∴=4kNH a，MH a =， ∴64OMHN kS NH MH a a=×=×= ， ∴24k =， 故答案为：24．三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分）16．（2023·江苏·统考中考真题）（1）计算：02(1−+（2）解不等式组：()2131,1 1.3x x x x +>−−+<【答案】（1）0；（2）1x <【分析】（1）根据化简绝对值，零指数幂，求一个数的算术平方根，进行计算即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：（1）02(1−++213=+− 0=；（2）()2131113x x x x +>− −+<①②， 解不等式①得：4x <， 解不等式②得：1x <， ∴不等式组的解集为：1x <．17．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）先化简，再求值：221132111x x x x x −−÷−+−− ，其中()10132x − =+− ． 【答案】3x，1【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x 的值，最后将x 的值代入计算即可．【详解】解：221132111x x x x x −−÷ −+−− ()()()()221311111x x x x x x +−−−× −− − ()()23111x x x x −=−×− 3x=， ∵()10213132x −=+− =+ = ，∴原式31 33x===．18．（2023·海南·统考中考真题）某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：调查问题在下列课外活动中，你最喜欢的是（）（单选）A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育填完后，请将问卷交给教务处．根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：(1)本次调查采用的调查方式为（填写“普查”或“抽样调查”）；(2)在这次调查中，抽取的学生一共有人；扇形统计图中n的值为；(3)已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是；(4)若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有人．【答案】(1)抽样调查(2)200，22(3)2 5(4)350【分析】（1）根据抽样调查的定义即可得出答案；（2）根据喜欢文学的人数除以其所占的百分比可得总人数，用喜欢体育的人数除以总人数可求出n的值；（3）根据概率公式求解即可；（4）用1000乘以选择“文学”类的百分比即可．【详解】（1）解：根据题意得： 本次调查采用的调查方式为：抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：根据题意得：在这次调查中，抽取的学生一共有：7035%200÷=（人），扇形统计图中n 的值为：4420010022÷×=， 故答案为：200，22；（3）解：恰好抽到女生的概率是：202505=， 故答案为：25；（4）解：根据题意得：选择“文学”类课外活动的学生有：100035%350×=（人），故答案为：350．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19．（2023·湖北黄石·统考中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x 个生产周期设备的售价为z 万元/件，售价z 与x 之间的函数解析式是15,012,1220x z mx n x <≤ = +<≤，其中x 是正整数．当16x =时，14z =；当20x 时，13z =．(1)求m ，n 的值；(2)设第x 个生产周期生产并销售完设备的数量为y 件，且y 与x 满足关系式520y x =+． ①当1220x <≤时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元? ②当020x <≤时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a 万元，求实数a 的取值范围．【答案】(1)14m =−，18n =；(2)①14，405；②400403.75a <≤．【分析】（1）用待定系数法求出m ，n 的值即可；（2）①当1220x <≤，根据利润=(售价-成本)×设备的数量，可得出w 关于x 的二次函数，由函数的性质求出最值；②当020x <≤时，w 关于x 的函数解析式，再画出w 关于x 的函数图象的简图，由题意可得结论．【详解】（1）把16x =时，14z =；20x 时，13z =代入z mx n =+得：16142013m n m n +=+=，解得：14m =−，18n =； （2）①设第x 个生产周期创造的利润为w 万元，由（1）知，当1220x <≤时，1184z x =−+， ∴()10wz y =−，()118105204x x =−+−+ ， ()2255351440544x x x =−+=−−+，∵504−<，1220x <≤， ∴当14x =时，w 取得最大值，最大值为405，∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元； ②当020x <≤时，15z =，∴()1510(52025100w x x =−+=+， ∴()225100(012)514405(1220)4x x w x x +<≤ = −−+<≤ ， 则w 与x 的函数图象如图所示：由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a 万元， ∴当13x =，15时，403.75w =， 当12x =，16时，400w =， ∴a 的取值范围400403.75a <≤．20．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，直线y kx b =+与双曲线my x=相交于点()2,3A ，(),1B n ．(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线AB 向下平移至CD 处，其中点()2,0C −，点D 在y 轴上．连接AD ，BD ，求ABD △的面积； (3)请直接写出关于x 的不等式mkx b x+>的解集． 【答案】(1)6y x =，142y x =−+ (2)10(3)26x <<或0x <【分析】()1将()2,3A 代入双曲线my x=，求出m 的值，从而确定双曲线的解析式，再将点(),1B n 代入6y x =，确定B 点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；()2由平行求出直线CD 的解析式为11,2y x =−−过点D 作DG AB ⊥交于G ，设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的交点为F , 可推导出HDG HFO ∠=∠, 再由 cos HFO ∠求出DG =则ABD 的面积 110;2=×=()3数形结合求出x 的范围即可.【详解】（1）将()2,3A 代入双曲线my x=， ∴6m =,∴双曲线的解析式为6y x=， 将点(),1B n 代入6y x=， ∴6n =, ∴()6,1B ,将()()2,3,6,1A B 代入y kx b =+,2361k b k b +=∴ +=，解得124k b=−= ， ∴直线解析式为142y x =−+； （2）∵直线AB 向下平移至CD ,∴AB CD ,设直线CD 的解析式为12y x n =−+，将点()2,0C −代入1,2y x n =−+ ∴10n +=解得1n =− ∴直线CD 的解析式为112y x =−− ∴()0,1D −过点D 作DG AB ⊥交于G ,设直线AB 与y 轴的交点为H ，与x 轴的交点为 F , ∴()()0,4,8,0H F ,∵90,90HFO OHF OHG HDG∠+∠=°∠+∠=°, ∴HDG HFO ∠=∠, ∵4,8OH OF ==, HF ∴，cos HFO ∴∠，∵5DH =，DG ∴==，AB =∴ABD 的面积1102=×=（3）由图可知26x <<或0x <时,161.2x x−−>21．（2023·广东·统考中考真题）综合探究如图1，在矩形ABCD 中()AB AD >，对角线AC BD ，相交于点O ，点A 关于BD 的对称点为A ′，连接AA ′交BD 于点E ，连接CA ′．(1)求证：AA CA ′⊥′；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，O 与CD 相切，求证：AA ′=′；②如图3，O 与CA ′相切，1AD =，求O 的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由点A 关于BD 的对称点为A ′可知点E 是AA ′的中点，90AEO ∠=°，从而得到OE 是ACA ′ 的中位线，继而得到OE A C ′∥，从而证明AA CA ′⊥′；（2）①过点O 作OF AB ⊥于点F ，延长FO 交CD 于点G ，先证明()AAS OCG OAF ≌得到OG OF =，由O与CD 相切，得到OG OE =，继而得到OE OF =，从而证明AO 是EAF ∠的角平分线，即OAE OAF ∠=∠，OAE OAF x ∠=∠=，求得2AOE x ∠=，利用直角三角形两锐角互余得到90AOE OAE ∠+∠=°，从而得到30OAE ∠=°，即30A AC ′∠=°，最后利用含30度角的直角三角形的性质得出AA ′=′；②先证明四边形A EOH ′是正方形，得到OEOH A H ′==，再利用OE 是ACA ′ 的中位线得到12OE A C ′=，从而得到OH CH =，45OCH ∠=°，再利用平行线的性质得到45AOE ∠=°，从而证明AEO △是等腰直角三角形，AE OE =，设AEOE r ==，求得)1DE r =，在Rt ADE △中，222AE DE AD +=即)222211r r +−=，解得2r =O 的面积为2S r π==．【详解】（1）∵点A 关于BD 的对称点为A ′，∴点E 是AA ′的中点，90AEO ∠=°， 又∵四边形ABCD 是矩形， ∴O 是AC 的中点， ∴OE 是ACA ′ 的中位线， ∴OE A C ′∥∴90AA C AEO ∠′=∠=°， ∴AA CA ′⊥′（2）①过点O 作OF AB ⊥于点F ，延长FO 交CD 于点G ，则90OFA ∠=°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ，AOBO CO DO ===， ∴OCG OAF ∠=∠，90OGC OFA ∠=∠=°． ∵OCG OAF ∠=∠，90OGC OFA ∠=∠=°，AO CO =， ∴()AAS OCG OAF ≌， ∴OG OF =．∵O 与CD 相切，OE 为半径，90OGC ∠=°， ∴OG OE =， ∴OE OF =又∵90AEO ∠=°即OE AE ⊥，OF AB ⊥， ∴AO 是EAF ∠的角平分线，即OAE OAF ∠=∠，设OAE OAF x ∠=∠=，则OCG OAF x ∠=∠=， 又∵CO DO =∴OCG ODG x ∠=∠= ∴2AOE OCG ODG x ∠=∠+∠=又∵90AEO ∠=°，即AEO △是直角三角形， ∴90AOE OAE∠+∠=°，即290x x +=° 解得：30x=°， ∴30OAE ∠=°，即30A AC ′∠=°， 在Rt A AC ′△中，30A AC ′∠=°，90AA C ′∠=°， ∴2AC CA ′=，∴AA ′===′；②过点O 作OH A C ′⊥于点H ，∵O 与CA ′相切，∴OE OH =，90A HO ′∠=°∵90AA C AEO A EO A HO ′′∠′=∠=∠=∠=° ∴四边形A EOH ′是矩形，又∵OE OH =，∴四边形A EOH ′是正方形，∴OEOH A H ′==， 又∵OE 是ACA ′ 的中位线，∴12OE A C ′= ∴12A H CH A C ′′== ∴OH CH =又∵90A HO ′∠=°， ∴45OCH ∠=°又∵OE A C ′∥，∴45AOE ∠=° 又∵90AEO ∠=°， ∴AEO △是等腰直角三角形，AE OE =，设AEOE r ==，则AO DO =∴)1DE DO OE r r =−=−= 在Rt ADE △中，222AE DE AD +=，1AD =即)222211r r +=∴2r =∴O 的面积为：2S r π== 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=°，30ABC ∠=°，6AB =，点D 是BC 的中点．四边形DEFG 是菱形（D ，E ，F ，G ，60EDG ∠=°，且2DE =，菱形DEFG 可以绕点D 旋转，连接AG 和CE ，设直线AG 和直线CE 所夹的锐角为α．(1)在菱形DEFG 绕点D 旋转的过程中，当点E 在线段DC 上时，如图①，请直接写出AG 与CE 的数量关系及α的值；(2)当菱形DEFG 绕点D 旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)设直线AG 与直线CE 的交点为P ，在菱形DEFG 绕点D 旋转一周的过程中，当EF 所在的直线经过点B 时，请直接写出APC △的面积．【答案】(1)60AG CE α°==，；(2)（1）中结论成立，证明见解析；或【分析】（1）根据22AG AD GD CE CD DE AG =−=−=−==，，即可得出答案； （2）证明(SAS)ADG CDE ≌，即可求解；（3）证明BDE 、DGC 均为等边三角形，证明A 、M 、P 、G 共线，由（1）、（2）知，60MPC ADM °∠=∠=，则1tan 60MC PM == ，在等边三角形ACD 中，AC =则sin 603AM AC = ，则314AP AM MP =+=+=，进而求解；当B 、F 重合时，也符合题意，由（1）、（2）知，60MPA ADC °∠=∠=，根据tan AE ACE AC ∠=APC △中，用解直角三角形的方法即可求解． 【详解】（1）解：60AG CE α°==，，理由如下：在ABC 中，90306BAC ABC AB °°∠=∠==，，，则tan 302AC AB BC AC °==== 点D 是BC 的中点，BD CD AD ∴===则22AG AD GD CE CD DE =−==−=，，CE AG ∴=,ADC 为等边三角形，∴60ADC α°∠==；（2）解：（1）的结论成立，理由：证明：延长AG 交CD 于点T ，交CE 于点N ，60ADG GDC GDC CDE °∠+∠==∠+∠ ，ADG CDE ∴∠=∠，AD CD GD ED == ，，(SAS)ADG CDE ∴ ≌，AG CE DCE DAN ==∴∠∠，，C N ATD T =∠∠ ，60ANC ADC °∴∠=∠=，60α°∴=；（3）解：当B 、E 、F 共线时，如下图，连接AD ，根据图形的对称性，当B 、E 、F 共线时，且点D 是BC 的中点，则F 、G 、C 共线，分别过点G 、E 作BC 的垂线，垂足分别为H 、M ，GM 交CE 于点P ， 60EDG °∠= ，则60BDE CDG °∠=∠=，则60EBH HDE MCG °∴∠=∠=∠=,即BDE ，DGC 均为等边三角形，14BH HD DM CM BC ∴=====由（1）知ADC △为等边三角形，则AM CD ⊥，则A 、M 、P 、G 共线，由（1）、（2）知，60MPC ADM °∠=∠=， 则1tan 60MC PM ==，在等边三角形ACD 中，AC =则sin 603AM AC == ，∴314AP AM MP =+=+=，11422APC S CM AP ∴=×⋅=×= 当B 、F 重合时，也符合题意，如下图：在Rt ABC △中，624AC AE AB BE ==−=−=，tan AE ACE AC ∴∠ 由（1）、（2）可知，60MPA ADC °∠=∠=，tan 60AM PM == ，设AM =，则PM x =，3tan 2AM CM x ACE ∴===∠，222AC AM CM =+， 即2291234x x =+，解得：x ，11()22APC S AM PC x x =×⋅=×+ ； 综上，APC △23．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，一条抛物线2y ax bx =+经过OAB 的三个顶点，其中O 为坐标原点，点()3,3A −，点B 在第一象限内，对称轴是直线94x =，且OAB 的面积为18(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点B 的坐标；(3)设C 为线段AB 的中点，P 为直线OB 上的一个动点，连接AP ，CP ，将ACP △沿CP 翻折，点A 的对应点为1A ．问是否存在点P ，使得以1A ，P ，C ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2233y x x =− (2)()6,6 (3)存在，P 点的坐标为3322 ，或3322 − ，-或66 +或66， 【分析】（1）根据对称轴为直线924b x a =−=，将点A 代入，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）设22,33B m m m −，过点A 作EF y ⊥轴交于E 点，过B 点作BF EF ⊥交于F 点，继而表示出OAB 的面积，根据OAB 的面积为18，解方程，即可求解．（3）先得出直线OB 的解析式为y x =，设(),P t t ，当BP 为平行四边形的对角线时，可得AP AC =，当BC 为平行四边形的对角线时，BP AC =，进而建立方程，得出点P 的坐标，即可求解．【详解】（1）解：∵对称轴为直线924b x a =−=， ∴92b a =−①， 将点()3,3A −代入2y ax bx =+得，∴933a b +=−②， 联立①②得，233a b = =− ， ∴解析式为2233y x x =−； （2）设22,33B m m m −，如图所示，过点A 作EF y ⊥轴交于E 点，过B 点作BF EF ⊥交于F 点，∴(),3F m −，()0,3E −， 则223,3,3,333OE AE AF m BF m m ===−=−+， ∴()2212112333333331823223AOB S m m m m m m =×−++−××−−−+= 解得：6m =或3m =−（舍去），（3）存在点P ，使得以1A ，P ，C ，B 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵()()3,3,6,6A B −，∴93,22C， 设直线OB 的解析式为y kx =，∴66k =，解得：1k =，∴直线OB 的解析式为y x =，设(),P t t ，如图所示，当BP 为平行四边形的对角线时，1BC A P ∥，1BC A P =，∵AC BC =，∴1AC A P =，由对称性可知1AC A C =，1AP A P =， ∴AP AC =，解得：32t =± ∴P 点的坐标为3322 ，或3322 − ，- 如图3，当BC 为平行四边形的对角线时，1BP AC ∥，1BP AC =，由对称性可知，1AC A C =， ∴BP AC =，解得：6t =或6t ，∴P 点的坐标为66 或66，综上所述，P 点的坐标为3322 ，或3322 − ，-或66 或66 + ，．。