2020届北京市西城区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届北京市海淀区高三上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题
1．已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4 ，则集合 A U B 是
()
A．1,3,5, 6}
B． 1, 3, 5}
C． 1, 3}
D． 1, 5}
【答案】D
【解析】利用补集和交集的定义可求出集合 A U B .
【详解】
集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4 ，则 U B 1,5, 6 ， 因此， A U B 1,5 .
故选：D. 【点睛】 本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力， 属于基础题.
2．抛物线 y2 4x 的焦点坐标为（ ）
2AB AD
7
14
则 cos BAD 2 7 14 4 2 . cos CAD 7 5 7 5
故选：C.
【解析】由等式 a b c 0 得 a b c ，等式两边平方可求出 a b 的值.
【详解】
由a
b
c
0
可得 a
b
c
，等式两边平方得
c
2
2 a
2 b
2a b
，即 2a b
2
1
，
因此，
a
b
1
.
2
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属
故选：B. 【点睛】 本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力， 属于中等题.
8．已知等边 ABC 边长为 3 ，点 D 在 BC 边上，且 BD CD ， AD 7 .下列结论
北京市西城区2020届高三数学二模试题 Word版含解析
2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（U A）∪B＝（）A. （﹣∞，2）B. [2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出U A，再求（U A）∪B得解【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴U A＝{x|x≥2}，（U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 设复数z＝1+i，则z2＝（）A. ﹣2iB. 2iC. 2﹣2iD. 2+2i 【答案】A【解析】【分析】由z求得z，再利用复数的乘方运算求解即可.【详解】∵z＝1+i，∴2z＝（1﹣i）22=+-i i12＝﹣2i.故选：A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3. 焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A. x2＝4yB. y2＝4xC. x2＝8yD. y2＝8x 【答案】D【解析】 【分析】根据题意，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题 4. 在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cosB =（ ） A.34B.4C.4D.4【答案】C 【解析】 【分析】由题意可用正弦定理先求出sin B ，再由三角函数中的平方关系及B 角的范围，求出cos B ，进而得到答案. 【详解】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得13sin 32sin 24b A B a ⨯⋅===，∴由B为锐角，可得cos B = 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题. 5. 函数f (x )＝x 1x-是（ ） A. 奇函数，且值域为（0，+∞）B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为（0，+∞）D. 偶函数，且值域为R 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义，求出函数f (x )为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f (x )＝x 1x-，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（﹣x ）﹣（1x -）＝﹣（x 1x-）＝﹣f (x )，即函数f (x )为奇函数， 其导数f ′(x )＝121x+，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R ； 故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题 6. 圆x 2+y 2+4x ﹣2y +1＝0截x 轴所得弦的长度等于（ ） A 2 B. 3 C. 5 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】首先令y ＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长. 【详解】令y ＝0，可得x 2+4x +1＝0， 所以124x x +=-，121=x x ，所以12|AB x x =-==故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单. 7. 设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，则（ ） A. a b b c ->- B.111a b c<< C. 2a b c +> D. 以上三个选项都不对【答案】C 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解. 【详解】设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，所以对于选项A ：当3,2,1a b c ===时，1a b b c -=-=，故错误. 对于选项B ：当0,1,2a bc 时，1a无意义，故错误. 对于选项C ：由于,a c b c >>，所以2a b c +>，故正确. 对于选项D ：由于C 正确，所以选项D 错误. 故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（ ）A.B.2C. 1D.【答案】B 【解析】【分析】两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=. 故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9. 设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.10. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，B C两点重合，所以AB与CD相交，且，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.【答案】30.【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x的项系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值即可求出含x 项的系数.【详解】展开式的通项公式为： ()6166155rr r r rr r T C x C x -+=⋅⋅=⋅⋅，令x 的指数为1，即r ＝1； ∴含x 的项系数为：16530C ＝； 故答案为：30.【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2＝16，a 5＝1，则a 1＝_____；使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝_____. 【答案】 (1). 9 (2). 5. 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2＝16，a 5＝1，可得2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1，d ，可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出. 【详解】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1+a 2＝16，a 5＝1， ∴2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1， 解得：a 1＝9，d ＝﹣2. ∴a n ＝9﹣2（n ﹣1）＝11﹣2n . 令a n ＝11﹣2n ≥0， 解得n 112≤=512+. ∴使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝5. 故答案为：9；5.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【答案】4+45. 【解析】 【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积. 【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为， 该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体. 如图所示：所以212242212S =⨯+⨯⨯+=5故答案为：5【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14. 能说明“若()20m n +≠，则方程2212x ym n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）. 【解析】【分析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）.【详解】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15. 已知函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，且当x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3.有以下三个结论： ①f （-1）12=-； ②当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b ∈Z . 其中，所有正确结论的序号是_____. 【答案】①②. 【解析】 【分析】由题意可得函数f (x )的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f (x )的定义域为R，满足f （x +2）＝2f (x )，x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3，所以f （-1）12=f （-1+2） 12=f （1）12=•（21﹣3）12=-，所以①正确； 对②，f (x )的大致图象如图所示可得当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确 对③，因为x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3＝0， x ＝log 23，又因为f （x +2）＝2f (x )， 所以函数f (x )由无数个零点， 但没有整数零点，所以③不正确； 故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于中当题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是A 1C 1的中点，且AC ＝BC ＝AA 1＝2.（1）求证：BC 1∥平面AB 1D ；（2）求直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）66【解析】 【分析】（1）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，可得BC 1∥DE ，再由直线与平面平行的判定得到BC 1∥平面AB 1D ；（2）由CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，得CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB 1D 的一个法向量与1AB 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ， 由ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，得A 1E ＝BE. 又∵D 是A 1C 1的中点，∴BC 1∥DE. ∵BC 1⊄平面AB 1D ，DE ⊂平面AB 1D ， ∴BC 1∥平面AB 1D ；（2）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直， 故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴()1222AB =-，，，()1120B D =-，，，()020BC =-，，. 设平面AB 1D 的法向量为()n x y z ，，=， 由11222020n AB x y z n B D x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y ＝1，得()211n =，，；设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ. 则sin θ＝|cos n BC ＜，＞|6n BC n BC⋅==⋅. ∴直线BC 与平面AB 1D【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由； （2）求函数()f x 的单调递增区间 【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果. 【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-. 这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2||ππω=， 又因为0>ω，所以2ω=. 由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率tUW=，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x%.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由.【答案】（1）23；（2）分布列见解析；期望为83；（3）不能；答案见解析.【解析】【分析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）t A9196=＞0.9，t B8491=＞0.9，t C6985=＜0.9，t D5474=＜0.9，t E6469=＞0.9，t F6365=＞0.9.∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为42 63 =.（2）X的可能取值有2，3，4，且P（X＝2）22424625C CC==，P（X＝3）314246815C CC==，P（X＝4）4446115CC==，∴X的分布列为：E （X ）＝25⨯+315⨯+4153⨯=. （3）不能认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”. 理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.19. 设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值； （3）证明:()2xx f x e e->. 【答案】（1）1a =；（2）极小值11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解； （3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10xxe e -≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证. 【详解】解：（1）()lnf x a x a '+=， 则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得，1a =， （2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>， 易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时,()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值，证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>， 由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①，所以21ln x x x xx x e e e e -+≥-，故只要证明10x xe e-≥即可，（需验证等号不同时成立）设()1x x g x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增， 所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，② 因为①②等号不同时成立， 所以当0x >时，()2x x f x e e->. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的方程，可求得b 的值，再由椭圆E 的离心率可求得a 、c 的值，由此可得出椭圆E 的方程；（2）设点()()0000,0D x y x y ≠，可得出220044x y -=，求出直线CD 的方程，可求得点P 的坐标，由4OP OQ =⋅，可求得点Q 的横坐标，代入直线AD 的方程可求得点Q 的坐标，验证BQ BC k k =，即可证得结论成立.【详解】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =，由题意可得22310c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A -、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y -=，直线CD斜率为001CD y k x -=，则直线CD 的方程为0011y y x x -=+， 令0y =，可得001x x y =-，即点00,01x P y ⎛⎫⎪-⎝⎭， 设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x -=，直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++，将()0041y x x -=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x -+=+，所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 直线BC 的斜率为101022BC k -==-- 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQy x y x y y y y k x x y x x x y y -+-+===-+-----20000200002214242BC x y y y k y x y y -+==-=--， 又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j ≥b i +1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）. 表1表2（1）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i ﹣j ？等于i +2﹣j 呢？（结论不需要证明）（2）如果b 40，20＝1，且对于任意的i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20，都有b i ，j ﹣b i +1，j ≥1成立，对于任意的m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，19，都有b m ，n ﹣b m ，n +1≥2成立，证明：b 1，1≥78；（3）若a i ，1+a i ，2+…+a i ，20≤19（i ＝1，2，…，40），求最小的正整数k ，使得任给i ≥k ，都有b i ，1+b i ，2+…+b i ，20≤19成立.【答案】（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，；（2）证明见解析；（3）k ＝39. 【解析】 【分析】（1）由1000i j --≥，140i ≤≤，120j ≤≤可知存在表1，使得,100i j b i j =--；若,2i j j i b -+=，则1,12i j j i b +-++=，故,1,10i j i j b b +-=-<，故不存在；（2）对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-成立，进而得()()()1,202,202,203,2039,2040,2039bb b b b b -+-++-≥，故1,2040,203940b b ≥+=，同理由对于任意的1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，得1,11,203878b b ≥+≥.（3）取特殊表1，得39k ≥，再证明39k ≤即可得39k =.【详解】解（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，. 证明：（2）因为对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-.所以1,202,20220320392040201,1,,1b b b b b b -≥--≥≥，，，，.所以()()()1202202203203920402039b b b b b b +++≥---，，，，，，，即12020403940b b ≥+=，，. 由于1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，. 所以1,11,21,21,31,191,202,2,,2b b b b b b ≥--≥-≥所以()()()1112121311912038b b b b b b --++≥-+，，，，，，，即1178b ≥，.解：（3）当表1如下图时，其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意. 重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k ≥39.以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含12.20,,,r r r a a a ，，），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、 则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数. 这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行），的全部实数. 其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j i j b b a ≤≤，（1,2,,20j =）.- 21 - 所以1220122019i i i r r r b b b a a a ++⋯+≤++⋯+≤，，，，，，，所以39k ≤.综上所述39k =.【点睛】本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.。
北京市西城区八中2020届高三上学期数学期中试题附答案解析
【详解】
由平行向量的定义, 若存在 ∈R,使得 a = λb ,则向量 a 与向量 b 共线.但当向量 a 与向量 b 共线时,若 b 为
零向量, a 不为零向量,则不存在 ∈R,使得 a = λb .
故选：B 【点睛】 本题主要考查向量共线的定义与判定,属于基础题型.
5．函数
11．在平面直角坐标系中，点 O(0,0) , P(1,
3)
，将向量
OP
绕点
O
顺时针方向旋转
2
后，得到向量
OQ
，
则点 Q 的坐标是__________
12．已知 e1、e2 是夹角为 60°的两个单位向量，则向量 2e1 e2 与向量 2e2 3e1 的夹角为__________
故选：B 【点睛】
本题主要考查首尾相加的向量运算与共起点的向量减法运算,属于基础题型. 3．函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f(x)=（ ）
A． ex1
B． ex1
C． e x1
D． e x1
【答案】D
【解析】试题分析：与曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y ex ，向左平移 1 个单位得 y e(x1) e x1 ，
（1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求 X 的分布列和数学期望.
18．在四棱锥 P—ABCD 中， PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为炬形，平面 PAB⊥平面 ABCD.AB=2AD，
M，N 分别为 PB，PC 中点.
（1）求证:MN//平面 PAD; （2）求二面角 B—AM—C 的大小；
西城北京市2020年高三二模数学试题及答案(WORD版)
北 京 西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学2020.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2- （D ）{}2,1,0,1,2--02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限03．下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =-（B ）y x x =（C ）1y x -=（D ）y =04．抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =-（C ）1y = （D ）1y =-05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）3506．设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）6（B ）4（C ）3（D ）208．若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞09．若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a 的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．12．若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖____，____．15．在四棱锥P -，,,E F H 分别是棱,,PB BC PD①截面的面积等于②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥P ABCD -四条侧棱中的三条相交． 其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE BF ∥，且22DE BF ==．（Ⅰ）求证：平面BCF ∥平面ADE ； （Ⅱ）求钝二面角D AE F --的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n 项和2()n S n p p =+∈R ，②13n n a a +=-，③611a =且122n n n a a a ++=+这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，_______，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1,,n m a a a 成等比数列，其中*,m n ∈N ，且1m n >>，求m 的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．20．（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =-+）． （Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k -或12k-；（结论不需要证明）． （Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不在在，说明理由．西城区高三诊 断 性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．A 3．B 4．D 5. A 6. B7. D8. A9. A10. D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．12．2y x =± 13．π1 14．乙，丁15．②③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DE BF ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ，所以//BF 平面ADE . ………………3分 同理，得//BC 平面ADE . 又因为BCBF B =，BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以平面//BCF 平面ADE . ………………6分 （Ⅱ）由DE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，得,,DA DC DE 两两垂直，故分别以,,DA DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ………………7分则(0,0,0)D ，(0,0,2)E ，(2,2,1)F ，(2,0,0)A ， 所以(2,0,2)AE =-，(0,2,1)AF =. ………8分 设平面AEF 的法向量(,,)x y z =n ， 由0AE ⋅=n ，0AF ⋅=n ，得220,20,x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1y =，得(2,1,2)=--n .………………11分 平面DAE 的法向量(0,1,0)=m .设钝二面角D AE F --的平面角为θ，则1|cos ||cos ,|||||||3θ⋅=<>==⋅m n m n m n ，所以1cos 3θ=-，即钝二面角D AE F --的余弦值为13-. ………………14分17．（本小题满分14分） 解：选择 ①：(Ⅰ) 当1n =时，由111S a ==，得0p =. ……………… 2分 当2n ≥时，由题意，得21(1)n S n -=-， ……………… 3分所以121n n n a S S n -=-=-（2n ≥）. ……………… 5分 经检验，11a =符合上式，所以21()n a n n =-∈N *. ……………… 6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21nm a a a =，……………… 8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+，……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 有最小值5．……………… 14分选择 ②:(Ⅰ)因为13n n a a +=-，所以13n n a a +-=．………………2分所以数列{}n a 是公差3d =的等差数列． ………………4分所以1(1)32()n a a n d n n =+-=-∈N *. ………………6分(Ⅱ)由1,,n m a a a 成等比数列，得21n m a a a =，……………… 8分即2(32)1(32)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22223423()33m n n n =-+=-+，………………11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 取到最小值6．………………14分 选择 ③：(Ⅰ) 由122n n n a a a ++=+，得121n n n n a a a a +++-=-. 所以数列{}n a 是等差数列．……………… 2分又因为11a =，61511a a d =+=， 所以2d =． ……………… 4分所以1(1)21()n a a n d n n =+-=-∈N *. ………………6分(Ⅱ) 因为1,,n m a a a 成等比数列，所以21nm a a a =，………………8分 即2(21)1(21)n m -=⨯-. ……………… 9分化简，得22112212()22m n n n =-+=-+，……………… 11分因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >， 所以当2n =时，m 有最小值5．……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， ……………… 1分由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=， 解得 2.4a =.……………… 2分由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=，………… 3分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2.因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=.……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=，(25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=， (40)0.30.30.09P X ==⨯=.……………… 9分所以X 的分布列为：……………… 10分故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了.…… 14分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =， …………… 3分 从而b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．… 5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-，(3,3)FQ =，故0FP FQ ⋅=，即90PFQ ∠=．…………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠． ……………… 7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=． ……………… 8分 由题意，知0∆>恒成立，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．………… 9分直线MA 的方程为11(2)2yy x x =--． ……………… 10分令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -． ……………… 11分同理可得222(4,)2y Q x -． ……………… 12分 所以112(3,)2y FP x =-，222(3,)2y FQ x =-． 因为121249(2)(2)yy FP FQ x x ⋅=+--212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++22222222241284(1)434394121644343k k k k k k k k k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=． 综上，90PFQ ∠=.……………… 14分20．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-， ……………… 2分 解得0a =.验证知0a =符合题意. ……………… 4分 （Ⅱ）()e sin x f x x '=-. ……………… 6分 由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-， ……………… 7分 则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >. ………………9 分 （Ⅲ）由()e cos 0xf x a x =+=，得a = 设函数cos ()e xxh x =-，[0,π]x ∈ ……………… 10分 则sin cos ()e xx xh x +'=. ……………… 11分令()0h x '=，得3π4x =.随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在3(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减. ……………… 13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=， 所以当3ππ4[e ,)a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)k a 可以等于1k -，但k a 不能等于12k-. ……………… 3分 (Ⅱ) 记b a -为区间[,]a b 的长度，则区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1.由①，得100N ≥. ……………… 6分 又因为1[0,1]I =，2[1,2]I =，，100[99,100]I =显然满足条件①，②.所以N 的最小值为100. ……………… 8分 (Ⅲ)N 的最大值存在，且为200. ……………… 9分 解答如下：（1）首先，证明200N ≤. 由②,得12,,,N I I I 互不相同，且对于任意k ，[0,100]kI ≠∅.不妨设12n a a a <<<<.如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(2,3,,)i N =.这与题意不符，故20a >. ……………… 10分 如果111k k a a +-+≤，那么11k k k I I I -+⊆，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+”矛盾，故111k k a a +->+.所以4211a a >+>，6412a a >+>，，200198199a a >+>，则2001100a +>. 故12200[0,100]I I I ⊇.若存在201I ，这与条件②中“存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉(1,2,,200)i =”矛盾，所以200N ≤. ……………… 12分 （2）给出200N =存在的例子 .令1100(1)2199k a k =-+-，其中1,2,,200k =，即12200,,,a a a 为等差数列，公差100199d =.由1d <，知1kk I I +≠∅，则易得122001201[,]22I I I =-，所以12200,,,I I I 满足条件①.西城区2020年高三二模数学试题及答案(WORD 版)11 / 11 又公差10011992d =>， 所以100(1)199k k I -∈，100(1)199i k I -∉(1,2,,1,1,)i k k N =-+.（注：100(1)199k - 为区间k I 的中点对应的数）所以12200,,,I I I 满足条件②.综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200. ……………… 14分。
北京市西城区北京师范大学第二附属中学2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
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【详解】由已知得
32
42 b2
1，
解得 b 2 或 b 2 ，
因为 b 0 ，所以 b 2 .
因为 a 1 ，
所以双曲线的渐近线方程为 y 2x .
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考
必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的 a, b 密切相关，事实上，标准方程中化 1 为
f
2 2019
f
3 2019
…
f
2018 2019 ，
则
2M
f
1 2019
f
2018 2019
f
2 2019
f
2017 2019
…
f
2018 2019
f
1 2019
2018
f
1 2019
f
2018 2019
4036
，
所以 M 2018 .
t
x
t
1
x
|1
x
4
1 t
，故
{ t
1
1 4
2
t
3
，故选
A.
2
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6.在等比数列an 中， a1 3 ，前 n 项和为 Sn ，若数列an 1 也 是等比数列，则 Sn 等于
()
A. 2n1 2
【答案】B
B. 3n
C. 2n
D. 3n 1
【解析】
【分析】
先 设 等 比 数 列 an 的 公 比 为 q ， 根 据 数 列 an 1 也 是 等 比 数 列 ， 得 到 a2 12 a1 1 a3 1 ，求出 q 1，进而可求出结果. 【详解】设等比数列an 的公比为 q，又数列an 1 也是等比数列，
北京市西城区 2020届高三第一次模拟考试 (数学)解析版
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：在边长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，四棱锥 C1 − ABCD 满足条件，故
{ } S = 2, 2 2, 2 3 ，得到答案.
【详解】如图所示：在边长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，四棱锥 C1 − ABCD 满足条件.
-4-
当 a 与 b 共线，方向相反时， a + b ≠ a + b ，故不必要.
故选： A .
【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
9.已知函数 f ( x) = sinx 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的
1+ 2sinx
图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
故选： B .
【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.
3.下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（ ）
A. y= x + 2
B. y = sinx
C. y= x − x3
【答案】C
D. 20
D. y = 2x
-1-
【解析】 【分析】 依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. y= x + 2 ，值域为 R ，非奇非偶函数，排除；
B. (2，3)
C. (−∞，0) ∪ (2，3)
D. (−∞，3)
【答案】C 【解析】 【分析】 直接求交集得到答案.
【详解】集合 A ={x | x < 3}，B ={x | x 0或x 2} ，则 A ∩ B = (−∞，0) ∪ (2，3) .
故选： C .
【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.
北京市西城区北京师范大学附属实验中学2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
北京市西城区北京师范大学附属实验中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。
每小题5分，共40分）1.已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()UA B ⋂=（ ）A. ()(),35,-∞+∞B. (](),35,-∞+∞C. (][),35,-∞+∞D. ()[),35,-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】先计算集合B ，再计算A B ，最后计算()UA B ⋂．【详解】解：{}27100B x x x =-+<{|25}B x x ∴=<<，{}37A x x =≤<{|35}AB x x ∴=<，()[)U ,35(,)AB -∞+∞∴=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题． 2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. cos y x =B. sin y x =C. ln y x =D.21y x =+【答案】A 【解析】由选项可知，,B C 项均不是偶函数，故排除,B C ，,A D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.【此处有视频，请去附件查看】3.己知函数()f x 满足(2)1f =，设()00f x y =，则“01y =”是“02x =”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义可判断“01y =”与“02x =”的关系.【详解】若02x =，则()()0021y f x f ===，故“01y =”是“02x =”的必要条件， 取()()()231f x x x =--+，若()1f x =，则2x =或3x =，故“01y =”推不出“02x =”，故“01y =”是“02x =”的不充分条件， 综上，“01y =”是“02x =”的必要不充分条件.故选B.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.4.要得到函数2log (24)y x =+的图象，只需将函数2log (2)y x =+的图象（ ） A. 向左平移2个单位长度 B. 向右平移2个单位长度 C. 向上平移1个单位长度 D. 向下平移1个单位长度【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算法则先进行化简，结合函数的图象变换法则进行判断即可． 【详解】解：22222log (24)log 2(2)log 2log (2)1log (2)y x x x x =+=+=++=++，故只需将函数2log (2)y x =+的图象向上平移1个单位长度，即可得到2log (24)y x =+， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象与变换，结合对数的运算法则是解决本题的关键，属于基础题．5.已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>,以下有四个命题： ①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S > ④110S < 其中正确的序号是（ ） A. ②③ B. ②③④C. ②④D. ①③④【答案】B 【解析】∵564S S S >>，∴65600a a a +，，∴500a d ><， ∴数列{}n a 中的最大项为5S ，()()110105610502a a S a a +==+>，()111116111102a a S a +==<∴正确的序号是②③④ 故选B6.已知函数2sin()(,)y x Z ωϕωπϕπ+=+∈-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A. 3，3π-B. 3，6π-C. 2，6π D. 2，3π 【答案】D 【解析】【分析】 由图可得223T T π<<，由此求得2ω=，再由函数的周期可得点(6π，)a 在函数的图象上，然后利用对称性以及五点作图法列式求得ϕ的值． 【详解】解：由图可得223T T π<<， 即223πππωω<<， 332ω∴<<，可得2ω=， ∴函数2sin(2)y x ϕ=+． ∴22236T πππ==-，则点,6a π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数的图象上． 再根据函数图象的对称性以及五点法作图可得(0)(2)622πϕϕπ++⨯+=，解得3πϕ=，故选：D ．【点睛】本题考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，正弦函数的图象的对称性、正弦函数的周期性，五点法作图，属于中档题．7.设函数()266,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x ，使得()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）．A. 2026,33⎛⎤⎥⎝⎦ B. 2026,33⎛⎫⎪⎝⎭ C. 11,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 11,63⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 分析】分析题意，将问题转化为：方程()f x a =有三个解1x ，2x ，3x ，此时可利用数形结合思想分析123x x x ++的取值范围.【详解】设()f x a =有三个解1x ，2x ，3x ，不妨令123x x x <<，作出()f x 和y a =图象如图所示：因为()226633y x x x =-+=--顶点坐标为()3,3-，所以()3,4a ∈-；由图象可知：23,x x 关于3x =对称，所以236x x +=；令343x +=-，73x =-，令344x +=，0x =，所以17,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；所以()12311,63x x x ⎛⎫ ⎪⎝+∈⎭+. 故选D.【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查了数形结合的思想，难度较难.通过数形结合，可将抽象的函数零点个数或者方程根的数目转化为直观的函数图象的交点个数.常见数形结合思想的应用角度：（1）确定方程根或者函数零点数目； （2）求解参数范围； （3）求解不等式的解集； （4）研究函数的性质. 8.已知函数()e 2x f x ax =+-，其中a R ∈．若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x ⋅-⋅<-成立，则a 的取值范围是（ ）A. [1,)+∞B. [2,)+∞C. (,1]-∞D. (,2]-∞【答案】D 【解析】 【分析】 将不等式变形为：1212()()f x a f x a x x ++<恒成立，构造函数()()f x ah x x+=，转化为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立，为了求a 的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围． 【详解】解：对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，∴不等式等价为1212()()f x a f x ax x ++<成立， 令()()f x ah x x+=，则不等式等价为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立， 即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数；2()x e ax a h x x+-+=，则22()0x x xe e ah x x-+-'=在(1,)+∞上恒成立； 20x x xe e a ∴-+-；即2x x a xe e --恒成立，令()x x g x xe e =-，()0x g x xe ∴'=>；()g x ∴在(1,)+∞上增函数；()()10g x g ∴>=；20a ∴-；2a ∴．a ∴的取值范围是(,2]-∞．故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 9.已知()1sin 3πα+=-，且α是第二象限角，则sin 2α=______.【答案】42- 【解析】 【分析】根据诱导公式可以得到sin α的值，结合α为第二象限角得到cos α的值，最后利用二倍角的正弦得到要求的正弦值. 【详解】由题设有1sin 3α=，因为α是第二象限角，所以222cos 1sin 3αα=--=-， 故42sin 22sin cos αα==-. 【点睛】（1）()k k Z πα+∈与α的三角函数的关系是“函数名不变，符号看象限”； （2）α的三个三角函数值只要知道其中一个，就可以求出另外两个，求值时要关注角的终边的位置.10.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比为__________． 【答案】13【解析】【详解】2112131,(1),(1),S a S a q S a q q ==+=++由1S ，22S ，33S 成等差数列得21343S S S =+，即21114(1)3(1),a q a a q q +=+++则230,q q -=所以13q =或0q =（舍）， 故答案为13. 11.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =_________．【答案】【解析】∵3sinA＝5sinB ，∴3a＝5b.① 又∵b＋c ＝2a ，② ∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b. ∴cosC＝2222b a c ab+-＝2225733523b b b b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯＝－12. ∴C＝23π. 【此处有视频，请去附件查看】12.已知()()2240()40x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()2(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(2,1)- 【解析】 【分析】判断函数()f x 的单调性，利用单调性()2(2)f a f a ->转化为自变量的不等式，即可求解.【详解】()f x 在区间(,0],(0,)-∞+∞都是增函数， 并且在0x =处函数连续，所以()f x 在R 上是增函数，()2(2)f a f a ->等价于222,20a a a a >+-<-，解得21a -<<. 故答案为:(2,1)-【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题. 13.函数()f x 满足下列性质： （1）定义域为R ，值域为[1,)+∞． （2）图象关于2x =对称．（3）对任意1x ，2(,0)x ∈-∞，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-．请写出函数()f x 的一个解析式__________（只要写出一个即可）． 【答案】2()45f x x x =-+ 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式2()(2)1f x x =-+， 此时()f x 对称轴为2x =，开口向上，满足（2）， 因为对任意1x ，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，等价于()f x 在(,0)-∞上单调减， ∴2()(2)1f x x =-+，满足（3），又2()(2)11f x x =-+≥，满足（1），故答案为()245f x x x =-+．【点睛】本题主要考查二次函数的对称性、二次函数的单调性以及二次函数的值域，意在考查综合运用所学知识，灵活解答问题的能力，考查了转化与划归思想、数形结合思想的应用，属于难题.14.已知函数2211,2(){1ln(1),2x x x f x x x +<-=+≥-和2()44g x x x =--，若存在实数a 使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围为__________．【答案】[1,5]- 【解析】 当21x <-时,()()1111210,212,211,214212x x x x x ⎡⎤+<++≤-∴++-≤-⎢⎥++⎣⎦ 221x x +∴= ()()()[)22111,01111112121[21]4244212x x x x x +=∈-+-++++-+;当21x ≥-时,()[)1ln 1ln,()1,2x f x +≥∴∈-+∞,若存在a R ∈使()()0f a g b +=,则()2441g b b b =--≤,即2450b b --≤,解得15b -≤≤,故填[]1,5-.点睛：本题考查学生的是函数的应用问题,属于中档题目.首先求出分段函数的值域,一段根据对数函数的单调性,另外一段利用对勾函数的性质以及基本不等式和反比例的值域求得,根据题意()()0f a g b +=,即方程有解问题,从而限制b 的范围,解出不等式即可. 三、解答题（本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.已知函数()sin sin )f x x x x =-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当2(0)3x π∈，时，求()f x 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）T π=；（Ⅱ）31(,]22- 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数()f x 的解析式为1sin(2)62x π+-，由此求得()f x 的最小正周期． （Ⅱ） 因为203x π<<，根据正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）因为函数2()sin sin )cos sin f x x x x x x x =--1cos211122cos2sin(2)22262x x x x x π-=-=+-=+-， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==． （Ⅱ） 因为203x π<<，所以，32662x πππ<+<，1sin(2)16x π∴-<+，311sin(2)2622x π-<+-， 所以()f x 的取值范围是31,22⎛⎤-⎥⎝⎦． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16.在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且222a b c bc =++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1,2B C b +==，试求△ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）2.3A π=； 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用条件结合余弦定理，可求A 的大小；（Ⅱ）利用和差的三角函数求出2b c ==，再利用三角形的面积公式可得结论． 【详解】解：（Ⅰ）222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-1cos 2A ∴=-，(0,)A π∈， 23A π∴=（Ⅱ）sin sin 1B C +=，∴sin sin 13B B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴sin sincos cossin 133B B B ππ+-=，∴sincos cossin 133B B ππ+=，∴sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又B 为三角形内角，故30BC ==︒．所以2b c ==所以1sin 2ABC S bc A ∆==【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12n T <. 【答案】(1) 12n n a ，21n b n =- (2)见解析【解析】【详解】试题分析：（1）由题中所给条件得21n n a S =+，即21n n S a =-，这是前n 项和n S 与项n a 的关系，我们可以利用1n n n S S a --=把此式转化为数列的项的递推式12n n a a -=，从而知数列{}n a 是等比数列，通项易得，这样等差数列的111b a ==，437b S ==，由基本量法可求得等差数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 是由等差数列相邻两项相乘后取倒数所得，其前n 项和应该用裂项相消法求得，而当求得n T 后，所要证的不等式就显而易见成立了． （1）∵n a 是n S 和1的等差中项，∴21n n S a =- 当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，∴12n na ，21n n S =-设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d =∴1(1)221n b n n =+-⨯=- （2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ ∴11111111(1...)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ ∵*n N ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ 考点：（1）已知数列前n 项和n S 与项n a 的关系，求通项公式，等差数列、等比数列通项公式；（2）裂项相消法求和与不等式．18.已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b的取值范围．【答案】(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2) 211b e -≤【解析】【详解】分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx﹣2⇔1+1x﹣lnxx ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x﹣lnxx ，g （x ）min 即为所求的b 的值详解：（1）在区间()0,∞+上， ()11ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x a=， 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在区间1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-，即1ln 1+x b x x-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1xg x x x=+-，则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=， 易得()g x 在(20,e ⎤⎦上单调递减，在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增，所以()()22min 11g x g ee ==-，即211b e -≤.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x > 19.已知函数()2()33xf x x x e =-+的定义域为[]2,t -，设(2)f m -=，()f t n =. （Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；（Ⅱ）求证：m n <；（Ⅲ）求证：对于任意的2t >-，总存在0(2,)x t ∈-，满足()020()213x f x t e '=-，又若方程()020()213x f x t e '=-在(2,)t -上有唯一解，请确定t 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(2,0]-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导得2()(23)(33)(1)x x x f x x e x x e x x e '=-+-+=-，从而可得()f x 在(,0)-∞，(1,)+∞上递增，在(0,1)上递减，从而确定t 的取值范围；（Ⅱ）借助（Ⅰ）可知，()f x 在1x =处取得极小值e ，求出213(2)f m e e -==<，则()f x 在[2-，)+∞上的最小值为(2)f -，从而得证；（Ⅲ）化简02000()x f x x x e '=-，从而将020()2(1)3x f x t e '=-化为22002(1)3x x t -=-，令222()(1)3g x x x t =---，则证明方程222(1)03x x t ---=在(2,)t -上有解，并讨论解的个数；由二次函数的性质讨论即可．【详解】（Ⅰ）因为()2()33(23)(1)x x xf x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅， 令()0f x '>，得：1x >或0x <；令()0f x '<，得：01x << 所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减， 要使()f x 在[2,]t -为单调函数，则20t -<≤ 所以t 的取值范围为(2,0]-（Ⅱ）证：因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以()f x 在1x =处取得极小值()1f e =. 又213(2)f e e-=<，所以()f x 在[2,)-+∞的最小值为(2)f -， 从而当2t >-时，(2)()f f t -<，即m n < .（Ⅲ）证：因为()00200x f x x x e '=-，所以()0022(1)3x f x t e '=-，即为22002(1)3x x t -=-令222()(1)3g x x x t =---，从而问题转化为证明方程222()(1)03g x x x t =---=在(2,)t -上有解，并讨论解的个数，因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-， 221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-当4t >或21t -<<时，(2)()0g g t -⋅<，所以()0g x =在(2,)t -上有解，且只有一解. ②当14t <<时，(2)0g ->且()0g t >，但由于22(0)(1)03g t =--<，所以()0g x =在(2,)t -上有解，且有两解③当1t =时，由2()0g x x x =-=得：0x =或1x =，()0g x =在(2,)t -上有且只有一解； 当4t =时，由2()60g x x x =--=得：2x =-或3x =，所以()0g x =在(2,4)-上也只有一解综上所述，对任意的2t ≥-，总存在0(2,)x t ∈-，满足()0022(1)3x f x t e '=- 当方程()0022(1)3x f x t e'=-在(2,)t -上有唯一解，t 的取值范围为(2,1][4,)-⋃+∞【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于难题．20.对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}12max ,,k k b a a a =…－{}12min ,,,k a a a …()1,2,3k ∈…，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中，{}12max ,,,k a a a ，{}12min ,,,k a a a 分别表示12,,,k a a a …中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.（1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （3）若()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，求所有满足该条件的{}n a .【答案】（1）()1n n -（2）证明见解析（3）所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩ 【解析】 【分析】（1）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，{}12max ,,,n n a a a a =，{}121min ,,,n a a a a =，从而易得n b ； （2）利用{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≤，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≥，可证{}n b 是不减数列（即1n n b b +≤），而10b =，由此可得{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（3）首先，由已知，当1n =时，11a a =；当2n =时，221b a a =-，21a a ≥；当3n =时，()()3213132b a a a a =-+-（*），这里分析3a 与12,a a 的大小关系，31a a <，132a a a ≤<均出现矛盾，32a a ≥，结合(*)式可得32a a =，因此猜想12.1,2na n a a n =⎧=⎨≥⎩（21a a ≥），用反证法证明此结论成立，证明时假设k a 是首次不符合1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，这样题设条件变为()()221112222k k k k k k k k a a a b +---+=+（*），仿照讨论3a 的情况讨论k a ，可证明． 【详解】解：（1）由21n a n =+可得{}n a 递增数列，所以{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为()2212n n n n -⨯=-. （2）因为{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≤，{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +=≥，所以{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++--≥所以()11,2,3,n n b b n +=≥.又因为1110b a a =-=，所以{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b . （3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=可得当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾； 若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得()32133a a a a -=-， 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤矛盾；若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=的数列{}n a 是：1212,1,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=+++=++++-=+⎡⎤⎣⎦， 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+. 下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件. 法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得()()221112222k k k k k k k k a a a b +---+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾； 若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤矛盾；所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠矛盾. 所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，{}{}11212max ,,,min ,,,i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以()()1121,1,2,3,,kik i a a b bb k n =-+++=∑≤即()()112,1,2,3,,k k S ka b b b k n ++++=≤由()11,2,3,n n b b n +=≥可得()1,2,3,,k n b b k n =≤又10b =，所以可得()()111,2,3,k n S ka k b k +-=≤，所以()()121112021n n n n n S S S a a na b b b n b +++++++⨯++++-⎡⎤⎣⎦≤，即()()1211122n nn n n n S S S a b+-++++≤所以()()1211122n nn n n n S S S a b+-++++≤等号成立的条件是()11,2,3,,i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查学生创新意识．第（1）（2）问直接利用新概念“收缩数列”结合不等关系易得，第（3）问考查学生的从特殊到一般的思维能力，考查归纳猜想能力，题中讨论3a 与21,a a 大小关系是解题关键所在．本题属于难题．。
北京市东城区2020届高三第一学期期末数学试题(word版含答案)
北京市东城区2020届第一学期末统一检测 高三数学 2020.1本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{|1}A x x =≤，()(){|210}B x x x =-+<，那么A B =I (A){|12}x x -<< (B){|11}x x -<≤ (C){|12}x x <≤(D){|11}x x -<≤(2)复数z=i(i 1)-在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)∞，上单调递增的为 (A)1y x=(B)ln y x = (C)2xy -=(D)1y x =-(4)设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b π>π”的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A)若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥(B) 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ (C)若n α∥，m n ⊥，则m α⊥(D)若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为 (A)7 (B) 9(C)10(D)13(7)设αβ，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)若2αβπ+<，则sin sin αβ+<若2αβπ+<，则cos cos αβ+<(C)若2αβπ+>，则sin sin 1αβ+>(D)若2αβπ+>，则cos cos 1αβ+>(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论： ①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) ① (B)②③ (C) ① ② (D) ① ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析
东城区2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学第一部分(选择题共40 分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A x|x 1 ，B {x|(x 2)(x1)0} ，那么AI B ( )A. x| 1 x 2B.x|1x1C. x|1 x 2D.x|1x1【答案】D【解析】【分析】即可求解求得集合B {x| 1 x2} ，结合集合的交集的运算，【详解】由题意，集合 B {x|(x 2)(x 1)0}{x|1x 2} ，所以AI B x| 1 x 1 .故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 复数z i(i 1)在复平面内的对应点位于( )A. 第一象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】z 1 i ，对应点为( 1, 1) ，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3.下列函数中，是偶函数，且在区间0,上单调递增的为（1 A. y —B . y ln|x|xy 1 |x|【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法, 【详解】由题意，对于 A 中，函数f x 对于B 中，函数f xln|x|满足f x当x 0时，函数y Inx 为0,上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数y 2x 为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，y 1 |x|为偶函数，当x 0时，函数y 1 x 为单调递减函数，不符合题意, 故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法， 以及初等函数的性质是解答的关键， 着重考查了推理与论证 能力，属于基础题.4.设a, b 为实数，则“ a b 0 ”是“ a b ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数f xx为单调递增函数，结合充分条件和必要条件判定方法，即可求解.X【详解】由题意，函数 f x为单调递增函数，当a b 0时，可得fa f b ，即a b 成立,C. y 2xD.以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.1 f x ，所以函数为奇函数，不符合题意；xIn | x| l n|x| f x ，所以函数为偶函数，b，即f a f b 时，可得a b ，所以a b 0 不一定成立，所以“ a b 0”是“ a b”的充分而不必要条件故选：A.点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5. 设，是两个不同的平面，m,n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若m , m n，则n//B.若，m , n ，则mnC. 若n/ / ，m n ，则mD. 若/ / ，m ，n ，则m// n【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.详解】由题意，对于 A 中，若m，所以不正确；对于 C 中，若n/ / 可能平行，相交或在平面内，所以不正确；对于D中，若//，n ，则m与n平行、相交或异面，所以不正确;对于 B 中，若，n ，，根据线面垂直的性质，可证得m n 成立，故选：B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6. 从数字1，2，3，4，5 中，取出3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A. 7B. 9C. 10D. 13【答案】C【解析】【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4 , 1,2,3 , 2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有C3 3种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有A 6种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有3 6 1 10种不同排法，即这样的数共有10个•故选：C【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.设是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（)A若，贝U sin sin 2 B.若-，则22cos cos&C.若—贝y sin sin 1D.若—,则2，2cos cos1【答案】A【解析】【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案【详解】对于A中，因为-，则04' 4又由sin sin 2sin ------------------- c os -------- 2sin—cos --------2 2 4 2所以sin sin 、2是正确的；1 ,恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论•如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：对于B中，例如—, —,此时cos cos—.32，6 6 6 6所以COS cos2不一定成立，所以不正确；对于C中，因为，例如5,时, sin 5sin —2 6 12 6 12所以sin sin1不正确；对于D中，因为，例如牛，2时，cos 2cos—2 3 6 3 6所以cos cos1不正确，故选: :A.6 2.32其中解答熟记三角8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距O1O2 4，球的半径为.3，则所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大其中，所有正确结论的序号是（）A.①B.②③C.①②D.①②③【答案】C【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用, 以及三角函数值的应用,2 2 2 2 2 2即 |OC b a ,所以 |OC a b ，由OO 4，可得OQ 2，又由球的半径为 3，即R .3， 在直角 OQC 中，OC|2 OO i 2 R 2 22 (T3)2 1，由①可知，即c 1，所以2c 2，即椭圆的焦距为 2，所以②是正确的；RRR c xsin由①可得a，c，所以椭圆的离心率为etancossi ntana R tan sin所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用， 其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征， 以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档【解析】 【分析】R设圆柱的底面半径为 R ，根据题意分别求得b R , a — , OCsin的结合性质，即可求解•R tan，结合椭圆【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示, 2b 2R ，即 b R ，长轴长为c 2R 2a-，即a Rsinsin在直角O 1OC 中， O 1C可得— tan ，即 OCO 1C ROCtantan2 2又由OCb 2R 2 tan 2R 2 R 2 11 tan 2R 2 sin 2又因为椭圆中c 2a 2b 2，所以 OCc ,即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的;所以当当圆柱的轴与 设圆柱的底面半径为 R ，根据题意可得椭圆的短轴长为 故选：C第二部分（非选择题共110分）—y1m3 2【答案】 4【解析】【分析】结合双曲线的几何性质，得到m 13 2，即可求解，得到答案.22 2【详解】 由题意，双曲线y 2 1与 1有相同的焦点，m32可得m 1 3 2，解得 m 4.故答案为 :4.【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用， 其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题10.已知a n 是各项均为正的等比数列，S n 为其前n项和，右a 1 6， a 2 2a 3 6，则公比q，S 4【答案】(1).丄45⑵.24【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，得到2q 21q 10，求得q ?再由等比数列的前 n 项和公式，求得S 4，得到答案.【详解】 由题意，在数列On 是各项均为正的等比数列，因为4 6， a 22a 36，可得眄 2a 1q 2 6q 12q 2 6，即2q2q 1 0，解得1q 一或q21 （舍去），22x2x2试题•、填空题共 6小题，每小题5分，共30分.则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即3 .10 m3 -10，所以命题为真命题的一个 m 的值为0 . 故答案为：0 .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得 m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.uuu uuur uuur uuur uuir umr12.在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ，| AC | 4，|BD |2，则四边形ABCD 的面积是 __________【答案】4 【解析】又由等比数列的前n 项和公式，可得S 4145 故答案为：丄，45 •241 46口（2）］452【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式, 以及等比数列前n 项和公式的应用,其中解答中熟练等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11.能说明“直线x y m 0与圆x 2 y 2 4x 2y0有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为 __________ 【答案】0 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径,的取值范围，即可求解 【详解】由题意，圆 x 2y 4x 2y 0的圆心坐标为（2,1），半径为r若直线x y m 0与圆x 22 — —y 4x 2y 0有两个不同的交点,，解得【分析】菱形，即可求得四边形的面积，得到答案 【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中，uuu AB uuu AC uuu AC uuu AD ，uuu uiuu u uu uuu uuu luuu iuu可得 AB AC AC (AD AB) AC BD 0，所以 uuu AC uuu BD所以四边形ABCD 是菱形，uuu uuu1 又由|AC | 4，|BD| 2，所以面积为S — 4 24.2故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算,答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13.已知函数 f(x) 2sin( x)(0)，曲线yf x 与直线y相父，若存在相邻两个交点间的距离为 一，则6的所有可能值为-【答案】2或10【解析】【分析】令 2sin( x ) 、、3，解得x 2k, k Z 或 x2 2k,k Z , 33 根据存在相邻两个交点间的距离为，得到x 2 x 16 2 13w 6或x2 5 x 1,即可求3w 6解，得到答案【详解】由题意，函数 f (x) 2sin( x)(0)，曲线yf x 与直线y , 3相交,令 2sin(x )、3，即 sin( x )2解得 x2k, k Z 或 x 32k23'k Z，由题意存在相邻两个交点间的距离为 —，结合正弦函数的图象与性质，62可得2k w(x 2 xj, k Z ，令 k 0,可得 x 2 x 1，解得 w 2.3 33w 6uuu umr 由 AB AC uu ur ACuuur 一AD ，根据向量的线性运算，/口— uuu 得到ACuuuBD ，进而得到四边形ABCD 是其中解答熟练应用向量的减法运算公式, 以及向量的数量积的公式, 求得四边形为菱形是解72 5 或2kw （X 2 X i ）, k Z ，令 k 0，可得 X 2 x i，解得 w 10.333w 6故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用， 以及三角方程的求解， 其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质， 列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题•14•将初始温度为0 C 的物体放在室温恒定为 30 C 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为 t n ，已知t i 0 C .已知物体温度的变化与实验室和 物体温度差成正比（比例系数为k ）•给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ________________ ：（填写模型对应的序号）k① t n 1 t n - 30 ；笑 t n 1 人 k 30 t n 二③—k 30 t n • 〔n 30在上述模型下，设物体温度从 5 C 升到10 C 所需时间为amin ，从10 C 上升到15 C 所a b需时间为bmin ，从15 C 上升到20 C 所需时间为Cmin ，那么一与—的大小关系是b c_________ （用“ ”，“ ”或“ ”号填空）【答案】 （1）. ②（2）.【解析】 【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到 t n 1 t n k 30 t n ，再根据函数模型，分别求得 k 的值，结合作差比较，即可得到答案 .【详解】由题意，将第 n 次测量得到的物体温度记为t n ，则两次的体温变化为t n 1 t n ，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）,所以t n 1 t n k 30 t n ，5 C 升到10 C 所需时间为amin ，可得10 5 k 30 5，可得k 空125 5110 C 上升到15 C 所需时间为bmin ，可得15 10 k 30 10，可得k -， 415 C 上升到20 C 所需时间为cmin ，可得20 15 k 30 15，可得当物体温度从 当物体温度从 当物体温度从40,2 3题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在 ABC 中，已知 csi nA 、.3acosC 0. (1 )求 C 的大小;(2)若b 2，c 2.3，求ABC 的面积.2【答案】(1) C ( 2)33【解析】 【分析】(1)由正弦定理可得 si nCsi nA , 3cosC si nA 0，求得si nC 、、3cosC 0，即可求解C 的大小;可是a-m,b 51 m , cac b 2 bca b即a 与的大小关系是b c故答案为：②，1 c m, m 0， 31 1 m 5 3 1 m 4b1 J 、2m （一 m ）4 1m 31 2 1 2 m m 15 16 1 2 m 121 1 15 16 1 12【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择,以及实际应用问题的求解, 其中解答中认真审40,2 3结合三角形的面积公式，即可求解【详解】(1)因 csi nA 、. 3acosC 0，由正弦定理可得sin C si nA . 3 cosC si nA 0，又因为 A (0,)，所以 si nA 0，所以 sin C 3 cosC 0，即 tanC 、3， 又因为0 C ，所以 C(2)由正弦定理，可得sinB-，得到2B，进而得到6（2）由正弦定理，可得.厂bsinCQin R2乜,2 1，2.3 2 c又因为0 B ，所以B —，所以 A B C -3 661所以ABC的面积S -bcsin A 1 223 —j73.222【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题16.2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放•从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%)人巔占比■（1 ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，禾U用期望的公式，即可求解（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为P （D），即可得到结论.【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即270 530 0.8 .1000(2)由题意X 的所有可能值为0,1,2， 记事件A “从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级 5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人, 该学生愿意为升级5G 多支付 10元或 10元以上”，由题意可知，事件 A ，B 相互独立，且P(A)1 40%0.6， P(B) 1 45% 0.55，所以 P(X 0) P(AB) (1 0.6)(10.55) 0.18，P(X 1) P(AB A B ) P(AB)P(AB) P(A)(1 P(B)) (1 P(A)P(B)0.6 (1 0.55) (1 0.6) 0.55 0.49，P(X 2) P(AB) 0.6 0.550.33，所以X 的分布列为故 X 的数学期望 E(X) 0 0.18 1 0.49 2 0.33 1.15.(3)设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取 3人，这三位学生都已签约 5G 套餐”，C 3 那么P(D) 严 0.02. C 1000回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为 0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值， 计算得出概率，列出离散 型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望， 其中列出离散型随机变量 概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题17.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，BB! 平面ABC , AB BC , AA AB BC 2 .(1)求证：BC1平面ABC ；(2)求异面直线B1C与AB所成角的大小；B1M(3)点M在线段BC上，且石((0,1))，点N在线段AB上，若MN //平面B〔CAACG，求A^NB的值(用含的代数式表示).【答案】(1)证明见解析(2) — ( 3)13【解析】【分析】(1)根据三棱柱ABC A1B1C1的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得AB 平面3BCG，得到A1B1 BC1，再利用线面垂直的判定定理，即可证得BC1平面A B1C；umr uuur(2 )由(1)得到AB BC,建立空间直角坐标系B xyz，求得向量B1C,A1B，利用向量的夹角公式，即可求解.(3)由旦丛，得M (2 ,0,2 2 )，设樂，得N (0,2 2 ,2 2 )，求得向B1C A1Buuiu uuuu r量MN的坐标，结合MN / /平面A1ACC1，利用M N n0，即可求解.【详解】(1)在三棱柱ABC A1B1C1中，由BB1平面ABC，所以BB1平面A1B1C1,又因为BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面A1B1C1，交线为B1C1.又因为AB BC，所以A1B1 B1C1，所以AB1 平面BBCG .因为BC1平面B1BCC1，所以AB BC1又因为BB i BC 2，所以B i C BC i , 又A B i I BQ B i，所以BG 平面A BC .G(2)由(1)知BB i底面ABC , AB BC，如图建立空间直角坐标系由题意得B 0,0,0 ,C 2,0,0 , A 0,2,2 , B 0,0,2UU LT uuur所以B1C2,0, 2 , A1B 0,2, 2 .uiur uuur所以cos uuu uuu；A1B BCAB,BC uuur uuur1丨 BA II BQ 12B xyz ,由器，得MS0’22).，得N (0,2 2 ,2uum2 )，贝U MN (2 ,2 2 ,2故异面直线B1C与A B所成角的大小为 -. (3)易知平面A i ACC i的一个法向量n 1,1,0，3数 g(x)2 3 2x 2x 2x【详解】(1)由题意，函数3a b ，转化为g x 在区间 ， 1 3 2f (x) x x 3ax ，则 f (x)上单调递增，即可求解x 2 2x 3a ，因为MN / /平面A 1ACC 1，所以UMNU n 0，即(2 ,22 ,2 2 ) (1,1,0) 0，解得想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理， 通过严密推理是线面位置关系判定的关键， 同时对于立体几何中角的计算问题， 往往可以利用空间向量法, 通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解1 3 218.已知函数 f (x) xx 3ax(a R).3(1 )若f x 在x 1时，有极值，求a 的值;(2)在直线x 1上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线 y f x 相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1)a 1( 2)不存在，详见解析 【解析】 【分析】由f x 在x 1时，有极值，可得 f ( 1)1 2 3a 0，，所以誓AB【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明, 以及空间角的求解问题， 意在考查学生的空间(1)求得f (x) x 2 2x 3a ，根据函数x 在x 1取得极值，即可求解;(2)不妨设点P 1,b ，设过点p 与yx 相切的直线为I ，切点为 x 0,y 0，求得切线 1方程，根据直线I 过P 1,b ，转化为bx o x 0 3ax 0 3x 0 2x 0 3a 1 x 0，设函277【答案】 (1)2y 1( 2) 0^4【解析】 【分析】(1 )由题意,列出方程组，求得2，即可得到椭圆的方程;解得a 1.经检验，a 1时，f x 有极值. 综上可得a 1.(2)不妨设在直线x 1上存在一点P 1,b , 设过点P 与y f x 相切的直线为I ，切点为 x 0,y 0 ， 则切线I 方程为yx ] 3 x ox 0 2x o 3a x X D ，31又直线 I 过 P 1,b ，有 bx 3 x 2 3ax 0 x 2 2怡 3a 1 x 0 ，32 3 2即三 x 3 2x 2 2x 0 3a b 0，3设 g(x) 2x 3 2x 2 2x 3a b ，则 g (x) 2x 2 4x 22(x 1)2 0，3所以g x 在区间 ，上单调递增，所以g x0至多有一个解，过点P 与y f x 相切的直线至多有一条,故在直线x 1上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线 y f x 相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用， 其中解答中熟记函数的导数与函数间的关 系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力.219.已知椭圆c :务 y 21(a 1)的离心率是a(1)求椭圆C 的方程;范围•(2)已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,过F 2作斜率为k 的直线I ,交椭圆C 于A, B两点，直线RA ，FB 分别交y 轴于不同的两点M,N .如果 MF 1N为锐角，求k 的取值(2)设直线I 的方程为y k x 1，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量同理可得N 0,将①代入并化简，得【详解】(1)由题意，椭圆2X c r ay 2 1(a 1)的离心率是学，a可得 b 2 a 2 I 22! 1 解得a 2 2 2b c 22，所以椭圆C 的方程为7(2)由已知直线I 的斜率不为0，设直线I 的方程为y k x 1，直线|与椭圆C 的交点为X 1,y 1 ，B X 2,y 2 .y 由x 2k(x 1) 得12 2 2 22k 1 x 4k x 2k 20.由已知, 判别式恒成立，且X-I + x 2 =2k2，X 22k 2 2k 7直线RA 的方程为七(xx 1 11)，ULUir 所以F 1M UU LUF Ny 』2k 2 x 1X 1X 2 X 1 X 1 1 x 2 1x 2 11 k 21 x2 1为1 x 2x-|X 2 1 k 2 x 1 x 2 1 k 2X 1X 2 X 1 X 2 1X 1X 2 X-I X 2 1ULUir ULUU F M F N7k 2 1 8 k 2 1依题意，角uuLur UULU LUUUT uuu MF 1N 为锐角，所以 F 1M F 1N 0，即 F 1M F 1N —0.8k 1解得k 2 -或k7综上，直线I的斜率的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等20.已知数列a n，记集合T S(i, j)|S(i, j) a i a： 1 L a j,1, i j,i,j N* .(1 )对于数列a n ：1,2,3,4，写出集合T ；(2)若a n 2n，是否存在i, j N*，使得S i, j 1024?若存在，求出一组符合条件的i, j ；若不存在，说明理由•(3 )若a n 2n 2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：d,b2丄b n丄，若b m 2020，求m的最大值.【答案】(1)T {3,5,6,7,9,10} (2)不存在i, j N*，使得S i, j 1024成立.(3)详见解析【解析】【分析】(1)根据集合的定义T S(i, j)|S(i, j) a, a, 1 L a j,1, i j,i, j N* ，即可求解；(2 )假设存在i, j N*，使得S i, j 1024，得到1024 (j i 1)(i j)，根据i j 与j i奇偶性相同，所以i j与j i 1奇偶性不同，进而得到结论.(3)若i,j N*，使得i (i 1) L j (j " 2)°j) 2t，得到(j i 1)(i j) 2t 1不成立，结合数学归纳法，把数列a n 2n 2，转化为数列0,1,2,3,L ,n,L，其相应集合T中满足b 1010有多少项，即可得到结论•【详解】(1)由题意，集合T S(i, j)|S(i, j) a i q 1 L a j,1, i j,i, j N 可得T {3,5,6,7,9,10}(2)假设存在i, j N*，使得S i, j 1024,则有1024 a a i L a j 2i 2(i 1) L 2j (j i 1)(i j),由于i j与j i奇偶性相同，所以i j与j i 1奇偶性不同.又因为i j 3，j i 1 2，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存i, j*，使得S i, j 1024成立.N(3 )首先证明a n n时，对任意的m N*都有b m2t，*t N .j)2t，若i,j N*，—1)L jT由于j i 1与j i均大于2且奇偶性不冋，所有(j i1)(i j) 2t 1不成立•其次证明除2t t N形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和若正整数h2t2k 1，其中t N，t N*.当2t 1 2k1时, 由等差数列的性质有：h (2 k 1)(2 k1) L (2 k 1) 2t k L2t 1 2t2t 1 L 2t k此时结论成立当2t 1 2k1时, 由等差数列的性质有：h (2 k 1)(2 k1) L (2 k 1)k 2t1L(k 1) k (k 1) (k 2) L k2t此时结论成立对于数列a n2n2，此问题等价于数列0,1,2,3, L,n,L，其相应集合T中满足：b n 1010有多少项•由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256, 512不是集合T中的项，所以n的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题。
北京市西城区2020届高三数学第一次模拟考试试题(含解析)
当 a 与 b 共线，方向相反时，
ab
a
b
，故不必要.
故选： A .
【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
f x sinx
9.已知函数
1 2sinx 的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后
的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着 x 轴上一点旋转180 ; ②沿 x 轴正方向平移; ③以 x 轴为轴作轴对称; ④以 x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
【详解】(Ⅰ) AA1 平面 ABCD ， AB Ì 平面 ABCD ，故 AA1 AB .
AB AD 2 ， BD 2 2 ，故 AB2 AD2 BD2 ，故 AB AD . AD AA1 A ，故 AB 平面 ADD1A1 .
(Ⅱ)如图所示：分别以 AB, AD, AA1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
13.设双曲线
x2 4
y2 b2
1(b 0)
y
的一条渐近线方程为
2 x
2 ，则该双曲线的离心率为
____________.
6 【答案】 2
【解析】
【分析】
根据渐近线得到 b 2 ， c 6 ，计算得到离心率.
【详解】
x2 4
y2 b2
1(b 0)
，一条渐近线方程为：
y
2x 2 ，故 b
A. y x 2
B. y sinx
C. y x x3
【答案】C
【解析】
D. 20
D. y 2x
【分析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. y x 2 ，值域为 R ，非奇非偶函数，排除；