2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(3月份)(带答案)
第1页，共16页 2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（3月份）
题号 一 二 总分 得分
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，则A∪B=______． 2. 设复数z满足（2-i）z=1+i（i为虚数单位），则复数z=______． 3. 某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为45s，黄灯吋间为3s，绿灯时间为60s，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为______． 4. 在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其
余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为______． 5. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为______．
6. 棱长均为2的正四棱锥的体积为______． 7. 将函数f（x）=sin（ωx-）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线x=π对称，则ω的最小值为______． 8. 已知f（x）是定义在R上的偶函数．当x≥0时，f（x）=，则不等式f（lnx）＜l的解集为______ ．
9. 已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=6，若a1，a3，a7成等比数
列，则S8的值为______．
10. 若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_________. 11. 已知函数f（x）=mlnx图象与函数g（x）=2图象在交点处切线方程相同，则m的值为______ 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=mx与曲线f（x）=2x3+x从左到右依次
交A、B、C三点，若直线l2：y=kx+2上存在P满足||=1，则实数k的取值范围是______． 第2页，共16页
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，圆C：（x-4）2+y2=4，动点P在
直线x+y-2=0上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为______．
14. 若△ABC中，AB=，BC=8，∠B=45°，D为△ABC所在平面内一点且满足（）
，则AD长度的最小值为______． 二、解答题（本大题共11小题，共150.0分） 15. 如图，在△ABC中，a，b，c为A，B，C所对的边，
CD⊥AB于D，且．
（1）求证：sinC=2sin（A-B）； （2）若，求tanC的值．
16. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知M，N分别为线段BB1，A1C的中点，MN⊥AA1，
且MA1=MC．求证： （1）平面A1MC⊥平面A1ACC1． （2）MN∥平面ABC． 第3页，共16页
17. 已知O为坐标原点，椭圆C：的左焦点为F1，离心率为，
点I，J分别是椭圆的一长轴端点、短轴端点，且△IOJ的斜边上的中线长为． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过点H（-2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．
18. 某校有一块圆心O，为半径为200米，圆心角为的扇形绿地OPQ，半径OP，OQ的中点分别为M，N，A为弧PQ上的一点，设∠AOQ=α，如图所示，拟准
备两套方案对该绿地再利用．． （1）方案一：将四边形绿地OMAN建成观赏鱼池，其面积记为S1，试将S1表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S1取得最大？ （2）方案二：将弧AQ和线段AN，NQ围成区域建成活动场地，其面积记为S2，试将S2表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S2取得最大？
19. 已知正项数列{an}，其前n项和为Sn，满足2Sn=an2+an，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）如果对任意正整数n，不等式-＞都成立，求证：实数c的最大值为1．
20. 已知函数f（x）=（其中a，b∈R）． （1）当a=1时，若函数y=f（x）在[0，+∞）上单调递减，求b的取值范围； （2）当b=1，a≠0时， ①求函数y=f（x）的极值； 第4页，共16页
②设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围． 21. 已知矩阵A的逆矩阵A-1=．求矩阵A的特征值和相应的特征向量．
22. 在极坐标系中，已知圆C的圆心极坐标为（2，），且圆C经过极点，求圆C的极坐标方程．
23. 已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m． 24. 把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．
（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率； （2）设小球的编号与盒子编号相同的情况有X种，求随机变量X的分布列与期望． 第5页，共16页
25 设P（n，m）=（-1）k，Q（n，m）=，其中m，n∈N*． （1）当m=1时，求P（n，1），Q（n，1）的值； （2）对∀x∈N+，证明：P（n，m）•Q（n，m）恒为定值．
2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（3月份）
答案和解析 【答案】 1. （0，+∞）
2. i
3. 4. 150 5.
6.
7. 8. （，e4） 9. 88 10. 11. e 12. k≥或k≤-
13. 14. 15. 解：（1）∵．且BD+AD=c，
∴BD=c，AD=c， ∵，CD⊥AB ∴在直角三角形ACD中，tanA=，
在直角三角形BCD中，tanB=， 则==3， 第6页，共16页
即tanA=3tanB， 则=， 即sinAcosB=3cosAsinB， 则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB+sinAcosB-3cosAsinB =2sinAcosB-2cosAsinB=2sin（A-B），
（2）∵，∴sinA=，
则tanA=，tanB=，
则tanC=-tan（A+B）=-=-=-． 16. 证明：（1）∵MA1=MC，且N是A1C的中点，
∴MN⊥A1C，
又MN⊥AA1，AA1∩A1C=A1， A1C，AA1⊂平面A1ACC1，∴MN⊥平面A1ACC1，
∵MN⊂平面A1MC，∴平面A1MC⊥平面A1ACC1．
（2）取AC中点P，连结NP，BP， ∵N是A1C中点，P为AC中点，
∴PN∥AA1，且BB1=AA1，
又M为BB1中点，∴BM∥AA1，且BM=AA1， ∴PN∥BM，且PN=BM，∴四边形PNMB是平行四边形， ∴MN∥BP， ∵MN⊄平面ABC，BP⊂平面ABC， ∴MN∥平面ABC．
17. 解：（Ⅰ）由题意可得：=，a2=b2+c2，=，
联立解得：a2=2，b=c=1． ∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点H（-2，0）的直线方程为x=ky-2，代入椭圆方程中，消x可得（k2+2）y2-4ky+2=0 则△=16k2-8（k2+2）＞0，解得k＞或k＜-2，
∴y1+y2=，y1y2=，
∴x1x2=（ky1-2）（ky2-2）=k2y1y2-2k（y1+y2）+4，x1+x2=k（y1+y2）-4，
∵AF1⊥BF1，
∴•=0， ∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=x1x2+（x1+x2）+1+y1y2=k2y1y2-2k（y1+y2）+4+k（y1+y2）-4+1+y1y2=
（1+k2）y1y2-k（y1+y2）+1=0
即-+1=0， 解得k=±2， 故直线AB的方程的方程为x=±2y-2，即x±2y+2=0 第7页，共16页
18. 解：（1）由已知，∠AOQ=α，，
S1=S△OAN+S△OAM；
故S1=×100×200sinα+×100×200sin（-α）
=10000（sinα+cosα+sinα）=10000（sinα+cosα），
整理得（平方米）， ∴当时，（平方米）． （2）由已知，S2=S扇形AOQ-S△ONA，
∴， 即S2=10000（2α-sinα）； ∴S'2（α）=10000（2-cosα），故S'2（α）＞0；
∴S2（α）在上为增函数，
∴当时，（平方米）． 19. （1）解：由题意，当n=1时，2a1=，
解得a1=0（舍去），或a1=1． 由，可得，
两式相减，可得， 即， 整理，得（an+1+an）（an+1-an-1）=0， ∵数列{an}各项均为正数，
∴an+1-an-1=0，即an+1-an=1．
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴数列{an}的通项公式为an=n，n∈N*．
（2）证明：由题意，对任意正整数n，不等式-＞都成立，
可等价转化为，对任意正整数n，不等式•（-）＞c都成立． ∵， ∴c的最大值为1≤cmax＜•（-）．
另一方面，当任取实数a＞1时， =．
①当a≥2时，对任意的正整数n，都有；
2020届江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案(精品)
南通市高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12i34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为▲．6．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲．/分（第3题）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 m 的取值范围是▲．13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．14．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异于 端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE（第16题）（第18题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形 （各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，．记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（第17题）0（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．南通市高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）换1T ，在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变2T 对应的矩阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）ABDOC（第21—A 题）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张 如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X 元． （1）求概率(600)P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除．南通市高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲．【答案】{}13，2．已知复数12i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为▲． 【答案】433．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，上，其频率分布直方图如图 所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】304．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲． 【答案】1255．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为▲． 【答案】136．在ABC △中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点()2P -，则双曲线C 的焦距为▲． 【答案】8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点 (12)A，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．/分（第3题）【答案】979．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲． 【答案】6-10．已知a b c ，，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 【答案】811．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪++⎩≤，≥，≥表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲． 【答案】22(1)4x y -+=12．设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零点， 则实数m 的取值范围是▲． 【答案】()1+∞，13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为▲．【答案】1014．已知a为常数，函数()f x =23-，则a 的所有值为▲．【答案】144，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b ，()12=-c ．（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；（2）设5π6α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．解：（1）因为()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b，()12=-c ，所以1===a b c ，且cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b ． ……3分因为+=a b c ，所以22+=a bc ，即a 2+ 2a ⋅b + b 2= 1，所以12sin ()11αβ+-+=，即1sin ()2αβ-=-．……6分（2）因为5π6α=，所以()12=，a ．依题意，()1sin cos 2ββ+=--，b c ．……8分因为()//+a b c，所以)()11cos sin 022ββ-+--=．化简得，11sin 22ββ=，所以()π1sin 32β-=．…… 12分因为0πβ<<，所以ππ2π333β-<-<．所以ππ36β-=，即π2β=．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB = AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1上（均异 于端点），且∠ABE =∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1． 求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；（2）BC // 平面AEF ．证明：（1）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1 // CC 1． 因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1．…… 2分 又AE ⊥BB 1，AE I AF A =，AE ，AF ⊂平面AEF ， 所以BB 1⊥平面AEF ．…… 5分又因为BB 1⊂平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ．…… 7分 （2）因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE =∠ACF ，AB = AC ， 所以Rt △AEB ≌Rt △AFC ． 所以BE = CF ．…… 9分 又由（1）知，BE // CF ． 所以四边形BEFC 是平行四边形． 从而BC // EF ．…… 11分又BC ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以BC // 平面AEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长为AA 1B 1C 1B CFE （第16题）（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． 解：设()00P x y ，，()11Q x y ，．（1）在3y x =+中，令0x =，得3y =，从而b = 3． …… 2分由222193y x a y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222319x x a ++=． 所以20269a x a =-+．…… 4分因为10PB x ==，所以2269a a=+，解得218a =． 所以椭圆的标准方程为221189y x +=．…… 6分 （2）方法一： 直线PB 1的斜率为1003PB y k x -=， 由11QB PB ⊥，所以直线QB 1的斜率为1003QB x k y =--． 于是直线QB 1的方程为：0033x y x y =-+-． 同理，QB 2的方程为：0033x y x y =--+．…… 8分 联立两直线方程，消去y ，得20109y x x -=．…… 10分因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以012x x =-．…… 12分 所以1212012PB B QB B S xS x ∆∆==．…… 14分 方法二：设直线PB 1，PB 2的斜率为k ，k '，则直线PB 1的方程为3y kx =+． 由11QB PB ⊥，直线QB 1的方程为13y x k=-+．将3y kx =+代入221189y x +=，得()2221120k x kx ++=， （第17题）0（第18题）因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以00x ≠，从而0x =21221k k -+．…… 8分 因为()00P x y ，在椭圆221189y x +=上，所以22001189x y +=，从而220092x y -=-． 所以2000200033912y y y k k x x x -+-'⋅=⋅==-，得12k k '=-．…… 10分 由22QB PB ⊥，所以直线2QB 的方程为23y kx =-．联立1323y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，则2621k x k =+，即12621k x k =+．…… 12分 所以1212201212212621PB B QB B k S xk S x kk ∆∆-+===+．…… 14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm ，则()2π24100r r r +⨯=， (4)分解得r =6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则21004x a a a x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，，即220.x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤， (9)分 方法一：所得正四棱柱的体积3204400x x V a x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤≤，，……11分记函数304()400x x p x x x⎧<⎪=⎨⎪>⎩≤，， 则()p x在(0，上单调递增，在)⎡+∞⎣上单调递减，所以当x =max ()p x =所以当x =a =max V=3．…… 14分 方法二：202a x a≤≤，从而a 11分所得正四棱柱的体积()222020V a x a a a ==≤≤．所以当a =x =max V=3．…… 14分答：（1dm ；（2）当x 为 16分 【评分说明】①直接“由()21002xx x ⋅+=得，x=2分；②方法一中的求解过程要体现()p x V ≤≤，凡写成()p x V =≤5分， 其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且10q d ≠≠，． 记i i i c a b =+（i = 1，2，3，4）．（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列； （2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域； （3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由． 解：（1）假设数列123c c c ，，是等差数列， 则2132c c c =+，即()()()2211332a b a b a b +=+++．因为12b b ，，3b 是等差数列，所以2132b b b =+．从而2132a a a =+．……2分 又因为12a a ，，3a 是等比数列，所以2213a a a =． 所以123a a a ==，这与1q ≠矛盾，从而假设不成立．所以数列123c c c ，，不是等差数列．……4分 （2）因为11a =，2q =，所以12n n a -=．因为2213c c c =，所以()()()2222214b b d b d +=+-++，即223b d d =+，……6分 由2220c b =+≠，得2320d d ++≠，所以1d ≠-且2d ≠-．又0d ≠，所以223b d d =+，定义域为{}120d d d d ∈≠-≠-≠R ，，．……8分 （3）方法一：设c 1，c 2，c 3，c 4成等比数列，其公比为q 1， 则1111111221111331111=2=3=.a b c a q b d c q a q b d c q a q b d c q +=⎧⎪++⎪⎨++⎪⎪++⎩①②③④，，，……10分将①+③－2×②得，()()2211111a q c q -=-，⑤将②+④－2×③得，()()22111111a q q c q q -=-，⑥……12分 因为10a ≠，1q ≠，由⑤得10c ≠，11q ≠． 由⑤⑥得1q q =，从而11a c =．……14分 代入①得10b =．再代入②，得0d =，与0d ≠矛盾． 所以c 1，c 2，c 3，c 4不成等比数列．……16分方法二：假设数列1234c c c c ，，，是等比数列，则324123c c c c c c ==．……10分 所以32432132c c c c c c c c --=--，即32432132a a d a a d a a d a a d -+-+=-+-+． 两边同时减1得，321432213222a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+．……12分 因为等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ()1q ≠，所以()321321213222q a a a a a a a a d a a d-+-+=-+-+． 又()23211210a a a a q -+=-≠，所以()2132q a a d a a d -+=-+，即()10q d -=． ……14分这与1q ≠，且0d ≠矛盾，所以假设不成立．所以数列1234c c c c ，，，不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <． 解：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．……3分（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x '=-+．若0b <，则存在02b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >．……5分 取30e bx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10222b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <．……8分 ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．……10分因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-． 所以212120ln ln x x b x x -->>-．……12分下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t ->()ln 0t <*．设())ln 1h t t t =>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b ->2124x x b <．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A ，B ，C 是⊙O 上的3个不同的点，半径OA 交弦BC 于点D ． 求证：22DB DC OD OA ⋅+=． 证明：延长AO 交⊙O 于点E ，则()()DB DC DE DA OD OE OA OD ⋅=⋅=+⋅-．……5分因为OE OA =，所以()()22DB DC OA OD OA OD OA OD ⋅=+⋅-=-． 所以22DB DC OD OA ⋅+=．……10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(00)(30)(22)A B C ，，，，，．设变换1T ，2T 对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ，求对△ABC 依次实施变换1T ，2T 后所得图形的面积． 解：依题意，依次实施变换1T ，2T 所对应的矩阵=NM 201020010202⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……5分则20000200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20360200⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，20240224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 所以(00)(30)(22)A B C ，，，，，分别变为点(00)(60)(44)A B C '''，，，，，． 从而所得图形的面积为164122⨯⨯=．……10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点()23P π，为圆心且与直线l ：()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ．ABDC（第21—A 题）EO则点P的直角坐标为()1．……2分将直线l ：()sin 23ρθπ-=的方程变形为：sin cos cos sin 233ρθρθππ-=，40y -+=．……5分所以()1P 到直线l40y -+=2=．故所求圆的普通方程为()(2214x y -+=．……8分化为极坐标方程得，()π4sin 6ρθ=+．……10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c 为正实数，且12a b c ++=2． 证明：因为a ，b ，c 为正实数，=2=（当且仅当a b c ==取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X 元． （1）求概率()600P X =；（2）求X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）从3⨯3表格中随机不重复地点击3格，共有39C 种不同情形． 则事件：“600X =”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含34C 种情形，第二类包含111144C C C ⋅⋅种情形．所以()3111414439C C C C 560021C P X +⋅⋅===．……3分 （2）X 的所有可能值为300，400，500，600，700．则()3439C 413008421C P X ====，()121439C C 242400847C P X ⋅====， ()1212144439C C C C 3055008414C P X ⋅+⋅====，()121439C C 637008442C P X ⋅====． 所以X 的概率分布列为：……8分所以()12553300400500600700500217142142E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． ……10分23．（本小题满分10分） 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++，*n ∈N ．记0(21)nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n ∈N ，n T 都能被42n +整除． 解：由二项式定理，得21C i i n a +=（i =0，1，2，…，2n +1）．（1）210221055535C 3C 5C 30T a a a =++=++=；…… 2分（2）因为()()()()()12121!1C 11!!n kn n n k n k n k n k ++++++=++⋅++-()()()()212!!!n n n k n k +⋅=+-()221C n kn n +=+， …… 4分所以()021nn n k k T k a -==+∑()21021C nn kn k k -+==+∑ ()121021C nn k n k k +++==+∑ ()()12102121C nn k n k n k n +++==++-+⎡⎤⎣⎦∑ ()()112121021C21C nnn kn kn n k k n k n ++++++===++-+∑∑()()12210221C21C nnn k n knn k k n n ++++===+-+∑∑()()()2212112212C 21222n n n n n n +=+⋅⋅+-+⋅⋅ ()221C n n n =+． …… 8分()()()()1221212121C 21C C 221C n n n nn n n n n T n n n ----=+=++=+． 因为21C n n *-∈N ，所以n T 能被42n +整除．…… 10分。
2020届江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷(九)数学试题
2020届江苏省南通市高三下学期高考考前模拟卷(九)数学试题（南通数学学科基地命题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1. 已知集合{}1x A x e =≤，{}2,0,2,4B =-，则集合A B 的子集的个数为________．【答案】4【解析】【分析】先化简集合A ，再求出交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}10x A x e x x =≤=≤，{}2,0,2,4B =-， 所以{}2,0A B =-，因此其子集个数为224=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查集合子集的个数，考查交集的概念，以及指数不等式的解法，属于基础题型. 2. 某高中高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8，教务处为了解学生“停课不停学”期间在家的网络学习情况，现采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取容量为100的样本进行调查，则应从高三年级抽取________名学生．【答案】32【解析】【分析】先计算高三学生占的比例，再计算高三年级抽取的学生人数即可.【详解】解：因为高一、高二、高三年级的学生人数之比为9:8:8， 所以高三年级学生占比为：8898825=++， 所以根据分层抽样的方法，高三年级抽取81003225⨯=名学生. 故答案为：32.【点睛】本题考查分层抽样的知识，是基础题.3. 已知复数z 满足()14i z a i +=+（i 为虚数单位），且z =，则实数a =________． 【答案】0【解析】【分析】先化简4422a a z i +-=+，再利用z ==，最后解得实数a 的值.【详解】解：∵ ()14i z a i +=+，∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-====+++-∵z =，∴ z ==解得：0a =，故答案为：0.【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.4. 若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是______． 【答案】15【解析】【分析】列举所有的基本事件，从中找出符合条件的基本事件，根据古典概型概率计算即可.【详解】从5个球中随机取出2个球，共有10种基本事件，其中取出2球颜色相同的只有2种，所以取出两个颜色相同球的概率为15. 故答案为：15. 【点睛】本题注意考查古典概型的概率.5. 在平面直角坐标系中，抛物线24y x =的焦点F 在双曲线()222104x y a a -=>上，则焦点F 到该双曲线的渐近线的距离为________．. 【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，代入双曲线方程，求出双曲线方程，进而求出渐近线方程和距离.【详解】抛物线24y x =焦点坐标为(1,0)F ，(1,0)F 在双曲线上2222110114-=⇒-=⇒=x y a a a 2214∴-=y x ，渐近线为2y x =±，(1,0)F 到2y x =±距离为2555d == 故答案为：25 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线标准方程，点到直线距离，考查了运算求解能力，属于一般题目. 6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．【答案】19【解析】【分析】根据程序框图，我们知I 从1开始在1至9中每次间隔3取值，故I 的取值为1,4,7，所以循环体执行3次；将I 的取值分别代入，最后算出正确答案即可.【详解】解：根据程序框图可知，循环体要执行三次循环，第一次，11I =，10121S S I =+=，第二次，24I =，21222146S S I =+=⨯+=，第三次，37I =，323226719S S I =+=⨯+=，4109I =>，故循环体结束，最后输出19S =.故答案为：19.【点睛】本题主要考查程序框图、循环体相关知识，考查运算求解能力，属于基础题型.7. 函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，若函数()y f x =在区间[],m n 上的值域为[]1,2-，则n m -的最小值是________．【答案】83【解析】【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，求得()2sin()4f x x π=．根据函数在[2，14]3上是减函数，f （2）2=，1413f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由此求得n m -的最小值． 【详解】由函数的最大值为2，可得2A =．由126242πω=-=，可得4πω=． 由五点法作图可得242ππϕ⨯+=，0ϕ∴=， 函数()2sin()4f x x π=． 由于函数在[2，14]3上是减函数， 2x =时，f （2）2=，143x =时，1413f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以，若函数()y f x =在区间[],m n 上的值域为[]1,2-，则n m -的最小值是148233-=， 故答案为：83． 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．8. 已知正六棱柱的侧面积为236cm ，高为3cm ，则它的外接球的体积为________3cm ．【答案】1256π 【解析】【分析】由侧面积求其底面的边长，根据正六棱柱的外接球的直径2R 是其对角线的长，从而可得外接球的半径，利用外接球体积公式计算即可得到答案.【详解】设正六棱柱的底面正六边形的边长为a ,则根据侧面积为6336a ⨯=，可得边长为2，正六棱柱的外接球的直径2R 是其对角线的长，则25R ===， 得52R =，故外接球的体积为3441251253386V R πππ==⨯=（cm 3）， 故答案为：1256π. 【点睛】本题考查正六棱柱的结构特征，考查棱柱的外接球的体积问题，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.9. 已知函数()||3f x x x x =+,若()2()20f a f a +-<,则实数a 的取值范围为_____. 【答案】(2,1)-【解析】【分析】首先判断函数()f x 为奇函数，然后判断出()f x 的单调性，由此化简不等式()2()20f a f a +-<，求得实数a 的取值范围.【详解】f (﹣x )=﹣x |﹣x |﹣3x =﹣x |x |﹣3x =﹣f (x ),即函数f (x )为奇函数, 当x >0时,f (x )=x 2+3x 在(0,+∞)上为增函数, 故函数f (x )在R 上为增函数,∴f (a )+f (a 2﹣2)<0等价于a <2﹣a 2,解得﹣2<a <1. 故答案为:(2,1)-.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和奇偶性解不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10. 已知实数,x y 满足约束条件20202x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2242 2x x y m x ++-=+的最大值是________． 【答案】92 【解析】【分析】先将22422x x y m x ++-=+变形为()22242y m x x -=++-+，令22y z x -=+，再根据其几何意义可得当2,4x y ==时，()22x +和22y z x -=+同时取得最大值，进而计算可得答案. 【详解】解：()()()22224222422224222x x y x x y y m x x x x +-++-++--===++-+++令22y z x -=+，则z 表示可行域中的点(),x y 与点()2,2D -所在直线的斜率， 如图，当点(),x y 为()2,4B 时，22y z x -=+有最大值max 421222z -=+=， 且此时2x =，()22x +也取得最大值8，故当2,4x y ==时，()22242y m x x -=++-+取最大值()4292224222m -=++-=+. 故答案为： 92.【点睛】本题考查线性规划的斜率型问题的最值求解，是中档题.11. 已知等比数列{}n a 的公比2q，且123301a a a a ⋅⋅⋅⋅=，则36930a a a a ⋅⋅⋅⋅=________．【答案】1024【解析】【分析】利用等比数列的通项公式11n n a a q -=化简可得． 【详解】123301a a a a ⋅⋅=，所以229301232911111a a q a q a q a q +++⋅=⋅=3043512a =1，所以1014512a -=， 所以10155369301a a a a a q ⋅⋅==1015512a ,所以1451553693022a a a a -==1021024=.故答案为：1024. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式11n n a a q -=及等差数列{}n a 的通项公式1(1)n a a n d =+-及指数运算，计算量较大，属于中档题．12. 在平面四边形ABCD 中，已知点E ，F 分別在边AD ，BC 上，3AD AE =，3BC BF =，3AB =，2EF =，3DC =，则向量AB 与DC 的夹角的余弦值为________． 【答案】53 【解析】【分析】 连结AC ，取点G ，使得AC=3AG ，连结EG ,FG ，利用余弦定理求出角EGF ∠的余弦值，即可得出结果.【详解】 如图，连结AC ，取点G ，使得AC=3AG ，连结EG ,FG ， 则EGF ∠为AB 与DC 所成交的补角，在EGF △中，231,23===EG FG EF 由余弦定理可得, 222231)233cos 122321+-∠==-⨯⨯EGF ，所以AB 与DC 所成交角的余弦值为5312. 53. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查解决问题能力和数学运算能力，属于一般题目.13. 若在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，2AB =，3BC =．在ABD △中，45ADB ∠=︒，则CD 的取值范围是________．【答案】52,172⎡⎣【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设(,)D x y ，D 在第一象限或第二象限，根据=45︒∠ADB ，求出D 的轨迹方程为圆，进而求出圆上的点到C 的距离的最大最小值.【详解】以点B 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A （0，2），C （3，0），设(,)D x y ，点D 在y 轴右侧和左侧=45︒∠ADB ，2,-==AD BD y y k k x x， 点D 在y 轴右侧时，22tan 4512(2)1+1︒---====--⋅+⋅+BD ADBD AD y y k k x x y y y y k k x x x x化简可得，22(1)(1)2,0x y x -+-=> 22min (31)(01)252=-+-=CDD 在第二象限时，22tan 4512(2)1+1︒----====--⋅+⋅+AD BDBD ADy y k k x x y y y y k k x x x x 化简可得，22(+1)(1)2,0x y x +-=<， 22max (3+1)(01)2172=+-=CD 所以CD 的取值范围为：52,172] 故答案为：[52,172]【点睛】本题考查了用坐标法求距离的取值范围，考查了数学运算能力和转化的数学思想，属于难题. 14. 已知0x >，0y >，4311522x y y x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则x y -的最小值为________． 【答案】-1【解析】【分析】 由已知可得15314222x y x y x y ⎛⎫-⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（关键转化），进而利用基本不等式求解.【详解】15314314·2?·2?·72222x yx y x yx y x y⎛⎫-⎛⎫+=+++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1,2x y==时取“=”，1522x y-∴+最小值为7，x y∴-最小值为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键在于化归与转化，属较难试题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在如图所示的空间几何体中，ABC是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点，DA、EB都垂直于平面ABC．求证：（1）AM⊥平面EBC；（2）//DA平面EBC．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别证明AM BC⊥，EB AM⊥即可；（2）证明//DA EB即可.【详解】（1）因为ABC是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点，所以AM BC⊥，因为EB⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以EB AM⊥，又因为,BC EB⊂平面EBC，EB BC B=，×2×√x.+2√y.=7所以AM ⊥平面EBC ;（2）因为DA 、EB 都垂直于平面ABC ，所以//DA EB ，因为EB ⊂平面EBC ，DA ⊄平面EBC ，所以//DA 平面EBC ．【点睛】本题主要考查线面垂直的证明以及线面平行的证明，证明线线之间的垂直平行是关键.16. 已知cos 0,32ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求cos α的值；（2）若()tan 0,112παββ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，求β的值．【答案】（1）7；（2）6πβ=． 【解析】【分析】（1）根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到5,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭利用平方关系求得13sin 314πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后由cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求解.（2）由（1）知tan α=，然后由()()()tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅求解. 【详解】（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又cos 314πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以13sin 314πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，113214=+=（2）由（1）知tan 12α=， 所以()()()tan tan tan tan 1tan tan 1112αβαβαβααβα+-=+-===++⋅，因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=【点睛】本题主要考查两角和与差的三角恒等变换的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且11a =，4a ，6a ，9a 成等比数列，数列{}n b 满足()1121nni i i a b n ==-+∑．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）若数列{}n c 满足n n na cb =，且()*m c m ∈N 为整数，求m 的值． 【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析；（3）1m =或2m =. 【解析】 【分析】（1）根据4a ，6a ，9a 成等比数列可求出等差数列公差，即可求出通项公式； （2）根据()1121nni i i a b n ==-+∑及n a n =可求出{}n b 的通项公式，即可求证；（3）由nn na cb =，分析出3n ≥时1n c <，1,2n =符合题意. 【详解】（1）因为11a =，4a ，6a ，9a 成等比数列，设公差为d ， 所以2649a a a =⋅即()()2(15)1318d d d +=++,解得：1d =或0d =（舍去）所以11n a n n =+-=， （2）因为()1121nni i i a b n ==-+∑，所以()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+，①()1112211221n n n a b a b a b n ---+++=-⋅+(2)n ≥②①-②得：()()1112222nn n n n a b n n n --=-⋅--⋅=⋅(2)n ≥,又n a n =， 所以n b =2n-1(n ≥2)，当1n =时，111a b =，即11b =，也适合12n nb -=，所以12()n n b n N -*=∈,由11222nn n n b b +-==知数列{}n b 是公比为2的等比数列. （3）12n n n n a nc b -==， 当1n =时，11c =，2n =时，21c =，当3n ≥时，由12n n -<知1n c <，不是整数， 所以()*m c m ∈N 为整数则1m =或2m =.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比中项，等比数列的定义，数列的递推关系，考查了运算能力，属于中档题.18. 如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心O 处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点A 处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B 以及湖中的点C 处，再分別安装一套监测设备，且满足AB AC =，90BAC ∠=︒．定义：四边形OACB 及其内部区城为“直接监测覆盖区域”；OC 的长为“最远直接监测距离”设AOB θ∠=．（1）求“直接监测覆盖区城”的面积的最大值； （2）试确定θ的值，使得“最远直接监测距离”最大．【答案】（1）552+；（2）221+． 【解析】 【分析】（1）先用θ表示54cos AB θ=-⋅，再用θ表示出S 四边形OACB =sin θ-2cos θ+，最后运用两角和差的正余弦公式求最值即可；（2）先建立直角坐标系表示出各点坐标，再用θ表示出点C 的坐标，最后表示出942sin()4OC πθ=+-，最后再求最值.【详解】解：（1）在OAB 中，∵AOB θ∠=，1OB =，2OA =， ∴ 2222cos OA OB OA AOB +-⋅⋅∠即54cos AB θ=-⋅， ∴ 211sin 22OACBOAB ABCS S SOA OB AB θ=+=⋅⋅⋅+⋅， ∴ 5sin 2cos 2OACB S θθ-+ tan 2ϕ=，则55)2OACBS θϕ=-+， ∴ 552+. （2）以O 点为坐标原点，以OA 方向为x 轴正方向，以垂直于OA 的正北方向为y 轴正方向，建立直角坐标系如图：则O(0,0)，(cos ,sin )B θθ，(2,0)A ，设点(,)C x y ，S 四边形OACB S 四边形OACB S 四边形OACB由题意有：1AB ACAB ACk k⎧=⎨⋅=-⎩，即2222(2)(2cos)sinsin12cos2x yyxθθθθ⎧-+=-+⎪⎨⋅=-⎪--⎩解得：2sin2cosxyθθ=+⎧⎨=-⎩，∴22(2sin)(2cos)94sin4cos942sin()4 OCπθθθθθ=++-=+-=+-，∴当sin()14πθ-=，即34πθ=时，OC取得最大值：max942OC=+，∴()()222max9422222211221221OC=+=+⨯⨯+=+=+（百米）.∴ 当34πθ=时，使得“最远直接监测距离”最大为：221+.【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、求sin cosa bθθ+的最值，是偏难题.19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的离心率为12，右准线的方程为4x=，点A为椭圆C的左顶点，点1F、2F分别为椭圆C的左，右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()(),0T t t a>作斜率为()0k k<的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且12//F M F N．若MA MT=，求t的值．【答案】（1）22143x y+=；（2）3t=或5t=．【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率和准线方程可解出,a c 的值，再利用222b a c =-可求出2b 的值，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程()y k x t =-，与椭圆联立可求出1212,x x x x +，由12F M F N ∥，可得12x x -，利用两根的关系建立等式22121212(=-4x x x x x x -+）（），可求出()22449kt-=；又因为MA MT =，可得MA k k =-，设直线MA 的方程与椭圆联立可解M x ，又22M t x -=，可以得到224432k t =-+，联立两个方程可以解出t 的值.【详解】解：（1）由条件可知：2124c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：12c a =⎧⎨=⎩，又2223b a c =-=，所以方程为：22143x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN ：()y k x t =-联立方程可得：()22143y k x t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，即()222223484120k x k tx k t +-+-=， ()2222122221221234083441234k t k k t x x k k t x x k ⎧∆=+->⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩， 12F M F N ，()()121,0,1,0F F -，121211y yx x ∴=+-，代入()y k x t =-，有122634x x k--=+, 22121212(=-4x x x x x x -+）（），()22449k t ∴-= ①MA MT =，0MA MT k k ∴+=，即MA k k =-，则直线MA 的方程为：(2)y k x =-+联立直线和椭圆方程22(2)143y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2222341616120k x k x k +++-=,直线和椭圆均过()2,0-，所以22161234A M k x x k -=+，解得：226834M k x k -=+,又M 为直线AT 的中垂线，所以22268234M t k x k--==+，解得：224432k t =-+ ②由①②解得：28150t t -+=，即3t =或5t =，经检验，当3t =或5t =时，都成立. 所以3t =或5t =.【点睛】本题考查由椭圆的性质求方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生的计算能力和转化能力，属于难题.20. 已知函数()()(),xf x x a e b a b =-+∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对给定的a ，函数()f x 有零点，求b 的取值范围；（3）当2a =，0b =时，()()ln F x f x x x -=+，记()y F x =在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为m ，且[),1,m n n n ∈+∈Z ，求n 的值．【答案】（1）(),1x a ∈-∞-，函数()f x 单调递减；()1,x a ∈-+∞，函数()f x 单调递增； （2）当1a b e -≤时，函数()f x 有零点； （3）4n =-． 【解析】 【分析】（1）函数的定义域为R ，求导得()()'1xf x x a e =-+，再根据()'0f x >和()'0f x <求单调区间即可；（2）结合（1）得函数()f x 在1x a =-时取得最小值，且当x →+∞时，()f x →+∞，故满足题意需满足()()min 10f x f a =-≤，进而求得b 的取值范围；（3）根据题意得()()2ln xF x x e x x =-+-，研究函数的单调性得函数()F x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，001xx e =，故()000212m F x x x --==，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再令()212h x x x --=，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求得43m -<<-，进而得4n =-.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()1'x x x x a e e e f a x x -+=-=+，令()'0f x >得1x a >-，所以函数()f x 在()1,x a ∈-+∞上单调递增； 令()'0f x <得1x a <-，所以函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减. （2）对给定的a ，当x →+∞时，()f x →+∞，又因为函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减，在()1,x a ∈-+∞上单调递增 所以函数()f x 在1x a =-时取得最小值，故函数()f x 要有零点，则需有()()min 10f x f a =-≤， 即：10a e b --+≤，故1a b e -≤，所以对给定的a ，函数()f x 有零点，b 的取值范围为(1,a e -⎤-∞⎦（3）当2a =，0b =时，()()2xf x x e =-，所以()()()ln 2ln xF x f x x x x e x x =+=+---，所以()()()()111'1111x xxx xe F x x e x e x x x x--=--+=-+=-， 令()1xg x xe =-，则()()'10xg x x e =+>在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上成立， 所以()1xg x xe =-在1,14⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 由于111ln 222211111=2=02222g e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()110g e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00g x =，即001x x e =. 所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()g x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上满足()0g x <，在()0,1x 上满足()0g x > 所以()'F x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上满足()'0F x >，在()0,1x 上满足()F'0x <， 所以函数()F x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以()()()000000max 022ln 12x F x e m F x x x x x x ===---=-+，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭令()212h x x x --=，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()2222222'0x h x x x--=>=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立， 所以()212h x x x --=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增， 由于114142h ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，()11223h =--=-， 所以43m -<<-， 因为[),1,m n n n ∈+∈Z 所以4n =-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，函数的最值，考查数学运算求解能力，属于较难题.南通市2020届高考考前模拟卷（九）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【选修4－2：矩阵与变换】A. 已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所对应的变换M T 将直线:23l x y -=变换为自身，求实数a ，b 的值．【答案】10a b =⎧⎨=⎩．【解析】 【分析】设p (x ,y )为直线:23l x y -=上任意一点其在M 的作用下变为(),x y ''，再利用矩阵变换求解. 【详解】设p (x ,y )为直线:23l x y -=上任意一点，其在矩阵M 的作用下变为(),x y ''由矩阵的乘法可得：3x x ayy bx y =+⎧⎨=+''⎩，代入直线:23l x y -=整理得：()()2233b x a y -+-=， 因为与:23l x y -=完全一样，所以22231b a -=⎧⎨-=-⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩【点睛】本题主要考查矩阵变换，属于基础题.B.【选修4－4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，已知曲线:2C cos ρθ=，直线2:12x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 是参数），且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设定点()0,1P -，求()()11PA PB ++的值． 【答案】（1）()2211x y -+=；（2）3． 【解析】 【分析】(1)曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，再化简求解即可.(2)联立直线的参数方程与曲线C 的直角坐标方程， 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，再利用韦达定理求解即可.【详解】（1）曲线22o :c s C ρρθ=，化简得直角坐标方程为：2220x y x +-=；即22(1)1x y -+=．（2）因为(0,1)P -，所以直线l 过P 点.将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程22(1)1x y -+=中， 得2211)(1+)12t -+-=，即)210t t -+=. 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，所以12t t +=，121t t =，所以()()1212++3111t t t PA B t P ⋅++=+=．【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题.C.【选修4－5：不等式选讲】已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．【答案】1 【解析】 【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出.【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u vu vxy ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得+)(u 2+v 2)≥4,即+)≥1，当且仅当222u v ==，即x=±√2,y=0或x=0,y=±√2时，等号成立， 故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知抛物线()2:20C y px p =>（1）若抛物线C 经过点()1,2，求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线交抛物线C 于M 、N 两点，直线2px =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点． 【答案】（1）24y x =，1x =-；（2）,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭或3,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线C 经过点()1,2，代入抛物线方程求解得到p ，进而求得抛物线方程及准线方程.（2）抛物线C 的焦点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,0k ≠，与抛物线方程联立，由直线OM的方程为11y y x x =，令2p x =-，得112A pyy x =-，同理222B py y x =-，设(),0D a ，然后由0AD BD ⋅=，结合韦达定理求解.【详解】（1）因为抛物线C 经过点()1,2， 所以p =2，所以抛物线C 的方程24y x =及其准线方程为1x =-； （2）抛物线C 的焦点()1,0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭0k ≠，()()1122,,,M x y N x y ， 由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222420k k p p x p k x +-=+， 所以2124p x x =，y 1y 2=-p 2,直线OM 的方程为11y y x x =， 令2p x =-，得112A py y x =-，同理222B py y x =-， 设(),0D a ，则11,22py p AD a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22,22py p BD a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2222212121202422p y y p p p AD BD a a y y a p x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=++=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2p a =，32pa =-所以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭或3,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2p x =， 则,,,22p p M p N p ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,2p AD a⎛=+⎝,2p BD a ⎛=+ ⎝22p AD BD a ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭=0,解得2p a =，32p a =-，所以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭或3,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上：AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭或3,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系以及圆过定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23. 数列{}n a 的前n 项和为n R ，记11nn i S i ==∑，数列{}n b 满足11b a =，()12n n n n R b S a n n-=+≥，且数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）请写出n R ，n S ，n T 满足的关系式，并加以证明； （2）若数列{}n a 通项公式为112n n a -=，证明：22ln n T n <+． 【答案】（1）n n n T S R =⋅，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知猜想出关系式n n n T S R =⋅，运用数学归纳法证明，验证当1n =时， 关系式成立，再假设当n k =时，关系式成立，运用假设证当+1n k =时，关系式成立. （2）由（1）得n n n T S R =⋅，得出121111++++3222nn T n ⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫= ⎝⎭⎦⎪，再用数学归纳法分两个步骤证明不等式成立.先验证当1n =时，不等式成立；再假设当n k =时，22ln k T k <+成立，证明当+1n k =时，不等式成立.【详解】（1）n R ，n S ，n T 之间满足的关系式是：n n n T S R =⋅，证明如下： 当1n =时， 1111110S b T a R -⋅=-⨯=，所以111T S R =⋅成立，假设当n k =时，k k k T S R =⋅成立，即()123123111++++1++++++++23k k b b b a a k b a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当+1n k =时，()123+1123+1111+++++1+++++++++23k k k k b a b b b b a a a b k ⎛⎫= ⎪⎝⎭()12+113+1111++++++++++231k kk k R a a a a k a S k +⎛⎫= ⎪⎝⎭()+1+1213123++++1111+++++++++23+1kk k k a a S a a a a a a k a k ⎛⎫= +⎪⎝⎭()123+1111111111++++++++++1+++++23+123+1k k a a a k k k a k a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1123+1+11111++++++++++23k k a a a a a k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以+1+1+1k k k T R S =⋅成立，所以n n n T S R =⋅成立. （2）由（1）得n n n T S R =⋅，即()1231111++++++++23n n T a a a n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因112n n a -=，所以121111++++3222nnT n ⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫= ⎝⎭⎦⎪， 当1n =时，112+2ln12T =<=，成立；假设当n k =时，22ln k T k <+成立，1111++++22ln 132222k kT k k ⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫=<+ ⎪⎝⎭， 当+1n k =时，1+11111++++31221221k k k T k +⎛⎫⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣=+ ⎪⎝⎦⎭ 11111111++++1+++11122221++232223kkk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎭⎦()1ln 1122ln ++22+2ln 11122kk k k k k ⎡⎤+⎛⎫<+-<+⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当+1n k =时，不等式()122ln 1k T k +<++成立， 所以22ln n T n <+,证毕.【点睛】本题考查归纳猜想，运用数学归纳法证明等式和不等式，关键在于利用假设，证明当+1n k =时成立，属于较难题.。
2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)
2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ．2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= ． 3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 ． 4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= ．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = ． 10．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= ． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为 ．12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为 ．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为 ．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ABO ∆3（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM g 为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=． （1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若220n T k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <． 【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，求A 的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）； （2）求()P n ．2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 112k-剟 ． 【解答】解：因为A B ⊇B ∴≠∅，∴213212k k --⎧⎨+⎩……，解得112k-剟 故答案为：112k-剟 2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= 1- ． 【解答】解：Q 复数1z i =+，∴1z i =-，∴111(1)1z i izi i i i --===-+-． 故答案为1-．3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 35 ． 【解答】解：理科生人数占的比例为10003007100010-=，则应抽取的理科生人数为为7503510⨯=人， 故答案为：35．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 20 ．【解答】解：赋值5a =，1S =，判断54a =…成立， 执行155S =⨯=，1514a a =-=-=，判断44a =…成立， 执行5420S =⨯=，1413a a =-=-=，判断34a =…不成立， 算法结束，输出20S =． 故答案为：20． 5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 {|1x x …且5}x ≠ 【解答】解：要使函数有意义，则1050x x -⎧⎨-≠⎩…得15x x ⎧⎨≠⎩…，即1x …且5x ≠，即函数的定义域为{|1x x …且5}x ≠， 故答案为：{|1x x …且5}x ≠ 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为49【解答】解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中， 基本事件总数339n =⨯=，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数224m =⨯=，∴黑白两球均不在1号盒子的概率为49m p n ==． 故答案为：49． 7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= 7 ． 【解答】解：Q 函数()y f x x =+是偶函数，()()f x x f x x ∴--=+，即()()2f x f x x -=+，f Q （3）1=，(3)f f ∴-=（3）23167+⨯=+=，故答案为：7．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 6 ．【解答】解：由双曲线22154x y -=，得25a =，24b =，则3c =，则双曲线22154x y -=的左焦点为(3,0)-，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，则32p=，6p =．故答案为：6．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = 49 ． 【解答】解：2617a a a a +=+Q∴1777()492a a s +== 故答案是4910．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= 1213- ． 【解答】解：Q 直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，3cos 2sin 0θθ∴+=，2cos sin 3θθ∴=-，22222413sin cos 199sin sin sin θθθθθ∴+=+==，解得sinθ=，cos θ=sin θ=cos θ=12sin 22sin cos 213θθθ∴==-=-．故答案为：1213-． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为．【解答】解：Q 圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，∴设底面半径为r ，则高为2r ，母线长2245l r r r =+， ∴圆锥的侧面积5S rl r r πππ==⨯=，解得15r =41555l =Q 正方形ABCD 内接于底面圆O ， 2AB r ∴=，∴四棱锥P ABCD -侧面积为：22144()22PAB ABS S AB PA ∆==⨯⨯-2221652256625r r r r =-==．65 12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为 2 ． 【解答】解：根据题意，圆22:20C x y x m +-+=化为标准方程为22(1)1x y m -+=-，其圆心为(1,0)，半径1r m =- 2212||435C C =+，又由圆1C 与圆2C 内切，且圆1C 的半径小于6，则有615m -，解可得0m =，圆心1(1,0)C 到51280x y ++=的距离|58|125144d +==+，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为112+=； 故答案为：2．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为．【解答】解：如图，(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)D ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则向量c r 满足1||2c a -=r r ，设OC c =u u u r r ，所以点C 为以A 为圆心，以12为半径的圆上的一点， 所以||||||a b c OD OC CD +-=-=u u u r u u u r r r r ，同理2||2||c b BC -=rr ，取点1(1,)4E ，则AE ACAC AD =，又因CAE DAC ∠=∠， 所以AEC ACD ∆∆∽，所以12CE CD =，即2CD CE =， 所以||2||2222()a b c c b CD BC CE BC BC CE +-+-=+=+=+r rr r r ，由三角形的三边关系知223552()221()2442BC CE BE +=+=⨯=…．故填：52．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是 [1-，)+∞【解答】解：()x f x e ax b =-+Q ， ()x f x e a ∴'=-，当0a …时，()0f x '>恒成立，则()f x 单调递增，()1f x …不恒成立， 当0a >时，令()0x f x e a '=-=，解得x lna =， 当(,)x lna ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x lna ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ()()min f x f lna a alna b ∴==-+，()1f x Q …恒成立，1a alna b -+Q … 1b alna a ∴-+…，∴2112b a alna a lna a a a--+=+-…， 设g （a ）12lna a=+-，0a > g ∴'（a ）22111a a a a-=-=， 令g '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，g '（a ）0<，函数g （a ）单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，g '（a ）0>，函数g （a ）单调递增，g ∴（a ）0121min =+-=-，∴1b aa--…， 故答案为：[1-，)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）(2)cos cos a c B b C -=Q ，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=． ⋯（2分）2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A ∴=+=+=，⋯（4分） (0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠．1cos 2B ∴=． 又0B π<<Q ，3Bπ∴=． ⋯（6分）（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=，得32262b ⨯==． ⋯（8分） 4A π=Q ，3B π=，512C π∴=，sin sin C ∴= 5sin()sin cos 12646ππππ=+= cos 4π+ 4πsin 626π+=． ⋯（11分） 116233sin 2622S ab C ++∴==⨯⨯⨯=g ． ⋯（13分） 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．【解答】证明：（1）11//AA BB Q ，11AA BB =，∴四边形11AA B B 是平行四边形，11//AB A B ∴，又AB ⊂/平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，//AB ∴平面11A B C ．（2）由（1）证明同理可知11AC AC =，11BC B C =，AB BC =Q ，1111A B B C ∴=，M Q 是11A B 的中点，111C M A B ∴⊥，1CC ⊥Q 平面111A B C ，11B A ⊂平面111A B C ， 111CC B A ∴⊥，又111CC C M C =I ， 11B A ∴⊥平面1C CM ，又11B A ⊂平面111A B C ，∴平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．【解答】解：（1）连接CO 并延长交半圆于M ，则4AOM COD π∠=∠=，故4πθ…，同理可得34πθ…，[4πθ∴∈，3]4π． 过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，||2GOF πθ∠=-，11sin cos ||2OF πθθ∴==-，又¶AE θ=， 11()566sin T vv v θθθ∴=++，[4πθ∈，3]4π．（2）22222 1cos65cos65cos6 ()563030sin cosTv vsin vsin vsinθθθθθθθθθ---+'=-==，令()0Tθ'=可得26cos5cos60θθ--+=，解得2cos3θ=或3cos2θ=-（舍)．设2cos3θ=，[4πθ∈，3]4π，则当4πθθ<…时，()0Tθ'<，当34πθθ<…时，()0Tθ'>，∴当θθ=，()Tθ取得最小值．故2cos3θ=时，时间T最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，ABO∆3（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：||||AN BMg为定值．【解答】解：（1）由题意可知，12cea==，132S a b=⨯⨯222a b c=+，所以2a=，3b=，1c=，所以椭圆方程为22143x y+=；（2）证明：方法一：由（1）知，(2,0)A，3)B，由题意可得，因为(P x，)y，则2200143x y+=，直线PA的方程为0(2)2yy xx=--令0x=，得022Myyx=--．从而02|||3||3|2MyBM yx==-．直线PB的方程为033yy-=+令0y =，得0033N x x y =--．从而003|||2||2|3N x AN x y =-=+-．0032|||||2||3|23x y AN BM x y ∴=++--g g 2200000000003443128312||3223x y x y x y x y x y ++--+=--+0000000043128324||433223x y x y x y x y --+==--+．所以||||AN BM g 为定值．方法二：如图所示：设P 的坐标为(2cos ,3sin )θθ， 由(2,0)A ，(0,3)B ， 则直线AP 的方程为3sin (2)y x θ=-，令0x =时，则3sin y θ=，即3sin (0,)M θ，所以3sin cos 1sin |||3|3||1cos BM θθθθ--=+=-，同理可得2cos (1sin N θθ-，0)， 所以2cos 1sin cos |||2|2||1sin 1sin AN θθθθθ--=-=--，所以|1sin cos ||1sin cos |(1sin )(1cos )||||2323243(1sin )(1cos )(1sin )(1cos )AN BM θθθθθθθθθθ------==⨯⨯=----g g ，所以||||AN BM g为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=． （1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若0n k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=， 可得1111222S a a a ==+，解得1a =由2222)a a a =+，解得22a =-可得22S =； 由33322(2)a a a +=+，解得32a =，即有3S = 由2n …时，1n n n a S S -=-，可得1122n n n n n S S S S S ---+=-，化为11()()2n n n n S S S S ---+=，即2212n n S S --=，则222(1)2nS n n =+-=，由0n a >，可得n S由22n n na S a +==，可得n a =； （2）21n n n b S S +===+，可得11n T =，由10n n T T +->，可得n T 在*n N ∈递增，n T的最小值为1T =，0n k -…对任意的正整数n都成立，可得11k =…，则实数k 的取值范围为(-∞1]．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <．【解答】解：（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1()2f x x'=-，f '（1）1=-， 又(1,2)A ，∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=；②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m=-=---=-+，则222222(1)()20m m h m m m m -+'=--=-<，()h m ∴在(0,)+∞上单调递减．又h （1）0=，∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m>；当1m =时，()0h m =，即1()()f m f m =；当1m >时，()0h m <，即1()()f m f m<．证明：（2）由题意，21240x lnx ax +--…，而222(21)()24x ax g x x a x x --'=--=，令()0g x '=，解得x a =±0a >Q ，∴1a ，()g x ∴'在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增． 0()()min g x g x ∴=．()0g x Q …在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即00200022401240x a x x lnx ax ⎧--=⎪⎨⎪+--=⎩，消去a ，得200000212(2)0x lnx x x x +---=， 即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--，0()0h x '<Q 在(1,)+∞上恒成立，0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，又h （1）20=>，h （2）2210ln =--<，012x ∴<<． 0011()2a x x =-Q 在(1,2)上单调递增，34a ∴<． 【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵110[]31A b -=，求A 的特征值．【解答】解：Q 矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，111030032213AA a ab a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得1a =，23b =-，3021A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦． 30||(3)(1)021E A λλλλλ-⎡⎤-==--=⎢⎥--⎣⎦， 解得A 的特征值为1或3． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．【解答】解：直线l过点)6A π，(3,0)B 转化为直角坐标为：3(2A，(3,0)B ，则直线l的方程为：30x +-=．曲线:cos (0)C a a ρθ=>转化为直角坐标方程为：222()24a a x y -+=，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，则：|3|222a a -= 解得：2a =（负值舍去）． 实数a 的值为2．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 【解答】解：（1）将0(2,)M y 代入22x py =得02y p =，又025||()222p p MF y p =--=+=，1p ∴=， ∴抛物线的方程为22x y =，（2）直l 的斜率显然存在，设直线:l y kx b =+，1(A x ，1)y 、2(B x ，22)2y由22y kx b x y =+⎧⎨=⎩得：2220x kx b --= 122x x k ∴+=，122x x b =-由，121212242OA OB y y x x b k k x x ===-=-g ，4b ∴= ∴直线方程为：4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)，原点O 到直线l的距离d =，11||1622OAB S d AB ∴=⨯=，243264k ∴+=，解得k =±所以直线方程为：4y =±+．24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）； （2）求()P n ．【解答】解：（1）抛掷一次，出现一个0和一个3时符合要求，故P （1）12=， 抛掷两次，出现12+，21+，00+，33+，03+，30+时，符合要求，故计6种情况， 故P （2）63168==． （2）设n S 被3除时余1的概率为1()p n ，n S 被3除时余2的概率为2()P n ， 则12111(1)()()()244P n P n P n P n +=++，① 112111(1)()()()424P n P n P n P n +=++，② 212111(1)()()()442P n P n P n P n +=++，③ ①(-②+③)，得：12121(1)[(1)(1)][()()]2P n P n P n P n P n +-+++=-+， 化简，得4(1)()1P n p n +=+， 111(1)[()]343P n P n ∴+-=-，又P （1）12=， 121()334n P n ∴=+⨯．。
2020届江苏省南通市高三高考考前模拟卷(五)数学Ⅰ试题
南通市2020届高考考前模拟卷（五）数学Ⅰ（南通数学学科基地命题）一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知全集U =R ，集合A ={x ｜3≤x ＜7}，B ={x ｜x 2－7x +10＜0}，则A ∩B ＝ ▲ . 2. 已知a ∈R ，复数满足z1+i =1+ai 且虚部为－1(i 为虚数单位)，则a ＝ ▲ .3. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则数据在区间[6，10)上的频数是 ▲ .4. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ .5. 记函数f (x )= －x 2＋5x －4的定义域为D ，若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D的概率为 ▲ .6. 在各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 6＋a 7a 5＋a 6的值是 ▲ .7. 已知函数f (x )= sin(ωx +φ) (ω>0，0<φ<π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移π3个 单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式f (x )= ▲ .8. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a ，表示的平面区域为S ，若点P (x ，y )∈S ，且z =2x +y 的最大值为9，则实数a 的值为 ▲ .9. 已知P 是以F 1，F 2为左，右焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上的一点，且满足PF 1→・PF 2→=0，tan ∠P F 1F 2=14，则此双曲线的离心率为 ▲ . 10. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，P 为 AA 1的中点，Q 为CC 1的中点，则三棱锥B －PQD 的体（第4题）（第3题）C 1D 1B 1A 1 Q积为 ▲ .11. 若圆C :x 2＋y 2－2x ＋4y －3=0关于直线2ax ＋by ＋6=0对 称，则由点(a ，b )向圆C 所作切线长的最小值是 ▲ .12. 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知C =π3，若2｜CA →－CB →｜=4，则△ABC面积的最大值为 ▲ .13. 已知函数f (x )=ax ＋3＋|2x 2＋(4－a )x －1|的最小值为2，则a ＝ ▲ .14. 设函数f 1(x )= x 2，f 2(x )=2（x －x 2），f 3(x )=13 |sin 2πx |. 取t i =i 2019，i =0，1，2， (2019)S k =| f k (t 1)－f k (t 0)|＋| f k (t 2)－f k (t 1)|＋…＋| f k (t 2019)－f k (t 2018)|，k =1，2，3， 则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ▲ . (用“<”连接)二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）如图,在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABD =30°，AB =2CD =2AD ，DE ⊥平面ABCD ，EF ∥BD ，且EF =13BD .求证：(1) DE ∥平面ACF ;(2)平面ADE ⊥平面BDEF .16.（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且△ABC 的面积S 满足S=12AB →・AC →=1. (1) 若求角A 的值；(2) 若BC 边上的中线长为132，求a 的值.17.（本小题满分14分）国家提倡工匠精神，球宝行业对宝石的切割力求完美，以更好地展现宝石的魅力. 如图1是 一幅宝石切割效果图的侧面平面图，展示的是将一块圆心角为90°，半径为4mm 的扇形图，计划切割成顶部为等腰梯形的形状，即图2的形状，其中OM ⊥AB 交CD 于点M ，交AB 于点N . 切工的效果由很多参数衡量，冠高比就是其中一个，指的是宝石冠部高度与腰围直径的百分比，即MNAB＝t %，t的数值范围在区间[11，18]时效果最优. 切割在冠高比达到最优效果的前提下，希望使得五边形OADCB(第15题)EF BDAC的面积最大.(1) 设∠MOD =θ，将五边形OADCB 的面积S 表示成的函数关系式，并求θ的取值范围; (2) 求S 的最大值及取得最大值时的值.(取cos π12≈0.96，cos π6≈0.86，2≈1.414，3≈1.732)18.（本小题满分16分）如图，焦点在x 轴上的椭圆C 1与焦点在y 轴上的椭圆C 2都过点M (0，1)，中心都在坐标原点，且椭圆C 1与C 2的离心率均为63.(1) 求椭圆C 1与椭圆C 2的标准方程；(2) 过点M 且互相垂直的两直线分别与椭圆C 1， C 2交于点A ，B (点A 、B 不同于点M ),当△MAB 的面积取最大值时，求直线MA ，MB 斜率的比值.19.（本小题满分16分）已知函数f (x )＝(ax 2+x +1)e x，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1) 当a ＝2时，求f (x )的极值; (2) 写出函数f (x )的单调增区间;(3) 当a ＝0时，在y 轴上是否存在点P ，过点P 恰能作函数f (x )图象的两条切线?若存在，求出所有这样的点; 若不存在，请说明理由.图 2 D M N C B O A 图120.（本小题满分16分）已知n∈N*且3，如果数列{a n}满足:对于任意的i=1，2，…，n，均有a i<Sn－1，其中S= a1+ a2+…+a n，那么称数列{a n}为“紧密数列”.(1) 若“紧密数列”{a n}:a1,a2,a3,a4为等差数列，a1=2，求数列{a n}的公差d的取值范围;(2) 数列{a n}: a1, a2…, a n为“紧密数列”，求证:对于任意互不相等的m,n,k∈{1,2,3,…n},均有a m+a n＞a k;(3) 数列{a n}: a1, a2, …, a n为“紧密数列”，对于任意的i=1,2,…,n，a∈Z，且a i+1≠a i(1≤i≤n－1)成立，求S的最小值T n.南通市2020届高考考前模拟卷（五）试题Ⅰ参考答案(详细答案见教参)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1、答案：[ 3，5) 2、答案： －2 3、答案： 70 4、答案： 60 5、答案：310 6、答案：5＋127、答案：sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 8、答案：3 9、答案：173 10、答案：4311、答案：10 12、答案：2 313、答案：1214、答案：S 2＜S 1＜ S 3二、解答题（共90分） 15、（本小题满分14分） （略,见图） 16、（本小题满分14分）（1）A =π4； （2）a =5. 17、（本小题满分14分）（1）[π12，π6]; （2）θ= π12； 18、（本小题满分16分）（1）3x 2＋y 2＝1;（2）3－233.19、（本小题满分16分）12(第15答)EFBDAC（1）e-12;（2）当a ＜0时， f (x )的单调增区间(－2，－ 1a )； 当a ＝0时， f (x )的单调增区间(－2，＋∞)； 当0＜a ＜12时， f (x )的单调增区间(－∞，－1a )； 当a ＝12时， f (x )的单调增区间(－∞，＋∞)；当a ＞12时， f (x )的单调增区间(－∞，－2)和(－1a ，＋∞)；（3）在y 轴上存在点P 恰能作曲线的两条切线，点P 的纵坐标的取值范围为[0，1）∪｛-5e -3｝. 20、（本小题满分16分） （略）。
2020年高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z =−1i −1，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点的坐标为( )A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,2)D. (1,−2)2. 已知集合A ={x|x −1⩾0}，B ={x|x 2⩽1}，则A ∪B =( )A. {x|x ⩾1}B. {x|x ≥−1}C. {x|x <1}D. {x|x ⩽−1}3. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6 B. −6 C. −1 D. 14. 如图所示的程序框图，若输入m =221，n =91，则输出的结果是( )A. 3B. 7C. 13D. 265. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 3B. 2C. 83 D. 436. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −67.将一个质地均匀的正四面体玩具(四个面上依次标有1，2，3，4)先后抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，则事件“2a−b=0”发生的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 128.若x∈[−π6,π3]时，函数y=sin(x+π3)的值域是()A. [−1,√3]B. [1,√3]C. [√3,2]D. [1,2]9.已知点M是双曲线x23−y22=1上一点，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|MF1|=2|MF2|，则△MF1F2的面积是()A. 4√3B. 2√11C. 3√6D. 6√5510.已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，那么函数F(x)=xf(x)(x∈R)()A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数11.如图所示，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为()A. 16B. 14C. 13D. 1212.如图，AB是椭圆C长轴长的两个顶点，M是C上一点，tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，则椭圆的离心率为()A. √33B. √63C. √306D. √426二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={|log4x|,0<x≤4−12x+3,x>4，若a<b<c且f(a)=f(b)=f(c)，则(ab+1)c的取值范围是________．14.若直线l与圆(x+1)2+(y−2)2=100相交于A，B两点，弦AB的中点为(−2,3)，则直线l的方程为______ ．15.已知△ABC满足(c−b)(sinC+sinB)=(c−a)sinA，则角B=______ ．16.三棱锥P−ABC中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2√2，PC=2√3，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=(−1)nn(a n−12)(a n+1−12)，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，已知四棱锥P−ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°．(1)证明：PB⊥BC；(2)若平面PAD⊥底面ABCD，E为线段PD上的点，且PE=2ED，求三棱锥P−ABE的体积．19.为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治．某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70,95].已知评估综合得分与产品等级如下表：综合得分m等级m≥85一级品75≤m<85二级品70≤m<75三级品根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表如下和乙型号的样本频率分布直方图(如图)．综合得分频数[70,75)2[75,80)8[80,85)30[85,90)35[90,95)25合计100(Ⅰ)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为一级品的概率；(Ⅱ)在某次促销活动中，厂家从2件甲型一级品和3件乙型一级品中随机抽取2件送给两名幸运客户，求这两名客户得到同一型号产品的概率；(Ⅲ)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较．20.已知动圆过定点P(2,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为4．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)，求x0的取值范围．21.已知函数f(x)=(e x−1)(x−a)+ax．(1)当a=1时，求f(x)在x=1处的切线方程；(2)若当x>0时，f(x)>0，求a的取值范围．22.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)过点P的直线l交C1于点A，B，交C2于点Q，若|PA|+|PB|=λ|PQ|，求λ的最大值．23.已知函数f(x)=|x−1|−|x+2|．(1)若不等式f(x)≤|a+1|恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式|f(x)−|x+2||>3的解集．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的运算，化简得z =−1+i ，根据共轭复数的概念，即可求解．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 解：z =−1i −1=−1+i ，z −=−1−i ，对应点的坐标为(−1,−1)， 故选：A ．2.答案：B解析：本题主要考查集合的基本运算，求出集合A ，B 的元素是解决本题的关键，求出集合A ，B ，利用集合的并集运算即可得到结论，比较基础． 解：由题意得集合A ={x|x ≥1}， B ={x|x 2≤1}={x |−1≤x ≤1}， 所以A ∪B ={x|x ≥−1}， 故选B ．3.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1,2)⋅(−4,−1)=−4−2=−6， 故选：B ．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 计算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．4.答案：C解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：若输入m=221，n=91，第一次执行循环体后，满足m≠n，k=130，不满足n>k，故m=130第二次执行循环体后，满足m≠n，k=39，满足n>k，故m=91，n=39；第三次执行循环体后，满足m≠n，k=52，不满足n>k，故m=52第四次执行循环体后，满足m≠n，k=13，满足n>k，故m=39，n=13第五次执行循环体后，满足m≠n，k=26，不满足n>k，故m=26第六次执行循环体后，满足m≠n，k=13，不满足n>k，故m=13第七次执行循环体后，不满足m≠n，故输出的m值为13，故选：C．5.答案：C解析：本题考查简单几何体的三视图以及棱锥的体积公式．解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为边长是2的正方形，髙为2，所以体积为V=13×2×22=83．故选C．6.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．7.答案：B解析：本题考查古典概型，解决问题的关键是由题列举所有的情况，结合满足2a −b =0即b =2a 的有(1,2)，(2,4)，共2个，进而求解比值即可． 解析：解：将一个质地均匀的正四面体玩具连续抛掷两次，得到的点数(a,b)分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．其中满足2a −b =0即b =2a 的有(1,2)，(2,4)，共2个， 则事件“2a −b =0”发生的概率P =216=18， 故选B ．8.答案：D解析：本题主要考查正弦型函数在给定区间上值域问题，属基础题．解：∵x∈[−π6,π3 ]，∴x+π3∈[π6,2π3]，∴sin(x+π3)∈[12,1]∴y∈[1,2]，故选D．9.答案：B解析：本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，属于中档题．解：由双曲线x23−y22=1知a=√3，因为|MF1|=2|MF2|，且|MF1|−|MF2|=2a=2√3，所以|MF1|=4√3，|MF2|=2√3，又|F1F2|=2√5，所以在△MF1F2中，cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2−|F1F2|22|M F1||MF2|=56，故sin∠F1MF2=√116，所以S△MF1F2=12|MF1||MF2|sin∠F2MF2=2√11，故选B．10.答案：B解析：本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．解：由y=f(x)为奇函数可得f(−x)=−f(x).∵F(x)=xf(x).∴F(−x)=−xf(−x)=xf(x)=F(x)．∴函数y=F(x)为偶函数．故选B．11.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．利用异面直线所成角的定义：取BC的中点M，连接ME，得∠AEM的余弦值即为所求，利用余弦定理解决．解：取BC的中点M，连接ME，由题意得∠AEM的余弦值即为所求，设PA=AB=2a，在ΔAME中EM=√2a，EM=√2a，AM=√3a，由余弦定理得．故答案为14．12.答案：C解析：可以已知条件求出M的坐标，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．解：tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，可得tan∠MBA=−tan∠AMB+tan∠MAB1−tan∠AMBtan∠MAB=12，AB是椭圆C长轴长的两个顶点，M是C上一点，tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，A(−a,0)，B(a,0)，M(acosθ,bsinθ)，所以bsinθacosθ+a =13，bsinθacosθ−a=−12，可得cosθ=15，所以2√65b15a+a=13，可得a2−c2a2=16，解得e=ca =√306．故选：C．13.答案：(16,64)解析：本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出ab=1，代数式的化简，指数函数的单调性的运用，属于中档题．画出图象得出，当f(a)=f(b)=f(c)，a<b<c时，0<a<1<b<4<<c<6，ab=1，化简(ab +1)c =2c ，由指数函数的单调性即可求得范围．解：函数f(x)={|log 4x|,0<x ≤4−12x +3,x >4， f(a)=f(b)=f(c)，a <b <c ，∴0<a <1<b <4<c <6，ab =1，∴(ab +1)c =2c ，即有16<2c <64，故答案为：(16,64)．14.答案：x −y +5=0解析：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中由垂径定理的逆定理得到圆心与弦AB 中点的连线与直线l 垂直是解本题的关键．由圆的方程找出圆心C 的坐标，连接圆心与弦AB 的中点，根据垂径定理的逆定理得到此直线与直线l 垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为−1，由圆心与弦AB 中点的连线的斜率，求出直线l 的斜率，再由直线l 过AB 的中点，即可得到直线l 的方程．解：由圆(x +1)2+(y −2)2=100，得到圆心C 的坐标为(−1,2)，由题意得：圆心C 与弦AB 中点的连线与直线l 垂直，∵弦AB 的中点为(−2,3)，圆心C 的坐标为(−1,2)，∴圆心与弦AB 中点的连线的斜率为3−2−2+1=−1，∴直线l 的斜率为1，又直线l 过(−2,3)，则直线l 的方程为y −3=x +2，即x −y +5=0．故答案为x −y +5=0． 15.答案：π3解析：解：由正弦定理得(c−b)(c+b)=(c−a)a，即c2−b2=ac−a2，即a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，则在△ABC中，B=π3，故答案为：π3根据正弦定理和余弦定理进行化简即可．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．16.答案：12π解析：可得△PAC是直角三角形．△PBC是直角三角形．可得三棱锥P−ABC的外接球的球心、半径，即可求出三棱锥P−ABC的外接球的表面积．本题考查了三棱锥P−ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P−ABC的外接球的球心、半径是关键．属于中档题．解：∵AP=2，AC=2√2，PC=2√3，∴AP2+AC2=PC2．∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．∵PB=2√2，BC=2，PC=2√3，∴PB2+BC2=PC2，∴△PBC是以∠PBC为直角的直角三角形．∴取PC中点O，则有OP=OC=OA=OB=√3，∴O为三棱锥P−ABC的外接球的球心，半径为√3．∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．17.答案：解：(Ⅰ)在公差d 不为0的等差数列{a n }中，a 22=a 3+a 6，且a 3为a 1与a 11的等比中项，可得(a 1+d)2=2a 1+7d ，且a 32=a 1a 11，即(a 1+2d)2=a 1(a 1+10d)，解得a 1=2，d =3，则a n =2+3(n −1)=3n −1，n ∈N ∗；(Ⅱ)b n =(−1)n n (a n −12)(a n+1−12)=(−1)n n (3n−32)(3n+32) =19⋅(−1)n ⋅4n (2n−1)(2n+1)=19⋅(−1)n ⋅(12n−1+12n+1)，∴T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =19[−(11+13)+(13+15)−(15+17)+⋯+(−1)n ⋅(12n −1+12n +1)] =19[−1+(−1)n ⋅12n+1)]．解析：本题考查等差数列的通项公式的求法，注意运用方程思想，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)化简b n =(−1)n n (3n−32)(3n+32)=19⋅(−1)n ⋅(12n−1+12n+1)，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．18.答案：解：(1)取AD 中点O ，连接OP ，OB ， ∵PA =PD ，∴OP ⊥AD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60°，∴OB ⊥AD ，∴AD ⊥平面POB ，又AD//BC ，∴BC⊥平面POB，∴PB⊥BC；(2)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OB⊥AD，∴OB⊥平面PAD．∵PE=2ED，∴S△PAE=23S△PAD=23⋅√34⋅22=2√33，又OB=√3OA=√3，∴V P−ABE=V B−APE=13S△APE⋅OB=13×2√33×√3=23．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．(1)取AD中点O，连接OP，OB，证明AD⊥PO，AD⊥OB得出AD⊥平面POB，再结合AD//BC得出结论；(2)根据V P−ABE=V B−APE=13S△APE⋅OB求出棱锥的体积．19.答案：解：(Ⅰ)设事件A为“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为一级品”，由图可得，估计这件产品为一级品的概率P(A)=1−(0.01+0.02+0.03)×5=0.7；(Ⅱ)设甲型净化器记为a1，a2，乙型净化器记为b1，b2，b3，从5件中任取2件共有10种情况：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3),(a2,b1)，(a2,b2),(a2,b3)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)，这两名顾客得到同一型号产品共有4种情况：(a1,a2)，(b1,b2),(b1,b3)，(b2,b3)，设事件B为“两名顾客得到同一型号产品”，则P(B)=410=25；(Ⅲ)①可根据三级品率进行比较，由图表可知，甲型产品三级品的概率为0.02，乙型产品三级品的概率0.05，所以可以认为甲型产品的质量更好；②可根据一级品率进行比较，由图表可知，甲型产品一级品的概率为0.6，乙型产品一级品的概率为0.7，所以可以认为乙型产品的质量更好．解析：本题考查频率分布直方图及随机变量的概率求法．(Ⅰ)由频率f分布直方图中各小矩形面积之和为1估计这件产品为一级品的概率；(Ⅱ)考查求这两名客户得到同一型号产品的概率，应用古典概型求概率的方法：从5件中任取2件共有10种情况，这两名顾客得到同一型号产品共有4种情况，从而求概率；(Ⅲ)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较，可从三级品概率角度也可从一级品概率角度．20.答案：解：(1)设圆心C(x,y)，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，则|MD|=2，∴|CP|2=|CM|2=|MD|2+|DC|2，∴即(x −2)2+y 2=22+x 2，化简得y 2=4x ．(2)由题意，设直线l 的方程为x =my +1(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点S(x 3,y 3)，则由{x =my +1y 2=4x，得y 2−4my −4=0， 所以y 3=y 1+y 22=2m,x 3=my 3+1=2m 2+1，则线段AB 的中垂线的方程为y −2m =−m(x −(2m 2+1))，则x 0=2m 2+3，所以x 0的取值范围是(3,+∞)．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．(1)设圆心C(x,y)，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，转化求解即可．(2)设直线l 的方程为x =my +1(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点S(x 3,y 3)，由{x =my +1y 2=4x，求出线段AB 的中垂线的方程为y −2m =−m(x −(2m 2+1))，然后求解x 0的取值范围． 21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=(e x −1)(x −1)+x =xe x −e x +1，∴f′(x)=xe x ，∴k =f′(1)=e ，∵f(1)=1，∴f(x)在x =1处的切线方程为y −1=e(x −1)，即ex −y −e +1=0；(2)∵f′(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，令g(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，∴g′(x)=(2+x −a)e x ，①当a ≤2时，g′(x)>0，在(0,+∞)上恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(0)=1−a +a −1=0∴f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴f(x)>f(0)=0，②当a >2时，当x ∈(0,a −2)时，g′(x)<0，函数g(x)为减函数，∵g(0)=(1−a)+(a −1)=0，∴当x ∈(0,a −2)时，g(x)<0，即f′(x)<0，函数f(x)在(0,a −2)为减函数，∵f(0)=0，∴当x ∈(0,a −2)时，f(x)<0，即f(x)>0不是对一切x >0都成立，综上所述，a ≤2，即a 的取值范围为是(−∞,2]．解析：(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，(2)先求导，再构造函数g(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，再求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出．本题考查了导数以及应用，不等式等基础知识，考查了推理论证能力，运算求解能力，抽象概括能力等，考查了函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想，数形结合思想等，属于难题． 22.答案：解：(1)曲线C 1：ρ=2sinθ，所以：曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0；曲线C 2：ρcosθ=3，所以：曲线C 2的直角坐标方程为：x =3．(2)P 的直角坐标为(−1,0)，设直线l 的倾斜角为α，(0<α<π2)，则直线l 的参数方程为：{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2−2(sinα+cosα)t +1=0，t 1+t 2=2(sinα+cosα)直线l 的参数方程与x =3联立解得，t 3=4cosα，由t 的几何意义可知，|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=4λcosα， 整理得， 4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=√2sin(2α+π4)+1，由0<α<π2，π4<2α+π4<5π4，所以，当2α+π4=π2，即α=π8时，λ有最大值14(√2+1)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3，所以由f(x)≤|a +1|恒成立得|a +1|≥3，即a +1≥3或a +1≤−3，解得a ≥2或a ≤−4；(2)不等式||x −1|−2|x +2||>3，等价于|x −1|−2|x +2|>3或|x −1|−2|x +2|<−3，设g(x)=|x −1|−2|x +2|={−x −5,x ≥1−3x −3,−2≤x <1x +5,x <−2，画出g(x)的图象如图所示：由图可知，不等式的解集为{x|x<−8或x>0}．解析：(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，再求关于a的绝对值不等式即可；(2)由题意画出函数g(x)=|x−1|−2|x+2|的图象，结合图象求出对应不等式的解集．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(十)含答案解析
2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（十）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是．5．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．6．命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为．13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X 的分布列与数学期望EX．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（十）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于{1，3，4} ．【考点】补集及其运算．【分析】首先求出A∩B，然后对其进行补集运算．【解答】解：由已知，A∩B={2}，所以∁U（A∩B）={1，3，4}；故答案为：{1，3，4}．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|=．【考点】复数求模．【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（2+bi）（2﹣i）=4+b+（2b﹣2）i为纯虚数，∴，解得b=﹣4．则|1+bi|=|1﹣4i|==．故答案为：．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为100．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7=0.3，∴n的值=；故答案100．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是5．【考点】循环结构．【分析】根据所给的循环结构知第一个输出的数字是1，第二个输出的数字是1+2=3，第三个输出的数字是3+2=5．【解答】解：由题意知第一个输出的数字是1第二个输出的数字是1+2=3第三个输出的数字是3+2=5故答案为：55．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，由此利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学中至少有1名男同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，基本事件总数n==10，选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．6．命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣16，0] ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，故实数a的取值范围为[﹣16，0]．故答案为：[﹣16，0]．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin（x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．【考点】简单线性规划；平面向量的基本定理及其意义．【分析】因为是正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系：以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，所以设P（x，y），所以根据已知条件可得：（x，y）=（2β，α），所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设z=，y=，所以z表示直线在y轴上的截距，要求α+β的最大值，只需求截距z的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过B点时截距最大，所以将B点坐标带入直线方程，即可得到z的最大值，即α+β的最大值．【解答】解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系；则：，设P（x，y），；∴（x，y）=α（0，1）+β（2，0）=（2β，α）；∴；∴；设z=，则：y=，所以z是直线y=在y轴上的截距；由图形可以看出，当该直线经过B（1，1）点时，它在y轴的截距z最大，最大为；∴α+β的最大值是．故答案为：．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= e2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．【解答】解：y=a x+1的导数为y′=a x lna，即有曲线在点（0，2）处的切线斜率为k=lna，由于切线与直线x+2y+1=0垂直，则lna•（﹣）=﹣1，解得a=e2，故答案为：e2．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．【考点】基本不等式．【分析】由2xy≤x2+y2可得5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y2≥﹣2xy及5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求【解答】解：∵4x2﹣5xy+4y2=5，∴5xy=4x2+4y2﹣5，又∵2xy≤x2+y2∴5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2）设S=x2+y2，4s﹣5≤s∴s即∵x2+y2≥﹣2xy∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5∴xy∴﹣xy∴S=x2+y2≥﹣2xy∴∴+==故答案为：12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为[，+∞）∪{}．【考点】分段函数的应用．【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t2，讨论t＜1，及t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式或方程即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t2，若t＜1时，由f（t）=2t2得3t﹣1=2t2，即2t2﹣3t+1=0，得t=1（舍）或t=，当t≥1时，2t2=2t2成立，即t≥1或t=，若a＜1，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；此时≤a＜1，由f（a）=得3a﹣1=得a=，满足条件，若a≥1，由f（a）≥1，即2a2≥1，∵a≥1，∴此时不等式2a2≥1恒成立，由f（a）=得2a2=得a=±，不满足条件，综上≤a＜1或a≥1．即a≥．综上可得a的范围是a≥或a=．故答案为：[，+∞）∪{}13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是（0，）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设C（x0，2﹣2x0），得线段OC的中点坐标，则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，即可确定点C的横坐标的取值范围．【解答】解：设C（x0，2﹣2x0），则线段OC的中点坐标是D（x0，1﹣x0），则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，（x0）2+（1﹣x0）2＜1，解得0＜x0＜．故答案为：（0，）．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为{}．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先假设数列的项，利用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此，即可求得结论．【解答】解：设a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则∵后三项依次成公比为q的等比数列∴，整理得，所以（d﹣22）（3d﹣88）＜0，即，则d可能为24，26，28，当d=24时，a1=12，；当d=26时，（舍去）；当d=28时，a1=168，；所以q的所有可能值构成的集合为．故答案为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．【解答】解：（1）∵，从而．又∵，∴．…利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…==．…16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证DE∥平面ABC，根据线面平行的判定定理可知，证线线平行，取AB中点G，连DG，CG，只需证DE∥GC即可；（2）欲证平面AEF⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF⊥平面BCC1B1即可，然后再根据体积公式求出三棱锥A﹣BCB1的体积．【解答】解：（I）取AB中点G，连DG，CG在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴BCC1B1是矩形．∵D，E分别为AB1，CC1的中点，∴，∴是平行四边形，∴DE∥GC．∵GC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．（II）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AF⊥CC1∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC又BC∩CC1=C∴AF⊥平面BCC1B1，又AF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCC1B1AF⊥平面BCC1B1，在由已知，RT△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，∴17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【解答】解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=，CE=，∴13=16+AE2﹣2×，∴AE=1或3；（2）由题意，∠ACE=α∈[0，]，∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α．在△ACF中，由正弦定理得，∴CF=；在△ACE中，由正弦定理得，∴CE=，该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，S△CEF==，∵α∈[0，]，∴0≤sin（2α+）≤1，∴α=时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，可得=1，又e= =，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（k≠0）．联立，（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．解得，．可得：|EF|2=4（+）．同理可得：x D，y D．|OD|2．设△DEF的面积=S．可得S2=，化简利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，∴=1，又e==，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为=1．（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．（k≠0）．联立，解得=，=．∴|EF|2=4（+）=．同理可得：x D=，y D=．|OD|2=．设△DEF的面积=S．∴S2==××==f（k），令1+k2=t＞1，则f（k）==≥，当且仅当t=8，k=﹣时取等号．∴△DEF的面积存在最小值．此时D．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n 的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．【考点】数列的应用．【分析】（1）运用M类数列定义判断，（2）{a n}是“M类数列”，得出a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，求解a n+1+a n+2，a n+1a n+2的式子，结合定义判断即可（3）整体运用a n+a n+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出S n，再运用反证法证明即可．【解答】解：（1）因为a n+1=a n+2，p=1，q=2是“M类数列”，b n+1=2b n，p=2，q=0是“M类数列”．（2）因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1+a n+2=p（a n+1+a n+2）+2q，因此，{a n+a n+1}是“M类数列”．因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1a n+2=p2（a n a n+1）+pq（a n+a n+1）+q2，当q=0时，是“M类数列”；当q≠0时，不是“M类数列”；（3）当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，当n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，所以S n=．=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，当n为偶数时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），当n为奇数时，a n=S n﹣S n﹣1所以a n=假设{a n}是“M类数列”，当n为偶数时，a n+1=2n+1﹣1=pa n+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，当n为奇数时，a n+1=2n+1+1=pa n+q=p（2n﹣1）+q，p=2，q=3，得出矛盾，所以{a n}不是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（2）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】（1）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D．又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E．∴AD∥EC．（2）解：如图，∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，PA=AC﹣PC=6，即62=PB•（PB+9），∴PB=3．在⊙O2中，PA•PC=BP•PE．∴PE=4．∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】（Ⅰ）通过变换的特征即得结论；（Ⅱ）由（I）得，通过题意可得，利用x′=y′计算即可．【解答】解：（Ⅰ）通过题意，易得M=，N=；（Ⅱ）由（I）得，由=，得，由题意得x′=y′得3x=﹣2y，∴直线l的方程为3x+2y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X 的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P （A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i（i=0，1，2，3，4），则，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4）==，P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，P（X=4）=P（A2）==，∴X的分布列为：X 0 3 4P∴EX==．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．【考点】数学归纳法．【分析】（1）根据多项式乘法运算法则，可得a n=++…+，利用等比数列的求和公式，可得结论；（2）先计算b2，b3的值，代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1，再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）根据多项式乘法运算法则，得a n=++…+=1﹣．…（2）计算得b2=，b3=．代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1．…下面用数学归纳法证明b n=（1﹣）（1﹣）=﹣+×（n≥2）：①当n=2时，b2=，结论成立．②设n=k时成立，即b k=﹣+×．则当n=k+1时，b k+1=b k+=﹣+×+﹣=﹣+×．由①②可得结论成立．…2020年7月29日。
江苏省南通市2020高考数学监测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是A ．x y =B ．2x y =C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =2．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803π C ．409π D ．809π 3．函数()2f x ax =-与()x g x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],e -∞D ．(2,e ⎤-∞⎦ 4．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A．12B．3C．22D．36．直角坐标系xOy中，双曲线22221x ya b-=（0a b，>）与抛物线22?y bx=相交于A、B两点，若△OAB是等边三角形，则该双曲线的离心率e=（）A．43B．54C．65D．767．双曲线2214xy-=的渐近线方程是（）A．3y x=±B．23y x=±C．2xy=±D．2y x=±8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r，大圆柱底面半径为2r，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则12hh=（）A．21rr B．212rr⎛⎫⎪⎝⎭C．321rr⎛⎫⎪⎝⎭D21rr9．若复数21iz=+，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为i-B．2z=C．z的共轭复数为1i--D．2z为纯虚数10．已知31(2)(1)mxx--的展开式中的常数项为8，则实数m=（）A．2 B．-2 C．-3 D．311．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知()3E X=，则()(D X=)A．85B．65C．45D．2512．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考数学全真模拟试卷五(江苏南通专用)(原卷版)
2020年（南通）高考数学全真模拟试卷（五）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合M={x||x|<3}，N={x|y=√6+x−x2}，则M∩N=.2.设复数z满足z(2+i)=5，则|z−i|=.3.在等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的的条件.(在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填)4.从1，2，3，4，5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，则两次取出的数字中至少有一个是奇数的概率为.5.如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的平均长度为mm．6.下图是某算法的伪代码，则输出的S的值是．7.己知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过点F作圆x2+y2=b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为.8.已知直线y=kx+k+1经过不等式组{2x+y−6≤0x+y−3≥0y≤2表示的平面区域，则实数k的取值范围是.9.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P(sin132°,cos132°)，则tan(α+12°)= .10.已知一个底面半径为r ，高为h 的圆锥内有一个棱长为a 的内接正方体，且该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，若r =√2ℎ，则a ℎ=______．11.已知命题p:∃x 0∈R ，ax 02+x 0+12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 12.对任意的θ∈(0,π2)，不等式1sin 2θ+4cos 2θ≥|2x −1|恒成立，则实数x 的取值范围是______．13.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，xlnx ⋅f′(x)<−f(x)，则使得(x 2−4)f(x)>0成立的x 的取值范围是 .14.设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为不共线的非零向量，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =11+λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ1+λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .定义点集M ={P|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |}.当P 1,P 2∈M ，且不在直线AB 上时，若对任意的λ≥2，不等式|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⩽m|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立，则实数m 的最小值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若2R(sin 2B −sin 2A)=(a +c)sinC ．(Ⅰ)求角B ；(Ⅱ)若b =√7，c =2，求sin A 的值．16.在如图所示的多面体中，平面ABED 垂直于以AB 为直径的半圆面，C 为AB ⏜上一点，AB//DE ，AD ⊥AB ，12AB =AD =DE =2．(1)若点F 是线段BC 的中点，求证：EF//平面ACD ；(2)若点C为AB⏜的中点，求点E到平面BCD的距离．17.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于14(2)若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．18.已知椭圆E 的焦点为F 1(−1,0)和F 2(1,0)，过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线x =3于点C.设AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，已知当λ=2时，|AB|=|BF 1|.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．19.已知点P 1(a 1,b 1)，P 2(a 2,b 2)，…P n (a n ,b n )，(n 为正整数)都在函数y =(12)x 的图象上．(1)若数列{a n }是等差数列，证明：数列{b n }是等比数列；(2)设a n =n ，(n ∈N +)，过点P n ，P n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c n ，试求最小的实数t ，使c n≤t对一切正整数n恒成立；(3)对(2)中的数列{a n}，对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入3k−1个3，得到一个新的数列{d n}，设S n是数列{d n}的前n项和，试探究2016是否是数列{S n}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．20.已知函数f(x)=xsinx+cosx，g(x)=cosx．x(Ⅰ)判断函数f(x)在区间(0,−∞)上零点的个数；(Ⅱ)设函数g(x)在区间(0,+∞)上的极值点从小到大分别为x1，x2，x3，x4，…，x n.证明：(1)g(x1)+g(x2)<0；(2)对一切n∈N∗，g(x1)+g(x2)+g(x3)+⋯+g(x n)<0成立．数学附加题21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M =,β=,计算M 6β.B ：[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ(θ为参数)，已知点Q(6,0)，点P 是曲线C 1上任意一点，点M 满足PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线l ：y =kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ =4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求k 的值C ：[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设正数a,b,c 满足a+b+c≤3,求证:++≥.1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦17⎡⎤⎢⎥⎣⎦11a +11b +11c +32【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成.(1) 求出考生甲正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;(2) 若考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.23. (本小题满分10分)设S n =-+-…+(-1)m ,m,n ∈N *且m<n,其中当n 为偶数时,m=;当n 为奇数时,m=. (1) 求证:当n ∈N *,n≥2时,S n+1=S n -S n-1;(2) 记S=-+-+…-,求S 的值. 230C n 1-1C n 2-2C n -C m n m 2n -12n 020141C 2014120131C 2013220121C 2012320111C 2011100710071C 1007。
江苏省南通市2020届高三高考考前模拟卷数学试题(十)含附加题 含答案
18.（本小题满分 16 分） 已知椭圆 C 的方程是: x42＋y32＝1.
(1)设椭圆的左,右焦点分别为 F1,F2，点 P 在椭圆上运动，求|P→F1|・|P→F2|＋P→F1・P→F2的值; (2)设 S 为椭圆的右顶点，过椭圆 C 的右焦点的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点(异于点
南通市 2020 届高考考前模拟卷（十）
试题Ⅰ参考答案(详细答案见教参)
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1、答案：3
参考解答或提示:因为 A B {x | a x 4}={x | 3 x 4}，所以 a 3.
2、答案：1
3、答案： 0 或 e 4、答案： 256 5、答案：90° 6、答案：14
（1）y=c＋6(ax+16x00b)，x∈（0，40];
D1
C1
A1
B1
E
D
C
A
B
(第 16 题图)
高三数学参考答案 第 1 页（共 2 页）
（2）当 b≤a 时，水池设计成垂直于厂房的一边的边长为 40 abm，平行于厂房的一边的 边长为 40 ba的长方形时，造价最低为(c+480 ab)元;
答案：（－∞，3];
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
（1）
10 10
;
（2）32.
23．（本小题满分 10 分） （略）
高三数学参考答案 第 3 页（共 2 页）
S)，直线 PS，QS 分别交直线 x=4 于 A,B 两点，求证: A,B 两点的纵坐标之积为定值.
2020年江苏省南通市高考数学考前模试卷(一) (含答案解析)
2020年江苏省南通市高考数学考前模试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|−2≤x≤3}，B={y|y=x2+2}，则A∩B=______ ．2.已知复数z=(1+i)(2−i),则|z|=_________．3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为______ ．4.从2名女生，4名男生中选2人参加某项活动，则抽到的2人恰好男生、女生都有的概率是______ ．5.已知双曲线x2a2−y29=1中心在原点，右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则该双曲线的离心率为____________．6.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图(如图所示)，那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为______．7. 若平面向量b ⃗ 与向量a ⃗ =(1,−2)的夹角为180°，且|b ⃗ |=3√5，则b ⃗ =________． 8. 高为√63的正四面体的表面积为 ． 9. 已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4，a 3，6a 5成等差数列，且a 3=3a 22，则S 3=______10. 已知函数f(x)=2x +xln x ，则曲线y =f(x)在x =1处的切线方程为______ ．11. 若sin(π3−α)=45，则cos(2α+π3)= ______ ．12. 如图，在△OAB 中，∠AOB =120°，OA =2，OB =1，C 、D 分别是线段OB 和AB 的中点，那么OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 13. 已知圆O ：x 2+y 2=1，圆M:(x −a )2+(y −2)2=2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为________．14. 已知f(x)={x 2+ax,x ≤0,ln(x +1),x >0F(x)=2f(x)−x 有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，BC ⊥平面ACDE ，且四边形ACDE 为菱形，求证：AD ⊥平面BCE 。