向量组的线性相关与线性无关

向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合;备注1按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;这样的表示是有好处的; 2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得 则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭;因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅; 3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示;如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组是等价的;向量组等价的性质：1 自反性 任何一个向量组都与自身等价;2 对称性 若向量组I 与II 等价,则向量组II 也与I 等价;3 传递性 若向量组I 与II 等价,向量组II 与III 等价,则向量组I 与III 等价; 证明：自反性与对称性直接从定义得出;至于传递性,简单计算即可得到; 设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅,向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅;向量组II 可由III 线性表示,假设1tj kj k k b y c ==∑,1,2,,j s =⋅⋅⋅;向量组I 可由向量组II 线性表示,假设1si ji j j a x b ==∑,1,2,,i r =⋅⋅⋅;因此,11111()s s t t si ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑,1,2,,i r =⋅⋅⋅因此,向量组I 可由向量组III 线性表示;向量组II 可由I 线性表示,III 可由II 线性表示,按照上述办法再做一次,同样可得出,向量组III 可由I 线性表示;因此,向量组I 与III 等价;结论成立 4.线性相关与线性无关设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得 则称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,否则,称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关;按照线性表示的矩阵记法,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组 有非零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<;12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,即 只有零解,当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=;特别的,若t n =,则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=,当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆,当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠;例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =,线性无关即0a ≠;因为,若a 线性相关,则存在数0k ≠,使得0ka =,于是0a =;而若0a =,由于10a a ⋅==,10≠因此,a 线性相关;例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行,即其对应分量成比例;因为,若,a b 线性相关,则存在不全为零的数12,k k ,使得120k a k b +=;12,k k 不全为零,不妨假设10k ≠,则21k a b k =-,故,a b 平行,即对应分量成比例;如果,a b 平行,不妨假设存在λ,使得a b λ=,则0a b λ-=,于是,a b 线性相关;例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭都可以由其线性表示,且表示方法唯一;事实上,5.线性相关与无关的性质1 若一向量组中含有零向量,则其必然线性相关; 证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,其中有一个为零,不妨假设0t a =,则 因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关;2 若一向量组线性相关,则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关,则其任意部分向量组仍然线性无关; 证明：设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关;存在不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得这样,12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零,因此,1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关;后一个结论是前一个结论的逆否命题,因此也正确;3 若一个向量组线性无关,在其中每个向量相同位置之间增添元素,所得到的新向量组仍然线性无关; 证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量;不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后,成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量;令则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,可以得到120t k k k ==⋅⋅⋅==;结论得证4 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示; 证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量;必要性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,则存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零,设0j k ≠,则充分性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合,假设ja 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合,则存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅,使得 也就是但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零,因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关;备注2请准确理解其意思,是其中某一个向量可以由其余向量线性表示,而不是全部向量都可以;5 若12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关,n b R ∈,使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关,则b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示,且表示方法唯一;证明：12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关,因此,存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅,使得 10t k +≠,否则10t k +=,则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,我们就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==,这样,121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零,与其不全为零矛盾这样, 因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+,则 由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=,即 因此,表示法唯一;备注3 刚才的证明过程告诉我们,如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示,则表示法唯一;事实上,向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示,即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解;而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关,即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=;因此,若有解,当然解唯一,即表示法唯一;6 若线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则t s ≤; 证明：假设结论不成立,于是t s >;12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示;假设112111112121121(,,,)s s s s x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, 122221212222122(,,,)s s s s x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, ……………………………………………………….12112212(,,,)t t t t t st s s st x x a x b x b x b b b b x ⎛⎫ ⎪ ⎪=++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭, 任取12,,,t k k k ⋅⋅⋅,则由于111212122212t t s s st x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为一个s t ⨯阶矩阵,而t s >,因此,方程组必有非零解,设为12t k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,于是11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;因此,存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅,使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=;因此,向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关,这与向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关矛盾因此,t s ≤;7 若两线性无关向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则t s =; 证明：由性质6,t s ≤,s t ≤,因此,s t =;备注4等价的线性无关向量组所含向量个数一样;8 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,P 为n 阶可逆矩阵,则12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关当且仅当12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性无关;b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示,当且仅当Pb 可由 12,,,t Pa Pa Pa ⋅⋅⋅线性表示;若可以线性表示,表示的系数不变;证明：由于P 可逆,因此 如此,结论得证 6.极大线性无关组定义1 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果存在部分向量组12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅,使得 1 12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关；2 12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示； 则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;备注5 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为其极大线性无关组;按照定义,12,,,t a a a ⋅⋅⋅可由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示;但另一方面,12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅也显然可以由 12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示;因此,12,,,t a a a ⋅⋅⋅与12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅等价;也就是说,任何一个向量组都与其极大线性无关组等价;向量组的极大线性无关组可能不止一个,但都与原向量组等价,按照向量组等价的传递性,它们彼此之间是等价的,即可以相互线性表示;它们又都是线性无关的,因此,由之前的性质7,向量组的任意两个极大线性无关组含有相同的向量个数; 这是一个固定的参数,由向量组本身所决定,与其极大线性无关组的选取无关,我们称其为向量组的秩,即向量组的任何一个极大线性无关组所含的向量个数;备注6按照定义,向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关,充分必要条件即其秩为t ; 定义2设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,如果其中有r 个线性无关的向量12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅,但没有更多的线性无关向量,则称12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组,而r 为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩;备注7 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义;一方面,有r 个线性无关的向量,体现了“无关性”,另一方面,没有更多的线性无关向量,又体现了“极大性”;备注8两个定义之间是等价的;一方面,如果12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性无关,且12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示,那么,12,,,t a a a ⋅⋅⋅就没有更多的线性无关向量,否则,假设有,设为12,,,s b b b ⋅⋅⋅,s r >;12,,,s b b b ⋅⋅⋅当然可以由12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示,且还线性无关,按照性质6,s r ≤,这与假设矛盾另一方面,假设12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅为12,,,t a a a ⋅⋅⋅中r 个线性无关向量,但没有更多的线性无关向量,任取12,,,t a a a ⋅⋅⋅中一个向量,记为b ,则12,,,,r i i i a a a b ⋅⋅⋅线性相关;按照性质5,b 可有12,,,r i i i a a a ⋅⋅⋅线性表示且表示方法唯一;备注9设向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅的秩为r ,则其极大线性无关向量组含有r 个向量;反过来,其中任何r 个线性无关向量所成的向量组也是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组;这从定义即可得到; 6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A 的列向量组的秩为A 的列秩,行向量组转置后所得到的列向量组的秩称为矩阵A 的行秩;定理1 任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩; 证明：设()m n ij A a R ⨯=∈,()r A r =;将其按列分块为12(,,,)n A a a a =⋅⋅⋅;存在m 阶可逆矩阵P ,使得PA 为行最简形,不妨设为100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关,且PA 中其余列向量都可以由其线性表示,因此, 100010,,,001000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为PA 的极大线性无关组,其个数为r ,因此,12,,,r a a a ⋅⋅⋅线性无关,且A 中其余列向量均可由其线性表示且表示的系数不变;因此,A 的列秩等于A 的秩;将A 按行分块,1T T m b A b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则12(,,,)T m A b b b =⋅⋅⋅,因此,按照前面的结论,A 的行秩为T A 的秩,而T A 的秩等于A 的秩;至此,结论证明完毕 备注10证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法; 7.扩充定理定理2 设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,秩为r ,12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅为其中的k 个线性无关的向量,k r ≤,则能在其中加入12,,,t a a a ⋅⋅⋅中的()r k -个向量,使新向量组为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;证明：如果k r =,则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,无须再添加向量;如果k r <,则12,,,k i i i a a a ⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是,12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为1k i a +,由性质5,向量组 121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅线性无关;如果1k r +=,则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅已经是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,无须再添加向量;如果1k r +<,则121,,,,k k i i i i a a a a +⋅⋅⋅不是12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个极大线性无关组,于是,12,,,t a a a ⋅⋅⋅必有元素不能由其线性表示,设为2k i a +,由性质5,向量组1212,,,,,k k k i i i i i a a a a a ++⋅⋅⋅线性无关;同样的过程一直进行下去,直到得到r 个线性无关的向量为止;备注11证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法;只是,这方法并不好实现;8.求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组12,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈的极大线性无关组,可以按照下面的办法来实现; 1 将12,,t a a a ⋅⋅⋅合在一起写成一个矩阵12(,,)t A a a a =⋅⋅⋅；2 将A 通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形,不妨设化得的行阶形为111211,11,2222,12,,1,000000000000r r n r r n rr r r r n b b b b b b b b b A B b b b +++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,0,1,2,,ii b i r ≠=⋅⋅⋅,()r r A = 3 在上半部分找出r 个线性无关的列向量,设为12,,,r j j j ⋅⋅⋅列,则12,,,r j j j ⋅⋅⋅为B 列向量组的极大线性线性无关组,也是A 列向量组的极大线性线性无关组,也就是12,,t a a a ⋅⋅⋅的极大线性无关组;为了在上半部分寻找r 个线性无关向量,必须且仅须在上半部分寻找r 阶的非奇异子矩阵;r 阶非奇异子矩阵的列向量组线性无关;显而易见,上面矩阵第1到第r 列即向量组的一个极大线性无关组;其余情形同理;4 将其余向量组表示为极大线性无关组的线性组合;这时候得解方程组;我们将矩阵化为行最简形,则一步就很容易完成了;不妨设行最简形为 在B 中第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组,而其余向量表示成其线性组合也非常容易,表示系数即对应的分量;于是,在A 中,第1到第r 列为列向量组的极大线性无关组,其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合,表示系数与B 中的一致;我们的理论依据是性质8;例4.设矩阵21112112144622436979A --⎛⎫⎪- ⎪=⎪--⎪-⎝⎭,求A 的列向量组的一个极大线性无关组,并把不属于极大线性无关组的列向量用极大线性无关组线性表示; 解答 记12345(,,,,)A a a a a a =,因此,A 的列向量的一个极大线性无关组为124,,a a a ,312a a a =--,4123433a a a a =+-;。