方向导数与可微的关系
多元函数可微和可导的关系
多元函数可微和可导的关系多元函数可微和可导是微积分中的重要概念，涉及到函数的连续性、偏导数和方向导数等知识。
在这篇文章中，我们将详细探讨多元函数可微和可导的关系，并介绍相关的定义、性质和计算方法。
首先，我们来了解一下函数的连续性。
对于一元函数而言，函数在某一点可导必然连续。
但对于多元函数而言，情况有所不同。
多元函数在某一点可导，则该点必然连续，即函数在该点的极限存在。
但函数在某一点连续，并不意味着该点可导。
因此，多元函数的可导性要求更加严格，是在连续性的基础上增加了一些额外的条件。
多元函数的可导性是建立在偏导数的基础上的。
偏导数是多元函数在某一点上对于某一个变量的导数。
对于二元函数而言，偏导数有两个，分别关于x和y的偏导数，用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
如果函数在某一点的所有偏导数存在，则称该点可导，记作∇f存在。
可以证明，多元函数在某一点可导的充分必要条件是该点所有的偏导数都存在，并且满足连续性的条件。
这个条件被称为多元函数可导的充分必要条件（即等价条件定理）。
具体地，如果函数f(x, y)在点(x0, y0)附近可导，则∂f/∂x和∂f/∂y在该点存在且连续，且有以下等式成立：▽f(x0, y0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)其中▽f(x0, y0)表示函数f在点(x0, y0)上的梯度。
梯度是一个向量，表示函数在某一点处最快增长的方向和速率。
在点(x0, y0)可导的情况下，函数在该点的增量Δf可以用以下线性逼近表示：Δf ≈ ∇f(x0, y0)·Δx其中∇f(x0, y0)·Δx表示梯度向量∇f(x0, y0)和增量向量Δx的点积。
这个近似相当于用一个平面代替了曲面，在点(x0, y0)附近较好地刻画了函数的变化。
通过上述的定义和性质，我们可以看出，多元函数的可导性是建立在偏导数存在和连续性的基础上的。
在计算可导函数时，我们通常使用偏导数的计算方法，如常见的求导法则（如常数乘以任意一个函数的导数仍然是这个函数的导数等），和链式法则等。
高等数学第17章第3节方向导数与梯度
§3 方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率.这就是本节所要讨论的方向导数． 定义1 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域30)(R P ⊂ 内有定义，l 为从点0P 出发的射线，),,(z y x P 为l 上且含于 )(0P 内的任一点，以ρ表示P 与0P 两点间的距离。
若极限ρρρρf P f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在，则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作)(,00P f l f l P ∂∂或).,,(000z y x f l 容易看到，若f 在点0P 存在关于x 的偏导数，则f 在点0P 沿轴正向的方向导数恰为 .00P P x f lf∂∂=∂∂ 当l 的方向为x 轴的负方向时，则有 .00P P x f l f∂∂-=∂∂ 沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出．定理17.6 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微，则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在，且,cos )(cos )(cos )()(0000γβαP f P f P f P f z y x ++= )1( 其中γβαcos ,cos ,cos 为方向l 的方向余弦．证 设),,(z y x P 为l 上任一点，于是（见图17－5）⎪⎭⎪⎬⎫=∆=-=∆=-=∆=-.cos ,cos ,cos 000γρβραρz z z y y y x x x ()2由假设f 在点0P 可微，则有 ()()=-0p f p f ()ρo z P f y P f x P f z y x .).()()(000+∆+∆+∆上式左、右两边皆除以ρ，并根据（2）式可得()ρρρρρρo z P f y P f x P f P f P f z y x +∆+∆+∆=-)()()()()(0000 ()ρργβαo P f P f P f z y x +++=cos )(cos )(cos )(000. 因为当0→ρ时，上式右边末项,0)(→ρρo ，于是左边极限存在且有()ρρ)()(lim 000P f P f P f l -=+→ .cos )(cos )(cos )(000γβαP f P f P f z y x ++= □对于二元函数),(y x f 来说，相应于)1(的结果是 (),cos ),(cos ),(00000βαy x f y x f P f y x l += 其中βα,是平面向量l 的方向角．例1 设,),,(32z y x z y x f ++=求f 在点0P )1,1,1(沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数． 解 易见f 在点0P 可微.故由3)(,2)(,1)(000===P f P f P f z y x 及方向l 的方向余弦,321)2(22cos ,321)2(22cos 222222-=+-+-==+-+=βα grad ),3,3,1()(0--=P f g ra d .19)3()3(1222=-+-+=f □作业布置：Ｐ１２７ １；３．。
《数学分析》第十七章 多元函数微分学
第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )一． 可微性与全微分：1． 可微性：由一元函数引入.))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.2． 全微分:例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1二. 偏导数:1. 偏导数的定义、记法:2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1.3. 求偏导数:例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 .例5 设 . 0, 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)sin cos (lim ),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f=)0,0(0)sin cos (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 200y y y yf y f y y →→=-= 不存在 .Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .三. 可微条件:1. 必要条件:Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微⇒) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆. (证)由于dy y dx x =∆=∆ , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例6 考查函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. [1]P 110 E5 .2. 充分条件:Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) [1]P 111 Th 3 若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点) , (00y x 可微.证 f y y x x f -∆+∆+) , (00) , (00y x[][]) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 0 1,0 ),() , (0000→<<∆+∆+∆∆+∆+=αθαθx x y x f y y y x x f x y []x x y x f y y x f x y ∆+∆+∆+=αβ),(),(0000 0→β y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=βα) , () , (0000.即f 在点) , (00y x 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例7 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 , 0, 0 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (可微, 但x f 和y f 在点) 0 , 0 (处不连续 . 证).0 , 0(),( , 01sin),(2222→→++=y x yx y x y x f ρ因此)(),(ρο=y x f ,即 )(00)0,0(),(ρο+∆+∆=-y x f y x f ,f 在点)0 , 0(可微,0)0,0( , 0)0,0(==y x f f . 但≠),(y x ) 0 , 0 (时, 有2222221cos1sin2),(yx y x x yx x y x f x ++-+=,沿方向,kx y = 2221||limlimkx xy x x x x +=+→→不存在, ⇒沿方向,kx y = 极限22221cos limyx y x x x ++→不存在; 又→),(y x ) 0 , 0 (时, 01sin222→+yx x ,因此,),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在, x f 在点) 0 , 0 (处不连续.由f 关于x 和y 对称,y f 也在点) 0 , 0 (处不连续 .四. 中值定理:Th 4 设函数f 在点) , (00y x 的某邻域内存在偏导数. 若),(y x 属于该邻域, 则存在)(010x x x -+=θξ和)(020y y y -+=θη, 10 , 1021<<<<θθ, 使得))( , ())( , (),(),(00000y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ. ( 证 ) 例8 设在区域D 内0==y x f f . 证明在D 内c x f ≡)(.五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. [1]P 115.Th 5 曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 存在不平行于Z 轴的切平面的充要条件是函数),(y x f 在点),(000y x P 可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，则曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 处的切平面方程为 (其中),(000y x f z =)))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-， 法线方向数为()1 , ),( , ),( 0000-±y x f y x f y x ， 法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x . 例9试求抛物面 22by ax z +=在点),,(000z y x M 处的切平面方程和法线方程 .[1] P 115 E63.作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.例10 求96.308.1的近似值. [1] P 115 E7例11 应用公式C ab S sin 21=计算某三角形面积.现测得50.12=a , 30 , 30.8==C b . 若测量b a , 的误差为C , 01.0±的误差为1.0± . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. [1] P 116 E8 Ex [1]P 116—117 5—14 ；§ 2复合函数微分法 （ 5 时 ）简介二元复合函数 : ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P 327—328 . ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===;, ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=;, ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微, 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s ty yz tx xz tz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ( 证 ) [1] P 155称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P 156的例.对外m 元),,,(21m u u u f , 内n 元),,,(21n i k x x x u φ= ) , , 2 , 1(m k =, 有∑=∂∂∂∂=∂∂mk ikk i x u u f x f 1 ， n i , , 2 , 1 =. 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 y x v e u v u z y x +==+=+22 , , )ln(2. 求x z ∂∂和y z∂∂. [1] P 157 E1 例2 22uv v u z -=, y x v y x u sin , cos ==. 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例3 ())3(222y x yx z ++=, 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例4 设函数),,(w v u f 可微 . ),,(),,(xyz xy x f z y x F =. 求x F 、y F 和z F . 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :ⅰ> xx y = ; ⅱ> xx xx y cos sin ln )1(2++= . [1] P 158 E4例6 设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换θθsin , cos r y r x ==下 , 证明222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ. [1] P 157 E2 例7 设函数)(u f 可微 , )(22y x yf z -=. 求证xz yzxy x z y=∂∂+∂∂2. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8 )sin(y x e z xy+=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出x z ∂∂和yz∂∂. [1] P 160 E5Ex [1]P 160—161 1—5.三. 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z∂∂∂. [1]P 167 E1 例10 xyarctgz =. 求二阶偏导数. [1]P 167 E2 2. 关于混合偏导数: [1]P 167—170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , [1]P 171例11 ) , (y xx f z =. 求22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. [1]P 171 E34. 验证或化简偏微分方程:例12 22ln y x z +=. 证明22x z ∂∂ + 22y z∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu y y u x变为极坐标形式. 解 xyarctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.r xy x x xr =+=∂∂22, r y y r =∂∂ , 2ry x -=∂∂θ ,2r x y =∂∂θ. θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ur y r u r x x u x r r u x u 2, θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r x r u r y y u y r r u y u 2; 因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂uu ry x u r y r u r xy u r x r u r xy x u y y u x 2222222 . 方程化简为0=∂∂θu. 例14 试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu y x u x u 化为02=∂∂∂ts u. 解tus u x t t u x s s u x u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ , t u b s u a y t t u y s s u y u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 22x u ∂∂=x∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt∂∂= =22s u∂∂+2t s u ∂∂∂2+22t u ∂∂.y x u ∂∂∂2=y∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt∂∂= =22s ua ∂∂+)(b a +t s u ∂∂∂2+b 22tu ∂∂.22y u ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22t u ∂∂. 因此 , =∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yuy x u x u)341(2a a ++=22s u ∂∂ + ()6442ab b a +++t s u ∂∂∂2 + )341(2b b ++22t u ∂∂. 令 03412=++a a , 1 , 31 , 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a 或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u 化简为02=∂∂∂t s u .Ex [1]P 183 1，2 .§3 方向导数和梯度 （ 3 时 ）一． 方向导数：1． 方向导数的定义：定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义.l 为从点0P 出发的射线.),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点,以ρ表示P 与0P 两点间的距离.若极限 ρρρρfP f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在,则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数,记为P lf ∂∂或)(0P f l 、),,(000z y x f l .对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数. 易见,x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中ⅰ> l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; ⅱ> l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解 ⅰ> l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即)0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x .3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ,37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 ,.3137lim )()(lim 23000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f lft P ρρ ⅱ> 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的 射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 ,.1051059lim )()(lim 2000-=-=-=∂∂++→→tt t P f P f lft P ρρ2. 方向导数的计算:Th 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微, 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在, 且 =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦. ( 证 ) [1]P 163对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注：由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )(⋅αcos , βcos , γcos ),可见, )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影.例2 ( 上述例1 )解 ⅰ> l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31.)(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z .因此 ,l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+. ⅱ> l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 ,l f∂∂=10510321011-=⋅-⋅.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例3 [1]P 164 E2 .二. 梯度 ( 陡度 ):1. 梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf =()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见, 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算:ⅰ> grad =+)(c u grad u .ⅱ> grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .ⅲ> grad (u v ) = u grad v +v grad u .ⅳ> grad 2uvgradu ugradv u v -=. ⅴ> grad f (u ) = gradu u f )('.证ⅳ> 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv uy x y x []=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -.Ex [1]P 165 1，2 ，3 ，6 .§4 Taylor 公式和极值问题 （ 4 时 ）一． 中值定理： 凸区域 . Th 1 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续, 在D 的所有内点处可微. 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++. 证 令 , ) , ()(tk b th a f t ++=Φ.在闭凸区域上的情况: [1]P 173—174.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二. Taylor 公式:Th 2 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数, 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ 证 [1]P 175 例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.) 08.1 (96.3 [1]P 175—176 E4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 [1]P 176 E5Ex [1]P 183 5，6，7⑴⑷.2． 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设0P 为函数)(P f 的极值点. 则当)(0P f x 和存在时,有)(0P f x =)(0P f y 0=. (证)函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a . ⅰ> ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;ⅱ> ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .ⅲ> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式, 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;ⅱ> 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;ⅲ> 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;ⅳ> 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上, 有以下定理.Th 4 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数, 0P 是驻点. 则ⅰ> ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点; ⅱ> ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;ⅲ> ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;ⅳ> ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例3—7 [1]P 179—182 E6—10 .四． 函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解 令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f . 在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y , 2)1,0(=f ; 在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点;在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f ,驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=.Ex [1]P 184 8⑴⑵，9⑴⑵，10，11 .。
二元函数可微可导连续之间的关系
二元函数可微可导连续之间的关系在微积分学中，函数的连续性、可导性、可微性是非常重要的概念。
对于一元函数来说，这些概念都有明确的定义和证明，但对于二元函数来说，这些概念的关系就需要更深入的研究。
本文将探讨二元函数可微、可导和连续之间的关系。
一、连续性首先，我们来回顾一下二元函数的连续性。
对于二元函数$f(x,y)$，如果满足以下条件之一，就称 $f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处连续：1. $lim_{(x,y)rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y) =f(x_0,y_0)$；2. $lim_{xrightarrow x_0} f(x,y_0) = f(x_0,y_0)$ 且$lim_{yrightarrow y_0} f(x_0,y) = f(x_0,y_0)$。
其中，条件 1 称为点极限的定义，条件 2 称为分量极限的定义。
二元函数的连续性是二元函数分析的基础，如果一个二元函数在某个点处不连续，那么这个点就不可能是这个函数的极值点或者奇点。
二、可导性接下来，我们来看二元函数的可导性。
对于二元函数$f(x,y)$，如果满足以下条件之一，就称 $f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处可导：1. $lim_{(x,y)rightarrow (x_0,y_0)} frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)}{sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}$ 存在；2. $lim_{hrightarrow 0} frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$ 和 $lim_{hrightarrow 0} frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$ 都存在。
其中，条件 1 称为偏导数的定义，条件 2 称为方向导数的定义。
如果一个二元函数在某个点处可导，那么这个点就一定是这个函数的极值点或者奇点。
三、可微性最后，我们来看二元函数的可微性。
多元函数可微可导连续之间的关系
多元函数可微可导连续之间的关系在微积分学中，函数的连续性、可导性和可微性是非常重要的概念。
对于一个多元函数来说，如果它在某个点处连续，则该点必须存在，且在该点处取值等于该点左右极限的平均值。
如果在某个点处可导，则该点处存在切平面，并且该点沿着任何方向的方向导数相同。
而可微性则强化了可导性的概念，要求函数在该点附近有一个唯一的线性逼近。
总的来说，可微性是比可导性更加严格的概念，而连续性则是更基本的概念。
对于一个多元函数来说，如果它在某个点处可微，则该点处必定存在连续性和可导性。
然而，反过来就不一定成立，即使一个函数在某个点处连续且可导，也不一定在该点处可微。
这是因为，除连续和可导外，可微性还需要满足一个更强的条件，即极限存在且唯一，因此连续性和可导性仅能保证在该点的某个邻域内存在函数值和导数的一阶逼近，但不能保证在该点处存在一个唯一的线性逼近。
在实际应用中，我们对于一个多元函数的连续性、可导性和可微性都需要进行研究和掌握，以便能更准确、完整地描述和分析这个函数的特性。
在具体问题中，我们需要根据实际需要选择不同的概念和方法，以便更好地解决问题。
除了上述的关系，我们还可以从另一角度来理解它们之间的关系。
对于一个多元函数，如果它在某个点处连续，则说明该点及其周围的点与该点的距离很小，函数值之间的差别也很小。
如果在该点处可导，则说明该点沿着任何方向的变化率相同，函数的变化率也比较平缓，更加光滑。
而可微性则说明该点附近存在一个线性逼近，函数的变化趋势是比较稳定的。
因此，我们可以认为连续性、可导性和可微性是函数光滑程度的不同描述方法。
连续性可以看作是函数在空间上的“连通性”或“完整性”，可导性则可以看作是函数的“斜率”或“变化率”，而可微性则是函数的“切线”或“局部逼近”。
这三种概念都是描述函数光滑程度的有效手段，能够帮助我们更加深入、全面地理解函数的特性。
需要注意的是，在实际应用中，连续性、可导性和可微性并不总是同时满足的，因此我们需要根据具体问题选择不同的分析方法，并特别留意函数在可能出现奇点、断点或不可导点的位置、特性和影响。
高等数学方向导数梯度
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
2012.3
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--2
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f cos f cos f cos
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
z l
P 6xy
1 (3x2 2 y) 17
4 17
(2 , 3)
60 17
2012.3
D8_6几何应用 8_7方向导数
解答完毕
(30,57)--6
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
1
y2 b4
z2 c4
(
x0 a2
,
y0 b2
,
z0 c2
)
因为 ux(x0 y0 z0)2x0 uy(x0 y0 z0)2y0 uz(x0 y0 z0)2z0 所以 所求方向导数为
u n
(
x0
,
y0
,
z0
)
ux
(x0,
y0,
z0)
cos
u
y
(x0,
y0,
z0)
cos
uz
(x0,
y0,
z0
)
cos
x2 a4
2
l x
• 当 l 与 x 轴反向 , 时, 有 f f
2
l x
2012.3
高数第七节、方向导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在， 则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (0, 1) :
f l
f y ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
（3）同理，在 y 轴的两个方向上
el (cos , cos ) ( 0, 1) 正方向：
偏导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在， 则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (0, 1) :
f l
( x0 , y0 )
结论2：偏导数存在并不能保证斜方向上的方向导数 存在。 思考：若函数沿任意方向的方向导数均存在，是否 保证偏导数一定存在？ 例1：z x 2 y 2 , P0 (0, 0 ), el (cos , cos ) y x t cos 解： , y t cos
偏导数
f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 均存在， 则函数在
该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且
el (1, 0) :
f l
f x ( x0 , y0 )
( x0 , y0 )
（3）同理，在 y 轴的两个方向上
el (cos , cos ) ( 0, 1) 正方向：
问题1：方向导数与偏导数的关系？ 假设 z = f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 偏导数存在 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) lim x x 0 y （1）在 x 轴的正方向上， t x P ( x0 x, y0 ) el (cos , cos ) (1, 0) P0 ( x0 , y0 ) el ( 1, 0) t | PP0 | x, 0 x f f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim f x ( x0 , y0 ) x l ( x0 , y0 ) x 0
高等数学第九章第七节方向导数与梯度课件.ppt
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G
f, x
l x
y
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f
f ,f ,f x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx (x, y) , f y (x, y))
3. 关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
思考与练习
1. 设函数
x y
x x2
1
它在点 P 的切向量为 (1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r
方向导数和梯度
设 l 的方向余弦是 co ,cso ,c so ,这s时 u(x,y,z) 沿
l 的方向导数是
uuco suco suco s
l x y z
令 l 0 是 l 方向的单位向量
l0 co i c so j c so ks
于是
u(u,u,u)(co ,cso ,c so )s
l xyz
gradul0 graducosg(radu,l0 ).
示出来 r rr0
以下是关于梯度的基本运算法则:
(1)两个函数代数和的梯度, 等于各函数梯度的代数和,
即
gr (u 1 a u 2 ) d gr1 a gd r2u adu
(2) 两个函数乘积的梯度
gr(u a1u2 d )u1grua2du2graud1
这两个法则从梯度的各个分量的表示立即可以证 明. 再由求复合函数的偏导数法则, 又可得
由于数量函数所表示的物理意义是由点的函数来 描写的, 在不同坐标下, 同一点的函数值应该不变, 这 表示数量函数与坐标系的选取无关. 从而由此产生的等 量面、数量函数 u的梯度以及它的最大变化率 grad u 等等, 也都与坐标系的选择无关.
综上所述, grad u 是这样一个向量函数, 它是由数
量函数 u产生的, 在每一点 P处的梯度方向与过 P
的长度,在 PP' 这段长度内,函数 f(x,y,z)的平均变化率为
f f(P')f(P) PP ' PP '
令 P' 沿 l 趋于 P ,这时如果
limf(P')f(P) P'P PP'
存在,则称此极限为 f(x,y,z)在 P点沿 l 的方向导数,记
为 f ( P ) 或 f (x, y, z)
大学高等数学_15方向导数与梯度_极值与最值_二元泰勒公式_最小二乘法和习题讲解
指向函数增大的方向.
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3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u ) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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例4.
处矢径 r 的模 , 试证
y
o
P
x 2 1
60 17
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例3. 设 n 是曲面 指向外侧的法向量, 求函数
方向 n 的方向导数. 解:
在点 P(1, 1, 1 )处
在点P 处沿
n (4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cos , cos , cos 14 14 14 u 6x 6 而 2 2 x P z 6x 8 y P 14
cos
f l M l grad f M l
6 arccos 130
2. P73 题 16
u n 2 x0 2 y0 2 z0 2 x0 2 2 y0 2 2 z0 2 a b c x0 2 y0 2 z0 2 2 4 4 4 a b c
解: 向量 l 的方向余弦为
u l
P
2 2x yz 14
3 x y 14
2
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例2. 求函数
朝 x 增大方向的方向导数.
在点P(2, 3)沿曲线
解:将已知曲线用参数方程表示为 x x y x2 1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x 2 (1, 4) 1 4 cos , cos 17 17
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方向导数与可微的关系
陈海鸿;李伟鹏;齐渊
【摘 要】讨论多元函数f(x1,x2,…,xn)在给定点P0(x01,x02,…,x0n)沿一切有向直
线之方向导数都存在的情形与该多元函数在P0(x01,x02,…,x0n)可微的关系,并证明
一个可微的充要条件.
【期刊名称】《陇东学院学报》
【年(卷),期】2013(024)001
【总页数】3页(P1-3)
【关键词】方向导数;可微;多元函数;充要条件
【作 者】陈海鸿;李伟鹏;齐渊
【作者单位】陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳745000;陇东学院数学与统计学
院,甘肃庆阳745000;陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳745000
【正文语种】中 文
【中图分类】O172
可微性是多元函数的一个重要性质，而方向导数是多元函数中较难的一个概念．现
行数学分析教材对二者关系的讨论结果较少，文献［1－2］仅给出可微则方向导
数存在的结论，因此，很有必要进一步探讨二者之间的关系．
本文安排如下．先给出方向导数的的定义及其性质，然后讨论多元函数方向导数存
在时函数的可微性并给出多元函数可为的一个充要条件．
1 预备知识
定义 1［1］设多元函数 f在点的某邻域∪(P0)⊂Rn内有定义，l为从点P0出发的
射线，P(x1，x2，…，xn)为l上且含于∪(P0)内的任一点，以ρ表示P与P0两点
的距离．若极限存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数，记作
定义 2［2］设多元函数 f在点的某邻域∪(P0)⊂Rn内有定义，l为从点P0出发的
射线，P(x1，x2，…，xn)为l上且含于∪(P0)内的任一点，以表示l的单位向量，
若存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数，记作
定义3［1］设多元函数 z=f(x1，x2，…，xn) 在点的某邻域∪(P0)⊂Rn内有定义，
对∪(P0)中的点 P(x1，x2，…，xn)=，若f在点p0处的全增量Δz可表示为
其中Ai是仅与p0有关的常数是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f在点P0可微．
这里需要提前声明，本文以下论述完全基于文［2］关于方向导数的定义．
性质［3］Df(p0，l) 关于 l是齐次的，即
其中Df(p0，l)表示f在点P0沿方向l的方向导数．
证明:若 s=0，则 Df(p0，sl)=0，等式成立．
下证s≠0的情形
注1 Df(p0，l)一般情况下不是线性的．
例1考虑R2上的函数
则f在X0=(0，0)点沿着l=(l1，l2)方向的方向导数的为
显然关于l=(l1，l2)不是线性的．
2 主要结果
命题1即使极限存在(可能与l0有关)，也即方向导数的都存在，但是函数f(p)在
P0未必可微．证明:只要举例就可以，设
则f在X0=(0，0，…，0)沿任意方向的方向导数的存在，但在X0=(0，0，…，0)
处不可微．
事实上，任取方向 l，其单位向量 l0=(cosα1，cosα2，…，cosαn)，有
但
当 (Δx1，Δx2，…，Δxn) → (0，0，…，0) 时,
限．故f不可微．
命题2即使极限
但函数f(p)在P0未必可微．
注2(*)式表示的含义是:方向导数关于方向l实线性的．例如．设
其中D1表示心形线ρ=1-cosθ及其内部，D2表示心形线ρ=1-cosθ的外部且不
在x轴上，D3表示x轴．此f(x，y)在(0，0)沿任意方向l的方向导数的为
此时，fx(0，0)=0，fy(0，0)=1，
所以f(x，y)在(0，0)沿任意方向l的方向导数存在且可表示为
但 f(x，y) 在(0，0) 不可微．
事实上，对任意ε＞0(ε＜1)，在(0，0)的不管什么邻域内总有
的点(在心形线外部但不在x轴上之点)故
不能是(Δx，Δy)→(0，0)时的高阶无穷小量．
定理1若极限
且对任意ε＞0，总存在δ＞0，使得时，有
那么f(p)在P0处必可微．
证明:因为对任意ε＞0，总存在δ＞0，使得时，有
亦即
这就是说是(Δx1，的高阶无穷小量，所以f(p)在P0处可微．
推论1 f(p)在P0处可微的充要条件为
且且对任意ε＞0，总存在δ＞0，使得时，有
参考文献:
［1］华东师大数学系．数学分析(下册):第3版［M］．北京:高等教育出版社，
2001.124－127．
［2］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法:第2版［M］．北京:高等教育出版
社，2006.744－747．
［3］钟承奎，范先令，等．非线性泛函分析引论［M］．兰州:兰州大学出版社，
2004.25－29．