高一下学期数学下册期末考试试卷及答案解析

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江西省部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学含答案

江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.5133.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A .a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.35cos cos cos777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B. C. D.8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是610.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc>11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为3C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为1717三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.14.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且23203aOA bOB cOC ++=，则A =______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数113i sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G.（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+【答案】A 【解析】【分析】由题意写出复数z 的代数形式，代入所求式，运用复数的四则运算计算即得.【详解】依题意，1i z =-，则2i 2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222z ---++====+--+.故选：A.2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.513【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图条件建立l 与r 的关系式，作出圆锥轴截面图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.【详解】作出圆锥的轴截面图SAB ,设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，依题意可得，5π2π6l r =，即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心O ,故母线SB 与底面所成的角即SBO ∠.在Rt SOB △中，5cos 12r SBO l ∠==.故选：C.3.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.30022-<<，即0.3021-<<，所以01a <<，因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，且0.20-<，所以0.211133-⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >，因为ln y x =在(0,)+∞上递增，且213<，所以2lnln103<=，即0c <，所以b a c >>.故选：B4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β【答案】D 【解析】【分析】由平面平行的判定定理可判断A 错误，由线面垂直性质可判断B 错误，利用面面垂直的性质定理可判断C 错误；由反证法可得D 正确.【详解】对于A ，由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即A 错误；对于B ，若,a ααβ⊥⊥，则可得a β∥或a β⊂，故B 错误；对于C ，由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直，而C 中直线b 与平面β的关系不确定，故b 与α不一定垂直，故C 错误；对于D ，若b β⊥，由条件易得a b ，与二者异面矛盾，故D 正确．故选：D ．5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A .必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由集合M 仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，即集合M 只有一个元素，若0a =，方程210ax x -+=等价于10x -+=，解得1x =，满足条件；若0a ≠，方程210ax x -+=要满足140a ∆=-=，有14a =，则集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，有0a =或14a =，则14a =时满足集合M 仅有1个真子集，集合M 仅有1个真子集时不一定有14a =，所以“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的充分不必要条件.故选：B.6.35cos cos cos 777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式以及余弦的降幂扩角公式即可容易求得.【详解】∵cos37π＝－cos 47π，cos 57π＝－cos 27π，∴cos7πcos 37πcos 57π＝cos 7πcos 27πcos47π＝248sincos cos cos 77778sin7πππππ＝2244sin cos cos7778sin7ππππ＝442sin cos778sin7πππ＝8sin78sin7ππ＝－18.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式以及降幂扩角公式，属中档题.7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到212AO AC AC ⋅= ，同理可得212AO AB AB ⋅= ，解得AC ，根据向量乘法可求得sin BAC ∠，代入到1sin 2ABC S AB AC BAC=⋅∠可求得.【详解】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到()21122AO AC AE EO AC AC EO AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，同理可得212AO AB AB ⋅= ，又因72AO BC ⋅= ，可得()72AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅= ，可解得4AC =，61cos 342AB AC BAC AB AC ⋅∠===⨯ ，所以3sin 2BAC ∠=，则113sin 43222ABC S AB AC BAC =⋅∠=⨯⨯⨯= .故选：A8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立【答案】D 【解析】【分析】用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A ，运用对立事件的定义判断；对于B ，分别计算,,M N M N 的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C ，根据E 与M N ⋂的交集是否为空集判断；对于D ，与选项B 同法判断.【详解】依题意，可用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，则{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈.对于A ，{(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}E =，而{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}F =,显然事件E 与事件F 互斥但不对立，如(1,2)∈Ω,但(1,2),(1,2)E F ∉∉,故A 错误；对于B ，易得F E M =，故181(),362P M ==因N F =，故93()1()1()1364P N P N P F =-=-=-=,而MN E =,则91()()364P MN P E ===,因()()()≠P MN P M P N ,即事件M 与事件N 不独立，故B 错误；对于C ，由上分析，MN E =，故事件E 与事件M N ⋂不可能互斥，即C 错误；对于D ，由上分析，91(),364P F ==而M N =Ω ,则1()()P M N P ⋃=Ω=，因()F F M N ⋂=⋃，则1[()]()4P F P F M N ⋂==⋃,即[()()()]P P M N F P M N F ⋂⋃⋃=，故事件F 与事件M N ⋃相互独立，即D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题.解题方法有：（1）判断事件,A B 对立：必须,A B A B ⋂=∅⋃=Ω同时成立；（2）判断事件,A B 相互独立：必须()()()P A B P A P B ⋂=成立；（3）判断事件,A B 互斥：只需A B ⋂=∅即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是6【答案】BD 【解析】【分析】利用各特征数据的计算方法进行计算即可.【详解】对于A ，因为共10个数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，，所以1080%8⨯=，则8个数据8.6第80百分位数为7.88.68.22+=,故A 错误；对于B ，一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，可知7x =，则这组数据的方差为()()()()()222222113757779711740855s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦，故B 正确；对于C ，由于分层抽样，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，故C 错误；对于D ，由于1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则它的方差为4,而121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的方差为23436⨯=，则它的标准差是6，故D 正确；故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，先求得函数定义域[1,1]-，判断其奇偶性，求函数在[0,1]上的值域，即得在[1,1]-上的值域；对于B ，利用常值代换法运用基本不等式即可求解；对于C ，先由条件推得1ab =，再运用基本不等式即可；对于D ，举反例即可排除.【详解】对于A ，由y =有意义可得，210x -≥，即11x -≤≤，函数定义域关于原点对称.由()()f x f x -=-=-,知函数为奇函数，当01x ≤≤时，y ==设2[0,1]t x =∈，则()g t =因[0,1]t ∈时，21110(244t ≤--+≤，即得10()2g t ≤≤，又函数y =为奇函数，故得其值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即A 正确；对于B ，因22sin cos 1x x +=，故2222221111()(sin cos )sin cos sin cos y x x x x x x=+=++2222sin cos 224cos sin x x x x =++≥+，当且仅当221sin cos 2x x ==时等号成立，即当221sin cos 2x x ==时，2211sin cos y x x=+的最小值为4，故B 正确；对于C ，由lg lg =a b 可得lg lg a b =或lg lg a b =-，即a b =或1a b=，因a b ¹，故1ab =，因0,0a b >>，则2a b +≥=当且仅当2a b ==即2+a b 的最小值为，故C 正确；对于D ，因R c ∈，不妨取0c =，则0a c bc ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为17【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合台体体积公式可求得正方体边长，再利用线面垂直证明线线垂直，利用侧面展开图思想求线段和的最小值，利用外接球的截面性质来求其半径，利用二面角的平面角来求解二面角的余弦值.【详解】由正方体性质可得：几何体1111A B C D EFGH -是正四棱台，设正方体的边长为a ,则其体积为：23211711234343a a a a ⎛++=⋅= ⎝，解得4a =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，有11AB A B ⊥，BC ⊥平面11ABB A ，又因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，又因为1BC A B B ⋂=，1BC A B ⊂，平面11BCD A ，所以1AB ⊥平面11BCD A ，而PC ⊂平面11BCD A ，所以1AB PC ⊥，故A 正确；把直角三角形1BDD 与直角三角形1BCD 展开成一个平面图形，则PC PD CD +≥，而114,BC DD BD CD ====，由勾股定理可得：CD ==，故B 正确；当P 为1BD 的中点，此时四棱锥P ABCD -是正四棱锥，其外接球的球心M 一定在OP 上，又由于OA =2OP =，设MP MA R ==，则由勾股定理得：()2282R R =+-，解得：3R =，此时球M 的表面积为：24π336π⋅=，故C 错误；取AD 中点为Q ，取11A D 中点为T ，连结OQ EH G = ，再连接TG ，由,,AD OQ AD QT OQ QT Q ⊥⊥= ，OQ QT ⊂，平面OQT ，所以AD ⊥平面OQT ，又因为//EH AD ，所以EH ⊥平面OQT ，又因,GQ GT ⊂平面OQT ，所以,,EH GQ EH GT ⊥⊥即二面角1A HE A --的平面角就是QGT ∠，由正方体边长为4，可知1,4QG QT ==，所以16117GT =+=即17cos 1717QGT ∠==，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用二面角的定义找到其平面角，再求出相关线段，利用余弦函数定义即可得到答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________【答案】1±##1或1-##1-或1【解析】【分析】利用奇函数()()f x f x =--求解即可.【详解】因为函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，所以由()()f x f x =--可得221212122x x xx xxk k k k k k-----⋅=-=+⋅+⋅+，即2222212x x k k -=-⋅，整理得()()221120xk -+=，解得1k =±，经检验，当()1212x xf x -=+或()1212xx f x --=-时，满足()()f x f x =--，故答案为：1±13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.【答案】1【解析】【分析】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，构造新的EFG 根据余弦定理可得到EF 的长.【详解】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，则EG 是ACD 的中位线，可得11,2EG AD EG AD == ，同理可得11,2FG BC FG BC == ，因为AD 与BC 所成的角为60°所以EGF ∠等于60°或120°，当60EGF ∠=︒在EFG 中根据余弦定理得1EF ===，当120EGF ∠=︒同理可得E F故答案为：114.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且203aOA bOB cOC ++=，则A =______.【答案】π6【解析】【分析】利用重心的向量性质0OA OB OC ++=，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角.【详解】由点O 是ABC 的重心，可知：0OA OB OC ++=，又23203aOA bOB cOC ++=，可设2323a b c k ===，则3,,22k a b k c ===，再由余弦定理得：2222223222cos 2232k k b c a A bc ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-==，又因为()0,πA ∈，所以π6A =，故答案为：π.6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数11sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）2或1-（2）π；ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈【解析】【分析】（1）写出两复数对应的向量12,OZ OZ的坐标，，利用向量共线的坐标表示式计算即得；（2）利用三角恒等变换将函数()f x 化成正弦型函数，求得最小正周期，将π26x +看成整体角，利用正弦函数的递增区间即可求得.【小问1详解】依题意，复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量分别为12(,2),(1,1)OZ x OZ x ==-，由12//OZ OZ可得，(1)2x x -=，解得，2x =或=1x -；【小问2详解】依题意，12),(cos 2,2cos )OZ x OZ x x ==，则()12πcos 2cos cos 222sin(2)6f x OZ OZ x x x x x x =⋅=+==+ ，故()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；由Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈解得，ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.【答案】（1）0.006a =；76.2（2）310【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出a 的值，再根据平均数计算公式计算即可；（2）先计算出[)40,60内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图可得，(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得，0.006a =；这50名学生的物理成绩的平均数为：0.04450.06550.22650.28750.22850.189576.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由频率分布直方图可知，成绩在[)40,60内的学生有50(0.040.06)5⨯+=人，其中[40,50)内有2人，设为,a b ，[50,60)内有3人，设为,,x y z ，“从成绩在[)40,60内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：{,,,,,,,,,}ab ax ay az bx by bz xy xz yz Ω=，而事件A =“2人成绩都在[)50,60内”={,,}xy xz yz ，由古典概型概率公式可得，3()10P A =.即这2人成绩都在[)50,60内的概率为310.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G .（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证明EF ⊥平面PAG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由体积相等P BEF B PEF V V --=，分别计算BEF S 和PEF S △，代入计算即得.【小问1详解】因E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则//EF BD ，又四边形ABCD 是菱形，则BD AC ⊥，故EFAC ⊥，因PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故PA EF ⊥，又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAG ，故EF ⊥平面PAG ，因EF ⊂平面PEF ，故平面PEF ⊥平面PAG .【小问2详解】如图，连接,,,PB BF AE AF ，设点B 到平面PEF 的距离为d .在菱形ABCD 中，π3ABC ∠=，则4,43AC BD ==，BEF △的面积为111143232442BEFBFC BCD S S S ===⨯⨯⨯= 因3432AE AF ===，则222(23)4PE PF ==+=，1232EF BD ==故PEF !的面积为221234(3)392PEF S =⨯-= 由P BEF B PEF V V --=可得，11323933d =⨯，解得21313d =，即点B 到平面PEF 的距离为21313.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．【答案】（1）π3A =（2）)23,4⎡⎣．【解析】【分析】（13cos 1A A -=，再利用辅助角公式可得π3A =；（2）利用正弦定理可得23πsin 6a B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由ππ62B <<并利用三角函数单调性可求得a 的取值范围．【小问1详解】因为cos 3sin a C a C b c +=+，由正弦定理得()sin cos 3sin sin sin sin sin sin A C A C B C A C C +=+=++，sin cos cos sin sin A C A C C =++，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π666A -<-<，即ππ66A -=，可得π3A =．【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==，即sin sin sin a b c A B C+=+，且π,3A b c =+=所以()sin 66232πππsin sin 31sin sin sin 36622b c Aa B CB B B B +====+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为ABC 为锐角三角形，π2ππ0,0232B C B <<<=-<，所以ππ62B <<，所以ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即πsin ,162B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦．可得)a ⎡∈⎣，即a 的取值范围为)4⎡⎣．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.【答案】（1）1557π19（2）6【解析】【分析】（1）作出旋转体1Ω，其表面积即两个圆锥侧面积的和，利用余弦定理求出AB ，继而求得底面圆半径1r ，代入公式计算即得；（2）由（1）类似过程求得AB 和1r ，计算出其体积1V ，作出旋转体2Ω，是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体，求出底面圆半径2r ，间接法求出23,V V ,代入所求式，运用换元法、基本不等式和二次函数的单调性即可求得函数最大值.【小问1详解】如图1，把ABC 以直线AB 为旋转轴旋转一周得到旋转体1Ω，它是由两个同底面圆的圆锥11,AO BO 拼成的组合体，其表面积即两个圆锥的侧面积的和.因2a =，3b =，120C =︒，由余弦定理，22212cos12094232()192AB AC BC AC BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，可得，AB =因11AO CO ⊥,设底面圆半径为1r，由11123sin12022ABC S r =⨯⨯⨯=解得，119r =，于是，13571557π()5ππ1919S r b a =⨯+=⨯=；【小问2详解】由（1）可得，222222212cos1202()2AB AC BC AC BC a b ab a b ab =+-⋅=+-⨯⨯-=++，即AB =，底面圆半径为111sin120212ab r O C ===于是，22221111ππ33V r AB=⨯=⨯⨯如图2，把ABC以直线BC为旋转轴旋转一周得到旋转体2Ω,它是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体.设底面圆半径为22AO r=，因120ACB∠= ,易得23602120602ACO-⨯∠==，则23sin602r b== ，于是，22222113πππ)3324V r BC a ab=⨯=⨯=，同理可得23π4V a b=，于是，2212223ππ44VyV V ab a b==++=设222a btab+=≥，当且仅当a b=时等号成立，则y==，因2t≥时，函数231()24t+-单调递增，故231(1224t+-≥，则0y<≤即a b=时，max6y=.【点睛】思路点睛：本题主要考查旋转体的表面积求法和与其体积有关的函数的最值求法，属于难题.解题思路是作出旋转体的图形，理解其组成，正确求出底面半径、高，母线长等关键量，代入公式，整理后，运用换元，利用基本不等式和函数的单调性求其最值.。

云南省大理白族自治州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学含答案

2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（答案在最后）（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.22.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}3.已知向量()4,3a = ，则与向量a 同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C .若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15C.113-D.1136.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.D.28.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为110.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B <C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28mB.当2m x =时，正四棱锥的体积为3m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x xg x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()11f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF⋅的最小值及此时OB 的大小.2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模.【详解】因为()232i i 2i 3i 23i z =-=-+=+，所以z ==故选：C.2.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}【答案】A 【解析】【分析】先利用补集的概念求出U A ð，然后利用交集运算求解即可.【详解】由{}13A x x =-<≤可得{1U A x x =≤-ð或3}x >，又{}0,1,2,3,4,5B =，所以(){}4,5U A B ⋂=ð.故选：A.3.已知向量()4,3a = ，则与向量a同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由向量a 的坐标除以向量a 的模，可得与向量a同向的单位向量的坐标.【详解】向量()4,3a =，5a = ，所以与向量a同向的单位向量为43,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥【答案】B 【解析】【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A ：若//l α，l //β，则//αβ或相交，故A 错误；B ：若//l α，l β⊥，由线面平行和垂直的性质可得αβ⊥，故B 正确；C ：若l β⊥，αβ⊥，则//l α或l ⊂α，故C 错误；D ：若//l α，αβ⊥，则,l β相交或l //β或l β⊂，故D 错误；故选：B.5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15 C.113-D.113【答案】C 【解析】【分析】首先求出tan θ，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为5sin cos θθ=，显然cos 0θ≠，所以sin 1tan cos 5θθθ==，所以2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ---==++221135513151⎛⎫⨯-⎪⎝⎭==⎛⎫+ -⎪⎝⎭.故选：C6.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =【答案】D 【解析】【分析】分2n =和3,4n n ==的情况分别考虑四个选项.【详解】当2n =时，A 表示一正一反，故()1112222P A =⨯⨯=，故A 正确；B 表示两个正面，此时()()11311224P B P B =-=-⨯=，故B 正确；当3n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()11111222234P A P A =-=-⨯⨯⨯=，故C 正确；当4n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()1111112282227P A P A =-=-⨯⨯⨯⨯=，故D 错误.故选：D.7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】根据三点,,O M N 共线求得,m n 的等量关系式，结合基本不等式求得mn 的最大值.【详解】根据题意，1,2BO OC BO BC =∴=，所以1111(),2222AO AB BO AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+ 又,AB mAM AC nAN ==，所以,1122AO mAM nAN =+ 因为三点,,O M N 共线，所以122m n+=，即2m n +=，由图可知，0,0m n >>，所以2=+≥m n mn ，当且仅当1m n ==时取等号，所以1,mn mn ≤的最大值为1.故选：B.8.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合赋值法思想求出函数()f x 的周期即可求出(2)f -.【详解】由函数(1)2y f x =-+是R 上的奇函数，得(1)2(1)2f x f x --+=---，即(1)(1)4f x f x --+-=-，则(2)()4f x f x --+=-，由(2)y f x =-为偶函数，得(2)(2)f x f x --=-，于是(2)()4f x f x -+=-，显然有()(2)4f x f x ++=-，因此(2)(2)f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，函数()f x 的周期为4，由(2024)5f =-，得(0)5f =-，又(2)(0)4f f -+=-，所以(2)4(0)1f f -=--=.故选：A【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论①()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，②()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，③()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，④()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为1【答案】AC 【解析】【分析】根据()()sin f x A x ωϕ=+的性质逐一判断即可.【详解】2ππ2T ==，故A 正确；2π2sin 63f π⎛⎫== ⎪⎝⎭π6x =不是对称轴，故B 错误；π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以π6x =-是()f x 的一个零点，故C 正确；因为振幅2A =，所以()f x 的最大值为2，故D 错误.故选：AC.10.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B<C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形【答案】AB【解析】【分析】根据大角对大边判断A ，由正弦定理及余弦函数的性质判断B ，利用余弦定理判断C ，利用二倍角公式判断D.【详解】对于A ：因为A B >，根据大角对大边可得a b >，故A 正确；对于B ：因为sin sin A B >，由正弦定理可得a b >，所以A B >，由cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，故B 正确；对于C ：若ABC 是锐角三角形，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以222a b c +>，故C 错误；对于D ：若sin cos sin cos A A B B =，则sin2sin2A B =，又(),0,πA B ∈，所以()2,20,2πA B ∈，所以22A B =或2π2A B =-，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，故D 错误.故选：AB11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28m B.当2m x =时，正四棱锥的体积为343m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为3m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2【答案】ABC【解析】【分析】画出正四棱锥P ABCD -，对于A ，四棱锥的侧面积为4PBC S ，对于B ，求出四棱锥的高PG ，可求出其体积，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，由22OP OA OG AG ==+可求出外接球的半径，对于D ，利用等体积法可求出正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径.【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥P ABCD -，对于A ，当2x =时，则2AB BC CD AD ====，设E 为BC 的中点，连接PE ，则,2PE BC PE ⊥=，所以四棱锥的侧面积为2144228m 2PBC S =⨯⨯⨯= ，所以A 正确，对于B ，设AC BD G ⋂=，连接,PG GE ，则PG ⊥平面ABCD ，1GE =，所以22413PG PE GE =-=-=所以四棱锥P ABCD -的体积为31122m 333ABCD S PG ⋅=⨯⨯=正方形，所以B 正确，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，连接OA ，设外接的半径为R ，则,,OA OP R OG R AG ====在Rt OAG △中，222OA OG AG =+，所以)222R R =-+，解得m 6R =，所以C 正确，对于D ，设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为r ，则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则11(4)33PBC ABCD ABCD S S r S PG +=⋅ 正方形正方形，所以1(4224)2r ⨯⨯⨯+=，解得m 3r =，所以D 错误，故选：ABC第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出向量2,2a b a b +- 的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算即可求出m 的值；【详解】因为向量()()1,2,,1,2(12,4),2(2,3)a b m a b m a b m =-=+=-+-=-- ，若向量2a b + 与2a b -平行，所以0(12)3(2)4m m ---+-⨯=⨯，解得12m =-.故答案为：12-.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.【答案】c a b<<【解析】【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断.【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数，右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有c a b <<.故答案为：c a b <<.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE ∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.【答案】①.69.7②.【解析】【分析】根据题意在DMC 中，由正弦定理可求CM 的值，进而求解ME 的值，即可根据MO ME OE =+即可计算MO ；设QE x =，利用两角差的正切公式，基本不等式可求tan MQN ∠的最大值，即可求解.【详解】因为23MCE ∠= ，48MDE ∠= ，所以25DMC ∠= ，在DMC 中，100m CD =，由正弦定理得，()100sin sin sin 25sin 180CD CM CM DMC CDM MDE ︒︒=⇒=∠∠-∠，所以()100sin 18048100sin 48sin 25sin 25CM ︒︒︒︒︒-==，100sin 48sin 23sin 1000.6868m sin 25ME CM MCE ︒︒︒⋅∴=∠==⨯=， 1.7m OE =所以68 1.769.7MO ME OE =+=+=.因为8MN =，所以60NE =，设()m QE x =，68tan ME MQE x x ∠==，60tan NE NQE x x∠==，所以()tan tan tan tan 1tan tan MQE NQE MQN MQE NQE MQE NQE ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠68608686068601x x x x x x -=≤⨯+⋅+，当且仅当6860x x ⨯=，即x =时，MQN ∠最大，所以QE =.故答案为：69.7；.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).【答案】（1）区间[60,70)中应抽4人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人（2）良好的最低分数线84.5分，优秀的最低分数线为93.3分【解析】【分析】（1）根据分层抽样按比例得出每个区间分别抽取学生人数；（2）利用平均数和概率公式计算良好的最低分数线和优秀的最低分数线.【小问1详解】依题意，设四个区间人数依次为：a b c d ,,,，则:::2:3:9:6a b c d =所以区间[60,70)中应抽24042396⨯=+++人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人.【小问2详解】平均分为0.0110650.01510750.04510850.03109584.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以良好的最低分数线84.5分由频率分布直方图易得，[]90,100的频率为0.03100.3⨯=，所以成绩优秀的最低分数线落在区间[]90,100中，不妨记为0x ，故()01000.030.2x -⨯=，解得093.3x ≈，所以成绩优秀的最低分数线为93.3分16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）2π3（2）【解析】【分析】（1）若选①，则利用正弦统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；若选②，利用三角函数恒等变换公式化简可求得答案；（2）对b c +=bc ，从而可求出三角形的面积.【小问1详解】选①，由222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=，得：222b c bc a ++=，所以222b c a bc +-=-，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0πA <<，所以2π3A =.选②，由2sin cos cos 2sin sin sin sin()ABC B C A B C -=+，得2sin (cos cos sin sin )sin A B C B C A -=，所以2sin cos()sin A B C A +=，因为sin 0A ≠，所以1cos()2B C +=，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】因为222()248b c b c bc +=++=，所以22482b c bc +=-，因为2π3A =，所以由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，所以2236bc b c -=+，所以48236bc bc -=-，故12bc =，所以11sin 12222ABC S bc A ==⨯⨯= 17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）只需由中位线定理证明//EF SA ，再结合线面平行的判定定理即可得解；（2）通过平行的传递性将原问题转换为：求EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角的余弦值，再结合解三角形相关知识进行求解即可.【小问1详解】如图，因为点F 是正方形ABCD 的对角线BD 的中点，所以,,A F C 三点共线，连结AC ，点F 是对角线,AC BD 的交点，所以F 是AC 的中点，因为E 是SC 的中点，所以//EF SA ，又因为EF ⊄平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以EF //平面SAB ，【小问2详解】连结BE ，由于平面SAB ⊥平面ABCD ，且平面SAB 平面ABCD AB =，BC AB ⊥，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，所以BC SB ⊥，又因为4,2SB BC ==，所以SC =，则12BE SC ==又122EF SA ==，12BF BD ==，异面直线SA 与BD 所成的角为EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角，在BEF △中，222cos28BF EF BE BFE BF EF +-∠==⨯⨯，所以异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为8.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x x g x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，在R 上为增函数；1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）①m <.【解析】【分析】（1）由奇偶性与单调性的性质即可解出不等式；（2）①观察函数()f x 和()g x 的结构，结合题干提示，计算()()22g x f x ⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦的值，从而得到()f x 和()g x 的关系式，继而求出()g a 的值；②利用①小问中()f x 和()g x 的关系式，将题干不等式转化为关于()g x 的不等式.结合()g x 的定义和基本不等式得到m 的取值范围.【小问1详解】由题意可知，()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，()()e e 2x x f x f x ---==-，所以()f x 为奇函数；因为e x y =在R 上单调递增，e x y -=在R 上单调递减，()f x 在R 上为增函数；由()()2310f x f x +->，所以()()()231=13f x f x f x >---，由于()f x 在R 上单调递增，所以213x x >-，解得15x >，所以x 的解集是1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】①()()222222e 2e e 2e 144x x x xg x f x --++-+⎡⎤⎡⎤-=-=⎣⎦⎣⎦.由()f a =()2[]12g a =，而()0g a >，所以()g a =.②由①可知()()221f x g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，所以()()213g x m g x ⎡⎤--⋅>-⎣⎦，即()()22g x m g x ⎡⎤+>⋅⎣⎦，因为e e 2()122x x g x -+=≥=，当e 1x =即0x =时等号成立，所以()1g x ≥.故()2()g x m g x +>.而()2()g x g x +≥()g x =时等号成立，所以m <.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e 分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF ⋅ 的最小值及此时OB 的大小.【答案】（1（2）①2π3②最小值为154-，OB =【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解；（2）①分别得出OP =，OQ = ，121e e OP OQ ⋅=-⋅ ，然后列方程求解即可；②得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，即可求解.【小问1详解】因为()2,3OM = ，则1223OM e e =+ ，2212112222(23)412913619e e e e e OM e =+=++=+⋅= ，所以OM = ；【小问2详解】①因为()122,12OP e e ==+ ，()121,1OQ e e =-=-，OP =，OQ = ，()()121212*********OP OQ e e e e e e e e e e ⋅=+⋅-=--⋅+⋅=-⋅ ，则1cos 2OP OQ OP OQθ⋅== ，化简并整理得()21212210e e e e ⋅-⋅-= ，解得121cos 2e e α=-⋅= 或12cos 1e e α==⋅ （舍去，因为0πα<<），则2π3α=；②依题意设1OA me = ，2OB ne =，因为F 为AB 中点，则1211112222OF OA OB me ne =+=+ ，同理()1211516666OE OA AE OA AB OA AO OB me ne =+=+=++=+ ，则()()22222212121156531212OE OF m e n e mne e m n mn ⋅=++⋅=+- ，在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，依据余弦定理得229m n mn +-=-，所以()()2222119842721234OE OF m n m n ⋅=+-=+- 在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，由正弦定理32πsin sin sin 3OA OB OBA OAB ==∠∠，设OAB β∠=，则OB n β==，π3OA m β⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2222π2π1cos 22122sin sin 121cos 2332m n ββββ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+=-+=⨯-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦312sin 222β⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π03β⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，当π4β=时，222m n +取最小值18-OE OF ⋅取最小值154-，OB n β===.【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解.。

高一数学(下)期末考试试卷(含详细答案)

高一数学 (下 )期末考试试卷 ( 含详细答案 )理科数学考试考前须知：1.本试卷分第 I 卷〔选择题〕和第 II 卷〔非选择题〕两局部，答卷前，考生务必将自己的XX、XX号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.答复第 I 卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.答复第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. sin α＝4，α ∈ (0) ，那么 tan α等于( ) ．5A．4B．3C．±4D．±33 4 3 4 2. cos4sin 4等于〔〕8 8A ． 0 B．2C ． 1D ．－2 2 23．在△ABC中，a＝ 5，b＝15，A＝ 30°，那么c等于 ()A ． 2 5 B. 5 C ．25或5 D ．以上都不对4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、 b、 c，假设 a2＋b2＝ c2＋ ab，那么 C＝()A． 60°B． 120° C ． 45°D． 30°5．给出平面区域如以下图所示，其中A〔5，3〕，B〔1，1〕，C〔1，5〕，假设使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，那么a的值是〔〕A．2 B ．1 C ．2 D ．33 2 26．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S ＝ 2 ，那么边 BC的长为()△ABC 3A. 3 B ． 3 C. 7 D ． 71 / 8高一数学 (下 )期末考试试卷 ( 含详细答案 )7. 等差数列 a n 的首项 a 1 1 ，公差d 0 ，如果a 1、a 2、a 5 成等比数列，那么d 等于〔〕A ． 3B ．2C ．－ 2D． 2 8. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，那么它的体积为〔〕A ． 3 R 3B ．3 R 3 C ． 5 R 3 D． 5 R 3248 248D 1 C19. 如图长方体中， AB=AD=2 3 ， CC1= 2 ，那么二面角A1 1 B C 1— BD — C 的大小为〔〕D C 〔 A〕 30 0 0 〔 C 〕 600 〔D 〕90 0 〔 B 〕45 A B 10. 直线 a,b,c 及平面α , β , γ , 以下命题正确的选项是〔〕A 、假设 a α， b α ,c ⊥a, c ⊥ b 那么 c ⊥ αB 、假设b α , a//b 那么 a// αC 、假设 a// α , α ∩ β=b 那么 a//bD 、假设 a ⊥ α , b ⊥ α那么a//b11．x 3y 2 0,那么3x27 y 1 的最小值是〔〕 A. 339B. 1 2 2C. 6D. 712. 数列 {an} 的通项公式 an = n2 +－ 11n － 12, 那么此数列的前 n 项和取最小值时，项数 n 等于 ( ) A. 10或 11 B.12C.11或 12 D.12 或 13第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。

东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)

东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（）A.2i −− B.2i−+ C.2i+ D.2i−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+，所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2.已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（）A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m n ，m α⊂，则//n α C.若//m α，//m β，则αβ∥ D.若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误；对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ，由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=，所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ，连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角），设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==MI =HIHG GB==，所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得；【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值，由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==，抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m nx ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)，故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=，解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=，解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=，所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°，正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==，故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG的投影向量为OA ，OA 与AD 方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠，再由余弦定理即可求得MC ，对于D ，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确；对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误；对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===112EP BD =,则cos EPO ∠,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比，而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________．【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 −为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312−=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形，则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ，为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________．【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=，图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=，图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =，因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−，又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤，所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ，所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明；（2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==，且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家（2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家；【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =，设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =，所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=，所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论；（2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △，所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =，135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式；（2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ．猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。

高一数学下学期期末考试试题含解析试题 13

2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分．在每一小题给出的四个备选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕1.的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合诱导公式和特殊角的三角函数值整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合诱导公式可得：.此题选择C选项.点睛：此题主要考察三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，且，那么实数的值是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m的值．【详解】向量，〔m+1，﹣m〕，当⊥时，•0，即﹣〔m+1〕﹣2m＝0，解得m．应选：D．【点睛】此题考察了平面向量的数量积的坐标运算，考察了向量垂直的条件转化，是根底题．3.一个人打靶时连续射击两次，那么事件“至多有一次中靶〞的互斥事件是〔〕A. 至少有一次中靶B. 只有一次中靶C. 两次都中靶D. 两次都不中靶【答案】C【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．详解：一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶〞的互斥事件是两次都中靶．应选：C．点睛：此题考察互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．4.那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【详解】tan〔α+β〕，tan〔β〕，那么tan〔α〕＝tan〔〔α+β〕﹣〔β〕〕．应选：B．【点睛】此题考察两角和与差的三角函数公式的应用，考察计算才能．与圆有公一共点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线x﹣y+1＝0与圆〔x﹣a〕2+y2＝2有公一共点，可得圆心到直线x﹣y+1＝0的间隔不大于半径，从而可得不等式，即可求得实数a取值范围．【详解】∵直线x﹣y+1＝0与圆〔x﹣a〕2+y2＝2有公一共点∴圆心到直线x﹣y+1＝0的间隔为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1应选：C．【点睛】此题考察直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的间隔不大于半径，建立不等关系，属于根底题．的局部图象如下图，那么的解析式是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点然后求出，即可求出函数解析式.【详解】由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以函数图象过所以，并且，的解析式是应选：A．【点睛】此题考察由的局部图象确定其解析式，读懂图象是解题关键，并结合图象求出三角函数的解析式，此题是根底题．7.某举行“中学生诗词大赛〞，分初赛和复赛两个阶段进展，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间〔30，150]内，其频率分布直方图如图．那么获得复赛资格的人数为〔〕A. 640B. 520C. 280D. 240【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数．【详解】初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间〔30，150]内，由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为：1﹣〔〕×20＝．∴获得复赛资格的人数为：0.65×800＝520．应选：B．【点睛】此题考察频率分布直方图的应用，考察频数的求法，考察频率分布直方图等根底知识，是根底题．，，与的夹角为，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得||•||•cos，，再利用二倍角公式求得结果．【详解】由题意可得||•||•cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，应选：C．【点睛】此题主要考察两个向量的数量积的定义，二倍角公式的应用属于根底题．9.黄金分割比是指将整体一分为二，较大局部与整体局部的比值等于较小局部与较大局部的比值，其比值为，约为0.618，这一比值也可以表示为a＝2cos72°，那么＝〔〕A. B. 1 C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】根据利用同角三角函数根本关系式，二倍角公式、诱导公式化简即可求值得解．【详解】∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，可得：4﹣a2＝4﹣4cos272°＝4sin272°，∴2sin72°，a2cos72°•2sin72°＝2sin144°＝2sin36°，∴．应选：A．【点睛】此题主要考察了同角三角函数根本关系式，二倍角公式、诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．10.以下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙局部记为Ⅱ，两小月牙之和〔斜线局部〕局部记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设OA＝2，那么AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．【详解】设OA＝2，那么AB，，以AB中点为圆心的半圆的面积为，以O为圆心的大圆面积的四分之一为，以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣2，黑色月牙局部的面积为π﹣〔π﹣2〕＝2，图Ⅲ局部的面积为π﹣2．设整个图形的面积为S，那么p1，p2，p3．∴p1＝p2＞p3，应选：D．【点睛】此题考察几何概型概率的求法，考察数形结合的解题思想方法，正确求出各局部面积是关键，是中档题．二、选择题〔本大题一一共3小题，每一小题4分，一共12分．在每一小题给出的四个备选项里面，有多项符合题目要求，全对得4分，有错选的得0分，局部选对的得2分〕的图象上各点横坐标缩短到原来的〔纵坐标不变〕得到函数g〔x〕的图象，那么以下说法不正确的选项是〔〕A. 函数g〔x〕的图象关于点对称B. 函数g〔x〕的周期是C. 函数g〔x〕在上单调递增D. 函数g〔x〕在上最大值是1【答案】ABD【解析】【分析】利用函数y＝A sin〔ωx+φ〕的图象变换规律，得到g〔x〕的解析式，再利用正弦函数的性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】将函数f〔x〕＝2sin〔x〕﹣1的图象上各点横坐标缩短到原来的〔纵坐标不变〕，得到函数g〔x〕＝2sin〔2x〕﹣1的图象，由于当x时，f〔x〕＝﹣1，故函数g〔x〕的图象关于点〔，1〕对称，故A错误；函数g〔x〕的周期为π，故B错误；在〔0，〕上，2x∈〔，〕，g〔x〕单调递增，故C正确；在〔0，〕上，2x∈〔，〕，g〔x〕的最大值趋向于1，故D错误，应选：ABD．【点睛】此题主要考察函数y＝A sin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．12.下表是某电器销售公司2021年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80% ﹣0.48% 3.82% 0.86%那么以下判断中正确的选项是〔〕A. 该公司2021年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2021年度小家电类电器营业收入和净利润一样C. 该公司2021年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2021年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，分析表中数据，即可得出正确的选项．【详解】根据表中数据知，该公司2021年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是一样的，但收入与净利润不一定一样，B错误；该公司2021年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2021年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D 正确．应选：ACD．【点睛】此题考察了数据分析与统计知识的应用问题，考察了读表与分析才能，是根底题．，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝x+y时，那么称有序实数对〔x，y〕为点P的广义坐标．假设点A、B的广义坐标分别为〔x1，y1〕〔x2，y2〕，关于以下命题正确的选项是：〔〕A. 线段A、B的中点的广义坐标为〔〕；B. A、B两点间的间隔为；C. 向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1；D. 向量垂直于的充要条件是x1y2+x2y1＝0【答案】AC【解析】【分析】运用向量的坐标，一共线向量，向量垂直的充要条件，两点间的间隔公式可得．【详解】根据题意得，由中点坐标公式知A正确；只有平面直角坐标系中两点间的间隔公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误；由向量平行的充要条件得C正确；与垂直的充要条件为x1x2+y1y2＝0，因此D不正确；应选：AC．【点睛】此题考察向量的坐标运算，一共线向量的知识，向量垂直和平行的充要条件．三、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在答题卡相应横线上〕14.某工厂甲、乙、丙三个车间消费了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了理解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进展调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，那么n = .【答案】13【解析】(解法1)由分层抽样得，解得n＝13.(解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，那么120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b ＝4，所以n＝a＋b＋c＝13.15.假设八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，那么这组数据的方差是______【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【详解】八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，那么这组数据的平均数为：〔87+88+90+91+92+93+93+94〕＝91，∴这组数据的方差为：S2[〔87﹣91〕2+〔88﹣91〕2+〔90﹣91〕2+〔91﹣91〕2+〔92﹣91〕2+〔93﹣91〕2+〔93﹣91〕2+〔94﹣91〕2]＝．故答案为：．【点睛】此题考察方差的求法，考察平均数、方差的性质等根底知识，考察了推理才能与计算才能，是根底题．C:，点M的坐标为(2，4)，过点N(4，0)作直线交圆C于A，B两点，那么的最小值为________【答案】8【解析】【分析】先将所求化为M到AB中点的间隔的最小值问题，再求得AB中点的轨迹为圆，利用点M到圆心的间隔减去半径求得结果.【详解】设A、B中点为Q，连接QC，那么QC，所以Q的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为P〔5，0〕，半径为1，又，即求点M到P的间隔减去半径，又，所以，故答案为：8【点睛】此题考察了向量的加法运算，考察了求圆中弦中点轨迹的几何方法，考察了点点距公式，考察了分析解决问题的才能，属于中档题.和内接于同一个直角三角形ABC中，如下图，设，假设两正方形面积分别为=441，=440，那么=______【答案】【解析】【分析】首先根据在正方形S1和S2内，S1＝441，S2＝440，分别求出两个正方形的边长，然后分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式，求出sin2α的值即可．【详解】因为S1＝441，S2＝440，所以FD21，MQ＝MN，因为AC＝AF+FC2121，AC＝AM+MC MN cosαcosα，所以：21cosα，整理，可得：〔sinαcosα+1〕＝21〔sinα+cosα〕，两边平方，可得110sin22α﹣sin2α﹣1＝0，解得sin2α或者sin2α〔舍去〕，故sin2α．故答案为：．【点睛】此题主要考察了三角函数的求值问题，考察了正方形、直角三角形的性质，属于中档题，解答此题的关键是分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC＝AM+MC，列出关于α的三角函数等式．四、解答题〔本大题一一共6小题，一共82分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕18..〔1〕假设三点一共线，务实数的值；〔2〕证明：对任意实数，恒有成立.【答案】(1)-3；(2)证明见解析.【解析】分析：〔1〕由题意可得，结合三点一共线的充分必要条件可得.〔2〕由题意结合平面向量数量积的坐标运算法那么可得，那么恒有成立.详解：〔1〕，∵三点一共线，∴，∴.〔2〕，∴，∴恒有成立.点睛：此题主要考察平面向量数量积的运算法那么，二次函数的性质及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，(1)求的值；(2)求的单调递增区间.【答案】〔1〕〔2〕【解析】分析：利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，(1)将代入，利用特殊角的三角函数可得的值；(2)利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.详解：〔Ⅰ〕===〔Ⅱ〕由题可得，函数的单调递增区间是点睛：此题主要考察三角函数的单调性、三角函数的恒等变换，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①假设,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②假设,那么利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或者根据复合函数的单调性规律进展求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.20.某校团委会组织某班以小组为单位利用周末时间是进展一次社会理论活动，每个小组有5名同学，在活动完毕以后，团委会对该班的所有同学进展了测试，该班的A，B两个小组所有同学得分〔百分制〕的茎叶图如下图，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组同学的平均分高一分．〔1〕假设在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过86分的概率；〔2〕现从A、B两组学生中分别随机抽取1名同学，设其分数分别为m、n，求的概率．【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕求出A组学生的平均分可得B组学生的平均分，设被污损的分数为X，列方程得X，从而得到B组学生的分数，其中有3人分数超过86分，由此能求出B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率．〔2〕利用列举法写出在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的所有根本领件〔m，n〕，利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．【详解】〔1〕A组学生的平均分为，所以B组学生的平均分为86分设被污损的分数为，那么，解得所以B组学生的分数为91、93、83、88、75，其中有3人分数超过86分在B组学生中随机挑选1人，其得分超过86分概率为.〔2〕A组学生的分数分别是94、80、86、88、77,B组学生的分数为91、93、83、88、75，在A、B两组学生中随机抽取1名同学，其分数组成的根本领件〔m，n〕，有〔94,91〕，〔94,93〕，〔94,83〕,〔94,88〕，〔94,75〕，〔80,91〕，〔80,93〕，〔80,83〕，〔80,88〕，〔80,75〕，〔8691〕，〔86,93〕，〔86,83〕，〔86,88〕，〔86,75〕，,〔88,91〕，〔88,93〕，〔88,83〕，〔88,88〕，〔88,75〕，〔77,91〕，〔77,93〕，〔77,83〕，〔77,88〕，〔77,75〕，一共25个随机各抽取1名同学的分数满足的根本领件有〔94,83〕，〔94，75〕，〔80,91〕，〔80,93〕，〔80,88〕，〔86,75〕，〔88,75〕，〔77,91〕，〔77,93〕，〔77,88〕，一共10个∴的概率为.【点睛】此题考察概率的求法，考察古典概型、列举法、茎叶图等根底知识，考察了推理才能与计算才能，是根底题．y〔万元〕与该月产量x〔万件〕之间有如下一组数据：xy〔1〕通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；〔2〕①建立月总本钱y与月产量x之间的回归方程；②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总本钱为多少万元？〔均准确到0.001〕附注：①参考数据：=14.45，=27.31，=0.850，=1.042，=1.222．②参考公式：相关系数：r=．回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-【答案】〔1〕见解析；〔2〕①；②3.385万元．【解析】【分析】〔1〕由条件利用公式，求得的值，再与比拟大小即可得结果；〔2〕根据所给的数据，做出变量的平均数，根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；将代入所求线性回归方程求出对应的的值即可.【详解】〔1〕由条件得：，这说明与正相关，且相关性很强．〔2〕①由求得，所以所求回归直线方程为．②当时，〔万元〕，此时产品的总本钱为3.385万元．【点睛】此题主要考察线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.〔〕在同一半周期内的图象过点，，，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点，为等腰直角三角形.〔1〕求的值；〔2〕将绕原点按逆时针方向旋转角，得到，假设点恰好落在曲线〔〕上〔如下图〕，试判断点是否也落在曲线〔〕上，并说明理由.【答案】〔1〕2；〔2〕见解析.【解析】试题分析：〔1〕由利用周期公式可求最小正周期，由题意可求Q坐标为〔4，0〕．P 坐标为〔2，〕，结合△OPQ为等腰直角三角形，即可得解；〔2〕由〔Ⅰ〕知，，，可求点P′，Q′的坐标，由点在曲线，〔x>0〕上，利用倍角公式，诱导公式可求，又结合，，可求的值，由于，即可证明点Q′不落在曲线〔〕上.试题解析：〔1〕因为函数〔〕的最小正周期，所以函数的半周期为，所以，即有坐标为，又因为为函数图象的最高点，所以点的坐标为.又因为为等腰直角三角形，所以.〔2〕点不落在曲线〔〕上，理由如下：由〔1〕知，，所以点，的坐标分别为，.因为点在曲线〔〕上，所以，即，又，所以.又.所以点不落在曲线〔〕上.xOy中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．〔1〕是否存在以AB为直径的圆过点C？假设存在，求出该圆的方程;假设不存在，请说明理由；〔2〕求证:过A，B，C三点的圆过定点，并求出该定点的坐标．【答案】〔1〕存在，〔2〕证明见解析，圆方程恒过定点或者【解析】【分析】〔1〕将曲线Γ方程中的y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．利用韦达定理求出C，通过坐标化，求出m得到所求圆的方程．〔2〕设过A，B，C的圆P的方程为〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2＝r2列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可．【详解】由曲线Γ：y＝x2﹣mx+2m〔m∈R〕，令y＝0，得x2﹣mx+2m＝0．设A〔x1，0〕，B〔x2，0〕，那么可得△＝m2﹣8m＞0，x1+x2＝m，x1x2＝2m．令x＝0，得y＝2m，即C〔0，2m〕．〔1〕假设存在以AB为直径的圆过点C，那么，得，即2m+4m2＝0，所以m＝0或者．由△＞0，得m＜0或者m＞8，所以，此时C〔0，﹣1〕，AB的中点M〔，0〕即圆心，半径r＝|CM|故所求圆的方程为．〔2〕设过A，B，C的圆P的方程为〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2＝r2满足代入P得展开得〔﹣x﹣2y+2〕m+x2+y2﹣y＝0当，即时方程恒成立，∴圆P方程恒过定点〔0，1〕或者．【点睛】此题考察圆的方程的应用，圆系方程恒过定点的求法，考察转化思想以及计算才能．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高一数学下学期期末考试试题含解析试题

七宝中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题〔含解析〕一、填空题的解为_____．【答案】【解析】【分析】计算出的值，再转化在对应的余弦值，结合周期性质，即可解决。

【详解】因为方程，所以，故答案为：．【点睛】此题主要考察了特殊角的三角函数值，以及三角函数的周期性。

常用三角函数值需记忆。

为等差数列，假设，那么_____．【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质：在等差数列中假设那么即可【详解】故答案为：【点睛】此题主要考察的等差数列的性质：假设那么，这一性质是常考的知识点，属于根底题。

3.求值：_____．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的根本关系：，以及反三角函数即可解决。

【详解】由题意．故答案为：．【点睛】此题主要考察了同角三角函数的根本关系，同角角三角函数根本关系主要有: ,.属于根底题。

，的值域是_____．【答案】【解析】【分析】首先根据的范围求出的范围，从而求出值域。

【详解】当时，，由于反余弦函数是定义域上的减函数，且所以值域为故答案为：．【点睛】此题主要考察了复合函数值域的求法：首先求出内函数的值域再求外函数的值域。

属于根底题。

的前项和，假设，，那么的通项公式为_____．【答案】【解析】【分析】求，通常分进展求解即可。

【详解】时，，化为：．时，，解得．不满足上式．∴数列在时成等比数列．∴时，．∴．故答案为：．【点睛】此题主要考察了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。

6.利用数学归纳法证明不等式“〞的过程中，由“〞变到“〞时，左边增加了_____项．【答案】.【解析】分析：分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的打破口，当时，左边，由此将其对时的式子进展比照，得到结果.详解：当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.点睛：该题考察的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.在区间〔且〕上至少含有30个零点，那么的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】首先求出在上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时的值即可【详解】根据，即，故，或者，∵在区间〔且〕上至少含有30个零点，∴不妨假设〔此时，〕，那么此时的最小值为，〔此时，〕，∴的最小值为，故答案为：【点睛】此题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进展解决。

云南省楚雄州2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学含答案

楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4i -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}{}290,1233M x x N x x x =-<=->，则M N ⋂=（）A.()3,2-B.()3,0-C.()0,3 D.()2,33.将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A.()sin 84x + B.()sin 82x +C.()sin 22x + D.()sin 21x +4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区5.已知0.320.3log 3,2,log 2a b c -===，则（）A.c b a <<B.<<b c aC.<<c a bD.a b c<<6.已知ππ2cos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）A.13 B.29-C.79D.79-7.如图，ABC 为正三角形，,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，若3,72BE AD CF BC EF DE FD ====，则DEF 的面积为（）A.2B.4C.23D.38.已知函数()f x mx x =的图象经过点()3,27，则关于x 的不等式()()16150f x f x +->的解集为（）A.(),3-∞ B.()3,+∞ C.()3,5 D.()5,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足()2i 5i z -=，则（）A.z 的虚部为2B.5z =C.5z z ⋅= D.1z +为纯虚数10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()1π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()f x 在4π,3π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 在5π17π,36⎛⎫⎪⎝⎭上的取值范围为,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱CD 的中点，则（）A.向量AE 在AB 方向上的投影向量为12ABB.异面直线AE 与1BCC.三棱锥11D A CC -外接球的表面积为8πD.直线1BC 与平面11AC D 所成角的正弦值为63三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数,a b 满足2240a b +=，则ab 的最大值为___________．13.已知正四棱台的上底面边长为21，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．14.已知函数()ππsin (0)33f x x x ωωω⎫⎫⎛⎛=++> ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，则ω的取值范围为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量,,a b c满足()()3,4,,8,4a b c λ==-= ．（1）若//a b，求λ的值；（2）若()()210a c a c +⊥+ ，求向量a 与c 夹角的大小．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．已知()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-．（1）求角C 的大小；（2）若b =，求sin c B 的值；（3）若4,a b D =为AB 的中点，求CD 的长．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g ）进行统计，并将样本数据分为[)[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[)[]85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率；（3）若规定质量在[]95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y （单位：元）关于当天青菜需求量x （单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x 770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===，平面PBC⊥平面,,PAC M N 分别为,PB PD 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ．（2）证明：BC AC ⊥．（3）若二面角C PB A --的正切值为533，求三棱锥C PAD -的体积．楚雄州中小学2023—2024学年下学期期末教育学业质量监测高一年级数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册至必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4i -在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据其几何意义确定所在象限即可.【详解】4i -在复平面内对应的点()41-,在第四象限,故选：D.2.已知集合{}{}290,1233M x x N x x x =-<=->，则M N ⋂=（）A.()3,2-B.()3,0-C.()0,3 D.()2,3【答案】A 【解析】【分析】求得集合,M N ，结合集合交集的定义运算，即可求解.【详解】依题意得{}{}{}{}{}29033,123312332M x x x x N x x x x x x x x =-<=-<<=-<=-<=<，则{}32M N x x ⋂=-<<，故选：A ．3.将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A.()sin 84x +B.()sin 82x +C.()sin 22x + D.()sin 21x +【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的变换规则判断即可.【详解】将函数()()sin 42f x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()()sin 82g x x =+．故选：B4.某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）A.甲地区B.乙地区C.丙地区D.丁地区【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】由图可得，丁地区销量最稳定，所以丁地区销量的方差最小．故选：D5.已知0.320.3log 3,2,log 2a b c -===，则（）A.c b a <<B.<<b c aC.<<c a bD.a b c<<【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性比较大小.【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，即12a <<，因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.300221-<<=，即01b <<，因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，且12<，所以0.30.3log 1log 2>，所以0.3log 20<，即0c <，所以c b a <<.故选：A 6.已知ππ2cos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2α=（）A.13 B.29-C.79D.79-【答案】C 【解析】【分析】根据两角和与差的余弦公式以及二倍角公式即可求解.【详解】由ππcos cos 443αα⎛⎫⎛⎫-=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得cos sin cos sin 22223αααα+=-+，3α=，即22117sin ,cos212sin 12339ααα⎛⎫==-=-⨯= ⎪⎝⎭．故选：C.7.如图，ABC 为正三角形，,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，若3,72BE AD CF BC EF DE FD ====，则DEF 的面积为（）A.2B.4C.23D.3【答案】D 【解析】【分析】由条件推理得到正三角形DEF ，根据线段比例关系，设出3BE x =，求得,BF FC ,利用余弦定理求得x 的值，即可计算得到.【详解】因,ABE BCF 与CAD 是三个全等的三角形，则得AEB BFC CDA ∠=∠=∠,即得60DEF DFE FDE ∠=∠=∠= ,故120BFC ∠= ．又3,2BE AD CF EF DE FD ===设3(0)BE x x =>，则2,3EF x FC x ==.由余弦定理得22(3)(5)491cos1202352x x x x +-==-⨯⨯，解得x =1，则2EF =，所以DEF 的面积为23234⨯=．故选：D .8.已知函数()f x mx x =的图象经过点()3,27，则关于x 的不等式()()16150f x f x +->的解集为（）A.(),3-∞ B.()3,+∞ C.()3,5 D.()5,+∞【答案】B 【解析】【分析】代入点坐标求得m 的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将()()16150f x f x +->恒等变换为()()()41515f x f x f x >--=-，最后利用函数单调性即可求解.【详解】由题意知()327f =，解得3m =，所以()3f x x x =，即()223,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，易得()f x 在R 上单调递增．因为()()33f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数．又()()164f x f x =，故()()16150f x f x +->等价于()()()41515f x f x f x >--=-，则415x x >-，解得3x >.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数()f x 解析式将()16f x 化成()4f x ，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足()2i 5i z -=，则（）A.z 的虚部为2B.5z =C.5z z ⋅=D.1z +为纯虚数【答案】ACD 【解析】【详解】先求出12i z =-+，借助于相关概念即可判断各选项.根据题意可得()()()5i 2i 5i12i 2i 2i 2i z +===-+--+，对于A ，显然12i z =-+的虚部为2，故A 正确；对于B ，由12i z =-+可得，z ==B 错误；对于C ，因12i,z =--则2||5z z z ⋅==，故C 正确；对于D ，12i z +=为纯虚数，故D 正确．故选：ACD .10.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.()1π3sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()f x 在4π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减C.直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴D.()f x 在5π17π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭上的取值范围为3332,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】【分析】根据图象求出A 、ω、ϕ可判断A ；求出1π212-x 范围，根据正弦函数的单调性可判断B ；求出17π6f ⎛⎫- ⎪⎝⎭可判断C ；求出1π212-x 的范围可得17ππsin 1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭的范围可得答案.【详解】对于A ，由图可得()3,A f x =的最小正周期为7ππ44π66⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，则2π4πω=，解得12ω=，将π,06⎛⎫⎪⎝⎭代人()13sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，得π3sin 012ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()ππ12k k ϕ+=∈Z ，解得()π12k k πϕ=-+∈Z ．因为π2ϕ<，所以π12ϕ=-，则()1π3sin 212f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误．对于B ，由4π,3π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得1π7π17π,2121212x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为7π17ππ3π,,121222⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在4π,3π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故B 正确．对于C ，因为17π17ππ3π3sin 3sin 3612122f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以直线17π6x =-是()f x 图象的一条对称轴，故C 正确．对于D ,由5π17π,36x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1π3π4π,21243x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π<sin 22122⎛⎫--< ⎪⎝⎭x，π<3sin 22122⎛⎫--< ⎪⎝⎭x ，所以()f x的取值范围为,22⎛⎫-⎪⎝⎭，故D 正确．故选：BCD .11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是棱CD 的中点，则（）A.向量AE 在AB 方向上的投影向量为12AB B.异面直线AE 与1BC所成角的余弦值为5C.三棱锥11D A CC -外接球的表面积为8πD.直线1BC 与平面11AC D所成角的正弦值为3【答案】AD【解析】【分析】利用投影向量可判断A ，连接11,DE A D ，易得1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC 所成的角，即可求出B ，三棱锥11D A CC -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球即可求出C ，连接1BD ，可得11C BD ∠即是直线1BC 与平面11AC D 所成的角，即可求解.【详解】对A ，因为E 是棱CD 的中点，所以向量AE 在AB 方向上的投影向量为12AB ，A 正确；对B ，连接11,DE A D ，由正方体的性质可知，11//BC AD ，由等角定理易得1D AE ∠即为异面直线AE 与1BC所成的角，易得11D A D E AE ==1cos 5D AE ∠==，B 错误；对C ，三棱锥11D A CC -的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的外接球，易得外接球的半径为4442=11D A CC -外接球的表面积为24π12π⨯=，C 错误；对D ，连接1BD ，因为几何体1111ABCD A B C D -为正方体，体对角线垂直于没有公共点的面对角线，可得1111111,BD A C BD A D BD DC ⊥⊥⊥，，由线面垂直的判定定理可得1BD ⊥平面11AC D ，设直线1BC 与平面11AC D 所成的角为θ，则1111sin cos 3BC C BD BD θ=∠===，D 正确．故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若实数,a b 满足2240a b +=，则ab 的最大值为___________．【答案】20【解析】【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意可得22402a b ab +=≥，得20ab ≤，当且仅当a b ==或a b ==-时，等号成立，故ab 的最大值为20．故答案为：2013.已知正四棱台的上底面边长为21，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________．【答案】①.4②.283##193【解析】【分析】利用勾股定理求出下底面的边长，利用棱台的体积公式计算可得体积.【详解】设该正四棱台下底面的边长为a ，则2132⎛-+= ⎪⎝⎭，解得4a =，故该正四棱台的体积为(1282244133⨯+⨯+⨯=．故答案为：①4；②283.14.已知函数()ππsin (0)33f x x x ωωω⎫⎫⎛⎛=++> ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，则ω的取值范围为___________．【答案】[)4,7【解析】【分析】化简得到()2π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，求得2π3x ω+的范围后，根据零点个数可构造不等式组求得结果.【详解】由题意可得()ππ2π2sin 2sin 333f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得2π2ππ2π,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．因为()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上恰有2个零点，所以π2π2π3π33ω≤+<，解得47ω≤<．故答案为：[)4,7四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量,,a b c 满足()()3,4,,8,4a b c λ==-= ．（1）若//a b，求λ的值；（2）若()()210a c a c +⊥+ ，求向量a 与c 夹角的大小．【答案】（1）6λ=-（2）2π3．【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参；（2）先根据垂直结合向量的模长求出10a c ⋅=- ，最后根据夹角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可得()384λ⨯-=，解得6λ=-．【小问2详解】由()()210a c a c +⊥+ ，得()()22210220100a c a c a a c a c c +⋅+=+⋅+⋅+= ．因为5a == ，所以210210a c +⋅= ，所以10a c ⋅=-，所以101cos ,542a c a c a c ⋅-===-⨯ ，又[],0,πa c ∈ ，所以2π,3a c = ．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,abc ．已知()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-．（1）求角C 的大小；（2）若b =，求sin c B 的值；（3）若4,a b D =为AB 的中点，求CD 的长．【答案】（1）π6C =（2）2（3）2【解析】【分析】（1）由条件根据正弦定理和余弦定理化简，从而可得出答案；（2）根据正弦定理即可求解；（3）由向量可得()12CD CA CB =+ ，由向量求模公式即可求解.【小问1详解】由()()()sin sin sin c a C A b B A -+=-，得()()()c a c a b b -+=-，即222222,c a b a b c -=+-，所以222cos 222a b c C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π6C =．【小问2详解】根据正弦定理sin sin c b C B =，可得πsin sin sin 62c B b C ===．【小问3详解】由题意可得()12CD CA CB =+ ，则2CD = ．17.某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上一段时间内生产的100件产品，对其质量（单位：g ）进行统计，并将样本数据分为[)[)[)[)[)[]45,55,55,65,65,75,75,85,85,95,95,105六组，得到如下频率分布直方图．（1）试估计样本数据的60%分位数；（2）从样本数据在[)[]85,95,95,105内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取5件产品作为产品深加工方案制定的分析样例，再从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率；（3）若规定质量在[]95,105内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取2件产品，求抽取到的产品中至少有1件优等品的概率．【答案】（1）73.75g（2）35（3）0.1164【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的60%分位数.（2）求出5件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率.（3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本数据在[45,65)的频率为0.180.210.39+=，在[45,75)的频率为0.63，则样本数据的60%分位数(65,75)x ∈，于是0.39(65)0.0240.6x +-⨯=，解得73.75x =，所以样本数据的60%分位数约为73.75g.【小问2详解】样本数据在[)85,95内的产品被抽取的件数为0.09530.060.09⨯=+，记为,,A B C ，样本数据在[]95,105内的产品被抽取的件数为0.06520.060.09⨯=+，记为,,a b 则从被抽取的这5件产品中随机抽取2件产品的情况有：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b B C B a B b C a C b a b ，共10种，其中标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的情况有6种．所以标准样例中恰有1件产品的质量在[]95,105内的概率为63105=．【小问3详解】依题意，从该生产线上随机抽取1件产品，该件产品为优等品的概率为0.006100.06⨯=，则抽取到的产品中至少有1件优等品的概率为10.940.940.1164-⨯=．18.某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工（1）若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y （单位：元）关于当天青菜需求量x （单位：公斤）的函数解析式（2）该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表．日需求量x770780790800820830频数51020352010（ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数；（ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率．【答案】（1）()[)2800,0,800,800,800,.x x y x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪⎩（2）（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85【解析】【分析】（1）由题意可知需要对x 进行分类讨论，很容易得到函数解析式；（2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解.【小问1详解】当800x ≥时，()80021800y =⨯-=；当0800x <<时，218002800y x x =-⨯=-．故y 关于x 的函数解析式为()[)2800,0,800,800,800,.x x y x ∞⎧-∈⎪=⎨∈+⎪⎩【小问2详解】（i ）这100天有5天的日利润为2770800740⨯-=元，10天的日利润为2780800760⨯-=元，20天的日利润为2790800780⨯-=元，65天的日利润为800元，所以这100天出售青菜的日利润的平均数为5102065740760780800789100100100100⨯+⨯+⨯+⨯=元．（ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤故当天的利润不少于780元的概率为0.20.350.20.10.85+++=．19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,,8,6ABCD AB AD AB AD PA ⊥===，平面PBC ⊥平面,,PAC M N 分别为,PB PD 的中点．（1）证明：//MN 平面ABCD ．（2）证明：BC AC ⊥．（3）若二面角C PB A --的正切值为3，求三棱锥C PAD -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）48【解析】【分析】（1）连接BD ，证明MN BD ∥，由线线平行证线面平行即得；（2）过A 作AH PC ⊥交PC 于H ，证AH ⊥平面PBC 得AH BC ⊥，由PA ⊥平面ABCD 得PA BC ⊥，可证BC ⊥平面PAC ，即得BC AC ⊥；（3）过C 作CF AB ⊥交AB 于F ,证CF ⊥平面PAB ，作FE PB ⊥交PB 于E ，连接CE ，证FEC ∠即为二面角C PB A --的平面角，由题设3EF x =，通过两组三角形相似求出25x =即得.【小问1详解】如图，连接BD ．因为,M N 分别为,PB PD 的中点，所以MN 为PBD △的中位线，则MN BD ∥．因为MN ⊄平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD ．【小问2详解】如图，过A 作AH PC ⊥交PC 于H ．因平面PBC ⊥平面PAC ，平面PBC ⋂平面PAC PC =，AH ⊂平面PAC ，故AH ⊥平面PBC ．因为BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥．因为PA ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥．因为PA AH A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以BC AC ⊥．【小问3详解】如图3，过C 作CF AB ⊥交AB 于F ，过F 作FE PB ⊥交PB 于E ，连接CE ．因PA ⊥平面ABCD ，CF ⊂平面ABCD ,则CF PA ⊥,因,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ,故得CF ⊥平面PAB .因PB ⊂平面PAB ,则CF PB ⊥．因为,FE PB FE CF F ⊥= ，,FE CF ⊂平面CEF ,所以PB ⊥平面CEF .又CE ⊂平面CEF ，则PB CE ⊥，则FEC ∠即为二面角C PB A --的平面角，依题意，tan 3FC FEC EF ∠==．设3EF x =，则FC =．因为8,6AB PA ==，所以10PB =．由BEF BAP △∽△，得BF EF PB PA =，即3106BF x =，则5,85BF x AF x ==-．又由BFC CFA △∽△，得BF FCCF FA =，即85x =-，解得25x =．2856,5AF =-⨯=因CF //AD ,则ACD 的面积为11862422AD AF ⨯⨯=⨯⨯=，故1624483C PAD P CAD V V --==⨯⨯=．【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和二面角的几何求法，属于难题.解题关键在于充分利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合图形执果索因即可；对于二面角的求法，一般是先找到平面的垂线，再由垂足向棱作垂线,连线后即可证得其平面角.。

广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题(解析版)

惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z −=+对应的点的坐标在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可求解对应的点为15,22−−，进而得解. 【详解】()()()()23i 1i 23i 15i 1i1i 1i 2z−−−−−==++−,故对应的点为15,22−−，故对应的点位于第三象限，故选：C2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同 D. 单位向量的模都相等【答案】D 【解析】【分析】对于A ：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：根据单位向量的定义分析判断.【详解】对于选项A ：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A 错误；对于选项B ：例如0a = ，b 是非零向量，可知,a b 是共线向量但不是相等向量，故B 错误；对于选项C ：例如a 是非零向量，且0λ<，可知向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于选项D ：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D 正确；故选：D.3. 已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（） A. 32，90 B. 32，92C. 30，90D. 30，92【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232×+=，方差是231090×=. 故选：A4.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（）A. ()1,2B. ()2,0C. ()1,0D. ()2,1【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量公式可得.【详解】根据题意得cos a b a b a b ⋅⋅==⋅所以向量a 在b方向上的投影向量为()()2,0cos 1,02b a a b b⋅== ，故选：C.5. 某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（） A. 100B. 120C. 200D. 240.【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样求样本中高中生和小学生的人数，列式求解即可. 【详解】由题意可知：样本中高中生的人数为315434n n =++，小学生的人数为5554312n n =++，则1520412n n +=，解得120n =. 故选：B.6. 设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（） A. 若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥ B. 若//m α，n ⊂α，则//m nC. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D ：根据线面垂直的性质分析判断. 【详解】对于正方体1111ABCD A B C D −，且,M N 分别为,AB CD 的中点，对于选项A ：例如AB ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，11AB A D ⊥，但平面ABCD ∥平面1111D C B A ，故A 错误；对于选项B ：例如11A D ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，但11AB A D ⊥，故B 错误；对于选项C ：例如,AD MN ⊂平面ABCD ，且,AD MN 均与平面11BB C C 平行，但平面ABCD ∩平面11BB C C BC =，故C 错误；对于选项D ：若m α⊥，n ⊂α，由线面垂直的性质可知m n ⊥，故D 正确；故选：D.7. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（）A. A 与B 是对立事件B. A 与C D ∩是互斥事件C. B 与D 是相互独立事件D. B 与C D ∪是相互独立事件【答案】D 【解析】【分析】选项A 和B ，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A 和B 的正误；选项C 和D ，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ∩即两个点数都是偶数，即A 与C D ∩可以同时发生，所以选项B 错误，对于选项C ，因为331()664PB ×==×，333()1664P D ×=−=×，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误，对于选项D ，因为()1P C D = ，91(())364P B C D == ，所以(())()()P B C D P B P C D = ，所以选项D 正确，故选：D.8. 已知直三棱柱111ABC A B C 的体积为8，二面角1C AB C −−的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得1OC ，再根据直三棱柱的体积求出AB ，再利用等体积法求点1A 到平面1ABC 的距离. 【详解】取AB 的中点O ，连接1,OC OC ，AC BC = ，1,OC AB OC AB ∴⊥⊥，则二面角1C AB C −−的平面角为1C OC ∠，二面角1C AB C −−的大小为π4，则1π4C OC ∠=，所以12OC CC ==，1OC ，又直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，111128ABC A B C ABC ABC V S CC S -∴=⋅==，则4ABC S = ，1124422ABC S AB OC AB AB ∴=⋅=⨯=⇒=，又平面ABC⊥平面11A ABB ，平面ABC ∩平面11A ABB AB =，且,OC AB OC ⊥⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面11A ABB ，设点1A 到平面1ABC 的距离为h ，又1111A ABC C ABA V V −−=，111111114422333232ABC ABA S h S OC h ∴⋅=⋅⇒×××=×××× ，解得h =，故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A. 圆柱的侧面积为24πRB.2RC. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC 【解析】【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；【详解】解：依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ××=，所以AC 选项正确．圆锥的侧面积为2πR R ×，所以B选项正确．圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +<，圆柱表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项不正确．故选：ABC10. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（）A. 若(1i)i z +=−，则1z = B. 对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C. 对任意复数1z ，2z ，有122z z z ⋅D. 在复平面内，若{|22}Mz z =−≤，则集合M 所构成区域的面积为6π 【答案】BC 【解析】【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.【详解】对A ：由(1i)i z +=−，故()()()i 1i i1i1i1i 1i 2z −×−−−−===++−，故z =，故A 错误；对B ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，则()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++===的12z z ⋅=故1212z z z z =⋅，故B 正确；对C ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，有()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=−++，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=−−+，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=−−=−−+，故1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对D ：设i z x y =+(),x y ∈R ，则有()2224x y −+≤，集合M 所构成区域为以()2,0为圆心，半径为2的圆，故2π4πS r ==，故D 错误. 故选：BC .11. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（） A.若60A =°，2a =，则ABCB. 若60A =°，1a =，则ABCC. 若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A∈D. 若()cos cos ab c A B +=+，且1c = 【答案】AD 【解析】【分析】对于AB ：利用余弦定理结合基本不等式求bc 的最大值，进而可得面积的最大值；对于C ：利用余弦定理分析可得：关于c 的方程28cos 40c c A −+=有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D ：利用余弦定理可得π2C =，再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果. 【详解】对于选项A ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即224b c bc =+−，可得2242bc b c bc +=+≥，解得4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为142×A 正确；对于选项B ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即221b c bc =+−，可得2212bc b c bc ++≥，解得1bc ≤，当且仅当1b c ==时，等号成立，所以ABC面积的最大值为112×，故B 错误；对于选项C ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+−，即212168cos c c A =+−，整理可得28cos 40c c A −+=，由题意可知：关于c 的方程28cos 40c c A −+=有2个不相等的正根，则2408cos 0Δ64cos 160A A > > =−>，解得1cos 2A >，且()0,πA ∈，可得π0,3A∈，故C 错误；对于选项D ，因为()cos cos a b c A B +=+，即cos cos a b c A c B +=+，则22222222b c a a c b a b b a+−+−+=+，整理可得()()2220a b a b c ++−=，注意到0a b +≠，则2220a b c +−=，即222+=a b c ，可知π2C =，且1c =，则该三角形内切圆半径22ABC S ab ab a b c ra b c a b c +−==++++ .又因为1a b c c c c +−=−=≤−=−，当且仅当a b ==时，等号成立，可得0r <≤，所以该三角形的内切圆面积的最大值是2π=，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式；（3）对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12. 甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________. 【答案】715【解析】【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】设甲、乙解对题分别为事件A ，B ，则()()23,35P A P B ==，可得()()12,35P A P B == 所以恰好只有1人解对题的概率()()()()()()715P P AB P AB P A P B P A P B =+=+=. 故答案为：715. 13. 已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.【答案】a b > 【解析】【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小. “拖尾”，可知平均数大于中位数，即a b >. 故答案为：a b >.14. 如图，已知在直三棱柱111ABC A B C 中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC −体积为________；当三棱锥1A AEF −的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理，可得cos BAC ∠，再求出sin ABC ∠，再用面积公式求ABC 的面积，体积公式求三棱锥E ABC −体积即可；作出辅助线，推导出当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点，进而求出各边长，得到11cos E FEB B E F =∠=【详解】因为2AB =，BC =，4AC =，所以在ABC 中，由余弦定理，得222416181cos 22248BA CA BC BAC BA CA +−+−∠===⋅××，所以sin ABC ∠1242ABC S =××=所以113E ABC V −==；作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为1H ，易知棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，因为1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ 中，222211QF R QQ ==+①，又因为22221111)QE R QQ Q E =+②21113116Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点. 因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角. 因为1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理，得1B F =，因为11EB =，所以11B E EF FEB EF =∠=.. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥1A AEF −的外接球的半径最小时，E 为棱1BB 的中点，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b =.（1）用向量a，b表示CQ；（2）若90ACB ∠=°，求AP CQ ⋅. 【答案】（1）2133CQa b =+ （2）73−【解析】【分析】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；（2）将AP CQ ⋅用基底{,}CA CB 表示出来，再用数量积运算性质可解.【小问1详解】如图所示，23AQ AB = ，所以()2122133333CQ CA AQ CA CB CA CA CB a b =+=+−=+=+，所以2133CQa b =+ . 【小问2详解】点P 为线段BC 中点，用三点共线的向量表达式结论得111111()222222AP AC AB CA CA CB CA B a b C =+=−+−+=−+=−，由（1）知2133CQa b =+，则22121()113(21)||23|3|3AP CQ a a a b b b b a +⋅=⋅−−⋅−= ， 90ACB ∠=°,则0a b ⋅= .则2211734333AP CQ ×−×=⋅−= . 16. 已知有下面三个条件：①()S AC AB ⋅；②a c =；③2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+；请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________. （1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长. 【答案】（1）π3A =（2）AD =【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得sin A A =，得到tan A =cos 1A A =+，得到π1sin()62A −=，即可求解；选择③，化简得到222sin sin sin sin sinBC A B C +=+,即222b c a bc +−=，由余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意结合ABCABD ACD S S S =+ ，列出方程，即可求解. 【小问1详解】选择①：由()S AC AB ⋅，可得1sin cos 2bc A bc A =，即sin A A =，即tan A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =；选择②：因为②a c =sin si n A C =，sin sin cos sin A C C A C =+，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >cos 1A A =+，cos 2sin()16πA A A −=−=，可得π1sin()62A −=，因为(0,π)A ∈，可得ππ66A −=，所以π3A =；选择③：由2sin sin sin 1sin sin sin sin B C AC B B C +=+，可得222sin sin sin sin sin B C A B C +=+, 又由正弦定理得222b c a bc +−=，再由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +−==，因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】若AD 是ABC 的角平分线，则π6BAD CBD ∠=∠=，且ABCBAD CBD S S S =+△△△，即11111233222222AD AD ××=×××+×××，解得AD =17. 为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学.生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 【答案】（1）表格见详解（2）0.015m =；120 （3）310【解析】【分析】（1）根据题中数据补全表格；（2）根据频率和为1求得0.015m =，再结合百分位数的定义列式求解；（3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解. 【小问1详解】数学成绩优秀的有10050%50×=人，不优秀的人10050%50×=人，经常整理错题的有()10040%20%60×+=人，不经常整理错题的是1006040−=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35×=人，所以表格为【小问2详解】由题意可知每组频率依次为0.05,0.1,0.35,20,0.2m ，则0.050.10.35200.21m ++++=，解得0.015m =；因为0.050.10.350.50.65++=<，0.050.10.350.30.80.65+++=>，设第65百分位数为x ，可知[)110,130x ∈，则()0.50.0151100.65x +−=，解得120x =，所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120. 【小问3详解】由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为6053100×=，设为,,a b c ，“不经常总结整理错题” 的人数为4052100×=，设为,A B ，从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间{}Ω,,,,,,,,,ab ac aA aB bc bA bB cA cB AB =，可知()Ω10n =，设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M ，则{},,M ab ac bc =，即()3n M =，所以()()()3Ω10n M PM n ==. 18. 如图，在四棱锥Q ABCD −中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2（3）存在，12QN NC = 【解析】【分析】（1）设AC BD O = ，连接OM ，利用三角形的中位线定理可得OM ∥QB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得CD ⊥平面QAD ，则CD AM ⊥，再由等边三角形的性质可得AM QD ⊥，然后由线面垂直的判定可得AM ⊥平面QCD ，则直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，从而可求得答案；（3）当DN CM ⊥时，可证得平面BDN ⊥平面AMC ，设QNk NC=，然后在等腰直角三角形QCD 中利用平面向量的知识计算即可. 【小问1详解】证明：设AC BD O = ，连接OM ，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 中点，因为M 是QD 的中点，所以OM ∥QB ，因为OM ⊂平面ACM ，QB ⊄平面ACM ，所以QB ∥平面ACM【小问2详解】因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，因为平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ∩平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面QAD ，因为AM ⊂平面QAD ，所以CD AM ⊥,因为QAD 为等边三角形，M 是QD 的中点，所以AM QD ⊥，因为QD CD D ∩=，,QD CD ⊂平面QCD ，所以AM ⊥平面QCD ，所以直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，设正方形ABCD 的边长为2，则AMAC =因为AM ⊥平面QCD ，CM ⊂平面QCD ，所以AM CM ⊥，所以sin AMACM AC ∠=，的即直线AC 与平面QCD【小问3详解】存在，当DN CM ⊥时，平面BDN ⊥平面AMC ，因为AM ⊥平面QCD ，DN ⊂平面平面QCD ，所以AM DN ⊥，因为AM CM M ∩=，,AM CM ⊂平面AMC ，所以DN⊥平面AMC ，因为DN ⊂平面BDN ，所以平面BDN ⊥平面AMC ，设QN k NC =，则QN kNC =，所以1kQN QC k =+，由（2）知CD ⊥平面QAD ，因为QD ⊂平面QAD ，所以CD DQ ⊥，所以0DQ QC ⋅=，因为12CM DM DC DQ DC =−=− ，1()1111k k k DN DG GN DQ QC DQ DC DQ DC DQ k k k k =+=+=+−=+++++，所以110211k CM DN DQ DC DC DQ k k⋅=−⋅+= ++，所以22102(1)1k DQ DC k k −=++ ，得12(1)1k k k =++，解得12k =，所以当12QN NC =时，平面BDN ⊥平面AMC .19. 将连续正整数1，2，，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p（2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =−，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.【答案】（1）11192（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤ −≤≤=−≤≤ −≤≤ （3）119【解析】【分析】（1）计算()10099023192F =+×+=，数字0的个数为11，得到概率.（2）考虑19n ≤≤，1099n ≤≤，100999n ≤≤，10002023n ≤≤四种情况，依次计算得到答案. （3）考虑()*19,Nn b b b =<≤∈时，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，当100n =时三种情况，得到()g n 和()f n 的解析式，得到{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，再计算概率的最值得到答案. 【小问1详解】当100n =时，()10099023192F =+×+=，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为()11100192p =；【小问2详解】当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()F n n =；当1099n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，9n −个两位数组成，则()29F n n =−；当100999n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，99n −个三位数组成，()3108F n n =−；当10002021n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成999n −个四位数组成，()41107F n n =−；综上所述：,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤ −≤≤=−≤≤ −≤≤ ，【小问3详解】当()*19,Nn b b b =<≤∈时，()0g n =，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，()g n k =；当100n =时，()11g n =，即()**0,19,10,19,09,N ,N 11,100n g n k n k b k b k b n ≤≤==+≤≤≤≤∈∈ = ，同理有()**0,18,101,18,09,N ,N80,899820,99,100n k n k b k b k b f n n n n ≤≤=+−≤≤≤≤∈∈ =−≤≤=，由()()()1h n f n g n =−=，可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90n =，所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，当9n =时，()90p =，当90n =时，()919017119p ==，当()*10918,N n k k k =+≤≤∈时，()()()29209g n k kp n F n n k ===−+，由1912092020209k y k k ==−×++关于k 单调递增，故当()*10918,N n k k k =+≤≤∈时，有()p n 的最大值为()889169p =，又8116919<，所以当n S ∈时，()p n 最大值为119．【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.的。

2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解

【详解】设 xOA ,则
sin
1 1
48
1 7
, cos
4 3 4 3. 1 48 7
将 OA 绕原点 O 逆时针旋转
至 OB
,则 OB 的倾斜角为
.
3
3
则 OB OA 1 48 7 .
∴点
B
的纵坐标为
OB
sin
3
7
sin
cos
3
cos
sin
3
13 2
.
故答案为 13 2
km ．（结果精确到 0.1km ）
9．若
tan
tan
1 2
,则
cos( cos(
) )
．
10．已知点 A(4 3,1) ,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ,则点 B 的纵坐标为
11．i 为虚数单位,若复数 z1 和复数 z2 满足 z1 1 i 1, z2 z1i ,则 z2 的最大值为
,则
cos(
)
．
4．在梯形
ABCD 中,
AD
1 2
BC
,设
AC
a, BD
b
,若用
a,
b
的线性组合表示
AB
,则
AB
．
5．若 sin cos 3 ,则 sin 2
2
6．若向量
a
(3,
4), b
(1,
2)
,则
a,b
．．
7．设 0
π
,若函数
y
tan( x
)
的.定义域为 x
x
14.6km .
故答案为：14.6.
9．3

江西省上饶市2023-2024学年高一下学期期末考试数学含答案

上饶市2023—2024学年度下学期期末教学质量检测高一数学试卷（答案在最后）1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟，第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-2.ABC 是边长为1的正三角形，那么ABC 的斜二测平面直观图'''A B C 的面积（）A.B.68C.38D.343.已知向量()()1,cos ,2,sin a b θθ== ，若a b，则tan θ=（）A.2B.-2C.12D.12-4.已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊄⊥，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥5.向量()1,0,a a = 与非零向量b的夹角为60 ，则a在b上的投影数量为（）A.12B.2C.1D.6.已知G 为ABC 的重心，则（）A.2133BG AB AC=-uuu r uu u r uuu r B.2133BG AB AC=-+u uuu r u ur uuu r C.1233BG AB AC=-+uuu r uu ur uuu r D.1233BG AB AC=-7.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A .8a =，16b =，30A =︒，有两解B.18b =，20c =，60B =︒，有一解C.30a =，25b =，150A =︒，有一解D .5a =，2c =，90A =︒，无解8.若函数()sin cos f x a x x ωω=+的对称轴方程为ππ4x k =+，k ∈Z ，则π4f ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2B.2-C. D.二､多选题（本题共3小硕，每小题6分，共18分.在每小䝠给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数12,z z 是方程2250x x -+=的两根，则（）A.12,z z 虚部不同B.12,z z 在复平面内所对应的点关于实轴对称C.1z =D.122iz z +-在复平面内所对应的点位于第三象限10.关于函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心B.函数()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增C.函数()f x 图像可由函数()2cos21g x x =+的图像向右平移5π12个单位得到D.若方程()20f x m -=在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则2,6m ⎡⎤∈+⎣⎦11.如图，若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,,E F EF =则下列结论正确的是（）A.直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为63B.当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成角为π3C.平面1C BD 平面AEFD.1A C ⊥平面AEF第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若tan 2θ=，则()sin cos sin θθθ-=__________.13.设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+ ，12CB ke e =+ ，1232CD e ke =-.若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．14.ABC 中，8AB AC ==，延长线段AB 至D ，使得2A D ∠=∠，则BD BC +的最大值为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知()()()2,,3,5,a m b m m ==--∈R（1）若a b a b +=-，求实数m 的值.（2）已知向量,a b的夹角为钝角，求实数m 的范围.16.已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式及对称中心；（2）求函数()f x 在ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.（3）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b C c a +=．（1）求角B ；（2）若D 为AC 的中点，且52BD =，b ＝3，求ABC 的面积．18.如图1，四边形ABCD 为菱形，60,ABC PAB ︒∠=△是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，将PAB 沿AB 边折起，使3PC =，连接PD ，如图2，（1）证明：AB PC ⊥；（2）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（3）在线段PD 上是否存在点N ，使得PB ∥平面MCN ﹖若存在，请求出PNPD的值；若不存在，请说明理由.19.我们把由平面内夹角成60︒的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示，1e，2e分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对{},x y 为向量OP的“创新坐标”，可记作{},OP x y =.（1）已知{}1,1a = ，{}2,3b = ，{}1,2c =- ，设c xa yb =+，求x y +的值.（2）已知{}11,a x y = ，{}22,b x y = ，求证：//a b 的充要条件是12210x y x y -=.（3）若向量a ，b的“创新坐标”分别为{}sin ,1x ，{}cos ,1x ，已知()f x a b =⋅ ，x ∈R 求函数()f x 的最小值.上饶市2023—2024学年度下学期期末教学质量检测高一数学试卷1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟，第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（）A.iB.i- C.1i+ D.1i-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法直接求出z .【详解】因为()1i 1i z -=+，所以()()()()1i 1i i 1i 1i z ++==-+.故选：A2.ABC 是边长为1的正三角形，那么ABC 的斜二测平面直观图'''A B C 的面积（）A.16B.8C.8D.4【答案】A 【解析】【分析】先求出原三角形的面积，再根据原图和直观图面积之间的关系即可得解.【详解】以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，画对应的'x 轴，'y 轴，使'''45x O y ∠=︒，如下图所示，结合图形，ABC 的面积为113312224ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯=，作C D AB ⊥'''，垂足为D ，则22122224C D O C OC OC ==⨯='''，''AB A B =，所以'''A B C 的面积11222244A B C ABC S A B C D OC AB S =⨯⨯=⨯⨯⨯= ''''''，即原图和直观图面积之间的关系为2=4S S 直观图原图，所以，'''A B C 的面积为2364416A B C S =⨯='''.故选：A.【点睛】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积的关系，属于基础题.3.已知向量()()1,cos ,2,sin a b θθ== ，若a b，则tan θ=（）A.2B.-2C.12D.12-【答案】A 【解析】【分析】利用坐标法来判断两向量共线即可得到结果.【详解】由a b得，()()1,cos //2,sin 2cos sin tan 2θθθθθ⇒=⇒=，故选：A.4.已知,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊄⊥，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥【答案】C 【解析】【分析】根据空间线面位置关系的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】由直线,m n 是空间中两条不同的直线，,αβ为空间中两个互相垂直的平面，对于A 中，若m α⊂，可能//m α，所以A 不正确；对于B 中，若,m n αβ⊂⊂，则//m n 或相交或异面，所以B 不正确；对于C 中，由m β⊥，可得m α⊂或//m α，又由m α⊄，所以//m α，所以C 正确；对于D 中，由面面垂直的性质，可知只有n β⊂时，才有n α⊥，所以D 不正确.故选：C.5.向量()1,0,a a = 与非零向量b的夹角为60 ，则a在b上的投影数量为（）A.12B.2C.1D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用投影数量的定义计算即得.【详解】依题意，a 在b 上的投影数量为1||cos ,1cos 602a ab 〈〉=⨯=.故选：A6.已知G 为ABC 的重心，则（）A.2133BG AB AC=-uuu r uu u r uuu r B.2133BG AB AC=-+u uuu r u ur uuu r C.1233BG AB AC=-+uuu r uu ur uuu r D.1233BG AB AC=-【答案】B 【解析】【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解.【详解】如图所示，设D 为AC 中点，又G 为ABC 的重心，则23B B G D = ()13BA BC =+ 1133BA BC =+uu r uu u r 111333BA BA AC =++uu r uu r uuu r 2133BA AC =+uu r uuu r 2133AB AC =-+uu ur uuu r ，故选：B.7.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A.8a =，16b =，30A =︒，有两解B.18b =，20c =，60B =︒，有一解C.30a =，25b =，150A =︒，有一解D.5a =，2c =，90A =︒，无解【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A ，B ，C ，D 即可.【详解】A 中，因为sin sin a b A B=，所以16sin 30sin 18B ⨯︒==，又0150B ︒<<︒，所以90B =︒，即只有一解，故A 错误；B 中，因为sin sin b c B C=，所以20sin 60sin sin 189C B ︒==>，且c b >，所以C B >，故有两解，故B 错误；C 中，因sin sin a b A B =，所以12552sin sin 3012B A ⨯==>，又b a <，所以角B 只有一解，故C 正确；D 中，因为90A =︒,5a =,2c =，所以b =，有解，故D 正确.故选：C.8.若函数()sin cos f x a x x ωω=+的对称轴方程为ππ4x k =+，k ∈Z ，则π4f ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2B.2-C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据三角恒等变换可化简函数解析式，进而可得1π4ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，代入即可得解.【详解】由已知()()sin cos f x a x x x ωωωϕ=+=+，且1tan aϕ=，sin 0ϕ=>，由对称轴为ππ4x k =+，则相邻两条对称轴间距离为π，即函数的最小正周期为2πT =，令2π12πω==，()()f x x ϕ=+，令1ππ2x k ϕ+=+，1k ∈Z ，则1ππ2x k ϕ=-+，即1ππππ24k k ϕ-+=+，k ∈Z ，1k ∈Z ，则()1ππ4k k ϕ=+-，k ∈Z ，1k ∈Z ，又sin 0ϕ=>，所以2ππ4k ϕ=+，2k 为偶数，则()2πππ44f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππππ4444f f ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D.二､多选题（本题共3小硕，每小题6分，共18分.在每小䝠给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若复数12,z z 是方程2250x x -+=的两根，则（）A.12,z z 虚部不同B.12,z z 在复平面内所对应的点关于实轴对称C.1z =D.122iz z +-在复平面内所对应的点位于第三象限【答案】ABC 【解析】【分析】利用一元二次方程的虚根是共轭，并加以计算，就可以判断各选项.【详解】由方程2250x x -+=的求根公式可得：1224i12i 12i ,2z z +==+=-，故A 正确；由12,z z 在复平面内所对应的点分别为()()1,2,1,2-，显然关于实轴对称，故B 正确；由112i z =+，故C 正确；由()()()1222i 242i 42=i 2i 2i 2i 2i 555z z +++===+---+，它对应的点位于第一象限，故D 错误；故选：ABC ．10.关于函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）A.π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心B.函数()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.函数()f x 图像可由函数()2cos21g x x =+的图像向右平移5π12个单位得到D.若方程()20f x m -=在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则2,6m ⎡⎤∈+⎣⎦【答案】BC 【解析】【分析】根据三角函数图像性质分别判断各选项.【详解】A 选项：由()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令π2π3x k -=，Z k ∈，解得ππ62k x =+，Z k ∈，所以其对称中心为ππ,162k ⎛⎫+⎪⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是其对称中心，A 选项错误；B 选项：令πππ2π22π232k x k -≤-≤+，Z k ∈，解得π5πππ1212k x k -≤≤+，Z k ∈，即函数的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又ππ5π0,π,π61212k k ⎛⎫⎡⎤⊆-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，Z k ∈，B 选项正确；C 选项：由()π2cos212sin 212g x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，向右平移5π12可得()5πππ2sin 212sin 211223y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 选项正确；D 选项：()π24sin 2203f x m x m ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，即2sin 243m x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设π23t x =-，则π2π,63t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即函数24m y -=与函数sin y t =在π2π,63t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，做出函数图像，如图所示，所以可得2π2sin 134m -≤<，解得26m +≤<，D 选项错误；故选：BC.11.如图，若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,,E F EF =则下列结论正确的是（）A.直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为63B.当E 与1D 重合时，异面直线AE 与BF 所成角为π3C.平面1C BD 平面AEFD.1A C ⊥平面AEF【答案】ACD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合中位线，勾股定理，可计算和证明各选项，并加以判断.【详解】对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，有1CC ⊥平面ABCD ，所以直线1AC 与平面ABCD 所成的角就是1CAC ∠，且1CC AC ⊥，又由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以1AC AC ==，则116cos 3AC CAC AC ∠==，故A正确；对于B ，当E 与1D重合时，由于11EF B D ==F 为11B D 的中点，如上图，连接11,BC C F ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易由11//AB C D 且11AB C D =可得：四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，所以异面直线AE 与BF 所成角就是1C BF ∠或其补角，由于1BB ⊥平面1111D C B A ，1B F ⊂平面1111D C B A ，所以11B B B F ⊥，则BF ===又因为11BC C F =所以13cos 2C BF ∠===，因为()10πC BF ∠∈，，所以1π=6C BF ∠，故B 错误；对于C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易由11//AB C D 且11AB C D =可得：四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC ，又因为1AD ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ，同理可证明1AB //平面1BDC ，又因为11AD AB A ⋂=，11,AD AB ⊂平面11AB D ，所以平面11//AB D 平面1BDC ，而平面AEF 与平面11AB D 共面，所以平面1C BD 平面AEF ，故C 正确；对于D ，由于11A B ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以111A B AD ⊥，又因为11AD DA ⊥，1111DA A B A = ，111DA A B ⊂，平面11DA B C ，所以1AD ⊥平面11DA B C ，又因为1AC ⊂平面11DA B C ，所以11A C AD ⊥，同理可证明：11A C AB ⊥，又因为11AB AD A ⋂=，11AB AD ⊂，平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，而平面AEF 与平面11AB D 共面，则1A C ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：ACD.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若tan 2θ=，则()sin cos sin θθθ-=__________.【答案】25-##0.4-【解析】【分析】根据同角三角函数关系式，结合齐次式可得解.【详解】由已知()sin cos sin θθθ-2sin cos sin θθθ=-222sin cos sin sin cos θθθθθ-=+22tan tan tan 1θθθ-=+22222215-==-+，故答案为：25-.13.设1e 与2e 是两个不共线向量，1232AB e e =+ ，12CB ke e =+ ，1232CD e ke =-.若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________．【答案】94-【解析】【分析】根据三点共线，转化为向量AB BD λ= ，计算向量BD后，再转化为向量相等，即可求解k 的值.【详解】因为A ，B ，D 三点共线，所以必存在一个实数λ，使得AB BD λ=.又1232AB e e =+，12CB ke e =+，1232CD e ke =-，所以()121232BD CD CB e ke ke e =-=--+ ，化简为()()12321BD k e k e =--+ ，所以()()121232321e e k e k e λλ+=--+ ，又1e 与2e 不共线，所以()()33221k k λλ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩解得94k =-.故答案为：94-14.ABC 中，8AB AC ==，延长线段AB 至D ，使得2A D ∠=∠，则BD BC +的最大值为__________.【答案】18【解析】【分析】分别在ABC 与ACD 中用正弦定理，可得BD BC +，再利用二倍角公式化简，结合二次函数性质可得最值.【详解】如图所示，设22A D θ∠=∠=，在ABC 中，由8AB AC ==，则ππ22A ABC ACB θ-∠∠=∠==-，再由正弦定理得sin sin BC ABA ACB=∠，即8πsin 2sin 2BCθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8sin 216sin cos BC θθθ==，又在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD ACACD D=∠∠，即()8sin π2sin AD θθθ=--，即()()2284sin cos sin 8sin cos 2sin 2cos 8sin 332cos 8sin sin sin AD θθθθθθθθθθθθ-+====-，所以2232cos 16sin 1632sin 16sin 16BD BC AD BC AB θθθθ+=+-=+-=-++，又0π02π0π3πθθθ<<⎧⎪<<⎨⎪<-<⎩，即π03θ<<，sin 0,2θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，设sin 0,2t θ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则22132161632184BD BC t t t ⎛⎫+=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 4t θ==时，BD BC +取得最大值为18，故答案为：18.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知()()()2,,3,5,a m b m m ==--∈R（1）若a b a b +=-，求实数m 的值.（2）已知向量,a b的夹角为钝角，求实数m 的范围.【答案】（1）67m =（2）6{|7m m >且5}m ≠.【解析】【分析】（1）对a b a b +=- 两边平方化简可得0a b ⋅= ，然后将坐标代入可求出实数m 的值；（2）由题意可得0a b ⋅<且,a b不共线，从而可求出实数m 的范围.【小问1详解】因为a b a b +=- ，所以22a b a b +=- ，所以222222aa ab b a b b -= ，所以0a b ⋅=，因为()()2,,3,5a m b m ==--，所以6250a b m m ⋅=--= ，解得67m =；【小问2详解】根据题意，向量a 与b的夹角为钝角，则有()6701030a b m m m ⎧⋅=-<⎪⎨---≠⎪⎩.解得：67m >且5m ≠，即m 的取值范围为6{|7m m >且5}m ≠.16.已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式及对称中心；（2）求函数()f x 在ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.（3）先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向左平移π12个单位后得到()g x 的图像，求函数()y g x =在π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.【答案】（1）()π2sin 23f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）[]1,2-（3）πππ5π,,,2636⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意，求得()π2sin 23f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得22[,33ππ6π-∈-x ，根据三角函数的性质，求得函数()f x 的最值，即可求解；（3）根据三角函数的图象变换，求得()πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求得函数()f x 的单调递减区间，结合π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即可求解.【小问1详解】解：根据函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像，可得32π5ππ2,4123A ω=⋅=+，所以2ω=，再根据五点法作图，可得5ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，又因为π<ϕ，可得π3ϕ=-，所以()π2sin 23f xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，令π2π,3x k k Z -=∈，解得ππ,Z 62k x k =+∈，故函数()f x 对称中心为ππ,0,Z 62k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：因为2ππ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得22[,33ππ6π-∈-x ，当ππ236x -=-时，即π12x =，min π()112f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当ππ232x -=时，即5π12x =，max 5π()212f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值琙为[]1,2-.【小问3详解】解：先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，再向左平移π12个单位，得到πππsin 2sin 21236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤-≤+∈，解得π5πππ,Z 36k x k k +≤≤+∈，可得()g x 的减区间为π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，结合π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为πππ5π,,,2636⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b C c a +=．（1）求角B ；（2）若D 为AC 的中点，且52BD =，b ＝3，求ABC 的面积．【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得出角B ；（2）由向量的运算得出2225a c ac ++=，由余弦定理得出229a c ac +-=，进而得出8ac =，最后得出面积.【小问1详解】因为2cos 2b C c a +=，所以222222a b c b a c ab +-⨯=-.即222a cb ac +-=，即2221cos 22a cb B ac +-==又(0,)B π∈，所以3B π=.【小问2详解】由52BD =，得52BD = ，则由平行四边形法则可得，5BA BC += 则22225BA BC BA BC ++⋅=，即2225a c ac ++=①又2222cos b a c ac B =+-，即229a c ac +-=②由①②可得8ac =.则1sin 422ABC S ac B ==⨯=△.18.如图1，四边形ABCD 为菱形，60,ABC PAB ︒∠=△是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，将PAB 沿AB 边折起，使3PC =，连接PD ，如图2，（1）证明：AB PC ⊥；（2）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值；（3）在线段PD 上是否存在点N ，使得PB ∥平面MCN ﹖若存在，请求出PNPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）4（3）存在，PN 13PD =【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得PM AB ⊥，再由四边形ABCD ，60ABC ∠=︒可得CM AB ⊥，再由线面垂直的判定可得AB ⊥平面PMC ，则AB PC ⊥；（2）在PM 上取点Q ，使得2PQ QM =，设DB MC F = ，连接NF ，,BQ QF ，可证得BFQ ∠或其补角为异面直线BD 与PC 所成的角，然后在 BFQ 中利用余弦定理求解即可；（3）设DB MC F = ，连接NF ，则由线面平行的性质可得PB ∥NF ，从而可找出N 点的位置.【小问1详解】连接PM ，因为PAB 是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，所以PM AB ⊥.因为四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 为等边三角形，所以CM AB ⊥，因为PM MC M = ，,PM MC ⊂平面PMC ，所以AB ⊥平面PMC ，因为PC ⊂平面PMC ，所以AB PC⊥【小问2详解】在PM 上取点Q ，使得2PQ QM =，设DB MC F = ，连接NF ，,BQ QF ，因为BM ∥CD ，所以12BF MF BM DF CF CD ===，在PMC △中，12MF QM CF PQ ==，所以QF ∥PC ，所以BFQ ∠或其补角为异面直线BD 与PC 所成的角，因为13QF PC =，所以1313QF =⨯=，又13BF BD ====BQ ===，在 BFQ中，由余弦定理得22244133cos 24233BF QF BQ BFQ BF FQ +-+-∠==⋅,所以异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为34.【小问3详解】假设线段PD 上存在点N ，使得PB ∥平面MCN ，因为PB ∥平面MNC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面MNC NF =，所以PB ∥NF ，又12BF BM DF CD ==，所以12BF PN FD ND ==.所以线段PD 上存在点N ，使得PB ∥平面MNC ，且PN 13PD =．19.我们把由平面内夹角成60︒的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示，1e ，2e分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量.若向量12OP xe ye =+ ，则称有序实数对{},x y 为向量OP 的“创新坐标”，可记作{},OP x y = .（1）已知{}1,1a = ，{}2,3b = ，{}1,2c =- ，设c xa yb =+ ，求x y +的值.（2）已知{}11,a x y = ，{}22,b x y = ，求证：//a b 的充要条件是12210x y x y -=.（3）若向量a ，b 的“创新坐标”分别为{}sin ,1x ，{}cos ,1x ，已知()f x a b =⋅ ，x ∈R 求函数()f x 的最小值.【答案】（1）4-（2）证明见解析（3）()min 38f x =【解析】【分析】（1）根据向量线性运算的运算律可得解；（2）根据向量共线定理可得证；（3）根据向量数量积的运算律结合三角函数与二次函数性质可得最值.【小问1详解】由已知{}1,1a = ，{}2,3b = ，{}1,2c =- ，即12a e e =+ ，1223b e e =+ ，122c e e =-+ ，又c xa yb =+，即2132x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得73x y =-⎧⎨=⎩，所以4x y +=-；【小问2详解】由{}11,a x y = ，{}22,b x y = ，则1112a x e y e =+ ，2122b x e y e =+ ，当0b = 时，//a b 的充要条件是12210x y x y -=；当0b ≠ 时，若//a b 时，a b λ= ，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，则1221x y x y λλ=，又λ不恒为0，所以1221x y x y =，即12210x y x y -=，所以12210x y x y -=是//a b 的必要条件；若12210x y x y -=时，2211x y x y λ==，则()212211111112b x e y e x e y e x e y e a λλλλ=+=+=+= ，即//a b，所以12210x y x y -=是//a b 的充分条件；综上所述，//a b的充要条件是12210x y x y -=；【小问3详解】1e ，2e 分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量，且夹角成60︒，则12121cos 602e e e e ⋅=⋅⋅︒=，所以2212112122112122a b x x e x y e e x y e e y y e ⋅=+⋅+⋅+ ()1212211212x x x y x y y y =+++，所以()()1sin cos sin cos 12f x a b x x x x =⋅=+++设πsin cos 4x x x t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，且21sin cos 2t x x -=，所以当12t =-时，min 38y =，即()min 38f x =.。

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