2018-2019年上海市复旦二附中七上期中数学试卷(有答案)
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2018学年第一学期初一年级数学学科期中考试卷
一、单项选择题
1. 在22153,0,2,,,,3222xyxaabbxxy这些代数式中，整式的个数为（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 下列计算正确的有（ ）个
（1）235xxx （2）963xxx （3）3131mmyy
（4）nnxx （5）2321xxxxxx （6）3252639xx
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 在代数式2xy中，x与y的值各减少了14，则该代数式的值减少了（ ）
A. 12 B. 34 C. 3764 D. 2764
4. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰
梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可
以验证成立的公式为（ ）
A. 222abab B. 2222abaabb
C. 2222abaabb D. 22ababab
二、填空题
5. 用代数式表示：x与y的2倍的平方和____________．
6. 223xy的系数是_________，次数是_________．
7. 多项式2443213777xyxyx的最高次项是_________，二次项系数是_________．
8. 合并同类项：224532abababab____________．
9. 若单项式223nxy与32mxy的和仍为单项式，则mn的值为____________．
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10. 计算：22323xyxy____________．
11. 计算：322323aaaaa____________．
12. 计算：3200720070.1252____________．
13. 若2210aa，则代数式2524aa的值是____________．
14. 代数式210xxb可以化为2xaa，则ab的值是____________．
15. 分解因式：242xx____________．
16. 因式分解：229162169aabb____________．
17. 当10,317xyxy时，代数式2241612xxyy的值是____________．
18. 已知21,22,23axbxcx，则多项式222abcabbcac____________．
19. 数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是2224xmx在整数范围内能用十字相乘
法因式分解，则整数m的值有几个，小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有
____________个．
20. 观察下列单项式：23450,3,8,15,24,xxxx，按此规律写出第10个单项式是____________．
21. 数字不同的两位数，将其数字交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平
方数，则这个两位数是____________．
22. 若210aa，则代数式43aa的值为____________．
三、简答题
23. 计算：22221132422xyyxxy
24. 利用乘法公式计算：29910298
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25. 利用平方差公式计算：22abcbac
26. 已知4,1xyxy，求代数式2211xy的值
四、分解因式
27. 4128a 28. 2232xyxyy
29. 2448128axaxa 30. 222221664xyxy
五、解答题
31. 解方程：222228xxxxx
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32. 解不等式：2232311xxxxx
33. 已知：222214ababab，求22ab的值
六、能力题
34. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：④____________；⑤____________；
（2）根据上面算式的规律，请计算：13599___________；
（3）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式：_________________________________．
35. 如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正
方形CBFG，连接EG、BG、BE，当1BC时，BEG的面积记为1S，当2BC时，
BEG
的面积记为2S，……，以此类推，当BCn时，BEG的面积记为nS，求20182017SS的值
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2018--2019学年度第一学期沪教版(上海)八年级期中考试数学试卷
一、单选题（计 30 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1．（本题 3 分）下列式子为最简二次根式的是（ ）
1
A． B． C． D．
2 2．（本题 3 分）解方程 2(x－1) 2＝3(1－x)最合适的方法是 ( )
A． 配方法 B． 公式法 C． 因式分解法 D． 无法确定
3．（本题 3 分）已知 20n 是整数，则满足条件的最小正整数 n 为（ ）
直接利用数轴得出
，
，进而化简得出答案．
【详解】
解：由数轴可得：
，
，
则原式
．
故选：A．
【点睛】 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项的符号是解题关键． 11．x1=0，x2=5． 【解析】 试题分析：先整理，把方程化为一般形式，再把方程左边分解因式，根据“两式相乘值为 0，这两式中至少有 一式值为 0”来解题． 解：原方程变形为：x2﹣5x+6﹣6=0 即 x2﹣5x=0 ∴x（x﹣5）=0 ∴原方程的解为：x1=0，x2=5． 考点：解一元二次方程-因式分解法．
开方得：x-6=± ，
解得：x=6+ 或 x=6- ，
当 x=6- 时，2x=12-2 ＜20-12+2 ，不能构成三角形，舍去，
则方程 x2-12x+31=0 的根为 6+ ．
故答案是：6+ . 【点睛】 考查了解一元二次方程-公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的 关键． 15．142。 【解析】 试题分析： 解法一：直接代入计算。
（2）原式=2 3 +3 3 - 3 3
静安区2018-2019学年上学期七年级期中数学模拟题
静安区2018-2019学年上学期七年级期中数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．在5-2，（-5）2，-（-5）2，-|-5|，（-5）-2，-5-2中，负数的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个2．某机械厂现加工一批零件，直径尺寸要求是40±0.03（单位mm），则直径是下列各数值的产品中合格的是（）A.39.90B.39.94C.40.01D.40.043．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“-”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组的达标率是（）A.25%B.37.5%C.50%D.75%4．在有理数-（-2），-|-7|，（-3）2，（-2）3，-24中，负数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个5．（2011•扬州）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．巴黎与北京的时间差为-7时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数），如果北京时间是7月2日14：00，那么巴黎时间是（）A.7月2日21时B.7月2日7时C.7月1日7时D.7月2日5时7．下列代数式中符合书写要求的是（）A．1 a B．﹣ a C．a÷b D．a28．的平方根是（）A．±2 B．2 C．±4 D．49．（2012春•平湖市期末）下列因式分解不正确的是（）A．﹣4a3b+2ab3=﹣2ab（2a2+b2）B．4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y）C．﹣x+1=（x﹣1）2D．2m2n﹣mn+3mn2=mn（2m+3n﹣1）10．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“-”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是（）A.25%B.37.5%C.50%D.75%11．（2013春•萧山区期末）如图，射线AB、AC被直线DE所截，则∠1与∠2是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角 D．对顶角12．（2008•南昌）下列四个点，在反比例函数y=的图象上的是（）A．（1，﹣6）B．（2，4） C．（3，﹣2）D．（﹣6，﹣1）13．（2013•东港市模拟）如图：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过D作DF⊥BC于F，若AD=2，BC=4，DF=2，则DC的长为（）A．1 B．C．2 D．14．某人月收入300元表示为+300元，那么月支出200元应该记作（）A.月支出-200元B.-200元C.+200元D.以上都不对15．下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题16．﹣3的绝对值是，的相反数是，的倒数是．17．单项式﹣的系数是，次数是．18．（2015春•萧山区月考）已知x2﹣4xy+4y2=0，那么分式的值等于．19．如图，在射线AB上取三点B、C、D，则图中共有射线条．三、解答题20．已知关于X的方程与方程的解相同，求m的值．21．（2015春•萧山区月考）已知两实数a与b，M=a2+b2，N=2ab（1）请判断M与N的大小，并说明理由．（2）请根据（1）的结论，求的最小值（其中x，y均为正数）（3）请判断a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的正负性（a，b，c为互不相等的实数）22．（2016春•芦溪县期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA．23．（2015春•萧山区月考）①化简：（xy﹣y2）②化简并求值，然后从2，﹣2，3中任选一个你喜欢的a的值代入求值．24．先化简再求值：x2﹣（﹣x2+3xy+2y2）﹣2（x2﹣2xy﹣y2），其中x=﹣2，y=3．25．（2015春•萧山区月考）阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2=b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形例如一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于62=36＜42+52，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题（1）若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是三角形（2）若一个三角形的三条边长分别是3，4，x且这个三角形是直角三角形，则x的值为（3）若一个三角形的三条边长分别是，mn，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．26．（2013秋•揭西县校级月考）如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．（1）试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线．（2）在图中画出表示大树高的线段．27．“囧”（jiong）是网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．（1）用含有x、y的代数式表示右图中“囧”的面积；（2）当x=3，y=6时，求此时“囧”的面积．静安区2018-2019学年上学期七年级期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】【解析】：解：；（-5）2=25；-（-5）2=-25；-|-5|=-5；；．其中是负数有3个．故选：C．【考点】：正数、负数、有理数【难度】：中等难度2．【答案】C【解析】【解析】：解：40-0.03=39.97mm，40+0.03=40.03mm，所以这批零件的直径范围是39.97mm到40.03mm．故选：C．【考点】：正数、负数、有理数【难度】：中等难度3．【答案】D【解析】【解析】：解：-1＜0，0=0，-1.2＜0，-0.1＜0，0=0，-0.6＜0，达标人数为6人，达标率为6÷8=75%，故选：D．【考点】：正数、负数、有理数【难度】：容易4．【答案】B【解析】【解析】：解：∵-，（-2）3＜0，-24＜0，故选：B．【考点】：正数、负数、有理数【难度】：中等难度5．【答案】B【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题．②等腰梯形的对角线相等．故②是真命题．③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故③是假命题．④两直线平行，内错角相等．故④是假命题．故选B．6．【答案】B【解析】【解析】：解：比7月2日14：00晚七小时就是7月2日7时．故选B．【考点】：正数、负数、有理数【难度】：容易7．【答案】B【解析】解：A、带分数要写成假分数，故选项错误；B、符合书写要求；C、应写成分数的形式，故选项错误；D、2应写在字母的前面，故选项错误．故选：B．点评：本题主要考查代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．8．【答案】A【解析】解：∵=4，4的平方根为±2，∴的平方根为±2．故选A点评：此题考查了平方根，以及算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．9．【答案】A【解析】解：A、运用了提公因式法，原式=﹣2ab（2a 2﹣b2）=﹣2ab（a+b）（a﹣b），错误；B、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），运用平方差公式，正确；C、﹣x+1=（x﹣1）2，运用了完全平方公式，正确；D、2m2n﹣mn+3mn2=mn（2m+3n﹣1），运用了提公因式法，正确．故选A．10．【答案】D【解析】【解析】：解：∵“正”和“负”相对，从表格中我们会发现，这8人中有6人是达标的，∴这个小组女生的达标率是=75%．故选D．【考点】：正数、负数、有理数【难度】：容易11．【答案】A【解析】解：射线AB、AC被直线DE所截，则∠1与∠2是同位角，故选A．12．【答案】D【解析】解：∵1×（﹣6）=﹣6，2×4=8，3×（﹣2）=6，（﹣6）×（﹣1）=6，∴点（3，﹣2）在反比例函数y=的图象上．故选D．13．【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，在Rt△DFC中，CD==，故选B．14．【答案】B【解析】【解析】：解：某人月收入300元表示为+300元，那么月支出200元应该记作-200元，故选：B．【考点】：正数、负数、有理数【难度】：容易15．【答案】A【解析】【解析】：解：①0不带“-”号，但是它不是正数．②-0带负号，但是它不是负数．③0既不是正数也不是负数．③0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．综上所述，①②③③全部错误，本题的答案选择：A【考点】：正数、负数、有理数【难度】：较容易二、填空题16．【答案】3，，﹣4．【解析】解：﹣3的绝对值是3，的相反数是，的倒数是﹣4，故答案为3，，﹣4．点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．17．【答案】﹣，3．【解析】解：单项式﹣的系数是﹣，次数是3．故答案为：﹣，3．点评：本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．18．【答案】3．【解析】解：∵x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2=0，∴x﹣2y=0，即x=2y将x=2y代入分式，得=3．19．【答案】4．【解析】解：分别以A、B、C、D为端点共有不同的射线4条．故答案为：4．点评：本题考查了直线、射线、线段，熟记射线的定义是解题的关键，从端点考虑求解更容易理解．三、解答题20．【答案】【解析】解：由（x﹣16）=﹣6得，x﹣16=﹣12，x=4，把x=4代入+=x﹣4得+=4﹣4，解得m=﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查了同解方程，先根据其中的一个方程求出两个方程的相同的解是解题的关键，也是解此类题目最长用的方法．21．【答案】【解析】解：（1）M≥N；理由如下：∵M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴M≥N；（2）∵∴最小值为5；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＞0，理由如下：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）=[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，∵a，b，c为互不相等的实数，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＞0．22．【答案】【解析】证明：∵MD⊥BC，且∠B=90°，∴AB∥MD，∴∠BAD=∠D又∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD，∴MA=MD23．【答案】【解析】解：①原式=y（x﹣y）•=xy2；②原式=﹣==，当a=3时，原式=1．24．【答案】【解析】解：原式=x2+x2﹣3xy﹣2y2﹣2x2+4xy+2y2=xy，当x=﹣2，y=3时，原式=（﹣2）×3=﹣6．点评：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．【答案】【解析】解：（1）若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是钝角三角形；理由如下：∵22+32＜42，∴该三角形是钝角三角形；故答案为：钝角；（2）若一个三角形的三条边长分别是3，4，x且这个三角形是直角三角形，则x的值为5或；理由如下：分两种情况：①当x为斜边时，x==5；②当x为直角边时，斜边为4，x==；综上所述：x的值为5或；故答案为：5或；（3）若一个三角形的三条边长分别是，mn，，这个三角形是直角三角形；理由如下：∵＞，＞mn，=，∴这个三角形是直角三角形．26．【答案】【解析】解：（1）如图所示：P点即为路灯的位置；（2）如图所示：GM即为所求．27．【答案】【解析】解：（1）设“囧”的面积为S，则S=20×20﹣xy﹣2×（xy）=400﹣2xy；（2）当x=3，y=6时，S=400﹣2×3×6=364．点评：本题考查了列代数式求值，正确列出代数式是关键．。
杨浦区2018-2019学年上学期七年级期中数学模拟题
的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
10．某产品原价 100 元，提价 10%后又降价了 10%，则现在的价格是（ ）
A． 90 元 B． 110 元 C． 100 元 D． 99 元 11．若 x=1 是方程 ax+3x=2 的解，则 a 的值是（ ）
A． ﹣1 B． 5 C． 1 D． ﹣5 12．下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
二、填空题
16．【答案】 2 ．
【Hale Waihona Puke 析】解：∵x 是正整数，且分式 的值是整数，
∴当 x=1 时， = ，不合题意；
当 x=2 时， =3，符合题意；
当 x=3 时， = ，不合题意；
当 x=4 时， = ，不合题意；
当 x=5 时， = ，不合题意； … 故答案为：2． 17．【答案】
3， ，﹣4．
三、解答题
20．（2015 春•萧山区月考）①化简：（xy﹣y2）
②化简并求值
，然后从 2，﹣2，3 中任选一个你喜欢的 a 的值代入求值．
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21．（2014•泗县校级模拟）已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程： x2﹣1=0， x2+x﹣2=0， x2+2x﹣3=0， … x2+（n﹣1）x﹣n=0． （1）请解上述一元二次方程； （2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 22．（2016 春•芦溪县期中）如图，在△ABC 中，∠B=90°，M 是 AC 上任意一点（M 与 A 不重合）MD⊥BC， 交∠ABC 的平分线于点 D，求证：MD=MA．
（2）这 n 个方程都有一个根为 1，另外一根等于常数项． 22．【答案】 【解析】证明：∵MD⊥BC，且∠B=90°， ∴AB∥MD， ∴∠BAD=∠D
2018-2019学年最新华东师大版七年级数学上学期期中模拟检测题及答案解析-精编试题
最新华东师大版七年级上学期期中检测题（时间：120分钟，满分：120分）一、选择题（每小题3分，共36分）1.买一个足球需要 元，买一个篮球需要 元，则买 个足球、 个篮球共需要（） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元2.两个三次多项式的和的次数是（ ）A ．六次B ．三次C ．不低于三次D ．不高于三次3.计算3562+-a a 与1252-+a a 的差，结果正确的是（ ）A.432+-a aB.232+-a aC.272+-a aD.472+-a a4.如果零上 ℃记作 ℃，那么零下 ℃可记作（ ）A. B. C. ℃ D. ℃5.下列各组数中，互为相反数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与6.一个数比它的相反数小，这个数是（ ）A.正数B.负数C.整数D.非负数7.计算 （ ）A. B. C. D.8.计算 （ ）A. B. C. D.9.下列运算结果等于 的是（ ）A. B.C. D.10.当3-=x 时，代数式 的值为( )A. B. C. D.11.设 ， ，那么 与 的大小关系是（ ）A. ＞B.C. ＜D.无法确定12.小明近期几次数学测试成绩如下：第一次 分，第二次比第一次高 分，第三次比第二 次低 分，第四次又比第三次高 分．那么小明第四次测验的成绩是（ ）A.90分B.75分C.91分D.81分二、填空题（每小题3分，共24分）13.一个三位数，十位数字为 ，个位数字比十位数字少3，百位数字是十位数字的3倍，则这个三位数为________.14.张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a 份报纸，以每份0.5元的价格售出了b 份报纸，剩余的以每份0.2元的价格退回报社，则张大伯卖报收入 元.15. 、 、 这三个数的和比它们绝对值的和小 .16.一家电脑公司仓库原有电脑 台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入 台，调出 台，调入 台，调出 台，调出 台，则这个仓库现有电脑_______台. 17.31-的倒数是____；321的相反数是____. 18. 若0＜ ＜1，则a ，2a ，1a 的大小关系是 . 19.已知 ， ，则 ；=-22b a .20.已知轮船在逆水中前进的速度是m 千米/时，水流的速度是2千米/时，则轮船在静水中航行的速度是 千米/时.三、解答题（共60分）21.（8分）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .22．（6分）若m ＞0，n ＜0，n ＞m ，用“＜”号连接m ，n ，n ，－m ，请结合数轴解答．23.（6分）已知 与 互为相反数， 与 互为倒数， ，求 的值．24.（6分） 已知 ， ，且 ，求 的值．25.（16分）计算： （1） 21 95 127 ； （2） 21 41 ； （3）211 75 75 212 21 521； （4）31 . 26.（6分）先化简，再求值：)(3)(3)22(22222222y y x x y x y x +++--，其中1-=x ，2=y .27.（6分） 已知三角形的第一条边长为 ，第二条边比第一条边长 ，•第三条边比第二条边短，求这个三角形的周长．28.（6分）已知小明的年龄是岁，小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁，小华的年龄比小红的年龄的还多1岁，求这三名同学的年龄的和．期中检测题参考答案1.A 解析：4个足球需要元，7个篮球需要元，共需要元.故选A.2.D 解析：若两个三次多项式相加，它们的和最多不会超过三次，可能是0，可能是一次，可能是二次，也可能是三次.故选D.3.D 解析：故选D.4.D 解析：由零上℃记作℃，知零下℃可记作℃．5.C 解析：A.，，相等；B.，，相等；，，互为相反数；D.与互为负倒数.6.B 解析：根据相反数的定义，知一个数比它的相反数小，则这个数是负数．故选B．7.D 解析：，故选D．8.D 解析：.9.D 解析：A.，故错误；B.，故错误；C.，故错误；D.，故正确．故选D．10.D 解析：将代入代数式，得11.A 解析：要比较、的大小，可将、作差，，所以故选12.C 解析：小明第四次测验的成绩是分故选C.13. 解析：由题意可得个位数字为 ，百位数字为 ，所以这个三位数为14. 解析：张大伯购进报纸共花费了 元，售出的报纸共得 元，退回报社的报纸共得 元，所以张大伯卖报共收入 元15. 解析：因为 ， ，所以 .16. 解析：将调入的电脑数量记为“ ”，调出的电脑数量记为“ ”，由题意，得 ，所以这个仓库现有电脑 台. 17. 321 解析：根据倒数和相反数的定义可知31 的倒数为 ；321的相反数是 321.18. 解析：当0＜ ＜1时， ， ，所以 19. 解析：将 和 两边相加，得 将 与 两边相减，得20. 解析：静水中的速度=水流速度+逆水中的速度，所以轮船在静水中的航行速度为 千米/时.21.解：（1） （2）（3）（4）22.解：因为n ＜0，所以 .将m ，n ，n ，－m 在数轴上表示如图所示：故 ，即 .23.解：由题意可得 ， ， ．（1）当 时，原式 .（2）当 时，原式．24. 解：因为 ， ，所以 ， ．因为 ，所以 ， .当 ， 时， ；当 ， 时， ．综上可知， 或 ．25.解:（1） 21 95 127 21 95 127 .（2） 21 41 41 41 . （3） 211 75－ －75 212 －21 521 23 75 75 25 －21 75 75 23 25－21 75 27 25. （4） － － － －31 6165 . 26.解：当 ， 时，原式27.解：根据题意可知第二条边长为 ，第三条边长为所以这个三角形的周长为 .28.解：因为小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁,所以小红的年龄为 岁. 又因为小华的年龄比小红的年龄的 还多1岁，所以小华的年龄为 岁， 则这三名同学的年龄的和为． 答：这三名同学的年龄的和是 岁．。
上海市复旦二附中初二上学期期中数学试卷(附答案)
2√ )
D. 2 x − 4 − 6 y x − 4 + 6 y
2
2
2
4. 下A.列√结a2论+正b2确是的最是简(二次根) 式
B.
√ √x(
−
y 的有理化因式可以是
√ )2
√
√ x
+
C. D.
1− 不等式
(2 2−
√= 1) 5
− x>
2 1
的解集是
x
>
−
( 2
+
√) 5
二填空题每小题3分
解得：x = 20% 或 x = 1.8（舍去）．
15. 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 解析：命题：“平行于同一条直线的两条直
线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行，改写成如果 · · · 那么 · · · 的
形式为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
=a+b−c+b−a−c
8. 9
= 2b − 2c. 解析：∵ 最简二次根式
√ 3a 2a−4
+
b
与
√ a
−
b
是同类根式，
∴ 2a − 4 = 2，
3a + b = a − b，
解得：a = 3，b = −3．
∴
2a
−
b
=
2
×
3
−
(−(3√)
=
9． √
)2015
(√
√ )2016
2+ 3 · 2− 3
3. 把二(次三项式√2x2 −) (8xy + 5y2 √因式分) 解，下列结果中正( 确的是 (√ )) (
上海市华师大二附中2018-2019学年上期高二数学期末试题及答案解析(WORD版)
上海市华师大二附中2018-2019学年上期高二数学期末试卷一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1. 关于x ，y 的二元一次方程组{2x +3y =4x+5y=0，其中行列式D x 为（ ）A. ∣∣∣05−43∣∣∣B. ∣∣∣1024∣∣∣C. ∣∣∣0543∣∣∣D. ∣∣∣054−3∣∣∣2. 使复数z 为实数的充分而不必要条件为（ ）A. z 2为实数B. z +z −为实数 C. z =z −D. |z|=z3. 下列动点M 的轨迹不在某一直线上的是（ ）A. 动点M 到直线4x +3y −5=0和4x +3y +10=0的距离和为3B. 动点M 到直线(1,0)和(−1,0)的距离和为2C. 动点M 到直线(0,2)和(0,−2)的距离差为4D. 动点M 到点(2,3)和到2x −y −1=0的距离相等44. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：x 2+y 2=12和C 2：x 2+y 2=14，又点A 坐标为（3，-1），M 、N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）5. 在平面解析几何中，直线的倾斜角θ的取值范围为______．6. 抛物线y =-2x 2的准线方程为______．7. 若复数z 满足z =（1+2i ）（3-4i ），（i 是虚数单位），则|z −|=______． 8. 若|1a−i 1+i b−2i|=0，(a ，b ∈R)，（i 是虚数单位），则a 2+b 2=______．9. 设点（x ，y ）位于线性的约束条件{x +y ≤3x −2y +1≤0y ≤2x所表示的区域，则目标函数z =2x +y的最大值和最小值的比值______． 10. 若方程x 2k−1+y 2k 2−3=−1表示椭圆，则k 的取值范围是______． 11. 已知直线ax +by +c =0与圆：x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 12. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的两焦点，点P 是该椭圆上一动点，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______．13. 若圆x 2+y 2=R 2（R ＞0）和曲线|x|3+|y|4=1恰有六个公共点，则R 的值是______．14. 已知2a +b -ab =0（a ＞0，b ＞0），当ab 取得最小值时，曲线x|x|a−y|y|b=1上的点到直线y =√2x 的距离的取值范围为______． 三、解答题（本大题共4小题，共42.0分） 15. 已知复数z =m 2−m−6m+3+(m 2−2m −15)i （i 是虚数单位）（1）复数z 是实数，求实数m 的值；（3）复数z是纯虚数，求实数m的值．16.直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1的左支交于点A，与右支交于点B．（1）求实数k的取值范围；（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求k的取值．17.已知F1、F2为双曲线：Γ：x24−y2=1的左、右焦点，点P在双曲线上，点Q在圆C：x2+（y-3）2=4上．（1）若|PF1|+|PF2|=8，求点P的坐标；（2）若直线l与双曲线Γ及圆C都恰好只有一个公共点，求直线l的方程．18.已知椭圆￢：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），M点的坐标为（0，b），O为坐标原点，△OMF是等腰直角三角形．（1）求椭圆￢的方程；（2）设经过点C（0，2）作直线AB交椭圆￢于A、B两点，求△AOB面积的最大值；（3）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．答案和解析1.C【解析】解x，y的二元一次方程组，系数行列式：Dx=．故选：C．利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．2.D【解析】解：设复数z=a+bi（i是虚数单位），则复数z为实数的充分必要条件为b=0由此可看出：对于A，z2为实数，可能z=i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B，同样若z是纯虚数，则z+=0为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C，若z=a+bi，=a-bi，z=等价于b=0，故是充分必要条件，故不符合题意；对于D，若|z|=z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|=z不成立，符合题意．故选：D．一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为0，根据这个充要条件对各个先项加以判别，发现A、B都没有充分性，而C是充分必要条件，由此不难得出正确的选项．本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题．熟练掌握书本中的复数有关概念，是解决本题的关键．3.A【解析】解：直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0之间的距离为：=3，所以动点M到直线4x+3y-5=0和4x+3y+10=0的距离和为3，动点的轨迹是平行线之间的区域．满足题意．动点M到直线（1，0）和（-1，0）的距离和为2，是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B不正确；动点M到直线（0，2）和（0，-2）的距离差为4，是两条射线，在一条直线上，所以C不正确；动点M到点（2，3）和到2x-y-1=0的距离相等4，动点M的轨迹是经过（2，3）与直线垂直的直线，所以D不正确；故选：A．利用平行线之间的距离，判断选项A的正误；利用两点间距离个数判断B的正误；轨迹方程判断C，D的正误；本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．4.D【解析】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，若MN=AQ，即可得出四边形AMQN是矩形，由Q的任意性知，四边形AMQN能构成无数个矩形．故选：D．根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．本题考查了两圆的位置关系应用问题，是难题．5.[0，π）【解析】解：直线的倾斜角θ的取值范围为[0，π）．故答案为：[0，π）．直接写出直线的倾斜角θ的取值范围即可．本题考查了直线的倾斜角的范围，是基础题．6.y=18【解析】解：抛物线y=-2x2即为x2=-y，由x2=-2py的准线方程y=，由x2=-y，可得p=，可得所求准线方程为y=．故答案为：y=．得到所求方程．本题考查抛物线的准线方程的求法，注意将方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．7.5√5【解析】解：z=（1+2i）（3-4i）=11+2i．则=．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．8.1【解析】解：化简行列式如下：=（a-i）（1+i）-1•（b-2i）=a+ai-i+1-b+2i=（a+1-b）+（a+1）i，∵=0∴（a+1-b）+（a+1）i=0，∴可得，方程组：，解得a=-1，b=0，∴a2+b2=1，故答案为1．本题根据二阶行列式的定义将此行列式化简整理，然后根据虚数的概念可算出a，b的值，答案即出．本题主要考查二阶行列式的定义计算和虚数的概念，不是太难，属基础题．9.72【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得B（，），代入目标函数z=2x+y得z=2×+=．即目标函数z=2x+y的最大值为，由，解得C（，）函数的最小值：，目标函数z=2x+y的最大值和最小值的比值：．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值与最小值，然后求解比值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10.(−√3，−1)∪(−1，1)【解析】解：∵方程表示椭圆，∴∴-＜k＜1且k≠-1，故答案为：．由题意列出不等式组，解不等式可求k的范围．本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，椭圆的简单性质的应用，属于基础试题．11.−12解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin=所以：∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=．故答案为：．直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得•的值．初看题目，会被直线方程所困惑，然而看到题目后面，发现本题容易解答．本题考查平面向量数量积的运算，直线与圆的位置关系．是基础题．12.[-2，1]【解析】解：由椭圆，焦点知F1（-，0），F2（，0），设P（x，y），-2≤x≤2，则=（--x，-y）（-x，-y）=x2+y2-3=（3x2-8），∵-2≤x≤2，∴0≤x2≤4，故∈[-2，1]，故答案为：[-2，1]．求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得=（3x2-8），由-2≤x≤2，即可求得答案．本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值，考查计算能力，属于中档题．13.3【解析】解：圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，如图所示，此时R=3．故答案为3．可作出圆x2+y2=R2（R＞0）和曲线恰有六个公共点，根据图形判断本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.（0，2√6]3【解析】解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），∴ab=2a+b≥2，化为（-2）≥0，∴≥2，解得ab≥8．当且仅当b=2a=4时取等号．∴曲线为-=1．画出图形：由图形可知：直线y=x分别是曲线=1，曲线-+=1的渐近线．因此点到直线y=x的距离d＞0．设直线y=x+m与曲线+=1（x≥0，y≤0）相切．联立化为，令△=8m2-16（m2-4）=0，解得m=-2．∴切线为y=．两平行线y=，y=x的距离d==．∴曲线上的点到直线的距离取值范围是（0，]．故答案为（0，]．利用基本不等式可得b=2a=4．再对x，y分类讨论，画出图形，利用直线与曲线相切的性质即可得出．本题考查了基本不等式、直线与曲线相切的性质、两点间的距离公式、分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．15.解：（1）若复数z 是实数，则{m +3≠0m2−2m−15=0，得{m ≠−3m=5或m=−3， 即m =5；（2）复数z 是虚数，则{m ≠−3m 2−2m−15≠0，即{m ≠−3m≠5且m≠−3， 即m ≠5且m ≠-3；（3）复数z 是纯虚数，则{m 2−m −6=0m ≠−3m 2−2m −15≠0，得{m =3或−2m ≠−3m ≠5且m ≠−3，即m =3，或-2【解析】（1）根据复数是实数得到虚部为零 （2）复数是虚数，则虚部不为零（3）复数是纯虚数，则实部为零虚部不为零本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题的关键．16.解：（1）由直线y =kx +1与双曲线3x 2-y 2=1，得（3-k 2）x 2-2kx -2=0，因为A ．B 在双曲线的左右两支上，所以3-k 2≠0，−23−k 2＜0，解得-√3＜k ＜√3；（2）假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k OA •k OB =-1，即x 1x 2+y 1y 2=0， ∴x 1x 2+（kx 1+1）（kx 2+1）=0， 即（k 2+1）x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=0， ∴（k 2+1）•−23−k 2+k •2k3−k 2=0， 整理得k 2=1，符合条件，∴k =±1． 【解析】（1）由直线y=kx+1与双曲线3x 2-y 2=1，得（3-k 2）x 2-2kx-2=0，利用A ，B 在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可； （2）把存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点转化为k OA •k OB =-1，即x 1x 2+y 1y 2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k 的值． 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方第11页，共13页程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．17.解：（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，可得m +n =8，|m -n |=4，若P 在第一象限，可得m -n =4，解得m =6，n =2，由双曲线的第二定义可得2x P −4√5=√52，解得x P =8√55，y P =√555， 由对称性可得点P 的坐标为(8√55，√555)，(8√55，−√555)，(−8√55，√555)，(−8√55，−√555)； （2）直线l 与双曲线Γ及圆C 都恰好只有一个公共点，若直线l 的斜率不存在，即有直线方程为x =±2； 由双曲线的渐近线方程可得y =±12x ， 直线l 与渐近线平行，可设l ：y =±12x +m ， 由直线l 与圆相切，可得√1+14=2，解得m =3±√5， 可得直线l 的方程为y =12x +3±√5或y =-12x +3±√5；当直线l 与双曲线和圆都相切，设直线方程为y =kx +t ，可得√1+k 2=2，①由双曲线方程和直线方程联立，可得（1-4k 2）x 2-8ktx -4t 2-4=0，可得△=64k 2t 2+16（1+t 2）（1-4k 2）=0，化为1+t 2=4k 2，② 由①②解得k =±√136，t =23， 即直线l 的方程为y =±√136x +23， 综上可得直线l 共有8条，为x =±2；y =12x +3±√5或y =-12x +3±√5； y =±√136x +23． 【解析】（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，运用双曲线的两个定义，解方程即可得到所求P 的坐标；（2）分别讨论直线的斜率不存在和直线和渐近线平行、直线和圆、双曲线都相切的情况，解方程即可得到所求直线方程．第12页，共13页 本题考查直线和双曲线、直线和圆的位置关系，考查化简运算能力、方程思想，属于中档题．18.解：（1）由△OMF 是等腰直角三角形，得b =1，a =√2b =√2，故椭圆方程为x 22+y 2=1； （2）设过点C （0，2）的直线AB 的方程为y =kx +2，A 、B 的横坐标分别为x A ，x B ， 将线AB 的方程为y =kx +2代入椭圆方程，消元可得（1+2k 2）x 2+8kx +6=0，△=16k 2-24＞0，∴k 2＞32∴x A +x B =-8k 1+2k 2，x A x B =61+2k 2∴|x A -x B |=√(−8k 1+2k 2)2−4×61+2k 2=√16k 2−24(1+2k 2)2 令k 2=t ，则t ＞32，|x A -x B |=√16t−24(1+2t)2令u =t -32，则u ＞0，|x A -x B |=4√u (2u+4)2=2√1u+4u +4≤√22（当且仅当u =2时取等号）又△AOB 面积=12×2×|x A -x B |=|x A -x B |，∴△AOB 面积的最大值为√22； （3）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），因为M （0，1），F （1，0），所以k PQ =1．于是设直线l 的方程为y =x +m ，代入椭圆方程，消元可得3x 2+4mx +2m 2-2=0． 由△＞0，得m 2＜3，且x 1+x 2=−4m3，x 1x 2=2m 2−23由题意应有MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以x 1（x 2-1）+y 2（y 1-1）=0，所以2x 1x 2+（x 1+x 2）（m -1）+m 2-m =0．整理得2×2m 2−23−4m 3（m -1）+m 2-m =0． 解得m =-43或m =1．经检验，当m =1时，△PQM 不存在，故舍去．∴当m =-43时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为y =x -43【解析】（1）由△△OMF 是等腰直角三角形，可得b=1，a=，b=，从而可得椭圆方程；（2）设过点C （0，2）的直线AB 的方程为y=kx+2，A 、B 的横坐标分别为x A ，x B ，求出|x A -x B |的最大值，即可求得△AOB 面积=×2×|x A -x B |=|x A -x B |的最大值； （3）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心，设直线l 的方程为y=x+m ，代入椭圆方程，利用韦达定理结合，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．第13页，共13页。
上海市复旦大学附属中学2019届高二第二学期期中考试数学试题.docx
复旦大学附属中学2018学年第二学期高二年级数学期中考试试卷考试时间：120分钟 满分：150分 2019.4一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1. 将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的体积为______.2. 在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A ，()0,2,0B ，()0,1,3P ，则向量AP uu u r 与BP uu r 的夹角为______.3. 如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，G 是棱'DD 的中点，则异面直线GB 与'B E 所成的角为______.4. 如图，在底面半径为1，高为3的圆锥中，O 是底面圆心，P 为圆锥顶点，A ，B 是底面圆周上的两点，23AOB π∠=，C 为母线PB 的中点，则在该圆锥的侧面上，从A 到C 的最短路径的长是______.5. 设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=uuu r uuu r ______.6. 已知平面α，β和直线m ，n ，给出下列命题：①m αP ，n βP ，m n ⊥，则αβ⊥；②若αβP ，m αP ，n βP ，则m n P ；③若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥，其中是真命题的是______（填写所有真命题的序号）.7. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，l 是平面11AB D 与平面ABCD 的交线，则点1D 到l 的距离是______.8. 如图，已知正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为4，则二面角A PB C --的大小为______.9. 已知球O 的表面上三点A 、B 、C 满足：12AB =，16BC =，20AC =，且球心到该截面的距离为球的半径的一半，则A 、C 两点的球面距离是______.10. 如图是复且附中旦华楼的大致形状，它可看作是一个半球与两个长方体拼接而成，若半球的半径3米，50AB =米，10BC =米，15CD =米，4GF =米，30EF =米，由于年久失修，需要用涂料刷满其外表面（不计地面），则需要______平方米的涂料.11. 已知a ，b ，h 是正常数，由直线0y =、直线y h =、双曲线22221x y a b -=及其一条渐近线围成如图阴影部分所示的图形，该图形绕y 轴旋转一周所得几何体的体积为______.12. 如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长等于1，60ABC ∠=o ，O 和1O 分别是上下底面对角线的交点，H 在线段1OB 上，13OH HB =，点M 在线段BD 上移动，则三棱锥11M C O H -的体积最小值为______.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，且ka b +r r 与2a b -r r 垂直，则k 的值为（ ）A . 15 B . 1 C . 35 D . 7514. 过点()0,1P 与圆22230x y x +--=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ）A . 0x =B . 1y =C . 10x y +-=D . 10x y -+=15. 下列四个结论中正确的是（ ）①若两个平面有无数多个公共点，则它们重合；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③若两平行线中的一条与第三条直线垂直，则另一条也与这条直线垂直；④若a ，b 是异面直线，直线c ，d 与a ，b 都相交，则c ，d 也是异面直线；A . ①②B . ②③C . ③D . ③④16. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 平行，则1PBB ∆的面积最小值为（ ）A . 22B . 1C . 2D . 2三、解答题（本大题共5题，共76分）17. 如图，在四棱锥中P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC P ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE PD ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求线段PF 的长.18. 已知椭圆C ：()222122x y a a +=>过点()2,1T ，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且AQ BM P ，求证：PFQ ∠为定值.19. 如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求圆柱的表面积；（2）求点A 到平面1A PO 的距离；（3）求直线1A P 与AB 所成的角.20. 如图，在多面体111ABCA B C 中，1AA 、1BB 、1CC 均垂直于平面ABC ，14AA =，13CC =，12BB AB AC ===，120BAC ∠=o ，D ，E 分别是线段BC 和11B C 上的点.（1）求1AB 与111A B C 所成角的大小；（2）求二面角111A A B C --的大小；（3）求AD DE +的最小值.21. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，设P 是双曲线C 上任意一点，O 为坐标原点，F 为双曲线右焦点，1A ，2A 为双曲线的左右顶点.（1）已知：无论点P 在右支的何处，总有PO PF >，求ba 的取值范围；（2）设过右焦点F 的直线l 交双曲线于M ，N 两点，若存在直线l ，使得OMN ∆为等边三角形，求22b a 的值；（3）若2a =，3b =，动点Q 与双曲线的顶点不重合，直线1QA 和直线2QA 与直线l ：1x =分别相交于点S 和T ，试问：是否存在定点E ，使得ES ET ⊥恒成立？若存在，请求出定点E 的坐标；若不存在，试说明理由.参考答案一、填空题l . 12π 2. 2arccos 4 3. 90o 4. 3 5. 8 6. ③④ 7. 628. 7arccos 15 9. 4039π 10. 26209π+ 11. 2a h π 12. 348 二、选择题13-16：DCCC三、解答题17.（1）略；（2）3218.（1）22142x y +=；（2）90o19.（1）20π；（2）32；（3）21arccos 720.（1）15arcsin 5；（2）10arccos 5；（3）7391321.（1）()0,3；（2）1136+；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或5,02⎛⎫⎪⎝⎭。
2018-2019学年上海市交大附中高二(下)期中数学试卷
2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣E F﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2V≈L h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD ＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．21．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定1或2或3个平面．【分析】讨论这两条直线的位置情况，从而得出三条直线所确定的平面数．【解答】解：如果三条直线都交于一点，且三线不共面，则每两条直线都确定一个平面，共确定3个平面；如果三条直线两两相交，交于不同的三点，则只确定1个平面；如果两条直线异面，另一条与其均相交，则只确定2个平面；如果两条直线平行，另一条与其均相交，则只确定1个平面．综上，这三条直线共可确定1或2或3个平面．故答案为：1或2或3．【点评】本题考查了由直线确定平面的应用问题，是平面的基本性质与推论的应用问题，是基础题目．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R＝3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3＝36π，可得R＝3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2＝9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝4．【分析】由题意可得（?a?a?sin60°）?a＝16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为?a?a?sin60°，正棱柱的高为a，∴（?a?a?sin60°）?a＝16，∴a＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴＝＝3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ＝＝，∴θ＝arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为0，2，4（写出所有可能值）【分析】根据题意画出图形，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，利用平面图形：直角梯形EE′C′C中数据可求得△ABC的重心到平面α的距离GG′即可．【解答】解：如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B'，G′∈C′E'，设A A'＝BB'＝3，CC'＝6，EE'＝3，由CG＝2GE，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′＝4；当AB和C在平面α的两侧，由于EE'：CC'＝1：2，可得GG′＝0；当AB垂直于平面α，由中位线定理可得GG'＝2．故答案为：0，2，4．【点评】本题考查棱锥的结构特征、三角形的重心，考查计算能力，空间想象能力，是基础题，三角形重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1]．【分析】建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由＝1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴＝（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴＝λ?＝（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴＝+＝+＝（﹣λ，1﹣λ，λ），∴＝1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．第11页（共29页）【分析】根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为＝．故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的边长关系式和不等式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：利用三视图的关系，构造成四棱锥体，所以：x2＝1+4﹣y2，第12页（共29页）整理得：x2+y2＝5，故：（3x+4y）22222≤（3）（x+4+y），整理得：．故答案为：5【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是【分析】以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间坐标系，求出，，的坐标，根据P在球O上，得到||的长度为R，再结合柯西不等式即可得到结论．【解答】解：依题意，OA⊥OC，OB⊥OC，又OA∩OB＝O，所以OC⊥平面OAB，以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，O为坐标原点立空间坐标系，则＝（R，0，0），＝（0，R，0）因为O A与OB夹角为，所以不妨设＝（R，R，0），如图，则＝（（x+）R，R，R），因为P在球O上，所以||＝R，所以+y2R2+＝R2，2即+y+＝1，所以由柯西不等式[12+12+][+y2+]≥1×（x+）+1×y+×＝x+y+z，解得x+y+z≤＝．故答案为：．第13页（共29页）【点评】本题考查了球面距离，空间向量的坐标运算，向量的模，柯西不等式等知识，属于中档题．12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是③，④．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．【分析】①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH ∥BD；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，可得对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH．第14页（共29页）④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．【解答】解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF ∥EH∥BD，因此不正确；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，因此对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH．④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，因此是一个定值．综上可知：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．2?h V＝2×S?h＝2×πR＝2×π×（）2×＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长第15页（共29页）为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．【分析】由＝，利用数量积运算性质展开即可得出．【解答】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴＝＝0，又大小为45°的二面角A﹣E F﹣D中，∴?＝1×1×cos（180°﹣45°）＝﹣．∵＝，∴＝+++＝3﹣，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1的正方形，则B与C两点间的距离是（）改为则B与D两点间的距离是（？？？？15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L＝2πr，∴＝（2πr）2h，第16页（共29页）∴π＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6【分析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长A B＝1，B（1，0，1），C（1，1，1）．①在Rt△AA′C中，tan∠AA′C＝＝，因此∠AA′C≠45°．同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为a rctan°．故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为arctan°，不满足条件；②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则＝（﹣1，y，0），＝（1，1，1）．若满足BP与AC′所成的角为45°，则＞|＝＝，化为y2+4y+1＝0，无正数解，舍去；同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），第17页（共29页）则＝（﹣1，y，﹣1），＝（1，1，1）．若满足BP与AC'所成的角为45°，则＞|＝＝，化为y2+8y﹣2＝0，∵0≤y≤1，解得y＝3﹣4，满足条件，此时点P．④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．而其它棱上没有满足条件的点P．综上可知：满足条件的点P有且只有3个．故选：B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键．二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由【分析】存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V433＞a2b+a b2（a≠b，a，b＞0）．通过作差即可证明结论．＞V1+V2，即a+b【解答】解：存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．第18页（共29页）33＞a2b+ab2（a≠b，a，理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V4＞V1+V2，即a+bb＞0）．证明如下：a3+b3﹣（a2b+ab2）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣ab（a+b）＝（a+b）（a﹣b）2．∵a≠b，a，b＞0，∴（a+b）（a﹣b）2＞0．∴a3+b3＞a2b+a b2（a≠b，a，b＞0），即V3+V4＞V1+V2．因此存在必胜方案是：选中3号容器与4号容器．【点评】本题考查了乘法公式、不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．【分析】（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，求出HQ的值，找出PQ与SO所成的角，求得S O、SA的值，再计算圆锥的侧面积；（2）作圆锥的侧面展开图，找出所求的最短距离，利用余弦定理求出即可．【解答】解：（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，∵圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA 的中点，∴PH＝，OQ⊥AC，OH＝10，可得：HQ＝＝10，∵PH∥S O，∴∠HPQ是PQ与SO所成的角，∵PQ与SO所成的角为arctan2，第19页（共29页）∴tan∠HPQ＝＝2，∴HQ＝2PH＝S O，解得SO＝10，l＝SA＝＝30，∴圆锥的侧面积：S＝πrl＝π×20×30＝600π（cm2）．（2）作圆锥的侧面展开图，线段PQ即为所求最短距离．由已知OQ⊥SO，OQ⊥S A，∴OQ⊥OA，故Q是弧AB的中点，即Q是扇形弧的点．因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，由（1）知SO＝10，母线SA＝30，从而扇形的中心角为，∴∠QSA＝，在△QSA中，SP＝15，由余弦定理得：PQ＝＝＝5，P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离5cm．第20页（共29页）【点评】本题考查了求圆锥的体积、多面体和旋转体表面上的最短距离问题，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD ＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．【分析】（1）先证四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，可得DC⊥BF，再由已知证明DC⊥PD，可得DC⊥EF，由线面垂直的判定可得DC⊥平面BEF；（2）由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，求解三角形即可；（3）由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，利用等面积法求得h，得A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC 的距离为，再利用等体积法求三棱锥P﹣DBE的体积．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，∴DC⊥BF，又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF．由此得DC⊥平面BEF；（2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，第21页（共29页）∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．。
2018-2019-1附中高新实验中学七年级期中考试数学试卷——答案
2018-2019-1附中高新实验中学七年级期中考试数学试卷 参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
本题共12个小题，每小题3分，共36分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13．13-14．9- 15．10 16．a b -+ 17．22x - 18．13114267=+三、解答题（本题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）9 （2）55 （3）254a b ab + （4）273x -20．1210342<-<-<<+-21．276a ab -22．整数集合：{ ()10--,8 +， 24-，0 }; 正数集合：{ ()10--,8 +，36.，97||- };负数集合：{ 104.-, 24- }. 23．124．（1）216 （2）26 （3）70120元25．（1）相等；（2）根据题意得：m=7+1.8（s﹣3）=（1.8s+1.6）（元）；（3）当s=4.5时，m=7+1.8（4.5﹣3）=7+1.8×1.5=7+2.7=9.7＜10；所以小丽能坐出租车由体育馆到少年宫．小丽能坐出租车由体育馆到少年宫．26．解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．根据题意得：c﹣5=0且a+b=0，∴a=﹣1，b=1，c=5．故答案是：﹣1；1；5；（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，则：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|=x+1﹣（1﹣x）+2（x+5）=x+1﹣1+x+2x+10=4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0．∴|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|=x+1﹣（x﹣1）+2（x+5）=x+1﹣x+1+2x+10=2x+12；（3）不变．理由如下：t秒时，点A对应的数为﹣1﹣t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．∴BC=（5t+5）﹣（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）﹣（﹣1﹣t）=3t+2，∴BC﹣AB=（3t+4）﹣（3t+2）=2，即BC﹣AB的不随着时间t的变化而改变．。
上海市名校2019-2020学年度七年级(上)数学期中试卷错题集(Word版有答案)
22019 年七年级第一学期数学期中考试易错题整理【例 1】如果一个二次二项式与（ x 2+ y 2 ）的和是一个二次三项式，而且是一个完全平方式， 那么这个二次二项式可以是 。
（只要写出一个符合条件的代数式） 【考点】：多项式的运算以及完全平方式【错因分析】：审题错误【答案】： 3x + 4xy （答案不唯一）【解析】：对二次二项式的理解，确定好方向。
3x 2 + 4xy + x 2 + y 2 = 4x 2+ 4xy + y 2 = (2x + y )2【例 2】已知3x +1 ⋅ 2x +1 = 62 x +3 ，则 x =。
【考点】：幂的运算【错因分析】：方法未掌握【答案】：4 【解析】：根据a m ⋅b m = (ab )m ，有： 6x +1 = 62 x -3 ，则 x +1 = 2x - 3， x = 4【例 3】已知 x 2 + x + 1 = 0 ，则 x 2019 + x 2018 + L + x 3 + x 2 + x + 1= 。
【考点】：多项式的运算【错因分析】：不知道解题方法【答案】：1【解析】：2019 ÷3=673，∴ x 2019 + x 2018 + L + x 3 + x 2 + x = 0，原式=1【例 4】分解因式： x 2 y 2 (x - y ) + 9 y 2 ( y - x )【考点】：因式分解【错因分析】：公因式提取不彻底【答案】：见解析【解析】：原式= x 2 y 2 (x - y ) - 9 y 2 (x - y )= y 2 (x - y )(x 2 - 9)= y2 (x -y)(x - 3)(x + 3)【例 5】计算：(a - 2b + 4)(a + 2b - 4)【考点】：平方差公式【错因分析】：符号出错【答案】：见解析【解析】：原式= [a - (2b - 4)][a + (2b - 4) ]= a2 - (2b - 4)2= a2 - 4b2 +16b -16【例 6】分解因式：(x -1)2 (3x -1) + (1-x)【考点】：因式分解【错因分析】：公因式提取不完全【答案】：见解析【解析】：原式= (1-x)2 (3x -1) + (1-x)= (1-x) [(3x -1)(1-x) +1]= (1-x)⎡⎣4x-3x2⎤⎦= x(1-x)(4 - 3x)【例7】下列说法正确的个数是（）。