高三数学专题复习导数专题

导数专题

1、考点梳理：

重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题，还有恒成立问题、比较大小问题、方程根的个数问题，有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。

2、求导公式：

3、导数运算法则

导数运算法则

1． 2． 3．

4、复合函数的导数 复合函数

()()

y f g x =的导数和函数

()

y f u =，

()

u g x =的导数间的关系为

函数

导数

y c =

*()()n y f x x n Q ==∈

sin y x =

cos y x =

()x y f x a == ()x y f x e == ()log a f x x =

()ln f x x =

x u x

y y u '''=g ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积。 5、思考探究

A ．f ′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内单调递增的充要条件吗？

B ．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？

导数中的不含参数问题

1、设函数

()()22.71828...x x f x c e e

=+=∈是自然对数的底数，c R ，求()f x 的单调区间、最大值。

2、设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数，当a ＝4

3时，求f (x )的极值点。

3、已知函数

1()ln 1()

a

f x x ax a R x

-=-+-∈，当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程。

4、已知函数f(x)＝x2＋2a ln x，若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；

含参数问题

一、求单调区间

1、已知函数f(x)＝(x－k)e x，

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值

2、设函数f(x)＝e x－ax－2.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

3、)已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .

(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；

4、已知函数f (x )＝x ＋a

x ＋ln x (a ∈R)，求函数f (x )的单调区间；

5、已知函数f (x )＝a ln x －12x 2

＋12(a ∈R 且a ≠0)，求f (x )的单调区间；

二、恒成立问题

1、设f (x )＝e x

1＋ax 2，其中a 为正实数，若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．

2、已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)，要使f (x )在(0,2)上单调递增，试求a 的取值范围。

3、已知函数f (x )＝x ＋a

x ＋ln x (a ∈R)．若函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．

4、已知函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋a ，其中a 为实数，若f (x )在(－∞，－2]和[3，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围．

5、已知函数f (x )＝x 2

＋2a ln x ，若函数g (x )＝2

x ＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值

范围．

6、设函数f (x )＝e x －ax －2，若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k 的最大值．

7、已知函数f (x )＝a ln x －12x 2

＋12(a ∈R 且a ≠0)，是否存在实数a ，使得对任意的x ∈[1，＋∞)，都有f (x )≤0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

走进高考

（22）（本小题满分14分）

已知函数)(111)(R a x

a

ax nx x f ∈--+

-=. （Ⅰ）当2

1

≤

a 时，讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）设4

1.42)(2

=+-=a bx x x g 当时，若对任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使

)()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围.

试题分析：（Ⅰ）因为

所以

令

（1）当

所以，当，函数单调递减；

当时，，此时单调递增

（2）当

即，解得

①当时，恒成立，

此时，函数在（0，+∞）上单调递减；

②当

时，单调递减；

时，单调递增；

，此时，函数单调递减；

③当时，由于

时，，此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增。

综上所述：

当时，函数在（０，１）上单调递减；

函数在（１，＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0，+∞）上单调递减；

当时，函数在（0，1）上单调递减；

函数在上单调递增；

函数上单调递减，

（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，

，当，

函数单调递减；当时，

函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为

由于“对任意，存在，使”等价于“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值”（*）又，所以

①当时，因为，此时与（*）矛盾；

②当时，因为，同样与（*）矛盾；

③当时，因为

解不等式，可得

综上，的取值范围是

变式：

21．（本小题满分12分）

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆

柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80

3

立方米，且2

l r

≥．假

设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)

c c＞千元，设该容器的建造费用为y千元．

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

解：（1）由体积V=，解得l=，

∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2=2π·，

又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2

∴其定义域为（0，2]．

（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣，

=，0＜r≤2

由于c＞3，所以c﹣2＞0

当r3﹣=0时，则r=

令=m，（m＞0）

所以y′=

①当0＜m＜2即c＞时，

当r=m 时，y ′=0 当r ∈（0，m ）时，y ′＜0 当r ∈（m ，2）时，y ′＞0

所以r=m 是函数y 的极小值点，也是最小值点． ②当m ≥2即3＜c ≤时，

当r ∈（0，2）时，y ′＜0，函数单调递减． 所以r=2是函数y 的最小值点．

综上所述，当3＜c ≤时，建造费用最小时r=2；

当c ＞时，建造费用最小时r=

(22)（本小题满分13分）

已知函数x

k

x x f e ln )(+=（k 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线)(x f y =在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值.

(Ⅱ)求)(x f 的单调区间.

(Ⅲ)设g (x )=(x 2+x )f '(x )，其中f '(x )为f (x )的导函数.证明：对任意x ＞0,2

e

1)(-+＜x g .

21、（本小题满分13分）

设函数()()

22.71828...x x

f x c e e

=+=∈是自然对数的底数，c R . （Ⅰ）求()f

x 的单调区间、最大值；

（Ⅱ）讨论关于x 的方程()l n x f x =根的个数。

（1）

，

令，解得，令，解得

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

的最大值为

（2）令，

①当

时

，所以

在时，函数

的值域为，函数的值域为，所以在上，恒有，即

，所以

对任意

大于零恒成立，所以

在

上

单调递增； ②当

时，

，所以

，显然在时有函数

恒成立，所以函数

在

时恒成立，所以

对任意恒成立，所以

在

上单调递减； 由①②得，函数

在

上单调递增，在

上单调递减，所以

的最大值为

当，即时，方程有且只有一个根；

当，即时，方程有两个不等的根；

当，即时，方程没有根。