力在轴上的投影
《理论力学》第一章 力的分解与力的投影解析
一、力的分解
力的分解与力的投影
根据力的平行四边形法则，作用在O点的一个力 R，可以过同一点O向任意两个方位线分解，分力的 大小与合力R的关系根据平行四边形的边、角几何 关系确定。
y
F1
O
R
F2
x
第一章
静力学的基本公理与受力分析
二、力在坐标轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。 F α
F2
y
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
F cos x 0.754 FR cos Fy FR 0.656
F1
60
O
45
30
45
x
F3
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
F4
40.99
第一章
49.01
静力学的基本公理与受力分析
例题
或
合力的大小：
第一章 静力学的基本公理与受力分析
例题
计算图示力F对点O之 矩。F与水平线夹角 为，杆OA长r，与水 平线夹角为。
平面力系中的力矩
解：
M O ( F ) Fh Frsin( - )
MO (Fx ) -Fx y -Fcos rsin MO (Fy ) Fy x Fsin rcos
静力学的基本公理与受力分析
一、平面力系中的力矩
力矩是度量力使刚体绕点转动效应的物理量 O——矩心
h——力臂，点O到力的作用线的垂直距离
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与 力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心 逆时针转向时为正，反之为负。
空间力系沿坐标的分解与投影
C 已知X、Y、Z，可以确定F
z
E Z A
F = X +Y + Z
2 2
2
X Y Z cosα = ,cosβ = ,cosγ = F F F
F
Y
B D
C k j
X
• 分量与投影
i
O
y
F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk
x
D
应用举例
求各力在坐标轴上的投影 解∶采用二次投影法 B F1 =500N，F2=1000N s i n θ = A C = 52.5.59 ; c o s ϕ = C D B AB BC 5 CD F3=1500N cosθ = = ; sin ϕ =
B
ϕ
3m
y
Y3 = − 1500 cos θ sin ϕ = − 1073 N Z 3 = 1500 sin ϕ = 671 N
x O
Fz Fx
C
E
γ
F
A
B
α
β
Fy
D
y Y • 把力向oxy平面投影 • 把oxy平面上的投影
– 向x轴投影 – 向y轴投影
O z Z A C X E B
F
θ
Y
D
ϕ
Fxy
y
Z = F sin θ , X = Fxy cos ϕ = F cos θ cos ϕ , Fxy是矢量吗? Y = Fxy sin ϕ = xF cos θ sin ϕ
z 4m
AB 5 .5 9
3 5 4 = CB 5 =
60
A
o
D 2.5m
X
1
= 500 cos 90 o = 0
分力与合力的概念
分力与合力的概念
分力和合力是物体上受到的力的两个重要概念，它们在力学中有着关键的作用。
1.分力：分力指的是一个力的分量，即一个力在某个坐标轴上的投影。
当一个力不是沿坐标轴方向的时候，可以将这个力分解成沿坐标轴的两个分力。
这个分力在特定坐标轴上的投影即为分力。
使用三角函数，可以将一个力分解成水平和垂直方向上的分力。
例如，一个斜向上的力可以被分解成水平方向和垂直方向上的两个分力，这样我们就能更好地理解力在不同方向上的作用。
2.合力：合力是多个力的矢量和，即多个力在同一方向上的矢量相加的结果。
合力的大小和方向由各个力的大小和方向决定。
如果多个力在同一方向上，它们的合力就是它们的矢量和；如果多个力在不同方向上，合力的计算需要考虑矢量的合成。
例如，多个人共同拉动一个物体，它们的合力将是各个人施加力的矢量和，决定了物体的总体加速度和运动方向。
总的来说，分力是一个力在某个坐标轴上的投影，而合力是多个力在同一方向上的矢量和。
这两个概念帮助我们更好地理解和计算物体受力的情况。
学习任务4：投影、力矩、力偶
l
3 o
θ
2
C
1
G
解: MO(F) = Fd
位置1: MO(F) = Gd = 0 位置2: MO(F) = －G －Glsinθ
Gd=lsinθ 位置3: MO(F) = －Gl
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三、力偶及力偶矩
由大小相等、方向相反、不共线的两个力组d成 F′
的力系称为力偶。(F,F’) 力偶对物体的效应：只产生转动效应，而无F移动效应。
M=±F.d
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d F′
d F′
F
F
❖ ⑴力偶没有合力。一个力偶不能用一个力代替，也不能与一个 力平衡。力偶在任一轴上的投影为零。
平面汇交力系的合力在某轴上的投影等于力系 中各分力在同一轴上投影的代数和。即：
Rx = X1 + X2 + ···Xn= ∑ X Ry = Y1 + Y2 + ···Yn = ∑ Y
R = √ (∑X )2 + (∑ Y ) 2
∑Y Tanα= ∑ X
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合力投影定理应用
1.6 力矩和力偶
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一、力矩
❖ 定义：力与力臂的乘积冠以正、负号定义为力F对O点的力 矩。
表达式：Mo(F) = ±F·d
F1 F2
O — 转动的中心。称为力矩中
O
心，简称矩心
d — 转动中心到力作用线之 间的距离称为力臂(注意单位)
正负号规定：若力使物体绕矩心作逆时针 转向转动力矩取正号,反之取负号。
1.5 力的投影
一、力在平面直角坐标轴上的投影
工程力学：第三章 空间问题的受力分析
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
理论力学第二章(力系的等效与简化)
z
x c
F
b
o
o x
a
M y ( F ) M o ( F ) Fc
F
M z ( F ) M o ( F ) Fa
15
2019年4月16日星期二
《理论力学》
3、力对点之矩与力对通过 该点的轴之矩的关系 （转动效果的度量）
z
Fz F
y
x A
o
y
力对点之矩矢：
M o (F ) r F
Fx Fxy cos Fx F sin cos
Fy
F
O Fx x
Fy Fxy sin
y F y F sin sin
Fxy
2019年4月16日星期二
Fz F cos
6
力的分解：
F Fx Fy Fz
力F在直角坐标系中的
Fz z
F
O x
Fy
解析式
Fx
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力矩的符号
M O F
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力偶矩的符号
M
27
《理论力学》
力偶系和力偶系的合成
MR =M1+M2+…+Mn
M
力偶系
2019年4月16日星期二 28
《理论力学》
§2-3 力系等效定理
1.力系的主矢和主矩 Fn 。 设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 · · · · · ·
的夹角可为任意值。 的夹角为90o。
36
在平面任意力系， M与 R
2019年4月16日星期二
思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。
工程力学—空间力系力的投影
平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系都是它的特 殊情况。
设直角坐标系Oxyz如
图所示，已知力 与 F
x﹑y﹑z 轴间的夹角分别为
z
﹑ ﹑ 。 则力 在 F
x﹑y﹑z 轴上的投影Fx﹑ Fy﹑Fz 分别为：
Fx F cos
Fz F Fx o
y
Fy F cos
x
Fy
Fz F cos
注意
Fx﹑Fy﹑Fz为代数量。
二次投影法
z
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F
Fz F cos
力的正交分解
i、 j、k分别为x、y、z
Fx o
x
Fy
y
Fxy
方向的单位矢量，若以 ﹑F
x、y、z 的三个正交分量，则
合力的大小为
F Fx2 Fy2 Fz2 1643 N
合力与 x、y、z 轴的夹角分别为
arccosFx arccos 300 79o29
F
1643
arccosFy arccos 600 68o35
F
1643
arccosFFz arccos11654030
arccos(0.9130 ) 155 o55
F Fz
Fx Fy
x
﹑F
y分F别z表示
沿直F角坐标轴
F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
已知力的三个投影，求力的大小和方向的公式
F Fx2 Fy2 Fz2
arccosFxFΒιβλιοθήκη arccosFyF
注意
arccosFz
F
力的投影和分量的区别：
2.1-2.2力在平面坐标轴上的投影
性质1：力偶无合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 力偶只能和力偶平衡，而不能和一个力平衡。 性质2：力偶中两个力在任意坐标轴上投影之代数和为零。 性质3：力偶中两力对任一点取矩之和恒等于力偶矩，而与 矩心的位置无关。
性质4：力偶可以在其作用面内任意移动或转动,而不影响它
对刚体的作用效应。
17
性质5：只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力 偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对 刚体的作用效应。
FRy F1 y F2 y F3 y F4 y Fy
x
o
FRx F1x F2x
F4x F3x
FRx Fx
FRy Fy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
6
作业
P20 例2-1
为什么在离转动 轴不远的地方推门 , 用比较大的力才能把 门推开？ 为什么在离转动 轴较远的地方推门 , 用比较小的力就能把 门推开？
用 （F，F'）表示
F
d
F'
力偶的作 用面
力偶系：作用在刚体上的一群力偶。 力偶的作用效应：使刚体转动（由两个力共同作用引起）。 力的作用效应： 移动效应--取决于力的大小、方向；
转动效应--取决于力偶矩的大小、方向。
15
2、力偶矩
F
力偶臂 力偶的作 用面
d F' 力偶矩：m=±Fd
+ —
16
3、力偶的性质
利用合力矩定理：
求M O (F )
M O (Fx )+M O (Fy )=Fx b + Fy L a =F (Lsina +bcosa +asina )=M O (F )
工程力学-力在直角坐标系
解 （1）建立直角坐标系
（2）各力在x轴上的投 影分别为：
F1x 0 F2 x F2 sin 60 6 kN 0.866 5.2 kN F3 x F3 cos 45 15 kN 0.707 10.6 kN
各力在y 轴上的投影分别为：
Ｂ、ＢＣ及滑轮的重量不计，滑轮Ｂ的大小可忽略不计， 求ＡＢ杆及ＢＣ杆所受的力。
FAB
FBC
解：(1)取滑轮Ｂ为研究对象，忽略其大
小，画其受力图
FT W 20kN
(2)建立直角坐标系Ｂxy，列平衡
方程求解：
Fy 0 FBC sin 30 FT cos30 W 0
2、平面汇交力系的合成
平面汇交力系：在同一平面中，各力的作用线（延长线） 汇交于一点。
求合力的方法：
1、将力系放在某一直角坐标系中。
2、将各留向坐标系上投影。
3、求出合力的两个投影
4、利用平行四边法则求合力大小。
FR FR2x FR2y (
Fx )2 (
Fy
)2
tan FRy Fy
FRx
Fx
FR 为合力的大小，θ为FR与x 轴所夹的锐角，FR的指向
由Fx与Fy的正负确定，合力的作用点在力系的汇交点。
FRX 0
FRFRY 0 y Nhomakorabea
FR
FRX 0
FRY 0
FRX 0
FRY 0
FR
x
FR
FRX 0
FRY 0
例2
固定环上受F1、F2、F3三个力 的作用，若已知F1=3kN， F2=6kN， F3=15kN。
第二章 第一节 力在轴上的投影与力的分解
bF a
Fx Fx
B
Fy
j O i
Fy A
F Fx2 F y2
x cos(F, i )= Fx /F cos(F, j )= Fy /F Fx= Fx i Fy = Fy j 力的解析表达式
二、力沿坐标轴分解
F=Fx+Fy = Fx i+y j
第二章 平面力系
平面力系：各力的作用线都在同一平面内的力系。
方法：
(1)几何法——用平行四边形法则对各力两两合成。
(2) 解析法——力系向一点简化 (理论根据：力的平移定理)。 本章介绍平面力系的简化和平衡问题，包括有摩擦的平衡问 题。
第一节 力在轴上的投影与力的分解 一、力在直角坐标轴上的投影
y 力在某轴上的投影，等于该力 的大小乘以力与投影轴正向间 夹角的余弦(代数量) 。
注意:力的投影与分力的区别(图示)
三、合力投影定理
y
Fn
y
FR x F2 O
合力
FR= SF
Fi F3
向x、y轴投影 FRx= SFx FRy= SFy x
2 2 F FR x FR y
F1
O
平面汇交力系
cos(FR, i )= FRx /FR cos(FR, j )= FRy /FR
平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，合力矢等于各分 力的矢量和。 合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
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§ 1——1 力在轴上的投影
反之
а角：与x轴所夹锐角（а）
师生讨论：
①力的投影是否与分力一样均为矢量？（投影是代数量，分力为
矢量）
②投影与分力的区别何在？（投影无所谓作用力，分力必须作用
在原力的作用点
举例：在物体D A B C D点上分别作用着力F1 F2 F3 F4 F5各力大
轴上的投影
在Y轴上的投影
F1y=F1sin45`=7.07N
F 2X = -F 2coso`= -10N F 2y =F 2sin0`=0 F 3X = -F 3cos60`= -5N F 3y = -F 3sin60`= -8.66N F 4X =F 4cos90`=0 F 4y =F 4sin90`=10N F 5X =F 5cos30`=8.66N F 5y = -F 5sin30`= -5N 二、合力投影定理及其应用
合力投影定理：
合力在某轴上的投影，等于各个分力在同一轴上投影的代数和
F Rx =F 1x +F 2x +F 3x +……=∑F ix F Ry =F 1y +F 2y +F 3y +……=∑F iy
有了这个定理，可以用投影法求平面汇交力系的合力F R
2
2y
x F F F R R +=R
由合力投影定理：F Rx =∑F x ，F Ry =∑F y 有
x
y x
y y x y F F F F F F F F ∑∑=
=
+=+=R R 2
2R R R )()(
a tg ΣΣ22F x （1-3）
举例：
已知：F 1=450 N ，F 2=140 N ，F 3=300 N
（1-2）
F Rx =F 1x +F 2x +F 3x =-450+0+300×cos 60°=-300 N F Ry =F 1y +F 2y +F 3y =0-140-300×sin 60°=-400 N 根据力的投影与该力的关系
︒===
=
=+=+=53.1 ,1.333300
400
tan N 500400)(300)(2222a a R R R R R ----x
y y x F F F F F
分析：因为合力在两个坐标轴上的投影F Rx 、F Ry 都是负值 说明： 合力平行于两坐标轴方向的分力与坐标轴反向
结论：合力F R 的方向如图所示，即与x 轴夹角53.1°，指向左下方 小结： ① 中间计算数据不必写单位（N ）
② 但各力的单位要统一，不要N 与kN 混用 ③ 后结果要写单位。