中考数学压轴题精讲
初三数学中考专题：实际应用题压轴题大全
类型一 购买、分配问题
典例精讲
例 (2020大理市统考)某中学为打造书香校园，购进甲、乙两种型号的新书柜来放置新买的图书，甲型号书柜共花了15000元①，乙型号书柜共花了18000元②，乙型号书柜比甲型号书柜单价便宜300元③，购买乙型号书柜的数量是甲型号书柜数量的2倍④，求甲、乙型号书柜各购进多少个？
【分层分析】
设购进甲型号书柜x个，由题干④得购进乙型号书柜________个，由题干①得购进甲型号书柜单价为________元，由题干②得购进乙型号书柜单价为________元，由题干③可列等量关系式为________________________________________________________________________．
【自主作答】
针对训练
(2020百色)某玩具生产厂家，A车间原来有30名工人，B车间原来有20名工人，现新增25名工人分配到两车间，使得A车间工人总数是B车间工人总数的2倍．
(1)请问新分配到A、B车间各多少人？
(2) A车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现制作一批玩具，若A车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A车间新增工人增加生产线后比原来提前几天完成任务？
类型二 工程、 行程问题
典例精讲
例 (2020常德)第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍①，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒②，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【分层分析】
设4G的下载速度是x兆/秒，由题干①可得5G的下载速度是______兆/秒，则下载一部600兆公益片用5G所用时间为______，用4G所用时间为________，结合题干②可列等量关系式为________________________________________________________________________．
中考数学坐标系压轴题
【坐标系压轴专题】
坐标系中的问题，一般出在压轴题，不是压轴题也会有很大的难度，针对此便有了这个专题
【1】坐标系问题的基本运算
实用度：★★★★
如果想要熟练地解坐标系中的问题，先掌握下列的几个重要点（看不清放大看）
前三点、最后一点稍难，有口诀：
两点间距离公式：横坐标相减的平方加纵坐标相减的平方开根号
斜率k：竖直高度比水平宽度
中点坐标公式：横坐标的平均数，纵坐标的平均数
平移函数图像：左增右减，上加下减
【例题1】（原创）难度：★★★★
答案：
【2】等腰三角形、直角三角形存在性
基础做起，实用性：★★★
关键词：等腰两圆一线，直角两线一圆
这两点放在一起是为了对比，它们都需要分类讨论。什么叫做两圆一线、两线一圆呢？
举个例子，如图，AB线段一条，在下面那根直线上找P和Q，使得
(1.)△ABP是等腰三角形 (2.)△ABQ是直角三角形
首先(1.)，有三种可能（AB=AP，AB=BP，AP=BP），两圆：以A为圆心，AB为半径画圆，与直线交于P1，还有一个圆是以B为圆心，AB为半径画圆与直线交于P2和P3。最后一线：AB的垂直平分线与直线交于P4，P5（有时不一定5个，视情况而定）
(2.)，同样三种，两线：分别以A、B作AB的垂线分别交直线于Q1，Q2，一圆：以AB为直径作圆，由于直径所对圆周角是直角，所以与直线交点为Q3 Q4（个数视情况而定）
已经找到了，怎么求呢？
等腰的话最暴力的算法就是设出未知点坐标，把三角形三段长都用两点间距离公式表达出来，最后一个一个等起来解方程即可。当然这是无可奈何、形状实在不好找的时候的迫不得已办法，一般他会给你已知两点，在抛物线对称轴上或x轴上或y轴上找，这样就有一些几何特征可以利用。当然暴力算法某些时候也是必须要用的。
直角，两线的好找（k1k2乘积为-1可以，做垂直相似也可以），最后一圆略麻烦，这就要用到模型：一线三等角，做垂直，如图。左右两个三角形相似，然后设线段长，表达，相似比，解方程即可。一般是一元二次方程，所以解出一个另一个就自然知道。
2022年中考数学压轴题讲义 利用代数求解最值问题
1 利用代数求解最值问题
1、问题提出：
（1）如图1，点B、C在O上且BC=2，过点O作OE⊥BC，交BC于点A，交O于点E，连接BE、CE，若∠CBE =30°,则线段AE的长度为_____________
问题探究：
（2）如图2，在ABC中，BC=2，∠BAC=45°，求边AC长度的最大值:
问题解决：
（3）如图3，某城市拟在河流m、n所夹半岛区城建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥AB、AD、CD和绿化带BC四部分构成，其中B、C两定点间的距离为2000米，根据规划要求，A、D两点间的距离为600米，A、D两点到直线BC的距离相等，AD的中点E到BC的距离比点A到BC的距离多1003米。若修建时需保证∠B与∠C的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值，若不存在，请说明理由. (结果保留π)
图1 图2 图3
2、问题探究：
（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 ．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．
问题解决 EDCAOECBBABCAm n
2 （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
3、如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB∥CD．AB＝5，AD＝6，∠A＝60°，在AD边上确定一点E，使得∠BEC＝60°，则AE＝（ ）
A．4−√6
B．6﹣2√3
几何综合(解析版)--中考数学抢分压轴题秘籍(全国通用)
1几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）
几何综合问题在中考中以填空题和解答题的
形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考
查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一
般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、
圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和
二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形
结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以
下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形
面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右
图为几何综合问题中各题型的考查热度.
题型1：线段最值问题
①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题
2
解题模板：
1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD
内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）
A．B．C．D．
【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，
利用勾股定理即可求得结论．
【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，
由对称性可知：圆心O在AC上．
AC＝＝4．
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥EC．
3
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°．
∴△OEC为等腰直角三角形．
∴OC＝OE＝．
∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．
∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用
切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．
【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、
C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，
作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
人教中考数学与圆的综合有关的压轴题含答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，AEOC∠∠，OE交BC于点F.
（1）求证：OE∥BD；
（2）当⊙O的半径为5，2sin5DBA时，求EF的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为212
【解析】
试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明；
（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.
试题解析：（1）连接OB， ∵CD为⊙O的直径 ， 90CBDCBOOBD.
∵AE是⊙O的切线， 90ABOABDOBD. ABDCBO.
∵OB、OC是⊙O的半径，OB=OC. ∴CCBO. ∴CABD.
∵EC，∴EABD. ∴ OE∥BD.
（2）由（1）可得sin∠C= ∠DBA= 25，在Rt△OBE中, sin∠C =25BDCD,OC=5，
4BD∴90CBDEBO
∵EC，△CBD∽△EBO.
∴BDCDBOEO
∴252EO.
∵OE∥BD，CO=OD，
∴CF=FB.
∴122OFBD.
∴212EFOEOF
2．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．
（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若sin∠ABE=33，CD=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为32．
【解析】
分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；
（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．
中考数学压轴题专题汇编 动点型问题
1
动态几何问题解题技巧
一、中考专题诠释
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲
解决动点问题的关键是“动中求静”.
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲
考点一动态几何型题目
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
（一）点动问题．
例2 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（ ）
初三数学压轴题及答案
⼀、图形运动产⽣的⾯积问题
知识点睛
研究_基本_图形
分析运动状态：①由起点、终点确定t的范围；
②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．
分段画图，选择适当⽅法表达⾯积．
⼆、精讲精练
已知，等边三⾓形ABC的边长为4厘⽶，长为1厘⽶的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB⽅向以1厘⽶/秒的速度向B点运动（运
动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终⽌），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN
运动的时间为秒．
（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的⾯积．
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的⾯积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的⾯积S随运动时间变化的函数关
系式，并写出⾃变量t的取值范围． 1题图 2题图
如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝， CD＝，⾼CE＝，对⾓线AC、BD交于点H．平⾏于线段BD的两条直线MN、RQ
同时从点A出发，沿AC⽅向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对⾓线AC于F、G，当直线RQ到达点C时，两直线同时停⽌移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的⾯积为，被直线RQ扫过的⾯积为，若直线MN平移
的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．
（1）填空：∠AHB＝____________；AC＝_____________；
（2）若，求x．
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停⽌运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得
到△PQ'R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ'R与△PAR重叠部分的⾯积为S（cm2）．
（1）t为何值时，点Q' 恰好落在AB上？
中考数学压轴题十大类型经典题目
中考数学压轴题十大类型
目录
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 1
第二讲 中考压轴题十大类型之函数类问题 7
第三讲 中考压轴题十大类型之面积问题 13
第四讲 中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19
第五讲 中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25
第六讲 中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31
第七讲 中考压轴题十大类型之定值问题 38
第八讲 中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44
第九讲 中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50
第十讲 中考压轴题十大类型之圆 56
第十一讲 中考压轴题综合训练一 62
第十二讲 中考压轴题综合训练二 68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题
1.2011吉林如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,CE⊥AD于点E,AD=8cm,BC=4cm,AB=5cm．从初始时刻开始,动点P,Q 分别从点A,B同时出发,运动速度均为1cm/s,动点P沿A-B-C-E方向运动,到点E停止；动点Q沿B-C-E-D方向运动,到点D停止,设运动时间为xs,△PAQ的面积为y cm2,这里规定：线段是面积为0的三角形解答下列问题：
中考压轴题突破：几何最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）
一、基本图形
所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 中考压轴题突破：几何最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形
例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是 。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
中考数学压轴题100题精选(附答案解析)
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中考数学压轴题100题精选含答案
【001】如图，已知抛物线2(1)33yax（a≠0）经过点(2)A，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()ts．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．
x y M
C D
P
Q O A
B
A C B
P Q E
D
图16