北京东城54中高二上期中试卷 北师大版数学(文科) Word含解析-教学文档
北京市第五十四中学2019—2019学年第一学期期中考试 高二文科数学一、选择题：本大题共12题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．直线230x y ++=在y 轴上截距为（ ）．A ．3-B ．32-C ．32D ．3【答案】B【解析】令0x =，则32y =-，所以直线230x y ++=在y 轴上的截距为32-．故选B ．2．若直线过点(1,1)，(2,1+，则此直线的倾斜角的大小为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】直线斜率k =tan α=，60α=︒．故选C ．3．若直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则a 的值为（ ）．A ．3-B ．6-C ．32-D ．23【答案】B【解析】若直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则32a-=，解得6a =-．故选B ．4．若变量x ，y 满足约束条件210x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥，则2z x y =+的最大值为（ ）．A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】作出可行域如图所示，z 表示直线2y x z =-+的纵截距， 作出直线2y x =-并平行移动，由图可知，当2x =，0y =时，z 可以取得最大值，max 4z =．故选D ．5．如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为（ ）．A ．8:27B ．2:3C ．4:9D ．2:9【答案】C【解析】若两个球的体积之比是8:27，则两个球的半径之比是2:3， 所以表面积之比是4:9．故选C ．6．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积之比为（ ）．A．16+B．16+C．20+D．20+【答案】B【解析】∵1EF =，2AB =，2AE =，∴BF∴该几何体的表面积(12)222221222162S +⨯=⨯+⨯+⨯+⨯++=+故选B ．7．直线21y x =+关于y 轴对称的直线方程为（ ）．A ．21y x =-+B ．21y x =-C ．21y x =--D ．1y x =-+【答案】A【解析】两直线关于y 轴对称，则倾斜角互补，斜率互为相反数， ∵直线21y x =+，斜率为2，与y 轴交点为(0,1)，∴与其关于y 轴对称的直线斜率为2-，且过(0,1)，直线方程为21y x =-+． 故选A ．8．在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是11A C 的中点，则直线CE 垂直于（ ）．A ．ACB ．BDC ．1A DD ．11A D【答案】B【解析】∵1AA ⊥平面ABCD ，BDC 平面ABCD ， ∴1BD AA ⊥，又BD AC ⊥， ∴BD ⊥平面11ACC A ，∴BD CE ⊥．故选B ．9．若m ，n 表示不同的直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】①项，m n ∥，m α⊥；则n α⊥，①正确；②m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理可知m n ∥，②正确； ③m α⊥，n α∥，则m n ⊥，③正确；④m α∥，m n ⊥，则n α∥或n 与α相交，④错误；综上，正确命题的个数为3．故选C ．10．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）．A ．4B C D 【答案】D【解析】根据题意2m =，直线方程330x y +-=可化为6260x y +-=，所以两条直线间的距离d =D ． 11．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）． A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1ABE 【答案】C【解析】A 选项，1CC 与1B E 是共面于平面11BCC B ，故A 错误；B 选项，底面是正三角形，∴AB 与AB 成60︒，所以AB 不可能与平面11ABB A 垂直，故B 错误；C 选项，∵底面是正三角形，E 是BC 中点，∴AE BC ⊥，又∵11BC B C ∥，∴11AE B C ⊥，故C 正确；D 选项，11AC AC ∥，而AC 与平面1ABE 相交，所以11A C 与平面1AB E 相交，故D 错误．综上，故选C ．12．有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4cm ，高为12cm ．现要为100个这种相同规格的笔筒涂色（笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计）．如果每0.5kg 涂料可以涂21m ，那么为这批笔筒涂色约需涂料（ ）． A ．1.23kg B ．1.76kgC ．2.46kgD ．3.52kg【答案】D【解析】由题意知，笔筒的表面积是16π8π12112π+⨯=，里外的全面积为2224πcm ，100个笔筒的全面积为32100224πcm 2.24cm ⨯=， 又每0.5kg 涂料可以涂21m ，故所需涂料为2.24π0.5 3.52kg ⨯≈． 故选D ．二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．13．在x 轴上的截距为6-，且倾斜角为45︒的直线方程是__________． 【答案】6y x =+【解析】∵直线的倾斜角为45︒，∴直线的斜率为1， 又∵直线x 轴的截距为6-，故直线方程为6y x =+． 14．点(1,2)P -到直线86150x y -+=的距离为__________．【答案】12【解析】由点到直线的距离公式可得(1,2)-到直线86150x y -+=的距离51102d ===． 15．已知点(,)P x y 的坐标满足条件4,,1,x y y x x +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥点O 为坐标原点，那么OP 的最大值等于__________．【解析】作出可行域如图所示，由图可知， 距离原点最远点为(1,3)，此时||OP =16．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为__________．【答案】16【解析】根据三视图作出该几何体的直观图，底面是边长为1的等腰直角三角形，一条侧棱垂直于底面，且长度为1，所以该三棱锥的体积111111326V =⨯⨯⨯⨯=．17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为__________度； 直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为__________度． 【答案】60︒；30︒【解析】如图，以D 为原点，DA ，DC ，1DO 分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系， 设正方体边长为1，则1(1,0,1)A ，(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ， ∴1A D 与1CD 所成角为60︒，平面11AB C D 的法向量为1(0,1,1)A B =-，∴直线1A D 与平面11AB C D 所成夹角的正弦值为12，直线1A D 与平面11AB C D 所成夹角30︒．三、解答题；（本大题共4小题，共32分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18．（本题7分）求经过直线1:3450l x y +-=与直线2:2380l x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程；（1）经过原点．（2）与直线350x y ++=平行． （3）与直线350x y ++=垂直． 【答案】见解析【解析】（1）联立方程34502380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得12x y =-⎧⎨=⎩，∵直线过原点(0,0)和(1,2)M -， 故直线方程为2y x =-．（2）设与直线35x y ++平行的直线方程为30x y m ++=， 将(1,2)-代入得320m -++=，1m =， 故直线方程为310x y ++=．（3）设与直线350x y ++=垂直的直线方程为30x y n -+=， 将(1,2)M -代入方程得160n --+=，解得7n =， 故直线方程为：370x y -+=．19．（本题6分）已知直线l 经过点(0,3)-，其倾斜角的大小是60︒． （1）求直线l 的方程．（2）求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积． 【答案】见解析【解析】（1）∵直线的倾斜角是60︒，∴其斜率tan 60k =︒=，又直线经过点(0,3)-，∴其方程为3y =-，30y --=．（2）令0x =，则3y =-，令0y =，则x =所以直线与坐标轴所围成三角形的面积132S ==．20．（本小题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面是边长是1的正方形，侧棱PA 的底面成45︒的角，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． （1）求证：MN ∥平面PAD ． （2）求四棱锥P ABCD -的体积． 【答案】见解析【解析】（1）证明：设PD 的中点为O ，连结ON ，AO ， ∵在PCD △中，O 是PD 中点，N 是PC 中点，∴ON CD ∥且12ON CD =，又∵M 是AB 中点，AB CD ∥， ∴AM CD ∥且12AM CD =，∴四边形AMNO 是平行四边形，又MN ⊄平面PAD ，AO ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD ．（2）在PAD △中，PD AD ⊥，45PAD =︒∠， ∴PAD △为等腰直角三角形，故四棱锥P ABCD -的体积11111333ABCD V S PD =⋅=⨯⨯=．21．（本题9分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，3CD AB =． （1）求证：平面ACE ⊥平面CDE ．（2）在线段DE 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BCE ？若存在，求出EFED的值；若不存在，说明理由． 【答案】见解析 【解析】（1）证明：∵CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， 又∵AE DE ⊥，CD DE D =，∴AE ⊥平面CDE ， 又AE ⊂平面ACE ， ∴平面ACE ⊥平面CDE ．（2）结论；在线段DE 上存在一点F ，且13EF ED =，使AF ∥平面BCE ， 证明：设F 为线段DE 上一点，且13EF ED =，过点F 作FM CD ∥交CE 于M ， 则13FM CD =，∵CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ， 又∵3CD AB =， 又FM CD ∥，∴四边形ABMF 是平行四边形，又∵AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE ，故在线段DE 上存在一点F ，且13EF ED =，使AF ∥平面BCE ．。
2023-2024学年北京西城区北师大实验中学高二(上)期中数学试题及答案
2023北京北师大实验中学高二（上）期中数 学班级______姓名______学号______成绩______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．如图，,E F 分别是长方体ABCD A B C D '−'''的棱,AB CD 的中点，则AB CF +等于（ ）（A ）AD ' （B ）AC ' （C ）DE（D ）AE2．直线10x +−=的倾斜角是（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒ （D ）150︒3．若抛物线2x ay =的焦点坐标为()0,1，则其准线方程为（ ） （A ）1x =− （B ）1x = （C ）1y =− （D ）1y =4．如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于,,,a E F G 分别是棱,,AB AD DC 的中点．则GF AC ⋅与EF BC ⋅分别等于（ ）（A ）22a −和24a （B ）22a 和24a − （C ）22a 和24a （D ）22a −和22a5．设椭圆221259x y +=的两个焦点为12,F F ，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，如果8AB =，那么22AF BF +的值为（ ）（A ）2 （B ）10 （C ）12 （D ）146．抛物线24y x =上的点到其焦点的距离的最小值为（ ） （A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）47．若双曲线22221x y a b −=的焦点()3,0F ）（A ）22145x y −=（B ）22154x y −=（C ）22136x y −=（D ）22163x y −=8．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点P 为棱1DD 的中点，点Q 为面11ADD A 内一点，1B Q AP ⊥，则（ ）（A ）1112A D Q A AQ S S =△△（B ）1112A D Q A AQ S S =△△（C ）11123A D Q A AQ S S =△△ （D ）11132A D Q A AQ S S =△△二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若经过点()()3,,2,0a −的直线与直线230x y −+=垂直，则a =______．10．已知平面α的法向量为()2,4,2−−，平面β的法向量为()1,2,k −，若//αβ，则k =______．11．已知两圆221:2310C x y x y ++++=和222:4320C x y x y ++++=相交，则圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线的方程为______．12．设121,2,2,2,3,2v v =−=−分别是空间两直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 所成角的大小为______． 13．已知()2,3P 是直线l 上一点，且()1,2n =−是直线l 的一个法向量，则直线l 的方程为______．14．设点12,F F 分别为椭圆22:14x C y +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的一个取值可以为______． 三、解答题（本大题共3小题，共30分）15．（本小题满分10分）已知ABC △的三个顶点()()()8,5,4,2,6,3A B C −−，求经过两边AB 和AC 的中点的直线的方程． 16．（本小题满分10分）已知直线:30l x my +−=与圆()()22:239C x y −++=． （Ⅰ）若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值；（П）当2m =−时，直线l 与圆C 交于点,E F ，设O 为原点，求EOF △的面积． 17．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD −的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1,2,PD DC AD M ===为BC 的中点．（Ⅰ）求证：//AD 平面PBC ；（П）求平面PAM 与平面PCD 所成的角的余弦值．第П卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）18．在空间直角坐标系中，已知点()()()()1,,1,1,1,2,3,2,1,1,3,2A m B C D −−−，若,,,A B C D 四点共面，则m =______．19．已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线,l l 在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于,A B 两点．若点A 是线段FB 的中点，则双曲线的离心率为______．20．如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12,1AA AB BC ===，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是______．21．在平面直角坐标系中，到两个点()2,0A −和()2,0B 的距离之积等于4的轨迹记作曲线Ω，对于曲线Ω及其上一点P ，有下列四个结论：①曲线Ω关于x 轴对称；②曲线上有且仅有一点P ，满足PA PB =；③曲线Ω上所有的点的横坐标x ⎡∈−⎣，纵坐标[]1,1y ∈−；④PA PB +的取值范围是⎡⎤⎣⎦．其中，所有正确结论的序号是______．五、解答题（本大题共3小题，共34分）22．（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是边长为1的正方形，点E 在棱1BB 上（Ⅰ）求证：111AC DB ⊥；（П）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得1DB ⊥平面11EA C ，并给出证明． 条件①：E 为1BB 的中点； 条件②：1//BD 平面11EA C ； 条件③：11DB BD ⊥．（Ⅲ）若E 为1BB 的中点，且点D 到平面11EA C 的距离为1，求1BB 的长度． 23．（本小题满分12分）已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A，上、下顶点分别为2112,,B B B B =，四边形1122A B A B的周长为 （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（П）设点F 为椭圆Γ的左焦点，点()3,T m −，过点F 作TF 的垂线交椭圆Γ于点,P Q ，连接OT 与PQ 交于点H ．试判断PH HQ是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．24．（本小题满分10分）n 个有次序的实数12,,,n a a a ⋅⋅⋅所组成的有序数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为一个n 维向量，其中()1,2,i a i n =⋅⋅⋅称为该向量的第i 个分量．特别地，对一个n 维向量()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅，若1,i 1,2i a n ==⋅⋅⋅，称a 为n 维信号向量．设()()1212,,,,,,,n n a a a a b b b b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则a 和b 的内积定义为1ni ii a b a b=⋅=∑，且0a b a b ⊥⇔⋅=．（Ⅰ）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （П）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．（Ⅲ）已知k 个两两垂直的2024维信号向量12,,,k x x x ⋅⋅⋅满足它们的前m 个分量都是相同的，求证：45<．参考答案第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．D 3．C 4．A 5．C6．B7．A8．A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）9．10− 10．111．210x +=12．2π13．240x y −+=三、解答题（本大题共3小题，共35分）15．（本小题满分13分）解：设AB 和AC 的中点分别为,D E ， 因为()()()8,5,4,2,6,3A B C −−，所以()36,,1,42D E ⎛⎫⎪⎝⎭（或求一点，BC 斜率）所以直线DE 的方程为：3442161y x −−=−−， 整理得：290x y +−=，经过两边AB 和AC 的中点的直线的方程为290x y +−=． 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）43m =． （П）当2m =−时直线:230l x y −−=， 点C 到直线l．求得4EF =， 原点O 到直线l的距离为5h =，EOF △的面积为125S EF h =⋅=．17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P ABCD −的底面是矩形， 所以//AD BC ，又因为AD ⊄平面,PBC BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC（П）解：以点D 为坐标原点，DA DC DP 、、所在直线分别为x y z 、、轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz −，1,2,PD DC AD M ===为BC 的中点． ()()()()0,0,0,2,0,0,1,1,0,0,0,1D A M P ∴，()()2,0,1,1,1,1PA PM ∴=−=−，设平面PAM 的法向量为(),,n x y z =，0,0,n PA n PM ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即20,0,x z x y z −=⎧⎨+−=⎩ 令2z =，则1,1x y ==()1,1,2n ∴= 平面PCD 的法向量为()1,0,0m =，21cos,1m n m n m n ⋅∴==⋅+， ∴平面PAM 与平面PCD所成的角的余弦值6． 第П卷（共50分）四、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）18．219．320五、解答题（本大题共3小题，共35分）22．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）连结11,BD B D ．由直四棱柱1111ABCD A B C D −知，1BB ⊥平面1111A B C D ， 又11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111BB AC ⊥． 因为1111A B C D 为正方形，所以1111AC B D ⊥．又1111B D BB B =，所以11A C ⊥平面11D DBB ．又1DB ⊂平面11D DBB ，所以111AC DB ⊥．（П）选条件①、条件③，可使1DB ⊥平面11EA C ．证明如下：设1111A C B D O =，连结1,OE BD ．又,E O 分别是111,BB B D 的中点，所以1//OE BD ． 因为11DB BD ⊥，所以1DB OE ⊥．由（Ⅰ）知11A C ⊥平面11D DBB ，所以111AC DB ⊥． 又11A C OE O =，所以1DB ⊥平面11EAC ．（П）选条件②、条件③，可使1DB ⊥平面11EA C ．证明如下： 设1111A C B D O =，连结OE ．因为1//BD 平面111,EA C BD ⊂平面11D DBB ，平面11D DBB 平面11EAC OE =，所以1//BD OE ．因为11DB BD ⊥，所以1DB OE ⊥．由（Ⅰ）知11A C ⊥平面11D DBB ，所以111AC DB ⊥． 又11A C OE O =，所以1DB ⊥平面11EAC ．（Ⅲ）设()120BB t t =>． 因为1,,DA DC DD 两两垂直，如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz −，则()()()()110,0,0,1,0,2,0,1,2,1,1,D A t C t E t ，所以()()1111,1,0,0,1,AC EA t =−=−．设平面11DA C 的法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A C n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y y tz −+=⎧⎨−+=⎩令1z =，则x y t ==，于是()(),,1,1,1,n t t DE t ==． 点D 到平面11EA C 的距离为 则312n DEd nt ⋅===，解得7t =，所以17BB =．23．（本小题满分12分）解：依题意可得：2b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．解得226,2a b ==．所以椭圆Γ的方程为22162x y +=．（П）PH HQ为定值1，理由如下：由()()3,,2,0T m F −−，显然斜率存在，TF k m =−， 当0m =时，1PH HQ=．当0m ≠时，直线PQ 过点F 且与直线TF 垂直，则直线PQ 方程为()12y x m=+． 由()2212,162y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2223121260m x x m +++−=． 显然Δ0>．设()()1122,,,P x y Q x y ，则212122212126,33m x x x x m m −+=−=++． 则,P Q 中点122623x x x m +==−+．直线OT 的方程为3m y x =−， 由()12,3y x m m y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩得263H x m =−+，所以H 为线段PQ 的中点，所以1PH HQ =．综上PH HQ 为定值1． 24．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1−−−−−−．（П）假设存在14个两两垂直的14维信号向量1214,,,y y y ⋅⋅⋅，将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，∴不妨设()()121,1,,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1y y =⋅⋅⋅=−−−−−−−， 130y y ⋅=3y ∴有7个分量为1−设3y 的前7个分量中有r 个-1，则后7个分量中有7r −个1−()()()()2317710y y r r r r ∴⋅=⋅−+−+−+⋅−=72r ∴=，矛盾 ∴不存在14个两两垂直的14维信号向量．（Ⅲ）任取{}i,1,2,,j k ∈⋯，计算内积i j x x ⋅，将所有这些内积求和得到S ，则222122024k S x x x k =++⋅⋅⋅+=设12,,,k x x x 的第k 个分量之和为i c ，则从每个分量的角度考虑，每个分量为S 的贡献为2i c222122024S c c c ∴=++⋅⋅⋅+22212m c c c ≥++⋅⋅⋅+2k m =22024k k m ∴≥20242025km ∴≤<45<．。
2022北京北师大实验中学高二(上)期中数学参考答案
高二年级数学 参考答案 第Ⅰ卷（共100分）16. 解：（Ⅰ）当3t =时，1cos ,||||2⋅<>===⋅a b a b a b .因为,[0,]<>∈πa b ，所以,3π<>=a b . （Ⅱ）因为22(2)(2)4||||+-=-a b a b a b228(9)10t t =-+=--<因此，对任意t ∈R ，2+a b 与2-a b 不垂直 （Ⅲ） 由题意知，λ+a b ∥(0,0,1)即存在k ∈R ，使得(0,0,1)k λ+=a b 则(3,,)(0,0,)t k λλ+-=即300t k λλ+=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得3λ=-，0t = 17. 解：（Ⅰ）因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，因此,,PD AD CD 两两垂直，以D 为坐标原点，分别以DA uu u r ，DC uuu r ，DP uu u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -.P ，(2,4,0)B ，(2,0,0)A，M ，(0,1,0)N(2,1,0)AN =-u u ur，(1AM =-u u u r ，(2,4,PB =-u u r.因为2(1)42(0PB AM ⋅=⨯-+⨯+-⨯=u u r u u u r，所以PB AM ⊥uu r uuu r，即PB AM ⊥因为2(2)41(00PB AN ⋅=⨯-+⨯+-⨯=u u r u u u r，所以PB AN ⊥uu r uuu r，即PB AN ⊥又因为AM AN A =I ，因此PB ⊥平面AMN（Ⅱ）因为PD ⊥平面ABCD ，所以(0,0,1)=n 为平面ANB 的一个法向量由（Ⅰ）知(2,4,PB =-u u r为平面AMN 的一个法向量. cos ,||||PB PB PB ⋅<>===⋅n n n uu ruu r uu r设所求角为θ，由图知θ为锐角，因此cos θ=（Ⅲ）点D 到平面AMN 的距离2||DA PB d PB ⋅===uu u r uu ruu r 18. 解：以O 为原点，OB uu u r ，OM uuu r的方向为,x y 轴正方向建立平面直角坐标系.图中直线AC 的方程为1122y x =+. 选择①：设(1,)P k ，则直线POQ 的方程为y kx =，联立1122y x y kx⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得1(,)2121kQ k k --. 所以1211121MQkk k k k --==--；又111MP k k k -==-，所以MP MQ k k =-. 所以QMO PMO ∠=∠. 选择②：设1(,)2t Q t +， 则11122MQt t k t t+--==. 因为QMO PMO ∠=∠，所以12MP MQ tk k t-=-=. 所以直线PM 的方程为112ty x t-=+. 所以1(1,)2t P t+. 所以12OP OQ t k k t+==，所以,,P O Q 三点共线. 第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（每小题4分，共16分）五、解答题（共34分）23. 解：圆C 的方程为22(1)1x y +-=. （Ⅰ）由题意知，圆心C 到直线l 的距离1d ===.解得2m =2（Ⅱ）若直线l 过点A ，则1m =，直线l 的方程为210x y -+=.联立直线l 与圆C 的方程，22210(1)1x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得交点坐标分别为(1,1)，（−35，15）（Ⅲ） 设直线l '斜率为k ，则直线l '的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=.设圆心C 到直线l '的距离为d '，有22||()()12MN d '+=，因为||MN ≥，所以12d '≤.解12d '=≤k ≤≤.24. 解：（Ⅰ）证明：连接1AC ，1BC ，由于AM MB =，1AN NC =，故1//MN BC 又因为1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ，所以//MN 平面11BCC B（Ⅱ）如图，取11A B 中点Q ，由于1AA ⊥平面ABC ，1//MQ AA ，因此MQ ⊥平面ABC ，又因为AC BC =，所以MB MC ⊥，故,,MB MC MQ 两两垂直，以M 为坐标原点，分别以MB uuu r ，MC uuu r ，MQ uuu r的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系M xyz -则1(1,0,2)A -，(0,2,0)C ，1(1,0,2)B ，(0,0,0)M ，1(,1,1)2N -.1(1,2,2)AC =-u u u r ，1(1,0,2)MB =uuu u r ，1(,1,1)2MN =-uuu r 设平面1B MN 的法向量为(,,)x y z =n ，100MB MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uuu u r uuu r，即20102x z x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取221x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩则(2,2,1)=-n设所求角为θ，则111sin |cos ,|||||AC AC AC θ⋅=<>=⋅n n n uuu ruuu ruuu r89= （Ⅲ）设(01)AP AC λλ=≤≤u u u ru u u r，则(1,0,0)(1,2,0)(1,2,0)MP MA AP λλλ=+=-+=-u u u r u u u r u u u r若点P 在平面1B MN 内，则MP uuu r垂直于平面1B MN 的法向量n因此(1,2,0)(2,2,1)620MP λλλ⋅=-⋅-=-=n u u u r ， 解得1[0,1]3λ=∈，故棱AC 上是否存在点P ，使得点P 在平面1B MN 内，此时13AP AC =25. 解：（Ⅰ）① ||||6=a ，|||||x|=b ；② min ||||4-=a b ，此时3x = （Ⅱ）{}121212||||max ||x +x |,|y +y |,|z +z +=a b{}121212max||x |+|x |,|y |+|y |,|z |+|z ≤因为{}{}111222||||max ||,||||max ||x |,|y |,|z x |,|y |,|z ==a b ， 所以111222||||||,||||||x |,|y |,|z x |,|y |,|z ≤≤a b所以{}||||max ||||||||||||||||||||||||||||||||,,++++=+≤a b a b a b a b a b（Ⅲ）min 5||||11PQ =uu u v 632(,,)777P。
北京东城65中学高二上期中试卷 北师大版 数学(理科)word含解析
北京东城65中学高二上期中试卷北师大版数学（理科）word 含解析北京市第六十五中学2019-2019学年度第一学期期中达标测试题高二数学理科试卷一、选择题：本大题共12小题．每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线30+=（a为实常数）的倾斜角的大小是x y a（）．A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒【答案】A【解析】易知3α==tan k∴30α=︒，选择A．2．若a，b是异面直线，直线c a∥，则c与b的位置关系是（）．A．相交B．异面C．平行D．异面或相交【答案】D【解析】易知a，b为异面直线，c a∥，则c与b异面或相交，选择D．3．一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是（）．6．直线(1)2++=-和直线280x m y m++=平行，则m的值为mx y（）．A．2-B．1C．1或2-D．2-3【答案】B【解析】易得12(1)0⨯-+=，解得1m mm=或2-，m=-时，两直线重合，故1m=，选择B．27．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列四个命题中正确的是（）．A．（1）与（2）B．（3）与（4）C．（1）与（3）D．（2）与（4）【答案】C【解析】（1）∵l⊥平面α，若αβ∥，则l⊥平面β，又∵m⊂平面β，∴l m⊥，正确；（2）∵l⊥平面α，若αβ⊥，则l与m可能平行，异面或相交，错误；（3）∵l⊥平面α，若l m∥，则m⊥平面α，∵m⊂平面β，∴αβ⊥；正确；（4）∵l⊥平面α，若l m⊥，则mα∥或mα⊂，则α与β平行或相交，错误．综上，（1）（3）正确，选择C．8．已知线段AB 的中垂线方程为10x y --=且(1,1)A -，则B 点坐标为（ ）．A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)--D ．(2,2) 【答案】B【解析】易知AB 的方程为：0x y +=， 则设B 的坐标为0(,)x x -，AB的中点坐标为0011,22x x --⎛⎫⎪⎝⎭，且位于10x y --=上，∴00111022x x ----=，解得02x=，选择B ．9．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（ ）．A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥ D ．11AC ∥平面1AB E【答案】C【解析】∵ABC △是正三角形，E 为BC 中点， ∴1AA ⊥底面111A B C ，平面ABC ∥平面111A B C ，∴1AA ⊥平面ABC ，∴1BB ⊥平面ABC ，∵AE ⊂平面ABC ，又∵1BB ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，1BBBC B=，∴AE⊥平面11BCC B，∵11B C⊂平面11BCC B，选择C．10．如图，在正方体1111-中，异面直线1A D与1D C所ABCD A B C D成的角为（）．A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒【答案】C【解析】连接1A BD，易知11∥，D C A B∴夹角为1BA D∠，在1A BD△中，∴1A BD△为正三角形，∴选择C．11．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（）．A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】（1）两直线可能平行，相交，异面，错误；（2）两直线可能平行，异面，错误；（3）两直线可能平行，相交，异面，错误；（4）直线与平面可能平行，可能相交，可能在平面内，错误； ∴选择A ．12．已知直线:34120l x y +-=，若圆上恰好存在两个点P ，Q ，它们到直线的距离为1，则称该圆为“理想型”圆，则下列圆中是“理想型”圆的是（ ）． A ．221xy += B ．2216xy +=C ．22(4)(4)1x y -+-= D ．22(4)(4)16x y -+-=【答案】D【解析】易知PQ l ∥，且圆心到PQ 的距离小于半径， 设PQ 为：340x y m ++=，由平行线距离公式可得7m =-或17-， 代入验证只有D 符合．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在图中横线上． 13．若x，y满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥则12z x y =+的最大值为__________． 【答案】72【解析】依题意不等式组表示的区域如图所示， 直线102x y +=如图虚线所示，直线平移经过(1,3)C 时，12z x y =+有最大值，此时17322z =+=．14．某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为__________． 【答案】1242+【解析】易知三棱柱如图所示： 表面积12222222222S =⨯⨯⨯+⨯⨯+15．两直线23120x y --=和10x y +-=的交点为__________，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________．【答案】(3,2)-；230x y -+=或10x y +-= 【解析】由2312010x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得32x y =⎧⎨=-⎩， 交点为(3,2)-，经过原点，则直线方程为23y x=-，不经过原点，设为1x y a a+=，代入(3,2)-可得：321a a-=，解得1a =，∴方程为230x y -+=或10x y +-=． 16．求与圆222420x y x y +-++=关于原点对称的圆的方程__________．【答案】22(1)(2)3x y ++-=【解析】圆标准方程为22(1)(2)3x y -++=，∴关于原点对称的方程为22(1)(2)3x y ++-=．17．从圆229x y +=外一点(3,2)P 向该圆引切线，则切线方程是__________．【答案】3x =或512390x y +-=【解析】直线为3x =时，符合条件，若直线不垂直于x 轴，设为2(3)y k x -=-，即230kx y k -+-=， 易知有圆心到直线的距离231d k ==+，解得512k =-，切线方程为3x =或512390x y +-=． 18．已知实数x ，y 满足方程22410xy x +-+=，求：（1）y x的最小值__________． （2）22xy +的最大值__________．【答案】3-437【解析】（1）22410x y x +-+=化为22(2)3x y -+=，表示圆心为(2,0)3 设yk x=，即y kx =，易知直线与圆相切时有最大最小值，231k =+min3k=-（2）22xy +表示圆上的点到原点距离的平方，显然连接圆心与O 点交于外侧一点时有最大值， 最大值为2(23)437=．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分8分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，且侧棱和底面边长均为2，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ．（2）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ．（3）求三棱锥11C ABD -的体积．【答案】见解析【解析】（1）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ，由题易知四边形1ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点，又D 为BC 的中点，在1A BC △中，∵OD ⊂面1ADC ，1A B ⊄面1ADC ，∴1A B ∥面1ADC ．（2）证明：∵ABC △为等边三角形，D 为BC 中点， 又∵1CC ⊥面ABC ，AD ⊂面ABC ，又∵BC ⊂面11BCC B ，1CC ⊂面11BCC B ，且1BCCC C=，∴AD ⊥面11BB C C ， 又∵AD ⊂面1AB D ，∴面1AB D ⊥面11BB C C ．20．（本小题满分10分） 设：圆C方程为：22(2)4x y -+=．（1）判断圆C 与直线210x y ++=的位置关系，并说明理由． （2）若点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆C 的弦AB 的中点，求弦AB 所在直线方程．（3）若直线:10l ax y +-=与圆C 相交所得弦长为23，求a 的值．【答案】见解析【解析】（1）⊙C 以(2,0)为圆心，半径为2， 圆心(2,0)C 到直线的距离225221d ==+，∴直线与圆C 相离．（2）易知PC AB ⊥，又P 在直线AB 上，∴AB 的方程为12(1)2y x +=--， 即：3202x y +-=． （3）易知圆心C 到直线l 的距离22231d -=， 211a =+， 解得43a =．21．（本小题满分10分） 已知圆22240x y x y m +--+=．（1）此方程表示圆，求m 的取值范围． （2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值． （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．【答案】见解析【解析】（1）方程可以化为22(1)(2)5x y m -+-=-，若表示圆，则50m ->，m 的取值范围为(,5)-∞． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则1142x y =-，2242x y =-， ∴12120x x y y +=，即1212168()50y y y y -++=（米）， 联立2242240x y x y x y m =-⎧⎨+--+=⎩可得：251680y y m -++=， 代入（*）式可得：16816(8)05m ⨯-++=，（3）以MN 为直径的圆的方程为： 即221212()()0x y x x x y y y +-+-+=， ∴所求圆的方程为22816055x y x y +--=．。
2023-2024学年北京东城区五十五中高二(上)期中数学试题及答案
2023北京五十五中高二（上）期中数 学本试卷共4页，共150分，调研时长100分钟第一部分（选择题 共50分）一.选择题：1.已知直线0x y −−=的倾斜角为（ ）度 A. 45B. 135C. 60D. 902. 已知向量()8,2,1a =−，()4,1,b k =−，且//a b ，那么实数k 的值为（ ） A. 12B. 12−C. 2−D. 23. 在两个袋中都装有写着数字0，1，2，3，4，5的六张卡片，若从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和大于7的概率为（ ） A. 118B. 112C.18D.164. 在数列{}n a 中，11a =，111n n a a −=+，则4a 等于（ ） A.53B.43C. 1D. 235. 双曲线2212x y −=的焦点坐标为（ ）A. (1,0)±B. (C. (D. (6. 手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在[)40,60内且未使用手机支付的概率为（ ）.A.2150B.25C.2350D.7507. 圆22430x y y +−+=上的点到直线3420x y −−=距离的取值范围是（ ）.A. []1,3B. ⎡⎣C. []0,3D. 22⎡⎣8. 已知P 是双曲线2221(0)8x y a a −=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设点M 为抛物线24y x =上的动点，点M 在y 轴上的投影为点N ，点A ，则||||MA MN +的最小值为（ ）A. 3B. 4110. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M ，N 分别在线段1AD 和11B C 上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）A. MN 的最小值为2B. 四面体NMBC 的体积为43C. 有且仅有一条直线MN 与1AD 垂直D. 存在点,M N ，使MBN △为等边三角形第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：11. 两条直线1:3420l x y −−=与2:3480l x y −+=之间的距离是______.12. 已知空间向量()1,1,0a =−，(),1,1mb=−，若a b ⊥，则实数m =_____． 13. 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为_________．14. 若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>C 的渐近线方程为________．15. 等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则通项n a =________.16. 已知点P 是曲线221ax by +=（其中a ，b 为常数）上的一点，设M ，N 是直线y x =上任意两个不同的点，且MN t =.则下列结论正确的是______. ①当0ab >时，方程221ax by +=表示椭圆； ②当0ab <时，方程221ax by +=表示双曲线； ③当124a =，18=b ，且4t =时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有6个；④当124a =，18=b ，且04t <<时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有8个.三、解答题：17. 等差数列{}n a 中，43a =，31118a a +=. （1）求数列的通项公式，并计算55a ； （2）若32n S =，求n ； （3）若n S 取到最小值，求n .18. 在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA AD ⊥，PA AB ⊥且2PA AB ==，请求解下列问题.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值； （3）求点B 到平面ACQ 的距离.19. 已知圆C 的方程为221x y +=，直线l 过点()1,2P . （1）求过点P 且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）从下列两个条件中任选一个补充在问题中并作答： 若圆C 与直线l 交于A ，B 两点，______，求直线l 的方程；条件①：AB =ACB △是等腰直角三角形. （3）若圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求ACB △面积的最大值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为2，且过点． （1）求椭圆G 的方程；（2）过点(0,1)M 斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆G 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点N 使得ANM BNM ∠=∠（点N 与点M 不重合），若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 对于有限数列{}n a ，n N ≤，3N ≥，*N N ∈，定义：对于任意的k N ≤，*N k ∈，有： （i ）*123()k S k a a a a =++++；（ii ）对于R c ∈，记123()=−+−+−++−k L k a c a c a c a c .对于*N k ∈，若存在非零常数c ，使得*()()L k S k =，则称常数c 为数列{}n a 的k 阶ω系数.（1）设数列{}n a 的通项公式为()2nn a =−，计算*(4)S ，并判断2是否为数列的4阶ω系数；（2）设数列{}n a 的通项公式为339n a n =−，且数列{}n a 的m 阶ω系数为3，求m 的值；（3）设数列{}n a 为等差数列，满足-1，2均为数列{}n a 的m 阶ω系数，且*()507S m =，求m 的最大值.参考答案一.选择题：1. 【答案】A【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，再求出倾斜角作答.【详解】直线0x y −−=的斜率为1，所以直线0x y −−=的倾斜角为45度. 故选：A 2. 【答案】B【分析】根据平行关系可知b a λ=，由向量坐标运算可构造方程求得结果.【详解】//a b ，()b a λλ∴=∈R ，4812k λλλ−=⎧⎪∴=−⎨⎪=⎩，解得：12k =−.故选：B. 3. 【答案】D【分析】先求样本空间，然后列举出所有数字之和大于7的样本点，由古典概型概率公式可得. 【详解】记从两个袋中取出的卡片上数字分别为x ，y ， 则样本空间(){}{}Ω,|,0,1,2,3,4,5x y x y =∈，()36n Ω=．其中和等于8的有()()()3,5,5,3,4,4，共3个；和等于9的有()()4,5,5,4，共2个；和等于10的有()5,5，只有1个．故取出的两张卡片上数字之和大于7的概率为3211366++=. 故选：D 4. 【答案】A 【分析】由111n n a a −=+依次算出2a 、3a 、4a 即可. 【详解】因为11a =，111n n a a −=+，所以21112a a =+=，321312a a =+=，431513a a =+=故选：A【点睛】本题考查的是根据数列的递推公式计算数列的前几项，较简单. 5. 【答案】C【分析】根据双曲线焦点坐标公式求解即可【详解】双曲线2212x y −=的焦点在x轴上，坐标为(，即(故选：C 6. 【答案】D【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在[40,60)且未使用手机支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用手机支付的概率.【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在[40,60)内且未使用手机支付的共有9514+=（人）， 所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为14710050P ==. 故选：D. 7. 【答案】A【分析】将圆的一般方程化为标准方程，进而得出圆心和半径，利用点到直线的距离公式及圆上的点到直线距离的最值问题即可求解.【详解】圆22430x y y +−+=的标准方程为()2221x y +−=，所以圆心坐标为()0,2，半径1r =， 圆心到直线3420x y −−=的距离为2d ==，所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是[],d r d r −+，即[]1,3， 故选：A.. 8. 【答案】B【分析】化简得到229PF a =+或292PF a =−，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a −=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则229PF a =+或292PF a =−，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B .【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力. 9. 【答案】A【分析】过点M 作y 的垂线，垂足为N ，延长MN 交抛物线的准线与点B ，利用抛物线的定义，结合MA MN +111AM MB AM MF AF =+−=+−≥−，即可求解.【详解】由抛物线方程24y x =，可得其准线方程为=1x −，焦点坐标为(1,0)F ， 过点M 作y 的垂线，垂足为N ，延长MN 交抛物线的准线与点B ，则11113MA MN AM MB AM MF AF +=+−=+−≥−==，当且仅当,,A M F 三点共线时，取等号， 所以MA MN +的最小值为3. 故选：A.10. 【答案】ABD【分析】由公垂线的性质判断A ；由线面平行的性质判断B ；举反例判断C ；设1D M =(02)λ≤≤，1(02)C N t t =≤≤，由等边三角形三边相等，判断D ．【详解】对于A ：因为1111ABCD A B C D −是正方体，所以11C D ⊥平面11ADD A ，11C D ⊥平面11BCC B ， 又因为1AD ⊂平面11ADD A ，11B C ⊂平面11BCC B ，所以111C D AD ⊥，1111C D B C ⊥，即11C D 是1AD 与11B C 的公垂线段， 因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，所以当,M N 分别与11,D C 重合时，MN 最短为2，故A 正确； 对于B ：因为1111ABCD A B C D −是正方体，所以平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且1AD ⊂平面11ADD A ， 所以1AD 平面NBC ，可知，当点M 在1AD 上运动时，点M 到平面NBC 的距离不变，距离2h =， 由11B C BC ∥可知，当点N 在11B C 上运动时，N 到BC 的距离不变， 所以NBC 的面积不变， 所以11142223323NB M NBC C V S h −==⨯⨯⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ：当,M N 分别与11,D C 重合时，1MN AD ⊥；当M 为1AD 中点，N 与1B 重合时，1MN AD ⊥，所以C 错误；对于D ：如图以点D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设1D M =(02)λ≤≤，1(02)C N t t =≤≤，则(),0,2M λλ−，(),2,2N t ，()12,2,2B ，()2,2,0B ，222(2)4(2)MB λλ=−++−，224(2)BN t =+−， 222()4MN t λλ=−++，因为MBN △为等边三角形， 由22MB MN =，得2222(2)4(2)()4t λλλλ−++−=−++，得882t λλ−=−，即44t λλ−=，由22BN MB =，得2224(2)(2)4(2)t λλ+−=−++−，则224422(2)λλλ−⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，即22(2(2)0)λλ−−=，解得λ=2λ=，即4t λ⎧=⎪⎨=−⎪⎩或22t λ=⎧⎨=⎩，故D 正确；故选：ABD ．第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：11. 【答案】2【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果. 【详解】由平行直线间距离公式可得：12,l l 之间的距离2d ==.故答案为：2. 12. 【答案】1【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0101a b m m ⋅=⇒−=⇒=， 故答案为：1 13. 【答案】13【分析】根据椭圆的性质可知，点到焦点距离的最大值为a c +，最小值为a c −，代入条件即可求解. 【详解】依题意，由图象的性质可知，点到焦点距离的最大值为a c +，最小值为a c −， 所以2a c a c +=−，化简得13c a =，即离心率13e =，故答案为：13.14. 【答案】y =【分析】根据双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>a ，c 的关系，再由=b a .【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>所以2c =，即,cc a=，又因为 b a ==所以C 的渐近线方程为y =故答案为：y = 15. 【答案】61n a n =−【分析】当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，根据1n n n a S S −=−，即可求得n a ，综合即可得答案. 【详解】当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，2213(1)2(1)341n S n n n n −=−+−=−+， 所以22132(341)61n n n a S S n n n n n −=−=+−−+=−， 又15a =，满足上式，所以61n a n =−，故答案为：61n a n =− 16. 【答案】②③④【分析】对①②，根据方程221ax by +=表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断；对③④，求出点P 到直线y x =的距离d 的取值范围，对点P 是否为直角顶点进行分类讨论，确定d ，t 的等量关系，综合可得出结论.【详解】方程221ax by +=中当0a b =>时可表示圆，当0ab <时，221ax by +=表示双曲线，故①错误，②正确；在③④中：椭圆方程为221248x y +=，椭圆与直线l 均关于原点对称，设点,)P θθ，则点P 到直线l 的距离为π4sin [0,4].3d θ⎛⎫===−∈ ⎪⎝⎭ 对③：4t =时，(1)若P 为直角顶点，如图1，则||4MN t ==，4d =<，满足MNP △为等腰直角三角形的点P 有四个，图1(2)若P 不是直角顶点，如图2，则||4MN t ==，4d =，满足PMN 是等腰直角三角形的非直角顶点P 有两个，图2故4t =时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有6个，③正确； 对④：04t <<时，(1)若P 为直角顶点，如图1,则||MN t =，4d =<，满足MNP △为等腰直角三角形的点P 有四个..(2)若P 不是直角顶点，如图3,则||MN t =，4d t =<，满足MNP △是等腰直角三角形的非直角顶点P 有四个，图3故04t <<时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有8个，④正确； 故答案为：②③④.【点睛】椭圆的参数方程是cos ,sin x a y b θθ==，对于有关椭圆上点的横纵坐标问题的题目可以转化为三角函数问题求解，比如求23z x y =+的最大值，求点到直线的距离范围等问题都可以使用椭圆的参数方程来解决.三、解答题：17. 【答案】（1）25n a n =−，55105a = （2）8n = （3）2n =【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程，解方程得到132a d =−⎧⎨=⎩，然后写通项即可；（2）根据等差数列求和公式的基本量计算列式求解即可； （3）借助二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 设{}n a 的公差为d ，则()()1113321018a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得132a d =−⎧⎨=⎩，所以()1125n a a n d n =+−=−，552555105a =⨯−=； 【小问2详解】由（1）知13a =−，2d =，得()()()12325284222n n n a a n n n n S n n +−+−−====−，所以32n S =，即2432n n −=，解得8n =（负值舍去），故8n =； 【小问3详解】由（2）知，()22424n S n n n =−=−−， 所以当2n =时，24n S n n =−取得最小值4−. 18. 【答案】（1）证明见解析（2）3 （3）3【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面ACQ 的法向量与平面ABCD 的法向量，利用空间向量中夹角的计算公式即可求解；（3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案. 【小问1详解】因为PA AD ⊥，PA AB ⊥，AB AD A ⋂=，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥平面ABCD ； 【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，所以AB ，AD ，AP 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系A xyz −，因为2PA AB ==，所以()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,2,2,0,0,1,1A B P C Q ， 可得()2,2,0AC =，()0,1,1AQ =.因为PA ⊥平面ABCD ，所以()0,0,2AP =为平面ABCD 的一个法向量.设平面ACQ 的一个法向量为(),,n x y z =，则2+200n AC x y n AQ y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1,1y z =−=，则()1,1,1n =−，设平面ACQ 与平面ABCD 的夹角为θ，所以3cos cos ,3n AP n AP n APθ⋅===⋅. 即平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为3.【小问3详解】由（2）知，平面ACQ 的法向量为()1,1,1n =−，()2,0,0AB =，所以点B 到平面ACQ 的距离为233⋅=n AB n. 19. 【答案】（1）1x =或3450x y −+= （2）若选条件①，直线l 的方程为310x y −−=或13950x y −+=若选条件②，直线l 的方程为10x y −+=或750x y −−=（3）ACB △面积的最大值为12【分析】（1）由圆心到直线距离等于半径，求圆的切线方程；（2）通过已知条件，由圆心到直线的距离解出直线斜率k ，得到直线方程.（3）圆心到直线的距离d ，ACB △的面积表示为d 的函数，利用基本不等式求ACB △面积的最大值. 【小问1详解】圆C ：221x y +=，圆心为()0,0C ，半径1r =，直线l 过点()1,2P ，当直线l 斜率不存在，直线方程为1x =，满足与圆C 相切； 当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，则方程为()21y k x −=−，即20kx y k −+−=， 由直线l与圆C 相切，则圆心到直线的距离1d ==，解得34k =，此时直线方程为()3214y x −=−，即3450x y −+=. 所以过点P 且与圆C 相切的直线l 的方程为1x =或3450x y −+=. 【小问2详解】圆C 与直线交于A ，B 两点，由（1）可知直线l 斜率存在，设直线方程为20kx y k −+−=，AB 的中点为D ，则CDAB ⊥，若选条件①：AB =则10CD ===，则圆心到直线的距离10d ==，解得3k =或139k =， 所以直线l 的方程为310x y −−=或13950x y −+=.若选条件②：ACB△是等腰直角三角形，则cos 452CD AC =⋅=，则圆心到直线的距离2d ==，解得1k =或7k =，所以直线l 的方程为10x y −+=或750x y −−=. 【小问3详解】圆心到直线的距离d ，依题意01d <<，ACB △的面积为2211 211222d d d AB d +−⋅=⨯=≤=，当且仅当221d d=−，即2d =时取等号， 所以ACB △面积的最大值为12. 20. 【答案】（1）22184x y +=；（2）()0,4N ，证明详见解析. 【分析】（1）由条件列式，利用待定系数法求解椭圆方程；（2）首先直线方程():1,0l y kx k =+≠与椭圆方程联立，得根与系数的关系，将条件转化为0AN BN k k +=，代入坐标，利用根与系数的关系化简求定点.【详解】（1）由条件可知222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：28a =，224b c ==，所以椭圆G 的方程是22184x y +=；（2）设直线():1,0l y kx k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,N y ，联立221184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2212460k x kx ++−=， 122412kx x x k +=−+，122612x x k −=+，ANM BNM ∠=∠，0AN BN k k ∴+=，即1020212012101212y y y y x y x y x y x y x x x x −−−+−+= ()()()211201212110x kx x kx y x x x x +++−+==，即()()12012210kx x y x x +−+=，()022411201212k y k k k−−−=++，得04y =， 即存在定点()0,4N .【点睛】思路点睛：定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； （2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； （4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件. 21. 【答案】（1）30；2是数列{}n a 的4阶ω系数． （2）26 （3）26【分析】（1）根据k 阶ω系数的定义进行判断；（2）根据4阶ω系数的定义列出相应的等量关系，进行求解；（3）根据m 阶ω系数的定义建立方程，构造函数，根据函数性质得到不等式组，进行求解． 【小问1详解】因数列{}n a 通项公式为(2)n n a =−，所以数列{||}n a 为等比数列，且||2n n a =，得12344||||||||30a a a a *=+++=S（）． 数列{}n a 通项公式为(2)n n a =−，所以当2c =时，12344|2||2||2||2|L a a a a =−+−+−+−（）1234(2)(2)(2)(2)a a a a =−−+−−−+−*12341234||2||2||2||2||||||||(4)a a a a a a a a S =++−+++−=+++=, 所以2是数列{}n a 的4阶ω系数． 【小问2详解】因为数列{}n a 的m 阶ω系数为3，所以当3c =时，存在m ，使*()()L m S m =成立． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则3(1)392n n n S n +=−+,令0n a ，则13n ,所以，*3(1)39,132()3(1)39468,142n n n n S n n n n n +⎧−⎪⎪=⎨+⎪−++⎪⎩,设等差数列{3}n a −的前n 项和为n T ，3342n a n −=−， 则3(1)422n n n T n +=−+,令30n a −，则14n ,所以，3(1)42,13,2()3(1)42546,14.2n n n n L n n n n n +⎧−⎪⎪=⎨+⎪−++⎪⎩当13m 时，*()()L m S m ≠， 当14m 时，*()()L m S m =， 则3(1)3(1)394684254622m m m m m m ++−++=−++，解得26m =．【小问3详解】设数列{}n a 为等差数列，满足1−，2均为数列{}n a 的m 阶ω系数，*()507S m =， 则存在*N k ∈，使123123|||||||||1||1||1||1|m m a a a a a a a a ++++=++++++++123|2||2||2||2|507m a a a a =−+−+−++−=成立．设数列{}n a 的公差为d ，构造函数()|||2||3|||507f x x d x d x d x md =−+−+−++−−．由已知得()|||||2||(1)|507m m m m m f a d a a d a d a m d +=+−+−++−−−121||||||||5070m m m a a a a −−=++++−=，所以，函数()f x 至少有三个零点m a d +，1m a d ++，2m a d +−，由函数()f x 可知m 为偶数，且满足21(1)22(1)()02m m m mm d a d a d a d d m d f ⎧+−<+<+++⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得235074d m d ⎧⎪⎨=⎪⎩，所以234507m ⨯，解得26m ，构造等差数列{}n a 为：37−，34−，33−，⋯，38， 可知当26m =时命题成立，即m 的最大值为26．【点睛】本题主要考查数列的综合运用，根据k阶 系数的定义建立方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．。
北京东城24中高二上学期期中考试卷数学 北师大版 worad 含解析
北京东城24中高二上学期期中考试卷数学北师大版worad 含解析D．①②③【答案】C【解析】①中，由αβ∥，直线l⊥平面α可得lβ⊥，又m⊂平面β，所以l m⊥，故①正确；②中，由αβ⊥，直线l⊥平面α可得lβ∥或lβ⊂，m⊂平面β，所以l与m相交、平行、异面都有可能，故②错误；③中，由l m∥，直线l⊥平面α可得m⊥平面α，又m⊂平面β，所以αβ⊥，故③正确；④中，由l m⊥，直线l⊥平面α可得mα∥平面mα⊂，所以α与β相交、平行都有可能，故④错误；综上所述，命题中正确的是①③，故选：C．4．如图，在正方体1111-中，异面直线1A D与1D C所成ABCD A B C D的角为（）．A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒【答案】C【解析】如图，连接1A B，BD，∵11∥，A B D C∴1DA B∠即异面直线1A D和1D C所成夹角，∵在正方体中，各面对角线相等，∴1A BD△为等边三角形，即异面直线1A D与1D C所成角为60︒．故选C．5．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）．A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】①项，如图，连接BC，AD，可知MN AD∥，∥，NP BD 所以平面MNP∥平面ACBD，又因为ABC平面ABCD，所以AB∥平面MNP，故①项正确；②项，若下底面中心为O，则NO AB∥，NO平面MNP N=，所以AB与面MNP不平行，故②项错误；③项，如图，连接CD，AB CD∥，但CD与平面MNP相交，所以AB与面MNP不平行，故③项错误；④项，如图，连接CD，则AB CD NP∥∥，所以AB∥平面MNP，故④项正确．综上，能得出AB∥平面MNP的是①④，故选B．6．如图，1111-为正方体，下面结论错误ABCD A B C D．．的是（）．A．BD∥平面11⊥CB D B．1AC BDC．1AC⊥平面11CB D D．异面直线AD与1CB角为60︒【答案】D【解析】A选项，∵11∥，∴BD∥平面11BD B DCB D，故A项正确；⊥，而AC是1AC在底面ABCD B选项，由正方体性质可得，AC BD内的射影，由三垂线定理知1AC BD ⊥，故B 项正确；C选项，由三垂线定理可得11AC B C ⊥，111AC B D ⊥，∴1AC ⊥平面11CB D ，故C 项正确；D选项，∵AD BC ∥，∴1BCB ∠即是AD 与1CB 所成角，显然145BCB =︒∠，故D 项正确．7．已知(1,2)M 、(4,3)N ，直线l 过点(2,1)P -，且与直线MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）． A ．(,3][2,)-∞-+∞ B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[3,2]-D ．11,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】由已知可得：12321kPM --==--，13224kPN --==-，若直线l 与MN 有交点，则2k ≥或3k -≤， 所以直线l 的斜率k 的取值范围是(,3][2,)-∞-+∞，故选A ．8．已知直线1:210l x ay =-=与2:(21)10l a x ay ---=平行，则a 的值是（ ）．A ．0或1B ．1或14C ．0或14D ．14 【答案】C【解析】当0a =时，两直线的斜率都不存在，满足题意， 当a ≠时，1212a a a --=，解得14a =，综上，0a =或14，故选C ．9．经过两直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C 【解析】由方程组310030x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得两条直线的交点为(1,3)A ，当直线的斜率不存在时，直线的方程为1x =，符合题意， 当直线的斜率不存在时，设所求直线的方程为：3(1)y k x -=-，即30kx y k --+=，211k =+，解得：43k =，直线方程为：4350x y -+=．故所求直线方程为：4350x y -+=或1x =． ∴满足条件的直线有2条，故选C ．10．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（ ）． A ．22(2)1xy +-= B ．22(2)1xy ++= C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．22(3)1xy +-=【答案】A【解析】∵圆心在y 轴上，半径为1， ∴设圆的方程为22()1x y b +-=，∵圆过点(1,2)，∴将(1,2)代入圆的方程得21(2)1b +-=，解得：2b =，则所求圆的方程为22(2)1xy +-=，故选A ．11．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程是（ ）． A ．22(1)2x y ++= B ．22(1)8x y ++= C ．22(1)2x y -+= D ．22(1)8x y -+=【答案】A【解析】∵圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点， ∴令10x y -+=中0y =，得1x =-，即圆心为(1,0)-， ∵圆C 与直线30x y ++=相切， ∴圆心C 的到直线30x y ++=的距离d r =， 即22r∴圆C的方程是22(1)2x y ++=，故选A ．12．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）．A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(2)(2)1x y ++-= C ．22(1)(1)1x y ++-= D ．22(2)(2)1x y -++=【答案】D【解析】由题，圆2C 的圆心与圆1C 的圆心关于直线10x y --=对称，则圆2C 的半径为1，1C 的圆心为(1,1)-，设2C 的圆心为(,)a b ，则111022111a bb a -++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，故选D ．二、填空题（每小题3分，共24分）13．已知直线a ，b 和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位置关系是__________． 【答案】b α∥或b α⊂【解析】由线面的位置关系可知当a b ⊥，a α⊥时，b α∥或b α⊂．14．如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB CD ∥，1AB =，3AD =，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC =︒∠的点E 的个数是__________． 【答案】2 【解析】连结BE ， ∵SB ⊥底面ABCD ，90SEC =︒∠， ∴CE ⊥平面SBE 从而CE BE ⊥． 故问题转化为在梯形ABCD 中， 点E 是线段AD 上的动点， 求满足BE CE ⊥的点E 的个数， 设AE x =，则3DE x =-， ∴221014(3)x x =+++-，化简得2320xx -+=，解得1x =或2x =，故满足BE CE ⊥的点E 的个数是2，即满足90SEC =︒∠的点E 的个数是2．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB =︒∠，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是__________．6【解析】∵11AC AC ∥，∴11BA C ∠（或其补角）就是异面直线1A B与AC 所成的角，在11BA C △中，16A B =111A C =，15BC16．直线l 经过(2,1)A 、2(1,)()B m m ∈R 两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是__________． 【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【解析】221tan 1112m k m α-===--≤，所以ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．17．直线l 经过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为__________． 【答案】25100x y --=或85200x y -+= 【解析】设直线l的方程为1x y a b+=，∵直线l 经过点(5,4)P --， ∴将点(5,4)P --代入可得：541a b--+=，又1||52ab =，联立5411||52a b ab ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得52a b =⎧⎨=-⎩或524a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的方程为152x y+=-或1542x y +=-，即25100x y --=或85200x y -+=．18．以点(2,2)-为圆心并且与圆222410x y x y ++-+=相外切的圆的方程是__________． 【答案】22(2)(2)9x y -++=【解析】设所求圆的方程为222(2)(2)(0)x y r r -++=>，∵该圆与圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=相外切，∴圆心距22(21)(22)2d r++--+，解得：3r =，故所求圆的方程为：22(2)(2)9x y -++=．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是__________． 【答案】(13,13)- 【解析】∵圆224x y +=的半径是2，圆上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1， ∴坐标原点(0,0)到直线1250x y c -+=的距离小于1， 221125<+，∴||13c <，解得1313c -<<，故C 的取值范围是(13,13)-． 20．已知圆22:430C xy x +-+=，则圆心C 的坐标是__________；若直线1y kx =-与圆C 有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________． 【答案】(2,0)；40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】圆22:430C x y x +-+=化为标准方程是22(2)1x y -+=，∴圆心C 的坐标是(2,0)，又∵直线1y kx =-与圆C 有两个不同的交点， ∴圆心(2,0)到直线10kx y --=的距离d r <， 211k <+，解得：403k <<，故k的取值范围是40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．三、解答题（共40分）21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 、E 分别是BC 和11B C 的中点．求证：（1）1A B ∥平面1ADC ．（2）平面1A BE ⊥平面11BCC B ．【答案】见解析【解析】（1）证明：连结1A C 交1AC 于O ，则O 是1A C 中点，连接OD ，∵在1A BC △中，点D 是BC 的中点，O 是1A C 的中点，∵ODC 平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ;∴1A B ∥平面1ADC ．（2）证明：由直三棱柱的性质可知1C C ⊥，平面111A B C ，∵1A E ⊂平面111A B C ，又∵AB AC =，E 是11B C 的中点，∵1A E ⊥平面11BCC B ，又1A E ⊂平面1A BE ，∴平面1A BE ⊥平面11BCC B ．22．直线1:40l x y +-=与直线2:20l x y -+=相交于点P ．求：（1）经过点(1,2)M 和点P 的直线方程． （2）过点P 与直线210x y --=垂直的直线方程． 【答案】见解析 【解析】联立4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，即点(1,3)P ．∵直线过(1,2)M 和点(1,3)P ， 故直线方程为1x =．（2）设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y c ++=， 将(1,3)P 代入得10b c ++=，解得7c =-，故过点P 且与直线210x y --=垂直的直线方程为：270x y +-=． 23．已知圆22:2430C xy x y ++-+=．（1）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．（2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程．【答案】见解析 【解析】（1）已知圆22:2430C xy x y ++-+=化为标准方程为：22(1)(2)2x y ++-=，圆心为(1,2)-2l 不过原点， 且在x 轴，y 轴上的截距相等， 故可设直线方程为0x y a ++=， 22=1a =或3a =-，故直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．（2）若直线被圆截得的线段长为2，则圆心到直线的距离211d -，又直线过原点(0,0)，①当斜率不存在时，直线为0x =，符合题意； ②当斜率存在时，设直线为y kx =，即0kx y -=． 圆心(1,2)-到直线距离211d k ==+，解得：34k =-，∴直线方程为：34k x=-．综上所述，经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程为：x =或34y x=-．24．如图，已知一四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC =，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P ABCD -的体积． （2）证明：BD AE ⊥．（3）求二面角P BD C --的正切值． 【答案】见解析【解析】（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC ⊥底面ABCD ，2PC =， 所以11212333P ABCD ABCD V S PC -=⋅=⨯⨯=．（2）连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，又∵PC ⊥底面ABCD ，BDC 平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，（3）设AC ，BD 相交于O ，连PO ， 由（2）知，BD ⊥平面PAC ， ∴BD PO ⊥，又BD AC ⊥，∴POC ∠是=面角P BD C --的一个平面角． 所以tan 222PC POC OC ==∠即=面角P BD C --的正切值为22 （第25题1班学生必做！）25．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切． （1）求圆的方程．（2）设直线50ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，求实数a 的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）设圆心为(,0)m ，因为圆与直线43290x y +-=相切，且半径是5， 所以圆心到直线距离d 等于半径，即|429|55m -=，解得：272m =（舍去）或1m =．故所求圆的方程是22(1)25x y -+=．（2）因为直线50ax y -+=与圆相交于A 、B 两点， 所以圆心到直线的距离小于半径， 251a <+，化简得：21250aa ->，∴0a <或512a >．故实数a的取值范围是5(,0),12⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．（3）设符合条件的实数a 存在，由（2）得0a ≠，则直线l的斜率为1a-，∴l的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=， ∵l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)必在l 上，∴1240a +-=，解得：34a =．故存在实数34a =，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ．。
2022-2023学年北京市北京师范大学附属实验中学高二上学期期中考试数学试卷带讲解
∴ ，则 ，
故直线 和 所成角的余弦值为
故答案为：0.4
14.平面直角坐标系中，已知直线 过点 ，与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则直线 的方程为_________.
【答案】 或
【解析】【分析】求出直线 与 轴的交点坐标，可得出直线 的截距式方程，即可得解.
又 平面 ， 面 ，面 面 ，所以 的轨迹为线段 .
在等边三角形 中， 的最大值为 ，最小值为 到直线 的距离为 ，故线段 长度的取值范围是 ，故④正确
故答案为：②③④.
三､解答题（本大题共3小题，共35分）
16.已知向量 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）求证：对任意 ， 与 不垂直；
（3）若 与 轴平行，求 、 的值
【答案】否
【解析】
【分析】以点 代表小岛中心，轮船的初始位置为点 ，以点 代表陆上的港口，以点 为坐标原点，正东、正北方向分别为 、 轴的正方向建立平面直角坐标系，求出直线 的方程，计算出原点 到直线 的距离，可得出结论.
【详解】以点 代表小岛中心，轮船的初始位置为点 ，以点 代表陆上的港口，
以点 为坐标原点，正东、正北方向分别为 、 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
在平面直角坐标系中作出线段 如图，
【小问3详解】
点 到平面 的距离为 在平面 的一个法向量 上的投影的绝对值，其中 ，所以点 到平面 的距离 .
18.用坐标法解答以下问题，如图，已知矩形 中， ， ， 分别为 的中点， 为 延长线上一点，________.
从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分，
图中直线 的方程为 .
2024学年北京市四中高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024学年北京市四中高二数学上学期期中考试卷2024年11月一、单选题（本大题共10小题）1．已知()1,3,2A ，()1,4,1B -，()5,,C y z ，若AB AC ∥，则y z +=（）A ．5B ．4C ．1D ．5-2．已知直线1:10l ax y --=，2:(2)10l ax a y +++=．若12l l ⊥，则实数a =（）A ．1-或1B ．0或1C ．1-或2D ．3-或23．直线:210l x y --=绕其与x 轴的交点逆时针旋转45 得到直线m ，则直线m 的斜率为（）A ．13B ．13-C ．3D ．3-4．已知方程2240x y ax ay a +++++=表示一个圆，则实数a 的取值范围为（）A ．()2,4-B ．[]2,4-C ．(][),24,-∞-⋃+∞D ．()(),24,-∞-+∞ 5．与椭圆22194x y +=有相同焦点，且短轴长为）A ．2212520x y +=B ．2212025x y +=C ．2212015x y +=D ．2211520x y +=6．如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，点E ，F 分别为AB ，DD '的中点，则EF =（）A ．1122AB AA AD'-++B ．1122AB AA AD'++C ．111222AB AA AD '-++ D ．111222AB AA AD '++ 7．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则（）A ．//AF 平面11A ECB ．1//D F 平面11A EC C ．11//A C 平面1AFD D ．1//A E 平面1AFD 8．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则OP FP⋅ 的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．89．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面PBC ，PB PC ⊥，1PA =，6PB PC ==则直线PA 与平面ABC 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°10．在正方体1111ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与1AC 所成的角为45︒的点P 的个数为（）A ．0B ．3C ．4D ．6二、填空题（本大题共5小题）11．已知(2,1,1)a =-，(1,0,1)b =- ，若()a a b λ⊥- ，则实数λ的值为．12．圆22(3)(4)25x y -+-=被直线34100x y +-=截得的弦长为．13．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AD 与1BD 所成角的余弦值为.14．已知椭圆22:195x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆()()22:541E x y -+-=上任意一点，则1MN MF -的最小值为．15．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点()1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C ，有下列四个结论：①曲线C 是轴对称图形；②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 所围成的区域内只有3个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④点s 是曲线C 上的点，则11,22y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．其中正确结论的编号为．三、解答题（本大题共6小题）16．已知圆C 经过()5,2A ，()3,4B ，且圆心C 在直线270x y +-=上．(1)求圆C 的标准方程；(2)求圆C 经过点()1,6P 的切线方程．17．椭圆22:184x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，经过右焦点2F 且斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)写出椭圆C 的焦点坐标和离心率；(2)求1ABF 的面积．18．如图，PB ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，2CA AB PB ==，M 为BC 的中点．(1)求证：AM ⊥平面PBC ；(2)求二面角A PC B --的余弦值．19．如图，六面体ABCDHEFG 中，四边形ABCD 为菱形，AE 、BF 、CG 、DH 都垂直于平面ABCD ．若4DA DH DB ===，3AE CG ==．(1)求证：EG DF ⊥；(2)在棱AB （不含端点）上是否存在一点M ，使得三棱锥M EFG -的体积与三棱锥H ABD -的体积相等，若存在，求出此时BMBA的值；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的长轴长为6，离心率23e =．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 作斜率为k （0k ≠）的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，求PFAB的值．21．设n 为大于等于2的正整数，n 个实数构成的有序数组（12,,,n a a a ）称为R 上的n 维向量．n 维向量通常用希腊字母α ，β ，γ等表示．对于n 维向量α ，β ，设()12,,,n a a a α= ，()12,,,n b b b β=，定义内积αβ⋅ =11221ni i n n i a b a b a b a b ==+++∑ ．(1)已知()11,1,1α=--- ，()21,1,1α=- ，()31,1,1α=- ，求12αα⋅ ，23αα⋅ 和31αα⋅ ；(2)求证：四个二维向量中必有两个向量内积为非负数，五个三维向量中必有两个向量内积为非负数；(3)若m 个n （2n ≥）维向量两两内积均为负数，求证：1m n +≤．参考答案1．【答案】A【详解】因为()1,3,2A ，()1,4,1B -，()5,,C y z ，所以(2,1,1),(4,3,2)A A y B C z =--=--，因为AB AC ∥ ，所以432211y z --==--，解得1,4==y z ，所以145y z +=+=.故选：A.2．【答案】C【解析】利用两条直线斜率之积为1-求解.【详解】若12l l ⊥，则()()2120a a +-⋅+=，解得2a =或1a =-.故选：C.3．【答案】D【详解】设直线l 的倾斜角为α，则tan 2α=，将直线:210l x y --=绕其与x 轴的交点逆时针旋转45 得到直线m ，则直线m 的倾斜角为45α+ ，因此，直线m 的斜率为()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512ααα+++===---，故选：D.4．【答案】D【详解】方程2240x y ax ay a +++++=表示一个圆，则224(4)0a a a +-+>，解得2a <-或4a >，所以实数a 的取值范围为()(),24,-∞-+∞ .故选：D 5．【答案】A【详解】椭圆22194x y +=的焦点坐标为(，所求方程的椭圆长半轴长5a ==，所以所求方程为2212520x y +=.故选：A 6．【答案】A【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】根据题意，1122D AB EF EA AD F AD AA '++=-+=+ .故选A.7．【答案】B【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则0,0,0、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()12,2,2C 、()10,2,2D 、()2,1,0E 、()1,2,0F ，设平面11A EC 的法向量为 =1,1,1，()112,2,0AC = ，()10,1,2EC =，则111111122020m A C x y m EC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取12x =，可得()2,2,1m =- ，设平面1AFD 的法向量为 =2,2,2，()1,2,0AF = ，()10,2,2AD = ，则2212220220n AF x y n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取22x =，则()2,1,1n =- ，对于A 选项，2AF m ⋅=-，A 错；对于B 选项，()11,0,2D F =- ，10D F m ⋅=，且1D F ⊄平面11A EC ，则1//D F 平面11A EC ，B 对；对于C 选项，112A C n ⋅=，C 错；对于D 选项，()12,1,2A E =- ，14121A E n ⋅=--= ，D 错.故选：B.8．【答案】B【解析】设点()00,P x y ，可得出2200334y x =-，且有022x -≤≤，利用平面向量的数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得OP FP ⋅的最大值.【详解】由椭圆方程得()1,0F -，设00(,)P x y ，则()()220000000,1,⋅=⋅+=++ OP FP x y x y x x y ，P 为椭圆22143x y +=上一点，2200143x y +=，可得2200334y x =-，且有022x -≤≤，()0222000200313322444x x x OP FP x x x ∴⋅=++-=++=++ ．因为022x -≤≤，当02x =时，OP FP ⋅取得最大值6.故选：B.9．【答案】C【详解】在三棱锥P ABC -中，取BC 的中点O ，连接,PO AO ，由PB PC ==PO BC ⊥，而PA ⊥平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，则PA BC ⊥，,,PA PO P PA PO =⊂ 平面PAO ，则⊥BC 平面PAO ，又⊂BC 平面ABC ，因此平面PAO ⊥平面ABC ，AP 在平面ABC 上的射影为直线AO ，即PAO ∠是直线PA 与平面ABC 所成的角，由PB PC ⊥，得12PO BC =在Rt PAO △中，tan POPAO PA∠==60PAO ∠= .故选：C10．【答案】B【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令1AB =，则1(1,0,0),(0,1,1)A C ，设222(,,)(,,[0,1],0)P x y z x y z x y z ∈++≠，1(1,1,1)AC =- ，(,,)BP x y z =，于是1|cos ,|BP AC 〈〉=，整理得2224440x y z xy yz zx +++-+=，显然点P 不能在坐标轴上，否则0x y z ===，当1x =时，2244410y z y yz z ++-++=，而222244414(1)410y z y yz z y z y z z ++-++=++-++>，无解，即点P 不能在棱1111,,,AA AD DD A D 上；当1y =时，2244410x z x z zx ++-++=，若0x =，则2z =0z =，则无解；若1z =，则4x =，于是点P 不能在棱CD 上，可以在棱111,CC C D 上；当1z =时，2244410x y xy y x ++-++=，若0y =，则无解；若0x =，则2y =-P 不能在棱11A B 上，可以在棱11B C 上，所以可以在棱11111,,CC C D B C 上，点P 的个数为3.故选：B11．【答案】2【详解】由(2,1,1)a =- ，(1,0,1)b =- ，得2222||2)6(11a =-++= ，3a b ⋅=，由()a a b λ⊥- ，得()0a a b λ⋅-= ，即20a a b λ-⋅=，即630λ-=，解得2λ=，所以实数λ的值为2.故答案为：212．【答案】8【详解】圆22(3)(4)25x y -+-=的圆心(3,4)，半径=5r ，点(3,4)到直线34100x y +-=的距离3d ==，所以所求弦长为8==.故答案为：813．【答案】【详解】如图所示，连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得//AD BC ，所以异面直线AD 与1BD 所成角，即为直线BC 与1BD 所成角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a，可得1BD =在直角1BCD中，可得11cos BC D BC BD ∠===所以异面直线AD 与1BD 所成角的余弦值为故答案为：14．【答案】2-【详解】在椭圆C 中，3a =，b =，则2c =，即点()12,0F -、()22,0F ，如图，M 为椭圆C 上任意一点，则1226MF MF a +==，又因为N 为圆()()22:541E x y -+-=上任意一点，()12226616MN MF MN MF MN MF ME MF -=--=+-≥-+-277572EF ≥-==-=-.当且仅当M 、N 、E 、2F 共线且M 、N 在E 、2F 之间时等号成立．所以1MN MF -的最小值为2-.故答案为：2-.15．【答案】①②【详解】设曲线C 上的点为(),x y ，则由题可得即曲线C 的方程为()()2222112x y x y ⎡⎤⎡⎤-+⋅++=⎣⎦⎣⎦，若(),x y 在曲线上，则()()2222112x y x y ⎡⎤⎡⎤-+⋅++=⎣⎦⎣⎦，①将(),x y -代入可得()()()()2222222211112x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤--+⋅-++=++⋅-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，满足方程，即曲线C 关于y 轴对称，曲线C 是轴对称图形，故①正确；②将(),x y --代入可得()()()()()()2222222211112x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤--+-⋅-++-=++⋅-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，满足方程，即曲线C 是关于原点对称的中心对称图形，故②正确；③由()()22224112x y x y y ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=>⎣⎦⎣⎦，可得2y <令0y =，则()()22112x x -+=，解得211x =>，此时点()1,0-、()0,0、1,0在曲线C 内，令1y =，可得()()()22222422222442x x x x x x x ++-+=+-=+=，可得42x =，若x ∈Z ，则{}1,0,1x ∈-，即点−1,1、0,1、()1,1在曲线C 内，由对称性可知，点()1,1--、()0,1-、()1,1-也在曲线C 内，综上所述，曲线C 所围成的区域内只有9个整点，故③错误；④因为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足方程，在曲线上，但此时11,22y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故④错误.故答案为：①②.16．【答案】(1)22(3)(2)4x y -+-=；(2)1x =或34270x y +-=.【详解】（1）线段AB 的中点(4,3)，直线AB 的斜率42135AB k -==--，则线段AB 的中垂线方程为34y x -=-，即1y x =-，由1270y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得3,2x y ==，因此圆C 的圆心()3,2C ，半径2r =，所以圆C 的标准方程为22(3)(2)4x y -+-=.（2）点()3,2C 到直线1x =的距离为2，即直线1x =与圆C 相切；当切线斜率存在时，设切线方程为6(1)y k x -=-，即60kx y k -+-=，由2=，解得34k =-，因此方程为34270x y +-=，所以圆C 经过点()1,6P 的切线方程为1x =或34270x y +-=.17．【答案】(1)12(2,0),(2,0)F F -，2e =；(2)163.【详解】（1）椭圆22:184x y C +=的长半轴长a =2b =，则半焦距2c =，所以12(2,0),(2,0)F F -，离心率c e a ==（2）由（1）知，直线AB 的方程为2y x =-，由22228y x x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得：23440y y +-=，解得1222,3y y =-=，所以1ABF 的面积1121211816||||42233ABF S F F y y =⋅-=⨯⨯= .18．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为PB ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，所以，AM PB ⊥，因为AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，因为PB BC B ⋂=，PB 、⊂BC 平面PBC ，所以，AM ⊥平面PBC .（2）解：因为PB ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，以点A 为坐标原点，AC 、AB、BP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设1PB =，则()0,0,0A 、()2,0,0C 、()0,2,0B 、()0,2,1P 、()1,1,0M ，设平面PAC 的法向量为(),,m x y z =，()2,0,0AC = ，()0,2,1AP = ，则2020m AC x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，可得()0,1,2m =- ，由（1）可知，平面PBC 的一个法向量为()1,1,0AM =，则cos ,m AM m AM m AM⋅===⋅由图可知，二面角A PC B --的平面角为锐角，故二面角A PC B --的余弦值为19．【答案】(1)证明见解析(2)不存在，理由见解析【详解】（1）证明：连接AC，如下图所示：因为四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，因为BF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则AC BF ⊥，因为BD BF B = ，BD 、BF ⊂平面BDF ，所以，AC ⊥平面BDF ，因为AE ⊥平面ABCD ，CG ⊥平面ABCD ，所以，//AE CG ，又因为AE CG =，所以，四边形ACGE 为平行四边形，所以，//EG AC ，所以，EG ⊥平面BDF ，因为DF ⊂平面BDF ，则EG DF ⊥.（2）解：设AC BD O = ，因为四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，因为4AD BD AB ===，则ABD △是边长为4的等边三角形，则24ABD S ==△，因为DH ⊥平面ABCD ，且4DH =，则11433H ABD ABD V DH S -=⋅=⨯⨯△，又因为AE ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、AE的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()23,0,0A 、()0,2,0B 、()23,0,3E 、()23,0,3G -、()0,2,4H -，因为//AD BC ，BC ⊄平面ADHE ，AD ⊂平面ADHE ，则//BC 平面ADHE ，同理可证//BF 平面ADHE ，因为BC BF B = ，BC 、BF ⊂平面BCGF ，所以平面//BCGF 平面ADHE ，因为平面EFGH 平面ADHE EH =，平面EFGH 平面BCGF FG =，所以，//EH FG ，同理，//EF GH ，故四边形EFGH 为平行四边形，线段EG 的中点为()0,0,3Q ，且线段FH 的中点也为()0,0,3Q ，可得()0,2,2E ，设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，()0,0,3AE = ，()23,2,0AB =- ，则302320m AE z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，则()3,0m = ，()43,0,0GE =，所以，点G 到平面ABE 的距离为43232GE m d m ⋅===1116323333G EFM EFM EFM V d S S -=⋅=⨯⨯=△△，则8EFM S =△，因为()()3241022ABFE AE BF AB S +⋅+⨯===梯形，设AM a =，则4BM a =-，其中04a <<，()1111034268222EFM AEM BFM ABFE S S S S a a a =--=-⨯⨯-⨯-⨯=-< 梯形，故在棱AB 上不存在点M ，使得三棱锥H ABD -的体积等于三棱锥M EFG -的体积.20．【答案】(1)22195x y +=；(2)13.【详解】（1）依题意，3a =，由离心率23e =，得椭圆半焦距2c =，因此b ==，所以椭圆C 的标准方程是22195x y +=.（2）由（1）知(2,0)F ，直线l 的方程为12,x ty t k=+=，由2225945x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(59)20250t y ty ++-=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则1212222025,5959t y y y y t t +=-=-++，线段AB 的中点221810(,5959tQ t t -++，线段AB 的垂直平分线方程为221018(5959t y t x t t +=--++，令0y =，得2859x t =+，2210(1)||59t PF t +=+，而2230(1)||59t AB t +=+，所以13PF AB=.21．【答案】(1)121αα⋅=- ，231αα-⋅= ，311αα-⋅=.(2)证明见解析；(3)证明见解析.【详解】（1）121111αα⋅=-+-=- ，231111αα=--⋅=- ，311111αα=--+⋅=-.（2）先证命题：四个二维向量中必有两个向量内积为非负数.不妨设()11,0α= ，()222,a b α= ，()333,a b α= ，()444,a b α=，若存在()02,3,4i a i ≥=，则有10i i a αα⋅=≥，那么命题得证，若任意{}2,3,4i ∈，0i a <，由抽屉原理知234,,b b b 中必存在两个数同号，不妨设230b b ≥，则又因为230,0a a <<，所以2323230a a b b αα⋅=+>.命题得证.再证命题：五个三维向量中必有两个向量内积为非负数.不妨设()11,0,0α= ，(),,i i i i a b c α= ，2,3,4,5i =，若存在()02,3,4,5i a i ≥=，则10i i a αα⋅=≥，命题得证，若任意{}2,3,45i ∈，，0i a <，考虑4个二维向量()()()()22334455,,,,,,,b c b c b c b c ，由4个二维向量中必有两个向量内积为非负数，不妨设()()2233,,0b c b c ⋅≥，又230,0a a <<，则()232323230a a b b c c αα⋅=++>，命题得证.（3）我们对()2n n ≥归纳证明：2n +个n 维向量中必有两个向量内积为非负数.①当2,3n =时，由第（2）问知命题成立；②设当(n k k =∈N 且2)k ≥时命题成立，当1n k =+时，不妨设()11,0,,0α=，即第一个坐标分量为1，其他坐标分量均为0，设()()()()121,,,i i i i k x x x α+= ，2,3,.3i k =+ ，若存在{}2,3,.3i k ∈+ 使得()10i x ≥，则()110ii x αα⋅=≥ ，命题得证，若任意{}2,3,.3i k ∈+ ，()10ix <，则由n k =时的归纳假设知()()()()()()()()()223333212121,,,,,,,,,k k k k k x x x x x x +++++ 这2k +个k 维向量中必存在两个向量内积非负，不妨设()()()()()()22332121,,,,0k k x x x x ++⋅≥ ，则又因为()()11230,0x x <<，所以()()()()()()()()22322231112133,,,,0k k x x x x x x αα++⋅=+⋅> 即1n k =+时命题亦成立.所以2n +个n 维向量中必有两个向量内积为非负数，从而若m 个()2n n ≥维向量两两内积均为负数，则1m n +≤.。
北京东城65中学高二上期中试卷 北师大 数学(理科)word含解析
北京市第六十五中学-度第一学期期中达标测试题高二数学理科试卷一、选择题：本大题共12小题．每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线30x y a +=（a 为实常数）的倾斜角的大小是（ ）．A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】易知3tan k α==∴30α=︒，选择A ．2．若a ，b 是异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是（ ）．A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交【答案】D【解析】易知a ，b 为异面直线，c a ∥，则c 与b 异面或相交， 选择D ．3．一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是（ ）．A ．5π4B ．π4C ．πD ．3π2【答案】B 【解析】由三视图可以判断为圆柱， 高和底面直径为1，∴21ππ124V ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，选择B ．4．平行线3430x y --=和6850x y -+=的距离为（ ）．A ．45B ．85C ．157D ．1110【答案】D 【解析】6850x y -+=化为34 2.50x y -+=， 平行线的距离：2211103(4)d ==+-，选择D ．5．圆221:(2)(2)1C x y ++-=与圆222:(2)(5)16C x y -+-=的位置关系是（ ）．A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】C【解析】⊙1C 的圆心坐标(2,2)-，11C r =， ⊙2C 的圆心坐标(2,5)，24C r =，圆心的距离1222(22)(25)5C C d r r --+--+，∴两圆外切，选择C ．6．直线(1)2x m y m ++=-和直线280mx y ++=平行，则m 的值为（ ）．A ．2-B ．1C ．1或2-D ．23-【答案】B【解析】易得12(1)0m m ⨯-+=，解得1m =或2-，2m =-时，两直线重合，故1m =，选择B ．7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）．A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（1）与（3）D ．（2）与（4）【答案】C【解析】（1）∵l ⊥平面α，若αβ∥，则l ⊥平面β， 又∵m ⊂平面β，∴l m ⊥，正确；（2）∵l ⊥平面α，若αβ⊥，则l 与m 可能平行，异面或相交，错误； （3）∵l ⊥平面α，若l m ∥，则m ⊥平面α， ∵m ⊂平面β，∴αβ⊥；正确；（4）∵l ⊥平面α，若l m ⊥，则m α∥或m α⊂， 则α与β平行或相交，错误．综上，（1）（3）正确，选择C ．8．已知线段AB 的中垂线方程为10x y --=且(1,1)A -，则B 点坐标为（ ）．A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)--D ．(2,2)【答案】B【解析】易知AB 的方程为：0x y +=， 则设B 的坐标为00(,)x x -，AB 的中点坐标为0011,22x x --⎛⎫⎪⎝⎭，且位于10x y --=上， ∴00111022x x ----=，解得02x =，选择B ． 9．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（ ）．A ．1CC 与1B E 是异面直线B ．AC ⊥平面11ABB A C ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11A C ∥平面1AB E【答案】C【解析】∵ABC △是正三角形，E 为BC 中点， ∴1AA ⊥底面111A B C ，平面ABC ∥平面111A B C ， ∴1AA ⊥平面ABC ， ∴1BB ⊥平面ABC ， ∵AE ⊂平面ABC ，又∵1BB ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，1BB BC B =，∴AE ⊥平面11BCC B ， ∵11B C ⊂平面11BCC B ，选择C ．10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】连接1A BD ，易知11D C A B ∥， ∴夹角为1BA D ∠，在1A BD △中， ∴1A BD △为正三角形， ∴选择C ．11．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行．（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行．（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】（1）两直线可能平行，相交，异面，错误； （2）两直线可能平行，异面，错误； （3）两直线可能平行，相交，异面，错误；（4）直线与平面可能平行，可能相交，可能在平面内，错误； ∴选择A ．12．已知直线:34120l x y +-=，若圆上恰好存在两个点P ，Q ，它们到直线的距离为1，则称该圆为“理想型”圆，则下列圆中是“理想型”圆的是（ ）．A ．221x y +=B ．2216x y +=C ．22(4)(4)1x y -+-=D ．22(4)(4)16x y -+-=【答案】D【解析】易知PQ l ∥，且圆心到PQ 的距离小于半径， 设PQ 为：340x y m ++=，由平行线距离公式可得7m =-或17-， 代入验证只有D 符合．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在图中横线上． 13．若x ，y 满足20,40,0,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥则12z x y =+的最大值为__________．【答案】72【解析】依题意不等式组表示的区域如图所示，直线102x y +=如图虚线所示，直线平移经过(1,3)C 时，12z x y =+有最大值，此时17322z =+=．14．某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为__________．【答案】1242+【解析】易知三棱柱如图所示：表面积12222222222S =⨯⨯⨯+⨯⨯+15．两直线23120x y --=和10x y +-=的交点为__________，经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________．【答案】(3,2)-；230x y -+=或10x y +-= 【解析】由2312010x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得32x y =⎧⎨=-⎩，交点为(3,2)-，经过原点，则直线方程为23y x =-，不经过原点，设为1x ya a+=，代入(3,2)-可得：321a a-=，解得1a =， ∴方程为230x y -+=或10x y +-=．16．求与圆222420x y x y +-++=关于原点对称的圆的方程__________． 【答案】22(1)(2)3x y ++-=【解析】圆标准方程为22(1)(2)3x y -++=， ∴关于原点对称的方程为22(1)(2)3x y ++-=．17．从圆229x y +=外一点(3,2)P 向该圆引切线，则切线方程是__________． 【答案】3x =或512390x y +-=【解析】直线为3x =时，符合条件，若直线不垂直于x 轴，设为2(3)y k x -=-，即230kx y k -+-=， 易知有圆心到直线的距离231d k ==+，解得512k =-， 切线方程为3x =或512390x y +-=．18．已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）yx的最小值__________． （2）22x y +的最大值__________． 【答案】3437【解析】（1）22410x y x +-+=化为22(2)3x y -+=， 表示圆心为(2,0)3 设yk x=，即y kx =，易知直线与圆相切时有最大最小值，231k =+min 3k =-（2）22x y +表示圆上的点到原点距离的平方， 显然连接圆心与O 点交于外侧一点时有最大值， 最大值为2(23)437=．三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分8分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，且侧棱和底面边长均为2，D 是BC 的中点． （1）求证：1A B ∥平面1ADC ． （2）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ． （3）求三棱锥11C AB D -的体积． 【答案】见解析【解析】（1）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ， 由题易知四边形1ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点， 又D 为BC 的中点，在1A BC △中， ∵OD ⊂面1ADC ，1A B ⊄面1ADC ， ∴1A B ∥面1ADC ．（2）证明：∵ABC △为等边三角形，D 为BC 中点， 又∵1CC ⊥面ABC ，AD ⊂面ABC ， 又∵BC ⊂面11BCC B ，1CC ⊂面11BCC B ， 且1BC CC C =， ∴AD ⊥面11BB C C ， 又∵AD ⊂面1AB D ， ∴面1AB D ⊥面11BB C C ． 20．（本小题满分10分）设：圆C 方程为：22(2)4x y -+=．（1）判断圆C 与直线210x y ++=的位置关系，并说明理由．（2）若点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆C 的弦AB 的中点，求弦AB 所在直线方程．（3）若直线:10l ax y +-=与圆C 相交所得弦长为23a 的值． 【答案】见解析【解析】（1）⊙C 以(2,0)为圆心，半径为2， 圆心(2,0)C 到直线的距离225221d ==>+，∴直线与圆C 相离． （2）易知PC AB ⊥， 又P 在直线AB 上， ∴AB 的方程为12(1)2y x +=--，即：3202x y +-=． （3）易知圆心C 到直线l 的距离22231d -=， 211a =+，解得43a =．21．（本小题满分10分） 已知圆22240x y x y m +--+=．（1）此方程表示圆，求m 的取值范围．（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求m 的值．（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 【答案】见解析【解析】（1）方程可以化为22(1)(2)5x y m -+-=-， 若表示圆，则50m ->， m 的取值范围为(,5)-∞． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则1142x y =-，2242x y =-，∴12120x x y y +=，即1212168()50y y y y -++=（米）， 联立2242240x y x y x y m =-⎧⎨+--+=⎩可得：251680y y m -++=， 代入（*）式可得：16816(8)05m ⨯-++=， （3）以MN 为直径的圆的方程为： 即221212()()0x y x x x y y y +-+-+=，∴所求圆的方程为22816055x y x y +--=．。
北京市东城区第50中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
北京市东城五十中学2017—2018学年上学期高二期中考试数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 若直线经过点，，则直线的倾斜角为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵直线经过点，，∴直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，∴．故选．2. 圆与圆的位置关系是（）．A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】C【解析】圆为，圆为，两圆心分别为和，圆心距为，即两圆相交．故选．3. 直线在轴上的截距为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】令，可得，解得，即直线在轴上的截距为．故选．4. 已知两条直线，，若，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】若，则根据直线平行的公式得到：，解得．故选．5. 已知两条直线和互相垂直，则等于（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】因为直线和互相垂直，所以，解得．故选．6. 若椭圆，过点，则其焦距为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意把点代入椭圆的方程可求得，椭圆方程为，∴，，，∴其焦距为，故选．7. 设倾斜角为的直线通过抛物线的焦点且与抛物线相交于、两点，则弦的长为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】∵直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，∴直线的方程为，设，，将代入可得，∴，弦．故选．点睛：这个题目考查了抛物线和直线的位置关系，在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.而抛物线中和焦半径有关的题型，经常和抛物线的定义联系。
8. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：圆心到直线到圆上一点的距离为，切线长为，因此，当最小时，最小，的最小值为圆心到直线的距离，因此的最小值为.考点：（1）切线长的求法；（2）点到直线的距离.9. 已知动圆过点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】设动圆圆心坐标为，动圆过定点，且与定直线相切，即圆心到定点的距离和到定直线的距离相等，都等于半径，根据两点间的距离公式可以知道，整理得：．故选．点睛：这个题目考查的是求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如向量中，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.10. 椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：画出如下示意图．可知0M为△PF1F2的中位线，∴PF2=2OM=2b，∴PF1=2a-PF2=2a-2b，又∵M为PF1的中点，∴MF1=a-b，∴在Rt△OMF1中，由OM2+MF12=OF12,可得(a-b)2+b2=c2=a2-b2．可得2a=3b，进而可得离心率e=．考点：椭圆与圆综合问题．二、填空题（每空4分，共24分）11. 抛物线的准线方程为__________．【答案】【解析】试题分析：由抛物线方程可知，所以准线方程为考点：抛物线性质12. 双曲线的两条渐近线的方程为__________．【答案】【解析】∵双曲线的，，焦点在轴上，∴渐近线方程为．13. 若不论取何值，直线恒过定点，则这个定点的坐标为__________．【答案】【解析】直线的方程可化为：，由的任意性可得：，解得：，故定点的坐标为．故答案为：。
北京东城24中高二上学期期中考试卷数学 北师大版 worad 含解析-最新教学文档
北京市第二十四中学2019-2019学年度第一学期高二年级理科数学学科期中考试试卷一、选择题1．体积为的球的内接正方体的棱长为（ ）．AB ．2CD【答案】B【解析】设球的半径为R ，由34π3R =得R =设球的内接正方体的棱长为a =，解得2a =，故选B ． 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A．6B ．7C ．8D ．7+【答案】B【解析】设三视图知：几何体是直四棱柱，且直四棱柱的侧棱长是1，其底面为直角梯形，梯形的上底为1，下底为2，直角腰为1=∴该几何体表面积1221(12113472S +=⨯⨯=+++⨯=+=+ 故选B ．3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题，其中正确的是（ ）．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】①中，由αβ∥，直线l ⊥平面α可得l β⊥，又m ⊂平面β，所以l m ⊥，故①正确；②中，由αβ⊥，直线l ⊥平面α可得l β∥或l β⊂，m ⊂平面β，所以l 与m 相交、平行、异面都有可能，故②错误；③中，由l m ∥，直线l ⊥平面α可得m ⊥平面α，又m ⊂平面β，所以αβ⊥，故③正确；④中，由l m ⊥，直线l ⊥平面α可得m α∥平面m α⊂，所以α与β相交、平行都有可能，故④错误； 综上所述，命题中正确的是①③， 故选：C ．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】如图，连接1A B ，BD ，∵11A B D C ∥， ∴1DA B ∠即异面直线1A D 和1D C 所成夹角， ∵在正方体中，各面对角线相等， ∴1A BD △为等边三角形，即异面直线1A D 与1D C 所成角为60︒． 故选C ．5．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（ ）．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①项，如图，连接BC ，AD ，可知MN AD ∥，NP BD ∥，所以平面MNP ∥平面ACBD ，又因为ABC 平面ABCD ，所以AB ∥平面MNP ，故①项正确；②项，若下底面中心为O ，则NO AB ∥，NO 平面MNP N =，所以AB 与面MNP 不平行，故②项错误；③项，如图，连接CD ，AB CD ∥，但CD 与平面MNP 相交，所以AB 与面MNP 不平行，故③项错误； ④项，如图，连接CD ，则AB CD NP ∥∥，所以AB ∥平面MNP ，故④项正确． 综上，能得出AB ∥平面MNP 的是①④，故选B ．6．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误．．的是（ ）．A ．BD ∥平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 角为60︒【答案】D【解析】A 选项，∵11BD B D ∥，∴BD ∥平面11CB D ，故A 项正确；B 选项，由正方体性质可得，AC BD ⊥，而AC 是1AC 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理知1AC BD ⊥，故B 项正确；C 选项，由三垂线定理可得11AC B C ⊥，111AC BD ⊥，∴1AC ⊥平面11CB D ，故C 项正确；D 选项，∵AD BC ∥，∴1BCB ∠即是AD 与1CB 所成角，显然145BCB =︒∠，故D 项正确．7．已知(1,2)M 、(4,3)N ，直线l 过点(2,1)P -，且与直线MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）．A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[3,2]-D ．11,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】由已知可得：12321kPM --==--，13224kPN --==-， 若直线l 与MN 有交点，则2k ≥或3k -≤，所以直线l 的斜率k 的取值范围是(,3][2,)-∞-+∞， 故选A ．8．已知直线1:210l x ay =-=与2:(21)10l a x ay ---=平行，则a 的值是（ ）．A ．0或1B ．1或14C ．0或14D ．14【答案】C【解析】当0a =时，两直线的斜率都不存在，满足题意，当0a ≠时，1212a a a --=，解得14a =， 综上，0a =或14，故选C ．9．经过两直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由方程组310030x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得两条直线的交点为(1,3)A ，当直线的斜率不存在时，直线的方程为1x =，符合题意，当直线的斜率不存在时，设所求直线的方程为：3(1)y k x -=-， 即30kx y k --+=，1=，解得：43k=，直线方程为：4350x y-+=．故所求直线方程为：4350x y-+=或1x=．∴满足条件的直线有2条，故选C．10．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（）．A．22(2)1x y+-=B．22(2)1x y++=C．22(1)(3)1x y-+-=D．22(3)1x y+-=【答案】A【解析】∵圆心在y轴上，半径为1，∴设圆的方程为22()1x y b+-=，∵圆过点(1,2)，∴将(1,2)代入圆的方程得21(2)1b+-=，解得：2b=，则所求圆的方程为22(2)1x y+-=，故选A．11．已知圆C的圆心是直线10x y-+=与x轴的交点，且圆C与直线30x y++=相切，则圆C的方程是（）．A．22(1)2x y++=B．22(1)8x y++=C．22(1)2x y-+=D．22(1)8x y-+=【答案】A【解析】∵圆C的圆心是直线10x y-+=与x轴的交点，∴令10x y-+=中0y=，得1x=-，即圆心为(1,0)-，∵圆C与直线30x y++=相切，∴圆心C的到直线30x y++=的距离d r=，即r=∴圆C的方程是22(1)2x y++=，故选A．12．已知圆221:(1)(1)1C x y++-=，圆2C与圆1C关于直线10x y--=对称，则圆2C的方程为（）．A．22(1)(1)1x y-++=B．22(2)(2)1x y++-=C．22(1)(1)1x y++-=D．22(2)(2)1x y-++=【答案】D【解析】由题，圆2C的圆心与圆1C的圆心关于直线10x y--=对称，则圆2C的半径为1，1C的圆心为(1,1)-，设2C的圆心为(,)a b，则111022111a bba-++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22ab=⎧⎨=-⎩，所以圆2C的方程为22(2)(2)1x y-++=，故选D．二、填空题（每小题3分，共24分）13．已知直线a，b和平面α，且a b⊥，aα⊥，则b与α的位置关系是__________．【答案】b α∥或b α⊂【解析】由线面的位置关系可知当a b ⊥，a α⊥时， b α∥或b α⊂．14．如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB CD ∥，1AB =，3AD =，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC =︒∠的点E 的个数是__________． 【答案】2 【解析】连结BE ，∵SB ⊥底面ABCD ，90SEC =︒∠， ∴CE ⊥平面SBE 从而CE BE ⊥． 故问题转化为在梯形ABCD 中， 点E 是线段AD 上的动点， 求满足BE CE ⊥的点E 的个数， 设AE x =，则3DE x =-，∴221014(3)x x =+++-，化简得2320x x -+=，解得1x =或2x =， 故满足BE CE ⊥的点E 的个数是2，即满足90SEC =︒∠的点E 的个数是2．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB =︒∠，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是__________．【解析】∵11AC AC ∥，∴11BA C ∠（或其补角）就是异面直线1A B 与AC 所成的角， 在11BA C △中，1A B =111A C =，1BC =16．直线l 经过(2,1)A 、2(1,)()B m m ∈R 两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是__________． 【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【解析】221tan 1112m k m α-===--≤，所以ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 17．直线l 经过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为__________． 【答案】25100x y --=或85200x y -+= 【解析】设直线l 的方程为1x ya b+=， ∵直线l 经过点(5,4)P --， ∴将点(5,4)P --代入可得：541a b --+=，又1||52ab =， 联立5411||52a bab ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得52a b =⎧⎨=-⎩或524a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的方程为152x y+=-或1542x y+=-，即25100x y --=或85200x y -+=．18．以点(2,2)-为圆心并且与圆222410x y x y ++-+=相外切的圆的方程是__________． 【答案】22(2)(2)9x y -++=【解析】设所求圆的方程为222(2)(2)(0)x y r r -++=>，∵该圆与圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=相外切，∴圆心距2d r +，解得：3r =， 故所求圆的方程为：22(2)(2)9x y -++=．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是__________． 【答案】(13,13)-【解析】∵圆224x y +=的半径是2，圆上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1， ∴坐标原点(0,0)到直线1250x y c -+=的距离小于1，1<，∴||13c <，解得1313c -<<，故C 的取值范围是(13,13)-．20．已知圆22:430C x y x +-+=，则圆心C 的坐标是__________；若直线1y kx =-与圆C 有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________． 【答案】(2,0)；40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】圆22:430C x y x +-+=化为标准方程是22(2)1x y -+=， ∴圆心C 的坐标是(2,0)，又∵直线1y kx =-与圆C 有两个不同的交点， ∴圆心(2,0)到直线10kx y --=的距离d r <，1<，解得：403k <<，故k 的取值范围是40,3⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题（共40分）21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，点D 、E 分别是BC 和11B C 的中点． 求证：（1）1A B ∥平面1ADC ． （2）平面1A BE ⊥平面11BCC B ． 【答案】见解析【解析】（1）证明：连结1A C 交1AC 于O ，则O 是1A C 中点，连接OD ， ∵在1A BC △中，点D 是BC 的中点，O 是1A C 的中点， ∵ODC 平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ; ∴1A B ∥平面1ADC ．（2）证明：由直三棱柱的性质可知1C C ⊥，平面111A B C ， ∵1A E ⊂平面111A B C ，又∵AB AC =，E 是11B C 的中点， ∵1A E ⊥平面11BCC B ， 又1A E ⊂平面1A BE ， ∴平面1A BE ⊥平面11BCC B ．22．直线1:40l x y +-=与直线2:20l x y -+=相交于点P ． 求：（1）经过点(1,2)M 和点P 的直线方程． （2）过点P 与直线210x y --=垂直的直线方程． 【答案】见解析【解析】联立4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，即点(1,3)P ．∵直线过(1,2)M 和点(1,3)P ，故直线方程为1x =．（2）设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y c ++=， 将(1,3)P 代入得10b c ++=，解得7c =-，故过点P 且与直线210x y --=垂直的直线方程为：270x y +-=． 23．已知圆22:2430C x y x y ++-+=．（1）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程． （2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程． 【答案】见解析【解析】（1）已知圆22:2430C x y x y ++-+=化为标准方程为：22(1)(2)2x y ++-=，圆心为(1,2)-l 不过原点， 且在x 轴，y 轴上的截距相等， 故可设直线方程为0x y a ++=，=1a =或3a =-，故直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．（2）若直线被圆截得的线段长为2，则圆心到直线的距离1d =， 又直线过原点(0,0)，①当斜率不存在时，直线为0x =，符合题意； ②当斜率存在时，设直线为y kx =，即0kx y -=． 圆心(1,2)-到直线距离1d ==，解得：34k =-，∴直线方程为：34k x =-．综上所述，经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程为：0x =或34y x =-．24．如图，已知一四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC =，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P ABCD -的体积． （2）证明：BD AE ⊥．（3）求二面角P BD C --的正切值． 【答案】见解析【解析】（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形， 且侧棱PC ⊥底面ABCD ，2PC =，所以11212333P ABCD ABCD V S PC -=⋅=⨯⨯=．（2）连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥， 又∵PC ⊥底面ABCD ，BDC 平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ，（3）设AC ，BD 相交于O ，连PO ， 由（2）知，BD ⊥平面PAC ，∴BD PO ⊥，又BD AC ⊥，∴POC ∠是=面角P BD C --的一个平面角．所以tan PC POC OC ===∠， 即=面角P BD C --的正切值为 （第25题1班学生必做！）25．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切． （1）求圆的方程．（2）设直线50ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，求实数a 的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）设圆心为(,0)m ，因为圆与直线43290x y +-=相切，且半径是5， 所以圆心到直线距离d 等于半径， 即|429|55m -=，解得：272m =（舍去）或1m =． 故所求圆的方程是22(1)25x y -+=．（2）因为直线50ax y -+=与圆相交于A 、B 两点， 所以圆心到直线的距离小于半径，5<，化简得：21250a a ->，∴0a <或512a >． 故实数a 的取值范围是5(,0),12⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭． （3）设符合条件的实数a 存在，由（2）得0a ≠，则直线l 的斜率为1a-，∴l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=，∵l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)必在l 上， ∴1240a +-=，解得：34a =． 故存在实数34a =，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ．。