高等数学重积分

高等数学（2）学习辅导（8）
重积分典型例题解析
例1 （1）根据二重积分的几何意义，DyxyxddR222= 。（其中

222
),(RyxyxD

）

（2）累次积分xxyyxfxd),(d10交换积分次序后，得到的积分为 。
（3）已知积分区域Dxyxy{(,),}111，二重积分fxyxyD(,)dd在直角坐标系下
化为累次积分的结果是 。
解（1）应填332R。

由二重积分的几何意义，DyxyxddR222表示球心在圆点，半径为R的上半球体的体积，
故为332R。
（2）应填yyxyxfy2d),(d10。

由已知的累次积分，得积分区域为xyxx10，若变换积分次序，即先积x后积y，则积分变
量y的上、下限必须是常量，而积分变量x的积分上、下限必须是常量或是y的函数，因此积分区域
应表为102yyxy，于是交换后的积分为yyxyxfy2d),(d10

（3）应填ddxfxyy(,)2011或0211d),(dxyxfy
由已知的积分区域为Dxyxy{(,),}111可知区域D满足联立不等式组

11111yx，即而解得


0211y
x

，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择

积分的顺序，若先积x后积y，则应填0211d),(dxyxfy，反之应填ddxfxyy(,)2011。
例2 （1）二重积分xxyxy2dd1422可表达为累次积分（ ）。

A. ddrr321202cos； B. rr321202ddcos；
C. dd2xxyxx442222； D. dd2yxxyy111122
（2）由曲面zxy422和z0及柱面xy221所围的体积是（ ）。
A. ddrrr420202； B. 4420222ddrrr；

C. dd420102rr； D. 4420102ddrrr
解（1）选择A
因为积分区域是环域4122yx，若选择极坐标系计算积分，令sincosryrx，则代入解得

区域}20,21),{(rrD，所以A正确；若选择直角坐标系计算积分，要利用积分区间
的可加性，或利用区域的对称性，0,04124122222dd4ddyxyxyxyxxyxx，于是

再选择积分的顺序，若先积x后积y，则积分区域}21,41),{(22yyxyyxD
反之积分区域}21,41),{(22xxyxyxD，所以C，D都是错误的。
（2）选择D
由曲面zxy422和z0及柱面xy221所围的体积应是以球面
zxy4
22

被圆柱面xy221和oxy面所截的体积，由二重积分的几何意义知，积分区域为122yx，被
积函数为zxy422，若选择极坐标系求积分，则积分区域
}10,20),({rrD

被积函数为dd42rrr，则体积为20102d4drrrV
若利用积分区域和被积函数的对称性，可以计算第一象限的二重积分在4倍，这是积分区域
}10,20),({rrD


，所以所求体积为

V
4420102ddrrr



故D正确。
例3 计算二重积分：
（1）yxyDxydde，其中D为1,2,2,1xyyxx所围成的平面区域。

（2）yxxyDdd,其中D为抛物线xy2和直线2xy所围成的平面区域。
计算直角坐标系的二重积分步骤是：
1）画出区域D的草图，根据图形的情况确定积分次序；
2）联立方程求交点，按积分的顺序确定积分上、下限；
3）代入公式计算积分值。
解：（1）区域D如图
由区域的形状，选择先积y后积x。

联立方程22,12,21,11xyxyxxyxxy，解得交点为)2,2(),2,1(),2,21(),1,1(
区域}21,21),{(yxxyxD
于是 )d(eddeddde212122121xyxyxxyyxyxyxxyxxyDxy

=xxxxyxxxxxyde)12(de)1[(1212221212
=24212e2eexx
（2）解法一：化为先对y后对x的累次积分。这时，区域的边界的下部是由两段不同的曲线组
成，因此用直线1x将区域D分为}10,),{(1xxyxyxD和

}41,2),{(2xxyxyxD
两部分。那么

yxxyDdd=yxxyDdd1+yxxyDdd2
=xxyxyxdd10+xxyxyx241dd
=0+21845]d2)-(-[412xxxx
解法二：化为先对x后对y的累次积分。这时D可统一表示为
}21,2),{(2yyxyyxD
因此 845]d-2)[(21dddd21-42221-2yyyyxxyyyxxyyyD
显然，第二种解法较为简便。可见，无论怎样选择积分次序，其结果是相同的，但是选择的不同
会影响计算的过程的繁简，有时的积分次序选择的不同可能造成二重积分不能计算。
例4 计算下列二重积分：

y2=x
o y x
y=x-2
x y o
y

（1）yxxyDddarctan，其中D为圆周422yx和122yx及直线xyy,0所围成的
在第一象限的区域。
（2）yxyxDdd22，其中D为圆周xyx222所围成的在区域。
解 把二重积分中的变量从直角坐标系变换为极坐标系，只需把被积函数中的yx,分别换成

sin,cosrr，面积元yxdd

换成ddrr即可，积分次序一般为先r后。

(1) 采用极坐标系：积分区域D如图，
D={(}40,21),rr

于是rrrrdyxxyDdcossinarctanddarctan2140
=rrdd2140
=4021221dr

=40)14(21d=643164322
（2）采用极坐标系：积分区域D如图，圆周
xyx222
的极坐标方程为cos2r，则积

分区域为
D
={(}22,cos20),rr

于是2cos02222ddddrrryxyxD

=222cos03)d31(r=223dcos831
=203dcos316)(sin)sin1(316202d=932

x o