(word完整版)高中微积分基本知识

高中微积分基本知识 第一章、 极限与连续 一、 数列的极限 1． 数列 定义： 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数

1,,,nxxKL 叫数列，记作nx，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项或通项 界的概念：

一个数列nx，若0M，..st对*nN，都有nxM，则称nx是有界的：

若不论M有多大，总*mN，..stmxM，则称nx是无界的 若naxb，则a称为nx的下界，b称为nx

的上界

nx有界的充要条件：nx既有上界，又有下界

2． 数列极限的概念 定义：

设nx为一个数列，a为一个常数，若对0，总N,..st当nN时，有

nxa 则称a是数列nx的极限，记作limnnxa或()nxan

数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义：

从第1N项开始，nx的所有项全部落在点a的邻域(,)aa 3． 数列极限的性质 ①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系数列大小关系（nN时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形

①0xx：设()fx在点0x处的某去心邻域内有定义，A为常数，若对0，

0，..st当00xx时，恒有()fxA成立， 则称()fx在0xx时有

极限A 记作0lim()xxfxA或0()()fxAxx 几何意义：对0，0，..st当00xx时，()fx介于两直线yA 单侧极限：设()fx在点0x处的右侧某邻域内有定义，A为常数，若对0，0，..st当00xx时，恒有()fxA成立，称()fx在0x处有右极限A，

记作0lim()xxfxA或0()fxA

0lim()xxfxA的充要条件为：00()()fxfx=A

垂直渐近线：当0lim()xxfx时，0xx为()fx在0x处的渐近线 ②x：设函数()fx在0xb上有定义，A为常数，若对0，,..Xbst当xX时，有()fxA成立，则称()fx在x时有极限A，记作 lim()xfxA或()()fxAx

lim()xfxA的充要条件为：lim()lim()xxfxfxA 水平渐进线： 若lim()xfxA或lim()xfxA，则yA是()fx的水平渐近线 2.函数极限的性质： ①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当00xx时成立） 三、 极限的运算法则 1． 四则运算法则

设()fx、()gx的极限存在，lim(),lim()fxAgxB则

①lim()()fxgxAB ②lim[()()]fxgxAB

③()lim()fxAgxB （当0B时） ④lim()cfxcA （c为常数） ⑤lim[()]kkfxA （k为正整数） 2． 复合运算法则 设[()]yfx，若0lim()xxxa，则0lim[()]()xxfxfa

可以写成00lim[()][lim()]xxxxfxfx （换元法基础） 四、极限存在准则及两个重要极限 1．极限存在准则 ①夹逼准则

设有三个数列nx，ny，nz，满足

nnnyxz ， limlimnnnnyza 则limnnxa

②单调有界准则 有界数列必有极限 3． 重要极限

①0sinlim1xxx ②1lim1xxex 或10lim1xxxe 五、无穷大与无穷小 1．无穷小：

在自变量某个变化过程中lim()0fx，则称()fx为x在该变化过程中的无穷小

※ 若()0fx，则()fx为x在所有变化过程中的无穷小 若()fx，则()fx不是无穷小 性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小 4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小

定理：lim()fxA的充要条件是()()fxAx，其中()x为x在该变化中过程

中的无穷小 无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)

(),()xx，为同一变化过程中的无穷小

若limc（0c常数） 则是的同阶无穷小 （当1c时为等价无穷小）

若limkc（0c常数） 则是的k阶无穷小 若lim0 则是的高阶无穷小 常用等价无穷小：(0x)sintanarcsinarctanln(1)1xxxxxxxe::::::； 21cos2xx:；(1)1xx:；1lnxaxa:

2．无穷大： 设函数()fx在0x的某去心邻域内有定义。若对于0M，0..st当

00xx时，恒有()fxM 称()fx当0xx时为无穷大，记作0lim()xxfx

定理：lim()fx1lim()1lim()fxfx无穷大为无穷小无穷小为无穷大 （下：趋于某点，去心邻域不为0） ※ 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定 六、连续函数 1．定义

设函数()yfx在0x某邻域有定义，若对0，0..st当00xx时，

恒有： 0()()fxfx 也可记作 00lim()()xxfxfx 或 0lim0xy

00()()fxfx（或00()()fxfx）为左（或右）连续

2．函数的间断点

第一类间断点：左右极限存在左右极限相等，该处无定义可去间断点左右极限不等跳跃间断点 第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等 3.连续函数的运算

若函数()fx与()gx都在x处连续，则函数

()()fxgx，()()fxgx，()()fxgx （()0gx）

定理：[()]yfgx，00()gxu，若()gx在0x处连续，()fg在0u处连续，则[()]yfgx在0x处连续 4． 闭区间连续函数的性质 ① 最值定理：()fx在[,]ab上连续， 则12,xx，对一切[,]xab有

12()()()fxfxfx ②介值定理：()fx在[,]ab上连续，对于()fa与()fb之间的任何数u，至少一点，..st()fu

第二章、 导数 一、导数的概念 定义：设函数()yfx在点0x的某邻域有定义，如果极限

000()()limxfxxfxx 存在，则称函数()yfx在点

0x可导，极限值为函数()yfx在点0x处的导数，记为'0()fx

单侧导数：设函数()yfx在点0x处的左侧00(,]xx有定义，若极限 000()()limxfxxfxx 存在，则称此极限为函数()yfx在点0x处的左导数，记为'0()fx，类似有右导数'0()fx

导函数：函数()yfx在某区间上可导，则 '0()()()limxfxxfxfxx 性质：①函数()yfx在点0x处可导的充要条件''00()()fxfx ②可导连续

导数的几何意义： 函数点处的切线斜率 二、求导法则 1．函数的和、差、积、商的求导法则

定理：若(),()uuxvvx都在x处可导，则函数()()uxvx在x处也可导，且

'''[()()]()()uxvxuxvx 定理：若(),()uuxvvx都在x处可导，则函数()()uxvx在x处也可导，且 '''[()()]uxvxuvuv 推论：若1,,nuuK都在x处可导，则函数12nuuuL在x处也可导，且 ''''12121212[]nnnnuuuuuuuuuuuuLLLLL

定理：若(),()uuxvvx都在x处可导，则函数()()uxvx在x处也可导，且

'''2()()uxuvuvvxv 2．反函数的求导法则 定理：设函数()xgy在yI上单调可导，它的值域为xI，而'()0gy，则其反函数

1()()ygxfx在区间xI上可导，并且有

''1()()fxgx 4． 复合函数的求导法则 定理：若函数()ux在0x可导，函数()yfu在点00()ux可导，则复合函数

(())yfx在0x处可导

'''[(())](())()fxfxx 或 dydydudxdudxg （连锁规则） 三、高阶导数 定义：若函数()yfx的导数''()yfx仍可导，则''()yfx导数为()yfx的二

阶导数，记作2""2,(),dyyfxdx， 类似的，有n阶导数()(),(),nnnndyyfxdx 四、隐函数求导 对于[,()]0Fxyx,或[,()][,()]FxyxGxyx，若求dydx 求导法：方程两侧对x求导 微分法：方程两侧求微分

公式法：''xyFdydxF ，将方程化成[,]Fxy=0，将F看成关于x,y的二元函数，分

别对x,y求偏导'',xyFF 五、参数方程所确定的函数求导 ()()xtyt



，''''()/()ttydydydtdydxtdxdtdxdtdttxg