完全平方差公式

第一章整式的乘除

山东省济南市实验初级中学贾万峰

课时安排说明:

《完全平方公式》共分两课时，第一课时，主要利用多项式乘法法则推导完全平方公式，了解公式的几何背景，运用公式进行计算；第二课时，主要是进一步理解完全平方公式，运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算.

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的乘法、平方差公式，这些知识的学习为本节课的学习奠定了基础.

学生活动经验基础：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力.

二、教学任务分析

教科书在学生已经学习了整式乘法以及平方差公式的基础上，提出了本课的具体学习任务：经历探索完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算.但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标.整式是初中数学研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结.同时，乘法公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处.而且乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的作用.为此，本节课的教学目标是：

1．知识与技能：理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景

2．过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理

的表达能力，培养学生的数形结合意识.

3．情感与态度：在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.

三、教学过程设计

本节课设计了七个教学环节：回顾与思考、探索引入、初识完全平方公式、再识完全平方公式、又识完全平方公式、课堂小结、布置作业.

第一环节回顾与思考

活动内容：复习已学过的平方差公式

1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？

2.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 ;

公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积.

右边是两数的平方差.

3. 应用平方差公式的注意事项：弄清在什么情况下才能使用平方差公式.

活动目的：本堂课的学习方向仍是引导鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知，进一步发展学生的符号感和推理能力.而这个过程离不开旧知识的铺垫，平方差公式的学习有很多教学环节和形式与本节的学习是类似的，其中包含的基本知识与基本能力也仍是本节的精神主旨，因而复习很有必要.

实际教学效果：在复习过程中，学生能够根据图形顺利地回答出平方差公式的内容，而对于其结构特点及应用时的注意事项，通过学生之间的相互补充，绝大多数学生也得以掌握.在复习中既把旧知识得以复习，同时学生也会主动的去回顾平方差公式一节的学习过程，从而为本节课的类比学习奠定了基础.

第二环节探索引入

活动内容：1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？

（m+3）2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9

（2+3x）2=(2+3x)(2+3x)=4+2×3x+2×3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2

2.再举两例验证你的发现.

4.你能用图1-5解释这一公式吗？

活动目的：通过特例的探索，引入完全平方

公式，再让学生自己举例加深对公式的体会.而在

计算图形的面积时，通过对比这些表示方式可以

使学生对于公式有一个直观的认识.同时在古代

人们也是通过类似的图形认识了这个公式.通过

自主探究和交流学到了新的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发.

实际教学效果：活动1学生通过观察比较容易得到：(a+b)2=a2+2ab+b2

活动2让学生举例验证的同时，还可以引导学生通过多项式的乘法法则来验

证(a+b)2=a2+2ab+b2的正确性.

活动4问题提出后，由于前面平方差公式的学习，学生能够主动地去寻找解

决问题的方法，绝大多数学生能够很顺利地想到两种不同的方法，并从中建立了

数形结合的意识.从而在学生的自主探索过程中验证了完全平方公式，使学生有

了一个直观认识.在整个过程中老师只是在提出问题和引导学生解决问题，学生

的自主性得到了充分的体现，课堂气氛平等融洽.

第三环节初识完全平方公式

活动内容：1. (a－b)2=？你是怎样做的？.

2.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？

3.分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式.

结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；

右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）

这两数积的两倍.

活动目的：第一个活动是让学生从代数运算的角度，推导出两数差的完全平

方公式，培养学生有条理的思考和语言表达能力.

第二个活动使学生再次从几何的角度来验证两数差的完全平方公式.从而学生经历了几何解释到代数运算，再到几何解释的过程，学生的数形结合意识得以培养，并且从不同的角度推导出了公式，并且加以巩固.

第三个活动在前面的基础上，加以总结，使得学生从形式上初步地认识了完全平方公式.

实际教学效果：此环节的设计符合学生的认知水平和认知过程.在第一个活动的教学中学生采用了不同的方法：①运用多项式的乘法法则②把两数差看作两数和，再运用两数和的公式.教师应重视学生对于算理的理解，让学生尝试说出每一步运算的道理，有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力.第二个活动既是对于第二环节用几何解释验证两数和的完全平方公式的巩固，同时也是对于学生数形结合意识的一种培养，绝大多数学生能够通过交流合作得以掌握.通过几个活动学生能够初步地掌握了完全平方公式，并在推导过程中培养了数学的基本能力.

第四环节再识完全平方公式

活动内容：例1 用完全平方公式计算：

(1) (2x ?3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn ?a )2

2. 巩固练习.

（1）计算：

2)221(y x - ；2)5

12(x xy + ；(n +1)2－n 2 ；(4x +0.5)2 ；(2x 2－3y 2)2 （2）纠错练习：指出下列各式中的错误，并加以改正：

(1) (2a ?1)2＝2a 2?2a +1;

(2) (2a +1)2＝4a 2 +1；

(3) (-a ?1)2＝-a 2?2a ?1.

活动目的：应用完全平方公式进行简单的计算.同时例1三个题目的设计上有一定的梯度，从而加以巩固落实.

实际教学效果：对照公式，进行独立的简单计算，体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式.并通过小组交流，自我检验，巩固反馈.考察个人的实际运用能力，并及时查漏补缺.

第五环节又识完全平方公式

活动内容：利用完全平方公式计算：

(1) (-1-2x)2； (2) (-2x+1)2

活动目的：本活动是对课本内容的补充，从而使得学生从更深的一个角度来认识完全平方公式，防止解题时中间项的符号出现问题，并能在解题中通过灵活的变形来运用公式，解决问题.

实际教学效果：首先放手让学生独立来解决第一个题目，学生出错较多，且都集中在中间项的符号上，由此引出有进一步认识公式的必要，从而教师引导学生再次观察题目，仔细分析题目当中谁相当于公式当中的a与b，从而运用不同的方法和思路，解决问题.在活动中学生认识到了解决问题之前恰当选择公式和正确分析题目的必要性，学习的积极性再次被激发.

第六环节课堂小结

活动内容：1. 完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同．

结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 (a ±b)2＝a2±2ab+b2;平

方差公式的结果是两项，即(a+b)(a?b)＝a2?b2.

2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2.

活动目的：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的.

实际教学效果：学生畅所欲言自己的实际收获，达到了本节课的教学目标.

第七环节布置作业

1. 基础训练：教材习题1.11 .

2. 拓展练习： (a+b)2与(a-b)2有怎样的联系？能否用一个等式来表示两者

之间的关系，并尝试用图形来验证你的结论？

四、教学设计反思

1. 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而人为的主观裁断时间安排，其实公式

的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们的应用公式的本领.因此，不但不可以省，而且还要充分挖掘，以使不同程度的学生都有事情做且乐此不疲，更加充分的参与其中.对于这一点，教师一定要转变观念.

2. 在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系地看；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力.教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行学法指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质.

3. 对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”.对于公式中的字母取值范围，不必过分强调（实际上，这个范围限定的太小了）；而对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的左边，它是正确应用公式的前提，却往往不被重视，结果造成几个类似公式的混淆，给正确解题设置了障碍.

4. 教无定法，教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤，切实把关注学生的发展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教学计划.如，对于较好的班级，则可以优先发展，采取居高临下的教学思路，先整体把握再对比击破，或是将其纳入整体结构系统，采取类比的学习方式；而对于基础较薄弱的班级，则应以提高学习兴趣、教会学习、培养成功体验为主，千万不可拔苗助长，以防物极必反.

七年级完全平方公式、平方差公式经典习题

平方差公式经典习题教师：焦建锋授课时间：2013.3.17 一、选择题 1．下列各式能用平方差公式计算的是：（） A ．)23)(32(a b b a -- B ．)32)(32(b a b a --+- C ．)23)(32(a b b a +-- D ．)23)(32(b a b a +- 2．下列式子中，不成立的是：（） A. 2 2 )())((z y x z y x z y x --=--+- B ． 2 2) ())((z y x z y x z y x --=---+ C ． 2 2)())((y z x z y x z y x --=-+-- D ． 2 2 ) ())((z y x z y x z y x +-=++-- 3．()4422916)43(x y y x -=-- ，括号内应填入下式中的（）． A ．)43(22y x - B ．2234x y - C ．2243y x -- D ．2243y x + 4．对于任意整数n ，能整除代数式)2)(2()3)(3(-+--+n n n n 的整数是（）． A ．4 B ．3 C ．5 D ．2 5．在))((b a y x b a y x ++--++ 的计算中，第一步正确的是（）． A ．22)()(a y b x --+ B ．))((2222b a y x -- C ．22)()(b y a x --+ D ．22)()(a y b x +-- 6．计算)1)(1)(1)(1(24-+++x x x x 的结果是（）． A ．18+x B ．14+x C ．8)1(+x D ．18-x 7．)1)(1)(1(222++-+c b a abc abc 的结果是（）． A ．1444-c b a B ．4441c b a - C ．4441c b a -- D ．4441c b a + 二、填空题 1．()()22)4)(4(-= +-x x ． 2．=-+++)1)(1(b a b a （）2 -（）2 ． 3．=-+)68)(68(n m n m ______________. 4．=- - - )3 4 )(3 4 ( b a b a _______________ ． 5．=+-+))()((2 2b a b a b a _______________ ．6．=-+++)2)(2(y x y x _______________ ．

完全平方差公式练习

15.2 乘法公式同步练习检测 1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的，即 (a+b)(a-b)= ，这个公式叫做公式. 2.用平方差公式计算 (1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) (3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab) 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)(a-b)(a+b)=a 2-b 2；（） (2)(b+a)(a-b)=a 2-b 2；（） (3)(b+a)(-b+a)=a 2-b 2；（） (4)(b-a)(a+b)=a 2-b 2；（） (5)(a-b)(a-b)=a 2-b 2. （） 4.用多项式乘多项式法则计算：解：(1) (a+b)2 解(2) (a-b)2 =(a+b)(a+b) =(a-b)(a-b) = = = = 5.运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2 (4) ( 34x-23y)2 6.计算：（1）(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2) （2）)49)(23)(23(22b a b a b a ++- （3） (2x －1) (2x + 1)－2(x －2) (x + 2)

15.2 乘法公式同步练习检测 1.填空： (1)平方差公式(a+b)(a-b)= ； (2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= . 2.运用公式计算： (1) (2x-3)2 (2) (-2x+3y)(-2x-3y) (3) (1 2 m-3)( 1 2 m+3) (4) ( 1 3 x+6y)2 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)(a+b)2=a2+b2；（） (2)(a-b)2=a2-b2；（） (3)(a+b)2=(-a-b)2；（） (4)(a-b)2=(b-a)2. （） 4.去括号： (1)(a+b)-c= (2)-(a-b)+c= (3)a+(b-c)= (4)a-(b+c)= 5.填空： (1)a+b+c=( )+c； (2)a-b+c=( )+c； (3)-a+b-c=-( )-c； (4)-a-b+c=-( )+c； (5)a+b-c=a+( ) (6)a-b+c=a-( )； (7)a-b-c=a-( )； (8)a+b+c=a-( ). 6.运用乘法公式计算： (1) (a+2b-1)2 (2) (2x+y+z)(2x-y-z) （3）)1 3 2 )( 1 3 2(+ + - -y x y x（4）8、(a + b－c) (a－b + c)

平方差、完全平方公式专项练习题27624

公式变形一、基础题 1．（－2x+y）（－2x－y）=______． 2．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 3．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 4．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 5．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ．2009×2007－20082． 6．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 22007 200720082006 -?． 2 2007 200820061 ?+ ． 7．解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）． 8（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（?1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．完全平方式常见的变形有: ab b a b a2 ) (2 2 2- + = +ab b a b a2 ) (2 2 2+ - = + ab b a b a4 ) (2 2= - - +）（bc ac ab c b a c b a2 2 2 ) (2 2 2 2- - - + + = + + 1、已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值 2、已知0 13 6 4 2 2= + - + +y x y x，y x、都是有理数，求y x的值。3．已知2 ()16,4, a b ab +==求 22 3 a b + 与2 () a b -的值。练习：()5,3 a b ab -==求2 () a b +与22 3() a b +的值。 2．已知6,4 a b a b +=-=求ab与22 a b +的值。 3、已知22 4,4 a b a b +=+=求22 a b与2 () a b -的值。

最经典-平方差公式

用乘法公式计算一、填空题 1.(a+b)(a－b)=_____,公式的条件是_____，结论是_____. 2.(x+1)(x-1)=_____ 3.(x+4)(－x+4)=_____,(x+3y)(_____)=9y2－x2,(－m－n)(_____)=m2－n2 4.98×102=(_____)(_____)=()2－( )2=_____. 5.－(2x2+3y)(3y－2x2)=_____. 6.(a－b)(a+b)(a2+b2)=_____. 7.(__________4b)(_____+4b)=9a2－16b2,(_____－2x)(_____－2x)=4x2－25y2 8（xy+z）(z－xy)=_____ 9.(-3x+2y)(-3x-2y)=_____ 10.观察下列各式： (x－1)(x+1)=x2－1 (x－1)(x2+x+1)=x3－1 (x－1)(x3+x2+x+1)=x4－1 根据前面各式的规律可得 (x－1)(x n+x n－1+…+x+1)=_____. 二、选择题 11.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x+y)(－x－y) B.(2x+3y)(2x－3z) C.(－a－b)(a－b) D.(m－n)(n－m) 12.下列计算正确的是( )

A.(2x+3)(2x－3)=2x2－9 B.(x+4)(x－4)=x2－4 C.(5+x)(x－6)=x2－30 D.(－1+4b)(－1－4b)=1－16b2 13.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a－b)(－b+a) B.(xy+z)(xy－z) C.(－2a－b)(2a+b) D.(0.5x－y)(－y－0.5x) 14.(4x2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算 ( ) A.－4x2－5y B.－4x2+5y C.(4x2－5y)2 D.(4x+5y)2 15.a4+(1－a)(1+a)(1+a2)的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.2a4－1 D.1－2a4 16.下列各式运算结果是x2－25y2的是( ) A.(x+5y)(－x+5y) B.(－x－5y)(－x+5y) C.(x－y)(x+25y) D.(x－5y)(5y－x) 三、解答题 17.1.03×0.97 18.(－2x2+5)(－2x2－5) 19.a(a－5)－(a+6)(a－6) 20.9982－4 21. 3(2x+1)(2x－1)－2(3x+2)(2－3x) 22.(x+y)(x－y)－x(x+y)

平方差和完全平方公式经典例题

典例剖析专题一：平方差公式例1：计算下列各整式乘法。 ①位置变化(73)(37)x y y x +- ②符号变化(27)(27)m n m n --- ③数字变化98102? ④系数变化(4)(2)24n n m m +- 》 ⑤项数变化(32)(32)x y z x y z ++-+ ⑥公式变化2(2)(2)(4)m m m +-+ ◆变式拓展训练◆ … 【变式1】2244()()()()y x x y x y x y ---+++ 【变式2】22 (2)(4)33b b a a --- 【变式3】22222210099989721-+-++-…

、专题二：平方差公式的应用例2：计算 22004200420052003-?的值为多少， ◆变式拓展训练◆ 【变式1】22()()x y z x y z -+-+- 【变式2】2301(3021)(3021)?+?+ 【变式3】(25)(25)x y z x y z +-+-++ 【变式4】已知a 、b 为自然数，且40a b +=，（1）求22 a b +的最大值；（2）求ab 的最大值。（专题三：完全平方公式

例3：计算下列各整式乘法。 ①位置变化：22()()x y y x --+ ②符号变化：2 (32)a b -- & ③数字变化：2197 ④方向变化：2(32)a -+ ⑤项数变化：2(1)x y +- ⑥公式变化22 (23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++ \ ◆变式拓展训练◆ 【变式1】224,2a b a ab b +=++则的值为（）【变式2】已知221() 4.,()_____2 a b ab a b -==+=则【变式3】已知225.6,x y xy x y +=-=+则的值为（）【变式4】已知222(1)()32x x x y x y xy ---=-+-，求的值 / 专题四：完全平方公式的运用

平方差公式经典练习题

平方差公式经典练习题二、课后练习一、选择题 1．下列各式能用平方差公式计算的是：（?? ） A ．)23)(32(a b b a -- ? B ．)32)(32(b a b a --+- C ．)23)(32(a b b a +-- ? D ．)23)(32(b a b a +- 2．下列式子中，不成立的是：（?? ） A.22)())((z y x z y x z y x --=--+- B ．2 2)())((z y x z y x z y x --=---+ C ．22)())((y z x z y x z y x --=-+-- D ．22)())((z y x z y x z y x +-=++-- 3．( )4422916)43(x y y x -=-- ，括号内应填入下式中的（?? ）． A ．)43(2 2 y x - ? B ．2 2 34x y - ? C ．2 2 43y x -- ? D ．2 2 43y x + 4．对于任意整数n ，能整除代数式)2)(2()3)(3(-+--+n n n n 的整数是（?? ）． A ．4? B ．3? C ．5? D ．2 5．在))((b a y x b a y x ++--++ 的计算中，第一步正确的是（?? ）． A ．2 2 )()(a y b x --+ B ．))((2 2 2 2 b a y x -- C ．22)()(b y a x --+ D ．2 2)()(a y b x +-- 6．计算)1)(1)(1)(1(2 4-+++x x x x 的结果是（）． A ．18 +x ? B ．14 +x ? C ．8 )1(+x ?? D ．18 -x 7．)1)(1)(1(2 22++-+c b a abc abc 的结果是（）．

平方差公式和完全平方公式(讲义)

平方差公式和完全平方公式（讲义） ? 课前预习 1. （1）对于多项式(4)x -和多项式(4)x +，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________；（2）对于多项式(4)x --和多项式(4)x -，完全相同的项是________，只有符号不同的项是________；（3）对于多项式()a b c +-和多项式()a b c -+-，完全相同的项是_________，只有符号不同的项是__________． 2. 利用幂的运算法则证明22()()a b a b --=+．证明过程如下： []2 222()()(___)(____)__________ a b a b --=-+=?= 即22()()a b a b --=+ 请你参照上面的方法证明22()()a b a b -+=-． 3. 计算： ①()()a b a b +-； ②2()a b +； ③2()a b -． ? 知识点睛 1. 平方差公式：___________________________．

2. 完全平方公式：_________________________； _________________________．口诀：首平方、尾平方，二倍乘积放中央． ? 精讲精练 1. 填空： ①22(4)(4)( )( )x x -+=-=_________； ②22(32)(32)( )( )a b a b +-=-=__________； ③22()()( )( )m n m n ---=-=_____________； ④112244x y x y ????--- ??????? =_______-_______=___________； ⑤()() n n a b a b +-=_______-_______=__________； ⑥22(33)(33)( )( )a b a b +++-=-； ⑦22(33)(33) ( )( )a b a b -++-=-； ⑧(m +n )(m -n )(m 2+n 2)=( )(m 2+n 2)=( )2-( )2=_______； ⑨22(23)( )49x y x y +=-； ⑩22(3)( )9x y y x +=-． 2. 计算： ①(8)(8)ab ab +-； ②112233a b b a ????--- ???????； ③22(2)(2)(4)a b a b a b -++； ④10397?； ⑤2201520142016-?． 3. ①222(25)( )2( )( )( )x y +=++=_______________； ②22211( )2( )( )( )32m ??-=-+= ???___________；

平方差、完全平方公式(拔高类试题)

平方差公式专项练习题 A卷：基础题一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a）D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个B．2个C．3个D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____．三、计算题 9．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ． 10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．

B卷：提高题一、七彩题 1．（多题－思路题）计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：利用平方差公式计算： 22007 200720082006 -? ．（2）二变：利用平方差公式计算： 2 2007 200820061 ?+ ．二、知识交叉题 3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）．三、实际应用题 4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？四、经典中考题 5．（2007，泰安，3分）下列运算正确的是（） A．a3+a3=3a6B．（－a）3·（－a）5=－a8 C．（－2a2b）·4a=－24a6b3D．（－1 3 a－4b）（ 1 3 a－4b）=16b2－ 1 9 a2

平方差公式与完全平方公式练习题

平方差公式 1.计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y） 2.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？（1）)3 a (b b 3 - )( + a- 2 2(b 3 )( a b +（2）)3 2 a- 2 (3))3 2 3 )( 2 (b a -(4))3 a- b - - 2 3 )( + (b 2 a a+ b - (5)) c a (c b - )( - + a- b a +（6）) (c )( c b + - a+ b 3.计算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y） 4.简便计算：（1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5） 5.计算：（1）) )( 5 -（2）)2 5 2(x + x- - - 2 )( (x y x+ y 2

（3）)25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x （4）22)6()6(--+x x （5）100.5×99.5 （6）99×101×10001 6.证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方 7.求证：22)7()5(--+m m 一定是24的倍数完全平方公式（一） 1.应用完全平方公式计算：（1）（4m+n ）2 （2）（y-1 2 ）2 （3）（-a-b ）2 （4）（b-a ）2 2.简便计算：（1）1022 （2）992 （3）50.012 （4） 49.92 3.计算：（1）2)4(y x - （2）222)43(c ab b a -

完全平方公式、平方差公式经典习题

平方差公式一、选择题 1．下列各式能用平方差公式计算的是：（?? ） A ．)23)(32(a b b a -- B ．)32)(32(b a b a --+- C ．)23)(32(a b b a +-- ? D ．)23)(32(b a b a +- 2．下列式子中，不成立的是：（?? ） A.22)())((z y x z y x z y x --=--+- B ．2 2)())((z y x z y x z y x --=---+ C ．22)())((y z x z y x z y x --=-+-- D ．22)())((z y x z y x z y x +-=++-- 3．()4422916)43(x y y x -=-- ，括号内应填入下式中的（?? ）． A ．)43(22y x - ? B ．2234x y - ? C ．2243y x -- ? D ．2243y x + 4．对于任意整数n ，能整除代数式)2)(2()3)(3(-+--+n n n n 的整数是（?? ）． A ．4? B ．3? C ．5? D ．2 5．在))((b a y x b a y x ++--++ 的计算中，第一步正确的是（?? ）． A ．22)()(a y b x --+ B ．))((2222b a y x -- C ．22)()(b y a x --+ D ．22)()(a y b x +-- 6．计算)1)(1)(1)(1(24-+++x x x x 的结果是（）． A ．18+x ? B ．14+x ? C ．8)1(+x ?? D ．18-x 7．)1)(1)(1(222++-+c b a abc abc 的结果是（）． A ．1444-c b a ? B ．4441c b a -? C ．4441c b a --?? D ．4441c b a + 二、填空题 1．()()22)4)(4(-=+ -x x ． 2．=-+++)1)(1(b a b a （）2 -（）2 ． 3．=-+)68)(68(n m n m ______________. 4．=---)3 4)(34( b a b a _______________ ． 5．=+-+))()((22 b a b a b a _______________ ．6．=-+++)2)(2(y x y x _______________ ．

平方差公式完全平方公式

乘法的平方差公式平方差公式的推导两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，22 (a+b)(a-b)=a-b，平方差公式结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ①右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 (5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b (x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b (-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b 填空： 1、(2x-1)( )=4x2-1 2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2 第一种情况：直接运用公式 1.（a+3）(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b) 3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2) 5. (2x+1 2 )(2x- 1 2 ) 6. (a+2b)(a-2b) 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b) 第二种情况：运用公式使计算简便 1、1998×2002 2、498×502 3、999×1001 4、1.01×0.99 5、30.8×29.2 6、（100-1 3 ）×（99- 2 3 ） 7、（20- 1 9 ）×（19- 8 9 ）第三种情况：两次运用平方差公式 1、（a+b）(a-b)(a2+b2) 2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3、(x- 1 2 )(x2+ 1 4 )(x+ 1 2 )

平方差公式与完全平方差公式

平方差公式与完全平方公式平方差公式：2 2 ) )( (b a b a b a- = - + 说明：相乘的两个二项式中，a表示的是完全相同的项，+b和-b表示的是互为相反数的两项。所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。熟悉公式： (5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b (x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b (-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）（a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b 将下列各式转化成平方差形式（1） 36－x2 （2）a2－ 9 1b2（3） x2－16y2 （4） x2y2－z2（5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2（7） 25(a+b)2－4(a－b)2 例1：计算下列各题 1.（a+3）(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b) 3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2) 5. (a+2b)(a-2b) 6. (2x+1 2)(2x-1 2 )

例2：计算下列各题： 1、1998×2002 2、1.01×0.99 3.（20-1 9）×（19-8 9 ）例3：：计算下列各题 1、（a+b）(a-b)(a2+b2) 2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3、(x- 1 2)(x2+ 1 4 )(x+ 1 2 ) 例4：计算下列各题 1、（-2x-y）(2x-y) 2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a) 例5；计算下列各题 1.（a+2b+c）(a+2b-c) 2.(a+b-3)(a-b+3) 3.(m-n+p)(m-n-p)

平方差公式经典讲义汇编

平方差公式一、基本知识 1、公式推导计算：a b a -b （1）付号描述: 2 2 a b a - b 尸a - b （2）结构特征：左边是两个数的和与差的积，即含有相同项和互为相反数的项, 右边为这两个数的平方差。（3）文字描述：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差（符号相同项的平方减去符号相反项的平方） zvhn>Mvwvwu,wwi_fl>Au^T^wwi>MvwVHWWwi-n>Auwwfa^wwvwuA>n>n>vwhAuwwi_vw^^vuA_rLn^w^_FfaW^^ （4）温馨提示： 1、两个多项式相乘必须具备平方差公式左边的结构特征才能运用； 2、因式的位置关系：通常完全相同的项在前面，互为相反数的项在后面，前后位置不能乱，运算是求差； 3、因为公式中的字母a,b,可以是一个数，一个单项式或一个多项式，所以当这个字母表示一个负数、字母的积、多项式时，要准确无误地将它们用括号括起来, 以免发生系数写错、指数写错和意义不同的错误。二、典例分析 1、直接运用公式例1计算：3x 2 3x-2 变式: 1 y 2 y-2 - y-1 y 5

例2计算：1001 999 （构造平方差公式做数的简便运算） 99 101 1 变式：计算 1002 2、公式的逆用例3尹［" 3、公式的推广例4 计算：a b c a ? b - c 变式：计算-x - y ? c -x ? y - c / 1V 1V 1 例5计算:l3^-|---3^---9x2 变式：计算 1 1 9 逆用平方差公式做复杂的数的运算1 __ 1 _ _ 1 3 -2m2 3 -7 7-2m2

完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式一、学习目标 1.通过探索完全平方公式与平方差公式，培养自己观察、交流、归纳、猜测、验证能力。 2.会推导乘法公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。 3.试着体会数形结合的数学思想和方法。二、重点难点 1.重点：运用完全平方公式运算。 2.难点：公式的结构特征以及对公式中字母所表示广泛含义的理解和正确运用。第一课时（完全平方公式）一、本节目标： 1.理解并掌握完全平方公式。 2.会运用完全平方公式解决一些简单的习题。二、导学： 1.复习回顾：《1》多项式乘多项式的运算法则是怎样的？《2》 . 《3》计算下列各式，你能发现什么规律？ (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ；(2)(m+2)2= ； (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ； (4)(m-2)2= . 2.尝试归纳： 3.完全平方公式用语言叙述是： 4.动手操作：（小组之间深入探究。尤其是图2！） 1.请你根据小学里学过的知识，用图中的字母表示出图（1）中白色部分和黑色部分面积的和。 2.请你根据小学里学过的知识，用图中的字母表示出图（2）中黑色部分的面积。

5.自学教材P65例1 （1）、（2）两小题。三、自学检测 1.教材P65练习1. （1） (2)（3）（4） 2.练习第2题。 3. 应用完全平方公式计算：（1）（4m+n）2（2）（y- ）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 （5）1022（6）992 四、课堂检测：

1.教材P67习题8.3 1、8计算：五、拓展训练：（为综合运用做准备。） 1．填空题（1）（-3x+4y）2=_________．（2）x2-4xy+________=（x-2y）2．（3）a2+b2=（a+b）2+_________．（4）（a-2b）2 +（a+2b）2=_________．2．选择题（1）下列计算正确的是（） A．（m-1）2=m2-1 B．（x+1）（x+1）=x2+x+1 C．（x-y）2= x2-xy-y2 D．（x+y）（x-y）（x2-y2）=x4-y4（2）如果x2+mx+4是一个完全平方公式，那么m的值是（） A．4 B．-4 C．±4 D．±8 （3）将正方形的边长由acm增加6cm，则正方形的面积增加了（）A．36cm2 B．12acm2 C．（36+12a）cm2 D．以上都不对3．用乘法公式计算（1）（1/2 x －y）2 （2）（x2－2y2）2－（x2+2y2）2（3）29×31×（302+1）

《平方差公式》典型例题

《平方差公式》典型例题例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）)23)(32(m n n m --；（2）)54)(45(xz y z xy --+-；（3）))((c b a a c b ---+；（4）)83 1)(318(3223x y x xy x +-．（5）))((z y x z y x ++-+- 例2 计算：（1）)32)(32(y x y x -+；（2）)53)(53(b a b a ---；（3）))((2332x y y x ---；（4）)543)(534(z y x z x y +--+．例3 计算)3)(3(y xy xy y +---．例4 利用平方差公式计算：（1）1999×2001；（2）3 1393240?．例5 计算：(a -2b )(2a -b )-(2a -b )(b +2a ) 例6 计算：（1）)32)(311()32)(23(2)2)(2(y x y x x y y x x y y x -------+- （2）))()(()()(2222y x y x y x y x y x ++---+ 例7 计算：(x 2+4)(x -2)(x +2) 例8 填空 (1)(a+d)·( )=d 2-a 2 (2)(-xy-1)·( )=x 2y 2-1 例9 计算)12()12)(12)(12(242++++n K

参考答案例1 分析：两个多项式相乘，只有当这两个多项式各分为两部分之后，它们的一部分完全相同，而另一部分只有符号不同，才能够运用平方差公式．解：（1）两个二项式的两项分别是m 2，n 3-和m 2-，.3n 两部分的符号都不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（2）这两个二项式的两项分别是xy 5-，z 4和xz 5-，y 4，所含字母不相同，没有完全相同的项，所以不能用平方差公式．（3）b 与b -，a -与a ，c 与c -，没有完全相同的项，不能用平方差公式．（4）两个二项式中，38x 完全相同，但231xy -与y x 23 1-除去符号不同外，相同字母的指数不同，所以不能用平方差公式．（5）x 与x -，y 与y -，只有符号不同，z 完全相同，所以可以用平方差公式．可用平方差公式．例2 分析：在应用乘法公式进行实际问题的计算时，多项式的系数、指数、符号、相对位置不一定符合公式的标准形式，但只要对题目的结构特征进行认真观察，就可以发现这几个题目都可以应用平方差公式进行计算．解：（1）原式22)3()2(y x -= 2294y x -= （2）原式)53)](53([b a b a -+-= 2 22222925)259(] )5()3[(a b b a b a -=--=--= 或原式)35)(35(a b a b --+-= 22)3()5(a b --= 22925a b -= （3）原式))((3232y x y x --+-= 642 322)()(y x y x -=--=

完全平方差公式和平方差公式

平方差公式一、填空 1、分解因式：（1）29a -= ；（2）3 x x -= （3）2249a b -= ；（4）2422516a y b -+= （5）3375a a -= ；（6）3 9a b ab -= 2、分解因式：（1）44x y -= ；（2）2224m m n -= 3、分解因式：42(53)x x -+= 4、分解因式：225(21)n -+= 5、若1004,2a b a b +=-=，则代数式22a b -的值是 6、分解因式：4481x y -= 7、分解因式：2199a -+= 8、式子851-能被20~30之间的整数整除. 9、已知x 2－y 2=－1 ， x+y= 2 1，则x －y= . 二、下列分解因式是否正确：（1）－x 2－y 2=(x+y)(x －y) （2）9－25a 2=(3+25a)(3+25b) （3）－4a 2+9b 2=(－2a+3b)(－2a －3b) 完全平方差公式一、分解因式 (1)a 2-4a+4；（2）x 2-6x+9.

二、对下列多项式进行因式分解： 1m 3、25x2-10x+1 1、x2-8x+16 2、1-m+2 4 4、-x2+12xy-36y2 5、-x2-4y2+4xy 6、x3-4x2+4x 7、x2y-4xy+4y 8、-x2-y2+2xy 9、16(a+b)2-24(a+b)+9 10、(a+b)2-4ab 11、9x3y-12x2y2+4xy3 12、a2-b2-2b-1 13、x2y-4xy+4y 14、-x2-y2+2xy 15、16(a+b)2-24(a+b)+9 16、(a+b)2-4ab 17、9x3y-12x2y2+4xy3 18、a2-b2-2b-1 19、x 2+12x+36; 20、－2xy－x 2－y 2; 21、 a 2+2a+1;

平方差和完全平方公式教案(经典)

平方差公式、完全平方公式、整式的化简【平方差公式】 ()()b a b a b a ——+=22（b a ,可以表示任何数或者代数式，善于观察）例：（1）()()77—x x + （2）()()1111———m m + （3）( )()t s t s 310310+— （4）()()2 2212x x —+ 变式：下列计算对吗？如果不对，请改正（1）()()22422a b b a a b ——=+ （2）()()2 2n m n m n m —————= 例：计算（1）108112× （2）7 1117610× （3）5.495.50× （4）2567956805678 —× （5）()()b a b a 3232+— （6）()()()() 112121212842+++++ 变式：当41=x 时，求())2 12(21234—）（—x x x x ++ 例：甲、乙两家超市3月份的销售额均为a 万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长 X ％，而乙超市的销售额平均每月减少x ％（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少（2）若a=150，x=2，则5月份甲超市的销售额比乙超市多多少变式：有两块底面呈正方形的长方体金块，它们的高都为h ，较大一块的底面边长比0.5大acm ，较小一块的底面边长比0.5小acm ，已知金块的密度为19.33 /cm g ,问两金块的质量相差多少？请表示出来

【完全平方公式】 ()2222b ab a b a ++=+（b a ,可以表示任何数或者代数式，善于观察） ()2222b ab a b a +=——（b a ,可以表示任何数或者代数式，善于观察）例：计算（1）()22b a + （2）()23y x +— （3）()2 32y x —— （4）()2 c b a ++ 例：一块方巾铺在正方形的茶几上，四周都刚好垂下15cm,如果设方巾的边长为a,,怎样求茶几的面积？请用a 的多项式表示变式：将一张边长为a 的正方形纸板的四角各剪去一个边长为x 的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒，求纸盒的容积，结果用a ，x 的多项式表示。例：已知4 5,3= =+xy y x ，你能求出22y x +、()2y x — 、22y x —吗？【利用公式对整式化简】整式的化简应遵循：先乘方、再乘除、最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式。总而言之，怎么简单怎么做，计算顺序不能错例：口算：（1）298 = （2）2 51= （3）101×99 = （4）2515121+×— =

平方差、完全平方公式专项练习题

平方差公式专项练习题一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9； ④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 5．计算：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2． 6．利用平方差公式计算：2009×2007－20082．（1）一变：22007 200720082006 -?．（2）二变： 2 2007 200820061 ?+． 7．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4 …… （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+……+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ② 2+22+23+……+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+……+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．