2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第7章 第4节 直线、平面平行的判定及性质
AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，点E、F分别在BC、
AD上，EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使平面 ABEF⊥平面EFDC，设AD中点为P.
第七章 立体几何
(1)当 E 为 BC 中点时，求证：CP∥平面 ABEF； (2)设 BE＝x， 问当 x 为何值时， 三棱锥 A－CDF 的体积有最大值？ 并求出这个最大值． 解析 1 (1)证明：取 AF 的中点 Q，连接 QE、QP，则 QP 綊 DF， 2
第七章 立体几何
[关键要点点拨]
第七章 立体几何
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维” 到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，
再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰
好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条 件而定，决不可过于“模式化”． 3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线， 平行四边形及相似中有关平行性质的应用．
第七章 立体几何
[规律方法] 常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理； (2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
第七章 立体几何
[跟踪训练]
2．如图，平面四边形ABCD的4个顶点都在球O的表面上，
AB为球O的直径，P为球面上一点，且PO⊥平面ABCD， BC＝CD＝DA＝2，点M为PA的中点．
第七章 立体几何
(1)证明：平面 PBC∥平面 ODM； (2)求点 A 到平面 PBC 的距离． AB为圆O直径 解析 (1)证明： BC＝CD＝DA
⇒CD＝OB 且 AB∥CD，
第七章 立体几何
则 CD 平行且等于 BO，即四边形 OBCD 为平行四边形，所以 BC ∥OD. AO＝BO OM∥PB OD∥平面PBC ⇒ ⇒ AM＝PM BC∥OD OM∥平面PBC
第七章 立体几何
平面与平面平行的判定与性质
[典题导入] 如图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面是正 方形， E， F， G 分别是棱 B1B， D1D， DA 的中点． 求证： 平面 AD1E ∥平面 BGF. [听课记录] ∵E，F 分别是 B1B 和 D1D 的中点， ∴D1F 綊 BE， ∴BED1F 是平行四边形，∴D1E∥BF.
第七章 立体几何
因为 BD⊂平面 ABCD，所以 AM⊥BD， 因为 AC∩AM＝A，所以 BD⊥平面 MAC. 又 MC⊂平面 MAC，所以 BD⊥MC.
第七章 立体几何
(2)当 E 为 AB 的中点时，有 AP∥平面 NEC. 证明如下：取 NC 的中点 S，连接 PS，SE. 1 因为 PS∥DC∥AE，PS＝AE＝ DC， 2 所以四边形 APSE 是平行四边形，所以 AP∥SE.
第七章 立体几何
第四节
直线、平面平行的判定及性 质
第七章 立体几何
[主干知识梳理]
一、直线与平面平行
1．判定定理
第七章 立体几何
2.性质定理
第七章 立体几何
二、平面与平面平行 1．判定定理
第七章 立体几何
2.两平面平行的性质定理
第七章 立体几何
[基础自测自评] 1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条
件的是
( A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 )
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
第七章 立体几何
D [由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于 另一个平面时，两平面才能平行，
故D正确．]
D [对于选项A，m、n可以平行、相交、异面；对于选项B，
m与n相交时，才是真命题；对于选项C，m与β可以平行、垂
直，m也可以包含于β，故选D.]
第七章 立体几何
3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点 A，B，C 到平面 α 的 距离相等，那么直线 l 与平面 α 的位置关系是 ( A．l∥α B．l⊥α C．l 与 α 相交且不垂直 )
又 SE⊂平面 NEC，AP⊄平面 NEC，所以 AP∥平面 NEC.
第七章 立体几何
【创新探究】 证明过程推理不严密而失分 (2012·高考山东卷)如图，
几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD
为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥ 平面BEC.
第七章 立体几何
[听课记录]
(1)证明：连接 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点．
又 D 是 AB 中点，连接 DF，则 BC1∥DF.
因为 DF⊂平面 A1CD，
BC1⊄平面 A1CD， 所以 BC1∥平面 A1CD.
第七章 立体几何
(2)因为 ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1⊥CD. 由已知 AC＝CB，D 为 AB 的中点，所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB＝A，于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2得 ∠ACB＝90°，CD＝ 2，A1D＝ 6，DE＝ 3，A1E＝3， 故 A1D2＋DE2＝A1E2，即 DE⊥A1D. 1 1 所以 VC－A1DE＝ × × 6× 3× 2＝1. 3 2
⇒平面 ODM∥平面 PBC.
第七章 立体几何
(2)由图可知 VP－ABC＝VA－PBC， 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h， 1 1 1 1 则有 × ×2×2 3×2＝ × ×2× 7×h， 3 2 3 2 4 21 4 21 则 h＝ ，即点 A 到平面 PBC 的距离为 . 7 7
第七章 立体几何
第七章 立体几何
2．(2014· 宁波十校联考)若有直线 m、n 和平面 α、β，下列四个命 题中，正确的是 A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊂α ，n⊂α ，m∥β，n∥β，则 α∥β ( )
C．若 α⊥β，m⊂α ，则 m⊥β D．若 α⊥β，m⊥β，m⊄α ，则 m∥α
第七章 立体几何
第七章 立体几何
[规律方法]
立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，
对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一 般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后 在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定 假设，若得到矛盾就否定假设．
第七章 立体几何
[跟踪训练]
又 DF＝4，EC＝2，且 DF∥EC， 所以 QP 綊 EC，
第七章 立体几何
即四边形 PQEC 为平行四边形， 所以 CP∥EQ，
又 EQ⊂平面 ABEF，CP⊄平面 ABEF，
故 CP∥平面 ABEF.
第七章 体几何
(2)因为平面 ABEF⊥平面 EFDC， 平面 ABEF∩平面 EFDC＝EF，又 AF⊥EF， 所以 AF⊥平面 EFDC. 由已知 BE＝x， 所以 AF＝x(x≤4)，FD＝6－x， 1 1 1 故 VA－CDF＝ × ×2×(6－x)x＝ (6x－x2) 3 2 3 1 ＝ [－(x－3)2＋9] 3 1 ＝－ (x－3)2＋3. 3 所以，当 x＝3 时，VA－CDF 有最大值，最大值为 3.
∵KF⊂平面 DFK，BC⊄平面 DFK，∴BC∥平面 DFK.
第七章 立体几何
(2)证明：因为 F 为 AE 的中点，DA＝DE＝1，所以 DF⊥AE. 因为平面 ADE⊥平面 ABCE，所以 DF⊥平面 ABCE.
因为 BE⊂平面 ABCE，所以 DF⊥BE.
第七章 立体几何
又因为在折起前的图形中 E 为 CD 的中点，AB＝2，BC＝1，所以 在折起后的图形中 AE＝BE＝ 2， 从而 AE2＋BE2＝4＝AB2， 所以 AE⊥BE. 因为 AE∩DF＝F， 所以 BE⊥平面 ADE， 因为 BE⊂平面 BDE， 所以平面 BDE⊥平面 ADE.
第七章 立体几何
直线与平面平行的判定与性质
[典题导入] (2013· 新课标全国Ⅱ高考)如图， 直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点． (1)证明：BC1∥平面 A1CD；
(2)设 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2，求三棱锥 C－A1DE 的体积．
第七章 立体几何
3．(2014·淄博一模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是
菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，P为DN 的中点． (1)求证：BD⊥MC； (2)在线段AB上是否存在点E，使得AP∥平面NEC？若存
在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理
由．
第七章 立体几何
解析：(1)证明：连接 AC，因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 AC⊥BD. 又 ADNM 是矩形，平面 ADNM⊥平面 ABCD， 所以 AM⊥平面 ABCD，
第七章 立体几何
[规律方法] 利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平
行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作
出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线．
第七章 立体几何
[跟踪训练] 1．(2014·潍坊一模)如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，
立体几何中的探索性问题 [典题导入] (2014·青岛二模)如图，在长方形ABCD中，AB＝2， BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点．现在沿AE将三角形 ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两问：
第七章 立体几何
(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在， 请证明你的结论；若不存在，请说明理由；
(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求证：平面BDE⊥平面ADE.
创新大课堂高三人教版数学理科一轮复习课件7.3空间点、直线、平面间的位置关系
图示
符号表 公共点个 示 数
l⊂α 无数个
l∩α＝A
一个
直线l与平 面α 平行
l∥α
0个
两个平面 平行
α∥β
0个
• 四、平面与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表 示
α∩β＝l
公共点个数
两个平面 相交
个(这些 公共点均在交 线l上)
无数
•
• • •
• [基础自测自评] 1．(教材习题改编)已知a，b是异面直线， 直线c平行于直线a，那么c与b • ( ) A．异面 B．相交 C．不可能平行 D．不可 能相交 C [由已知直线c与b可能为异面直线也 可能为相交直线，但不可能为平行直线， 若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛 盾．]
• 5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－ A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱 的条数为________． • 解析 如图，与AB和CC1都相交的棱有 BC； • 与AB相交且与CC1平行的棱有AA1， BB1；与 • AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1， 故符 • 合条件的棱共有5条．
相等或互补
．
4．异面直线所成的角(或夹角) (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角(或直角) 线 a 与 b 所成的角．
π (2)范围：0， 2 ．
叫做异面直
• 三、直线与平面的位置关系 位置关 系 直线l在 平面α内 直线l与 平面α相 交
平面的基本性质及应用
• • • •
• [典题导入] 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的 中点，F为A1A的中点， 求证：CE，D1F，DA三线共点．
【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第7篇 第4讲 直线、平面平行的判定与性质-推荐
法二
取 A′B′的中点 P，连接 MP，NP，AB′，如图，而 M，N 分别为
AB′与 B′C′的中点， 所以 MP∥AA′，PN∥A′C′，
所以 MP∥平面 A′ACC′，PN∥平面 A′ACC′.
(1)证明：MN∥平面 A′ACC′；
(2)求三棱锥 A′－MNC 的体积．
(1)证明 法一 连接 AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三 棱柱 ABC－A′B′C′为直三棱柱， 所以 M 为 AB′中点． 又因为 N 为 B′C′的中点，所以 MN∥AC′. 又 MN⊄平面 A′ACC′，AC′⊂平面 A′ACC′， 因此 MN∥平面 A′ACC′.
其中真命题的个数为( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
解析 (1)可以构造一草图来表示位置关系，经验证，当 b 与 α 相交或 b⊂α 或
b∥α 时，均满足直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α 的情况，故选 D.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
第7章 §7.5 空间直线、平面的垂直--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第七章§7.5 空间直线、平面的垂直考试要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义任意一条如果直线l与平面α内的直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的垂直，那么该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b 两条相交直线__________m∩n＝P__________m⊂αn⊂αl⊥ml⊥n__________a⊥αb⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°.(2)范围：_______.射影90°3.二面角(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角；两个半平面(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：[0，π].垂直于棱4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的，那么这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面垂直⇒l⊥α________a⊂αa⊥β垂线交线______________________α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β1.三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )(4)若直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，则直线a ∥直线b .( )√×××1.(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，则下列命题中正确的是A.平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B.平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C.平面α内的任一条直线必垂直于平面βD.过平面α内任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β√√A项，如图①，a⊂α，b⊂β，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错；B项，如图②，a⊂α，作b⊥l，则b⊥α，则β内所有与b平行的直线都与a垂直，故B正确；C项，如图③，a⊂α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错；D项，如图④，由两平面垂直的性质定理可知D正确.2.“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的必要不充分___________条件.3.在三棱锥P －ABC 中，点P 在平面ABC 上的射影为点O .(1)若P A ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的____心；如图1，连接OA ，OB ，OC ，OP ，在Rt △POA ，Rt △POB 和Rt △POC 中，P A ＝PC ＝PB ，∴OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心.外图1(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的____心.垂如图2，延长AO ，BO ，CO 分别交BC ，AC ，AB 于点H ，D ，G .∵PC ⊥P A ，PB ⊥PC ，P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ，∴PC ⊥平面P AB ，又AB ⊂平面P AB ，∴PC ⊥AB ，∵AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ，PO ，PC ⊂平面PGC ，∴AB ⊥平面PGC ，又CG ⊂平面PGC ，∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 上的高.同理可证BD ，AH 分别为△ABC 边AC ，BC 上的高，即O 为△ABC 的垂心.图2T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型例1 (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB ＝BC ＝2，E ，F 分别为AC和CC 1的中点，BF ⊥A 1B 1.(1)求三棱锥F －EBC 的体积；题型一直线与平面垂直的判定与性质如图，取BC的中点为M，连接EM，由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，AB∥A1B1，由BF⊥A1B1得EM⊥BF，又EM⊥CF，BF∩CF＝F，所以EM⊥平面BCF，(2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.连接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，所以ED在平面EMB1A1内.在正方形CC1B1B中，由于F，M分别是CC1，BC的中点，所以由平面几何知识可得BF⊥B1M，又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，又DE⊂平面EMB1A1，所以BF⊥DE.教师备选如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD ＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.∵AB⊥平面P AD，AE⊂平面P AD，∴AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD.∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E是PC的中点，证明：(1)CD⊥AE；∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD且P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.例2 (2021·全国乙卷)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB ⊥AM .(1)证明：平面P AM ⊥平面PBD ；题型二平面与平面垂直的判定与性质∵PD ⊥平面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AM .∵PB ⊥AM ，且PB ∩PD ＝P ，PB ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，∴AM ⊥平面PBD .又AM ⊂平面P AM ，∴平面P AM ⊥平面PBD .(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.由题意知AB＝DC＝1.∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AM⊥BD，由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，则四棱锥P－ABCD的体积(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面P AB⊥平面P AC；教师备选∵D为圆锥顶点，O为底面圆心，∴OD⊥平面ABC，∵P在DO上，OA＝OB＝OC，∴P A＝PB＝PC，∵△ABC是圆内接正三角形，∴AC＝BC，△P AC≌△PBC，∴∠APC＝∠BPC＝90°，即PB⊥PC，P A⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB，PC⊂平面P AC，∴平面P AB⊥平面P AC.设圆锥的母线为l，底面半径为r，OD2＝l2－r2＝2，解得r＝1，在等腰直角三角形APC中，在Rt△P AO中，(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.跟踪训练2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，P A＝PD，E为AD的中点.(1)求证：PE⊥BC；因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)求证：平面P AB⊥平面PCD.因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.又PD⊂平面P AD，所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，且P A∩AB＝A，P A，AB⊂平面P AB，所以PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.例3 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面为正方形的长方体，∠AD 1A 1＝60°，AD 1＝4，点P 是AD 1上的动点.题型三垂直关系的综合应用(1)试判断不论点P 在AD 1上的任何位置，是否都有平面BP A ⊥平面AA 1D 1D，并证明你的结论；∵BA⊥平面AA 1D 1D ，BA ⊂平面BP A ，∴平面BP A ⊥平面AA 1D 1D ，∴与P 点位置无关.的角的余弦值；过点P作PE⊥A1D1，垂足为E，连接B1E(如图)，则PE∥AA1，∴∠B1PE或其补角是异面直线AA1与B1P所成的角.D1中，∵∠AD1A1＝60°，在Rt△AA∴∠A1AD1＝30°，∴在Rt△B1PE中，(3)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值.由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1，∴∠B1P A1是PB1与平面AA1D1所成的角，当A1P最小时，tan∠B1P A1最大，这时A1P⊥AD1，如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形.侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点.(1)求证：AF∥平面SEC；教师备选。
【创新方案】2015高考数学(理)一轮复习精选课件第7章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质
高频考点全通关——线面平行的判定及性质
闯关二：典题针对讲解——以多面体为载体，考查与
线面平行有关的探索性问题
[例 2] (2014·日照模拟)如图所示，四边形 ABCD 为矩形，
DA⊥平面 ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面 ACE 于点 F， 且点 F 在线段 CE 上． (1)求证：AE⊥BE； (2)设点 M 在线段 AB 上，且满足 AM＝2MB，试在线段 CE 上确定一点 N，使得 MN∥平面 ADE.
高频考点全通关——线面平行的判定及性质
闯关二：典题针对讲解——以多面体为载体，证明线面平行问题
(2)证明：如图所示，取 PB 中点 N，连接 MN，CN. 在△PAB 中，∵M 是 PA 中点， 1 ∴MN∥AB 且 MN＝ AB＝3. 2 ∵又 CD∥AB，CD＝3， ∴MN∥CD，MN＝CD， ∴四边形 MNCD 为平行四边形， ∴DM∥CN. ∵DM⊄平面 PBC，CN⊂平面 PBC， ∴DM∥平面 PBC. 1 (3)VDPBC＝VPDBC＝ S△DBC·PD， 3 又∵S△DBC＝6，PD＝4 3，∴VDPBC＝8 3.
闯关二：典题针对讲解——以多面体为载体，证明线面平行问题
[例 1](2013·福建高考)如图，在四棱锥 PABCD 中，
PD⊥平面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5， DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°. (1)当正视方向与向量 AD―→的方向相同时， 画出四棱锥 PABCD 的正视图(要求标出尺寸， 并写出演算过程)； (2)若 M 为 PA 的中点，求证：DM∥平面 PBC； (3)求三棱锥 DPBC 的体积．
第四节
考 纲 展 示
直线、平面平行的 判定及其性质
【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第7章 7.3 空间直线、平面的平行
(1)在AC上求作点P,使 PE∥平面ABF,请写出作法并说明理由;
(2)求三棱锥A-CDE的高.
解 (1)取BC的中点G,连接DG,交AC于点P,连接PE,此时P为所求作的点,如
图所示.
理由如下:∵BC=2AD,∴BG=AD.
又BC∥AD,∴四边形BGDA为平行四边形,
∴DG∥AB,即DP∥AB.
9.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交
直线,那么这两个平面平行.
10.垂直于同一条直线的两个平面平行.
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.
( × )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直
面内.
3.过两条异面直线中的一条可以作唯一一个平面与另一条直线平行.
4.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
5.夹在两个平行平面间的与两个平面都相交的平行线段相等.
6.经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行.
7.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
8.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
同理连接B1Q,并延长,与CD也相交于点M.
1
由重心的性质可得 = 3 ,
1
1
所以 = ,所以 PQ∥A1B1.
1
1
=
又因为AB∥A1B1,所以PQ∥AB.
因为PQ⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以PQ∥平面ABC.
1
.
3
解题心得1.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系 理优秀PPT
考点探究
解
析
：
(1)
由
题
意
可
设
椭
圆
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a
＞
b
＞
0)
，
则
aac22＝＋2231b，2＝1.故ab＝＝21，. 所以，椭圆方程为x42＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，
故可设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
考点探究
由于直线 OP，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得 0＜m2＜2 且 m2≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离， 则 S△OPQ＝12d|PQ|＝21|x1－x2||m|＝ m2（2－m2）， 所以 S△OPQ 的取值范围为(0，1)． 点评：直线与圆锥曲线相交，一般是将直线方程代入到圆锥曲线 方程中，消去 x(或 y)转化为关于 y(或 x)的二次函数，再利用判别式、 根与系数的关系以及题目的其他条件解决问题．
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
考点3 圆锥曲线的弦长问题
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
第十二节 直线与圆锥曲 线的位置关系
高考考点总 2 复直习线数与学圆（锥理曲科线1）相.了交问解题 圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世
考点探究
④k≠0 时，Δ<0 时，解得 k∈(－∞，－1)∪12，＋∞，直线与 抛物线无公共点．
点评：方程 ky2－4y－8k＋4＝0 是形式上的二次方程，k＝0 时 有一组解不能漏掉，而且只有 k≠0 时，才有Δ＝0，Δ>0 可言．
高考数学一轮专项复习ppt课件-直线方程(通用版)
高考一轮总复习•数学
第17页
1．求直线倾斜角的取值范围的注意点 直线的倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率 求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论． 借助正切函数的图象． 注意：当斜率不存在时，则倾斜角为π2.
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2．求直线斜率的方法 (1)定义法(k＝tan α)． (2)公式法k＝yx22－－yx11. (3)导数法(曲线 y＝f(x)在 x0 处的切线的斜率为 k＝f′(x0)).
A．1
B．4
C．1 或 3
D．1 或 4
解析：由题意，得－m2－－4m＝1，解得 m＝1.故选 A.
解析 答案
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3．若过点 A(2,4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为(－1,1)，则 m＝( ) A．－1 B．1 C．5 D．3
解析：方法一：由题意可知m1－－24＝－1，∴m＝5.故选 C. 方法二：∵A→B＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即 m＝5.故选 C.
切线问题可利用导数的几何意义：设切点 P(x0，ln x0)，则 k＝f′(x0)．
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：(2)方法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x.设切点为 P(x0，ln x0)，则
切线的斜率 k＝f′(x0)＝x10＝lnx0x0，
∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝x10＝1e. 方法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线 f(x)＝ln x 及其经过原点的切线，如图
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1．判断下列结论是否正确． (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)若一条直线的倾斜角为 α，则此直线的斜率为 tan α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( ) (4)截距可以为负值．( √ )
2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第7章-第5节-直线、平面垂直的判定与性质
第23页，共57页。
第24页，共57页。
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证法二：如图，取 PD 的中点 F，连接 AF，NF. ∵F，N 分别为 PD，PC 的中点， ∴FN 綊21CD. 又∵CD 綊 AB， ∴FN 綊21AB，即 FN 綊 AM，
第32页，共57页。
[规律方法] 证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．
(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．
(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
第33页，共57页。
(4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于 另一个平面
D．A1C1
D [易知 A1C1⊥平面 BB1D1D.
又 B1O⊂平面 BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.]
第9页，共57页。
3．(2014·陕西检测)若设平面α、平面β相交于直线m，直线a
在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是
“a⊥b”的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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5．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是 正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有 ________． ①PA⊥AD； ②平面ABC⊥平面PBC； ③直线BC∥平面PAE；④直线PD与 平面ABC所成角为30°.
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解析 由 PA⊥平面 ABC， ∴PA⊥AD， 故①正确； ②中两平面不垂直； ③中 AD 与平面 PAE 相交，BC∥AD，故不正确； ④中 PD 与平面 ABC 所成角为 45°. 答案 ①
【创新设计】高三数学一轮复习 第7单元 7
1. 直线与平面平行的判定定理是由线线平行推出线面平行；而直线与平面平 行的性质定理则是由线面平行推出线线平行，要注意直线与平面平行性质 定理和判定定理的交替使用．
2．由直线与平面平行，可在该平面内找到直线的平行线，可通过作辅助平 面完成，而直线与平面平行的性质定理则是作辅助平面的重要理论依据．
3．证明直线与平面平行可利用空间向量完成，例如可证直线的方向向量与 平面的法向量垂直等．
Rt△ANH≌Rt△HNM ， ∴ MN ＝ AN. 在 △ ANF 中 ， AN2 ＝ AF2 ＋ FN2
2AF·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos 45°，AN＝
，
∴MN＝
.
(3)由(2)可知：MN＝
，
∴当b＝ a时，MN的长度最短．此时可求出α＝β＝60°.
面面平行需要由线面平行判定，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行 问题． 【例3】 如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a.
解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H，
则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC.
∴
.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF，
∴
.
∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC.
∴MN∥平面BEC.
证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG，
【例2】 正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC； (2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长； (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长 度最短时，计算α和β的度数．
2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：选修4-1 第2节 直线与圆的位置关系
选修4-1 几何证明选讲
2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等 的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理 涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的 应用.
选修4-1 几何证明选讲
圆周角、弦切角和圆的切线问题 [典题导入]
(2012·广东高考)如图所示，圆O的半径为1，A，B， C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线 与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
2
9 所以 PD＝ ，PB＝5. 5 在直角三角形 APB 中，根据勾股定理得 AB＝4. 9 答案 4 5
选修4-1 几何证明选讲
[关键要点点拨]
1．与圆有关的辅助线的五种作法： (1)有弦，作弦心距． (2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线．
选修4-1 几何证明选讲
[跟踪训练] 1．(1)
已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，直线 PO 交圆 O 于 B，C 两点，AC＝2，∠PAB＝120° ，则圆 O 的面积为________．
选修4-1 几何证明选讲
解析 ∵PA 为圆 O 的切线，A 为切点，∴∠PAO＝90° . 又∵∠PAB＝120° ，∴∠OAB＝30° . 又∵OA＝OB，∴∠OBA＝30° ， ∴∠AOC＝∠OAB＋∠OBA＝60° . 又∵OA＝OC，∴△OAC 为等边三角形， ∴圆 O 的半径 OA＝AC＝2，∴圆 O 的面积为 4π. 答案 4π
选修4-1 几何证明选讲
【创新探究】 几何证明问题
(2012·课标全国高考)如图，
D，E分别为△ABC边AB， AC的中点，直线DE交△ABC 的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC；