概率论与数理统计课件--数学期望E(X)
f ( x)
( x )2 2 2
1 2
( x )2 2 2
e
数学期望
E( X )
t
dx
t2 2
x
1 ( t ) 2 e
dt
指数分布的期望
分布密度 数学期望
e f ( x) 0
若广义积分 X 的数学期望
xf ( x )dx 绝对收敛, 则称此积分为
即
E( X )
x f ( x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1 f ( x) 1 x 2 0
解 E( X )
1
x 1 x 1
求数学期望。
设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2), (0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)
E(Y2),E(XY).
答案： 2
5 E ( X Y ) ; E ( X 2 ) 3; 2 4 E (Y ) ; 3
2
面积 6
0
3 E ( XY ) 2
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk
k 1
连续型
概率密度为f ( x)
E (Y ) E[ g( X )]
g( x ) f ( x )dx
例
已知 X 服从 0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
E (Y ) E sin X sin x f x dx
xf X ( x )dx yfY ( y )dy
0 3
2 x 2 xdx 3 y 13 y dy 4 6
1
（３）另解
E( X )
3
3
xf ( x , y )dxdy
1
1
0
1
dx
1
1 x xydy 2
1
无需求 边缘分布密度函数
i i i j
E (Y ) y j P{Y y j } y j p. j y j pij
j j j i
(X,Y)为二维连续型随机变量
E( X )
x f X ( x)dx
x f ( x, y)dxdy,
E (Y )
k
数学期望的计算
例 已知随机变量X的分布律： X P 4 5 6 1/4
1/4
1/2
求数学期望E（X）
解
1 1 1 E( X ) 4 5 6 5 4 2 4
E ( X ) p1 x1 p2 x2 p3 x3
连续型随机变量的数学期望E(X)
连续型随机变量
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则
因为
1 , 0 x 2 ； f x 2 0, 其它。
所以
E s
随机变量的函数的数学期望
定理 2：二维情形 设 Z g( X ,Y ) 是随机变量 X， Y的函数, 离散型
P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,
f ( x , y )dxdy 1
k ydy
1
1 xdx k 4 2k 1 2
3 1
3
(2) x [0,1] 时
1 所以 k 2
f X ( x)
1 f ( x, y )dy 1 xydy 2 x 2
x [0,1] 其它
y fY ( y)dy
y f ( x, y)dxdy.
例 设(X,Y)的联合密度为
kxy f ( x, y) 0
(1) 求k
x [0,1], y [1, 3] 其它
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解
得
(1)由
3
1 0
分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X
我们需要计算X的数学期望，然后与10 比较
先求出化验次数X的分布律。 化验次数X的可能取值为1，11
(X=1)=“10人都是阴性”
注意求 X 期望值的 步骤！
P{ X 1} (1 0.1) 0.9
10
10
（X=11)=“至少1人阳性”
P{ X 11} 1 0.9
P{ X k } C p (1 p)
k n k
n k
二项分布可表示为 n 个０－１分布的和 X
X
i 1
n
i
0, A在第i次试验中不发生 其中 X i 1，A在第i次试验中发生
则
E ( X ) E ( X i ) E ( X i ) np
i 1 i 1 n n
x
x0 x0
E( X ) xf ( x)dx xe
0
x
dx
xe 1
x
|
0
0
e
x
dx
1
e
x
|
0
数学期望在医学上的一个应用
An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每 10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果 结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对 10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病 率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化 验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？
求E（XY） 解
e ( y 5) , ( y 5) f2 ( y) 其它 0,
E[ XY )]
1
xyf ( x, y)dxdy
5
xyf1 ( x) f 2 ( y)dxdy
1
dx xy 2 x e ( y 5) dy
3
0-1分布的数学期望
分布律 X服从0-1分布，其概率分布为 P(X=1)=p P(X=0)=1- p 数学期望
X
P
0
1-p
1
p
E ( X ) 0 (1 p) 1 p p
若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p
二项分布的数学期望
分布律 数学期望 X服从二项分布，其概率分布为
0 5
2 x dx
2 0
1
5
ye
( y 5)
dy
4
数学期望的性质
. . .
E (C ) C
E (CX ) CE ( X )
C 为常数
E( X Y ) E( X ) E(Y )
当随机变量 X , Y 相互独立时
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean)
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E ( X , Y ) ( E ( X ), E (Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E ( X ) xi P{X xi } xi pi. xi pij
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
i j
连续型
联合概率密度为 f ( x , y )
E[ g ( X , Y )]
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
例
设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
2 x, (0 x 1) f1 ( x) 0, 其它
xf ( x)dx
1
x 0 dx x
1
1
1 x2
dx
1
x 0 dx
0
数学期望的意义
E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值
x
在E(X)附近摆动
x E( X )
If
X ~ P( ) , then
E( X )
均匀分布的期望
分布密度
1 f ( x) b a 0 a xb 其它
数学期望
E( X )
xf ( x)dx
b a
x ab dx ba 2
正态分布的期望
分布密度
X~ N
(μ，σ2）
10
10
E ( X ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 7.513 10
10
结论： 分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
问题的进一步讨论 1、概率p对是否分组的影响 若p=0.2，则
E ( X ) 0.810 1 (1 0.810 ) 11 9.9262
当p>0.2057时，E(X)>10 2、概率p对每组人数n的影响 当p=0.1时，为使
概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
概率论§4.1 数学期望
0x
(X ,Y )的概率密度为
2 f (x, y) 0
(x, y) A 其它
x y 1 0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
1
E(X )
xf (x, y)dxdy dx x 2dy
1 1x
3
E(-3X+2Y)=
0
dx
0
2(3x 2 y)dy 1
0 0.15 0.15 1 0.45 0.25
解: E(XY)=010.15+020.15 +110.45+120.25
=0.95 21
例3 设(X, Y)在区域A上服从均匀分布，其中
A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。
y
解： 由题设可知
bx
ab
a
b
dx a
=
2
12
(2) 指数分布
X的概率密度为
ex ,
f (x)
x0
0,
x0
( 0)
由定义可知 X 的数学期望为
E( X ) xexdx
0
利用定积分公式
=
1
0
x n e ax dx
n! a n 1
13
(3) 正态分布 X～( ,2)
且E(X)=0.1, E(X2)=0.9。 求对应于可能值x1, x2, x3的概率p1,p2,p3。
解: E(X)=(1)p1+0p2+1p3=0.1
X2 0 1
E(X2)=0p2+1(p1+p3)=0.9
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征
北京理工大学《概率论与数理统计》分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在某些实际问题中，不需要全面考查随机变量的变化，只需知道它的随机变量的某些数字特征也就够了.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业例如：年平均赢利水平研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及平均重量考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面的例子看到，平均盈利水平、平均粒数、平均环数、数据的波动大小等，都是与随机变量有关的某个数值，能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好就是某些数字特征，因此，只要知道了这些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的平均取值——数学期望4.2随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差4.3 描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数4.1 数学期望一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三常见分布的数学期望四随机变量函数的数学期望五数学期望的性质六、数学期望的应用一离散型随机变量的数学期望引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k 2 13 15 10 20 30频率n k/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均命中环数这是以频率为权的加权平均命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k2 13 15 10 20 30频率n k /n 2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/900211321531042053090×+×+×+×+×+×=21315102030012345909090909090=×+×+×+×+×+×50k k n k n =⋅∑ 3.37.==射中靶的总环数射击次数平均射中环数频率随机波动随机波动“平均射中环数”的稳定值?=由频率的稳定性知：当n 很大时：频率n k /n 稳定于概率p k 稳定于50k k n k n =⋅∑50k k k p =⋅∑50k k n k n =⋅∑“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1 设X 是离散型随机变量，它的概率分布是:P {X =x k }=p k , k =1,2,…如果绝对收敛,则称它为X 的数学期望或均值.记为E (X ), 即如果发散，则称X 的数学期望不存在.1k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑1||k k k x p∞=∑注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.注1：随机变量X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛1k k k xp ∞=<+∞∑11111(1)1ln 2234212n n−+−++−→− 1111111(2)1ln 22436852−−+−−+→注2.E (X )是一个实数，而非随机变量，它是一种以概率为权的加权平均，与一般的算术平均值不同，它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.当随机变量X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等.假设X 1P80 85 90 1/4 1/4 1/21()800.25850.25+900.586.25E X =×+××=X 2P80 85 901/3 1/3 1/32()85.E X =注3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望.乙射手甲射手例1.甲、乙两个射击手，他们射击的分布律如下表所示，问：甲和乙谁的技术更好?击中环数8 9 10概率0.3 0.1 0.6击中环数8 9 10概率0.2 0.5 0.3单从分布列看不出好坏，解：设甲，乙两个射击手击中的环数分别为X 1，X 2E (X 1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3（环）E (X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1（环）例2.1654年职业赌徒德.梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部100法郎的赌本.当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平？解：假如比赛继续进行下去，直到结束为止. 则需要2局.这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.设：X、Y分别表示甲和乙得到的赌金数. 则分布律分别为：X0 100 P1/4 3/4Y0 100 P3/4 1/4这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.E(X)=0×1/4+100×3/4=75E(Y)=0×3/4+100×1/4=25即甲、乙应该按照3：1的比例分配全部的赌本.例3.确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否做此项投资?解：设X 为此项投资的利润，则存入银行的利息：故应该选择该项投资.(注：投资有风险，投资须谨慎)X 8 −2P0.3 0.7此项投资的平均利润为：E (X )=8×0.3+(−2)×0.7=1(万元)10×0.05=0.5(万元)设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x ).问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.将X 离散化.二、连续型随机变量的数学期望在数轴上取等分点：…x −2<x −1<x 0<x 1<x 2<…x k +1−x k =∆x ，k =0,±1,….，并设x k 都是f (x )的连续点.则小区间[x i ,x i+1)阴影面积近似为f (x i )∆x i1()i x x f x dx+=∫()i f x x≈∆P {x i <X ≤x i +1}定义一个离散型随机变量X *如下：其数学期望存在，且绝对收敛时，P {X *=x i }=P {x i ≤X <x i +1} ≈f (x i )∆x对于X *，当当分点越来越密，即∆x →0时，可以认为X *=x i 当且仅当x i ≤X <x i +1(*)i i ix P X x =∑(*){*}i i iE X x P X x ==∑()i i ix f x x ≈∆∑0=lim ()i i x ix f x x ∆→∆∑则其分布律为E (X *) →E (X ) *0=lim x EX EX ∆→即有：+()xf x dx∞−∞=∫定义2：设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )，如果绝对收敛，则称的值为X 的数学期望，如果积分发散，则称随机变量X 的数学期望不存在.+()xf x dx ∞−∞∫+||()x f x dx∞−∞∫即+()()E X xf x dx∞−∞=∫+()xf x dx ∞−∞∫记为E (X ).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.三、常见分布的数学期望1.0−1分布设随机变量X服从参数为p的0−1分布，求EX.解：X的分布律为X0 1P1−p p则：E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}=P{X=1}=p概率是数学期望的特例(第五章)2.二项分布X 的分布律为P {X =k }=C n k p k (1−p )n−k ,k =0,1,…,n .解：设随机变量X ~b (n ,p )，求EX .0{}nk EX kP X k ==∑0(1)n k k n k n k kC p p −=−∑1!(1)!()!n k n kk n k p p k n k −=−−∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nk n k k n np p p k n k −−−−=−−−−∑11(1)1(1)n l k l ln ln l np Cp p −=−−−−=−∑1[(1)]n np p p −=+−np=抛掷一枚均匀硬币100次，能期望得到多少次正面3.泊松分布则解：X 的分布律为设随机变量X ~π(λ)，求EX .{},0,1,2,!kP X k e k k λλ−=== 00(){}!k k k e E X kP X k k k λλ−∞∞=====∑∑11(1)!k k ek λλλ−∞−==−∑1!ii k i e i λλλ∞=−−=∑=e e λλλλ−=1!k k e k k λλ−∞==∑泊松分布的参数是λ4.几何分布解：X 的分布律为P {X =k }=q k −1p ,k =1,2,….p+q =1设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，求EX .111(){}k k k E X kP Xk k pq∞∞−=====⋅∑∑11k k p k q∞−=⋅∑1=()kk p q ∞=′∑1=()k k p q ∞=′∑()1q p q′=−211(1)p q p=−重复掷一颗骰子平均掷多少次才能第一次出现6点设X ~U (a , b )，求E (X ).解：X 的概率密度为：X 的数学期望为：数学期望位于区间(a ,b )的中点.5.均匀分布1()0a xb f x b a<<=− 其它()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞−∞+===−∫∫设X 服从指数分布，求E (X ).分部积分法6.指数分布当概率密度表示为：对应的数学期望为θ.,0()0,x e x f x x λλ− >=≤ 0xxedx λλ+∞−=∫()()E X xf x dx +∞−∞=∫1λ=1,0()0,0xe xf x x θθ− > = ≤解：X 的概率密度为：设X ~N (μ,σ2)，求E (X ).解：X 的概率密度为被积函数为奇函数，故此项积分为0.7.正态分布22()21()2x f x eµσπσ−−=()()E X xf x dx +∞−∞=∫22()212x xedxµσπσ−+∞−−∞=∫221()2x t t t edtµσσµπ−=+∞−−∞+∫ 2222122t t tedt edt σµππ+∞+∞−−−∞−∞+∫∫µ=N (0,1)的密度函数积分为1.注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy 分布的密度函数为但发散故其数学期望不存在.21(),(1)f x x x π=−∞<<+∞+2||||()(1)x x f x dx dx x π+∞+∞−∞−∞=+∫∫四随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例4.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X (以年计)，规定：X ≤1,一台付款1500元；1<X ≤2，一台付款2000元2<X ≤3，一台付款2500元；X >3，一台付款3000元设X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费.解：设该商店一台电器的收费为Y .要求E (Y )X 的分布函数为：1101,()0,0x e x F x x − −>=≤设该商店一台电器的收费为YX ≤1，一台付款1500元1 <X ≤2，一台付款2000元2 <X ≤3，一台付款2500元X >3，一台付款3000元1101,0()0,0x ex F x x − −>=≤P {Y =1500}=P {X ≤1}=F (1)=1−e −0.1=0.0952P {Y =2000}=P {1<X ≤2}=F (2)−F (1)=0.0861P {Y =2500}=P {2<X ≤3}=F (3)−F (2)=0.0779P {Y =3000}=P {X >3}=1−F (3)=0.7408设X 服从指数分布，且平均寿命为10年.Y 的分布律为所以该商店一台电器的平均收费，即Y 的数学期望为Y 1500 2000 2500 3000P0.0952 0.0861 0.0779 0.7408()15000.095220000.086125000.0779 30000.74082732.15E Y =×+×+×+×=使用上述方法必须先求出g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求E[g(X)]呢？例5.设离散型随机变量X 的概率分布如下表所示,求:Z=X 2的期望.X−11P214141E (Z )= g (0)×0.5+g (-1)×0.25+g (1)×0.25解:=0.5注:这里的.)(2x x g =(1)当X 为离散型随机变量时，分布律为P {X = x k }=p k ，k =1,2,⋯(2)当X 为连续型随机变量时，概率密度函数为f (x ).定理：设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X )(g 是连续函数)若级数绝对收敛，则有若积分绝对收敛，则有1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑()[()]()()E Y E g X g x f x dx+∞==∫1()k k k g x p ∞=∑()()g x f x dx+∞−∞∫该公式的重要性在于：当求E [g (X )]时，不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X 1(),()[()]()(),∞=+∞−∞== ∑∫离散型连续型例6.设随机变量X~b(n, p)，Y=e aX，求E(Y).解：因为X的分布律为所以有{}(1), 0,1,...,k k n knP X k C p p k n−==−= ()E Y=(1)nak k k n knke C p p−=−∑()(1)nk a k n knkC e p p−=−∑[(1)]a npe p=+−={}nakke P X k==∑例7.设X ~U [0,π]，Y=sinX ，求E (Y ).解：因为X 的概率密度为所以有1,0()0,x f x ππ≤≤ =其他()sin ()E Y xf x dx +∞−∞=∫01sin x dx ππ⋅∫2π=定理：设Z 是随机变量X 和Y 的函数，Z =g (X,Y )(g 是连续函数),Z 是一维随机变量(1)若(X,Y )是二维离散型随机变量，概率分布为(2)若(X,Y )是二维连续型随机变量，概率密度为f (x, y )，则有这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛11()[(,)](,)ijijj i E Z E g X Y g x y p∞∞====∑∑()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则有几个常用的公式()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫(,)EX xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫(,)EY yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E Y y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E X x f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫例8.设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为求E (X ),E (Y ),E (X +Y ),E (XY ).解：21(13),02,01,(,)40,x y x y f x y +<<<< =其它()(,)E X xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4x xdx y dy =⋅+∫∫43=()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4xdx y y dy +∫∫58=数学期望的性质注意：X ,Y 相互独立()()(,)E X Y x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞+=+∫∫(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞+∫∫∫∫()()E X E Y +45473824=+=()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫2120011(13)22x xdx y y dy=⋅⋅+∫∫455386=⋅=()()E X E Y ⋅设X =(X 1,…, X n )为离散型随机向量，概率分布为≥ 1nnj j j j n P X =x ,,x =p ,j ,,j .11{()}1Z = g (X 1,…, X n ),若级数绝对收敛，则.<∞∑ nnnj j j j j j g x ,,x p 111()=∑ nnnn j j j jj j E Z =E g X ,,X g x ,,x p 1111()(())()设X =(X 1,…, X n )为连续型随机向量，联合密度函数为 n f x x 1(,,)Z = g (X 1,…, X n ),若积分绝对收敛，则+∞+∞−∞−∞∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d n E Z E g X X 1()=((,,))+∞+∞−∞−∞=∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d五数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C 4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立推广(诸X i 相互独立时)推广11[]()nni i i i i i E C X C E X ===∑∑11[]()n ni i i i E X E X ===∏∏性质4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立.反例XY p ij -1 0 1-10181818181818181810p • j838382p i•838382X Y P-1 0 1828284EX EY ==0;E XY ()=0;=E XY EX EY ()但P X Y 1{=-1,=-1}=8≠=P X P Y 23{=-1}{=-1}8××=30+2103-3+5=92X XY Y X XY Y E(3+2-+5)=3E()+2E()-E()+E(5)性质2和3×××EX EY =310+2-3+5性质4例9.设X ～N (10,4)，Y ～U [1,5]，且X 与Y 相互独立，求E (3X ＋2XY －Y ＋5).解：由已知，有E (X )＝10, E (Y )＝3.例10: 设X 1 , X 2…,X n 相互独立且都服从B (1, p ),求Z = X 1 + X 2+…+X n 的数学期望E (Z ).解:注: 由二项分布的可加性易知Z = X 1 + X 2+…+X n ～B (n, p ).EZ = E (X 1 + X 2+…+X n )= E (X 1 ) +E ( X 2)+…+E (X n )= p +p +…+p =n p求二项分布的数学期望的又一种方法.例11.（超几何分布的数学期望）设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件.今从中任取n (假定n ≤N −M )件，记这n 件中所含的次品数为X ，求E (X ).则有所以解: 引入X ＝X 1+X 2+…+X n且易知抽签模型，概率与试验次数无关例10和例11：将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.1,,1,2,,0,i i X i n i ==第件是次品第件不是次品iMP X N{1}==1()ni i EX E X ==∑ni i P X 1{1}==∑1ni M N ==∑nM N =为普查某种疾病，N 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验N 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例13.六、数学期望的应用解：只需计算方案(2)所需化验次数X 的期望.。
概率论与数理统计_第四章_随机变量的数字特征_第一节_数学期望
三、随机变量函数的数学期望
E (Y
)
E[g(
X
)]
g( xk ) pk ,
k 1
X离散型
g(x)
f
( x)dx,
X连续型
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
三、随机变量函数的数学期望
故甲射手的技术比较好.
一、离散型随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
练习1 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把 能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某 一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门 时试开次数的数学期望.
随机变量的数字特征
第一节 数学期望
在第二章中，我们讨论了随机变量及其分布， 如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概 率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确 定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随 机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特 征就够了.
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字 特征是重要的 .
E(X) x f (x)dx
如果积分 x f (x)dx 发散，则称X的数学期
望不存在。
二、连续型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
二、连续型随机变量的数学期望
【例8】 商店的销售策略
某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后
付款的方式 ,记使用寿命为 X (以年计 ), 规定 : X 1,一台付款 1500元;1 X 2,一台付款 2000元; 2 X 3,一台付款 2500元; X 3,一台付款 3000元.
随机变量数学期望.ppt
方法二 ξ1的概率分布列为
1 1.2 1.18 1.17
P
1
1
1
6
2
3
E(1)
1.2
1 6
1.18
1 2
1.17
1 3
1.18.
设Ai表示事件“第i次调整,价格下降”(i=1,2),则
P( 0) P( A1)P( A2 ) (1 p)2 ,
P( 1) P( A1)P( A2 ) P( A1)P( A2 ) 2 p(1 p), P( 2) P( A1)P( A2 ) p2.
解析 ξ 的可能取值为0,1,2,
P(
0)
C52 C72
10 , P(
21
1)
C15C12 C72
10 , 21
P(
2)
C
2 2
C72
1, 21
E( ) 10 0 10 1 1 2 4 .
21 21 21 7
三、解答题 10.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ 为此时已 摸球的次数,求: (1)随机变量ξ 的概率分布列； (2)随机变量ξ 的数学期望与方差.
1
P
5 10
10
(2)随机变量ξ 的数学期望
E( ) 2 3 3 3 4 1 5 ;
5 10 10 2 随机变量ξ 的方差
D( ) (2 5 )2 3 (3 5 )2 3 (4 5 )2 1
25
2 10
概率论与数理统计 数学期望
解:设 1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
则
n
E(Xi) p
X Xi
i 1
n
n
E( X ) E(X i ) p np
i 1
i 1
作业： 第137页，习题4-1，
A组：1；2；3；5；6
例4.1.5 设X~E()，求E(X2)
解：X的密度函数为
ex ,
f(x) 0,
x 0, x 0,
则E(X2 )
x
2
f (x)dx
2
2
例4.1.6 设X~U(a，b)，求E(X2)
解：X的密度函数为
f
(x)
b
1
a
0
a x b, 其 它,
2
三.随机变量函数的期望
定理1
若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)的期望 E(g(X))为
E(Y ) E[g( X )] g(xk )pk . k 1
例 4.1.3 设 X 的分布律为
X Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求 E( X 2 1) 。
1 0 1 2 0.3 0.4 0.1 0.2
k!
E(X )
k
k
e
e
k 1
;
k0 k!
k1 (k 1)!
4. 均匀分布U(a, b)
X
~
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0, 其他,
b
E(X )
概率论与数理统计 5.1 数学期望
(k 0,常数),求W的数学期望.
解：由上面的公式
E(W )
g(v) f
(v)dv
a
g(v)
1
dv
a
kv 2
1
dv
1
ka 2
0
a
0
a
3
概率论
上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数 的情况。
定理： 设Z=g(X,Y) 是随机向量(X,Y)的二元函数，EZ存在，
(1) 若(X,Y)为d.r.v., P( X xi ,Y y j ) pij ,
(X,Y ) ~
1
f
(
x,
y)
a
2
,
0 x a,0 y a
0,
else
aa
E X Y
x y f ( x, y)dxdy
x y 1 dxdy a
00
x y a
O
a
1
x y
a2
[(
x y
y
x)dxdy
y x
(x
y)dxdy]
1 a2
a
[
0
a
dx
x
(
y
x)dy
a 0
EZ E[g( X ,Y )] g( xi , y j ) pij
ij
(2) 若(X,Y)为c.r.v., ( X ,Y ) ~ f ( x, y),
EZ E[g(X ,Y )]
g( x, y) f ( x, y)dydx
若令g(X,Y)=X, 同样地，
EX
xf ( x, y)dydx
1
dx a b
ba
2
a
即数学期望位于区间(a , b)的中点.
概率论与数理统计-第4章-第2讲-随机变量函数的数学期望
02 典型例题
应用 设市场上对某种产品每年需求量为X 吨 ，其中X ~ U [200,400],
每出售一吨可赚300元 , 售不出去，则每吨需保管费100元，问应
该组织多少货源, 才能使平均利润最大？
f
X
(
x)
1 200
,
0,
200 x 400, 其它
解 设组织n吨货源, 利润为 Y，
Y
因此只要掌握了期望的计算，所有的数字特征计算都解决了！
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
01 随机变量函数的数学期望
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1, 2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i 1 E(Y ) g(xi ) pi i 1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
若广义积分 g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
例 设风速V是一个随机变量，它服从（0，a）上的均匀分布，而飞 机某部位受到的压力F是风速V 的函数：
F kV 2
（常数k > 0），求F 的数学期望.
01 随机变量函数的数学期望
如何计算随机变量函数的数学期望?
一种方法是: 因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它 的分布可以由X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就 可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
xf (x, y)dxdy
0
0
dx
2xdy 1
1 x1
3
E(3X 2Y )
(3x 2 y) f (x, y)dxdy
0
0
概率论与数理统计 南京大学 3 第三章随机变量的数字特征 (3.1.1) 期望的定义
X
~
0 q
1 p
,
p
q
1, 0
p
1
则E(X ) p
例2 (二项分布)设随机变量X服从二项分布 X~B(n, p) 其中q=1-Pp(，X=k则)=Cnkpkqn-k, k=0,1,…,n
n
EX k Cnk pk qnk np k 0
例3 (泊松分布)设随机变量X服从泊松分布 X~P(λ) ， P(X=k)=λk /k!e-λ ,k=0,1,2,… 则
几种常见连续型随机变量的数学期望
例4 (均匀分布)设随机变量X服从均匀分布 X~U[a,b],由定义可知 E(X)=(a+b)/2
例5 (正态分布)设随机变量X~N(μ,σ2)，由定义可 知
EX x
1
e
(x )2 2 2dx( Nhomakorabeat
x)
2
( t)
期望的定义
2018/12/15
一、离散型随机变量的数学期望
例：某人参加一抽奖活动，中大奖的概率为0.01， 奖金为10000元；中小奖的概率为0.1，奖金为100
元。若用X表示所得奖金，则X为随机变量，其分布 列为
X
0
0.89
100 0.1
10000
0.01
则奖金的平均值为 0×0.89+100×0.1+10000×0.01=110元。
EX k k e k0 k !
参数λ的取值就是随机变量X发生的平均次数。
二、连续型随机变量的数学期望
定义：设X为具有密度函数p(x)的连续型随 机变量,
概率论与数理统计-第4章-第2讲-随机变量函数的数学期望
因此只要掌握了期望的计算，所有的数字特征计算都解决了！
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！主讲教 |例 设风速V是一个随机变量，它服从（0，a）上的均匀分布，而飞 机某部位受到的压力F是风速V 的函数：
F kV 2
（常数k > 0），求F 的数学期望.
01 随机变量函数的数学期望
如何计算随机变量函数的数学期望?
一种方法是: 因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它 的分布可以由X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就 可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
02 典型例题
例 设风速V是一个随机变量，它服从（0，a）上的均匀分布，而飞 机某部位受到的压力F 是风速V 的函数：
F kV 2
（常数k > 0），求F的数学期望.
E(Y ) g(x) f (x)dx
解
V
的概率密度为
f
(v)
1 a
,
0va
0， 其它
E(F ) E(kV 2 ) kv2 f (v)dv a kv2 1 dv 1 ka2
g(X )
3n,
n
X
,
3n,
n X,
3X (n X ), n X 4X n, n X
02 典型例题
E(Y ) g(x) fX (x)dx
1[
n
(4x n)dx
400
3ndx]
200 200
n
Y
g(X
)
3n,
n X,
4X n, n X
1 (2n2 1400n 8104 ) 200
g(xi , y j ) pij
ij
设连续 r.v. (X ,Y )的联合密度为 f (x ,y)