2014年数学中考二轮专题复习讲义：规律探索型问题
2014年数学中考二轮专题复习讲义：规律探索型问题【考纲要求】
规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
【命题趋势】
规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答。
题型分类、深度剖析：
考点一、数字类规律探索问题
例 1 (2013 年浙江湖州)如图将续正整数按以下规律排列，则位于第 7 行第 7 列的数x 是__________．
解：第一行的第一列与第二列差2，第二列与第三列差3，第三列与第四列差4，…，第六列与第七列差7；第二行的第一列与第二列差 3，第二列与第三列差 4，第三列与第四列差5，…，第五列与第六列差7；第三行的第一列与第二列差 4，第二列与第三列差 5，第三
列与第四列差 6，第四列与第五列差7；…第七行的第一列与第二列差8，是30，第二列与第三列差9，是39，第三列与第四列差10，是49，第四列与第五列差11，是60；第五列与第六列差12，是72，第六列与第七列差13，是85.
另解，供参考．观察对角线上数字的规律，1,5,13,25，…，后一项比前一项依次多 4,8,12，…，∴x ＝25＋16＋20＋24＝85，即 x ＝85.答案：85
归纳：本题考查了数字的变化，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是得到每一行中前一列与后一列的关系.
考点二、图形类规律探索问题
例2 (2013·衢州)如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A ＝60°.顺次连接菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是_______；四边形A 2 013B 2 013C 2 013D 2 013的周长是_______．
解：连接AC ，BD ，根据菱形和矩形及三角形的中位线定理可得，矩形A 1B 1C 1D 1的周长为2(5＋53)，菱形A 2B 2C 2D 2的周长为20，矩形A 3B 3C 3D 3的周长为5＋53，菱形A 4B 4C 4D 4的周长
为10，矩形A 5B 5C 5D 5的周长为5＋532
，菱形A 4B 4C 4D 4的周长为5，……所以四边形A 2 013B 2 013C 2 013D 2 013的周长即为第1 007个矩形的周长为25＋5321 006.故填20，5＋532
. 归纳：图形中既有矩形又有菱形，序号为奇数的是矩形，序号为偶数的是菱形；后面每一个小矩形的面积都是前一个矩形面积的一半，后面每一个小菱形的面积都是前一个菱形面积的一半；由四边形的序号先确定是矩形还是菱形，再根据图形面积与序号之间的关系求出相应的面积.
跟踪练习：
1、(2013·日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m ，n 的关系是( )
A ．M ＝mn
B ．M ＝n (m ＋1)
C ．M ＝mn ＋1
D ．M ＝m (n ＋1)
2、(2013 ·兰州)如下图 ，在下面直角坐标系中，已知点 A (－3,0)，B (0,4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2013的直角顶点的坐标为_______．
3、如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n （n 是正整数）个图案中由 3n+1 个基础图形组成．
4、观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）
A ．第502个正方形的左下角
B ．第502个正方形的右下角
C ．第503个正方形的左上角
D ．第503个正方形的右下角
5、 如图，已知△ABC 的周长为1，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（ ）
A ．91
B ．101
C ．9)21(
D ．10
)21
( 6、探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．。
2014中考数学 第四部分 专题二 规律探究题
题的关键．
是85.
另解，供参考．观察对角线上数字的规律，1,5,13,25，…， 后一项比前一项依次多 4,8,12，…， ∴x＝25＋16＋20＋24＝85，即 x＝85. 答案：85 名师点评：本题考查了数字的变化，是一道找规律的题目， 要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现
的规律解决问题．解决本题的关键是得到每一行中前一列与后
∵2013÷3＝671，∴△2013 的直角顶点是第671个循环组的 最后一个三角形的直角顶点．
∵671×12＝8052， ∴△2013 的直角顶点的坐标为(8052,0)．
答案：(8052,0)
名师点评：本题是对点的坐标变化规律的考查，难度不大， 仔细观察图形，得到每 3 个三角形为一个循环组依次循环是解
一列的关系.
几何图形中的猜想 例2：(2013 年甘肃兰州)如图 Z2-2，在下面直角坐标系中， 已知点 A(－3,0)，B(0,4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到
△1，△2，△3，△4，…，则△2013的直角顶点的坐标为_______．
图 Z2-2
解析：∵点 A(－3,0)，B(0,4)，∴AB＝ 32 42 ＝5. 由图可知，每3 个三角形为 1 个循环组依次循环，每个循 环组前进的长度为探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图
形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，
得出结论，进而加以验证的数学探索题． 其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综 合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生 思维的深刻性和创造性．
数字或代数式的猜想 例 1：(2013 年浙江湖州)如图Z2-1将连续正整数按以下规 律排列，则位于第 7 行第 7 列的数 x 是__________．
中考数学二轮专题复习：探索规律
35．猜想、探索规律型一、选择题1．如图，小陈从O 点出发，前进5米后向右转20O ， 再前进5米后又向右转20O ，……，这样一直走下去， 他第一次回到出发点O 时一共走了（ ）A ．60米B ．100米C ．90米D ．120米 【答案】C.2．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。
A 、12+nB 、12-nC 、n 2D 、2+n【关键词】探索规律型【答案】A3．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数【答案】A4．（对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++ 的值是A ．20092008 B ．20082009C ．20102009D ．20092010【答案】DO 20o20o5．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A ．22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n【答案】D ．6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+31 【答案】C二、填空题1．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。
中考数学专题复习— 探索规律问题 完整版 后附真题剖析
解:(1)观察图 1 可知:中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加 2 块.故答案 为 2. (2)观察图形 2 可知:中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等 腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有 1 个等腰直角三角形,即 6=3+2×1+1=4+2×1;图 3 和图 1 中间正方形右 上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有与图 2 一样的规律,图 3:8=3+2×2+1=4+2×2;归纳得:4+2n(即 2n+4); ∴若一条这样的人行道一共有 n(n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直
中考数学专题复习
许多事物都存在着一定的规律性，只 要我们善于观察、勤于思考，就可以发现 它们，并利用它们来丰富我们的生活。
●解题思路
一、数字规律
例1
请你按照如下的数字规律,分别
写出第n个数字：（n为正整数）
① ②③ ④ ⑤
n
（1）2,4,6,8,10, … , _2_n__;
（2）1,3,5,7,9, … , 2n-1
一、选择题
1.平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定 3 条直线,
若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线,则 n 的值为 ( C )
A.5
B.6 C.7 D.8
2.(2021 山东临沂)实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,
减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某
•即时演练•
1.(2020 天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已
2014年中考数学专题十规律探索与开放性问题
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(2)由 (1)知 AB1＝6＋5， AB2＝ 6＋ 2×5， 依此类推， AB3＝ 6＋ 3× 5，…， ABn＝ 6＋5n，令 ABn＝ 6＋5n＝ 56，所以 n＝10. 规律方法 图形类规律探究题目是中考常见的题目之一 .一般 地，图形个数一般都与序号相联系，可观察前面给出 的简单的图形，找出序号与图形个数之间的联系，将 这个规律用代数式表示，然后运用得到的规律求解.
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(2013· 湖 州 ) 将 连续的正整 数按以下规 律排 列，则位于第 7 行、第七列的数 x 是 85.
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【思路点拨】先根据第 1 行的第一列与第二列相 差 2，往后分别相差 3,4,5,6,7，第 2 行的第一列与第二 列相差 3，往后分别相差 4,5,6,7,8，第 3 行的第一列与 第二列相差 4，往后分别相差 5,6,7,8,9，由此得出第 7 行 的 第一 列与 第 二列 分别 相差 8， 往 后分 别相 差 9,10,11,12,13，从而求出答案． 解析： 第 1 行的第一列与第 2 列相差 2， 第二列与 第三列相差 3，第三列与第四列相差 4，…，第六列与 第七列相差 7；
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【思路点拨】(1)可以根据全等三角形的不同的判 定方法选择添加不同的条件；(2)根据全等三角形的判 定方法证明即可． 解： (2)选取∠ C＝∠ E 为条件．理由如下： ∠ A＝∠ A， 在△ ABC 和△ ADE 中，∠ C＝∠ E， AB＝ AD， ∴△ ABC≌△ ADE(AAS)．
2014年全国中考数学真题解析--38.规律探索(54页)
故选： C．
点评： 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出 ∠ DA2A 1，∠ EA 3A2 及∠ FA4A3 的度数，找出规律是解答此题的关键．
2．（ 2014?重庆 A , 第 11 题 4 分）如图，下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组 成，其中，第（ 1）个图形中面积为 1 的正方形有 2 个，第（ 2）个图形中面积为 1 的正方形 有 5 个，第（ 3）个图形中面积为 1 的正方形有 9 个， …，按此规律．则第（ 6）个图形中面
交直线 y=2x 于点 B1、B 2、B3、…、Bn、Bn+1，连接 A 1B2、B 1A 2、B 2A 3、…、A nBn+1、BnA n+1，
依次相交于点 P1、P2、 P3、 …、 Pn．△ A 1B1P1、△ A 2B2P2、△ A nB nPn 的面积依次记为 S1、
S2、 S3、 …、Sn，则 Sn 为（
点 A2014 在 y 轴的正半轴上， 所以点 A2014 的纵坐标为 3×（ ）
2013． 解答： 解：∵∠ A2OC2=30°，OA1=OC2=3，
∴ OA2= OC2=3× ；
∵ OA2=OC3=3× ， ∴ OA3= OC3=3×（ ） 2； ∵ OA3=OC4=3×（ ）2， ∴ OA4= OC4=3×（ ） 3，
2. （ 2014?山东潍坊， 第 12 题 3 分）如图，已知正方形 ABCD ，顶点 A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规 定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折， 再向左平移 1 个单位 ”为一次变换． 如此这样， 连续经过
2014 次变换后，正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变为 ( )
2013 ÷4=503…1， ∴ 2013 是第 504 个循环组的第 2 个数，
2014年中考数学二轮复习系列(四)操作探究专题
2014年中考数学二轮复习系列（四）操作探究专题一、中考要求操作型探究题以几何图形为背景，通过平移、旋转构造出新图形，从图形的形状和位置的变化中去探求函数、方程、全等、相似、解直角三角形等知识间的内在联系.这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和思维能力。
二、解题策略学生通过观察图形在变化过程中所隐含的规律，猜想所得结论，并进行证明及相关计算，是解决此类问题的基本策略.解决的过程要综合到用到数形结合、函数与方程、特殊与一般等数学思想，通过分类讨论、相似与全等、函数建模等方法实现问题的解决.图形在运动变化中，是否保留或具备某种性质，这往往是通过操作、探索、猜想、归纳、证明才能体现.从而凸显了在中考中注重“方法和过程”的新理念.学生只有灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．三、考点分析操作型探究题为学生提供了猜想与探究的空间，展示了学生学习的思维过程，使学生在探究的过程中体验了问题的提出、结论的探索与应用.不但获得知识，而且培养了自信的科学精神、创新意识和实践能力，改变了以往单纯的依赖模仿与记忆的学习方式，有助于学生形成“动手实践、自主探究与合作交流”新的学习方式，有助于学生个性发展.此类试题也必将推动中考试题的进一步发展.1、图形折叠型动手操作题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
例1（2013河南15）如图，矩形ABCD 中，3,4AB BC ==,点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当△'CEB 为直角三角形时，BE 的长为【解析】①当'90EB C ∠=︒时，由题可知：'90ABE AB E ∠=∠=︒,即：,',A B C 在同一直线上，'B 落在对角线AC 上，此时，设BE x =，则'B E x =，4,''2CE x B C AC AB =-=-=，在'Rt B EC 中，解得 32x =②当'90B CE ∠=︒时，即'B 落在CD 上，'3AB AB ==，此时在'Rt ADB 中， 斜边'AB 大于直角边AD ，因此这种情况不成立。
中考数学第二轮复习专题2探索规律
探索规律一、数列的规律（一）数列的基本规律例1 观察以下数列，写出下一项与第n项。
.☆①1，3，5，7，，…，。
☆②2，4，6，8，，…，。
☆③1，4，7，10，，…，。
☆④2，8，32，128，，…，。
☆⑤1，4，9，16，，…，。
⑥2，5，10，17，，…，。
☆⑦2，4，8，16，，…，。
⑧1，3，7，15，，…，。
☆⑨2，6，12，20，，…，。
⑩1，3，6，10，，…，。
☆⑾1，1，2，3，5，8，13，。
☆⑿1, 8, 27, 64 ，…，。
（二）连续的规律例1 瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据95，1612，2521，3632，……中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数．例 2 （2011广东湛江）已知：23233556326,54360,5432120,6543360 A A A A=⨯==⨯⨯==⨯⨯⨯==⨯⨯⨯= ,…,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算27A=（直接写出计算结果），并比较59A310A（填“>”或“<”或“=”）（三）跳跃的规律或双数列例1 观察下面的单项式：a，22a-，34a，48a-，……根据你发现的规律，第8个式子是．例2 按一定规律排列的数依次为：1，2，2，4，3，8，4，16，….按此规律排列下去，这列数中的第10个数是，第n个数是（n为偶数）。
例3直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、… …红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 A n B n C n C n －1按如图所示的方式放置，其中点A 1、A 2、A 3、…、A n 均在一次函数y kx b =+的图像上，点C 1、C 2、C 3、…、C n 均在x 轴上。
若点B 1的坐标为（1，1），点B 2的坐标为（3，2），则点A 6的坐标为 ．（三）循环的规律 例1 将分数47化成小数，则小数后第2012位数字是 。
2014年数学中考二轮专题复习检测：操作探究型问题
2014年数学中考二轮专题复习检测：操作探究型问题解答题：1、（2013·北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2(>a a 的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ 的面积。
小明发现：分别延长QE ，MF ，NG ，PH ，交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；（2）求正方形MNPQ 的面积。
参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC 各边上分别截取AD=BE=CF ，再分别过点D ，E ，F 作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ ，若33=∆RPQ S ，则AD 的长为__________。
2、（2013·山西）（本题8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BA 延长线上的一点，点E 是AC 的中点。
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。
①作∠DAC 的平分线AM 。
②连接BE 并延长交AM 于点F 。
（2）猜想与证明：试猜想AF 与BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。
3、(2013·江西省)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可）①AF =AG =21AB ；②MD=ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB =∠DMB ． ●数学思考：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧．．作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．答： ．4、（2013达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。
2014年全国各地中考数学汇编：规律探索
规律探索
一、选择题
1.（5分）（2014?毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．
考点：规律型：数字的变化类
专题：规律型．
分析：观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．
解答：
解：根据题意得：这一组数的第n个数是．
故答案为：．
点评：此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
2.（2014?武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…
按此规律第5个图中共有点的个数是（）
A．31 B．46 C．51 D．66
考点：规律型：图形的变化类
分析：由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有
1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个
点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．。