11.3 幂级数
幂级数展开式步骤
幂级数展开式步骤幂级数是一种将一个函数表示为幂的无穷和的方法。
它在数学和物理中有广泛的应用，可以用来计算各种函数的近似值。
幂级数展开式的步骤可以分为以下几个方面：1.确定展开点：2.确定展开系数：展开系数是幂级数中每一项的系数。
它们的值取决于函数在展开点处的导数。
一般来说，展开的次数越高，需要计算的导数就越多。
3.写出幂级数展开式：根据泰勒公式或麦克劳林公式，将函数表示为一系列幂次项的和。
幂级数的一般形式为：f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
4.确定展开范围：选取适当的展开范围使得幂级数能够在整个定义域上逼近原函数。
一般来说，展开范围是一个开区间，额外加上两个端点成为闭区间。
5.计算展开系数：计算展开系数需要用到函数在展开点处的导数。
对于泰勒公式，展开系数的计算公式为：cn = f^(n)(a)/n! ，其中f^(n)(a)表示函数在展开点处的n阶导数。
6.确定展开级数的收敛性：幂级数并不一定在整个定义域上都收敛，因此需要确定展开级数的收敛性范围。
一般来说，可以使用收敛判别法来确定幂级数的收敛性范围。
7.代入特定的x值计算近似值：将所得的幂级数展开式代入特定的x值，即可计算该x值下函数的近似值。
一般来说，展开级数的项数越多，近似值越接近真实值。
需要注意的是，幂级数展开是一种近似方法，其结果只在展开点附近有效。
在离展开点较远的位置，近似值的误差可能会较大。
此外，不是所有的函数都可以用幂级数展开，一些函数可能需要使用其他的级数展开方法。
在实际应用中，还需要关注展开级数的收敛情况和误差估计等问题。
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
11-5函数展开成幂级数
an
f ( n) (0) n!
n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0
收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0
且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n
幂级数展开公式
幂级数展开公式
按照马克劳林公式的一般形式f(x)=n*f^(n) 连加(n从0到无穷)x^n*f^(n)(0)/n!展开（其中f^(n)(0)表示f的n阶导数在0点的值），只不过最后的每项的形式没什么规律（这也取决于f^(n)(0)的值）。
麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。
1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。
2、那些特定初等函数的幂级数展开式就是泰勒级数的特定形式，没什么太小区别。
用泰勒公式求极限有时可以达到事半功倍之效。
麦克劳林公式的意义就是在0点，对函数展开泰勒进行。
年maclaurin在访问伦敦时见到了newton，从此便成为了newton的门生。
年编写名著《流数论》，就是最早为newton流数方法作出了系统逻辑阐释的著作。
他以娴熟的几何方法和穷竭法论证了流数学说道，还把级数做为谋分数的方法，并单一制于cauchy以几何形式得出了无穷级数发散的分数辨别法。
他获得数学分析中知名的maclaurin级数展开式，用未定系数法给与证明。
第三节、幂级数-精品文档62页
a(xx)n aXn
n
0
n
n0
n0
n
Sn(x) akxk a 0 a 1 x a n x n ,
k0
称为axn n n1
的部分和.
当幂级数收敛时, 由
li(S m (x)S (x) )0
n n
可知, 不论“和函数”多么复杂, 我们可以用多
证明
(1)
n0
a n
xn收 0
敛
,ln i m anx0n0,
M, 使a n x 得 0 nM (n 0 ,1 ,2 , )
anxn
anx0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
n
x x0
当 x 1时, x0
等比级 数 Mx
n
收敛 ,
n0 x0
n1
a
n
x
n
是否也具有上述现象？
2.收敛性:
定理 1 (Abel 定理)
若幂 级 anxn 在 数 xx0（0x 0）处 , n0
则对任 |x|何 |x| 满 的 x足 值 幂 ,级数.绝 0 若幂 an 级 xn 在 数 xx0 处发 则散 对 n 0 任何|x 满 ||x足 |的 x值 幂 ,级数 . 0
幂级数
一、幂级数的定义 二、幂级数的收敛性 三、幂级数的运算
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设 un( x) 是 定 义 在 I R 上 的 函 数 列 , 则
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
11-3(2) 函数展开成幂级数
河海大学理学院《高等数学》
一、泰勒级数
f ( x)
n 0 n a ( x x ) n 0
问题 1.如果能展开, an是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
河海大学理学院《高等数学》
定理 如果函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内具有任 意阶导数, 且在 U ( x0 ) 内能展开成 ( x x0 )
x
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余和:
1 1 1 1 rn (1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n! 1 5 10 5 , 欲使 rn 10 , 只要 n n!
ix
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的幂级数,即 f ( x)
则其系数 1 ( n) a n f ( x0 ) n! 且展开式是唯一的.
n 0
a n ( x x0 )
n
( n 0,1,2,)
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定义 如果 f (x) 在点x0处任意阶可导, 则幂级数
f
( n)
n 0
( x0 ) ( x x0 )n 称为 f (x) n!
河海大学理学院《高等数学》
x 例 将f ( x ) 2 展开成x的幂级数. x x2 d ex 1 例 展开 ( ) 为 x 的幂级数. dx x 1 例 将f ( x ) 2 展开成( x 1)的幂级数.
x 3x 2 n 1 1 ( n) n2 求f (1), 并求 ( 1) 的和 . 2 n 3 2 n 1
常见函数的幂级数展开
常见函数的幂级数展开1. 指数函数 (Exponential Function)定义指数函数是指以常数e为底数的幂函数，通常表示为e^x。
其中e是一个常数，约等于2.71828。
用途指数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
它的幂级数展开形式可以用于近似计算指数函数的值，特别是当指数函数无法直接计算时。
工作方式指数函数的幂级数展开中，每一项的系数都是x的幂次与常数e的幂次之比。
通过将幂级数的前n项相加，可以近似计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开如下所示：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + … + x^n/n! + …其中n!表示n的阶乘（n的所有正整数乘积），定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的结果。
然而，幂级数展开通常在x的绝对值较小的范围内有效，当x的绝对值较大时，需要使用其他方法来计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开可以通过计算机程序来实现，例如使用Python编写以下代码：import mathdef exponential_series(x, n):result = 0for i in range(n):result += x**i / math.factorial(i)return resultx = 2.0n = 10print(exponential_series(x, n))上述代码计算了指数函数e^2的近似值，使用了前10项的幂级数展开。
2. 正弦函数 (Sine Function)定义正弦函数是一个周期函数，常用于描述周期性的波动现象。
它的幂级数展开可以用于近似计算正弦函数的值。
用途正弦函数在物理、工程等领域中广泛应用，例如描述振动、波动、电磁波等现象。
通过正弦函数的幂级数展开，可以计算正弦函数在给定角度处的近似值。
工作方式正弦函数的幂级数展开中，每一项的系数都与角度的幂次相关。
第十一章-无穷级数(习题及解答)
2.若 ，则下列级数中肯定收敛的是( )．
； ；
； ．答 .
3.设级数(1) 与(2) ，则( )．
级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；
级数(1)收敛，级数(2)发散； 级数(1)发散，级数(2)收敛．答 .
4.设级数(1) 与(2) ,则( ).
； ；
； ．答 .
二、填空题
1. 是以 为周期的函数， 傅里叶级数为 ．
答： 其中
2. 是以 为周期的偶函数， 傅里叶级数为 ．
答：
3. 是以 为周期的奇函数， 傅里叶级数为 ．
答：
4.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
5.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
6.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
在区间 上正交； 以上结论都不对．答 .
2.函数系
在区间 上正交； 在区间 上不正交；
不是周期函数； 以上结论都不对．答 .
3.下列结论不正确的是( )．
； ；
； ．答 .
4. 是以 为周期的函数，当 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．
； ；
； ．答 .
5. 是以 为周期的函数，当 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．
一、单项选择题
1.级数 与 满足 ,则( )．
若 收敛,则 发散； 若 发散,则 发散；
若 收敛,则 发散； 若 收敛,则 未必收敛．答 .
2.下列结论正确的是( )．
收敛，必条件收敛； 收敛，必绝对收敛；
发散，则 必条件收敛；
收敛，则 收敛．答 .
2.下列级数中，绝对收敛的是( )．
; ；
； ．答 .
七个重要的幂级数公式
七个重要的幂级数公式
七个重要的幂级数公式：
1、f(x)=1除(1减x)
2、f(x)的导数=1除(1减x)乘2
3、f二级导数(x)=2除(1减x)的3次幂
3、f三级导数(x)=3除(1减x)的4次幂
4、f(x)(n阶导)=n除(1减x)乘(n+1)
5、f(0)=1
6、f导数(0)=1
7、f二级导数(0)=2
高等数学 级数 (11.5.1)--幂级数
eix cos x i sin x ei 1 ei 1 0
( 数学中“最美”的等式 )
H.W 习题 11 19 (3) (5) (6) (8) 21 (3 ）
L
( x )
4)
ln(1
x)
x
x2 2
x3 3
x4 4
L
(1 x 1)
5)
(1
x)m
1
mx
m(m 1) 2!
x2
L
m(m
1)L (m n!
n
1)
xn
L
(1 x 1)
利用以上幂级数展开式可求其他一些初等函数 的幂级数展开式 .
例 将下列函数在 x0 展成幂级数
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
Rn (x)
幂级数
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0 )n
称为 f(x) 在 x= x0 处的 Taylor 级数
(x0=0 时称为 Maclaurin 级数 )
一 . 函数与它的 Taylor 公式
若函数 f(x) 在包含 x0 的区域 I 内有任意阶导 则在数I
n0
1 1
x
,
可导性
�
1 2x 3x2 4x3 L
1 (1 x)2
,
(1 x 1) (1 x 1)
可积性
�
x
x2 2
x3 3