数学思想方法专题一：函数与方程思想
2从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导(二)
7.5x-271.4+5.9x=10
13.4x=281.4
直接设元法
x=21。
答：胶鞋有21双。
间接设元法
第9页，共26页。
案例2
一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次， 按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球， 投进不到8个球的人平均投进3个球。问： 共有多少人参加测验？
系：Ｖ＝πr²h。半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值。 函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，因变量随着自变量
的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而 构建函数模型。函数思想体现了运动变化的观点。 （小学六年级初步学习正、反比例函数）
第4页，共26页。
2、方程和函数的关系
第10页，共26页。
分析与解：4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。
投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加 上至少投进3个球的人的进球数，
0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4）= 5+8+6×（x-16） = 6x-83，也等于进球数不到8个的人的进球数加上至 少投进8个球的人的进球数，3×（x-3-4-1） +8×3+9×4+10×1= 3×（x-8）+24+36+10=
这是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。这 样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变 量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、 指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。实际上现实生活中还有很多情况是一 个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。虽然在中小学 里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，在高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。
函数思想是指用函数的概念、性质、图像去分析问题、转化问题和解决问题，具体体现在：①运用函数的性质解决数学问题；②用映射、函数的观点去观察、分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究，从而解决问题；③对解不等式、讨论方程的解的个数或分布、某些参数范围的讨论问题等可通过构造函数，利用函数的性质解决。
方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系，从而建立方程（组）将问题解决的一种思想方法，具体体现在：①解方程及含参数方程的讨论；②可转化为方程（组）求解的讨论问题及构造方程（组）。
下面通过几个具体例题说明它们的应用。
一、运用函数、方程思想转化解决函数、方程和不等式问题【例】若a，b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。
思维精析把方程转化成关于ab的不等式。
解法一：（看成函数的值域）：∵ab=a+b+3∴b=而b＞0∴＞0 即∵a＞0 ∴a＞1∴ab=a•==(a-1)++5≥9当且仅当a-1=,即a=3时取等号。
又a＞3时，a-1++5是关于a的单调增函数，∴ab的取值范围是［9,+∞）。
解法二：（看成不等式的解集）：∵a，b为正数，∴a+b≥2又ab=a+b+3∴ab≥2+3即( )2-2-3≥0即≥3或≤-1∴ab≥9解法三：解若设ab=t，则a+b=t-3∴a,b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的两个正根△=（t-3）2-4t≥0a+b=t-3＞0ab=t＝＞t≤1,t≥9t＞3t＞0 得t≥9 ，即ab≥9。
点拨：从以上解法可以看出，对于同一个问题，用不同的观点去看，会产生不同的想法，从而有不同的处理方法，解法一用函数观点去分析，则应将已知条件变形后去消元；解法二，解法三则利用题中和、积特征构造不等式、方程来求解，它们分别体现了用函数、用不等式、用方程来解决问题的意识，因此，在解题过程中，应多方位、多角度去思考、去探索，选用合理简明的解题途径，以求取得事半功倍之效。
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。
更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。
一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。
A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。
A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。
A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
2013年高考数学预测新课标数学考点预测(25)：函数与方程的思想方法
- 1 ? x1< 0< x2
A． (-
2 ，则 k 的取值范围是（
B． (-
） C． (0, )
3 , 0) 4
3 , 0] 4
3 4
D． [0, )
3 4
分析：本题是研究二次方程的实根分布问题，可以转化为二次函数，由二次函数的图象转为 函数值表示的不等式组解出。 解 ： 设 函 数 f ( x ) = x 2 + 2kx − 1 ， ∵ 关 于 x 的 方 程 x 2 + 2 kx - 1 = 0 的 两 根 x1、x2 满 足
为 。 分析: 题目给出的方程中含有 x, y, a, c 等多个字母，而条件中是对任意的 x ∈ [a,2a ] 都有
2 ⎤ y∈⎡ ⎣ a, a ⎦ ，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于 y 的函数，
再进一步研究函数的性质。
ac （其中 x ∈ [ a, 2a ] ） ，函数为反比例函数，在 x a c −1 c −1 a , 2 a （ a > 1 ）上为单调递减，所以当 时， y ∈ [ , a ] 又因为对于任意的 x ∈ [ a , 2 a ] [ ] 2 ⎧ a c −1 ≥a ⎧c ≥ 2 + log a 2 ⎪ 2 ⎤ x ∈ [a,2a] ，都有 y ∈ ⎡ ⇒⎨ ，因为有且只有一个常 ⎣ a, a ⎦ ，所以 ⎨ 2 ⎩c ≤ 3 ⎪a c −1 ≤ a 2 ⎩ 数 c 符合题意，所以 2 + log a 2 = 3 ，解得 a = 2 ，所以 a 的取值的集合为 {2} 。 答案： {2}
研究直线与椭圆的交点，需要解方程组，由韦达定理解答即可。 解： （Ⅰ）解法一：由椭圆方程知 a = 2, b = 1, c =
浅析初中数学中函数思想和方程思想的应用
周刊28教学创新|实践创新摘 要：伴随新课改逐渐深入，如今初中时期的数学教学愈发重视实际问题的分析以及解决，除了重视初中生对于所学知识的实际理解以及掌握之外，而且还注重借助所学知识对一些实际问题加以解决。
为此，教学期间，数学教师需指导初中生对一些数学思想以及数学方法加以灵活运用，这样才可有效提升初中生的学习效率以及解题效率。
基于此，本文旨在对初中阶段数学教学当中方程和函数思想的具体应用展开探究，希望能为实际教学提供些许参考。
关键词：初中数学；函数思想；方程思想前言：在以往教学当中，数学教师通常把教学内容当作依据制定具体教学计划，并未对初中生实际需求与教学情况加以充分考虑，并且忽略了培养初中生的数学思想。
实际上，在数学教学当中，数学思想占据重要位置，能够对初中生解题思路与解题效率产生直接影响。
方程和函数思想可以帮助初中生对数学知识进行透彻理解，有效提升初中生的解题能力。
为此，对初中阶段数学教学当中方程和函数思想的具体应用展开探究有着重要意义。
一、关于方程和函数思想的概述方程和函数思想是指用函数和变量对问题加以思考，对问题当中的已知与未知关系加以转换。
实际解题期间，把函数思想当作主导，需把字母当作变量，把代数当作函数，借助函数对问题加以分析以及解决。
如果把方程思想当作主导，需把含字母等式当作方程，研究方程的根。
实际解题期间，方程和函数思想存在紧密关联。
如今，在初中阶段的数学教学当中，常见的几种数学思想包含方程和函数思想、数学模型、图形运动与数形结合等。
在这之中，方程和函数思想是最常用，也是最基础的一种思想方法。
在初中阶段的数学教学当中对方程和函数思想加以运用，可以借助方程和函数思想把抽象事物变成具体模型，有效搭建逻辑知识与数学思维之间的联系，借助此种方式把复杂数学关系串联起来，有效拓展初中生解题思路，促使初中生的学习效率以及解题效率有效提高。
二、初中阶段数学教学当中方程和函数思想的具体应用1.方程思想的具体应用例如，已知0))((4)(2=−−−−c b b a a c ，证明：b c a 2=+.分析，通过已知条件0))((4)(2=−−−−c b b a a c 可以联想到二次方程当中AC 4B 2−这个根的判别式，所以可设a c B −=，b a A −=，c b C −=，之后便能构造出一个二次方程0)()(2=−+−+−c b x a c x b a .因此可以得到以下解法：在b a =之时，根据已知能得到c b a ==，因此存在b c a 2=+.当ba ≠之时，可构造一个二次方程0)()(2=−+−+−c b x a c x b a ，通过对方程当中各项系数进行观察可发现，0)()(=−+−+−c b a c b a ，因此方程存在一个根是1。
再谈数学思想方法的挖掘和应用
0 + 1欺啥 (20 8 年第2 期
高中 版)
教 学 勺 坛 仑
4
化归与转化的思想
+( 一 ‘ ， =a、 (其中k=1， 3…) 1) ， ， +3‘ aZ ‘ 2，
( 1) 求a， ; ‘ ， a， ( 2) 求la。 }的通项公式.
本例是一个已知递推关系求通项的数列问题 . 解决的关键是通过对一般项关系的研究 ， 出通项 得 的解析式 . 为了顺利完成对一般项关系的研究， 应 该从特殊项的研究开始 . 这已在第一中作出了提示 和铺垫， 同时体现出研究问题时使用的由特殊到一
般的思想 .
化归与转化的思想就是把待解问题转化为常规 问题， 从而使原问题得到解决的方法， 简言之化归与 转化就是问题的规范化 . 由于人们已经熟练掌握了 研究规范问题的策略、 方法、 程序， 因而当运用适当 的技巧实现了问题的规范化时， 该问题便会迎刃而 解， 这就是化归方法的原理 . 化归也是一种基本的
解 画出可行域， 如
图:作直线 L:3 +Zy =0 x
并在 可行域 内向右上方
平移至L， 目 时， 标函数取
得最大值 . 解方程组
{
二1 ，
求得点A 的坐标为( 1， . ) 1
2 二 = 3 * 1 +2 * 1 = 5.
体现， 也是两种思想综合运用的体现， 是研究变量与 函数、 相等与不等过程中的基本数学思想 .
简单的线性规划问题是新增内容， 解决时一般 需要画出可行域( 图形) ， 找到使 目 标函数取得的最 优解， 再解方程组求出最优解， 代人 目 标函数求值 . 这一系列的过程既有由数到形， 也有由形到数， 体现 出了数与形之间的相互关系， 是数形结合数学思想 的重要体现 .
函数与方程的思想方法二
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得：
2k x1 x 2 , 2 2k x · 2 . x 1 2 k2 2 ②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F(c,0)，则由FA⊥FB得(x1－c)(x2－c)+y1y2=0. 返回目录
模拟训练
即(x1－c)(x2－c)+(kx1+1)(kx2+1)=0. 整理得：(k2+1)x1x2+(k－c)(x1+x2)+c2+1=0. ③
6 代入③式化简得： 2
把②式及c=
5k2+2 6 k－6=0.
6 6 6 6 或k (2, 2 )(舍去). 5 5 6 6 可知存在实数k=－ 使得以线段AB为直径的圆经 5 解得k
第一部分 常用数学思想方法 专题一 函数与方程的思想方法
专题概览 ……………………………………………（3） 模拟训练 ……………………………………………（5） 规律总结 ……………………………………………（17）
专题概览
函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问 题中的数量关系，通过建立函数关系式、确定函数的定义域或
值域，结合函数的知识解决具体问题的一种思想.这种思想方
法的实质是揭示问题数量关系的本质特征，突出对问题中变量 动态的研究，从变量联系、发展和运动角度指导解题思路. 方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系.从而建立 方程(组)将问题解决的一种思想方法. 方程与函数有着必然联系，方程f(x)=0的解，就是函数 y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元 方程f(x)－y=0.确定变化过程的某个或某些量，往往要建立某个 或某些量的方程，通过解方程(组)来求得这些量.函数与方程之 返回目录
方程和函数思想的关系（摘录）
方程和函数思想的关系（摘录）方程、函数这两个术语在中小学数学组十分常见，也是大多数孩子们最为头疼的两个词，不止一次的问自己：这两个到底是什么东东，它认识我，我不认识它。
王永春（课程教材研究所）1、方程和函数思想的概念方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，他们都可以用来描述现实世界的数量关系，而且他们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。
（1） 方程思想。
含有未知数的等式叫方程，判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件;一个是含有未知数，另一个必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题;x=0和x=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中未知量用数字以外的数学符号（常用x、y等字母）表示，根据数量关系之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已之与未知数的对立统一。
(2) 函数思想。
设集合ab是两个非空数集，如果按照某种确定的对立关系f，如果对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数y和它的对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。
其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与x相对应的y的值叫做函数值，y 的取值范围b叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生了变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际现实中变量的变化而相应变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但只机上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系;v=πr2 h.半径和高有一对取值；也就是说，体积随半径和高的变化而变化，通过对这种变化的探究找出对应关系之间的法则，从而构建函数模型。
高考数学公式及知识点总结
四、数形结合的思想
中学数学的基本知识分三块：代数、几何、统计概率。代数是研究数量关系 的；几何是研究空间形式的；统计概率是研究现实生活中的数据和事件的。毫不 夸张地说；数形结合的思想几乎渗透到中学数学的各个领域。拿代数里的函数来 说吧；我们通常
用函数和图像两个变量之间具有对应关系这个特点来说明数形结合思想；解 析几何更是数形结合思想体现得淋漓尽致的地方；还有不等式、方程都可以请图 形来帮忙。在这里特别提醒大家注意线性规划这部分内容；线性规划是数形结合 思想体现得非常
8、函数的奇偶性：设函数f(x)的定义域为I，如果对于I内任意一个数x，都 有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
9、指数的概念：正整数可以看作是自然数的幂；我们把形如a^n(n是正整数) 的式子叫做正整数指数幂；把a^n(n是正整数且a≠0)叫做幂的指数，把求n个相 同因数的积的运算叫做乘方。
4、空集：没有任何元素的集合， 记作∅。
5、函数的概念：设A、B是两个非空数集，如果存在一个对应关系f，使得对 于A中的每一个元素x，通过f对应到B中的一个元素y，那么称f是定义在A上的函 数，记作y=f(x)。
6、函数的表示方法：列表法、 解析法、图象法。
7、函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I，如果对于I内任意两个数x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上为增函数；当x1>x2时，都 有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上为减函数。
6、数列的求和：数列是一个有序的序列，可以按照其规律求和。常见的数 列求和方法有公式法、分组求和法和倒序相加法等。
7、导数的概念与计算：导数是函数变化的局部性质，可以通过求导数来研 究函数的单调性、极值等性质。
2022届高考数学一轮专题复习_函数与方程思想(含解析)
A．18 B．15 C．10D.
答案：C 当点P的横坐标最大时，射线OA的斜率k＞0，设OA：y＝kx，k＞0，与椭圆 ＋ ＝1联立解得xA＝ .又 · ＝xAxP＋k2xAxP＝48，解得xP＝ ＝ ＝ ，令9＋25k2＝t＞9，即k2＝ ，则xP＝ ＝ ×25 ＝80 ≤80× ＝10，当且仅当t＝16，即k2＝ 时取等号，所以点P的横坐标的最大值为10，故选C.
10.已知函数f(x)＝ ,x∈[0,1].
(1)求f(x)的单调区间和值域；
(2)设a≥1,函数g(x)＝x3－3a2x－2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)＝f(x1)成立,求a的取值范围.
解：(1)f′(x)＝ ＝－ .
令f′(x)＝0,解得x＝ 或x＝ (舍去).
从而当x∈[0,1]时,有g(x)∈[g(1),g(0)].又g(1)＝1－2a－3a2,g(0)＝－2a,
即当x∈[0,1]时,有g(x)∈[1－2a－3a2,－2a].对于任意x1∈[0,1],f(x1)∈[－4,－3],
存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立,则[1－2a－3a2,－2a]⊇[－4,－3].即
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表：
x
0
1
f′(x)
不存在
－
0
＋
不存在
f(x)
－
－4
－3
∴函数f(x)的单调增区间是 ,单调减区间是 .
当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[－4,－3].
(2)g′(x)＝3(x2－a2).∵a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1－a2)≤0,因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数,
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数学思想方法专题
专题一 函数与方程思想
函数思想，就是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立
函数关系或构造函数，再利用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得以
解决。函数思想的精髓就是构造函数，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和
妙用函数的性质，比如函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、最大值和最小值、图象
变换等，这是应用函数思想的关键。
方程思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或
方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
函数与方程思想解题规律总结：
1、函数与方程思想的灵活运用，是建立在熟练掌握函数与方程的基础知识的前提下的，因此，要对常
用基本初等函数的图象与性质及方程的基本问题等深入理解，并熟练掌握各知识点之间的内在联系。
2、函数与方程思想，主要有两个方面：一是应用函数与方程的性质思考问题；二是构造函数和方程，
利用函数或方程解决问题。如含一个变量的等式就是方程；含两个变量的等式可理解为方程，也可转化
为函数。
3、构造函数或方程，解决数学问题，是运用函数和方程思想的较高层次，在解题中，要注意归纳、总
结，灵活运用函数的观点、方法分析解决各类数学问题。在平时要加强训练，并注意总结和积累经验，
从而达到运用自如，得心应手的境界。
一、例题讲解
1、（2010安徽卷）设2535a，3525b，2525c，则,,abc的大小关系是
2、（2010全国卷Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点
D，且2BFFD，则椭圆C
的离心率为
3、如果方程2cossin0xxa在0,2上有解，则a的取值范围是
4、已知a、b为非零的不共线向量，设条件:Mbab；条件:N对一切xR，不等式
axbab
恒成立，则M是N的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
5、已知,,abc是递减的等差数列，且将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则222acb（ ）
A．4 B.8 C.16 D.20
6、已知双曲线222210,0xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，P为双曲线左支上一点，P到
左准线的距离为d，并且1PF为2PF与d的等比中项，则双曲线离心率e的取值范围是
7、已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么
PAPB
的最小值
为（ ）
A、42 B、32 C、422 D、322
8、已知双曲线222210,0xyCabab：的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两
点，若4AFFB，则双曲线C的离心率为（ ）
A．65 B. 75 C. 58 D. 95
9、三棱锥SABC，SAx，其余的所有棱长均为1，它的体积为V，问当x为何值时，V有最大
值？并求此最大值。
10、已知抛物线C的方程为22yx，焦点为F，过抛物线C的准线与x轴的交点的直线为l．
（Ⅰ）若直线l与抛物线C交于A、B两点，且2FAFB，求k的值；
（Ⅱ）设点P是抛物线C上的动点，点R、N在y轴上，圆2211xy内切于PRN，求
PRN
面积的最小值。
数学思想方法专题一：函数与方程思想练习
1、已知对于任意的1,1a，函数2442fxxaxa的值总大于0，则x的取值范围
是（ ）
A、13x B、1x或3x C、12x D、1x或2x
2、设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（ ）
A、2,2 B、2,5 C、2,5 D、2,5
3、如果方程3cossin0xxa在0,2上有解，则a的取值范围是
4、已知曲线21:Cyx与22:2Cyx，直线l与1C，2C都相切，则直线l的方程为（ ）
A、0y B、0y或44yx C、44yx D、4yx
5、若2AB，2ACBC，则ABCS的最大值
6、已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，P为双曲线右支上一点，且
12
4PFPF
，则双曲线离心率e的取值范围是
7、已知数列na是等差数列，且21a，55a
（1）求数列na的通项公式；
（2）求数列na的前n项和nS的最大值。
8、已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆
22
5xy
上，求m的值。
9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为32，且经过点4,1M，直线:lyxm交椭
圆于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l不过点M，试问直线MA，MB与x轴是否能够围成等腰三角形？