有限域上多项式的行列式的一种求法
计算行列式常用的7种方法
行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零 例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b ba a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k=1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n nn n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列 (1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261 在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B和D可逆，求A-1.例12 计算nn b b b a a a D 1001000102121 =例13 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B A , BC T =0.证明：|AA T |=|BB T ||CC T |.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
线性代数行列式计算总结
线性代数行列式计算总结线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在矩阵理论、线性方程组的解法、线性空间与线性变换以及特征值与特征向量的计算中都起到至关重要的作用。
行列式的计算方法有很多，下面我将总结一下常见的行列式计算方法。
首先，我们先来定义什么是一个行列式。
行列式是一个标量，它是一个n阶方阵所带的一个数值特征。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为，A，或者det(A)，它的计算方法如下所示。
1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶方阵A=，a11a12a21a2它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22-a12*a212.三阶行列式的计算方法对于一个三阶方阵A=，a11a12a13a21a22a2a31a32a3它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a11*a23*a323.高阶行列式的计算方法对于一个高阶方阵A，可以通过对其中一行或一列进行展开来计算行列式。
展开的方式有很多种，常用的有代数余子式展开和化简为三角行列式展开两种。
3.1代数余子式展开对于一个n阶方阵A，选择一行或一列展开，计算每个元素的代数余子式，然后按照正负交替的方式相乘相加得到行列式的值。
具体步骤如下：- 选择第i行展开，行列式的值为，A， = ai1*C_1i + ai2*C_2i+ ... + ain*C_ni- 其中，C_ij是元素a_ij的代数余子式，计算方法是去掉第i行和第j列剩余元素构成的(n-1)阶子阵的行列式。
3.2三角行列式展开对于一个n阶方阵A，通过初等变换将方阵化为上三角形或下三角形，然后计算对角线的乘积得到行列式的值。
除了以上两种展开的方法，还可以通过矩阵的特征值和特征向量计算行列式的值。
具体步骤是：-计算矩阵A的特征值λ_1,λ_2,...,λ_n-计算矩阵A的特征向量v_1,v_2,...,v_n-行列式的值等于特征值的乘积：，A，=λ_1*λ_2*...*λ_n行列式的计算方法还有很多，比如拉普拉斯展开、按行或按列展开等。
行列式的求解方法
行列式的求解方法
行列式是线性代数中的一种非常重要的概念，它是由一个方阵所组成的一个数值。
计算行列式的主要方法有数学归纳法、按行（列）展开法、初等变换法等。
数学归纳法是一种基于数学归纳的方法，适用于递归定义的行列式计算。
具体做法是先将一些小规模的行列式的值求出，再利用这些小规模行列式的值求出更大规模的行列式。
按行（列）展开法也是求解行列式的一种主要方法。
该方法将一个行列式按照其中的某一行或某一列展开成一些小的行列式，通过递归地计算这些小行列式，最终计算出原始行列式的值。
初等变换法是一种求解行列式的简便方法。
该方法将一个矩阵通过一系列基本初等变换（交换行、交换列、加减倍数行、加减倍数列）转化为一个上（下）三角矩阵，从而求出行列式的值。
利用初等变换法求得的行列式的值，可以相对较快地得到行列式的一些性质，如行列式的奇偶性。
除了以上三种方法，还有伴随矩阵法、克莱姆法、Schur补等
方法来求解行列式。
其中，伴随矩阵法和Schur补法是求解高
维行列式时的常用方法，克莱姆法则适用于方程组解法中的行列式求解。
总而言之，行列式在线性代数中具有重要的地位，也是各种求解方法的一个基础，通过不同的方法可以求解不同大小、不同
类型的行列式，对于学习和应用线性代数都具有十分重要的意义。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。
计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。
1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。
对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。
（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。
A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。
2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。
（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。
A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。
3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。
对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。
如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。
具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式的计算方法有哪些呢?可能大部分同学并不知道。
为了普及知识。
下面是由小编为大家整理的“行列式的计算方法总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。
行列式的计算方法总结第一、行列式的计算利用的是行列式的性质，而行列式的本质是一个数字，所以行列式的变化都是建立在已有性质的基础上的等量变化，改变的是行列式的“外观”。
第二、行列式的计算的一个基本思路就是通过行列式的性质把一个普通的行列式变化成为一个我们可以口算的行列式(比如，上三角，下三角，对角型，反对角，两行成比例等)第三、行列式的计算最重要的两个性质：(1)对换行列式中两行(列)位置，行列式反号(2)把行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式不变对于(1)主要注意：每一次交换都会出一个负号;换行(列)的主要目的就是调整0的位置，例如下题，只要调整一下第一行的位置，就能变成下三角。
拓展阅读：行列式的性质有哪些?行列式与它的转置行列式相等;互换行列式的两行(列)，行列式变号;行列式的某一行(列)的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式;行列式如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零;若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和;把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
n阶行列式实质上是一个n^2元的函数，当把n^2个元素都代上常数时，自然得到一个数。
当我们写的时候，写成一个表是为了方便的反映函数的物性。
当然，决不是指任何n^2元函数都是行列式，具体的行列式函数定义你找书一看看。
为了让你自己觉得好理解一些，你可以试着照行列式的定义把行列式写成多项式和的常见形式，当然那个形式比较复杂，但本质上与行列式是一样的，只是写成行列式易于直观的做各种运算处理。
线性代数行列式求解的技巧
线性代数行列式求解的技巧行列式是线性代数中的一个重要概念，它可以用于求解线性方程组的解、判断矩阵是否可逆等问题。
行列式的计算通常使用展开法、性质法等多种方法，以下是一些行列式求解的技巧。
1. 展开法展开法是求解行列式的一种常用方法，其基本思想是通过将行列式展开为一系列子行列式的和来计算。
行列式的展开可以按照某一行或某一列进行展开，通常选择具有最多零元素的行或列进行展开可以减少计算的复杂度。
例如，对于一个3阶行列式：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|我们可以选择第一行或者第一列进行展开，以第一列为例：A = a11|a22 a23| - a21|a12 a13| + a31|a12 a13||a32 a33| |a32 a33| |a22 a23|展开后的每一项都是一个2阶子行列式，可以通过直接计算或继续展开来求解。
展开法的优点是较为直观，但当行列式阶数较高时计算量巨大，不适合大规模行列式的计算。
2. 元素对应法则行列式的元素对应法则指的是对于一个n阶行列式，其每一项的元素都来自于不同行不同列的n个元素的乘积。
在计算中，可以通过指定元素的位置来构造行列式。
例如，对于一个3阶行列式：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其中，a11来自于A的第一行第一列，a22来自于A 的第二行第二列，a33来自于A的第三行第三列。
通过这种方法，可以方便地构造行列式并进行计算。
3. 行变换法行变换法是求解行列式的一种简化计算的方法，通过对行进行一系列变换，将行列式化为三角形式或对角形式，从而简化计算。
常用的行变换包括行列式的行交换、行乘法、行加法等。
行交换可以通过直接交换行的位置得到，行乘法可以将某一行的元素乘以一个常数，行加法可以将某一行的元素乘以一个常数后加到另一行，行变换不改变行列式的值。
通过行变换后，可以使行列式的某些元素为零，使得计算行列式的展开或使用性质更加方便。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间与线性映射的代数理论。
行列式是线性代数中重要的概念之一，用于判断线性方程组的解的存在与唯一性，以及计算线性变换的特征值与特征向量等。
本文将介绍线性代数中行列式的计算方法，并总结为以下几种常见的方法。
方法一：定义法行列式的定义是一个很重要的概念，也是计算行列式的基础。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为|A|或det(A)，定义为n个行向量或列向量所组成的n维向量空间的基向量所构成的平行多面体的有向体积。
根据这个定义，我们可以通过构造平行多面体来计算行列式的值，方法即是代数余子式展开法。
方法二：对角线法则对角线法则是计算2阶或3阶方阵行列式的简易方法。
对于2阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积；对于3阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积与副对角线上元素的乘积之差。
此方法适用于小规模方阵的计算。
方法三：按行展开法按行展开法是计算n阶方阵行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，选择其中一行（通常选择第一行）展开，即将该行中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
按行展开法在计算大规模方阵的行列式时，不仅简化了计算过程，还可以通过递归的方式实现。
方法四：按列展开法按列展开法与按行展开法类似，只是选择展开的对象变为一列。
选择第j列展开，则将该列中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
方法五：性质法行列式具有一系列的性质，可以根据这些性质来简化行列式的计算过程。
这些性质包括行列对换，相同行列的元素倍加，行列式放缩等。
利用这些性质，我们可以通过对行列式进行简单的变换，使其更容易计算，例如将行列式转化为上三角形矩阵，然后直接求解主对角线上元素的乘积即可。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式的计算是线性代数中的重要内容，有以下几种常用的方法：1. 代数余子式法：给定一个n阶矩阵A，取A的第i行第j列元素a_ij为基准，计算它的代数余子式A_ij的值。
代数余子式的定义是，在A中划去第i行和第j列后，剩余元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。
然后，根据代数余子式的符号规律，求得A_ij*(-1)^(i+j)，再将所有的代数余子式乘以对应位置的元素，再求和即可得到行列式的值。
2. 拉普拉斯展开法：选择A的任意一行或一列，例如第i行，根据拉普拉斯展开定理，将行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算，然后依次递归地计算(n-1)阶行列式，最后累加得到行列式的值。
3. 对角线法则：对于一个n×n的矩阵A，按照对角线上的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加，再减去按照对角线下方的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加。
这个过程可以用一个式子来表示：det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_21 * a_32 * ... * a_n1。
4. 公式法：对于一个3阶矩阵A，可以利用公式来计算行列式的值。
行列式的计算可以表示为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33+ a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12。
对于4阶及以上的矩阵，复杂度较高，通常情况下不会直接使用公式法计算，而是选择其他方法。
以上是几种常用的求行列式的方法，不同的方法适用于不同的情况，在实际计算中可以根据需要选择合适的方法来求解。
行列式求解方法及应用
行列式求解方法及应用1. 引言在高等数学中，行列式是一种非常重要的算法工具，具有广泛的应用价值。
本文将介绍行列式的求解方法和应用，旨在帮助读者更好地掌握行列式的背景知识和实际运用能力。
2. 行列式的定义行列式是一个数学术语，通常用于表示线性方程组的解的唯一性。
简单地说，行列式是由一个矩阵中根据一定规律选取的元素所组成的一个标量。
行列式的计算方法可以按照矩形展开法、初等行变换法、拉普拉斯展开法等多种方式来进行计算。
在行列式的计算过程中，可以通过简单的数学运算方法来推导出一阶、二阶和三阶等级的方程等式。
3. 行列式的应用行列式在科学和工程领域中有非常广泛的应用，例如线性代数，微积分和概率等领域。
在线性代数领域中，行列式被广泛应用于线性方程组的求解和矩阵的逆运算中。
在方程组求解中，行列式通常用来计算出线性方程组的唯一解，从而帮助进行各种数据处理和计算，例如经济学、工程学和金融学等领域。
在微积分领域中，行列式通常被用来计算多元函数的导数，从而求出曲线和曲面的各种参数。
例如，对于三维空间的平面曲面，可以通过行列式来计算出它的面积，并进一步推导出其表达式和特征等分析。
在概率领域中，行列式通常被用于计算各种随机变量的统计概率值，例如协方差矩阵和特征向量。
这些统计数据通常是人们进行各种预测和决策的依据之一。
4. 行列式的实际应用下面以社交网络中的用户关系分析为例，阐述行列式的实际应用。
社交网络是现代社会中非常重要的一个信息交换渠道。
在社交网络中，用户关系网络可以通过行列式进行分析。
例如，假设有100个用户，他们之间的关系可以表示成一个100x100的矩阵。
如果要对这个关系网络进行分析，可以通过计算该矩阵的行列式，从而得到不同的统计数据。
例如，该行列式的值可以用于判断该关系网络的稳定性和互动性，以及预测不同用户的行为习惯和潜在动机等。
5. 结论通过本文的介绍，可以发现行列式具有广泛的应用和实践价值。
在实际应用中，行列式不仅是一个强有力的数学工具，同时也是现代科学和工程领域的重要组成部分。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，通常用来表示线性方程组的解的情况。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍几种常见的计算方法。
1. 代数余子式法：代数余子式法是一种常用的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A的任意元素a_{ij}，求出它的代数余子式M_{ij}，即将第i行和第j列的元素划去，剩下的元素按原来的顺序排列成一个(n-1)阶矩阵，然后计算这个矩阵的行列式。
2) 根据代数余子式的符号规律，得到每个代数余子式的符号。
即当i+j为偶数时，代数余子式的符号为正；当i+j为奇数时，代数余子式的符号为负。
3) 将每个代数余子式与对应的元素相乘，得到n个乘积，并将这些乘积相加，即可得到行列式的值。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种特殊的行列式计算方法，适用于线性方程组的求解。
对于一个n阶矩阵A=[a_{ij}]和一个n维向量B=[b_1，b_2，...，b_n]，假设该线性方程组的解存在且唯一，可以通过以下步骤计算行列式的值：1) 对于矩阵A，计算它的行列式D。
2) 对于矩阵A的每一列，将向量B替换到对应的列下，形成一个新的矩阵A'。
然后计算新矩阵A'的行列式D'。
3) 行列式D'除以行列式D，即可得到线性方程组的解。
4. 特殊矩阵的行列式计算方法：对于一些特殊的矩阵，可以使用特定的计算方法来求解行列式。
常见的特殊矩阵包括对称矩阵、三角矩阵、反对称矩阵等。
对于对称矩阵，可以通过正交相似变换将其对角化，然后计算对角矩阵的行列式。
对于三角矩阵，行列式的值等于对角线上元素的乘积。
对于反对称矩阵，行列式的值等于0。
行列式的计算方法包括代数余子式法、拉普拉斯展开法、克拉默法则和特殊矩阵的行列式计算方法。
不同的方法适用于不同的情况，根据具体的矩阵形式选择合适的计算方法，可以有效地计算行列式的值。
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第２７卷第２期 青岛大学学报（自然科学版）
２ ０ ｌ ４年５月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩＮＧＤＡＯ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏ１．２７ ＮＯ．２
Ｍａｖ ２ ０ １ ４
文章编号：１００６—１０３７（２０１４）０２—０００４—０３
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—１０３７．２０１４．０５．０２
有限域上多项式的行列式的一种求法
苏 磊，孙同森，郭晓沛，徐克舰
（青岛大学数学科学学院，青岛２６６０７１）
摘要：定义了多项式的范数、共轭多项式、多项式的行列式的概念，研究了Ｇａｌｏｉｓ扩张上多
项式的行列式的一种求法，还讨论了本原多项式与其在扩域中的因式以及其不同因式之问
的关系。
关键词：本原多项式；多项式的范数；共轭多项式；多项式的行列式
中图分类号：Ｄ１５６．２＋１ 文献标志码：Ａ
问题提出
有限域上本原ａ－ＬＦＳＲ序列在密码编码学中有重要应用，相对于普通的ｍ一序列，其密码学性质更加优
越，在这方面的研究中，如何判断 —ＬＦＳＲ的特征多项式是本原多项式是问题的关键，目前主要有如下结果：
设Ｆ 上的口一ＬＦＳＲ以ｆ（ ）一ｚ”＋ｃ 一 （口）ｚ一 ＋…＋ｃ （ ）ｚ＋ｃ。（ ）Ｅ Ａ ［－ｚ］为特征多项式（其中
Ａ —Ｆ ｍ［ ］为线性空间Ｆ ／Ｆ 上的线性变换集合，ｃ。（ ）可逆），Ｆ（ｚ）一 ＋Ｃ 一 ｚ一 ＋…＋Ｃ ｚ ４－Ｃ。Ｅ
Ｍｍ（Ｆ ）［ ］是厂（ ）在正规基下对应的矩阵多项式，则 ＬＦＳＲ生成的 线性递归序列８ 是本原的甘行列式
ｌ Ｆ（ｚ）ｌ是Ｆ。上的 次本原多项式 ］。但直接求解矩阵多项式的行列式是比较困难的，本文针对系数在有
限Ｇａｌｏｉｓ扩域中的多项式给出一种多项式的行列式的求法，并且研究了本原多项式与其在扩域中的因式以
及不同因式之间的关系。
１准备知识
定义１ Ｌ１ 设Ｌ／Ｋ是域的有限正规扩张，对每个域的单同态 ：Ｌ—Ｌ，如果 在Ｋ上的限制 ｌ 是域Ｋ
上的恒等自同构（即对Ｖ ｋ∈Ｋ均有 （是）一忌），则称 是Ｌ的Ｋ一嵌入。
定义２ 设 ：Ｆ ｍ—Ｆ。 ，ａ＿÷ａ 是Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ变换，将ｄ扩充为映射Ｆ ｍ［．ｚ］一Ｆ ｍ［ｚ］，不妨仍记为口。对
Ｖｈ（ ）一ｎ０＋＆１ ＋…＋ｎ ２８”∈Ｆ。ｍ［ ］。
定义
ａ（ｈ（ｚ））：＝＝＝ａｇ４－ａｙｘ４－…４－Ⅱ：－ｚ
称ｄ （ （ ））（０≤ ≤ ～１）为九（１ｚ）的共轭多项式。
易证 为Ｆ ［ｚ］到Ｆ ｍ［ ］的一个同态映射。
定义３ 设Ｆ ／Ｆ。是ｍ次Ｇａｌｏｉｓ扩张，口 ：Ｆ 一Ｆ （０≤ｉ≤ｍ一１）是Ｆ 的ｍ个Ｆ ｑ－嵌入。对于
Ｖｈ（ｚ）∈Ｆ ｍ［ ］，定义
１
ＮＦ
。
／Ｆｑ（＾（ ））：一１－［ （ （ｚ））
为多项式ｈ（ ）∈Ｆ ［ｚ］对于扩张Ｆ ／Ｆ 的范数，在不引起混淆的情况下记Ｎ， ，（ （ ））＝＝＝Ｎ（ｈ（ ））。
易证：对Ｋ—Ｆ ［ｚ］，Ｆ—Ｆ ［ｚ］，
（１）ＮＦ／Ｋ（厂（ｚ）ｇ（ｚ））一Ｎｅ／Ｋ（ （ ））ＮＦ／Ｋ（ｇ（ ）），Ｖ厂（ｚ），ｇ（ｚ）Ｅ Ｆ；
收稿日期：２０１４—０２—２５
通讯作者：徐克舰，男，博士，教授，博士生导师，主要从事算术ｋ＿理论与代数几何方向研究。
第２期 苏磊，等：有限域上多项式的行列式的一种求法 ５
（２）ＮＦ／Ｋ（，（ｚ））一广（ｚ），Ｖ，（１ｚ）∈Ｋ；
（３）ＮＦ／Ｋ（厂（ｚ））ＥＫ［ ］，Ｖ厂（ｚ）ＥＦ。
定义４ Ｖ ｃＥ ，Ｃ诱导出Ｆ 上的ｍ维线性空间Ｆ 上的一个线性变换Ｃ：ｃ（ａ）ｚＣＩ：Ｉ＇，其中ａＥ Ｆ ｍ，记
线性变换Ｃ在Ｆ ｍ的一组Ｆｑ－基下的矩阵为Ａ ，设九（ｚ）一口。＋口 ｚ＋…＋口 ｚ Ｅ Ｆ ｍ［ｚ］，则ｈ（ｚ）的对应系数
可化为矩阵，可以得到一对应矩阵多项式
Ｈ（ｚ）＝：：Ａ ＋Ａ。 ｌｚ＋…＋Ａ ｚ
称ｌ Ｈ（ ）Ｉ为多项式ｈ（ｚ）的行列式。
定理１ Ｅ 设厂（ ）是Ｆ 上的次数为 的不可约多项式，忌Ｅ Ｎ ，则厂（ ）在Ｆ ［ｚ］中可分解为ｄ个ｎ／ｄ
次不可约多项式的乘积，其中 一（愚， ）。
２ 主要结果
定理２设ｈ（ｚ）Ｅ Ｆ［ｚ］，则ｈ（ｚ）的行列式等于其范数。
证明： 设 （ｚ）一口。＋ｎ ｚ＋…＋ｎ Ｅ Ｆ＇Ｅｘ￣， ，∞ｚ，…，ｃｕ 为Ｆ。ｍ的一组Ｆ 一基， 为Ｆｑ－嵌入，则对Ｖ ａ
ＥＦ。ｍ有
ａ（∞１，ＣＯｚ，…， ｍ）一（ｃｏ１，叫２，…，∞ｍ）Ａｇ
其中Ａ ∈Ｍ （Ｆ。）。
等式两边分别用 （Ｏ≤ ≤研一１）作用，则有
（ （ａ） （ｃｏ，）） ×ｍ＝＝＝（ （（ ，））ｍ× Ａ。
ｆａ。（ａ）…０ ］
ｉ ’． ｉ Ｉ一（ｏｉ（ ）） × Ａ （ｄ‘（ ）） Ｉ Ｉ
【０ …ｄ 一 （ａ）Ｊ
依次令口一ａ （七一ｏ，１，２，…， ），则
ｆ 。（ｎ ） …０ ］
ｆ ； 。． ； ｆ一（ （ｃｏ ））ｍ￣ｍＡ （ （ ））
１ ０ … 一 （口 ）Ｊ
对上述等式分别乘ｚ （Ｏ≤忌≤ ），然后相加，则有
∑ 。（ｎ ）ｚ
＝０
０
Ｏ
∑ （ｎ ）
＝０
一
（ （ｃｏ ）） × （∑Ａ ｚ ）（ （ ））－ｌ×１
＝０
两边同取行列式，即有
Ｎ（ｈ（ｚ））一ｌ Ｈ（ｚ）ｌ
注：此引理也适用于一般的有限伽罗瓦扩张。
推论Ｆ。上的ｍｎ次本原多项式ｇ（ｚ）在Ｆ ｍ上的因式ｇ （ｘ）Ｔｉ为共轭多项式，且等于其因式的行列式，
即ｇ（ｚ）一ｌＧ （ｚ）ｌ（１≤ ≤ｍ）。
证明： 由定理１可知ｇ（ｚ）一ｇ （ｚ）ｇ （ｚ）…ｇ （ｚ），其中ｇ （ｚ）∈Ｆｑｍ［ｚ］。
设ａ为ｇ （ｚ）的一根，则口也是ｇ（ｚ）的根，ｇ（ｚ）的全部根可表示为
ａ，ａ ，…，ａｑｎ－－１
，ａ ，…，ａ
ｇｌ（ｓｃ）全部根可表示为ａ，ａ。，…， 一，将ｇ （ｚ）（１≤ ≤ ）适当排列，仍记为ｇ （ｚ），则有
ｇ１（ｚ）一（ｘ－－ａ）（ｘ－－￣ｑ）…（ｚ一口 一 ）
ｇｚ（ｚ）＝＝＝（ —ａ口 ）（ｘ－－ａｑ ）…（ｘ－－ ｑ ）
青岛大学学报（自然科学版） 第２７卷
ｇ （ｚ）一（ｚ— ‘ 一 ）（ｚ—ａ ‘ｍ一 ）”＋ ）…（－ｚ—ａ
于是ｇ （ｚ）互为共轭多项式，则有
ｇ（ｚ）一ＩＩ ａＪ一 （ｇ （ｚ））
Ｊ一１
由定理２可证ｇ（ ）＝＝＝ｆＧ （ ）ｌ（１≤ ≤ ）。
３ 结论
本文分析了Ｆ。中ｍｎ次本原多项式Ｐ（ｚ）在其扩域Ｆ 中本原多项式因式问的关系，并给出了一个避免
复杂运算求多项式行列式的方法。随着对本原多项式的不断探讨，相信本原多项式的其他各方面性质将不
断被发现，进而能够找到一种本原多项式的构造方法或判别方法。
参考文献：
［１］冯克勤．代数数论［Ｍ］．科学出版社．２０００．
Ｅ２］林东岱．代数学基础与有限域［Ｍ］．高等教育出版社．２００６．
［３］曾光，何开成，韩文报．一类三项式形式适合软件实现的ｏ＇－ＬＦＳＲ［Ｊ］．中国科学（Ｅ辑：信息科学），２００７，３７（２）：２０９—２２１
Ａ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｆｉｎｄ ｔｈｅ Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｏｆ ａ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｏｆ Ｆｉｎｉｔｅ Ｆｉｅｌｄ
ＳＵ Ｌｅｉ，ＳＵＮ Ｔｏｎｇ—ｓｅｎ，ＧＵ０ Ｘｉａｏ—ｐｅｉ，ＸＵ Ｋｅ—ｊ ｉａｎ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｑｉｎｇｄａｏ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ ２６６０７１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｔ ｆｉｒｓｔ ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｒｍ ｏｆ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，ｔｈｅ ｃｏｎｊ ｕｇａｔｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｎｄ ｔｈｅ
ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｏｆ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａ１．Ｔｈｅｎ，ａ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｓ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ
Ｇａｌｏｉｓ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ｏｖｅｒ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ａ ｐｒｉｍｉｔｉｖｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｎｄ ｉｔｓ
ｆａｃｔｏｒｓ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｔｓ ｆａｃｔｏｒｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒｉｍｉｔｉｖｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｎｏｒｍ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ