高中必修四数学知识点总结

两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用：
7．辅助角公式：y =asinx+bcosx = a2 +b2 ( a sinx+ b cosx)= a2 + b2 sin(x + ϕ) .
a2 +b2
a2 +b2
8．二倍角公式：
① sin 2α = 2sinα cosα ；
② cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α −1 = 1− 2sin2 α ；
横坐标变为 1 倍
ω→
y
= sinωx
左移ϕ 个单位
ω →
y
= sinω(x +
ϕ)
纵坐标变为A倍→
y = Asin(ωx+ϕ).
ω
④ 单调性：
y = Asin(ω x + ϕ ) ( A > 0,ω > 0) 的增区间，
把“ωx + ϕ ”代入到 y = sin x 增区间[− π + 2kπ , π + 2kπ ] (k ∈ Z ) ，
2 （－∞，＋∞）
无
当 x＝2kπ＋3π ymin=-1 2
当 x＝2kπ＋π,ymin＝－1
奇偶
奇函数
T
2π
单调性
[2kπ − π ,2kπ + π ] 递增
2
2
[2kπ + π ,2kπ + 3π ] 递减
2
2
（注：表中 k 均为整数）
偶函数 2π
[2kπ − π ,2kπ ] 递增 [2kπ ,2kπ + π ] 递减
2
2
即求解 − π + 2kπ ≤ ωx + ϕ ≤ π + 2kπ (k ∈ Z) .
2
2
⑤ 整体思想：
把“ω x + ϕ ”看成一个整体，代入 y = sin x 与 y = tan x 的性质中进行求解. 这种整体思 想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.
第二部分 平面向量
1. 向量与数量：
在数学中，我们把既有大小，又有方向的r量叫uu做ur向量，反之，把只有大小，没有方向的量 称为数量. 向量常用有向线r段来表u量的长度（或模），记为| a | 或 | AB | . 规定长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0 ；长度等于 1 个单位的向量称为单位向量.
ω x + ϕ 为相位；
ϕ 为初相.
10．三角函数图象与性质：
函数
y = sin x
y = cos x
y = tan x
图象
定义域 值域 极值
作图：五点法 （－∞，＋∞）
［－1，1］ 当x＝2kπ＋π ,ymax=1；
2
作图：五点法 （－∞，＋∞）
［－1，1］
当 x＝2kπ,ymax＝1；
作图：三点二线 {x | x ≠ kπ + π ,k ∈ Z}
9.物理意义：
(cosα ± sin α )2 = 1 ± sin α
2
2
物理简谐运动 y = Asin(ωx + ϕ) , x ∈[0, +∞) ，其中 A > 0,ω > 0 .
振幅为 A，表示物体离开平衡位置的最大距离；
周期为T = 2π ，表示物体往返运动一次所需的时间； ω
频率为 f = 1 = ω ，表示物体在单位时间内往返运动的次数； T 2π
自变量值，相应的函数值为 0, A,0, − A, 0 ，描出五个关键点，得到
一个周期内的图象.
③ 三角函数图象变换路线： y = sin x 左移ϕ个单位→ y = sin(x + ϕ)
横坐标变为 1 倍
ω→
y = sin(ω x + ϕ) 纵坐标变为A倍→ y = Asin(ωx + ϕ) .
或： y = sin x
奇函数 π
(kπ − π ,kπ + π ) 递增
2
2
11. 正弦型函数 y = Asin(ω x + ϕ ) ( A > 0,ω > 0) 的性质及研究思路：
① 最小正周期T = 2π ，值域为[− A, A] . ω
② 五点法图：把“ω x + ϕ ”看成一个整体，取ω x + ϕ = 0, π ,π , 3π , 2π 时的五个 22
③
tan 2α
=
1
2 −
tanα tan2 α
.
变形：升幂公式： 1 + cosα = 2 cos2 α ; 1 − cosα = 2 sin 2 α
2
2
1 ± sin α = (cos α ± sin α )2
2
2
降幂公式： sin2 α = 1 − cos 2α ； 2
cos2 α = 1+ cos 2α . 2
r
r
x
三角函数在各象限的符号规律：一全二正弦，三切四余弦.
3．三角函数线：
正弦线：MP； 余弦线：OM； 正切线： AT.
4．诱导公式：
角
2kπ + α
π +α
−α
π −α
函数
y T
P
O M Ax
π −α 2
π +α 2
正弦 sinα 余弦 cosα 正切 tanα
− sin α − cosα tan α
第一部分：三角函数
1．任意角和弧度制 ⑴ 1 弧度角：等于半径的弧长所对的圆心角为 1 弧度角
⑵ 弧度数公式： α = l R
⑶ 角度制与弧度制的互化：
π 弧度 = 180o ，1o = π 弧度，1弧度 = (180)o ≈ 57o18' .
180
π
⑷ 弧长公式： l =| α | R ；
扇形面积公式： S = 1 | α | R2 = 1 Rl .
2
2
2．三角函数定义：
⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点 P(x,y)，
那么 y 叫作α的正弦，记作 sinα；
x 叫作α的余弦，记作 cosα；
y 叫作α的正切，记作 tanα. x ⑵ 角α 中边上任意一点 P 为 (x, y) ，设| OP |= r ，则：
sinα = y ,cosα = x , tanα = y .
tanα = sinα （商数关系）. cosα
6．两角和与差的正弦、余弦、正切：
① sin(α ± β ) = sinα cos β ± cosα sin β ；
② cos(α ± β ) = cosα cos β m sinα sin β ；
③ tan(α ± β ) = tanα ± tan β . 1m tanα tan β
− sin α cosα − tanα
sinα − cosα − tanα
cosα sinα
/
cosα − sin α
/
六组诱导公式统一为“ kπ ± α (k ∈ Z ) ”， 2
记忆口诀一：奇变偶不变，符号看象限. 记忆口诀二：纵变横不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：
sin2 α + cos2 α =1 （平方和关系）；