初中数学章节专项《分式教案》

分式一、本章学习目标1、了解分式的基本性质，灵活运用分式基本性质进行分式的变形。

2、理解并掌握的分式加减，并运用它们进行分式加减运算。

3、理解分式方程的意义，分式方程的基本思路和解法，解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法。

二、本章的知识结构图基础知识：1、代数式：用代数式运算（加减乘除乘方开方）把数字或字母连接起来的式子。

2、分式：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫分式(A 是分子,B 是分母) 3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）人个不等于0的整式，分式的值不变。

式子表示：C B C A B A ••= C B C A B A ÷÷= 4、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示：bd ac d b c a d c b a =••=• 5、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。

式子表示：bdac d c b a d c b a =⨯=÷ 6、分式的乘方法则：要把分子、分母分别乘方。

式子表示：n b a b a n n n(=⎪⎭⎫⎝⎛为正整数)7、加减法法则：同分母分式相加减，分母不变把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减。

8、混合运算顺序：先乘方、再乘除，然后加减，有括号，先做括号里的。

9、分式方程：分母中含有求知数的方程。

10、检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解不是原分式方程的解。

三、本章的重点难点1、了解分式的概念，能确定分式有意义的条件，使分式的值为零的条件。

2、理解分式的基本性质，并能进行简单的变形，能用分式的基本性质进行约分和通分。

3、理解分式的加、减、乘、除运算法则，会进行简单的分式加、减、乘、除运算。

四、本章中考考试内容和考试要求1、对于分式的概念，基本要求了解分式的概念，能确定分式有意义的条件；略高要求能确定使分式的值为零的条件2、对于分式的性质，基本要求理解分式的基本性质，并能进行简单的变形；略高要求能用分式的基本性质进行约分和通分3、对于分式的运算，基本要求理解分式的加、减、乘、除运算法则；略高要求会进行简单的分式加、减、乘、除运算；较高要求能灵活选用恰当方法解决与分式有关的问题五、教学计划六、教学过程（一）分式的基本概念（1）分式定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式 例：下列各式中，指出哪些是分式：322,2,7,,235,43,22++++--+-x b a x b a b a x x x b a π解：分式有322,,235,22+++--+x b a b a x x b a练习题一：1、下列各式哪些是分式，请写出来：()bx ax xn m n m b a m x y x c R 1,561,,47,287,6,2,23333322+-+--+ππ 2、在代数式()xyx x a n m x x x --+++,11,33,21,,213中，请找出其中是分式的 3、找出下列各式中是分式的：()b a cx x x x n m n m y x x a b x x -+-+++---+3,1212,,,352,534,3,122223 4、找出下列各式中是分式的：y x b a y z x y x z c -++-222221,3,5,,1,2π5、找出下列各式中是分式的：()nm nm x x y x b a b a c b m x a +-++++--,512,43,26,,3,3,1,12（2）分式有无意义的条件：①分母不为零，即B ≠0时分式BA有意义 ②分母为零，即B=0时分式B A无意义 例：当x 取什么值时，下列分式有意义？（1）2-x x ；（2）141+-x x ；（3）112+x ；（4）42-x x解：（1）令02=-x ，得2=x所以可知，当2≠x 时，2-x x 的分母02≠-x ，所以2-x x是分式（2）令014=+x ，得41-=x所以可知，当41-≠x 时，141+-x x 的分母014≠+x ，所以141+-x x 是分式于是可知，当2≠x 时，分式2-x x有意义当41-≠x 时，分式141+-x x 有意义（3）令12+x =0，得12-=x ，易知02≥x ，所以12-≠x 恒成立 所以可知，x 取任何值，分式112+x 有意义（4）令042=-x ，得2±=x ， 所以可知，当2±≠x 时，分式42-x x有意义 练习题二：在下列各分式中，当x 取什么值时，分式有意义：1、5-x x ；2、x x -+212；3、135.02+-x x ；4、521-+x x ；5、4312+-x x ；6、121-+x ；7、522+x x ；8、732+x x ；9、912-+x x ；10、4932--x x（3）分式值为零的条件：①分子等于零 ②分母不等于零 两个条件缺一不可 例：当x 为何值时，分式522-+x x 的值为0？解：分式522-+x x 的值为0的条件是：⎩⎨⎧≠-=+05202x x可解得252≠-=x x 而 所以当2-=x 时，分式522-+x x 的值为0练习题三：当x 为何值时，下列分式的值等于零？ 1、x x 2+；2、132-+x x ；3、()()331+-+x x x ；4、11--x x ；5、69-+x x ；6、112+-x x ；7、12-x ；8、21+-x x（二）分式的基本性质（1）分式基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变例：填空：（1）()b a ab b a 2=+，()b a a b a 222=-；（2）()yx x xy x +=+22，()222-=-x x x x 解：（1）222,b ab ab a -+；（2）1,x 练习题四：1、()2x xy=；2、()ba ab =2；3、()221xy xy =；4、()c ac a a =+2；5、()ba b ab b ab +=++22（2）约分：把分式中分子与分母的公因式约去（它的依据是分式基本性质）例：约分：（1）ab bc a 2；（2）12122+--x x x解：（1）ac abacab ab bc a =•=2 （2）()()()11111121222-+=-+-=+--x x x x x x x x 练习题五：约分：1、22515xyz z xy -；2、232123ab b a -；3、xy x xy 3423-；4、()()x y xy y x y x --22122；5、b a b a --22；6、222332m m m m --+-7、12122+--x x x（3）通分：定义：把各分式变成分母相同的分式变换叫做通分先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母例：通分：（1）cab b a b a 2223-与；（2）5352+-x xx x 与 解：（1）最简公分母是c b a 222；c b a bcbc b a bc b a 2222232323=••=，()c b a ab a a c ab a b a cab b a 2222222222-=••-=- （2）最简公分母是()()55+-x x ；()()()2510255525222-+=+-+=-x x x x x x x x x ，()()()25153********--=-+-=+x xx x x x x x x练习题六：通分： 1、2233y x y x 与；2、y x 621与；3、2236ab c b a c 与；4、2236ac bb ac 与；5、()222y x xy y x y x ++-与 （4）分式变号分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变。

例：不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含“-”号：nmy x a b 2)3(3)2(65)1(----- 解：（1）a b a b 6565=-- （2）y x y x 33-=- （3）nmn m 22=-- 练习题七：不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：分式阶段水平测评（一）姓名 分数一、填空题（每小题4分，计20分）1、分式24xx -，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零． 2、当x_______时，分式15x -+的值为正；当x______时，分式241x -+的值为负．3、若a=23，则2223712a a a a ---+的值等于_______．4、根据分式的基本性质，分式aa b--可变形为______________________ 5、公式22(1)x x --，323(1)x x --，51x -的最简公分母为___________________________二、选择题（每小题4分，计24分） 6、有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1x π-中，是分式的有（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 7、分式31x ax +-中，当x=-a 时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若a ≠-13时，分式的值为零； D ．若a ≠13时，分式的值为零 8、下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++9、使分式||1xx -无意义，x 的取值是（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．±1 10、下列各式中，正确的是（ ）A ．x y x y -+--=x y x y -+; B ．x y x y -+-=x y x y ---; C ．x y x y -+--=x y x y +-; D ．x y x y -+-=x yx y-+11、下列各式中，正确的是（ ）A ．a m ab m b +=+ B ．a b a b ++=0 C ．1111ab b ac c --=-- D ．221x y x y x y -=-+ 三、解答题12、约分（每小题4分，计16分）（1）b a b a 3222--；（2）222016ax bx -；（3）1642--m m ；（4）x x x x x 15232232-+--13、通分（每小题4分，计16分）（1）2233y x xy x 与；（2）222310ab c b a c 与；（3）()2y x xy y x y x ++-与；（4）32329422+--m m m mn 与 14、（8分）已知y=123x x--，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（•3）y 的值是零；（4）分式无意义 15、（8分）若分式22xx +-1的值是正数、负数、0时，求x 的取值范围 16、（8分）求证分式()()22211y x xy x +-+-不可能为零（三）分式的运算 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母用式子表示：db ca d cb a ••=• 例：计算：（1）3234x yy x •；（2）411244222--•+-+-a a a a a a解：（1）2333264234xy x xy x y y x ==• （2）()()()()()()()()()()()21222112221124112442222222+--=+----=+--•--=--•+-+-a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =222-+-a a a 练习题八： 计算1、291643a bb a •；2、3234x y y x •；3、b a a b 25222•；4、2223253c b a a bc •；5、y x y x y x y x +-•-+；6、2232251033b a b a ab b a -•-；7、x x x x x x 34292222--•+-；*8、233344222++-•+--a a a a a a（2）分式的乘方法则：要把分式的分子、分母分别乘方例：计算：2232⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c b a解：()()22422222943232cb ac ba cb a =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 练习题九：计算：1、222⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b ；2、2232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y ；3、23⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y ；4、32432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-zy x ；5、2⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b a ；6、21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x（3）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘例9：计算：（1）cd b a c ab 4522223-÷；（2）mm m 7149122-÷-解：（1）ac bdc b a cd ab b a cd c ab cd b a c ab 52104542452222322232223-=-=-•=-÷（2）()()()777717491714912222+-=-+--=-•-=-÷-m m m m m m m m m m m m练习题十：1、y x a xy 28512÷；2、x y xy 3232÷-；3、cd b a c ab 4322222-÷；4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷2536y x xy ；5、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x y a y a 320164532； 6、()222x y xy y x -÷-；7、()11112+-+÷-+x x x x ；8、x x x x x x 24422-÷++-；9、xyx y x y xy x y x 2222422222++÷++-（4）分式的乘除混合运算例：计算：（1）3592533522+•-÷-x xx x x ；（2）2333222⎪⎭⎫ ⎝⎛•÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a c d a cd b a 解：（1）32353925352359253352222x x x x x x x x x x x =+•-•-=+•-÷- （2）63322393362239336233328424222cd b a a c a d d c b a a c d a d c b a a c d a cd b a -=••-=•÷-=⎪⎭⎫ ⎝⎛•÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-练习题十一：计算：1、⎪⎭⎫⎝⎛-•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷+x x x x x x 212222；2、()12314412222-++•-÷+++-x x x x x x x x ；3、()x x x x x x x --+•+÷+--363446222 4、232322⎪⎭⎫ ⎝⎛•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-b ba b a ；5、222224⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-•⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ay x ax y x y x ；6、3234223362⎪⎭⎫⎝⎛-•÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b c b a d c ab ； 7、2232ba a ab a ab b a -÷⎪⎭⎫⎝⎛--•⎪⎭⎫ ⎝⎛-（5）分式的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 例：计算：（1）xyz x xyz y xyz x 354+-；（2）abcac ab 433265+-；（3）2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+；（4）b a a b b a -+---1079；（5）b a ba a ++-3222；（6）113+-+x x 解：（1）xyzy x xyz x y x xyz x xyz y xyz x 57354354-=+-=+- （2）abcb c abc abc b abc c abc ac ab 1298101291281210433265+-=+-=+-（3）()()()()()()yx y x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x +=-+-=--=--++-+=--+-+--+2222322332232222222222（4）b a b a b a b a b a a b b a -=-+-+-=-+---2610791079 （5）()2222222222353323232ba ba b a b a a b a b a b a a b a b a a --=--+=--+-=++- （6）()()14113111311322+-=++-=++--=+-+x x x x x x x x x 练习题十二：计算： 1、x x x 11-+；2、abc c abc a abc a 32+-；3、223121cd d c +；4、xyz y x yz x 210722-+；5、13121+-+++b ab a b a ； 6、1111813222+++++x x x ；7、x y y x y x y x y y x ----+-+2；8、()2221x y y y x -+-；9、2221y x xy y x ---； 10、()22223n m n m n m ----；11、aa --+242；12、y y y x x y x x -++--2222（6）整数指数幂令m 、n 为任意整数，则有()01≠=-a aan n，()010≠=a a ，n m n m a a a +=•，()mn nm a a =，()n n nb a ab =，()0a ≠=÷-nm n m a a a ，n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛例：（1）计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：①()321b a -；② ()32222---•b a b a（2）用科学记数法表示下列各数：0.000012；0.00001 解：（1）①()3663321ab b a ba ==--；②()8888662232222ab b a b a b a ba b a ==•=•------（2）551000001.0,102.1000012.0--=⨯=练习题十三：1、计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：（1）2223--•ab b a ；（2）()12224---÷yzx z xy ；（3）()313--ab ；（4）()3322232n m n m --•；（5）()()23122--abc bc a2、用科学记数法表示下列各数： （1）0.000000001；（2）0.0012；（3）0.000000345；（4）—0.00003；（5）0.000000567；（6）0.000000301（7）分式的混合运算例：计算：4122b b a b a b a ÷--•⎪⎭⎫⎝⎛ 解：()()()()()()b a b abb a b ab a a b a b b a a b a b a b a b a b a b b a b a ba b b a b a b a -=-+-=----=--=•--•=÷--•⎪⎭⎫⎝⎛222222222222244444444414412练习题十四：计算：1、x y y x x y y x 222222÷-•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；2、⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-x x x 111；3、a aa a a a --÷-+-923122；4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+221111y xy x 5、⎪⎭⎫⎝⎛--+÷--252423x x x x（8）化简求值化简求值问题的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值例：先化简，再求值：244(2)24x x x x -++-，其中x = 解：244(2)24x x x x -++-()()()()()2212221222222-=+-=+•--=x x x x x x当x = ()21225252122122=-=-⨯=-x 练习题十五：1、先化简，再求值：2239(1)x x x x---÷，其中2x =． 2、先化简，再求值：22212221x x x x x x --+--+÷x ，其中x =23． 3、先化简，再求值：2111224x x x -⎛⎫+÷⎪--⎝⎭，其中，3x =． 4、先化简，再求值：)252(23--+÷--x x x x ，其中x ＝－4． 5、先化简，再求值：aa a a a a 112112÷+---+，其中21-=a分式阶段水平测评（二）姓名 分数一、选择题（每小题4分，计24分）1．下列分式中是最简分式的是（ ）.（A ）221x x + （B ）42x （C ）211x x -- （D ）11xx -- 2．用科学记数法表示0.000078，正确的是（ ）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3 （D ）0.78×10-43．下列计算：①0(1)1-=-；②1(1)1--=；③33133a a-=-；④532()()x x x ---÷-=-．其 中正确的个数是（ ）．（A ）4 （B ）3 （C ）1 （D ）04．已知公式1212111()R R R R R =+≠，则表示R 1的公式是（ ）． （A ）212R R R RR -=（B ）212RR R R R =- （C ）212RR R R R =-（D ）212()R R R R R += 5．下列分式的运算中，其中结果正确的是（ ）.（A ）112a b a b +=+ （B ）323()a a a = （C ）22a b a b a b +=++ （D ）231693a a a a -=-+- 6．化简24().22a a a a a a---+的结果是（ ）.（A ）-4 （B ）4 （C ）2a (D)2a+4二、填空题（每小题4分，计16分）7．若20(1)a -有意义，则a ≠ ． 8．纳米是非常小的长度单位，1纳米=0.00000000１米，那么用科学记数法表示1纳米= 米．9．如果12x y y -=，则xy= ． 10．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则2a bm dc a b c++-=++ ． 三、解答题11．计算化简（每小题5分，计20分）（1）2422-+-x x x ；（2）)9(322-•-x xx x ；（3）211144422++÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--a a a a a a ；（4）1123----a a a a . 12．（10分）请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：212(1)1a a a a --++-.13.（10分）先化简，再求值.21,22112122-=-•++-x x x x x 其中 14．（10分）若关于x 的方程323a x bx --=的解是x=2，其中a b ≠0，求a bb a -的值． 15．（10分）已知222211111x x x x y x x x-+-=÷-+-+ ，试说明在等号右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y 的值不变．（四）分式方程解可化为一元一次方程的分式方程的解法：①去分母，即在方程两边都乘最简公分母，把原方程化为整式方程②解这个整式方程③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根不是原方程的根 *增根就是当验根时，所得的根使最简公分母的值为零例：解方程：（1）xx 332=-；（2）()()21311+-=--x x x x 解：（1）方程两边同乘()3-x x ，得932-=x x 解得 9=x检验：9=x 时()03≠-x x ，9是原分式方程的解 所以原分式方程的解是9=x（2）方程两边同乘()()21+-x x ，得()()()3212=+--+x x x x 化简，得 32=+x解得 1=x检验：1=x 时()()021=+-x x ，1不是分式方程的解， 所以，原分式方程无解练习题十六： 解下列方程： 1、3221+=x x ；2、()1516++=+x x x x ；3、1441222-=-x x ；4、02311=-++x x ；5、22231--=-x x x ； 6、125552=-+-x x x ；7、0212322=--+xx x x ；8、x x x -=+--23123（五）分式方程的应用 （1）行程问题行程问题的基本数量关系：①.速度路程，时间时间路程时间，速度速度路程==•= ②顺流速度=静水中的速度＋水流速度；逆流速度=静水中的速度－水流速度解行程问题一般思路：①利用示意图；②仔细审题，分清已知、未知；③分析条件，找出已知量与未知量的关系；④依据题意，建立等量关系；⑤注意解题格式例1：A 、B 两地相距80km ，一辆公共汽车从A 地出发，开往B 地，2小时后，从A 地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40min 到达B 地，求两种车的速度.分析：本题的相等关系是：公共汽车行80km 所用的时间=小汽车行驶80km 所用的时间＋2小时40分.解：设公共汽车的速度为x km/h ，则小汽车的速度为x 3km/h ，依题意，得6040238080++=x x 解得20=x检验：20=x 时，20060=≠x x ，是原分式方程的解，所以603=x答：公共汽车的速度为20km/h ，小汽车的速度为60km/h.总结：分式方程的应用和解分式方程一样要求检验所求的解是不是原方程的解.例2：一只小船从A 港口顺流航行到B 港口需6小时，而由B 港口返回到A 港口需要8小时.某日，小船在早上6时出发由A 港口顺流航行到B 港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回寻找救生圈，1小时后找到救生圈.（1）若小船按水流速度由A 港口漂流到B 港口，需要多长时间？ （2）救生圈于何时掉入水中？分析：本题中两地路程未知，可以看做是“1”（或设为s 亦可），根据水流速度、船的速度与顺流速度、逆流速度的关系可列分式方程，其相等关系为：顺流速度－水流（漂流）速度＝船的速度＝逆流速度＋水流（漂流）速度.而救生圈落入水中后，仍会以水流速度向B 港口漂流，其相等关系为：船到B 港口时救生圈漂流路程＋船返回后找到救生圈时船与救生圈共行路程＝救生圈掉入水中后船航行到B 港口的路程解：（1）设船由A 港口漂流到B 港口需x 小时，根据题意，则有xx 181161+=- 解得48=x经检验48=x 是原方程的根答：若小船按水流速度由A 港口漂流到B 港口需要48小时. （2）设救生圈是在y 时掉入水中的，则有4811281612+-+=-y y 解得11=y答：救生圈是在11时掉入水中的.练习题十七：1、A 、B 两地相距40km ，甲骑自行车从A 地出发1小时后，乙也从A 地出发，用相当于甲1.5倍的速度追赶，当追到B 地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙两人的速度.2、A 、B 两城相距50千米.甲骑自行车从A 城往B 城，出发1小时30分钟后，乙骑摩托车也从A 地往B 城.已知乙的速度是甲的速度的2.5倍，并且乙比甲早到1小时，求两人速度各是多少？3、如图所示，小明家，王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米，由于小明的父母战斗在抗“非典”的第一线上，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学，已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问：王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？4、轮船顺水航行80km 所需的时间和逆水航行60km 所需的时间相同，已知水流的速度是3km/h.求轮船在静水中的速度.5、一只船航行在A 、B 两地，顺流航行所需的时间是逆流航行所需时间的54，已知船在静水中每小时航行14千米，求水流速度（2）工程问题工程问题的基本数量关系：”常设为“工作时间，工作总量通工作效率工作量1⨯=例1：甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相同，已知两人每小时共做140个零件，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？分析：此题是工程问题，相等关系为时间关系，即甲做180个零件的时间＝乙做240个零件的时间，可以把工作效率设为未知数，通过两人每小时共做140个零件，找出两人工作效率之间的关系解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做()x -140个.根据题意，得xx -=140240180 解这个方程，得60=x检验：把60=x 代入原方程，各分母均不为零，所以60=x 是原方程的根.所以8060140140=-=-x （个）答：甲每小时做60个零件，乙每小时做80个零件.例2：甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天完成全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的32，求甲，乙两队单独完成此项工程各需多少天？分析：总工作量＝乙独做工作量＋甲、乙合做工作量. 解：设乙单独完成此工程需x 天，则甲单独完成此工程需x 32天. 依题意，得x x x 322211++=.即1321=++xx x 解之，得6=x .经检验，6=x 是方程的根，且符合题意.故6=x ，432=x 答：甲、乙两队单独完成此项工程分别需4天，6天练习题十八：1、 某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间少半个小时，求甲、乙两组每个小时各加工多少个零件？2、 某工厂为了完成供货合同，决定在一定时间内生产某种零件4000个，由于对原有设备进行技术改造，提高生产效率，每天比原计划增产25%，可提前10天完成任务.问：原计划日产多少个零件？ 3、 甲工人工作效率是乙工人的212倍，他们同时各加工1500个零件，甲比乙提前18小时完工，问他们每人每小时各加工几个零件？4、 有一工程，甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做要超过规定日期3天完成；若先由甲、乙两人合做2天后，再由乙单独做，刚好在规定日期完成，规定日期是多少天？5、 甲、乙两人合做一件工作，4天后，甲因另有任务，余下的工作由乙单独完成，还需16天，甲、乙两人单独完成这项工作所用的时间的比为4：5，问甲、乙单独完成这项工作各需多少天？（3）其他购卖问题 购物问题的数量关系：商品的件数总价单价=例1：某顾客第一次在商店买若干件某一小商品共花去5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他这一次买的小商品的数量是第一次的2倍，这样共花去2元，问他第一次买的小商品是多少件？分析：按题意分析知：第一次购买小小商品时的单价－第二次购买小商品时的单价＝每件小商品所降价格.解：设他第一次购买小商品为x 件，依题意，得128.0225=-x x 解得60=x ，检验：60=x 时，012≠x ，所以60=x 是原分式方程的解答：他第一次购买小商品60件例2：某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨31.小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m 3，求该市今年居民用水的价格.分析：此题的主要等量关系是：小丽家今年7月份的用水量－小丽家去年12月份的用水量＝5m 3.所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出.解：设该市去年居民用水的价格为x 元/m 3，则今年的水价为x ⎪⎭⎫⎝⎛+311元/m 3， 根据题意，得51531130=-⎪⎭⎫⎝⎛+x x ， 解这个方程，得5.1=x .经检验5.1=x 是所列方程的根，所以23115.1=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯（元）. 答：该市今年居民用水的价格为2元/m 3.练习题十九：1、 一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有一组学生参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊6元，已知这两组学生的人数相等，那么每组学生人数为多少人？2、 某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为1：8，今年夏天由于家电购买量明显增多，家电部从销售人员中抽调了22人去送货，结果送货人员与销售人员人数之比为2：5，求这个商场家电部原来各有多少名送货人员和销售人员？3、 近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨.今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的1.6倍，用150元给汽车加的油量比去年少18.75L.请根据提供的这些信息，帮小明计算今年5月份每升汽油的价格是多少呢？ 4、 阅读下面对话：小红妈：“售货员，请帮我买些梨.” 售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高.”小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元.”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现每千克苹果的价格是梨的1.5倍，苹果的重量比梨少2.5kg. 试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨的和苹果的单价.5、 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。