高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.1
证明
反思与感悟
证明多点共线通常利用公理 2 ，即两相交平面交线的唯
一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，
也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.
跟踪训练3
已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，
BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.
面内，再证明两个平面重合.
跟踪训练 2
已知 l1∩l2 ＝ A ， l2∩l3 ＝ B ， l1∩l3 ＝ C ，如图所示 . 求证：直
线l1，l2，l3在同一平面内.
证明
类型三 点共线、线共点问题
命题角度1 点共线问题 例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于 点Q，求证：B，Q，D1三点共线.
在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.
解答
反思与感悟
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察
图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语
言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
跟踪训练1
思考 1
平面的基本性质
直线 l 与平面 α有且仅有一个公共点 P.直线 l 是否在平面 α内？有
两个公共点呢？
答案 前者不在，后者在. 思考2 观察图象，你能得出什么结论？
答案 不共线的三点可以确定一个平面.
梳理 公理(推论) 文字语言 如果一条直线上的 两点在 一个 平面 公理1 内，那么这条直线 上所有的点都在这 个平面内
A∈α B∈α
图形语言
符号语言
作用 (1)判定直线
在平面内； 平面内
AB⊂α (2) 证 明 点在 ⇒______
如果两个平面有一 个公共点，那么它 们还有其他公共点， 这些公共点的集合 经过这个公共点 是______________ 的一条直线
P∈α P∈β
(1)判断两个平 面是否相交； (2)判定点是否 在直线上； (3)证明点共线 问题
第1章 1.2
点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质
学习目标
1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系. 2.掌握有关平面的三个公理及三个推论. 3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
平面的概念
思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？ 答案 没有.平行四边形.
梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
位置关系 符号表示
点P在直线AB上
点C不在直线AB上
P∈AB
C∉AB
点M在平面AC内
点A1不在平面AC内
M∈平面AC
A1∉平面AC
直线AB与直线BC交于点B
直线AB在平面AC内
AB∩BC＝B
AB⊂平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1⊄平面AC
知识点三
公理2
α∩β＝l ⇒_______
且P∈l ______
不在同一 经过________ 公理3
条直线上的 ____________
三点 ，有且只 _____ 有一个平面 经过一条直线
A，B，C不共线
⇒A，B，C确定
(1)确定一个
平面的依据；
一个平面α
(2)证明平面
重合；
推论1
外 和这条直线___ 的一点，有且
A∉l⇒A和l确定
一个平面α
(3)证明点、
线共面
只有一个平面
相交 经过两条____ 推论2 直线，有且只
a∩b＝A⇒a，b确 定一个平面α
(1)确定一
个平面的
有一个平面
平行 经过两条____ 推论3 直线，有且只 有一个平面
依据；
(2)证明平
a∥b⇒a，b确定
一个平面α
面重合；
(3)证明点、
线共面
[思考辨析 判断正误]
1.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.( × )
2.空间不同三点确定一个平面.( × )
3.一条直线和一个点确定一个平面.( × )
题型探究
类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解
在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.
知识点二
思考
点、线、面之间的位置关系
直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，
平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？ 答案 点和直线，平面的位置关系可用数学符号 “∈”或“∉”表示，
直线和平面的位置关系，可用数学符号 “⊂”或“⊄”表示.
梳理 (1)平面的概念 广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面 也是从现实世界中抽象出来的几何概念. (2)平面的画法
一般用水平放置的 正方形的直观图 作为平面
的直观图 一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立 体感，被遮挡部分用 虚线 画出来.
(3)平面的表示方法
平面通常用希腊字母α，β，γ„表示，也可以用平行四边形的两个相对顶
因为P∈b，b⊂α，所以P∈α. 又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.
证明
引申探究 将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平 行直线一定在同一平面内.
解答
反思与感悟 证明多线共面的两种方法
(1) 纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平
面内.
(2) 重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平
分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
跟踪训练4
若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间
② 的关系可以记作______.( 填序号)
①A∈b∈β；②A∈b⊂β；③A⊂b⊂β；④A⊂b∈β.
Hale Waihona Puke 答案类型二 点线共面 例2 如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.
证明
因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.
证明
命题角度2 线共点问题
例4
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1
的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.
证明
反思与感悟
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直
线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可
先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第4课时 直线与平面垂直的性质学案 苏教版必修2
第4课时 直线与平面垂直的性质学习目标 1.掌握空间中线面垂直的性质定理.2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.掌握线面垂直的判定与性质的综合应用.知识点 直线与平面垂直的性质定理思考 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？ 梳理文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线______符号语言⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b图形语言类型一 线面垂直的性质定理及应用例1 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC .求证：MN ∥AD 1.引申探究若本例的条件不变，求证：M 是AB 的中点.反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证明两条直线共面且无公共点.(2)利用三线平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直.跟踪训练1 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.类型二线面垂直的综合应用命题角度1 线面垂直中的探索性问题例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.反思与感悟探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”.跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，CC1＝5，M是棱CC1上一点，是否存在这样的点M，使得BM⊥平面A1B1M？若存在，求出C1M的长；若不存在，请说明理由.命题角度2 线线、线面垂直的相互转化例3 如图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：SC⊥AF；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.反思与感悟(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可.(2)证明的转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直.跟踪训练3 如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.1.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是________.2.线段a和b在正方体ABCD—A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________.(填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.3.如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________.4.如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F.求证：EF⊥PC.1.空间线面垂直与线线垂直经常相互转化.判定定理是将一条直线与平面内的两条相交的直线的垂直关系转化为直线与平面的垂直关系；同样直线与平面的垂直的定义也揭示了这两类垂直关系的转化.2.垂直关系与平行关系也可以相互转化.(1)线面平行的性质定理a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α；(需要利用线面垂直的定义证明)(3)a⊥α，b∥α⇒a⊥b；(需要证明)(4)a⊥α，a⊥b，b⊄α⇒b∥α.(需要证明)答案精析问题导学 知识点 思考 平行． 梳理 平行 题型探究例1 证明 因为ADD 1A 1为正方形， 所以AD 1⊥A 1D .又因为CD ⊥平面ADD 1A 1， 所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC . 又因为MN ⊥平面A 1DC ， 所以MN ∥AD 1. 引申探究证明 连结ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 跟踪训练1证明 连结AB 1，B 1C ，BD ，B 1D 1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.例2 (1)证明连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)解所求G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.跟踪训练2 解 假设存在点M 使得BM ⊥平面A 1B 1M ，并设C 1M ＝x ， 则有Rt△B 1C 1M ∽Rt△BMB 1. ∴C 1M B 1M ＝B 1M BB 1，∴4＋x 2＝5x ， ∴x ＝4或x ＝1. 当C 1M ＝1或4时， 使得BM ⊥平面A 1B 1M .例3 证明 (1)∵SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BC .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . 又AB ∩SA ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ，又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE . 又SB ⊥AE ，SB ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面SBC ，又∵SC ⊂平面SBC ，∴AE ⊥SC . 又EF ⊥SC ，EF ∩AE ＝E ， ∴SC ⊥平面AEF . 又AF ⊂平面AEF ， ∴SC ⊥AF .(2)∵SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥CD .又四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD . 又SA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面SAD . 又AG ⊂平面SAD ，∴CD ⊥AG . 由(1)可知，SC ⊥平面AEF ， ∵AG ⊂平面AEF ，∴AG ⊥SC ， 又SC ∩CD ＝C ，∴AG ⊥平面SCD ， 又SD ⊂平面SCD ，∴AG ⊥SD .跟踪训练3 证明 (1)在平面ABC 内任取一点D ，作DF ⊥AC 于点F ，作DG ⊥AB 于点G .∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC. (2)连结BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE⊥平面PBC，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．当堂训练1．平行 2.①②③ 3.平行4．证明∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC.又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC.又AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF，∴EF⊥PC.。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.3.2
1.3.2空间几何体的体积学习目标1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积.3.会求简单组合体的体积及表面积．知识点一 柱体、锥体、台体的体积公式1．柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)． 2．锥体的体积公式V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．3．台体的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′，S 为上、下底面面积，h 为高)．4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝Sh V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .知识点二 球的表面积和体积公式1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)． 2．球的体积公式V ＝43πR 3.知识点三 球体的截面的特点1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．1．锥体的体积等于底面面积与高之积．(×)2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(√)类型一柱体、锥体、台体的体积例1(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为____________．★★答案★★312解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)现有一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降________ cm. ★★答案★★ 0.6解析 设杯里的水下降h cm ，由题意知π⎝⎛⎭⎫2022h ＝13×20×π×32，解得h ＝0.6 cm. 反思与感悟 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比．解 设AB ＝a ，AD ＝b ，AA ′＝c ， ∴V C －A ′D ′D ＝13CD ·S △A ′D ′D ＝13a ·12bc ＝16abc ，∴剩余部分的体积为V ABCD －A ′B ′C ′D ′－V C －A ′D ′D ＝abc －16abc ＝56abc ，∴棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解 如图，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，取上、下底面的中心分别为O ′，O ，BC ，B ′C ′的中点分别为D ，D ′，则DD ′是梯形BCC ′B ′的高．所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又因为A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333(cm)，O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2 ＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)．由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上×S 下)＝433×⎝⎛⎭⎫34×202＋34×302＋34×20×30＝1 900(cm 3)． 类型二 球的表面积与体积命题角度1 与球有关的切、接问题例2 (1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比． 解 如图，等边△ABC 为圆锥的轴截面，截球面得圆O .设球的半径OE ＝R ，OA ＝OEsin 30°＝2OE ＝2R .∴AD ＝OA ＋OD ＝2R ＋R ＝3R ， BD ＝AD ·tan 30°＝3R ， ∴V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13π·BD 2×AD ＝13π(3R )2×3R ＝3πR 3，∴V 球∶V 圆锥＝4∶9.(2)设长方体的长，宽，高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________． ★★答案★★ 6πa 2解析 长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a ， 得球的半径为62a ，则球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫62a 2＝6πa 2. 反思与感悟 (1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. (2)球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r 2＝22a ，如图②. (3)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 3＝12a 2＋b 2＋c 2，如图③.(4)正方体的外接球正方体棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝3a . (5)正四面体的外接球正四面体的棱长a 与外接球半径R 的关系为2R ＝62a . 跟踪训练2 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为________． ★★答案★★4π3解析 由题意知，此球是正方体的内切球．根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，所以体积是43×π×13＝4π3.(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________． ★★答案★★ 73πa 2解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712a 2，故S 球＝4πR 2＝73πa 2. 命题角度2 球的截面例3 已知过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC ＝BC ＝6，AB ＝4，求球的表面积与球的体积．解 如图所示，设球心为O ，球半径为R ，作OO 1⊥平面ABC 于点O 1，由于OA ＝OB ＝OC ＝R ，则O 1是△ABC 的外心，设M 是AB 的中点，由于AC ＝BC ，则O 1∈CM .设O 1M ＝x ，易知O 1M ⊥AB ，则O 1A ＝22＋x 2，O 1C ＝CM －O 1M ＝62－22－x . 又O 1A ＝O 1C ，∴22＋x 2＝62－22－x ， 解得x ＝724.∴O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝924.在Rt △OO 1A 中，O 1O ＝R2，∠OO 1A ＝90°，OA ＝R ， 由勾股定理得⎝⎛⎭⎫R 22＋⎝⎛⎭⎫9242＝R 2， 解得R ＝362，则S 球＝4πR 2＝54π，V 球＝43πR 3＝276π.反思与感悟 设球的截面圆上一点A ，球心为O ，截面圆心为O 1，则△AO 1O 是以O 1为直角顶点的直角三角形，在解答球心的截面问题时，常用该直角三角形求解，并常用过球心和截面圆心的轴截面．跟踪训练3 用过球心的平面将一个球分成两个半球，则两个半球的表面积之和是原来整球表面积的______倍． ★★答案★★ 32解析 设球的半径为R ，则S 球表＝4πR 2.分成两个半球后，表面积为原来球的表面积再加上两个圆面面积，S 圆＝πR 2，∴两个半球的表面积之和S ＝S 球表＋2S 圆＝6πR 2.∴S ∶S 球表＝3∶2.类型三 组合体的体积例4 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．解 不会溢出杯子．理由如下： 因为V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×43＝1283π(cm 3)， V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×42×12＝64π(cm 3)，所以V 半球＜V 圆锥，所以冰淇淋融化了不会溢出杯子．反思与感悟 代公式计算几何体的体积时，注意柱体与锥体的体积公式的区别．跟踪训练4 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所得的几何体的体积．解如图，过点C作CE垂直于AD，交AD延长线于点E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝13π(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是________ cm. ★★答案★★ 4解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm 2，高为4 cm ， ∴铜质的五棱柱的体积V ＝16×4＝64(cm 3)． 设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm ， 则a 3＝64，解得a ＝4(cm)．2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________． ★★答案★★ 2π解析 设圆柱的底面半径为r ，则S 侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，得r ＝1，则圆柱的体积为πr 2×2r ＝2π.3．正方体的外接球的体积是其内切球的体积的______倍． ★★答案★★ 33解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32.∴外接球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫323，内切球的体积为43π×⎝⎛⎭⎫123，∴外接球的体积是内切球的体积的33倍．4．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为________． ★★答案★★3解析 依题意得正六棱锥的高为5－12＝2，所以V ＝13Sh ＝13×6×34×2＝ 3.5．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为1 cm 和底面半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为________ cm.★★答案★★ 29解析 在图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h cm ，则有π×12×(h －20)＝π×32×(h －28)，解得h ＝29(cm)．1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系V 柱体＝Sh ←――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即V A－BCD＝V B－ACD＝V C－ABD＝V D－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．一、填空题1．已知正三棱锥S—ABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱锥S—BCED与三棱锥S—ABC的体积之比为________．★★答案★★3∶4解析两锥体高相等，因此V S -BCED ∶V S -ABC ＝S BCED ∶S ABC ＝3∶4.2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为________． ★★答案★★ π∶4解析 设正方体棱长为1，则S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4. 设圆柱的底面半径为r ，则2πr ×1＝4，r ＝2π，则V 正方体＝1，V 圆柱＝π⎝⎛⎭⎫2π2·1＝4π. ∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4.3．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为________． ★★答案★★4581π 解析 由题意得圆锥的底面圆的周长为240°360°×2π×1＝43π，设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝43π，所以r ＝23，所以圆锥的高h ＝12－⎝⎛⎭⎫232＝53，故圆锥的体积V ＝13×π×⎝⎛⎭⎫232×53＝4581π.4．长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________． ★★答案★★ 9π解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎨⎧ab ＝3，bc ＝5，ac ＝15，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，c ＝5，∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×(32)2＝9π.5.如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正棱柱的盒子(中间连通)．若其表面积为(448＋323)cm 2，则其体积为______ cm 3.★★答案★★ 512＋1283解析 设正方体的棱长为a cm ，则5a 2＋2a 2＋34a 2×2＝448＋323，解得a ＝8(cm)． ∴该几何体的体积为a 3＋34a 2·a ＝512＋1283(cm 3)． 6．如图，在正直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．★★答案★★ 83解析 由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b ，由题意可知BD ＝DC 1，故△BDC 1为以点D 为直角顶点的等腰直角三角形．又12BD 2＝6，所以BD ＝23，BC 1＝26，由AB 2＋AD 2＝BD 2，得a 2＋b 24＝12.① 又由BC 2＋CC 21＝BC 21，得a 2＋b 2＝24，②由①②可得a ＝22，b ＝4，∴V ＝34×(22)2×4＝8 3. 7.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，那么V 1∶V 2＝________.★★答案★★ 7∶5解析 如图，延长A 1A 到A 2，B 1B 到B 2，C 1C 到C 2，且A 1A ＝AA 2，B 1B ＝BB 2，C 1C ＝CC 2，连结A 2C 2，A 2B 2，B 2C 2，则得到三棱柱ABC —A 2B 2C 2，且111222——ABC A B C ABC A B C V V ＝.延长B 1E ，C 1F ，则B 1E 与C 1F 相交于点A 2.因为A 2A ∶A 2A 1＝1∶2， 所以2—A AEF V ＝182111A A B C V －.又2A AEF V －＝142A ABC V －＝14×13222—ABC A B C V ＝112111ABC A B C V －， 所以V 1＝27A AEF V －＝712111—ABC A B C V ， 故V 1∶V 2＝7∶(12－7)＝7∶5.8.圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是________ cm.★★答案★★ 3解析 设球半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得3×43πr 3＋πr 2×6＝πr 2×6r ，解得r ＝3.9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为____ cm 3. ★★答案★★500π3解析 设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2)cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5(cm)，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3(cm 3)． 10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2＝________.★★答案★★32π解析 棱长为a 的正方体的体积V 1＝a 3， 表面积S 1＝6a 2.底面半径和高均为r 的圆锥的体积V 2＝13πr 3，侧面积S 2＝2πr 2. 由V 1V 2＝a 313πr 3＝3π，得a ＝r ， 所以S 1S 2＝6a 22πr 2＝32π.二、解答题11．一倒置圆锥体的母线长为10 cm ，底面半径为6 cm. (1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间． 解 (1)设圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为l ， 则h ＝l 2－R 2＝102－62＝8(cm)．(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r ，由△OCD ∽△ACO 1，得OD AO 1＝OC AC， 所以r 6＝8－r 10， 解得r ＝3.因为圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，所以V 锥－V 球＝13×π×62×8－43π×33 ＝96π－36π＝60π(cm 3)．12．如图，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，求V 1∶V 2的值．解 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，则三棱锥F －ADE 的高为h 2， ∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ， ∵V 1＝13S △ADE ·h 2，V 2＝S △ABC ·h ， ∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分是以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC ＝30°)解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°，∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2， S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝32πR 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2. 又∵V 球＝43πR 3， 1AO V 圆锥＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1， 1BO V 圆锥＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－(1AO V 圆锥＋1BO V 圆锥)＝56πR 3. 三、探究与拓展14．如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是________．★★答案★★ 23解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′＝13， ∴V C －AA ′B ′B ＝1－13＝23. 15．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3. 而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ， 从而容器内水的体积为V ′＝13π·⎝⎛⎭⎫33h 2·h ＝19πh 3， 由V ＝V ′，得h ＝315r .即容器中水的深度为315r .。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.3.1
1 1 S 正棱台侧面积＝ n(a＋a′)h′＝ (c＋c′)h′. 2 2 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其他方法吗？棱台的表面积如何
可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出．
棱台的表面积等于侧面积与底面积的和． 梳理 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧
2 h2 斜－EF ＝
b－a 又 EF＝ ，∴h＝ 2 引申探究
ab . a＋b
若四棱台的高是 12 cm，两底面边长之差为 10 cm，表面积为 512 cm2，求底面的边长． 解 如图，设上底面边长为 x cm，则下底面边长为(x＋10)cm，
在 Rt△E1FE 中， EF＝ x＋10－x ＝5(cm)． 2
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝ 在 Rt△C1CE 中，C1E＝CE＝
2 (b－a)． 2 2 (b－a)， 2
1 又 EF＝CE·sin 45°＝ (b－a)， 2 ∴C1F＝ C1E2＋EF2 ＝ 2 1 b－a 2 b－a 2 3 ＋ 2 ＝ (b－a)． 2 2
1 3 ∴S 侧＝ (4a＋4b)× (b－a)＝ 3(b2－a2)． 2 2 (2)∵S 侧＝S 底，S 底＝a2＋b2， 1 ∴ (4a＋4b)·h 斜＝a2＋b2， 2 ∴h 斜＝ a2＋b2 . 2a＋b
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为 45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 解 (1)如图所示， 设 O1， O 分别过上、 下底面的中心， 过 C1 作 C1E⊥AC 于 E， 过 E 作 EF⊥BC，
连结 C1F，则 C1F 为正四棱台的斜高． 由题意知∠C1CO＝45°，
高中数学第1章立体几何初步1.2点线面之间的位置关系1.2.3第二课时直线与平面垂直苏教版必修2
4．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的____射__影______所 成的_____锐__角_____，叫做这条直线和这个平面所成的角． 如图，____∠__P_A_O______就是斜线AP与平面α所成的角． (2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是___直__角____
直线与平面垂直的判定定理的应用
如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在平面，M 是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为 N. 求证：AN⊥平面 PBM. (链接教材 P38T6)
[ 证 明 ] 设 圆 O 所 在 平 面 为 α ， 已 知 PA ⊥ α ， 且 BM ⊂ α ， ∴PA⊥BM. 又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点， ∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A， ∴BM⊥平面PAM. 而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又PM⊥AN，PM∩BM＝M，∴AN⊥平面PBM.
2．△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB，l⊥AC,直线m⊥BC， m⊥AC，则不重合的直线l，m的位置关系是__平__行____． 解析：∵直线l⊥AB，l⊥AC，且AB∩AC＝A，∴l⊥平面α， 同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m. 3．已知正方形ABCD的边长为1,线段PA垂直于平面ABCD， 且PA＝1，则点P到点C的距离为____3____．
作用
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
3.距离 (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点 和____垂__足_____间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． (2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直 线上___任__意__一__点_____到这个平面的距离，叫做这条直线和这 个平面的距离．
符号 a⊥m，a⊥n，__m__∩__n_＝__A_____，_m__⊂_α_，__n__⊂_α____， 表述 则a⊥α
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球学案(无答案)苏教版必修2(202
江苏省建湖县高中数学第一章立体几何初步1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球学案（无答案）苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省建湖县高中数学第一章立体几何初步1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球学案（无答案）苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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圆柱、圆锥、圆台和球一、学习目标1。
了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念；2。
认识圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的机构特征．二、学习重、难点圆柱、圆锥、圆台和球的概念的理解.三、学习过程（一）引入新课1．下面几何体有什么共同特点或生成规律？2．圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念．3．圆柱、圆锥、圆台和球的表示．4．旋转体的有关概念．(二）例题剖析例1如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？例2 指出图1、图2中的几何体是由哪些简单的几何体构成的．直角三角形ABC 中，︒=∠90A ，将三角形ABC 分别绕边AB ，AC ,BC 三边所在直线旋转一周，由此形成的几何体是哪一种简单的几何体?或由哪几种简单的几何体构成？（三） 巩固练习1．指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成．图1 图2例32．如图，将平行四边形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的?3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成?四、课堂小结 圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念及图形特征．A B C D。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3 第4课时 直线与平面垂直的性质学案 苏教版必修2
第4课时直线与平面垂直的性质学习目标 1.掌握空间中线面垂直的性质定理.2.能够运用线面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.掌握线面垂直的判定与性质的综合应用.知识点直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆.一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？梳理类型一线面垂直的性质定理及应用例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.引申探究若本例的条件不变，求证：M是AB的中点.反思与感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证明两条直线共面且无公共点.(2)利用三线平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线.(3)利用线面平行的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面平行.(4)利用线面垂直的性质定理：把证明线线平行转化为证明线面垂直.跟踪训练1 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.类型二线面垂直的综合应用命题角度1 线面垂直中的探索性问题例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.反思与感悟探索性问题主要有两种类型：一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”.跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，CC1＝5，M是棱CC1上一点，是否存在这样的点M，使得BM⊥平面A1B1M？若存在，求出C1M的长；若不存在，请说明理由.命题角度2 线线、线面垂直的相互转化例3 如图所示，已知矩形ABCD，SA⊥平面ABCD，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.(1)求证：SC⊥AF；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.反思与感悟(1)证明线线垂直常常转化为线面垂直问题，即证明其中一条直线垂直于另一条直线所在平面即可.(2)证明的转化途径是线线垂直→线面垂直→线线垂直.跟踪训练3 如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.1.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是________.2.线段a和b在正方体ABCD—A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________.(填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直.3.如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________.4.如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F.求证：EF⊥PC.1.空间线面垂直与线线垂直经常相互转化.判定定理是将一条直线与平面内的两条相交的直线的垂直关系转化为直线与平面的垂直关系；同样直线与平面的垂直的定义也揭示了这两类垂直关系的转化.2.垂直关系与平行关系也可以相互转化.(1)线面平行的性质定理a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a∥b⇒b⊥α；(需要利用线面垂直的定义证明)(3)a⊥α，b∥α⇒a⊥b；(需要证明)(4)a⊥α，a⊥b，b⊄α⇒b∥α.(需要证明)答案精析问题导学 知识点 思考 平行． 梳理 平行 题型探究例1 证明 因为ADD 1A 1为正方形， 所以AD 1⊥A 1D .又因为CD ⊥平面ADD 1A 1， 所以CD ⊥AD 1. 因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC . 又因为MN ⊥平面A 1DC ， 所以MN ∥AD 1. 引申探究证明 连结ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 跟踪训练1证明 连结AB 1，B 1C ，BD ，B 1D 1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.例2 (1)证明连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)解所求G点即为A1点，证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.跟踪训练2 解 假设存在点M 使得BM ⊥平面A 1B 1M ，并设C 1M ＝x ， 则有Rt△B 1C 1M ∽Rt△BMB 1. ∴C 1M B 1M ＝B 1M BB 1，∴4＋x 2＝5x ， ∴x ＝4或x ＝1. 当C 1M ＝1或4时， 使得BM ⊥平面A 1B 1M .例3 证明 (1)∵SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BC .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . 又AB ∩SA ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ，又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE . 又SB ⊥AE ，SB ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面SBC ，又∵SC ⊂平面SBC ，∴AE ⊥SC . 又EF ⊥SC ，EF ∩AE ＝E ， ∴SC ⊥平面AEF . 又AF ⊂平面AEF ， ∴SC ⊥AF .(2)∵SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥CD .又四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD . 又SA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面SAD . 又AG ⊂平面SAD ，∴CD ⊥AG . 由(1)可知，SC ⊥平面AEF ， ∵AG ⊂平面AEF ，∴AG ⊥SC ， 又SC ∩CD ＝C ，∴AG ⊥平面SCD ， 又SD ⊂平面SCD ，∴AG ⊥SD .跟踪训练3 证明 (1)在平面ABC 内任取一点D ，作DF ⊥AC 于点F ，作DG ⊥AB 于点G .∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC. (2)连结BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE⊥平面PBC，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．当堂训练1．平行 2.①②③ 3.平行4．证明∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC.又AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC.又AF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF，∴EF⊥PC.。
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
高中数学第1章立体几何初步1.2-1.2.3直线与平面的位置关系课件苏教版必修2
题型 1 直线与平面的位置关系
[典例 1] 下列命题中正确的命题的个数为_______． ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平 面内的任意一条直线平行； ②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平 面内的无数条直线垂直；
③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行； ④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这 条直线平行于这个平面． 解析：对于①，直线与平面平行，只是
第1章 立体几何初步
1．直线与平面的位置关系： (1)直线 a 在平面 α 内：直线 a 和平面 α 有无数个公 共点，记作 a⊂α；
(2)直线 a 与平面 α 相交：直线 a 和平面 α 有且只有 一个公共点，记作 a∩α＝A；
(3)直线 a 与平面 α 平行：直线 a 和平面 α 有 0 个公 共点，记作 a∥α．
题型 6 直线与平面所成角 [典例 6] 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角． 分析：本题只需要找出(或作出)A1B 在平面 A1B1CD 上的射影即可，但图形中没有现成的，所以可以连接 BC1 与 B1C 即可作出．
解：如图所示，连接 BC1 与 B1C，相交于点 M， 连接 A1M，则 BC1⊥B1C. 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1， BC1⊂平面 BCC1B1， 所以 A1B1⊥BC1. 因为 A1B1∩B1C＝B1，
线进行过渡．
证明：连接 AN 交 α 于点 Q，连接 OQ，PQ，如图所 示．
因为 b∥α，平面 ABN∩α＝OQ， 所以 b∥OQ.同理 PQ∥a. 在△ABN 中，O 是 AB 的中点， OQ∥BN，
[变式训练] 3.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是 平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点， 在 DM 上取一点 G，过点 G 和 AP 作平面 交平面 BDM 于 GH.求证：AP∥GH. 证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，
苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.2.2ppt课件
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
SJ · 数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
鉴于本节知识的特点，教学时建议采用“从特殊到一 般”、“从具体到抽象”的：教学方法，启发引导学生思考、 探索、类比、归纳．突出概念教学及理论体系的建构，培养 学生的等价转化能力．
菜 单
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
SJ · 数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修2
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
●教学建议 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位 置关系，是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基 础上提出来的，它既是研究空间点、直线、平面之间各种位 置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础．同时，通过 公理 4 及等角定理，借助画平行线的方式，使两条异面直线 移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空 间平行关系时经常要使用的方法，要让学生在学习中认真体 会把空间问题平面化的思想方法．因此本节课的内容其重要 性不言而喻，它对知识起到了承上启下的作用．
菜 单
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
SJ · 数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
●重点难点 重点：异面直线的概念、公理 4 的运用． 难点：异面直线概念的理解． 重难点突破：以“问题导思”及学生身边的实例引出空 间两直线的位置关系问题，在学生获得空间中两直线存在 “既不相交，也不平行”的位置关系的直观感知后，以长方 体为载体引出异面直线的概念，并以“共面”与“异面”及 “有无公共点”为标准将空间两直线的位置关系分类．以长 方体为载体，通过“观察”引入公理 4 及等角定理，在此基 础上完成异面直线所成角的求法的教学． 整个过程自然流畅， 重难点突破过渡自然．
高中数学第一章立体几何初步1.2.4.2两平面垂直课件苏教版必修2
即时检测
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思路分析：(1)
(2)要证AD⊥PB,只需证AD⊥平面PBG即可.
典例导学
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证明：(1)如图,在菱形ABCD中,连结BD,由已知∠DAB=60°, ∴△ABD为正三角形. ∵G是AD的中点,∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD, 且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴BG⊥平面PAD. (2)连结PG. ∵△PAD是正三角形,G是AD的中点, ∴PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG=G, ∴AD⊥平面PBG. ∵PB⊂平面PBG, ∴AD⊥PB.
②度量:一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分
别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 如图,OA⊥l,OB⊥l,A∈α,B∈β,O∈l,α∩β=l,则∠AOB就是二面角α-lβ的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面 角是多少度,就说这个二面角是多少度.
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思路分析：(1)要证DE=DA,取EC的中点F,只需证明 Rt△EFD≌Rt△DBA;(2)注意M为EA的中点,可取CA的中点N,先证明 点N在平面BDM内,再证明平面MNBD经过平面ECA的一条垂线即 可;(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线. 证明：(1)取EC的中点F,连结DF. 易知DF∥BC, ∵EC⊥BC,∴DF⊥EC. 在Rt△EFD和Rt△DBA中, 1 ∵EF= 2EC=BD,FD=BC=AB, ∴Rt△EFD≌Rt△DBA.∴ED=DA.
③范围:二面角θ的大小范围是0°≤θ≤180°.平面角是直角的二面