2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2课件：第三章推理与证明反证法

高中数学第三章推理与证明 3.4 精析反证法素材北师大版选修1-2

精析反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明．反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”．在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”．反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假．再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真．所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的．反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”．即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”．应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立．实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法．用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”．一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆.典型例题分析例若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根．试求实数a 的取值范围．【分析】三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根．先求出反面情况时a 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案．【解】设三个方程均无实根，则有△△△12222221644301404420=--+<=--<=--<⎧⎨⎪⎩⎪a a a a a a ()()(),解得-<<<->-<<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪321211320a a a a 或,即－32<a<－1．所以当a ≥－1或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单．本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R ），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集．两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻．。

高中数学第三章推理与证明数学证明课件北师大版选修1-2

4.(15 分 ) 设 f(n)=2n-1(n∈N*) ，试问：当 n 是怎样的自然数时， f(n)是合数？【解题提示】这类探究性问题需将合情推理与演绎推理两种方法结合起来，由归纳(或类比)获得猜想假定，通过鉴别猜想假定的真伪，获得确定结果后，再给予演绎证明. 其常见过程为：试验→归纳→猜想→证明.
“n为合数时，f(n)为合数”.
(D) 在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定
是正确的
【解析】选 D. 选项 A 中小前提应是“ S 是 M” ，选项 B 中演绎推
理是一般到特殊的推理；选项C中大前提与小前提正好反了.
二、填空题(每题5分，共10分) 4.(2010·福建师大附中高二检测)已知下列三句话： ①y=sinx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数； ③y=sinx(x∈R)是周期函数. 将这三句话按“三段论”模式可排列为______.(填序号即可)
【解析】取n=1,2,„,10,所得结果列表如下：数4,6,8,9，10时，f(n)为合数.
继续试验，当n=11时，f(n)=211-1=2 047=23×89为合数.因此
要放弃“n为素数时，f(n)为合数”的猜想. 再继续试验，当n=12,14时，f(n)仍为合数，于是进一步猜想
【解析】已知：在梯形 ABCD 中 ( 如图 ) ， AB=DC=AD ， AC 和 BD 是
它的对角线. 求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.
证明：(1)等腰三角形两底角相等
(大前提)，
△DAC是等腰三角形，DA、DC是两腰 (小前提)， ∴∠1=∠2. (结论).
(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等, (大前提)，
2
1 2
x是对数函数(小前提)，

高中数学第一章推理与证明1.3反证法课件北师大选修2_2

∵x>0,y>0,∴1+x≥2y且1+y≥2x.
两式相加得2+x+y≥2x+2y,
∴x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾. 因此1+��<2 和1+��<2 中至少有一个成立.
思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定.
(√ ) (2)反证法推出的矛盾不能是与已知矛盾. ( × ) (3)使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时,
论证一种即可. ( × )
探究一
探究二
思维辨析
用反证法证明否定性命题
【例1】已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证: √��, √��, √�� 不成等差数列.
分析:因为结论中含有否定词,因此可以考虑用反证法,解答本题时可从假设√��, √��, √�� 成等差数列入手证明,进而推出矛盾.
证明:假设√��, √��, √��成等差数列,则有 2√�� = √�� + √��, 即 4b=a+c+2√��.
对所有 x 成立
对任意 x不成立
至少有 n个
至多有 n个
p或q p且q
反设词
一个也没有
至少有两个
存在某个 x0 不成立
存在某个 x0 成立
至多有 n-1 个
至少有 n+1 个
��p ��p 且��q 或��q

2019-2020学年高中数学北师大版选修1-2课件：1.2 类比推理

1.2 类比推理
6
知识点二合情推理
(1)合情推理的含义根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. 归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.
1.2 类比推理
7
(2)思维过程流程图从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→ 归纳、类比 ―→ 提出猜想
法,可得类比结论为：设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,
TT84,TT182,TT1126成等比数列.
1.2 类比推理
25
当堂检测
自查自纠
1234
1.下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的是
( C) A.三角形
B.梯形
C.平行四边形
D.矩形
1.2 类比推理
26
1234
2.下面几种推理是类比推理的是( B ) A. 因为三角形的内角和是 180°×(3 － 2), 四边形的内角和是 180°×(4－2),…,所以n边形的内角和是180°×(n－2) B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.某校高二年级有20个班,1班有51位团员,2班有53位团员,3班有 52位团员,由此可以推测各班都超过50位团员 D.4能被2整除,6能被2整除,8能被2整除,所以偶数能被2整除
1.2 类比推理
16
题型二解题方法的类比
例2 已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和. 因为(n＋1)2－n2＝2n＋1, n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1, … 22－12＝2×1＋1, 有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n,
1.2 类比推理
17

高中数学北师大版选修1-2教案-反证法课件

❖ C．至少有一个正数
❖ D．两个都是负数
❖ [答案] C
❖ [解析] 假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正
4.已知x，y>0，且x y 2.试证：

1 x ，1 y 中至少有一个小于2. yx
❖ 证明1：假x设两2个, 1数都y 不小2 于2，则
CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平
A
O
D
分证. 明：假设弦AB、CD被P平分，
P
C
由于P点一定不是圆心O，连结 B
OP，根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂
这与垂直，线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
1、证明：在ABC 中，若C 是直角，B则一定是锐角。
例2 求证：2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ， n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
假设不成立，故 2 是无理数。
❖ A．两个内角是直角
❖ B．有三个内角是直角
❖ C．至少有两个内角是直角
❖ D．没有一个内角是直角
❖ [答案] C
❖ [解析] “最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.
❖ 3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
❖ A．一个是正数，一个是负数
❖ B．两个都是正数

高中数学第三章推理与证明反证法典例导航课件北师大版选修1-2(1)

[证明过程] 假设 a、b、c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0， c≤0，所以 a＋b＋c≤0. 而
π π π 2 2 2 a＋b＋c＝x －2y＋2＋y －2z＋3＋z －2x＋6
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. 所以 a＋b＋c＞0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾，故 a、b、c 中至少有一个大于 0.
盾．
故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
3.已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求证： a， b， c不成等差数列．
证明：假设 a， b， c成等差数列，则 a＋ c＝2 b，即 a＋c＋2 ac＝4b，而 b2＝ac，即 b＝ ac， ∴a＋c＋2 ac＝4 ac， ∴( a－ c)2＝0. 即 a＝ c，从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾，故 a， b， c不成等差数列．
已知：一点A和平面α.
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
[证明过程] 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明． (1)如图①，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.
[证明过程]
假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，
因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc
－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
所以a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛

高中数学第三章推理与证明分析法课件北师大版选修1-2(1)

2.分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设 a>b>c，且
a+b+c=0，求证
b2 -ac< 3a ，欲索的因应是(
)
(A)a-b>0
(B)a-c>0
(C)(a-b)(a-c)>0
(D)(a-b)(a-c)<0
【解题提示】要想找到“因”，就得从“果”入手，在化简的过程中将b=-a-c代入得a,c关系式，再利用b=-a-c代换b，即可.
课程目标设置
主题探究导学
提示：
提示：
典型例题精析
知能巩固提升
一、选择题(每题5分，共15分) 1. 要证明
3+ 7<2 5
，可选择的方法有以下几种，其中最
合理的是(
(A)综合法 (C)演绎推理
)
(B)分析法 (D)归纳法
【解析】选B.由于不等式的结构特点，用综合法去证思路不好找，因此宜用分析法去寻求解题思路.
2.(5分)a>b>c,n∈N+,且 1 + 1 ≥ __________.
1 1 + a-b b-c a-b b-c
n 恒成立,则n的最大值为 a-c
【解题提示】要求出n的最大值，只需求出 ( )·(a-c)的最小值即可.
【解析】
答案:4
3.(5分)为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Gryptosystem),其加密、解密原理如下图：
1 2
1 ＞(x3+y3) 3
.
1
【证明】∵x＞0，y＞0.∴要证(x2+y2) 2 ＞(x3+y3) 只要证(x2+y2)3＞(x3+y3)2,

高中数学北师大版选修1-2第三章《反证法》ppt课件

∴假设错误，原结论正确.
即 1+与x
y
中1至+y少有一个小于2.
x
111
1.(5分)设a,b,c∈(-∞,0),则a+ 1 ,b+ 1 ,c+ 1 ( )
bc
a
(A)都不大于-2
(B)都不小于-2
(C)至少有一个不大于-2
(D)至少有一个不小于-2
【解析】
2.(5分)已知x1>0,x1≠1,且
”1 .
3
答案：a、b、c都小于
1
ห้องสมุดไป่ตู้
3
3
三、解答题(6题12分，7题13分，共25分)
6.设实数a∈R,f(x)=x2+ax+a,
求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于 1 .
2
【解题提示】假设结论不成立，则|f(1)|< , 1
2
|f(2)|< 1同时成立，利用不等式求a的取值范围，与已知a∈R
课程目标设置
主题探究导学
提示：
提示：
提示：
提示：答案：
典型例题精析
知能巩固提升
一、选择题(每题5分，共15分)
1.有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x=y”的反
面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面
是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有
=________ =0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数.
【解析】在推理过程中我们将(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)重新分组，会有a1+a2+…+a7与1+2+…+7，这两个式子相等，从而会得出矛盾. 答案：a1-1,a2-2,…,a7-7; (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7); (a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7).

2019-2020版数学新学案北师大版选修1-2课件：第三章推理与证明 3.2

2.几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情况,就能得出相应结论.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A, DE∥BA,求证:ED=AF.
证明:因为同位角相等,两直线平行,∠BFD与∠A是同位角,且 ∠BFD=∠A,所以FD∥AE.
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,DE∥BA,且 FD∥AE,所以四边形AFDE是平行四边形.
因为平行四边形的对边相等,ED和AF是平行四边形AFDE的对边, 所以ED=AF.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
演绎推理在代数证明中的应用
【例3】已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三三
首页思维辨析
变式训练1用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角线相互垂直. (2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相等,则此两角不是对顶角.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
演绎推理在几何证明中的应用
【例2】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C 与AB的中点,A1B交AB1于点G.
2.在代数证明问题中,首先找出与物体相关的一般性原理(如基本不等式、函数的性质等),这是大前提,然后利用“三段论”进行推理.
探究一
探究二
探究三
首页思维辨析
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
因推理中大(小)前提错误致误【典例】如图,在△ABC中,AC>BC,CD是AB边上的高,求证: ∠ACD>∠BCD. 易错分析:本题的证明,可以正确运用大前提,即在同一个三角形中,大边对大角,但易忽略AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边,即小前提不成立,致使推理过程错误. 证明:因为CD⊥AB, 所以∠ADC=∠BDC=90°. 所以∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°. 所以∠A-∠B=∠BCD-∠ACD. 在△ABC中,因为AC>BC, 所以∠B>∠A,即∠A-∠B<0, 所以∠BCD-∠ACD<0, 所以∠ACD>∠BCD.

2019_2020学年高中数学第3章推理与证明4反证法课件北师大版选修

∴x＋y≤2，这与已知中 x＋y>2 矛盾， ∴假设不成立，原命题成立．故1＋x y与1＋y x至少有一个小于 2.
用反证法证明“唯一性”命题 [探究问题] 1．用反证法证明数学命题的步骤是什么？ [提示] (1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真． (2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果． (3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．
x·4x＋2
y·4y＋2 z·4z＝12，
这与x＋4y＋y＋4z＋z＋4x<12 矛盾，
因此假设错误，即 x＋4y，y＋4z，z＋4x中至少有一个不小于 4.
把本例改为“若 a≥－1，则三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a
－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实数解．”怎样证明？
第三章推理与证明
§4 反证法
学习目标
核心素养
1.了解间接证明的一种基本方法——反证 1.通过反证法的概念及思考
法．
过程的学习，提升逻辑推理的
2．理解反证法的概念及思考过程和特
核心素养．
点．(难点)
2．通过用反证法证明数学问
3．掌握反证法证明的基本步骤，会用反证题，培养数学建模和逻辑推理
法证明相关的数学问题．(重点、难点) 的核心素养.
∴a＋4 c＝a＋ acc， ∴(a－c)2＝0，∴a＝c. 这与 a≠c 矛盾，故假设错误． ∴1a，1b，1c不可能成等差数列．
A．a<b
B．a≤b
C．a＝b
D．a≥b
B [“ 大于” 的否定是“ 不大于” ，即“ 小于或等于” ，故选 B.]
4．已知非零实数 a，b，c 成等数差列，且 a≠c.求证：1a，1b，1c不可能成等差数列．

2019-2020学年高中北师大版数学选修1-2课件：第三章 推理与证明 反证法

高中数学 第三章 推理与证明 3.4 精析反证法素材 北师大版选修1-2

高中数学 第三章 推理与证明 数学证明课件 北师大版选修1-2