2020届初三数学中考复习 二次函数 专题训练题 含答案
2020届初三数学中考复习 二次函数 专题训练题
1. 下列函数：①y＝1－x2；②y＝2(x－1)2＋4；③y＝(x－1)(x＋4)；④y＝3x
2
＋x(1－3x)．其中二次函数的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在半径为4的圆中，挖去一个半径为x的圆面，剩下一个圆环的面积为y，
则y与x的函数关系式为( )
A．y＝πx2－4 B．y＝π(2－x)2
C．y＝－(x2＋4) D．y＝－πx2＋16π
3. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )
A.y＝3x－1 B.y＝ax2＋bx＋c
C.s＝2t2－2t＋1 D.y＝x2＋1x
4. 抛物线y＝－2x2不具有的性质是( )
A.对称轴是y轴 B.开口向下
C. x＜0时y随x的增大而增大 D.有最小值
5.已知二次函数y＝(k－3)x2，若y随x的增大而减小，则下列说法正确的是
( )
A.当k＜3时，x＞0 B.当k＜3时，x＜0
C.当k＞3时，x＞0 D.当k＞－3时，x＜0
6. 如果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点是(0，－4)，则它的解析
式是( )
A.y＝－13x2－2x－4 B.y＝－13x2＋2x－4
C.y＝－13(x＋3)2－1 D.y＝－x2＋6x－12
7. 8.一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为
y万元，则y关于x的函数关系式为( )
A.y＝60(1－x)2 B.y＝60(1－x2)
C.y＝60－x2 D.y＝60(1＋x)2
8.圆的半径为5cm，若其半径增加xcm，其面积增加ycm2，y是x的二次函数，
其函数表达式为( )
A.y＝πx2 B.y＝π(x＋5)2
C.y＝πx2＋10πx D.y＝πx2＋10x＋25
9. 如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)．它与反比例函数y＝
－8x的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的表达式为( )
A．y＝x2－x－2 B．y＝x2－x＋2
C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2＋x＋2
10. 已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是
( )
A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
11. 若函数y＝(k2－4)x2＋(k＋2)x＋3是二次函数，则k________.
12. 一个边长为3 cm的正方形，若它的边长增加x cm，面积随之增加y cm2，
则y关于x的函数关系式是________________．
13. 将二次函数y＝2(x＋1)2－3化为一般形式为 .二次项的
系数是 ，－b2a＝ .
14.在一个半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下的圆环的面积
为ycm2，则y与x的函数关系式为 ，x的取值范围
是 .
15. .抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且过点(2,7)、(－3，5)，则y
＝
.
16. 已知二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，函数的最大值为4，且图象经
过点(2，－5)，则此函数的表达式为________________．
17. 校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度y(m)与水平
距离x(m)之间的函数表达式为y＝－112x2＋23x＋53，小明这次试掷的成绩是
________m，铅球出手时的高度是________m.
18. 若二次函数y＝mx2＋4x＋m－1的最小值为2，则m的值是________．
19．已知二次函数y＝x2－4x－6，若－1≤x≤6，则y的取值范围为
________________．
20. (1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3化成y＝(x－h)2＋k的形式；
(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1＜x2＜1，
请比较y1，y2的大小；(直接写结果)
(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．
21. 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标
为(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)．
(1)求出b、c的值，并写出此二次函数的表达式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
22. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，4)，过点
A作AB⊥y轴，垂足为点B，连结OA.
(1)求△OAB的面积．
(2)若抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A.
①求c的值；
②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部
(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围．
参考答案：
1---10 BDCDA BACAAB
11. ≠±2
12. y＝x2＋6x(x≥0)
13. y＝2x2＋4x－1 2 －1
14. y＝－πx2＋16π 0＜x＜4
15. 2x2－1
16. y＝－x2－2x＋3
17. 10
5
3
18. 4
19. －10≤y≤6
20. (1)y＝(x－2)2－1.
(2)图略．
(3)y1＞y2.
(4)作直线y＝2与抛物线y＝x2－4x＋3交于C、D两点，C、D的横坐标xC，xD即
为方程x2－4x＋3＝2的两个实数根(图象表示略)．
21. (1)b＝2，c＝3，y＝－x2＋2x＋3.
(2)－1＜x＜3.
22. (1)4.
(2)①4.②∵y＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，∴抛物线顶点D的坐标是(－1，
5)，AB的中点E的坐标是(－1，4)，OA的中点F的坐标是(－1，2)，∴m的取
值范围为1＜m＜3.
2020年中考数学二轮复习专题 二次函数综合(含答案)
2020年中考数学二轮复习专题 二次函数综合（含答案）一、单选题1.二次函数2,0y ax bx c a =++≠（）的图象如图如图所示，若M a b c =+-，42N a b c =+-，2P a b =-．则M N P ，，中，值小于0的数有（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个2.已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（ ） ①0>abc ；②2=++c b a ；③21<a ； ④1>b A.①②B.②③C.③④D.②④3.从车站向东走400米，再向北走500米到小红家；从车站向北走500米，再向西走200米到小强家，则（ ）A ．小强家在小红家的正东B ．小强家在小红家的正西C ．小强家在小红家的正南D ．小强家在小红家的正北4.如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为1x =-，且过点(-3，0).下列说法中说法正确的是（ ）①0abc <； ②20a b -=；③420a b c <++，④若()15y -, ，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >A.①②B.②③C.①②④D.5.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含10千克)的种子，超过10千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次性购买种子数量x （单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法： ①一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为5元/千克； ②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折： ④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱． 其中正确的个数是( )．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.函数b kx y +=的图象如图所示，当y>0时，x 的取值范围是( )A 、 x>1B 、 x>2C 、 x<1D 、 x<27.若二次函数2() 0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为()()12,0,,0x x ,且12x x <,图象上有一点00,Mx y （）在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ） A.0a >B.240b ac -≥C.102x x x <<D.()()01020a x x x x --<.8.已知一次函数b kx y +=,y 随着x 的增大而减小，且0<kb ，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）9.反比例函数myx=的图象如图所示，下列结论：①常数1m<-；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点()1,A h-，()2,B k在图象上，则h k<；④若点(),P x y在图象上，则点()',P x y--也在图象上。
2020年中考二次函数专题训练及答案
二次函数专题训练1.在平面直角坐标系xOy中（如图）。
已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标。
2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C。
（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；（2）点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE=11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由。
3.我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”。
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”。
（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x 轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4。
求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．4.抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D。
2020中考数学 三轮复习 二次函数的实际应用(含答案)
2020中考数学三轮复习二次函数的实际应用（含答案）1.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图3所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是()图1A.①④B.①②C.②③④D.②③x2刻画,斜坡可以用一次函2.如图4,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-12x刻画,下列结论错误的是()数y=12图2A.当小球抛出高度达到7.5 m时,小球距O点水平距离为3 mB.小球距O点水平距离超过4 m时呈下降趋势C.小球落地点距O点水平距离为7 mD.斜坡的坡度为1∶23.如图5,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是()图3A .18 m 2B .18√3 m 2C .24√3 m 2D .45√32m 24. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图1所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A ,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为 ( )图4A .y=26675x 2B .y=-26675x 2C .y=131350x 2D .y=-131350x 25.如图2是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O ,B ,以点O 为原点,水平直线OB 为x 轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线y=-1400(x -80)2+16,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面CD 处,有AC ⊥x 轴,若OA=10米,则桥面离水面的高度AC 为( )图5A .16940米 B .174米C .16740米D .154米6.中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为y=-112x 2+23x+53,由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米.7. 如图6,一块矩形土地ABCD 由篱笆围着,并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m 时,矩形土地ABCD 的面积最大.图68.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.9.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t=.10.某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60间,经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,240元)浮动时,每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:x(元)…190200210220…y(间)…65605550…(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点,并画出图象.(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.(3)设客房的日营业额为w(元),若不考虑其他因素,问宾馆标准房的价格定为多少元时,客房的日营业额最大?最大为多少元?图711.随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;(2)求出水柱的最大高度是多少.图812.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).(1)如图9①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?(2)如图9②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.图9参考答案1.D2.A3.C4.B 6.10 7.1508.22 设每件的定价为x 元,每天的销售利润为y 元. 根据题意,得y=(x -15)=-2x 2+88x -870. ∴y=-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98. ∵a=-2<0, ∴抛物线开口向下,∴当x=22时,y 最大值=98.故答案为22.9.1.6 设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h ,则第一个小球的离地高度y=a (t -1.1)2+h (a ≠0), 由题意a (t -1.1)2+h=a (t -1-1.1)2+h , 解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同. 10.解:(1)如图所示.(2)设y=kx +b (k ≠0),把(200,60)和(220,50)代入, 得{200k +b =60,220k +b =50,解得{k =-12,b =160. ∴y=-12x +160(170≤x ≤240). (3)w=x ·y=x ·-12x +160=-12x 2+160x.∴函数w=-12x 2+160x 图象的对称轴为直线x=-1602×(-12)=160,∵-12<0,∴在170≤x ≤240范围内,w 随x 的增大而减小. 故当x=170时,w 有最大值,最大值为12750元.11.(1)由于题目所给数据均与水池中心相关,故可选取水池中心为原点,原点与水柱落地点所在直线为x 轴,喷水管所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,再利用顶点式求解函数关系式; (2)抛物线顶点的纵坐标即为水柱的最大高度.解:(1)如图,以喷水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x 轴,喷水管所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的函数解析式为y=a (x -1)2+h (0≤x ≤3). 抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得 {4a +ℎ=0,a +ℎ=2.解得{a =-23,ℎ=83.所以抛物线的解析式为y=-23(x -1)2+83(0≤x ≤3).化为一般式为y=-23x 2+43x +2(0≤x ≤3).(2)由(1)抛物线的解析式为y=-23(x -1)2+83(0≤x ≤3)可知当x=1时,y 最大值=83. 所以抛物线水柱的最大高度为83 m . 12.解:(1)∵y=x ·50-x 2=-12(x -25)2+6252,∴当x=25时,占地面积y 最大. (2)y=x ·50-(x -2)2=-12(x -26)2+338,∴当x=26时,占地面积y 最大. 即当饲养室长为26 m 时,占地面积最大. ∵26-25=1≠2, ∴小敏的说法不正确.。
2020年九年级中考数学 临考突破练习：二次函数专题(含答案)
2020中考数学临考突破练习：二次函数专题（含答案）一、选择题（本大题共6道小题）1. 二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是()A.(1，3)B.(1，-3)C.(-1，3)D.(-1，-3)2. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到3. 若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x的取值范围是()A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2C.x≤-4或x≥2D.-4<x<24. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为()A .y=26675x 2 B .y=-26675x 2 C .y=131350x 2D .y=-131350x 25. 已知二次函数y=(x -a -1)(x -a+1)-3a+7(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当x<-1时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 ( )A .a<2B .a>-1C .-1<a ≤2D .-1≤a<26. 如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x -12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y=12x 刻画，下列结论错误的是 ( )A .当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距O 点水平距离为3 mB .小球距O 点水平距离超过4 m 时呈下降趋势C .小球落地点距O 点水平距离为7 mD .斜坡的坡度为1∶2二、填空题（本大题共6道小题）7. 已知二次函数y=x 2-4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是 .8. 如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB= m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.9. 某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大.10. 若方程(x －m )(x －n )＝3(m ，n为常数，且m ＜n )的两实数根分别为a 、b (a＜b )，则m 、n 、a 、b 的大小关系为______________．11. 已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)中的x 和y 满足下表:x … -1 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 0 m …(1)观察上表可求得m 的值为 ; (2)这个二次函数的解析式为 ;(3)若点A (n+2，y 1)，B (n ，y 2)在该抛物线上，且y 1>y 2，则n 的取值范围为 .12. 如图，抛物线y=-14x 2+12x+2与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB.AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线PQ 平行于x 轴，与拋物线相交于P ，Q 两点，则线段PQ 的长为 .三、解答题（本大题共5道小题）13. 如图，二次函数的图象与x 轴交于A (-3，0)，B (1，0)两点，交y 轴于点C (0，3)，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B ，D. (1)请直接写出点D 的坐标; (2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.14. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A，D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，-2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x=-1.(1)求抛物线的函数表达式.OD，求∥PBE的面积.(2)若点P在第二象限内，且PE=14(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使∥BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.16. 已知函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(-2，4).(1)求b，c满足的关系式;(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式;(3)若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值.17. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2，0)，B(-4，0)，与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的解析式.(2)如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标.2020中考数学临考突破练习：二次函数专题-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】A2. 【答案】C[解析]根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点坐标是(2，1)，对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图象开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以选项C是错误的，故选C.3. 【答案】D[解析]∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4，0)，∵a<0，∴抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x的取值范围是-4<x<2.4. 【答案】B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2，由题可知，点A的坐标为(-45，-78)，代入表达式可得:-78=a×(-45)2，解得a=-26，∴二次函数的表达式为675x2，故选B.y=-266755. 【答案】D[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6，∵抛物线与x轴没有公共点，∴Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0，解得a<2.=a，抛物线开口向上，而当x<-1时，y随x的增∵抛物线的对称轴为直线x=--2a2大而减小，∴a ≥-1，∴实数a 的取值范围是-1≤a<2.故选D .6. 【答案】A[解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m 时，二次函数y=4x -12x 2的函数值为7.5，即4x -12x 2=7.5，解得x 1=3，x 2=5，故当抛出的高度为7.5 m 时，小球距离O 点的水平距离为3 m 或5 m ，A 结论错误;由y=4x -12x 2，得y=-12(x -4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确;联立方程y=4x -12x 2与y=12x ，解得{x =0，y =0或{x =7，y =72.则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或7，72，C 结论正确;由点7，72知坡度为72∶7=1∶2也可以根据y=12x 中系数12的意义判断坡度为1∶2，D 结论正确.故选A .二、填空题（本大题共6道小题）7. 【答案】k<4 [解析]∵二次函数y=x 2-4x +k 的图象的顶点在x 轴下方， ∴二次函数y=x 2-4x +k 的图象与x 轴有两个公共点. ∴b 2-4ac>0，即(-4)2-4×1×k>0.解得 k<4.8. 【答案】150[解析]设AB=x m ，矩形土地ABCD 的面积为y m 2，由题意，得y=x ·900-3x 2=-32(x -150)2+33750，∵-32<0，∴该函数图象开口向下，当x=150时，该函数有最大值.即AB=150 m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.9. 【答案】22[解析]设每件的定价为x 元，每天的销售利润为y 元.根据题意，得y=(x -15)[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870. ∴y=-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98. ∵a=-2<0， ∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y 最大值=98.故答案为22.10. 【答案】a ＜m ＜n ＜b【解析】如解图，解方程(x －m)(x －n)＝3可以看作是求y ＝(x －m)(x －n)与y ＝3这两个函数图象的交点，由解图易得a ＜m ＜n ＜b.11. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m 的值为3，故答案为:3.(2)y=(x -1)2-1 [解析]由表格可得，二次函数y=ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a (x -1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x -1)2-1.(3)n>0 [解析]∵点A (n +2，y 1)，B (n ，y 2)在该抛物线上，且y 1>y 2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.12. 【答案】2√5[解析]当y=0时，-14x 2+12x +2=0，解得x 1=-2，x 2=4，∴点A 的坐标为(-2，0).当x=0时，y=-14x 2+12x +2=2，∴点C 的坐标为(0，2). 当y=2时，-14x 2+12x +2=2，解得x 1=0，x 2=2， ∴点D 的坐标为(2，2).设直线AD 的解析式为y=kx +b (k ≠0)， 将A (-2，0)，D (2，2)代入y=kx +b ，得{-2k +b =0，2k +b =2，解得{k =12，b =1，∴直线AD 的解析式为y=12x +1.当x=0时，y=12x +1=1，∴点E 的坐标为(0，1). 当y=1时，-14x 2+12x +2=1，解得x 1=1-√5，x 2=1+√5， ∴点P 的坐标为(1-√5，1)，点Q 的坐标为(1+√5，1)， ∴PQ=1+√5-(1-√5)=2√5.三、解答题（本大题共5道小题）13. 【答案】解:(1)D (-2，3).(2)设二次函数的解析式为y=ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数，且a ≠0)，根据题意，得{9a -3b +c =0，a +b +c =0，c =3，解得{a =-1，b =-2，c =3，∴二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.14. 【答案】[分析] (1)将点A，D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解;(2)设出P点坐标，用参数表示PE，PF的长，利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A，D的坐标代入y=kx+n得:{-k+n=0，5k+n=-6，解得:{k=-1，n=-1，故直线l的表达式为y=-x-1.将点A，D的坐标代入抛物线表达式，得{-1-b+c=0，-25+5b+c=-6，解得{b=3，c=4.故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1，∴C(0，-1)，则直线l与x轴的夹角为45°，即∠OAC=45°，∵PE∥x轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x，-x2+3x+4)，则点F(x，-x-1)，∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18，∵-2<0，∴当x=2时，PE+PF有最大值，其最大值为18.(3)由题意知N(0，4)，C(0，-1)，∴NC=5，①当NC是平行四边形的一条边时，有NC∥PM，NC=PM.设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)，则点M 的坐标为(x ，-x -1)， ∴|y M -y P |=5，即|-x 2+3x +4+x +1|=5， 解得x=2±√14或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M 坐标为(2+√14，-3-√14)或(2-√14，-3+√14)或(4，-5); ②当NC 是平行四边形的对角线时，线段NC 与PM 互相平分. 由题意，NC 的中点坐标为0，32， 设点P 坐标为(m ，-m 2+3m +4)， 则点M (n'，-n'-1)， ∴0=m+n '2，32=-m 2+3m+4-n '-12，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)， 故点M (-4，3).综上所述，存在点M ，使得以N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形，点M 的坐标分别为:(2+√14，-3-√14)，(2-√14，-3+√14)，(4，-5)，(-4，3).15. 【答案】[分析] (1)根据点A (2，0)、抛物线对称轴，可得点B (-4，0)，则可设函数表达式为:y=a (x -2)(x +4)，根据点C (0，-2)，即可求解;(2)设出点D 坐标，表示出PE 的长，根据PE=14OD ，求得:点D (-5，0)，利用S △PBE =12PE ×BD 即可求解;(3)△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，则分BD=BM 和BD=DM 两种情况求解. 解:(1)由题意得点A 的坐标是(2，0)，抛物线的对称轴是直线x=-1，则点B (-4，0)，设函数表达式为:y=a (x -2)(x +4)=a (x 2+2x -8)， 将C (0，-2)的坐标代入，得-8a=-2， 解得:a=14，故抛物线的表达式为:y=14x 2+12x -2. (2)易得直线BC 的表达式为:y=-12x -2. 设点D (x ，0)，则点P x ，14x 2+12x -2，点E x ，-12x -2，∵PE=14OD ，点P 在直线BC 上方， ∴PE=14x 2+12x -2+12x +2=14(-x )，解得:x=0或-5(舍去x=0)，则点D (-5，0). 故S △PBE =12×PE ×BD=12×14OD ×BD=12×54×1=58.(3)由题意得△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形，存在:BD=BM 和BD=DM 两种情况，易得BD=1.①当BD=BM ，M 点在线段CB 的延长线上时，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ， 易得△MHB ∽△COB ，则MH MB =CO BC ，即MH1=2√5，解得MH=√55. 令y=-12x -2=√55，解得x=-20+2√55， 故点M (-20+2√55，√55). ②当BD=DM'时，设点M'(x ，-12x -2)，其中x<-4.则M'D 2=[x -(-5)]2+(-12x -2-0)2=1.整理得x 2+485x +1125=0.解得x 1=-4(舍去)，x 2=-285.当x=-285时，-12x -2=45.故点M'(-285，45). 综上所述，点M 坐标为(-20+2√55，√55)或(-285，45). 16. 【答案】 解:(1)将(-2，4)代入y=x 2+bx +c ，得4=(-2)2-2b +c ，∴c=2b ，∴b ，c 满足的关系式是c=2b.(2)把c=2b 代入y=x 2+bx +c ，得y=x 2+bx +2b ，∵顶点坐标是(m，n)，∴n=m2+bm+2b，且m=-b2，即b=-2m，∴n=-m2-4m.∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m.(3)由(2)的结论，画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象.∵函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限，∴-4≤-b2≤0.①当-4≤-b2≤-2，即4≤b≤8时，如图①所示，当x=1时，函数取到最大值y=1+3b，当x=-b2时，函数取到最小值y=8b-b24，∴(1+3b)-8b-b 24=16，即b2+4b-60=0，∴b1=6，b2=-10(舍去);②当-2<-b2≤0，即0≤b<4时，如图②所示，当x=-5时，函数取到最大值y=25-3b，当x=-b2时，函数取到最小值y=8b-b24，∴(25-3b)-8b-b 24=16，即b2-20b+36=0，∴b1=2，b2=18(舍去).综上所述，b的值为2或6.17. 【答案】.[解析](1)直接把点A(2，0)，B(-4，0)的坐标代入y=ax2+bx-4，可求得解析式;(2)连接OP，设点P x，12x2+x-4，其中-4<x<0，四边形ABPC的面积为S，则S=S△AOC +S△OCP+S△OBP=-(x+2)2+16，再根据二次函数的性质求S最大时P点的坐标.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2，0)，B(-4，0)，∴{4a+2b-4=0，16a-4b-4=0，解得{a=12，b=1，∴这条抛物线的解析式为y=12x2+x-4.(2)如图，连接OP，设点P x，12x2+x-4，其中-4<x<0，设四边形ABPC的面积为S，由题意得C点坐标为(0，-4)，∴S=S△AOC +S△OCP+S△OBP=12×2×4+12×4·(-x)+12×4· -12x x2-x+4x=4-2x-x2-2x+8=-x2-4x+12=-(x+2)2+16.∵-1<0，开口向下，∴S有最大值，∴当x=-2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y=12x2+x-4=-4，即P(-2，-4).∴当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(-2，-4).。
2020年中考复习二次函数难题训练(一)(有答案)
2020中考复习二次函数难题训练（一）一、选择题1.函数y=x2−2x−3中，当−2≤x≤3时，函数值y的取值范围是()A. −4≤y≤5B. 0≤y≤5C. −4≤y≤0D.−2≤y≤32.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1.直线y=−x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c>0；②a−b+c<0；③x(ax+b)≤a+b；④a<−1.其中正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D.1个3.已知二次函数y=−x2+x+6及一次函数y=−x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，当直线y=−x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()A. −254<m<3 B. −254<m<2 C. −2<m<3 D. −6<m<−24.以x为自变量的二次函数y=x2−2(b−2)x+b2−1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是()A. b≥54B. b≥1或b≤−1C. b≥2D. 1≤b≤25.如图，抛物线y1=12(x+1)2+1与y2=a(x−4)2−3交于点A(1,3)，过点A作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=23；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2，其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.已知关于x的二次函数y=(x−ℎ)2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为()A. 32B. 32或2 C. 32或6 D. 2、32或67.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n(m<n)是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且0<a<b，则a、b、m、n的大小关系是()A. m<a<b<nB. a<m<n<bC. a<m<b<nD. m<a<n<b二、填空题8.如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−1,p)，B(4,q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是________．9.当−1≤x≤1时，二次函数y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为______．10.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=12x2−1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为______．11.如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：①abc<0；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点(4,y1)与点(−3,y2)，则y1>y2；,0)；⑤am2+bm+a≥0，④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−ca其中所有正确的结论是______．12.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1,3)，与x轴的一个交点是B(4,0)，直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B 两点，下列结论：①abc>0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；④当1<x<4时，有y2>y1；⑤x(ax+b)≤a+b，其中正确的结论是______ .(只填写序号)13.如图，P是抛物线y=−x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为______．三、解答题14.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(−1,0)，B(4,0)，C(0,−4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．15.如图，二次函数y=−x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点(1)求m的值及C点坐标；(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由(3)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t(0<t<4)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．16.如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x 轴，y轴建立平面直角坐标系．(1)求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；(2)一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B 时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．17.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,−2)，且与y轴交于点C(0,2)，与x轴交于A，B两3点(点A在点B的左边)(1)求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；(2)若(1)中抛物线的对称轴上有点P，使△ABP的面积等于△ABC的面积的2倍，求出点P的坐标；(3)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点Q，使AQ+CQ的值最小？若存在，求AQ+CQ的最小值；若不存在，请说明理由．18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,−3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．19.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3)，与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标．(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．20.为了迎接“清明”小长假的购物高峰，某运动品牌服装店准备购进甲、乙两种服装，已知每件甲服装进价比每件乙服装进价多20元，售价在进价的基础上加价50%，通过初步预算，若以4800元购进的甲服装比以4200元购进乙服装的件数少10件．(1)求甲、乙两种服装的销售单价；(2)现老板计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，若购进这100件服装的费用不超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？(3)在(2)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0<a<20)元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？21.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(−2,0)，点B(4,0)，点D(2,4)，与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．(1)求抛物线函数表达式；(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．22.已知抛物线y=−x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C(点B在点C的右侧).过点A作垂直于y轴的直线l.在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP．(1)写出A，B，C三点的坐标；(2)若点P位于抛物线的对称轴的右侧：①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M.是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；③设AP的中点是R，其坐标是(m,n)，请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．答案和解析1.A解：∵y=x2−2x−3，=1，开口向上，∴抛物线对称轴为x=−−22×1∴x=1时，函数y有最小值为4×1×(−3)−(−2)2=−4，4×1∵1在−2≤x≤3这个范围内；∴在−2≤x≤3这个范围内，当x=1时，函数有最小值−4，由于开口向上，离对称轴越远，函数值越大，−2到1的距离比3到1的距离远，∴在−2≤x≤3这个范围内，x=−2时，函数y有最大值5，即−4≤y≤5．2.A解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴2a+b+c=2a−2a+c=c>0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(−1,0)右侧，∴当x=−1时，y<0，∴a−b+c<0，所以②正确；∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y=−x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c<−3+c，而b=−2a，∴9a−6a<−3，解得a<−1，所以④正确．3.D解：如图，当y=0时，−x2+x+6=0，解得x1=−2，x2=3，则A(−2,0)，B(3,0)，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+ 2)(x−3)，即y=x2−x−6(−2≤x≤3)，当直线⋅y=−x+m经过点A(−2,0)时，2+m=0，解得m=−2；当直线y=−x+m与抛物线y=x2−x−6(−2≤x≤3)有唯一公共点时，方程x2−x−6=−x+m有相等的实数解，解得m=−6，所以当直线y=−x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为−6<m<−2．4.A解：∵二次函数y=x2−2(b−2)x+b2−1的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，当抛物线的顶点在x轴上方时，则b2−1≥0，△=[2(b−2)]2−4(b2−1)≤0，；解得b≥54当抛物线的顶点在x轴的下方时，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=2(b−2)>0，b2−1>0，∴△=[2(b−2)]2−4(b2−1)>0，①b−2>0，②b2−1≥0，③由①得b<5，由②得b>2，4∴此种情况不存在，∴b≥5，45.B解：∵抛物线y1=12(x+1)2+1与y2=a(x−4)2−3交于点A(1,3)，∴3=a(1−4)2−3，解得：a=23，故①正确；过点E作EF⊥AC于点F，∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，E(4,−3)，∴AF=3，EF=6，∴AE=√62+32=3√5，AC=2AF=6，∴AC≠AE，故②错误；当y=3时，3=12(x+1)2+1，解得：x1=1，x2=−3，故B(−3,3)，D(−1,1)，则AB=4，AD=BD=2√2，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；∵12(x+1)2+1=23(x−4)2−3时，解得：x1=1，x2=37，∴当37>x>1时，y1>y2，故④错误．6.C解：∵y=(x−ℎ)2+3中a=1>0，∴当x<ℎ时，y随x的增大而减小；当x>ℎ时，y随x的增大而增大；①若1≤ℎ≤3，则当x=ℎ时，函数取得最小值2h，即3=2ℎ，解得ℎ=32；②若ℎ<1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h，即(1−ℎ)2+3=2ℎ，解得ℎ=2>1(舍去)；③若ℎ>3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h，即(3−ℎ)2+3=2ℎ，解得ℎ=2(舍)或ℎ=6，或6，综上，h的值为327.A解：依题意，画出函数y=(x−a)(x−b)的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b(0<a<b)．方程1−(x−a)(x−b)=0转化为(x−a)(x−b)=1，方程的两根是抛物线y=(x−a)(x−b)与直线y=1的两个交点．由m<n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m<a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b<n．综上所述，可知m<a<b<n．8.x<−1或x>4解：观察函数图象可知：当x<−1或x>4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c 的上方，∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<−1或x>4．9.−2或2解：二次函数对称轴为直线x=m，①m<−1时，x=−1取得最大值，−(−1−m)2+m2+1=4，解得m=−2；②−1≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，解得m=±√3，∵m=±√3都不满足−1≤m≤1的范围，∴m值不存在；③m>1时，x=1取得最大值，−(1−m)2+m2+1=4，解得m=2．综上所述，m=−2或2时，二次函数有最大值4．10.(√6,2)或(−√6,2)解：依题意，可设P(x,2)或P(x,−2)．①当P的坐标是(x,2)时，将其代入y=12x2−1，得2=12x2−1，解得x=±√6，此时P(√6,2)或(−√6,2)；②当P的坐标是(x,−2)时，将其代入y=12x2−1，得−2=12x2−1，即−1=12x2无解．综上所述，符合条件的点P的坐标是(√6,2)或(−√6,2)；11.②④⑤解：由图象可知，抛物线开口向上，则a>0，顶点在y轴右侧，则b<0，抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，∴abc>0，故①错误；∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,0)，且对称轴为直线x=1，∴抛物线y=ax2+bx+c过点(3,0)，∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵a>0，∴10a+3b+c>0，故②正确；∵对称轴为x=1，且开口向上，∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，∴y1<y2，故③错误；当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=c2−bc+aca=c(a−b+c)a，∵当x=−1时，y=a−b+c=0，∴当x=−ca 时，y=a⋅(−ca)2+b⋅(−ca)+c=0，即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点(−ca,0)，故④正确；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=1对应的函数值为y=a+b+c，又∵x=1时函数取得最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，∵b=−2a，∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；12.②⑤解：由图象可知：a<0，b>0，c>0，故abc<0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(−2,0)，故③错误，观察图象可知，当1<x<4时，有y2<y1，故④错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x(ax+b)≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，13.6解：∵y=−x2+x+2，∴当y=0时，−x2+x+2=0，即−(x−2)(x+1)=0，解得x=2或x=−1，故设P(x,y)(0<x<2,y>0)，∴四边形OAPB周长C=2(x+y)=2(x−x2+x+2)=−2(x−1)2+6．∴当x=1时，C最大值=6，即：四边形OAPB周长的最大值为6．14.解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得{a−b+c=016a+4b+c=0c=−4，解得{a=1b=−3c=−4，∴抛物线解析式为y=x2−3x−4；(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C(0,−4)，∴D(0,−2)，∴P点纵坐标为−2，代入抛物线解析式可得x2−3x−4=−2，解得x=3−√172(小于0，舍去)或x=3+√172，∴存在满足条件的P点，其坐标为(3+√172,−2)；(3)∵点P在抛物线上，∴可设P(t,t2−3t−4)，过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B(4,0)，C(0,−4)，∴直线BC解析式为y=x−4，∴F(t,t−4)，∴PF=(t−4)−(t2−3t−4)=−t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=12PF⋅OE+12PF⋅BE=12PF⋅(OE+BE)=12PF⋅OB=12(−t2+4t)×4=−2(t−2)2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2−3t−4=−6，∴当P点坐标为(2,−6)时，△PBC的最大面积为8．15.解：(1)将B(4,0)代入y=−x2+3x+m，解得，m =4，∴二次函数解析式为y =−x 2+3x +4， 令x =0，得y =4， ∴C(0,4)， (2)存在，理由：∵B(4,0)，C(0,4)， ∴直线BC 解析式为y =−x +4，当直线BC 向上平移b 单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC 面积最大， ∴{y =−x +4+b y =−x 2+3x +4， ∴x 2−4x +b =0， ∴△=16−4b =0， ∴b =4， ∴{x =2y =6， ∴M(2,6)， (3)①如图，∵点P 在抛物线上， ∴设P(m,−m 2+3m +4)，当四边形PBQC 是菱形时，点P 在线段BC 的垂直平分线上， ∵B(4,0)，C(0,4)∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y =x ， ∴m =−m 2+3m +4， ∴m =1±√5，∴P(1+√5,1+√5)或P(1−√5,1−√5)， ②如图，设点P(t,−t 2+3t +4)，过点P 作y 轴的平行线l 交BC 于点D ，交x 轴于点E ，过点C 作l 的垂线交l 于点F ，∵点D在直线BC上，∴D(t,−t+4)，∵PD=−t2+3t+4−(−t+4)=−t2+4t，BE+CF=4，∴S四边形PBQC =2S△PBC=2(S△PCD+S△PBD)=2(12PD×CF+12PD×BE)=4PD=−4t2+16t，∵0<t<4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=1616.解：(1)∵CE=CB=5，CO=AB=4，∴在Rt△COE中，OE=√CE2−CO2=√52−42=3，设AD=m，则DE=BD=4−m，∵OE=3，∴AE=5−3=2，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=(4−m)2，解得m=32，∴D(−32,−5)，∵C(−4,0)，O(0,0)，∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax(x+4)，∴−5=−32a(−32+4)，解得a=43，∴抛物线解析式为y=43x(x+4)=43x2+163x；(2)∵CP=2t，∴BP=5−2t，在Rt△DBP和Rt△DEQ中，{DP=DQBD=ED，∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL)，∴BP=EQ，∴5−2t=t，∴t=53；(3)∵抛物线的对称轴为直线x=−2，∴设N(−2,n)，又由题意可知C(−4,0)，E(0,−3)，设M(m,y)，①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，则线段EN的中点横坐标为0+(−2)2=−1，线段CM中点横坐标为m+(−4)2，∵EN，CM互相平分，∴m+(−4)2=−1，解得m =2，又M 点在抛物线上， ∴y =43×22+163×2=16，∴M(2,16)；②当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时， 则线段EM 的中点横坐标为m+02，线段CN 中点横坐标为(−2)+(−4)2=−3，∵EM ，CN 互相平分， ∴m 2=−3，解得m =−6，又∵M 点在抛物线上， ∴y =43×(−6)2+163×(−6)=16，∴M(−6,16)；③当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时， 则M 为抛物线的顶点，即M(−2,−163).综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为(2,16)或(−6,16)或(−2,−163).17.解：(1)抛物线的顶点坐标为(4,−23)，可以假设抛物线为y =a(x −4)2−23把点(0,2)代入得到a =16，∴抛物线的解析式为y =16(x −4)2−23． 令y =0得到16(x −4)2−23=0，解得x =2或6， ∴A(2,0)，B(6,0)．(2)设P(4,m)，由题意：12⋅4⋅|m|=2×12×4×2，解得m =±4， ∴点P 坐标(4,4)或(4,−4)．(3)存在．理由如下：∵A 、B 关于对称轴对称，连接CB 交对称轴于Q ，连接QA ，此时QA +QC 最短(两点之间线段最短)，∴QA +QC 的最小值=QA +QC =QB +QC =BC =√22+32=√13．18.解：(1)把A(3,0)B(0,−3)代入y =x 2+mx +n ，得{0=9+3m +n −3=n 解得{m =−2n =−3，所以抛物线的解析式是y =x 2−2x −3． 设直线AB 的解析式是y =kx +b ，把A(3,0)B(0,−3)代入y =kx +b ，得{0=3k +b−3=b ，解得{k =1b =−3，所以直线AB 的解析式是y =x −3；(2)设点P 的坐标是(t,t −3)，则M(t,t 2−2t −3)， 因为p 在第四象限，所以PM =(t −3)−(t 2−2t −3)=−t 2+3t ，当t =−32×(−1)=32时，二次函数的最大值，即PM 最长值为0−94×(−1)=94， 则S △ABM =S △BPM +S △APM =12×94×3=278．(3)存在，理由如下： ∵PM//OB ，∴当PM =OB 时，点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，①当P 在第四象限：PM =OB =3，PM 最长时只有94，所以不可能有PM =3． ②当P 在第一象限：PM =OB =3，(t 2−2t −3)−(t −3)=3， 解得t 1=3+√212，t 2=3−√212(舍去)，所以P 点的横坐标是3+√212；③当P 在第三象限：PM =OB =3，t 2−3t =3， 解得t 1=3+√212(舍去)，t 2=3−√212，所以P 点的横坐标是3−√212．综上所述，P 点的横坐标是3+√212或3−√212．19.解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c 对称轴是直线x =1， ∴−b2×(−1)=1，解得b =2，∵抛物线过A(0,3)， ∴c =3，∴抛物线解析式为y =−x 2+2x +3，令y =0可得−x 2+2x +3=0，解得x =−1或x =3， ∴B 点坐标为(3,0)；(2)①由题意可知ON =3t ，OM =2t ， ∵P 在抛物线上， ∴P(2t,−4t 2+4t +3)， ∵四边形OMPN 为矩形， ∴ON =PM ，∴3t =−4t 2+4t +3，解得t =1或t =−34(舍去)， ∴当t 的值为1时，四边形OMPN 为矩形； ②∵A(0,3)，B(3,0)，∴OA =OB =3，且可求得直线AB 解析式为y =−x +3， ∴当t >0时，OQ ≠OB ，∴当△BOQ 为等腰三角形时，有OB =QB 或OQ =BQ 两种情况， 由题意可知OM =2t ， ∴Q(2t,−2t +3)，∴OQ =√(2t)2+(−2t +3)2=√8t 2−12t +9，BQ =√(2t −3)2+(−2t +3)2=√2|2t −3|，又由题意可知0<t <1，当OB =QB 时，则有√2|2t −3|=3，解得t =6+3√24(舍去)或t =6−3√24； 当OQ =BQ 时，则有√8t 2−12t +9=√2|2t −3|，解得t =34； 综上可知当t 的值为6−3√24或34时，△BOQ 为等腰三角形．20.解：(1)设甲服装进价为x 元/件，则乙服装进价为(x −20)元/件，根据题意，得：4800x=4200x−20−10，整理，得：x 2+40x −9600=0， 解得：x 1=−120(舍)，x 2=80， 经检验x =80是原分式方程的解，∴甲服装的销售单件为80×(1+50%)=120元/件， 乙服装的销售单价为(80−20)×(1+50%)=90元/件；答：甲服装的销售单件为120元/件，乙服装的销售单价为90元/件． (2)设购进甲种服装m 件，则可购进乙种服装(100−m)件， 根据题意，得：{m ≥6580m +60(100−m)≤7500，解得：65≤m ≤75，答：甲种服装最多购进75件．(3)设总利润为W元，W=(120−80−a)x+(90−60)(100−x)即W=(10−a)x+3000．①当0<a<10时，10−a>0，W随x增大而增大，∴当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；③当10<a<20时，10−a<0，W随x增大而减小．当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件．21.解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(−2,0)，点B(4,0)，点D(2,4)，∴设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−4)，∴−8a=4，∴a=−12，∴抛物线解析式为y=−12(x+2)(x−4)=−12x2+x+4；(2)如图1，①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由(1)知，OC=4，∵∠ACO=∠E′CF′，∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，∴AOCO =E′F′CF′=12，设线段E′F′=ℎ，则CF′=2ℎ，∴点E′(2ℎ,ℎ+4)，∵点E′在抛物线上，∴−12(2ℎ)2+2ℎ+4=ℎ+4，∴ℎ=0(舍)，ℎ=12，∴E′(1,92)， ②点E 在直线CD 下方的抛物线上，记E ，连接CE ，过E 作EF ⊥CD ，垂足为F ，由(1)知，OC =4，∵∠ACO =∠ECF ，∴tan ∠ACO =tan ∠ECF ，∴AO CO =EF CF =12，设线段EF =ℎ，则CF =2ℎ，∴点E(2ℎ,4−ℎ)，∵点E 在抛物线上，∴−12(2ℎ)2+2ℎ+4=4−ℎ， ∴ℎ=0(舍)，ℎ=32，∴E(3,52)， 点E 的坐标为(1,92)，(3,52)；(3)①CM 为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′//y 轴，交BC 于N′，过点P′作P′M′//BC ，交y 轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y 轴，垂足为Q′，∵OC =OB ，∠BOC =90°，∴∠OCB =45°，∴∠P′M′C =45°，设点P′(m,−12m 2+m +4)，在Rt △P′M′Q′中，P′Q′=m ，P′M′=√2m ，∵B(4,0)，C(0,4)，∴直线BC的解析式为y=−x+4，∵P′N′//y轴，∴N′(m,−m+4)，∴P′N′=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m，∴√2m=−12m2+2m，∴m=0(舍)或m=4−2√2，菱形CM′P′N′的边长为√2(4−2√2)=4√2−4．②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM//BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN//CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°，∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，设点P(n,−12n2+n+4)，∴CQ=n，OQ=n+4，∴n+4=−12n2+n+4，∴n=0(舍)，∴此种情况不存在．∴菱形的边长为4√2−4．22.解：(1)∵令x=0，则y=4，∴A(0,4)；∵令y=0，则−x2+3x+4=0，解得x1=4，x2=−1，∴B(4,0)，C(−1,0)；(2)①∵以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，∴△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA，∴AQQP =AOCO或AQQP=COAO，即xx2−3x =41或xx2−3x=14，解得x=134或x=7，均在对称轴的右侧，∴P(134,5116)或(7,24)；②如图所示，过点M作y轴的平行线交直线AQ 于点E，过点P作PF⊥直线ME于点F，设Q(x,4)，则P(x,−x2+3x+4)，PQ=x2−3x=PM，∵∠EAM+∠EMA=90°，∠EMA+∠FMP=90°，∴∠FMP=∠EAM．∵∠MFP=∠AEM=90°，∴△AEM∽△MFP，∴AMME =MPPF．∵MP=x2−3x，∴x4=x2−3xPF，∴PF=4x−12，∴OM=(4x−12)−x=3x−12，在Rt△AOM中，∵OM2+OA2=AM2，即(3x−12)2+42=x2，解得x1=4，x2=5均在抛物线对称轴的右侧，∴P(4,0)或(5,−6)．③∵抛物线y=−x2+3x+4和A(0,4)，∴抛物线和直线l的交点坐标为A(0,4)，(3,4)，设P(a,−a2+3a+4)；(a<0或a>3)∵AP的中点是R，A(0,4)，∴a2=m，−a2+3a+4+42=n，∴n=−2m2+3m+4，∵a<0或a>3，∴2m<0，或2m>3，∴m<0，或m32．。
2020重庆中考复习数学利用二次函数求几何最值问题二(含答案解析)
2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是．练习：（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是．练习：如图：△ABC是等边三角形，AB＝12，E是AC中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值为．例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .练习：（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则S △BDE 的最大值为 ．例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝2，点D 为线段BC 上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．练习：（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是3．解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，∴DP＝BP，∠DPB＝90°，∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴DE＝CP，EP＝BC＝9，∵AE+PC＝AC﹣EP＝6，∴AE+DE＝6，设AE＝x，DE=6﹣x，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝x 2+（6﹣x）2=2（x﹣3）2+18，当x＝3时，AD有最小值为3，练习：（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．解：过D作DE⊥AC于E，∵∠C＝∠DPB＝90°，∴∠DEP＝∠C＝90°，∠EDP+∠DPE＝90°，∠DPE+∠BPC＝90°，∴∠EDP＝∠BPC，在△DEP和△PCB中，，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴PE＝BC＝3，DE＝CP，设PC＝x，则AD2＝x2+（2﹣x）2＝2（x﹣1）2+2，∴AD2的最小值是2，∴AD的最小值是，例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，AF 的最小值是 +1 ．解：作DM ⊥AC 于M ，FN ⊥AC 于N ，如图，设DM ＝x ，在Rt △CDM 中，CM ＝DM ＝x ，而EM +x ＝2，∴EM ＝﹣x +2，∵线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，∴ED ＝EF ，∠DEF ＝90°，易得△EDM ≌△FEN ，当D 在BC 上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝﹣x +2，在Rt △AFN 中，AF 2＝（﹣x +2）2+（2+x ）2＝（x +）2+4+2，此时AF 2没有最小值，当D 在BC 的延长线上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝x +2，在Rt △AFN 中，AF 2＝（x +2）2+（2﹣x ）2＝（x ﹣）2+4+2， 当x ＝时，AF 2有最小值4+2，∴AF 的最小值为＝+1．练习：如图：△ABC 是等边三角形，AB ＝12，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为 3+3．例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点面积的最大值为.(B点除外),以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则BDE解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．练习：（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B 点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为.例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D为线段BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．解：如图，过点A作AG⊥BC于G，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AG＝BG＝BC＝×2＝1，设BD＝x，则DG＝|x﹣1|，在Rt△ADG中，AD＝＝＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，在正方形ADEF中，∠DAF＝90°，AD＝AF，∵∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝90°，∠CAF+∠CAD＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴S△APC＝S△ACF﹣S△APF＝S△ABD﹣S△APF，＝x•1﹣AF•AD，＝x﹣AD2，＝x﹣（x2﹣2x+2），＝﹣（x2﹣3x+2），＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，S有最大值，即BD＝时，△ACP的面积有最大值为．练习：（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．解：作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM＝BM，设BM＝x，则AM＝CM＝x，∴AB＝x+x＝3+，解得：x＝，∴BM＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y+﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE＝（y+﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y）×（y+﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．。
2020年中考数学 二次函数的图形性质专题练习(含答案)
2020中考数学 二次函数的图形性质专题练习（含答案）一、单选题（共有19道小题）1.已知二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-，下列结论中正确的只有（ ）①0abc <②20a b += ③0a b c -+> ④420a b c -+< A.①② B.①④ C.③④ D. ②④参考答案:D 2.如图是二次函数()2,0y ax bx c a =++≠图象的一部分，其对称轴为1x =﹣，且过点 (-3，0)下列说法：①0<abc ；②02=-b a ；③024<++c b a ；④若()15,y - ，()22,y 是抛物线上的两点，则1y 其中说法正确的是（ ） A.①③④ B.②③ C. ②③④D.①②④参考答案:D解析：∵抛物线开口向上， ∴0a <，∵抛物线对称轴为直线12bx a=-=- ∴20b a =>，则20a b =-，所以②正确； ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴0c <，∴0abc <，所以①正确； ∵2x =时，0y >，∴420a b c ++>，所以③错误；∵点()15y -,离对称轴要比点()22y ,离对称轴要远， ∴12y y >，所以④正确．故选D ．3.已知二次函数y =ax 2+bx +c （c ≠0）的图像如图所示，下列结论 ①0b <；②420a b c ++<； ③0a b c -+>； ④()2a b +其中正确的结论是（ ）A ．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 参考答案:C4.二次函数2y x bx c =++，若0b c +=，则它的图象一定过点（ ） A.(-1，-1) B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)参考答案:D5.已知二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象如图，且关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++=-①240b ac >-；②0abc <； ③2m>．其中，正确结论的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 参考答案:D解：①∵二次函数2y ax bx c =++与x 轴有两个交点， ∴240b ac ->，故①正确； ②∵抛物线的开口向下， ∴0a <，∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴0c >， ∵对称轴02bx a=->， ∴0ab <， ∵0a <， ∴0b >，∴0abc <，故②正确；③∵一元二次方程20ax bx c m ++=-没有实数根， ∴2y ax bx c =++和y m =没有交点， 由图可得，2m >，故③正确． 故选D ．6.函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论：①240b c ->；②10b c ++=； ③360b c ++=；④当13x <<时，()210x b x c +-+<.其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案:B7.如图，抛物线c bx x y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OB=OC ，则下列各式成立的是(A.01=--c bB.01=-+c bC.01=+-c bD.01=++c b参考答案:D8.二次函数c bx ax y ++=2图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）A.当m ≠1时，bm am b a +>+2B.若222121bx ax bx ax +=+，且21x x ≠，则21+x x C.0>+-c b a D.0<abc 参考答案:C9.如图是二次函数2y ax bx c ＝＋＋(a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象的一部分，与x 轴的交点A 在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x ＝1．对于下列说法： ①ab ＜0； ②2a ＋b ＝0； ③3a ＋c ＞0；④()a b m am b ≥＋＋(m 为实数)；⑤当－1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是( A ．①②④ B ．①②⑤ C ．②③④ D ．③④⑤参考答案:解：①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号， ∴ab ＜0，故正确； ②∵对称轴x ＝－2ba＝1，∴2a ＋b ＝0；故正确； ③∵2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a ，∵当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0， ∴a －(－2a )＋c ＝3a ＋c ＜0，故错误； ④根据图示知，当m ＝1时，有最大值； 当m ≠1时，有am bm c a b c ≤＋＋＋＋2， 所以()a b m am b ≥＋＋(m 为实数)．故正确．⑤如图，当－1＜x ＜3时，y 不只是大于0． 故错误． 故选：A10.如图，二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点（2，0）.下列说法： ①abc <0， ②a+b =0， ③4a+2b+c <0， ④若（-2，y 1）（52，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是( )A ．①②④B ．③④C ．①③④D ．①② 参考答案:A11.已知二次函数c bx ax y ++=2(其中a >0，b >0，c <0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点有一个在y 轴的右侧．以上正确的说法的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个 参考答案:C12.已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（ ） ①0>abc ；②2=++c b a ；③21<a ； ④1>b A.①②B.②③C.③④D.②④参考答案:D13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线22＝－＋y ax x (a ≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．11143－a a ≤≤<或 B ．1143a ≤<C ．1143a a ≤>或D ．114－a a ≤≥或参考答案:解：∵抛物线的解析式为y ＝ax 2－x ＋2．观察图象可知当a ＜0时，x ＝－1时，y ≤2时，且－12a-≥－1，满足条件，可得a ≤－1；当a ＞0时，x ＝2时，y ≥1，且抛物线与直线MN 有交点，且－12a-≤2满足条件， ∴a ≥14， ∵直线MN 的解析式为y ＝－13x ＋53，由215332y x y ax x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 得到，3ax 2－2x ＋1＝0， ∵△＞0，∴a ＜13，∴14≤a ＜13满足条件，综上所述，满足条件的a 的值为a ≤－1或14≤a ＜13， 故选：A ．14.函数2y x bx c =++与y x =①240b c <﹣； ②10c b -+=；③360b c ++=；④当13x <<时，()210x b x c +-+<．其中正确结论的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 参考答案:C解析：∵函数2y x bx c =++与x 轴无交点， ∴240b ac <-； 故①正确；当1x =-时，10y b c =-+>， 故②错误；∵当3x =时，933y b c =++=， ∴360b c ++=； ③正确；∵当13x <<时，二次函数值小于一次函数值， ∴2x bx c x ++<， ∴()210x b x c +-+<．故④正确． 故选C ．15.如图是二次函数()2,0y ax bx c a =++≠图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为1x =﹣．给出四个结论： ①24b ac >；②20a b +=； ③30a c +=； ④0a b c ++=．其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3D.4参考答案:C解析：∵抛物线的开口方向向下， ∴0a <；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac >-，即24b ac >，①正确； 由图象可知：对称轴12bx a=-=- ∴2a b =，24a b a +=， ∵0a ≠，∴20a b +≠，②错误； ∵图象过点A （﹣3，0），∴9302a b c a b +==-，，所以9603a a c c a +==-，-，③正确； ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴0c >由图象可知：当1x =时0y =， ∴0a b c ++=，④正确． 故选C ．16.四位同学在研究函数2＝＋＋yx bx c (b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程20＋＋＝x bx c 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁参考答案:解：假设甲和丙的结论正确，则212434bc b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得：24b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋4． 当x ＝－1时，y ＝x 2－2x ＋4＝7， ∴乙的结论不正确；当x ＝2时，y ＝x 2－2x ＋4＝4，∴丁的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的， ∴假设成立． 故选：B ．17.已知二次函数()2,0y ax bx c a =++≠ 的图象如图，则下列说法：①0c = ；②该抛物线的对称轴是直线1x =-； ③当1x =时，2y a =； ④()20,1am bm a m ++>≠-．其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4参考答案:C解析：抛物线与y 轴交于原点， 0c =，（故①正确）； 该抛物线的对称轴是：2012-+=- 直线1x =﹣，（故②正确）； 当1x =时，y a b c =++ ∵对称轴是直线1x =﹣， ∴12ba=--，2b a =， 又∵0c =，∴3y a =，（故③错误）；x m =对应的函数值为2y am bm c =++，1x =-对应的函数值为y a b c =+-，又∵1x =-时函数取得最小值，∴2a b c am bm c +<++-，即2a b am bm <+-， ∵2b a =，∴20,1am bm a m ++>≠（﹣）．（故④正确）．故选：C ．18.小轩从如图所示的二次函数20(),y ax bxc a =≠＋＋的图象中，观察得出了下面五条信息：①0ab >；②0a b c ++<；③20b c >+；④240a b c ->+；⑤32a b =。
2020年中考数学专项训练： 二次函数的实际应用(含答案)
课时训练(十四)二次函数的实际应用(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2019·临沂]从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图K14-1所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;①小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是()图K14-1A.①④B.①②C.②③④D.②③2.[2018·连云港]已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1,则下列说法中正确的是()A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m,为了使该商品的销售金额最大,那么m的值应该3.销售某种商品,如果单价上涨m%,则售出的数量就减少m150为.x2, 4.河北省赵县赵州桥的桥拱是近似的抛物线,建立如图K14-2所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-125当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,水面宽度AB=m.图K14-25.[2019·毕节]某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如下表:x(元) 15 20 30 …y(袋) 25 20 10 …若日销售量y是销售价x的一次函数,试求:(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式.(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?6.[2019·湘潭]湘潭政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌.小亮调查了一家湘潭特产店A,B两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价72元/盒,售价120元/盒,B种湘莲礼盒进价40元/盒,售价80元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元,平均每天的总利润为1280元.(1)求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒?(2)小亮调查发现,A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒.若B种湘莲礼盒的售价和销量不变,当A种湘莲礼盒每盒降价多少元时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元?7.[2018·扬州]“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,如图K14-3所示.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.图K14-3|拓展提升|8.某商人将进价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,已知这种商品的售价每提高2元,其销量就要减少10件,为了使每天所赚利润最多,该商人应将售价(为偶数)提高 ()A.8元或10元B.12元C.8元D.10元9.如图K14-4,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系,跨度AB=44米,∠A=45°,AC1=4米,点D2的坐标为(-13,-1.69),则桥架的拱高OH=米.图K14-410.[2019·随州]某食品厂生产一种半成品食材,成本为2元/千克,每天的产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式p=1x+8,从市场反馈的信息发现,该半成品食材每天的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千2克)满足一次函数关系,部分数据如下表:销售价格x(元/千克) 2 4 (10)市场需求量q(百千克) 12 10 (4)已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.(1)直接写出q与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余的食材由于保质期短而只能废弃.①当每天的半成品食材能全部售出时,求x的取值范围;②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式.(3)在(2)的条件下,当x为元/千克时,利润y有最大值;若要使每天的利润不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则x应定为元/千克.【参考答案】1.D [解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m .故①错误. ②小球抛出3秒后,速度越来越快.故②正确. ③小球抛出3秒时达到最高点,即速度为0.故③正确. ④设函数解析式为:h=a (t -3)2+40,把O (0,0)代入,得0=a (0-3)2+40,解得a=-409, ∴函数解析式为h=-409(t -3)2+40. 把h=30代入解析式,得30=-409(t -3)2+40,解得t=4.5或t=1.5.∴小球的高度h=30 m 时,t=1.5 s 或4.5 s,故④错误. 故选D .2.D [解析]A .当t=9时,h=-81+216+1=136,当t=13时,h=-169+312+1=144,升空高度不相同,故A 选项说法错误; B .当t=24时,h=-576+576+1=1,火箭的升空高度是1 m,故B 选项说法错误; C .当t=10时,h=-100+240+1=141,故C 选项说法错误; D .根据题意可得,最大高度为4ac -b 24a=-4-576-4=145(m),故D 选项说法正确.故选D .3.25 [解析]设原价为1,销售量为y , 则现在的单价是(1+m %),销售量是1-m150y ,根据销售额的计算方法得: 销售额w=(1+m %)1-m150y ,w=-115000(m 2-50m -15000)y , w=-115000(m -25)2+2524·y ,∵y 是已知的正数, ∴当-115000(m -25)2+2524最大时,w 最大,根据二次函数的性质,当m=25时,w 最大.4.20 [解析]由已知水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 知点B 的纵坐标为-4,把y=-4代入y=-125x 2,得-4=-125x 2,解得x=±10,所以这时水面宽度AB 为20 m .5.解:(1)根据表格的数据,设日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式为y=kx +b ,得 {25=15k +b ,20=20k +b ,解得{k =-1,b =40,故日销售量y (袋)与销售价x (元)的函数关系式为y=-x +40. (2)设利润为w 元,依题意,得 w=(x -10)(-x +40)=-x 2+50x -400,整理得w=-(x -25)2+225. ∵-1<0,∴当x=25时,w 取得最大值,最大值为225.答:要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为25元,每日销售的最大利润是225元. 6.解:(1)根据题意,可设平均每天销售A 种礼盒x 盒,B 种礼盒y 盒, 则有{(120-72)x +(80-40)y =1280,120x +80y =2800,解得{x =10,y =20.故该店平均每天销售A 种礼盒10盒,B 种礼盒20盒.(2)设A 种湘莲礼盒降价m 元/盒,总利润为W 元,依题意,总利润W=(120-m -72)10+m 3+20×(80-40).化简得W=-13m 2+6m +1280=-13(m -9)2+1307.∵a=-13<0,∴当m=9(符合实际)时,W 取得最大值1307.故当A 种湘莲礼盒每盒降价9元时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是1307元. 7.解:(1)设y 与x 之间的关系式为y=kx +b (k ≠0,b 为常数).由题意得:{40k +b =300,55k +b =150,解得:{k =-10,b =700.∴y=-10x +700. (2)根据题意得y ≥240, 即-10x +700≥240,解得x ≤46.设利润为w 元,由题意,w=(x -30)·y=(x -30)(-10x +700),则w=-10x 2+1000x -21000=-10(x -50)2+4000, ∵-10<0,∴x<50时,w 随x 的增大而增大,∴x=46时,w 最大=-10×(46-50)2+4000=3840.答:当销售单价为46元时,每天获取的利润最大,最大利润是3840元. (3)设剩余利润为z (元), 则z=w -150=-10(x -50)2+3850. 当z=3600时,-10(x -50)2+3850=3600, 解得:x 1=55,x 2=45.z=-10(x -50)2+3850的图象如图所示,由图象得:当45≤x ≤55时,捐款后每天剩余利润不低于3600元. 答:单价的范围是45≤x ≤55.8.A [解析]设这种商品的售价为x 元,每天所赚的利润为y 元,依题意,得y=(x -8)·100-10×x -102=-5x 2+190x -1200=-5(x -19)2+605, ∵-5<0,∴抛物线开口向下,函数有最大值, 即当x=19时,y 的最大值为605, ∵售价为偶数, ∴x 为18或20, 当x=18时,y=600, 当x=20时,y=600,∴x 为18和20时,y 的值相同,∴商品售价应提高18-10=8(元)或20-10=10(元), 故选:A .9.7.24 [解析]设抛物线D 1OD 8的解析式为y=ax 2,将x=-13,y=-1.69代入,解得a=-1100. ∵D 1D 8=C 1C 8=AB -2AC 1=36(米),∴点D 1的横坐标是-18,代入y=-1100x 2可得y=-3.24. 又∵∠A=45°, ∴D 1C 1=AC 1=4米, ∴OH=3.24+4=7.24 (米).10.解:(1)设q 与x 的函数解析式为q=kx +b , 由表格可知函数图象经过点(2,12),(4,10), 所以有{2k +b =12,4k +b =10,解得{k =-1,b =14,∴q 与x 的函数解析式为q=-x +14,x 的取值范围为2≤x ≤10. (2)①由题意可知当每天的半成品食材能全部售出时, 有p ≤q ,即12x +8≤-x +14,解得x ≤4, 又因为2≤x ≤10,所以2≤x ≤4.②由①知,当2≤x ≤4时, y=(x -2)p=(x -2)12x +8=12x 2+7x -16; 当4<x ≤10时,y=(x -2)q -2(p -q )=(x -2)(-x +14)-212x +8-(-x +14)=-x 2+13x -16.综上可得y={12x 2+7x -16(2≤x ≤4),-x 2+13x -16(4<x ≤10).(3)1325。
2020中考数学压轴题汇编 二次函数专题(含答案)
2020中考数学 九年级 压轴题汇编 二次函数专题（含答案）1. 如图，抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B (3，0)两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，3)，已知对称轴x ＝1.(1)求抛物线L 的解析式；(2)将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求h 的取值范围；(3)设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x ＝－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．第1题图解：(1)把C (0，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得c ＝3， 把B (3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3， 得9a ＋3b ＋3＝0，又∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴联立⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2，∴抛物线L 的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋3； 设所求抛物线L 的解析式为y ＝m (x －1)2＋n ，把B (3，0)，C (0，3)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝0m ＋n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝4，∴抛物线L 的解析式是y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得抛物线的顶点D (1，4)， 如解图①，过点D 作y 轴的平行线分别交CB ，OB 于点E 、F ， 则△BEF ∽△BCO ， ∴EF OC ＝BFBO ， ∴EF ＝2，∴4－2≤h ≤4，即2≤h ≤4；第1题解图①(3)能．设P (x ，－x 2＋2x ＋3)，如解图②，过点P 分别作x 轴、直线l 的垂线，垂足分别是点M ，N ，第1题解图②∴∠NPM ＝∠QPB ＝90°，即∠NPQ ＝∠MPB ， 又∵PB ＝PQ 且∠PMB ＝∠PNQ ＝90°， ∴△PMB ≌△PNQ (AAS)， ∴PM ＝PN .①当点P 在x 轴上方时，－x 2＋2x ＋3＝x ＋3， 即x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1， ∴P 1(0，3)，P 2(1，4)；②当点P 在x 轴下方，直线l 右侧时，－(－x 2＋2x ＋3)＝x ＋3， 即x 2－3x －6＝0，解得x ＝3±332，分别代入y ＝－x 2＋2x ＋3得P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)，当点P 在x 轴下方，直线l 左侧时，－(－x 2＋2x ＋3)＝－3－x ， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝1(舍去)，综上所述，满足条件的点P 有四个点，分别是P 1(0，3)，P 2(1，4)，P 3(3－332，－9－332)，P 4(3＋332，－9＋332)．2. 如图，直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点．第2题图(1)求A 、B 两点的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，作MD ∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点， ∴B (3，0)，C (0，3)， ∴OB ＝3，OC ＝3， ∴t an ∠BCO ＝33＝3， ∴∠BCO ＝60°， ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACO ＝30°，∴t an30°＝AO CO ＝33，即AO 3＝33，解得AO ＝1，∴A (－1，0)；(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝09a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33b ＝233，∴抛物线解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋3； (3)∵MD ∥y 轴，MH ⊥BC ， ∴∠MDH ＝∠BCO ＝60°， 则∠DMH ＝30°，∴DH ＝12DM ，MH ＝32DM ，∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋32DM ， ∴当DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点， ∴可设M (t ，－33t 2＋233t ＋3)，。
2020中考数学专题复习之二次函数综合题专项练习题4(附答案详解)
2020中考数学专题复习之二次函数综合题专项练习题4（附答案详解）1．如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B 与点(1,0)C -.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交线段AB 于点E.设点P 的横坐标为m.①求PAB △的面积y 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？②若点E 是垂线段PD 的三等分点，求点P 的坐标.2．如图，抛物线y ＝（x +2）2+m 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．点D 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为M ，点B 的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及A ，C ，D 的坐标；（2）判断△ABM 的形状，并证明你的结论；（3）若点P 是直线BD 上一个动点，是否存在以P ，C ，D 为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由3．如图，已知抛物线与坐标轴交于A （﹣4，0）、B （2，0）、C （0，4），连接BC ，AC ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点E 是抛物线在第二象限上的一点，过点E 作DE ⊥AC 于点D ，求DE 的最大值．（3）若点E 是抛物线上第二象限上的一动点，过点E 作DE ⊥AC 于点D ，连接CE ，若△CDE 与△COB 相似，直接写出点E 的坐标．4．如图，已知抛物线252(0)y ax ax a =-+≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点(1,0)A 和点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC 的解析式；(3)若点N 是抛物线上的动点，过点N 作NH x ⊥轴，垂足为H ，以B ，N ，H 为顶点的三角形是否能够与OBC V 相似(排除全等的情况)？若能，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (－4，0)，B (0，－4)，C (2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P ，Q ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ ∥OB )，直接写出相应的点Q 的坐标．6．如图，已知抛物线y ＝﹣212x +bx+c 的图象经过点A(﹣1，0)和点C(0，2)，点D 与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x 轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式.(2)已知点F(0，12)，当点P在x轴正半轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.7．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．8．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAC 沿AC 翻折得到△ACE ，直线AE 交抛物线于点P ，求点P 的坐标； （3）如图2，点M 为直线BC 上一点（不与B 、C 重合），连OM ，将OM 绕O 点旋转90°，得到线段ON ，是否存在这样的点N ，使点N 恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．9．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线(5)(3)y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且过点(2,4)-．（1）直接写出a 的值和点B 的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x 轴交于M ，N 两点，两抛物线交于点P ，求点M 到直线PB 的距离；（3）在（2）的条件下，若点D 为直线BP 上的一个动点，是否存在点D ，使得12DAB PBA ∠=∠？若存在，请求出点D 的坐标：若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）求证：∠ACB=90°；（3）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 1、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．12．如图，已知二次函数y ＝x 2﹣4的图象与x 轴交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），C 为顶点．一次函数y ＝mx +2的图象经过点A ，与y 轴交于点D ．（1）求直线AD 的函数表达式；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C ′．若新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC ′平行于直线AD ，且当1≤x ≤3时，新抛物线对应的函数值有最小值为﹣1，求新抛物线对应的函数表达式；（3）如图，连接AC 、BC ，在坐标平面内，直接写出使得△ACD 与△EBC 相似（其中点A与点E是对应点）的点E的坐标．13．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．14．已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．15．如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C 两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．17．如图，抛物线21 2y ax x c=++交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线122y x=--经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当PCM∆是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B'到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线 : =+l y kx b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）18．已知：如图，抛物线c 1经过A ，B ，C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一个交点为E ．（1）求抛物线c 1解析式；（2）求四边形ABDE 的面积；（3）△AOB 与△BDE 是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线c 1的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线c 2经过点E （抛物线c 2与抛物线c 1不重合），且顶点为M （a ，b ），对称轴与x 轴相交于点G ，且以M ，G ，E 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形全等，求a ，b 的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）19．（2015崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是（5，4），⊙M 与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点．（1）则点A 、B 、C 的坐标分别是A （__，__），B （__，__），C （__，__）； （2）设经过A 、B 两点的抛物线解析式为21(5)4y x k =-+，它的顶点为F ，求证：直线F A 与⊙M 相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形．如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．20．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．（1）2y x 2x 3=-++；（2）①解析式236y m m =-+，当m=1时y 有最大值，最大值是3；②P （2,3）或P （11524，）【解析】【分析】（1）根据“直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B”可求A ，B 坐标，再将A ，B ，C 三点坐标代入二次函数解析式即可求出a ，b ，c 的值，从而得出答案；（2）①根据已知可得点P 坐标，从而可求点E 坐标，根据两点之间的距离公式可知PE 的代数式，再根据三角形的面积公式即可得出结论；②分当PE=2ED 时，当2PE=ED 两种情况，列方程求解即可得出结论.【详解】解：（1）∵直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B∴A （3,0），B （0,3）将A （3,0），B （0,3），C （-1,0）代入到()20y ax bx c a =++≠中有 93030a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++；（2）①∵点P 的横坐标为m ，且在抛物线上∴点P 的坐标为（m ，223m m -++）∵PD ⊥x 轴∴点E 的坐标是（m ，-m+3）∴222333PE m m m m m =-+++-=-+ ∴()()()221133322y m m m m m m =-+⋅+-+- ∴y 关于m 的解析式为：236y m m =-+∵()2236313y m m m =-+=--+∴当m=1时，y 有最大值，最大值是3；②当PE=2ED 时，即()2323m m m -+=-+ 解得：m=2或m=3（不符合题意舍去）；当2PE=ED 时即2263m m m -+=-+整理得22730m m -+= 解得：12m =，m=3（不符合题意舍去） 将点m=2或m=12代入抛物线解析式 ∴点P （2,3）或P （11524，）【点睛】本题是一道综合题，主要考查的是一次函数与二次函数的图像与性质，能够充分调动所学知识是解题的关键.2．（1）；抛物线的解析式为y ＝（x +2）2﹣1；A （﹣3，0）；C （0，3）；D （﹣4，3）；（2）△ABM 是等腰直角三角形；见解析；（3）存在，理由见解析；【解析】【分析】（1）把B （﹣1，0）代入抛物线解析式可求出抛物线的解析式，分别令x=0和y=0可求得A ，C 的坐标，利用抛物线是轴对称的性质可求得D 的坐标；（2）作MN ⊥x 轴，利用抛物线是轴对称的性质以及特殊角的三角函数可求得∠MAN ＝∠MBN ＝45°，从而得到△ABM 是等腰直角三角形；（3）需要分类讨论：△ABD ∽△PDC 、△ABD ∽△CDP ，根据相似三角形的性质求得PD 的长度，然后可求得点P 的坐标．【详解】解：（1）把B （﹣1，0）代入抛物线解析式得，（﹣1+2）2+m ＝0，解得m ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝（x +2）2﹣1，当y ＝0时，（x +2）2﹣1＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，∴A （﹣3，0）．当x ＝0时，y ＝（x +2）2﹣1＝3，∴C （0，3）∵抛物线对称轴是直线x ＝﹣2，C ，D 两点关于抛物线对称轴对称，∴D （﹣4，3）；（2）△ABM 是等腰直角三角形；证明：∵抛物线y ＝（x +2）2﹣1的顶点是M ，∴M （﹣2，﹣1），作MN ⊥x 轴于N ，则N （﹣2，0）．∴AN ＝BN ＝MN ＝1，∴AM ＝BM ，tan ∠MAN ＝tan ∠MBN ＝1，∴∠MAN ＝∠MBN ＝45°，∴∠AMB ＝180°﹣∠MAN ﹣∠MBN ＝90°，∴△ABM 是等腰直角三角形；（3）存在，理由：①当△ABD ∽△PDC 时，AB BD PD CD = ，即：2324PD =， 则PD 42 ，过点P分别作x、y轴的垂线交于点M、N，则PM 224243==＝DM，则点P（83-，53）；②当△ABD∽△CDP时，同理可得：点P（2，﹣3）综上，点P（83-，53）或P2（2，﹣3）【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的性质以及解直角三角形的应用，难度较大，利用相似三角形的性质求得PD的长是解题的关键，解答本题需要注意的是在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论，不要漏解．3．（1）y＝﹣12x2﹣x+4；（22；（3）828(,)39-或440(,)39-．【解析】【分析】（1）抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8）即可求解；（2）∠EHD＝∠ACB＝45°，DE＝22EH＝2212x2﹣x+4﹣x﹣4）＝﹣24x22x，即可求解；（3）分∠BCO＝∠ECD、∠CBO＝∠ECD两种情况，分别求解即可．【详解】（1）抛物线的解析式为：y＝a（x+4）（x﹣2）＝a（x2+2x﹣8），故﹣8a ＝4，解得：a ＝﹣12， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣12x 2﹣x +4； （2）过点E 作y 轴的平行线交AC 于点H ，由点A 、C 的坐标得：直线AC 的表达式为：y ＝x +4，设：点E （x ，﹣12x 2﹣x +4），则点H （x ，x +4）， ∠EHD ＝∠ACO ＝45°，DE ＝22EH ＝22（﹣12x 2﹣x +4﹣x ﹣4）＝﹣24x 2﹣2x ， ∵-24＜0，故DE 有最大值为：2； （3）①当∠BCO ＝∠ECD 时，延长AE 交x 轴于点F ，过点F 作FG ⊥AC 角CA 的延长线于点G ，则∠AFG ＝∠F AG ＝45°，设：FG ＝AG ＝x ，AC ＝2，tan ∠ECD ＝42FG CG x =+12，解得：x ＝2，则AF ＝2x ＝8，故点F （﹣12，0），则直线CF 的表达式为：y ＝13x +4…②， 联立①②并解得：x ＝83﹣或0（舍去0），故点E （83﹣，289）； ②当∠CBO ＝∠ECD 时， 延长EC 交x 轴于点F ，过点F 作FG ⊥BC 角CB 的延长线于点G ，∠ECF ＝β+45°+α+∠BCF ＝180°，故∠BCF ＝45°，同理可得：点E 的坐标为：（43﹣，409）； 综上，点E 的坐标为：（83﹣，289）或（43﹣，409）． 【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式的运用，解直角三角形的运用，特殊角的三角函数值的运用，等腰直角三角形的运用，抛物线的性质的运用，合理作出辅助线以及分类讨论是解题的关键．4．（1）抛物线的解析式为215222y x x =-+； （2）直线BC 的解析式122y x =-+； （3）N 点的坐标为(5,2)、(2,1)-或(3,14)-．【解析】【分析】(1)把点A 坐标代入抛物线252(0)y ax ax a =-+≠求得抛物线的解析式即可；(2)求出抛物线的对称轴，再求得点B 、C 坐标，设直线BC 的解析式为y kx b =+，再把,B C 两点坐标代入线BC 的解析式为y kx b =+，求得k 和b 即可；(3)设215(,2)22N x x x -+，分两种情况讨论：①OBC HNB ∆∆∽，②OBC HBN ∆∆∽，根据相似，得出比例式，再分别求得点N 坐标即可．【详解】解：(1)Q 点(1,0)A 在抛物线252(0)y ax ax a =-+≠上，520a a ∴-+=，12a ∴=， ∴抛物线的解析式为215222y x x =-+； (2)抛物线的对称轴为直线52x =， ∴点(4,0)B ，(0,2)C ，设直线BC 的解析式为y kx b =+，∴把B 、C 两点坐标代入线BC 的解析式为y kx b =+，得402k b b +=⎧⎨=⎩， 解得12k =-，2b =， ∴直线BC 的解析式122y x =-+； (3)设215(,2)22N x x x -+，分三种情况讨论： ①当OBC HNB ∆∆∽时，如图1，OB OC HN BH=，即2154222x x x --+， 解得15=x ，24x =(不合题意，舍去)， ∴点N 坐标(5,2)；②当OBC HBN ∆∆∽时，如图2，OB OC BH HN=， 即242154222x x x =---+， 解得12x =，24x =(不合题意舍去)，∴点N 坐标(2,1)-；③当215(,2)22N x x x -+在第二象限时，如下图(,0)H x 在x 轴的负半轴上，4BH x ∴=-，OBC HNB ∆∆Q ∽，∴OB OC HN HB=，即2154222xx x --+， 得到2120x x --=解得14x =(舍去)；23x =-，N ∴点的坐标为(3,14)-综上所述，N 点的坐标为(5,2)、(2,1)-或(3,14)-．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答(3)问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．5．（1）y ＝x 2＋x －4；（2）当m ＝－2时，S 有最大值，S 最大＝4；（3）满足题意的Q 点的坐标有三个，分别是（－2＋2，2－2），（－2－2，2＋2），（－4，4）.【解析】试题分析：（1）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用抛物线的解析式表示出点M 的纵坐标，从而得到点M 到x 轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P 、Q 的坐标，然后求出PQ 的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x 的一元二次方程即可得解．试题解析： （1）设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x-2），把B （0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+4）（x-2），即y=x 2+x-4；（2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设M 点的坐标为（m ，n ），则AD=m+4，MD=-n ，n=m 2+m-4，∴S=S △AMD +S 梯形DMBO -S △ABO==-2n-2m-8=-2×（m 2+m-4）-2m-8=-m 2-4m=-（m+2）2+4（-4＜m ＜0）；∴S 最大值=4．（3）设P （x ，x 2+x-4）．①如图1，当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x-（x 2+x-4）|=4，解得x=0，-4，-2±2．x=0不合题意，舍去．由此可得Q （-4，4）或（-2+2，2-2）或（-2-2，2+2）；②如图2，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（-2+2，2-2），（-2-2，2+2）．点睛：本题是二次函数综合题，交点式求解析式，二次函数与三角形面积最值问题的公共底的辅助线的做法要注意，二次函数中存在平行四边形的方法，要分别对已知边的分别为平行四边形的边或是对角线进行分类讨论.6．(1)213222y x x =-++；(2) m ＝3和m ＝14 (3)存在，点Q 的坐标为(3，2)或(﹣1，0) 【解析】【分析】(1)利用待定系数法确定函数解析式； (2)先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y ＝12x ﹣2，则Q(m ，﹣12m 2+32m+2)、M(m ，12m ﹣2)，由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM ＝DF ，分两种情况，①当点P 在线段AB 上时②当P 在AB 的延长线上时，分别列出关于m 的方程，解之可得；(3)易知∠ODB ＝∠QMB ，故分①∠DOB ＝∠MBQ ＝90°，利用△DOB ∽△MBQ 得DO MB OB BQ =＝12，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM =BP BQ PQ ，即214-=132222m m m -++ ，解之即可得此时m 的值；②∠BQM ＝90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标.【详解】(1)将点A(﹣1，0)和点C(0，2)代入y ＝﹣12x 2+bx+c 中，得1--022b c c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ .解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ . 则该抛物线解析式为：213222y x x =-++； (2) 由题意知点D 坐标为(0，﹣2)，∵点B 是抛物线与x 轴正半轴的交点，即2132=022x x -++， 解得x=4或x=-1（舍去），∴B 坐标为（4，0）；设直线BD 解析式为y ＝kx+b ，将B(4，0)、D(0，﹣2)代入，得：402k b b +=⎧⎨=-⎩ ， 解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，∴直线BD 解析式为y ＝12x ﹣2， 分以下两种情况：①当点P 在线段AB 上时，∵QM ⊥x 轴，P(m ，0)(m ＞0)， ∴Q(m ，﹣12m 2+32m+2)、M(m ，12m ﹣2)， 则QM ＝﹣12m 2+32m+2﹣(12m ﹣2)＝﹣12m 2+m+4， ∵F(0，12)、D(0，﹣2)， ∴DF ＝52， ∵QM ∥DF ，∴当﹣12m 2+m+4＝52时，四边形DMQF 是平行四边形， 解得：m ＝﹣1或m ＝3，∵m ＞0，∴m=3；即当m＝3时，四边形DMQF是平行四边形；②当P在AB的延长线上时，∵QM⊥x轴，P(m，0)(m＞0)，∴Q(m，﹣12m2+32m+2)、M(m，12m﹣2)，∴QM＝12m﹣2﹣(﹣12m2+32m+2)＝12m2﹣m﹣4，∵F(0，12)、D(0，﹣2)，∴DF＝52，∵QM∥DF，∴当12m2﹣m﹣4＝52时，四边形DMQF是平行四边形，解得m＝114，∵m＞0，∴m＝1+14；即当m＝1+14时，四边形DMQF是平行四边形；综上所述，当m＝3和m＝1+14时，四边形DMQF是平行四边形；(3)如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB＝∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB＝∠MBQ＝90°时，△DOB∽△MBQ，则2142 DO MBOB BQ===，∵∠MBQ＝90°，∴∠MBP+∠PBQ＝90°，∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，∴∠MBP+∠BMP＝90°，∴∠BMP＝∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴BM BPBQ PQ=，即214-=132222mm m-++，解得：m1＝3、m2＝4，当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m＝3，点Q的坐标为(3，2)；②当∠BQM＝90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m＝﹣1，点Q的坐标为(﹣1，0)；综上，点Q的坐标为(3，2)或(﹣1，0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似. 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用.7．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E；（3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB＝OC，又∵BE＝CE，OE＝OE，∴△OBE≌△OCE（SSS），∴∠BOE＝∠COE，∴点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝113±，∵点E在第四象限，∴E点坐标为（1132+，﹣1132+）；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC，∴AF＝2OA＝2，∴F（1，0）．∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．∵AC∥FQ，∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．联立22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，解得113 12x y =-⎧⎨=⎩，2223xy=⎧⎨=-⎩，∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．8．（1）y＝﹣x2+4x﹣3．（2）点P（1533,416-）；（3）存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A的坐标表示出点B 的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA中求出x 的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN 是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N的坐标；②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．【详解】（1）由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）；已知OB=OC=3，则C（0，-3）；设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．（2）设AE交y轴于点F；易证得△FOA∽△FEC，有13OF OAEF CE==，设OF＝x，则EF＝3x，所以F A＝3x﹣1；在Rt△FOA中，由勾股定理得：（3x﹣1）2＝x2+1，解得x＝34；即OF＝34，F（0，34）；求得直线AE为y＝﹣34x+34，联立抛物线的解析式得：2334443y xy x x⎧-+⎪⎨⎪-+-⎩＝＝，解得1543316xy⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，1xy⎧⎨⎩＝＝；故点P（154，3316）．（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC：y＝x﹣3；设点M（a，a﹣3），则：①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，则可证得△MOG≌△NOH，得：OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，故N（a﹣3，﹣a），将其代入抛物线的解析式中，得：﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，整理得：a2﹣11a+24＝0，a＝3（舍去），a＝8；故M（8，5），N（5，﹣8）．②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；由于点M在第三象限，所以a＜0，故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；同①得：N （3﹣a ，a ），在②中已经求得此时a ＝0（舍去），a ＝1；故M （1，﹣2），N （2，1）；综上可知：存在符合条件的N 点，且坐标为N （2，1）或（5，﹣8）．【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质以及函数图象上点的坐标意义等知识．需要注意的是（3）题中，由于点M 的位置不确定，一定要根据点M 所处的不同象限分类讨论，以免漏解．9．（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元【解析】【分析】（1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2212032002400x --+=．然后检验即可.【详解】（1）()()()80802320w x y x x =-=--+，2248025600x x =-+-，w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-；（2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+，2080160x -<≤≤Q ，，∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．（3）当2400w =时，()2212032002400x --+=．解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，2140x ∴=不符合题意，应舍去．答：销售单价应定为100元．10．（1）415a =-，(3,0)B ；（2）245；（3）D 点坐标为932,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭或3932,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】（1）将点（－2，4）代入y ＝a （x ＋5）（x−3）即可求出a ，根据抛物线解析式可直接得出点B 的坐标；（2）作MC PB ⊥于点C ，连接MP ，首先求出平移后的新抛物线解析式，得到点M 、P 的坐标，然后求出BP ，利用S △PMB ＝12×PB×MC ＝12×MB×OP ，即可求解； （3）作BE 平分PBO ∠交OP 于E ，作EF BP ⊥于F ，根据1122PBE S PE OB BP EF =⋅=⋅V 求出32EO =，然后在Rt OBE V 中，可得1tan 2OBE ∠=，然后分情况讨论：①点D 在x 轴上方，设AD 交y 轴于点H ，根据tan tan DAB OBE ∠=∠求出点H 的坐标，然后求得直线PB 与直线AH 的解析式，联立即可求出点D 的坐标，②点D 在x 轴下方，设AD 交y 轴于点K ，同理可求点D 的另一个坐标．【详解】解：（1）将点(2,4)-代入(5)(3)y a x x =+-得：4(25)(23)a =⨯-+⨯--， 解得：415a =-， ∵抛物线(5)(3)y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），∴(3,0)B ；（2）作MC PB ⊥于点C ，连接MP ，由题意得：将点(5,0)A -向右平移2个单位得到点M 为(3,0)-， 原抛物线解析式为24464(1)15151(55)(3)x y x x =-=-+++-，则新抛物线解析式为2464(1)1515yx =--+， 联立22464(1)1515464(1)1515y x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：04x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 的坐标为(0,4)，∵(0,4)P ，(3,0)B ，(3,0)M -∴6BM =，4OP =，3OB =，∴5BP =，∵S △PMB ＝12×PB×MC ＝12×MB×OP ， ∴642455MB OP MC PB ⋅⨯===， 即点M 到直线PB 的距离为245；（3）存在符合题意的点D 为932,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭或3932,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 作BE 平分PBO ∠交OP 于E ，作EF BP ⊥于F ，∵EO AB ⊥，∴EF EO =，∵1122PBE S PE OB BP EF =⋅=⋅V ， ∴3(4)5EO EO -=，解得：32EO =， ∴在Rt OBE V 中， 1.51tan 32OBE ∠==， 分两种情况：①如图，点D 在x 轴上方，设AD 交y 轴于点H ， ∵12DAB OBP OBE ∠=∠=∠， ∴tan tan DAB OBE ∠=∠，即12HO AO = ∴1522HO OA ==， ∴点H 坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线PB 的解析式为y kx b =+， 代入(0,4)P 和(3,0)B 得：430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：443b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线PB 的解析式为443y x =-+， 设直线AH 的解析式为y mx n =+， 代入(5,0)A -和50,2H 骣琪琪桫得：5052k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AH 的解析式为1522y x =+， 联立1522443y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得9113211x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AH 与直线BP 的交点坐标为932,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②如图，点D 在x 轴下方，设AD 交y 轴于点K ，同①的方法可求得点D 坐标为3932,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 综上所述，存在满足题目条件的D 点坐标为932,1111⎛⎫⎪⎝⎭或3932,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3）利用12DAB PBA ∠=∠，通过作辅助线求出tan DAB ∠是解答本题的难点所在． 11．（1）y ＝﹣21322x ++x +2；（2）见解析；（3）Q （3，2）或Q （﹣1，0）；（4）两个和谐点； A 1的横坐标是1；12. 【解析】【分析】 （1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）先求出AB 、AC 、BC 的长度，根据勾股定理即可证明;（3）分两种情况分别讨论，当∠QBM ＝90°或∠MQB ＝90°，即可求得Q 点的坐标． （4）两个和谐点；AO ＝1，OC ＝2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y ﹣1），O 1（x ，y ﹣1），当A 1、C 1在抛物线上时和O 1、C 1在抛物线上时，分两种情况列方程组可得A 1的横坐标.【详解】（1）设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx+c ，将点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴001642a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，∴1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴213222y x x =-+++； （2）证明：∵()241=5AB =+，()224225BC =-+=22=12=5AC + ∴222AC BC AB +=，即∠ACB=90°；（3）∵点C 与点D 关于x 轴对称，∴D （0，﹣2）．设直线BD 的解析式为y ＝kx ﹣2．∵将（4，0）代入得：4k ﹣2＝0，∴k ＝12．∴直线BD 的解析式为y ＝12x ﹣2． 当P 点与A 点重合时，△BQM 是直角三角形，此时Q （﹣1，0）；当BQ ⊥BD 时，△BQM 是直角三角形，则直线BQ 的直线解析式为y ＝﹣2x+8， ∴1328222x x x +=-++﹣，可求x ＝3或x ＝4（舍） ∴x ＝3；∴Q （3，2）或Q （﹣1，0）；（4）两个和谐点；AO ＝1，OC ＝2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y ﹣1），O 1（x ，y ﹣1），①当A 1、C 1在抛物线上时， ∴2213222131(2)(2)222y x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪-=++++⎪⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩， ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时，22131222131(2)(2)222y x x y x x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪-=++++⎪⎩，∴12218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12.。