线面垂直面面垂直的性质与判定定理ppt课件
线面垂直、面面垂直的判定与性质
本周知识小结：
直线与平面垂直的判定和性质：线线垂直线面垂直面面垂直
线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
面面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
例1、（2010•辽宁）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC， 1SAAB， 2BC，则球O的表面积等于（ ）A．4 B．3
C．2 D．
例2、如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA平面ABC， 2DCBCPA，E、F分别为DB、CB的中点，
（1）证明：AEBC；
（2）求直线PF与平面BCD所成的角．
例3、.(2012·广东高考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中点,F是CD上的点,且DF=21 AB,PH为△PAD中AD边上的高.(1)证明:PH⊥平面ABCD.
(2)若PH=1,AD= 2 ， FC=1,求三棱锥E-BCF的体积.
(3)证明:EF⊥平面PAB.
例4、（09一模东城）如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，AFa，G是EF的中点．
（Ⅰ）求证：平面AGC平面BGC；
（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；
例5、（09年崇文一模）在直四棱柱1111ABCDABCD中，ABCD∥，1ABAD，12DDCD，ABAD．
（Ⅰ）求证：BC平面1DDB；
（Ⅱ）求1DB与平面11DDCC所成角的大小．
例6、如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为2的等边三角形，AB＝2，O是AB中点．
高一数学必修2线、面垂直的判定与性质
α β
a
A 线、面垂直的判定与性质
一、线、面垂直的判定与性质
1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直.
2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
直线与平面垂直 直线与直线垂直
3.线面角相关概念
（1）斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上
的射影所成的角
（2）平面的垂线与平面所成的角为直角
（3）一条直线与平面平行或在平
面内，则这条直线与平面所成的角为0
一条直线与平面所成的角的取值范围是
4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角
注意：二面角的平面角必须满足：
（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.
二面角的取值范围
5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为
6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
线线垂直 线面垂直 面面垂直
7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行
8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
面面垂直线面垂直
二、例题解析 l记为lalblabAbabalA
α P
斜线PA与平面所成的角为PAB
l 平面的斜线
A 斜足A
斜线PA在平面内的射影 垂足B
B 平面的垂线
)90,0(0]90,0[0]0[180,000，或aa面
//aabbabα a b
laalaA α β
a
3、线面、面面垂直
直线与平面垂直
文字语言
图形
符号
定义：
直线和平面内的每一条直线都垂直。
baab任意
直线与平面垂直的判定：
如果一条和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 ,mnmnAaaman
直线与平面垂直的判定：
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。
//abab
平面与平面平行的性质：
如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另外一个平面。
//aa
平面与平面垂直的性质：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
baaab
例题讲解
1.线面垂直
1．如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．
证明：
abAnmabaaba1111DCBAABCD1BDDAC平面2．如图，平行四边形ABCD中， CDBD，正方形ADEF和平面ABCD成直二面角，
（Ⅰ）求证：CDEBD平面；
2.线线垂直
3.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，点是的中点。
（Ⅰ）求证：
4．已知三棱柱ABC—A1B1C1的直观图和三视图如图所示，其主视图BB1A1A和侧视图A1ACC1均为矩形，其中AA1=4。俯视图ΔA1B1C1中，B1C1=4，A1C1=3，A1B1=5，D是AB的中点。
（1）求证：AC⊥BC1；
ABCDPACABABCDPA面EPDPBACA
B C D E F
G
H 3.面面垂
1.如图，已知平面，平面，△为等边三角形，
，为的中点.平面； 求证：平面平面；
2. 如图，CD为Rt△ABC的斜边AB上的高，BD=2AD，将△ACD绕CD旋转至△A/CD，使二面角A/-CD-B为600。求证：平面CBA/⊥平面A/CD。
线面垂直面面垂直
垂直问题
直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
a⊥αb⊥α⇒a∥b
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直
l⊂βl⊥α⇒α⊥β
性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α
1．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BCD＝90°．
求证：PC⊥BC；
2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，
PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
求证：(1)CD⊥AE；
(2)AE⊥平面PCD．
3.如图，在直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3．
证明：BE⊥平面BB1C1C
4.(2014·高考江苏卷) 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．
求证：平面BDE⊥平面ABC．
5.如图，已知正方形ABCD中AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥A-BCD．
求证：平面AOC⊥平面BCD；
线面垂直与面面垂直的判定
线面垂直与面面垂直的判定
线线垂直判定
（1）线线垂直的定义：两条直线所成角是直角。 ba,所成角为90ba
（2）等腰三角形三线合一、勾股定理的逆定理等。
（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
cbcaba,//
（4）线面垂直的定义：如果直线与平面垂直，则直线与平面内的任何一条直线垂直。
mlml
线面垂直判定
（1）线面垂直定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直。
若a垂直于内任一直线a
lABACAABACABlACl,
(2)线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
cbcaba,,,且cb,相交a （线线垂直线面垂直）
(3)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
llmlm,
面面垂直判定
(1)面面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。,所成的二面角为直二面角
(2)面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。aa,
ll
mαlABCαllβαmlβαABCθ例1、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD F是PC的中点．
求证：（1）PA∥平面BDF；
（2）平面PAC平面BDF．
【练习1】 如图，已知BD⊥平面ABC，AC＝BC，N是棱AB的中点．
求证：CN⊥AD.
【练习2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA∥平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD.
高中数学线面、面面垂直的判定与性质
1
线面、面面垂直的判定与性质
知识回顾
1．直线与平面垂直的判定
（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α．
（2）判定定理
文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号表述： l⊥al⊥b
⇒l⊥α．
2．直线与平面垂直的性质
文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表述： a⊥αb⊥α⇒ a∥b
3. 直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
4．平面与平面的垂直的判定
（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．
（2）面面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
符号表示： a⊥β
⇒α⊥β．
5．平面与平面垂直的性质
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．
6．二面角 2
二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
二面角的平面角：
如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．
题型讲解
题型一
例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
答案：C
例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：A
例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
第三讲线面、面面垂直的判定与性质
第三讲线面、面面垂直的判定与性质
线面、面面垂直 线面、 的判定与性质
高考数学
确定点的射影位置有以下几种方法： 确定点的射影位置有以下几种方法：① 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线 在平面的射影上；
在平面的射影上； ② 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距 离相等， 离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角 的平分线上； 的平分线上； 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等， 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那 么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分 线上； 线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个 两个平面相互垂直， 平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； 平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
高考数学
利用某些特殊三棱锥的有关性质， 利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定 顶点在底面上的射影的位置： 顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等， 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等 么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； 么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面 所成的角相等， 所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是 底面三角形的内心(或旁心 或旁心); 底面三角形的内心 或旁心 ； c. 如果侧棱两两垂直或
各组对棱互相垂直，那么 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直， 顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
高考数学
例题是两条异面直线， ⑴设a,b是两条异面直线，在下列命 】 ,
是两条异面直线 题中正确的是( 题中正确的是( C ) A.有且仅有一条直线与 ，b都垂直； B.有一 有且仅有一条直线与a, 都垂直 都垂直； 有且仅有一条直线与 有一 个平面与a, 都垂直 都垂直； 个平面与 ，b都垂直； C.过直线 有且仅有一个平面与 平行；D.过空 过直线a有且仅有一个平面与 平行； 过空 过直线 有且仅有一个平面与b平行 间中任一点必可作一条直线与a, 都相交 都相交. 间中任一点必可作一条直线与 ，b都相交 是直线,α,β是平面，给出下列命题 是平面， ⑵已知m,l是直线
MS06线面垂直与面面垂直判定与性质
线面垂直于面面垂直
一、直线与平面垂直
1．直线和平面垂直的定义．
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．性质定理与判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定
定理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
推论
如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
二、平面与平面垂直
文字语言 图形语言 符号语言 判定定理
一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
性质定理
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
例1：给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；
③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：命题①，④为真，命题②，③为假．选B。
例2．直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有( )
A．0条 B．1条 C．无数条 D．α内所有直线
解：可以有无数条．选C
例3．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；
②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
解：③中l∥α也满足，④中α与β可能相交．答案：①② 例4．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有__________(填序号)
面面垂直→线线垂直判定定理
面面垂直→线线垂直判定定理
平面垂直的判定定理:
一个平面过另一平面的，则这两个平面相互垂直。
面面垂直性质定理：
定理1:如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
定理2:如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
平面垂直的判定定理和性质如下:
平面垂直的判定定理:
一个平面过另一平面的，则这两个平面相互垂直。
推论1:如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
推论2:如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为垂直的平面互相垂直）
面面垂直性质定理1:
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
定理2:如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。 定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面垂直的性质
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
垂直是什么意思
垂直，是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。通常用符号“⊥”表示。
设有两个向量a和b，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。