【2020-2021自招】南京师范大学附属中学江宁分校初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分 2020-2021年南京师范大学附属中学江宁分校初升高 自主招生数学模拟卷 一．选择题（共8小题，满分48分） 1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（ ） A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10 2.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论： ①x1=2，x2=3； ②1m4>； ③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）． 其中，正确结论的个数是【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 3.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，
则直线yx2与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ） A． B． C． D．
6．（6分）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.6714 7．（6分）抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ） A．≤a≤1 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤2 8．（6分）如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2
为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009
的面积为（ ）
A.n25 B.n22 C.n31 D.n23 二．填空题：（每题7分，满分42分）
9．（7分）方程组的解是 ． 10．（7分）若对任意实数x不等式ax＞b都成立，那么a，b的取值范围为 ． 11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线长是 ． 12．（7分）有一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A、C两点重合，那么折痕长是 ． 13．（7分）设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ． 14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P1，P2，P3、…、P2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、…、x2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P1，P2，P3、…、P2007分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1
（x1′，y1′）、Q1（x2′，y2′）、…、Q2（x2007′，y2007′），则|P2007Q2007|= ． 三．解答题：（每天12分，满分60分）
15.(12分).已知正实数,,xyz满足：1xyyzzx ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx
.
(1) 求111xyyzzx的值. (2) 证明:9()()()8()xyyzzxxyzxyyzzx.
16．（12分）如图，ABC△是等腰直角三角形，CACB，点N在线段AB上（与A、B不重合），点M在射线BA上，且45NCM。求证：222MNAMBN
。 17．（12分）在0与21之间插入n个正整数1a，2a，…，na，使其满足12021naaaL。若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a，2a，…，na，21这2n个数中某两个数的差。求n的最小值。
18．（12分）如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F． （1）求证：AH=BD； （2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式； （3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度． 19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2． （1）求直线AB的表达式；
（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值； （3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交
反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 第一套：满分150分 2020-2021年南京师范大学附属中学江宁分校初升高自主招生 数学模拟卷参考答案 一.选择题： 1.【解答】解：连接EM， CE：CD=CM：CA=1：3 ∴EM平行于AD ∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA ∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3 ∴AH=（3﹣）ME， ∴AH：ME=12：5 ∴HG：GM=AH：EM=12：5 设GM=5k，GH=12k， ∵BH：HM=3：2=BH：17k ∴BH=K， ∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10 故选D． 2.【答案】C。解答：①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2， ∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。 ②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0， ∵方程有两个不相等的实数根x1、x2， ∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>。 故结论②正确。 ③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2， ∴x1＋x2=5，x1x2=6－m∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。 令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。 ∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。 综上所述，正确的结论有2个：②③。故选C。 3.【答案】B。【分析】∵根据题意，得xy=20，∴20y=x>0,y>0
x 。
故选B。 4.【答案】B。 【分析】如图，在yx2中，令x=0，则y=－2 ；令y=0，则x=2 ， ∴A（0，－2），B（2，0）。∴OA=OB= 2 。 ∴△AOB是等腰直角三角形。∴AB=2， 过点O作OD⊥AB，则OD=BD=12AB=12×2=1。 又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。 ∴直线y=x- 2 与⊙O相切。故选B。 5.【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是． 【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有： S=， 又∵r=，∴a+b=2r+c， 将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）． 又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B． 【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键． 6.解答： 解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AC==BC=6， ∴S△ABC=AC•BC=6， ∵D1E1⊥AC， ∴D1E1∥BC， ∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等， ∵D1是斜边AB的中点， ∴D1E1=BC，CE1=AC， ∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC； ∴在△ACB中，D2为其重心， ∴D2E1=BE1， ∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC， ∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…； ∴Sn=S△ABC； ∴S2013=×6=． 故选C．
7.【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决 【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1）， 再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小， 把A点代入y=ax2得a=2， 把B点代入y=ax2得a=， 则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2． 故选D．
【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．
南京师范大学附属中学江宁分校等2校高三一模数学
高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数1i 1i +-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（）A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知,M N 为全集R 的两个不相等的非空子集，若()()R R N M ⊆痧，则下列结论正确的是（）A ．,x N x M ∀∈∈B ．,x M x N∃∈∉C ．,x N x M∃∉∈D ．,R x M x N ∀∈∉ð3．过圆O ：225x y +=外一点(5P 作圆O 的切线，切点分别为A 、B ，则AB =（）A ．2B 5C ．453D ．34．已知数列{}n a 是等比数列，()()247869a a a a a λ+⋅=-且公比()1,2q ∈，则实数λ的取值范围为（）A ．()1,9B ．()2,10C ．()1,8D ．()1,6-5．某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（）A ．135种B ．360种C ．90种D ．270种6．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是A ．512⎛- ⎝⎭B ．51,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．310,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．31,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7．已知函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象与函数()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围是（）A ．,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．π,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭8．设2154113,,8520a e b e c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b<<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c < a < b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【2020-2021自招】四川绵阳中学实验学校初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年四川绵阳中学实验学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
【2020-2021自招】江苏省赣榆高级中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年江苏省赣榆高级中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
2020年江苏省南京市中考数学模拟试题(含答案)
2020年江苏省南京市中考数学模拟试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号．．．．．．．．．．．涂．黑．） 1．－2的倒数是（ ）A ．－12B ．12 C ．±2 D ．22．函数y ＝x －2中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠2 3．s in45°的值是（ ）A ．12B ．22C ．32D ．1 4．下列地方银行的标志中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是 （ ）5．已知某圆锥的底面半径为3 cm ，母线长5 cm ，则它的侧面展开图的面积为（ ）A ．30 cm 2B ．15 cm 2C ．30π cm 2D ．15π cm 2 6．六多边形的内角和为（ ）A ．180°B ．360°C ．720°D ．1080° 7．已知，AB 是⊙O 的弦，且OA ＝AB ，则∠AOB 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．某区新教师招聘中，七位评委独立给出分数，得到一列数．若去掉一个最高分和一个最低分，得到一列新数，那么这两列数的相关统计量中，一定相等的是 （ ） A ．中位数 B ．众数 C ．方差 D ．平均数 9．在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝5，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．2010．直线l ：y ＝mx －m ＋1(m 为常数，且m ≠0)与坐标轴交于A 、B 两点，若△AOB （O 是原点）的面积恰为2，则符合要求的直线l 有（ ）A ．D ．B ．C ．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．） 11．分解因式：xy ―x ＝ ．12．去年无锡GDP(国民生产总值)总量实现约916 000 000 000元，该数据用科学记数法表示为 元． 13．分式方程4x ＝ 2x ＋1的解是 ．14．若点A （1，m ）在反比例函数y ＝3x的图像上，则m 的值为 ．15．写出命题“两直线平行，同位角相等”的结论部分： ． 16．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 交BD 于O ，AB ＝8，E 是CD 的中点，则OE 的长等于___________．17．如图，∠A ＝110°，在边AN 上取B ，C ，使AB ＝BC ．点P 为边AM 上一点，将△APB 沿PB 折叠，使点A 落在角内点E 处，连接CE ，则∠BPE ＋∠BCE ＝ °．18．已知，在平面直角坐标系中，点A (4，0)，点B (m ，33m )，点C 为线段OA 上一点(点O 为原点)，则AB ＋BC 的最小值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1）9－ (－2)2＋(－0.1)0； （2）(x ―2)2―(x ＋3)(x ―1)．20．（本题满分8分）计算：ABC EPM N（第17题）（第16题） ABECDO（1）解不等式：5＋x ≥3(x －1)； （2）解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－y ， ……①2x ＋y ＝5．……②21．（本题满分8分）已知，如图，等边△ABC 中，点D 为BC 延长线上一点，点E 为CA 延长线上一点，且AE ＝DC ，求证：AD ＝BE ．22．（本题满分8分）某校为迎接体育中考，了解学生的体育情况，学校随机调查了本校九年级50名学生“30秒跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下：成绩段 频数 频率 0≤x ＜20 5 0.120≤x ＜40 10a40≤x ＜60 b 0.1460≤x ＜80 mc 80≤x ＜10012n根据以上图表信息，解答下列问题：AC BDE30秒跳绳次数的频数、频率分布表30秒跳绳次数的频数分布直方图5 10 155 10161220 40 60 80 100 频数（人）跳绳次数（1）表中的a ＝ ，m ＝ ；（2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据）（3）若该校九年级共有600名学生，请你估计“30秒跳绳”的次数60次以上(含60次)的学生有多少人？23．（本题满分8分）在2017年“KFC ”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）24．（本题满分8分）已知，如图，线段AB ，利用无刻度的直尺和圆规，作一个满足条件的△ABC ：① △ABC 为直角三角形；② tan ∠A ＝13．(注：不要求写作法，但保留作图痕迹)25．（本题满分8分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，AB如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH ，如图2．设小正方形的边长为x 厘米． （1）当矩形纸板ABCD 的一边长为90厘米时，求纸盒的侧面积的最大值； （2）当EH ：EF ＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x 的值．26．（本题满分8分）已知二次函数y ＝ax 2－8ax (a ＜0)的图像与x 轴的正半轴交于点A ，它的顶点为P ．点C 为y 轴正半轴上一点，直线AC 与该图像的另一交点为B ，与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且CB ：AB ＝1：7． （1）求点A 的坐标及点C 的坐标(用含a 的代数式表示)；（2）连接BP ，若△BDP 与△AOC 相似（点O 为原点），求此二次函数的关系式．（图2）（图1） ABCDE FGH27．（本题满分10分）如图，一次函数y ＝－12x ＋m (m ＞0)的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段OA 上，点C 的横坐标为n ，点D 在线段AB 上，且AD ＝2BD ，将△ACD 绕点D旋转180°后得到△A 1C 1D ．（1）若点C 1恰好落在y 轴上，试求n m的值；（2）当n ＝4时，若△A 1C 1D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3：5，求该一次函数的解析式．O AB CD C 1 A 1 xy28．（本题满分10分）阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，根据“中线长定理”，可得：AB 2＋AC 2＝2AD 2＋2BD 2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，如图2，在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2，同理可得：AC 2＝AE 2＋CE 2，AD 2＝AE 2＋DE 2， 为证明的方便，不妨设BD ＝CD ＝x ，DE ＝y ， ∴AB 2＋AC 2＝AE 2＋BE 2＋AE 2＋CE 2＝…… （1）请你完成小明剩余的证明过程；理解运用：（2） ① 在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝8，则AD ＝_______；② 如图3，⊙O 的半径为6，点A 在圆内，且OA ＝22，点B 和点C 在⊙O 上，且∠BAC ＝90°，点E 、F 分别为AO 、BC 的中点，则EF 的长为________；拓展延伸：（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O 的半径为55，以A (−3，4)为直角顶点的△ABC 的另两个顶点B ，C 都在⊙O 上，D 为BC 的中点，求AD 长的最大值．请你利用上面的方法和结论，求出AD 长的最大值．ABCD （图1）ABCD E （图2）OA E CBFAB CDO xy（图4）参考答案与评分标准一、选择题：1．A 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．A 9．B 10．C 二、填空题： 11．x (y －1)12．9.16×1011 13．x ＝－2 14．3 15．同位角相等 16．417．70°18．2 3三、解答题：19．解：（1）原式＝3－4＋1 ……（3分）（2）原式＝x 2－4x ＋4－(x 2＋2x －3) …（2分）＝0． ………（4分） ＝x 2－4x ＋4－x 2－2x ＋3…（3分）＝－6x ＋7．……（4分）20．解：（1）5＋x ≥3x －3 …（2分） （2）把①代入②，得y ＝1； …（2分）∴2x ≤8 …（3分） 把y ＝1代入①，得x ＝2． …（3分）∴x ≤4．…（4分） ∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1．…（4分）21．证明：在等边△ABC 中，AB ＝CA ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∴∠EAB ＝∠DCA ＝120°．………（2分）在△EAB 和△DCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DC ，∠EAB ＝∠DCA ，AB ＝CA ．………（5分）∴△EAB ≌△DCA ，………（6分） ∴AD ＝BE ．………（8分） 22．（1）a ＝0.2，m ＝16；……（4分） （2）图略，柱高为7；……（6分）（3）600×16＋1250＝336（人）．……（8分）23．解：画树状图，得（画树状图或列表正确，得5分）∵共有4种等可能的结果，其中甲队获胜的情况有1种，………（6分） ∴甲队获胜的概率为：P (甲队获胜)＝14；……………………（8分）24．解：（1）延长AB 至M ，使得AM ＝3AB ；………（3分） （2）过点M 作MN ⊥AB ，且截取MN ＝AB ；………（5分）（3）过点B 作AB 的垂线，交AN 于点C ．………（7分） ∴Rt △ABC 即为所求．………（8分）作出垂线或垂直，得2分；构出3倍或13，得3分；构图正确，得2分；结论1分．25．解：（1）S 侧＝2[x (90－2x )＋x (40－2x )] ＝－8x 2＋260x …………………（2分）＝－8(x －654)2＋42252．………………………………………（3分）∵－8＜0，∴当x ＝654时，S 侧最大＝42252．…………………（4分）（2）设EF ＝2m ，则EH ＝7m ，………………………………………（5分）则侧面积为2(7mx ＋2mx )＝18mx ，底面积为7m ·2m ＝14m 2， 由题意，得18mx ：14m 2＝9：7，∴m ＝x ． …………………（7分） 则AD ＝7x ＋2x ＝9x ，AB ＝2x ＋2x ＝4x由4x ·9x ＝3600，且x ＞0，∴x ＝10．…………………………（8分）26．解：（1）P (4，－16a )，A (8，0)，…………………………（2分）∵CB ：AB ＝1：7，∴点B 的横坐标为1，…………（3分） ∴B (1，－7a )，∴C (0，－8a )．………………………（4分） （2）∵△AOC 为直角三角形，∴只可能∠PBD ＝90°，且△AOC ∽△PBD ．………（5分） 设对称轴与x 轴交于点H ，过点B 作BF ⊥PD 于点F ，易知，BF ＝3，AH ＝4，DH ＝－4a ，则FD ＝－3a ，∴PF ＝－9a ， 由相似，可知：BF 2＝DF ·PF ，∴9＝－9a ·(－3a )，……（6分）ABMNC 第2局 第3局甲乙甲乙甲 乙∴a ＝33， a ＝－33(舍去)．…………………（7分） ∴y ＝－33x 2－833x ．…………………（8分） 27．解：（1）由题意，得B (0，m )，A (2m ，0)．……………………………（1分）如图，过点D 作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，交直线A 1C 1于点F ， 易知：DE ＝23m ，D (23m ，23m ) ，C 1(43m －n ，43m )．………………（3分）∴43m －n ＝0，∴n m ＝43；……………………………………………（4分） （2）由（1）得，当m ＞3时，点C 1在y 轴右侧；当2＜m ＜3时，点C 1在y 轴左侧．① 当m ＞3时，设A 1C 1与y 轴交于点P ，连接C 1B ，由△A 1C 1D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3：5，∴S △BA 1P ：S △BC 1P ＝3：1， ∴A 1P ：C 1P ＝3，∴23m ＝3(43m －4)，∴m ＝185．……………………（6分）∴y ＝－12x ＋185．………………………………………………………（7分）② 当2＜m ＜3时，同理可得：y ＝－12x ＋187．……（10分）（参照①给分）综上所述，y ＝－12x ＋187或y ＝－12x ＋185．28．解：（1）∴AB 2＋AC 2＝2AE 2＋(x ＋y )2＋(x －y )2＝2AE 2＋2x 2＋2y 2＝2AE 2＋2BD 2＋2DE 2＝2AD 2＋2BD 2．………………（3分） （2）①10；②4；………………（7分）（3）连接OA ，取OA 的中点E ，连接DE ．………………（8分）由（2）的②可知：DE ＝152，………………（9分）在△ADE 中，AE ＝52， DE ＝152，∴AD 长的最大值为52＋152＝10．……（10分）注：只写答案，只给1分．。
【2020-2021自招】安徽濉溪中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年安徽濉溪中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
南京师范大学附属中学江宁分校2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题(原卷+解析)
D选项，正方体与以 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是 ，D错误.
故选：ABC
三．填空题
13.化简： ＝________.
【答案】1
【解析】
【分析】化简得原式为 ，再进一步化简即得解.
【详解】原式＝
.
故答案为：1
【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
14.某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
A.-6B.6C.8iD.-8i
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得 ，由此求得 .
【详解】依题意 ，
所以 .
故选：B
2.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 ，根据平面向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】解：因为 ， ，且 ，所以 ，解得
2020-2021学年度第二学期高一年级阶段性调研
数学学科
一．单选题
1.设复数 在复平面内的对应点关于实轴对称， 则 （）
【2020-2021自招】湖南株洲市南方中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年湖南株洲市南方中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
【2020-2021自招】江苏邗江中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
第一套：满分150分2020-2021年江苏邗江中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
【新】2019-2020西南大学附属中学校初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年西南大学附属中学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线33y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2020-2021学年高三上学期12月调研考试数学(文)试题
江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2020-2021学年高三上学期12月调研考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C AB =_____.2．已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为___________.3．函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____.4．从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为__________．5．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为_______．6．如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为_______．7．若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22154x y -=的右焦点，则p =____.8．已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为______.9．已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列()*n N ∈，且12a =，则10a =______.10．在ABC 中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上．若134DE DF →→⋅=，则线段BD 的长为______． 11．已知点(3,0),(1,2)A B ---，若圆222(2)(0)x y r r -+=＞上恰有两点,M N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是____.12．已知函数2()23ln 4x a a x f x x x x e e --=--++，其中e为自然对数的底数,若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为____. 13．已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.14．锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan A B C++的最小值为___________.二、解答题15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A ,且点A（1）求3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭的值: （2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为求αβ+的值．16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点. （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证:EF 平面1ADC17．某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成(如图1).每座帐篷的体积为354m π，且分上､下两层，其中上层是半径为(1)r r (单位：m)的半球体，下层是半径为m r ，高为m h 的圆柱体(如图2).经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面､隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.18．已知椭圆 2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，若椭圆C 经过点0（，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为12F AF ∆的内心，求12F NF ∆与12F AF ∆面积的比值；（3）设点A ，F 2，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ， E ．连结AE ，BD ，试问当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．19．设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列. （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为()d d ≠0，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-⋅+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式(用含n ，d 的式子表达)； 20．设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈. （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，求b 取值范围；（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围.参考答案1．{2}. 【分析】列举出全集中的元素，求出A 、B 集合的并集，再求其补集可得答案. 【详解】全集{|5,*}{1,2,3,4}U x x x N =<∈=，集合{1A =，3}，{3B =，4}，{}1,3,4A B =，则{}()2U C A B =，故答案为：{}2. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题. 2．3- 【分析】根据复数的乘法运算，先化简复数，再由复数实部与虚部相等，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为()()()()1222212z i a i a i ai a a i =++=++-=-++， 又其实部与虚部相等，所以122a a -=+，解得3a =-. 故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查由复数的实部与虚部相等求参数，考查复数的乘法运算，属于基础题型. 3．[)0,1 【分析】利用二次根式有意义、对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数2()log (1)f x x =-有意义，则0010x x x ≥⎧⇒≤<⎨->⎩1，即函数2()log (1)f x x -的定义域为[)0,1，故答案为：[)0,1. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，利用函数有意义列出不等式组是解题的关键，属于基础题. 4．23【分析】利用列举法：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，共4种结果，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），6种结果，其中甲乙两人中有且只一个被选取，有（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种结果，故甲、乙两人中有且只一个被选中的概率为4263=，故答案为23．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 5．200 【分析】由频率分布直方图可知，算出次品所占的比例乘以样本容量即可得出结果． 【详解】根据频率分布直方图可知，样本中次品的频率为：1－（0.05＋0.0625＋0.0375）×5＝0.25， 所以，样本中次品的件数为：0.25×800＝200 故答案为200 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的读图能力，注意纵坐标意义．属于简单题型. 6．8 【分析】根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b 的值．【详解】第1步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝2，b ＝a －b ＝1； 第2步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝3，b ＝a －b ＝2； 第3步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝5，b ＝a －b ＝3； 第4步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝8，b ＝a －b ＝5； 第5步：a ＞10不成立，a ＝a ＋b ＝13，b ＝a －b ＝8； 第6步：a ＞10成立，退出循环，输出b ＝8. 故答案为8 【点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题． 7．6 【分析】分别写出抛物线的焦点坐标与双曲线的右焦点坐标，由两焦点相同求p 的值． 【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(2p，0)，双曲线22154x y -=中，25a =，24b =，∴3c ==，∴双曲线22154x y -=的右焦点为(3,0)，则32p ，得6p ．故答案为：6． 【点睛】本题考查抛物线与双曲线的简单性质，是基础的计算题．8．【分析】利用辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得ϕ，进而得到()f x 解析式，代入8x π=-即可求得结果.【详解】()()()2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，()f x 为R 上的奇函数，()6k k Z πϕπ∴-=∈，解得：()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，6πϕ∴=，()2sin 2f x x ∴=，2sin 84f ππ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：. 【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数. 9．20 【分析】首先由条件设()21n a n d =+-，再根据数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，求公差d ，再求10a .【详解】设()21n a n d =+-，所以()()()22222242221n d n d d n d n d a n n n+-+-+-⎡⎤⎣⎦==， 由于2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以其通项是一个关于n 的一次函数，所以()220d -=，所以2d =，101920a a d ∴=+=.故答案为：20 【点睛】本题考查等差数列通项公式的简单应用，重点考查计算能力，属于基础题型.10【分析】由题意结合余弦定理可得212BC =，即可得90C =︒，建立平面直角坐标系后，表示出各点坐标，由134DE DF →→⋅=转化为坐标运算即可得解. 【详解】在ABC 中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，则2222cos 164812BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-=，∴222BC AC AB +=，90C =︒，以C 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴、y 轴正半轴上建立平面直角坐标系，如图，则()0,0C ，()2,0A ，(0,B ，(E ，()1,0F ，设()(0,0D d d ≤≤，故()DE d →=，()1,DF d →=-，134DE DF →→⋅=，∴21314d +=，解得d 或d =（舍去），∴22BD ==.【点睛】本题考查了余弦定理与平面向量数量积的坐标运算，考查了运算求解能力，属于基础题11．(22【解析】由题意可得，根据△MAB 和△NAB 的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为； 由于AB 的方程为020y ---=313x +-+，即x +y+3=0；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为，则有圆心（2，0）到直线AB r=2；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为，则有圆心（2，0）到直线AB =r ﹣，解得r=2；综上，r 的取值范围是（2，2）．）． 12．1ln2- 【解析】令g （x ）=223ln x x x --，g′（x ）=4x 13x --=()()2411431x x x x x x+---=， 故g （x ）=x ﹣ln （x+2）在（0，1）上是减函数，（1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，g （x ）有最小值﹣1， 而4x a a x e e --+≥4，（当且仅当x a e -=4a x e -，即x=a +ln2时，等号成立）； 故f （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a +ln2=1， 即a=1﹣ln2． 故答案为：1﹣ln2．13．(){}0,12⋃- 【分析】根据分段函数32ln ,0(),0e x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，分两段分析，当0x ≤时，令()0g x =得到0x =或210x ax -+=，利用二次函数分析210x ax -+=根的情况即可； 当0x >时，令()0g x =得到22ln =e x a x ，令 ()22ln =e x h x x，用导数法画出其图象，研究y a =与 ()y h x =的交点情况，然后由两段共3个零点下结论即可. 【详解】当0x ≤时，令()0g x =得320-+=x ax x ， 解得0x =或210x ax -+=，所以当2a <-时，()g x 在(,0]-∞上有三个零点； 当2a =-时，()g x 在(,0]-∞上有两个零点； 当2a >-时，()g x 在(,0]-∞上有一个零点； 当0x >时，令()0g x =得22ln 0-=e x ax ， 即22ln =e x a x ， 令 ()22ln =e xh x x ，则 ()()3212ln -'=e x h x x ，所以(())(),0,,0''∈>∈+∞<x h x x h x ，画出函数()h x ，如图所示：由图知：当()01<<=a h e 时，()g x 在()0,∞+有两个零点； 当 1a =或0a ≤时，()g x 在()0,∞+有一个零点； 当1a >时，()g x 在()0,∞+无零点；综上：当01a <<或2a =-时，()g x 在R 有三个零点， 故答案为：(){}0,12⋃- 【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根以及导数与函数的性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于较难题.14．2【分析】根据题意，不妨设2BD CD ==，取BD 中点为H ，连接AH ，设AH h =，分别表示出tan B ，tan C ，再由两角和的正切公式，可表示出tan A ，将111tan tan tan A B C++转化关于h 的式子，结合基本不等式求解，即可得出结果. 【详解】不妨设2BD CD ==，取BD 中点为H ，连接AH ， 设AH h =，=AD AB ，1∴==BH HD ，AH BD ⊥，所以tan =B h ，tan 3=h C ， 因为()2tan tan 4tan tan tan tan 13+=-+==--B C hA B C B C h ，又三角形ABC 为锐角三角形，所以20403h h h >⎧⎪⎨>⎪-⎩，解得h >所以211133113tan tan tan 4442h h A B C h h h h -++=++=+≥=， 当且仅当1344h h =，即h =h >.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查根据基本不等式求三角函数的最值，涉及两角和的正切公式，属于常考题型. 15．（1）5-2）34αβπ+=【分析】（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,sin α=,进而求出cos α= 在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B的横坐标是5-,得出cos 5β=-,进而得出sin β=利用正弦的和差公式即可求出()sin αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ+的值.【详解】解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A ,所以由任意角的三角函数的定义可知,10sin α=．从而cos 10α==． （1）于是333cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎛=+= ⎝⎭⎝⎭（2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是-所以cos 5β=-,从而sin 5β==．于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=1051052⎛=-+⨯ ⎝⎭． 因为α为锐角,β为钝角,所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭从而34αβπ+=． 【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题. 16．(1)见解析(2)见解析 【详解】试题分析：（1）要证D 为BC 的中点，又AB=AC ，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；（２）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG ，由（１）易证//EF DG ，从而问题得证． 试题解析： （1）正三棱柱111ABC A B C -，∴ 1C C ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，∴ 1C C AD ⊥，又1AD C D ⊥，111C D C C C ⋂=∴ AD ⊥平面11BCC B ，又正三棱柱111ABC A B C -，∴平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴ AD ⊥ BC ，D 为BC 的中点．（2） 连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG矩形11A ACC ，∴ G 为1A C 的中点，又由(1)得D 为BC 的中点，∴1A BC 中，1//DG A B又点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，∴△11A B B 中，1//EF A B ，∴ //EF DG ，又EF ⊄平面1ADC ，DG ⊂平面1ADC∴ //EF 平面1ADC点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17．（1）25460()y r rπ=⨯+，3{|133}r r <；（2）当半径r 为3m 时最小为1620π千元. 【分析】（1）由帐篷体积=半球体积+圆柱体积，可用r 表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，可得定义域；（2）结合（1）可设254()f r r r=+，3133r <，根据导函数求出其最小值即可得到帐篷的总建造费用的最小值. 【详解】（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r =-，所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r r πππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+⨯-， 即25460()y r rπ=⨯+； 因为1r ，0h >，所以254203r r ->，则3133r <， 所以定义域为3{|133}r r <，（2）设254()f r r r =+，3133r <，则254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增， 所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()27min f r =，此时，总费用最小值为60271620ππ⨯=千元． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 【点睛】本题主要考查圆柱的体积与表面积以及球体的体积与表面积，考查了函数模型的实际应用，以及利用导数求最值等知识点，属于中档题．18．（1）22143x y +=；（2）13；（3）定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题意知b由c a ＝12，可得b aa 即可得出椭圆C 的方程． （2）由点N 为△F 1AF 2的内心，可得点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得1212S F NF S F AF ∆∆＝()1212211212F F r AF AF F F r ++，整理即可．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于F 2G 的中点5,02⎛⎫⎪⎝⎭．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），与椭圆方程联立化简得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意，得D （4，y 1），E （4，y 2），则直线AE 的方程为y ﹣y 2＝2114y y x --（x ﹣4）．令52x =，此时y ＝y 2+2114y y x --（542-），把根与系数关系代入可得y ＝0，因此点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线AE 上．同理可证，点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上．即可得出结论． 【详解】 （1）由题意，b =12c a =，所以b a =2a =， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）因为点N 为12F AF ∆的内心，所以点N 为12F AF ∆的内切圆的圆心，设该圆的半径为r .则()1212121212121212112132F NF F AF F F r S F F c S AF AF F F a c AF AF F F r ∆∆⨯⨯====+++⨯++⨯.（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5,02⎛⎫⎪⎝⎭，下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设直线l 的方程为()1y k x =-，()221,143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩化简得()22223484120k x k x k +-+-=， 因为直线l 经过椭圆C 内的点()1,0，所以0∆>， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. 由题意，()14,D y ，()24,E y ， 直线AE 的方程为()212144y y y y x x --=--， 令52x =，此时()()()122121211243544224x y y y y y y y x x -+--⎛⎫=+⨯-=⎪--⎝⎭()()()()12211241324x k x k x x x --+-=-()()1221182524k kx x k x x x +-+=-()222214128825343424k k k k k k k x -+⋅-⋅++=- ()()()()222218342412582434k k k k k k x k ⋅++⋅--⋅=-+()()()()3333322112432824404040024342434k k k k k k k x k x k++---===-+-+， 所以点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线AE 上，同理可证，点5,02T ⎛⎫⎪⎝⎭在直线BD 上. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线相交问题、三角形的内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（1）()123nnS --=；（2）11b =-；（3）2,n n n a nd b d ==.【分析】（1）利用已知条件求得q ，由此求得n S .（2）利用已知条件求得1,a d ，根据数列{+}n n a b 的前三项成等比数列列方程，结合判别式求得1b .（3）利用退1作差法求得n n a b ，结合等比中项的性质求得1a 和d 的关系式，由此求得数列{}n a ，{}n b 的通项公式.【详解】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ， 依题意有11232321111,6060b b b b b b q b q ==⎧⎧⎨⎨-+=-+=⎩⎩，即()()332260,2260q q q qqq -+=+-+-=，()()()222230q q q q +-+-=，()()22230q q q +-+=，()()22120,2q q q ⎡⎤+-+==-⎣⎦. 所以()()111213nn n b q S q---==-. （2）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意22a =，4710++21a a a =，即11231821a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以n a n =.由于数列{+}n n a b 的前三项成等比数列， 所以()()()2221133a b a b a b +=+⋅+， 即()()()2213213b b b +=+⋅+，22213134433b b b b b b ++=+++， 22221324433b b b b b ++=+++，213431b b b =+-，即21114310b q b q b -+-=，由于数列{}n b 唯一，所以()()211144310b b b ∆=--⋅-=，解得11b =-（10b =舍去）.（3）依题意11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-⋅+①，令1n =，得111122,a b b a ==， 当2n ≥时，112211(2)22nn n a b a b a b n --++⋯+=-⋅+②，①-②得()22nn n a b n n =⋅≥，1n =时上式也符合，所以()*2N n n n a b n n =⋅∈.所以22338,24a b a b ==，则232131882424,2b b a a d a a d====++， 由于123,,b b b 成等比数列，所以211182242a d a a d ⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭，化简得2211230a a d d +-=， 解得13a d =-或1a d =.当13a d =-时，()4n a n d =-，()24nn n b n d ⋅=-不是等比数列，舍去.当1a d =时，n a nd =，2nn b d=符合. 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和，属于中档题.20．（1）()f x 单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为(1,)-+∞；（2）22ln 2b -；（3）1(a e∈-，0)． 【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系,判断导函数的符号即可求出．（2）分离参数，可得2x e x b -对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的取值范围．（3）先求导，再分类讨论，构造函数，根据导数和函数单调性以及最值的关系即可求出a 的取值范围．【详解】（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>，当1x >-时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减区间为(,1)-∞-，单调递增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +，得：22x axe x bx +，由于0x >，所以2x ae x b +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，由于0x e >，所以x x ae e ，所以2x e x b -对任意的0x >恒成立．设()2xx e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()ϕx 在(0,ln 2)上单调递减，函数()ϕx 在(ln 2,)+∞上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2min x ϕϕ==-．所以22ln 2b -．（3）由()ln x g x axe x x =++， 得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x ++'=+++=，其中0x >， 若0a 时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意． 若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->， 由第（2）小题知，当0x >时，()222ln 20x x e x ϕ=-->，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞，所以存在00x >，使得0010x ax e +=，即001x ax e =-，①当0x x <时，()0h x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 单调递增，在0(x ，)+∞单调递减．因为函数()g x 有两个零点1x ，2x ，所以0000000()()ln 1ln 0x max g x h x ax e x x x x ==++=-++>，②设()1ln x x x ∅=-++，0x >， 则1()10x x∅'=+>，所以()x ∅在(0,)+∞上单调递增， 由于∅（1）0=，所以当1x >时，()0x ∅>，所以②式中的01x >，由①式得001x x e a=-， 由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以1e a->， 即1(a e∈-，0)， 当1(a e∈-，0)时， （i ）由于111()(1)0eae g e e e=+-<， 所以01()()0g g x e<， 因为011x e <<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 在0(0,)x 上图象不间断， 所以函数()(0g x ，0)x 上恰有一个零点．（ii ）由于1111()ln()a g e a a a--=--+-， 令1t e a=->， 设()ln t F t e t t =-++，t e >由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0h a-<， 由①式得当01x >时，0001x x e x a-=>， 且01()()0g h x a -<， 同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上恰有一个零点， 综上，1(a e∈-，0)． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值，利用导数研究不等式恒成立问题以及利用导数研究函数的零点，考查了转化思想与分类讨论思想的应用，同时考查了计算能力，属于难题．。