北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》测试题
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第一章复习
一、填空题(每空3分，共36分)
1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝ 度．
2．等腰三角形的一个角为50°，则顶角是 度．
3．如图，AB＝AD，只需添加一个条件 ，就可以判定△ABC≌△
ADE.
4．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于 ．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点，且DA＝DB，DC＝AC．则
∠B＝ 度．
(第3题图) (第5题图) (第6题图)
6．如图,△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,∠A＝30°,BD＝1.5cm，则
AD= cm．
7．在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，AB＝6cm，则BC＝ cm．
8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA
＝ 度.
9．等边△ABC的周长为12cm，则它的面积为 cm2．
10．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则
BC＝ .
(第10题图) (第11题图)
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交
AB于E，若DB＝10cm，则AC＝ .
12．命题“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是
。
二、选择题(每空3分，共24分)
13．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
C．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF
14．下列命题中正确的是 ( )
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等 B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等 D．一边对应相等的两个等边三角形全等
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15．对“等角对等边”这句话的理解，正确的是 ( ) （第17题图） （第18题图） 19．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是 ( ) 20．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周 三、解答题(6+6+6+6+8+8分，共40分) 22．已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 25．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C(点A、 26. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，
A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等
B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等
D．以上说法都是错误的
16．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是 ( )
A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，2，3 D．2，2，4
17．如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB
A．AE＝CD B．AE>CD C AE
18．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则 ( )
A．l垂直AB B．l平分AB C．l垂直平分AB D．不能确定
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为 ( )
A．24 cm和12 cm B．16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)求CD的长．
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23．已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．求证：AD＝BE．
24．求证：等腰三角形两腰上的中线的交点到底边两个端点的距离相等．
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B都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．你知道线段AD、DE、BE的关
系吗？证明你的结论。
使C点与AB边上的一点D重合．
(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出
一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；
(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．
北师大版八下数学《三角形的证明》单元测试1(含答案)
第一章三角形的证明单元测试一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如图1，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB 的距离是_________.图1 图24.如图2，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.5.如图3，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则△ACD的周长为_________.图3 图46.如图4，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=___ cm.7.如图5，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.图5图68.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm. 9.如图6，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.二、选择题12.等边三角形的高为23，则它的边长为（ ） A.4B.3C.2D.513.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 nB.90－2nC.2n D.90°－n °14.下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5 B.a =1，b =34，c =35 C.a =9，b =12，c =15D.a =3，b =2，c =515.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6B.7.5C.10D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如图7，△ABC 中，AB =AC ，BC =BD ，AD =DE =EB ，则∠A 的度数为（ ）图7A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ） A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（ ） A.13 cmB.1330cmC.1360cmD.9 cm20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ）A.25B.50C.100D.6021.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.23a B.33 a C.63a D.21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4cm，则AD等于（）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm24.下列说法中，正确的是（）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如图8，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（）图8A.8B.5C.3D.3426.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下图9，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）图9A.4B.3C.2D.127.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）A.5B.2C.45D.1三、解答题29.已知：如图10，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.图1030.已知：如图11，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .图1131.已知三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图12，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.图1233.如图13，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.图13*34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小.②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20 cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75° 8.22或219.4 10.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11.等腰二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D 28.B三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.134.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明练习(包含答案)
第一章三角形的证明一、单选题1．已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为：（）A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°2．等腰三角形的两条边长分别为9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是()A．30cm B．33cm C．24cm或21cm D．30cm或33cm 3．如图所示，V ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15︒，则∠2的度数为（）A．15︒B．30°C．30°D．60︒4．下列各组线段能构成直角三角形的是（）A．1,2,3B．7,12,13C．5,8,10D．15,20,255．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．76．如图，在V ABC中，∠A=90︒,∠C=30︒,PQ垂直平分BC，与AC交于点P,下列结论正确的是（）． ∠ △°A ． PC < 2P AB ． PC > 2P AC ． AB < 2P AD ． AB > 2P A7．在联欢会上，有 A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在 ∆ABC 的（）A ．三边中垂线的交点C ．三条角平分线的交点B ．三边中线的交点D ．三边上高的交点8 如图所示，Rt△ABC 中， C 90° △AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ，交 AB 于点 E .当∠B 30时，图中一定不相等的线段有()△A ．AC △AE BEC ．△CD DEB ．AD △BDD ．AC △BD9．如图，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 A B 、AC于 D 和 E ，再分别以点 D 、E 为圆心，大于二分之一 DE 为半径作弧，两弧交于点 F ，连接AF 并延长交 BC 于点 G ，GH ⊥AC 于 H ，GH ＝2，则△ABG 的面积为（ ）A．4B．5C．9D．1010．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④二、填空题11．如图，已知在∆ABC中，AB=AC，点D在边BC上，要使BD=CD，还需添加一个条件，这个条件是_____________________．（只需填上一个正确的条件）12．如图是一块菜地，已知AD=8米，CD=6米，∠D=90︒,AB=26米，BC=24米．则这块菜地的面积是_____．13．如图，在V ABC中，AC=BC，分别以点A和点C为圆心，大于1AC长为半径画2弧，两弧相交于点M、N，连接MN分别交BC、AC于点D、E，连接AD．若∠B=70︒，则∠BAD的度数是_____度．14．如图，∆ABC中，∠BAC=90︒，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG 平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠EBC=∠C；③AE=AF；④FG//AC；⑤EF=FG．其中正确的结论是______．三、解答题15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．（1）若∠BAD＝△45°，求证：ACD为等腰三角形；（△2）若ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．16．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120︒，求∠BDC的度数．17．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．（1）求OB的长度；（2）如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？△18．如图，在ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、△OC，若OBC的周长为13cm，求OA的长．19．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN.(1)求证：MN＝BM＋NC；(2)△求AMN的周长．答案1．D 2．D 3．D 4．D 5．D 6.C.△， ，△， △﹣ △， △﹣ ﹣ △，△， △，△， △﹣ ﹣ △﹣ ﹣ 7．A8．D9．B10．C11．AD ⊥BC12．96△△△13．3014．①③④15．（1） AB=AC B=30°B= C=30°BAC=180°30°﹣30°=120°， BAD=45°CAD= BAC BAD=120° 45°=75°△， ADC= B+ BAD=75° ADC= CADAC=CD△即 ACD 为等腰三角形；（2）有两种情况： △当 ADC=90°△时，B=30°BAD= ADC B=90° 30°=60°；△当 CAD=90°△时， BAD= BAC CAD=120° 90°=30°；△即 BAD 的度数是 60°或 30°．⎨∠BAO = ∠CAD16．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°∵AO=OD ，∴△AOD 是等边三角形∴ ∠BAC = 60︒ ， AB = AC∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC∴∠BAC=∠OAD ，∴∠BAO+△OAC=△OAC+△CAD△∴∠BAO= CAD在△BAO 和△CAD 中⎧ AO = AD ⎪⎪ ⎩AB = AC∴ ∆ABO ≌ ∆ACD∴ ∠AOB = ∠ADC = 120︒△ ∠BDC = ∠ADC - ∠ADO = 60︒17.（1）解：在 Rt ∆AOB 中，由勾股定理OB 2 = AB 2 - AO 2= 2.52 - 2.4 2= 0.49∴ OB = 0.49 = 0.7（2）设梯子的 A 端下移到 D ， OC = 0.7 + 0.8 = 1.5∴在Rt∆OCD中，由勾股定理∴OD2=CD2-DC2=2.52-1.52=4∴OD=4=2∴顶端A下移了：2.4=2=0.4m18.解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（△2）∵OBC的周长为13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．19.解：(1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，由SAS△可证BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠FDM＝∠BDM＋∠CDN＝60°，由SAS△可证DMN≌△DMF，∴MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN(2)由(1)知MN＝MB＋CN，∴△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6。
北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 单元测试题含答案
北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 单元测试题一、单项选择题1. 适合条件∠A=∠B=31∠C 的三角形一定是( )A ．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形 2. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A＝22°，则∠BDC 等于( ) A ．44° B ．60° C ．67°D ．77°3. 已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是( ) A. 9㎝ B. 12㎝ C. 12㎝或者15㎝ D. 15㎝4. 如图，在△AEF 中，尺规作图如下：分别以点E ，点F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧相交于G ，H 两点，作直线GH ，交EF 于点O ，连接AO ，则下列结论正确的是( )A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EF D．GH平分AF5. 已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰和底边长分别为( )A. 24cm和12cmB. 16cm和22cmC. 20cm和16cmD. 22cm和16cm6. 在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A．7 B．11 C．7或10 D．7或117. 三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是 ( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．79. 如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则( )A. l垂直ABB. l平分ABC. l垂直平分ABD. 不能确定10. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点， BE=CD，CF=BD，那么∠EDF 等于( )1∠AA. 90°-∠AB. 90°-21∠A D. 180°-∠AC. 45°-2二、填空题11. △ABC中，AB = AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC = 75°，则∠A 的度数为12. “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是____(填“真”或“假”)命题．13. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是(填序号)14. 等腰三角形的腰长为2cm，面积等于1cm2，则它的顶角的度数为 .15. 如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，那么AD的长为____．16. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝____°.17. 一个正方形和一个等腰三角形有相等的周长，已知等腰三角形有两边长分别为5.6 cm和13.2 cm，则这个正方形的面积为 cm２18. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是 .19. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为20. 如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12 cm2.若BE平分∠ABC，则四边形ABED(阴影部分)的面积为cm2三、解答题21. 如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，BE与AC交于点P.求证：∠AOB＝60°.22. 如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF＝2AE；(2)若CD＝2，求AD的长．答案：一、1---10 ACDCD DBDDB 二、11. 40°12. 真13. ①②④14. 30°或150°15. 816. 5617. 6418. 10°19. 420. 6三、21. 证明：∵△ABC 和△ECD 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴∠CAD ＝∠CBE，∵∠APO ＝∠BPC，∴∠AOP ＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°.22. 解：(1)证明：∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠BEC＝90°，∠DAC ＋∠ACD ＝∠DBF＋∠DCA＝90°，∴∠DAC ＝∠DBE，又∵∠BAD ＝45°，∴∠BAD ＝∠DBA ，∴AD ＝BD ，∴△ADC ≌△BDF(ASA)，∴BF ＝AC ，又∵AB ＝BC ，BE ⊥AC ，∴AE ＝CE ，∴AC＝2AE ，∴BF ＝2AE.(2)∵△BFD≌△ACD，∴FD ＝CD ＝2，∴FC ＝（2）2＋（2）2＝2，又∵AE ＝CE ，FE ⊥AC ，∴FC ＝AF ，∴AF ＝2，∴AD ＝AF ＋FD ＝2＋ 2.。
北师大版八年级数学下册 第1章 三角形的证明 单元测试卷(含答案)
北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝( )A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是( )A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( )A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是( )A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是( )A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是( )A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为( )A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中( )A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是( )A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝( )A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是( )A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为km.18.如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为.19.如图，已知△ABC的周长是22，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，△ABC的面积是.20.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF 折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝2.5 cm，BD＝13 cm，AD＝12 cm，求△ABD的面积.22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA和OB交会于O点，在∠AOB的内部有蔬菜基地C和D，现要修建一个蔬菜转运站P，使转运站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两个蔬菜基地C，D的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)23.(本题10分)如图，点P为△ABC的BC边上一点，且PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°，CD⊥AP，连接BD，求∠ABD的度数.24.(本题12分)如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，C为角平分线上一点，过点C作CD⊥OC，垂足为C，交OB于点D，CE∥OA交OB于点E.(1)判断△CED的形状，并说明理由；(2)若OC＝3，求CD的长.25.(本题12分)如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E.(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝6 cm，AC＝10 cm，求AD的长.26.(本题14分)如图，在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB，AC.(1)若BC＝10 cm，试求出△PAO的周长；(2)若AB＝AC，∠BAC＝110°，试求∠PAO的度数；(3)在(2)中，若无AB＝AC的条件，你能求出∠PAO的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.27.(本题16分)如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动.(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？(2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间.参考答案一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填在相应的答题框内)1.如图，若∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝20，则AB＝(D)A.25B.30C.20 3D.402.如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是(A)A.55°B.45°C.35°D.65°3.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝20°，∠B＝80°D.∠A＝40°，∠B＝80°4.以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是(B)A.2，3，4B.1，2， 3C.4，5，6D.2，2，45.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是(A)A.HLB.ASAC.AASD.SAS6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠CAD的度数为(A)A.35°B.45°C.55°D.60°7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(C)A.30°B.45°C.60°D.75°8.如图，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β，若α＝10°，则β的度数是(B)A.40°B.50°C.60°D.不能确定9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为(C)A.1.5B.3C.6D.910.用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于45°”，第一步应假设这个直角三角形中(D)A.每一个锐角都小于45°B.有一个锐角大于45°C.有一个锐角小于45°D.每一个锐角都大于45°11.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(B)A.AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B.AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C.AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D.AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°12.观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等.其中逆命题为假命题的个数是(A)A.1B.2C.3D.413.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E.如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE 的大小是(C)A.24°B.30°C.32°D.36°14.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE∶S△BDE ＝(B)A.2∶5B.14∶25C.16∶25D.4∶2115.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是(D)A.△BPQ是等边三角形B.△PCQ是直角三角形C.∠APB＝150°D.∠APC＝135°二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)16.在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是68__°.17.如图，某失联客机从A地起飞，飞行1 000 km到达B地，再折返飞行1 000 km到达C地后在雷达上消失，已知∠ABC＝60°，则失联客机消失时离起飞地A地的距离为1__000km.18.如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC ，连接OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M19.如图，已知△ABC 的周长是22，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，且OD ＝3，△ABC 的面积是33.20.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是108__°.三、解答题(本大题共7个小题，各题分值见题号后，共80分)21.(本题8分)一个机器零件的形状如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝2.5 cm ，BD ＝13 cm ，AD ＝12 cm ，求△ABD 的面积.解：∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，BC ＝2.5 cm ， ∴AB ＝2BC ＝5 cm.∵52＋122＝132，即AB 2＋AD 2＝BD 2， ∴△ABD 是直角三角形.∴S △ABD ＝12AB·AD ＝12×5×12＝30(cm 2).22.(本题8分)在加快城镇建设中，有两条公路OA 和OB 交会于O 点，在图中∠AOB 的内部有蔬菜基地C 和D ，现要修建一个蔬菜转运站P ，使转运站P 到两条公路OA ，OB 的距离相等，且到两个蔬菜基地C ，D 的距离也相等，用尺规作出蔬菜转运站P 的位置.(要求：不写作法，保留作图痕迹.)解：如图所示.23.(本题10分)如图，点P 为△ABC 的BC 边上一点，且PC ＝2PB ，∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，CD ⊥AP ，连接BD ，求∠ABD 的度数.解：∵∠APC ＝60 °，CD ⊥AP ， ∴∠PCD ＝90 °－∠APC ＝90 °－60 °＝30 °. ∴PC ＝2PD.∵PC ＝2PB ，∴PB ＝PD. ∴∠PBD ＝∠PDB.又∵∠APC ＝∠PBD ＋∠PDB ，∴∠PBD ＝12∠APC ＝12×60 °＝30 °.∵∠ABC ＝45 °，∴∠ABD ＝∠ABC －∠PBD ＝45 °－30 °＝15 °.24.(本题12分)如图，∠AOB ＝60°，OC 平分∠AOB ，C 为角平分线上一点，过点C 作CD ⊥OC ，垂足为C ，交OB 于点D ，CE ∥OA 交OB 于点E.(1)判断△CED 的形状，并说明理由； (2)若OC ＝3，求CD 的长.解：(1)△CED 是等边三角形.理由如下： ∵OC 平分∠AOB ，∠AOB ＝60 °，∴∠AOC ＝∠COE ＝30 °. ∵CE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠COE ＝∠OCE ＝30 °，∠CED ＝60 °. ∵CD ⊥OC ，∴∠OCD ＝90 °. ∴∠EDC ＝60 °.∴△CED 是等边三角形.(2)∵△CED 是等边三角形，∴CD ＝CE ＝ED. 又∵∠COE ＝∠OCE ，∴OE ＝EC. ∴CD ＝ED ＝OE.设CD ＝x ，则OD ＝2x.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得：x 2＋9＝4x 2，解得x ＝ 3. 则CD ＝ 3.25.(本题12分)如图，△ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于点P ，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E. (1)求证：BD ＝CE ；(2)若AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，求AD 的长.解：(1)证明：连接BP ，CP.∵点P 在BC 的垂直平分线上，∴BP ＝CP. ∵AP 是∠DAC 的平分线，∴DP ＝EP ，在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BP ＝CP ，DP ＝EP ，∴Rt △BDP ≌Rt △CEP (HL )，∴BD ＝CE.(2)在Rt △ADP 和Rt △AEP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AP ，DP ＝EP ，∴Rt △ADP ≌Rt △AEP (HL )，∴AD ＝AE.∵AB ＝6 cm ，AC ＝10 cm ，∴6＋AD ＝10－AE ， 即6＋AD ＝10－AD.解得AD ＝2 cm.26.(本题14分)如图，在△ABC 中，MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC.(1)若BC ＝10 cm ，试求出△PAO 的周长； (2)若AB ＝AC ，∠BAC ＝110°，试求∠PAO 的度数；(3)在(2)中，若无AB ＝AC 的条件，你能求出∠PAO 的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：(1)∵MP ，NO 分别垂直平分AB ，AC ， ∴AP ＝BP ，AO ＝CO.∴△PAO 的周长为AP ＋PO ＋AO ＝BO ＋PO ＋OC ＝BC. ∵BC ＝10 cm ，∴△PAO 的周长为10 cm.(2)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝110 °，∴∠B ＝∠C ＝12×(180 °－110 °)＝35 °.由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO. ∴∠BAP ＝∠B ＝35 °，∠CAO ＝∠C ＝35 °. ∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝110 °－35 °－35 °＝40 °. (3)能.理由如下： ∵∠BAC ＝110 °，∴∠B ＋∠C ＝180 °－110 °＝70 °.由(1)知AP ＝BP ，AO ＝CO.∴∠BAP ＝∠B ，∠CAO ＝∠C.∴∠PAO ＝∠BAC －∠BAP －∠CAO ＝∠BAC －(∠B ＋∠C )＝110 °－70 °＝40 °.27.(本题16分)如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝12 cm ，现有两点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1 cm /s ，点N 的速度为2 cm /s .当点N 第一次到达点B 时，M ，N 同时停止运动.(1)点M ，N 运动几秒后，M ，N 两点重合？(2)点M ，N 运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在，请求出此时M ，N 运动的时间.解：(1)设点M ，N 运动x 秒后，M ，N 两点重合，x ×1＋12＝2x ，解得x ＝12.(2)设点M ，N 运动t 秒后，可得到等边三角形△AMN ，如图1，AM ＝t ×1＝t ，AN ＝AB －BN ＝12－2t.∵三角形△AMN 是等边三角形，∴t ＝12－2t ，解得t ＝4.∴点M ，N 运动4秒后，可得到等边三角形△AMN.(3)当点M ，N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形.由(1)知，12秒时M ，N 两点重合，恰好在C 处.如图2，假设△AMN 是以MN 为底边的等腰三角形，∴AN ＝AM.∴∠AMN ＝∠ANM.∴∠AMC ＝∠ANB.∵AB ＝BC ＝AC ，∴△ACB 是等边三角形.∴∠C ＝∠B.在△ACM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠B ，∠AMC ＝∠ANB ，AC ＝AB ， ∴△ACM ≌△ABN (AAS ).∴CM ＝BN.设当点M ，N 在BC 边上运动时，M ，N 运动的时间y 秒时，△AMN 是等腰三角形.∴CM ＝y －12，NB ＝36－2y ，由CM ＝NB ，得y －12＝36－2y ，解得y ＝16.故假设成立.∴当点M ，N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ，此时M ，N 运动的时间为16秒.。
北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明 综合测试卷(含答案)
第一章三角形的证明综合测试卷一、选择题。
01如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35º，则∠C的度数为 ( )A．35º B．45º C．55º D．60º02若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm03如图，在△ABC中，∠ACB=90º，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30º，AE=6 cm，那么CE等于 ( )A ．3 cmB ．2 cm C．3 cm D．4 cm04如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠A=50º，则∠ACB的度数为 ( )A．90º B．95º C 100º D．105º05如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=4，AC=6，则△ACD 的面积为 ( )A．8 B 10 C．12 D．2406如图，∠A=50º，P是等腰△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为 ( )A．100º B．140º C．130º D．115º07如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60º，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB，AC 于D，E两点，若BD=2，则AC的长是 ( )A．4 B．43 C．8 D．8308 将一个有45º角的直角三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30º角，如图，则三角尺的最长边的长为 ( )A．6 cm B．2 cm C．2 cm D．209如图，∠ACB=90º，AC=BC，AE⊥CE，垂足为点E，BD⊥CE，交CE的延长线于点D，AE=5 cm，BD=2 cm，则DE的长是( )A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm10如图，AD⊥BC于D，且DB=DC，有下列结论：①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C；③AD 是∠BAC的平分线；④△ABC为等边三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11如图，∠A=15º，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )A．90º B．75º C．70º D．60º12如图，在△ABC中，BC=10，DH，EF分别为AB、AC的垂直平分线，则△ADE的周长是 ( )A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明(含答案)
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明（含答案）一、选择题1.由线段a,b,c 组成的三角形,不是直角三角形的是( )A.a=3,b=4,c=5B.a=1,b=43,c=53 C.a=9,b=12,c=15 D.a=√3,b=2,c=√5 答案 D D 中,a 2+b 2=7,c 2=5,a 2+b 2≠c 2,故选D.2.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( )A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等答案 D 当两直角边对应相等时,再由直角相等,根据SAS 可以判定两直角三角形全等.3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的( )A.三个内角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案 B 到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上.4.用反证法证明:“三角形中必有一个内角不小于60°”时,应当先假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角大于60°答案B反证法第一步是提出与结论相反的假设.5.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为()图1-5-1A.√6B.4C.2√3D.5答案B∵AD⊥BC,∠ABC=45°,∴∠BAD=90°-∠ABC=45°=∠ABC,∴BD=AD,又∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∠BEC=90°.∴∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°,∴∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BDH.∴BH=AC=4.6.已知等腰直角三角形ABC,斜边AB的长为2,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则点C的坐标是()A.(0,1)B.(0,-1)C.(0,1)或(0,-1)D.(1,0)或(-1,0)答案C∵OC⊥AB,∠CAB=45°,∴∠ACO=45°.AB=1,∴C(0,1)或(0,-1).∴CO=AO=127.下列命题中的假命题是()A.等腰三角形的顶角一定是锐角B.等腰三角形的底角一定是锐角C.等腰三角形至少有两个角相等D.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合答案A等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角.8.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是()A.∠C=2∠AB.BD=BCC.△ABD是等腰三角形D.点D为线段AC的中点答案D∵A=36°,AB=AC,∴∠C=∠ABC=72°.∴∠C=2×36°=2∠A,A选项正确.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形,C选项正确.又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC,B选项正确,只有D选项结论错误.9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10,过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE于点E、交∠ACB的平分线CD于点D,则DE为()A.18B.16C.14D.8答案C在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,由勾股定理得AB=8,∵DE∥BC,∴∠D=∠DCB,∠E=∠EBC,∵CD平分∠ACB,BE平分∠ABC,∴∠ACD=∠DCB,∠ABE=∠EBC,∴∠D=∠ACD,∠E=∠ABE,∴AD=AC=6,AE=AB=8,∴DE=6+ 8=14,故选C.10.如图,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS,下面结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是()图1-5-4A.①②B.②③C.①③D.①②③答案A∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴∠BAP=∠CAP.又∵AQ=PQ,∴∠CAP=∠APQ.∴∠BAP=∠APQ.∴QP∥AR.在Rt△APR和Rt△APS中,{AP=AP,PR=PS,∴Rt△APR≌Rt△APS.∴AS=AR.故①②均正确.由已知条件不能得到△BRP≌△CSP.故选A.二、填空题11.等腰三角形两腰上的中线相等,这个命题的逆命题是,这个逆命题是命题.答案两边上的中线相等的三角形是等腰三角形;真12.等腰三角形的两边长分别是7和3,则它的周长是.答案17解析当7为腰长时,周长为7+7+3=17.当3为腰长时,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故答案为17.13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC是三角形.答案等边解析∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,∴a=b=c.∴△ABC 是等边三角形.14.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD∶DC=2∶1,BC=7.8cm,则D到AB 的距离为cm.答案 2.6解析∵AD平分∠BAC且∠C=90°,∴点D到AB的距离等于CD的长.∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8×7.8=2.6 cm.故答案为2.6.cm,∴CD=1315.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线MN交AB于点E,交AC于点D,且AC=16,△BCD的周长等于26,则BC的长为.答案10解析∵MN垂直平分AB,∴AD=BD.∴△BCD的周长=BD+DC+BC=AC+BC.∴16+BC=26.∴BC=10.16.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为.答案1+√3解析∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.又∵∠A=45°,∠B=30°,∴∠ACD=∠A=45°,BC=2CD=2.∴AD=CD=1,BD=√BC2-CD2=√22-12=√3.∴AB=AD+DB=1+√3.17.如图,D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,若∠ABC=60°,则∠ADC=.答案120°解析连接BD并延长.∵D是线段AB、BC的垂直平分线的交点,∴AD=BD=CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠ABC=120°.又∵∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4,∴∠ADC=∠5+∠6=120°.18.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,若点P 在边AC 上移动,则BP 的最小值是 .答案245解析 过点A 作AE ⊥BC 于点E,因为AB=AC=5,所以BE=CE=12BC=3,所以AE=√AB 2-BE 2=√52-32=4,所以S △ABC =12BC ·AE=12.易知BP 的最小值是S △ABC 12AC =245. 三、解答题19.如图,在Rt △ABC 中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中点D 重合,折痕为MN,求BN 的长.答案 设BN=x,由题意可得DN=AN=9-x.∵D 是BC 的中点,∴BD=3.在Rt △NBD 中,x 2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.20.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,CD ⊥AB.求证:(1)AB=2BC;(2)CE=AE=BE.证明 (1)∵∠ACB=90°,CD 、CE 三等分∠ACB,∴∠1=∠2=∠3=30°,∴∠1+∠2=60°,∴∠A=30°.在Rt△ACB中,∵∠A=30°,∴AB=2BC.(2)由(1)知∠A=∠1=30°,∴CE=AE.又∵∠B=∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,∴CE=BE.∴CE=AE=BE.21.如图,在△ABC中,AB=8,AC=4,G为BC的中点,DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D,DE⊥AB 于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF;(2)求AE的长.答案(1)证明:连接DB、DC,易知△BDE与△CDF均为直角三角形.∵DG垂直平分BC,∴DB=DC.∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴BE=CF.(2)∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°,又∠DAE=∠DAF,AD=AD,∴△ADE≌△ADF.∴AE=AF=AC+CF.由(1)知BE=CF,∴AE=AC+BE=4+BE.∴AE=4+8-AE.∴AE=6.22.如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?答案由题意可知AP=2t cm,BQ=t cm(0≤t≤3),则BP=AB-AP=(6-2t)cm.(1)若△PBQ为等边三角形,已知∠B=60°,需BP=BQ,即6-2t=t,解得t=2,即当t=2时,△PBQ 为等边三角形.(2)当PQ⊥BQ时,∵∠B=60°,∴∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即6-2t=2t,解得t=1.5;当PQ⊥BP时,同理可得BQ=2BP,即t=2(6-2t),解得t=2.4.综上可知,当t为1.5或2.4时,△PBQ为直角三角形.。
北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明单元培优测试题(附答案)
北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明单元培优测试题（附答案）1．如图，DE ∥GF ，A 在DE 上，C 在GF 上△ABC 为等边三角形，其中∠EAC ＝80°，则∠BCG 度数为（ ）A ．20°B ．10°C ．25°D ．30°2．如图，已知∠COB =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =200，则∠AOB =（ ）A ．400B ．600C ．1200D ．13503．如图，等腰三角形ABC 的周长为21，底边BC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．164．如图，在ABC ∆中，AB ，AC 的垂直平分线DF ，EG 交于点M ，点F ，G 在BC 上.若46GAF ∠=︒，则M ∠的度数为( )A ．67°B ．65°C ．55°D ．45°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则P 点到AB 的距离为( )A．1 B．2 C．3 D．46．在△ABC中，AB=AC，∠C=75°，则∠A的度数是（）A．30°B．50°C．75°D．150°7．等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（）A．120°B．150°C．60°D．90°8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AC=4，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点D，则D到AB的距离为（）A．2B．4C．43D．239．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P若点P的坐标为（﹣2a，4a﹣6），则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣210．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A ．10-15 B ．10-5C ．5-5D ．20-10 11．如图，直线12l l ∕∕，点A 在直线2l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12,l l 于点,C B ，连接,AC BC . 若54ABC ∠=︒，则1∠的度数为____________.12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是 13．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，若BC=5cm,则BD+DE=______.14．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________15．如图所示，点O 是直线AB 上的点，OC 平分∠AOD ，∠BOD=40°，则∠AOC=________ °．16．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，BC ＝4cm ，AB ＝_____cm ．17．在Rt △ABC 中，∠C=900 ,∠B=600 ,BC=2㎝ ，则AB=______㎝.18．如图，在ABC ∆中，060A ∠=，D 为ABC ∆内一点，且030DBC DCB ∠=∠=，长CD 交AB 于点E ，延长BD 交AC 于点F ，过点D 作DH BC ⊥于点H ，当82DF DE +=时，DH =_________．19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若△ABC 的周长为36，BC ＝13则△BCD 周长为_______.20．如图，已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=40，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，AD ：DC=5：3，则D 点到AB 的距离是_____．21．如图，四边形ABCD 中，2,60,13,3AB AD A BC CD ==∠=︒==.(1)求ADC ∠的度数;(2)求四边形ABCD 的面积= . (第二问直接写答案)22．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =∠C =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠DEC =______°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变______（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以，请说明理由．23．已知a ，b 满足|a ﹣7|+5b -+（c ﹣42）2＝0．（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．24．如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥CD 交BC 的延长线于点F ，连接CD ． （1）求证：DE ＝CF ；（2）求EF 的长．25．在ABC ∆中，已知A α∠=.（1）如图1，ABC ACB ∠∠、的平分线相交于点D ．①当80α=o 时，BDC ∠度数= 度（直接写出结果）；②BDC ∠的度数为 （用含α的代数式表示）；（2）如图2，若ABC ∠的平分线与ACE ∠角平分线交于点F ,求BFC ∠的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将FBC ∆以直线BC 为对称轴翻折得到GBC ∆，GBC ∠的角平分线与GCB ∠的角平分线交于点M （如图3），求BMC ∠的度数（用含α的代数式表示）．26．已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（I）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE=CN；②求CN的长；（II）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长。
北师大版八年级数学下册单元测试《第1章 三角形的证明》(解析版)
《第1章三角形的证明》一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=24．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．456．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．97．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．《第1章三角形的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形的三个内角度数比为1：1：2，可设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵三角形的三个内角度数比为1：1：2，∴设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°．∴这个三角形为等腰直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1：1：2，设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，利用方程思想求解．2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形【考点】等腰三角形的判定．【分析】认真阅读各选项，结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得．【解答】解：A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；B、外角相等，则对应的内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；C、利用两直线平行，内错角相等，同位相等，可知，另外的两内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形，错误．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；找出各选项的正误是正确解答本题的关键．3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2【考点】反证法．【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【解答】解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；故选：A．【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选B．【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．45【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由题意可得EB=ED，根据等边对等角的性质，易得∠B=∠EDB=∠ACB，即可得EF∥AC，又由AE=BE，根据平行线等分线段成比例定理，可得BD=CD，然后利用SAS即可证得△EBD≌△CFD，即可得∠F=∠BED．【解答】解：∵以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，∴EB=ED，∴∠EDB=∠B=70°，∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠EDB=∠ACB，∴EF∥AC，∵E是AB的中点，即BE=AE，∴BD=CD，在△EBD和△FCD中，，∴△EBD≌△FCD（SAS），∴∠F=∠BED=40°．故选A．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解题意．6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．【专题】应用题．【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．【解答】解：MN=2×40=80（海里），∵∠M=70°，∠N=40°，∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠NPM=∠M，∴NP=MN=80（海里）．故选：D．【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是6．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，即△ABC是等腰三角形，∴∠C=∠B=36°，∴∠BAC=108°，∵∠DAE=∠EAC=36°，∴∠BAD=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，∴△ABD，△ACE是等腰三角形，∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．故答案为：9．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是②③④．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．【解答】解：应添加的条件是②③④；证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形故答案为：②③④．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC；∵在△ABP和△ACP中，，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【考点】等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM 于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；等腰三角形的判定．【分析】（1）作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形；（2）根据PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，进而得出OD=CD，即可得出答案；（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．【解答】解：（1）能．画法：作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB 于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．（2）∵PQ∥OA，∴∠QPR=∠OCD，又∵∠QPR=∠AOB，∴∠OCD=∠AOB．∴OD=CD．即△OCD是以OC为底的等腰三角形．（3）如图②．【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识；作角平分线是正确解答本题的关键．。
(北师大版)济南市八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，已知::5:12:13AC BC AB =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ．若ABC 的面积为S ，则ACD △的面积为（ ）A ．14SB ．518SC ．625SD ．725S 2．已知如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，OC ，以下四个结论：①AD ＝BE ；②△CPQ 是等边三角形；③AD ⊥BC ；④OC 平分∠AOE ．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．③④C ．①②③D ．①②④ 3．如图，在ABC 中，PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，且分别与AB 交于点M ，N 连接CM ，CN ．有下列四个结论：①P A B ∠=∠+∠；②ACB MCN P ∠=∠+∠；③ACB ∠与P ∠是互为补角；④MCN △的周长与AB 边长相等其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠A ＝30°，BD ＝1，则AD 的长为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．235．下列说法错误的是（ ）A ．有两边相等的三角形是等腰三角形B ．直角三角形不可能是等腰三角形C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形6．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G 、CD 与BE 相交于点F ，AE 与CD 相交于点H ，连HB ，则下列结论：①AE CD =；②120AHC ∠=︒；③HB 平分AHC ∠；④CH EH BH =+．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，AB 交于点D ，E ．连接BD ．则下列结论不正确的是（ ）A ．BCD △的周长等于AB BC +B ．AD BD BC == C ．::ABD CBD S S AB BC =△△ D ．12ED AB = 8．如图所示，O 为直线AB 上一点，OC 平分∠AOE ，∠DOE =90°，则①∠AOD 与∠BOE 互为余角；②OD 平分∠COA ；③若∠BOE =56°40'，则∠COE =61°40'；④∠BOE =2∠COD ．结论正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AD 平分∠BACB ．∠ADC =60° C ．点D 在AB 的垂直平分线上 D ．:DAC ABC S S ＝1：210．如图，ABC ∆中，AB AC =，3BC =，6ABC S ∆=，AD BC ⊥于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（ ）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．511．如图，直线a ，b 相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O ，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知，如图在ABC 中，AB AC =，AD 是三角形的高，若20CAD ∠=︒，则B的度数是（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒二、填空题13．在ABC ∆中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，4AB =，点P 、M 、N 分别在边AB 、BC 、CA 上，连接PM 、MN 、NP ，则PMN ∆周长的最小值为__________14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，6），点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为_____．15．如图，等边三角形ABC 中，在AB 边上任意取一点D ，作DE BC ⊥于点E ，再作//EF AB 交AC 于点F ．当DEF 是等腰三角形时，EDF ∠的度数是_____________．16．在△ABC 中，∠ABC ＝48°，点D 在BC 边上，且满足∠BAD ＝18°，DC ＝AB ，则∠CAD ＝_____度．17．如图，AD 是△ABC 的平分线，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝DG ，AG ＝16，AE ＝8，若S △ADG ＝64，则△DEF 的面积为 ________．18．如图，ABC 中，,120AB AC A =∠=︒，若D 是BC 的中点，DE AB ⊥，垂足是E ，则:AE BE 的值等于________．19．如图，点M 是等边△ABC 的边BC 的中点，AB =4，射线CD BC ⊥于点C ，点P 是射线CD 上一动点，点N 是线段AB 上一动点，当MP +NP 的值最小时，则AN 长为____．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，点P 在AC 上，以点P 为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEF ，DE 交边AC 于G ，当P 为DF 中点时，AG ：DG 的值为___________三、解答题21．如图1，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）若4,5AB AC ==，求AEF 的周长．（2）过点O 作OH BC ⊥于点H ，连接OA ，如图2．当60BAC ∠=︒时，试探究OH 与OA 的数量关系，并说明理由．22．如图1，直线AB ：y=43x ＋4分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，将△BOC 沿BC 折叠，使点O 落在BA 上的点M 处．（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求线段BC 的长；（3）点P 为x 轴上的动点，当∠PBA=45°时，求点P 的坐标．23．如图，在ABC ∆中，80ABC ACB ∠=∠=︒，D 是AB 上一点，且AD BC =，//DE BC 且DE AC =.连接AE ，CE ，CD ．（1）求AED ∠的度数；（2）证明：ACE ∆是等边三角形；（3）求ECD ∠的度数．24．如图，在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点E 在BC 上，点F 在AB 的延长线上，且AE CF =．（1）求证：ABE CBF △≌△；（2）若75ACF ∠=︒，求EAC ∠的度数．25．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，以AD 为边作等边△ADE ，连接CE ．（1）求证BD ＝CE ；（2）若AC +CD ＝2，则四边形ACDE 的面积为 ．26．已知：如图，,,C D Rt AC BD AD ∠=∠=∠=与BC 相交于点P ．求证：（1）Rt ABC Rt BAD ≌．（2）PAB △是等腰三角形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，再根据AAS 得出ACD AED ≅，从而得出ACD △的面积=AED 的面积和BE 的长，继而得出AED 的面积和BED 的面积比，即可得出答案【详解】解：∵::5:12:13AC BC AB =，设AC=5k ，BC=12k ，AB=13k ，∴AC 2+BC 2=AB 2∴ABC 为直角三角形，∠C=90°，∵AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，∴∠CAD=∠BAD ，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD ，∴ACD AED ≅，∴△△S S =ACD AED ，AE=AC=5k ，∴BE=13k-5k=8k ，∵AED 和BED 同高， ∴8:5△BE △S :S =D AED ，∵ABC 的面积为S ， ∴518△S =ACD S ． 故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质与判定，根据同高得出8:5△BE △S :S =D AED 是解题的关键．2．D解析：D【分析】先由SAS 判定△ACD ≌△BCE ，证得①正确；再由ASA 证△ACP ≌△BCQ ，得到CP ＝CQ ，②正确，同理证得CM ＝CN ，得到④正确；易得③不正确．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 均是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠ECD ＝60°，∴∠ACB +∠BCD ＝∠BCD +∠ECD ，∠BCD ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD ＝BE ，故①正确；∠CAD ＝∠CBE ，∵∠BCA ＝∠BCD ＝60°，AC ＝BC ，∴△ACP ≌△BCQ （ASA ），∴CP ＝CQ ，又∵∠PCQ ＝60°，∴△CPQ 是等边三角形，故②正确；过C 作CM ⊥BE 于M ，CN ⊥AD 于N ，∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC ，∵CD ＝CE ，∠CND ＝∠CMA ＝90°，∴△CDN ≌△CEM （AAS ），∴CM ＝CN ，∵CM ⊥BE ，CN ⊥AD ，∴OC 平分∠AOE ，故④正确；当AC ＝CE 时，AP 平分∠BAC ，则∠PAC ＝30°，此时∠APC ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，则AD ⊥BC ，故③不正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．3．D解析：D【分析】根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，即可判定④正确．【详解】解：∵PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，∴90CDP ∠=︒，90CEP ∠=︒，又∵360P AC DP B C CE P ∠∠+∠=∠++︒，∴180P ACB ∠=︒∠+，故结论③正确；又∵180AC A B B ∠+︒∠+∠=，∴P A B ∠=∠+∠，故结论①正确； 直线PD 是AC 的垂直平分线，AM CM ∴=，∴A ACM ∠=∠同理，NB NC =，B BCN ∠=∠，∵AC MC ACB M N N BC ∠∠+∠∠=+，∴M ACB N A C B ∠∠∠=+∠+，∴ACB MCN P ∠=∠+∠，故结论②正确； AMN △的周长为MC MN NC =++，∴AMN 的周长=AM MN NB AB ++=，故结论④正确；综上所述，①②③④正确，共4个．故选D ．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4．C解析：C【分析】求出∠BCD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC=2，求出AB=4，即可得出答案．【详解】解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD 是高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=30°，∵BD=1，∴BC=2BD=2，∵在△ACB 中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AD=AB-BD=4-1=3，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是得出BC=2BD 和AB=2BC ，难度适中．5．B解析：B【分析】利用等腰三角形和等边三角形的判定解答即可．【详解】A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A 选项正确；B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B 选项错误；C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握有关性质． 6．A解析：A【分析】利用等边三角形,ABD BCE 的性质，证明 ,ABE DBC ≌ 从而可判断①，由,ABE DBC ≌可得,EAB CDB ∠=∠ 再利用三角形的内角和定理可判断②，如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N 利用全等三角形的对于高相等证明,BM BN = 从而可判断③，如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK 证明EHK 为等边三角形，再证明,EHB EKC ≌ 可得,HB KC = 从而可判断④．【详解】解：,ABD BCE 为等边三角形，,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE ∴=∠=︒==∠=︒，，,ABD DBE CBE DBE ∴∠+∠=∠+∠ 即,ABE DBC ∠=∠(),ABE DBC SAS ∴≌,AE DC ∴= 故①符合题意；,ABE DBC ≌,EAB CDB ∴∠=∠,DGH AGB ∠=∠180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠60DHG ABD ∴∠=∠=︒，120AHC ∴∠=︒，故②符合题意； 如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N,ABE DBC ≌,AE DC 为对应边，,BM BN ∴=HB ∴平分,AHC ∠ 故③符合题意；如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK60,EHK AHD ∠=∠=︒EHK ∴为等边三角形，,60,EK EH HEK ∴=∠=︒60,60,HEK HEB FEK BEC FEK KEC ∠=︒=∠+∠∠=︒=∠+∠,HEB KEC ∴∠=∠,BE CE =(),EHB EKC SAS ∴≌,HB KC ∴=.CH CK HK BH EH ∴=+=+ 故④符合题意；综上：①②③④都符合题意，故选：.A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据MN 是AB 的垂直平分线，等腰三角形的性质、角平分线的性质逐条判断即可．【详解】解：由作图可知，MN 是AB 的垂直平分线，∴BD=AD ，BCD △的周长等于BC+DC+BD=BC+DC+AD=BC+AC ，∵AB AC =∴BCD △的周长=AB BC +，A 正确；∵AB AC =，36A ∠=︒，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD=AD ，∴36A ABD ∠=∠=︒，∠BDC=72°=∠C ，BC=BD=AD ，B 正确；∵36ABD CBD ∠=∠=︒，∴点D 到AB 、BC 的距离相等，∴::ABD CBD S S AB BC =△△C 正确； 如果12ED AB =，则DE=AE ， ∠A=45°，与题意不符，D 错误；故答案为：D ．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法和等腰三角形的性质与判定以及角平分线的性质，解题关键是熟知垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，并能够灵活运用这些知识进行推理． 8．B解析：B【分析】由平角的定义与90DOE ∠=︒，即可求得AOD ∠与∠BOE 互为余角；又由角平分线的定义，可得22AOE COE AOC ∠=∠=∠，即可求得2BOE COD ∠=∠，若5640BOE ∠=︒'，则6140COE ∠=︒'．【详解】解：90DOE ∠=︒，90COD COE ∴∠+∠=︒，90EOB DOA ∴∠+∠=︒，故①正确； OC 平分AOE ∠，22AOE COE AOC ∴∠=∠=∠；1801802BOE AOE COE ∴∠=︒-∠=︒-∠，90COD COE ∠=︒-∠，2BOE COD ∴∠=∠，90AOD BOE ∠=︒-∠，故②不正确，④正确；若5640BOE ∠=︒'，180AOE BOE ∠+∠=︒，11(180)(1805640)614022COE BOE ∴∠=︒-∠=︒-︒'=︒'． 故③正确；∴①③④正确．故答案为：B ．【点睛】此题考查了平角的定义与角平分线的定义．题目中要注意各角之间的关系，解题时要仔细识图．9．D解析：D【分析】由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 可判断A ，再求解1302DAC DAB BAC ∠=∠=∠=︒， 可得60,ADC ∠=︒ 可判断B ，再证明,DA DB = 可判断C ，过D 作DF AB ⊥于,F 再证明,DC DF = 再利用ACD ACD ABC ACD ABD S S S S S =+ ，可判断,D 从而可得答案． 【详解】解：90,30,C B ∠=︒∠=︒903060,BAC ∴∠=︒-︒=︒由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 故A 不符合题意；1302DAC DAB BAC ∴∠=∠=∠=︒， 903060,ADC ∴∠=︒-︒=︒ 故B 不符合题意；30,DAB B ∠=∠=︒,DA DB ∴=D ∴在AB 的垂直平分线上，故C 不符合题意；过D 作DF AB ⊥于,F90,C AD ∠=︒平分,BAC ∠,DC DF ∴=30B ∠=︒，2,AB AC ∴=11,,22ACD ABD S AC CD S AB DF ∴== 121122ACDACD ABC ACD ABD AC CD SS S S S AC CD AB DF ∴==++ 1.233AC AC AC AC AB AC AC AC ====++ 故D 符合题意； 故选：.D【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD=PB+PD 的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC ，BC=3，S △ABC =6，AD ⊥BC 于点D ，∴AD=4，∵EF 垂直平分AB ，∴点A ，B 关于直线EF 对称，∴EF 与AD 的交点P 即为所求，如图，连接PB ，此时PA=PB ，PB+PD=PA+PD=AD ，AD=PB+PD 的最小值，即PB+PD 的最小值为4，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．11．D解析：D【分析】以点O 、A 、B 为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为OA OB =，OA AB =，OB AB =，从这三方面考虑点B 的位置即可．【详解】解：如图所示，①当OA OB =时，以点O 为圆心，OA 为半径作圆，与直线b 在O 点两侧各有一个交点，此时B 点有2个；②当OA AB =时，以点A 为圆心，OA 为半径作圆，与直线b 有另外一个交点，此时B 点有1个；③当OB AB =时，作OA 的垂直平分线，与直线b 有一个交点，此时B 点有1个， 综上，B 点总共有4个，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B 是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD ＝20°，∠ABC ＝∠ACB ，根据三角形内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的高，∴∠BAD ＝∠CAD ＝20°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝180402︒-︒＝70°， 故选：D ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的高线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．2【分析】作点M 关于AC 的对称点M′作点M 关于AB 的对称点M′′连接AMM′M′′M′M′′交AB 于点P′交AC 于点N′作AH ⊥BC 于点H 由对称性可知：当点M 固定时周长的最小值=M′M′′再推出M′解析：26 【分析】 作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值= M′M′′，再推出M′M′′=2AM ，进而即可求解．【详解】如图，作点M 关于AC 的对称点M′，作点M 关于AB 的对称点M′′，连接AM ，M′M′′，M′M′′交AB 于点P′，交AC 于点N′，作AH ⊥BC 于点H ，由对称性可知：MN′=M′N′，MP′=M′′P′，AM=AM′=AM′′，∴当点M 固定时，PMN ∆周长的最小值=MN′+MP′+N′P′= M′N′+M′′P′+N′P′= M′M′′， ∵45A ∠=︒，∠M′AC=∠MAC ，∠M′′AB=∠MAB ，∴∠M′A M′′=90°，即∆ M′A M′′是等腰直角三角形，∴M′M′′=2=2AM AM ′，∴当AM 最小时，M′M′′的值最小，即AM 与AH 重合时，M′M′′的值最小，∵60B ∠=︒，4AB =，AH ⊥BC ，∴∠BAH=30°，∴AH=3AB 2=23，此时，M′M′′的值最小=2AH =26， ∴PMN ∆周长的最小值=26．故答案是：26．【点睛】本题主要考查轴对称—线段和的最小值，直角三角形的性质，作点M 关于AB ，AC 的对称点，把PMN ∆周长化为两点间的线段长，是解题的关键．14．【分析】以AP 为边作等边三角形APE 连接BE 过点E 作EF ⊥AP 于F 由SAS 可证△ABE ≌△ACP 可得BE ＝PC 则当BE 有最小值时PC 有最小值即可求解【详解】解：如图以AP 为边作等边三角形APE 连接B 解析：92【分析】以AP 为边作等边三角形APE ，连接BE ，过点E 作EF ⊥AP 于F ，由“SAS”可证△ABE ≌△ACP ，可得BE ＝PC ，则当BE 有最小值时，PC 有最小值，即可求解．【详解】解：如图，以AP 为边作等边三角形APE ，连接BE ，过点E 作EF ⊥AP 于F ，∵点A 的坐标为（0，6），∴OA ＝6，∵点P 为OA 的中点，∴AP ＝3，∵△AEP 是等边三角形，EF ⊥AP ，∴AF ＝PF ＝32，AE ＝AP ，∠EAP ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAP ，在△ABE 和△ACP 中，AE AP BAE CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACP （SAS ），∴BE ＝PC ，∴当BE 有最小值时，PC 有最小值，即BE ⊥x 轴时，BE 有最小值，∴BE 的最小值为OF ＝OP ＋PF ＝3＋32＝92， ∴PC 的最小值为92， 故答案为92．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．15．75°或120°【分析】分当△EDF 是以E 为顶角的等腰三角形当△EDF 是以D 为顶角的等腰三角形当△EDF 是以F 为顶角的等腰三角形三种情况分别求解【详解】解：∵EF ∥AB ∴∠FEC=∠B=60°∴∠D解析：75°或120°【分析】分当△EDF 是以E 为顶角的等腰三角形，当△EDF 是以D 为顶角的等腰三角形，当△EDF 是以F 为顶角的等腰三角形三种情况，分别求解．【详解】解：∵EF ∥AB ，∴∠FEC=∠B=60°，∴∠DEF=90°-60°=30°，当△EDF 是以E 为顶角的等腰三角形时，∠EDF=280013︒-︒=75°； 当△EDF 是以D 为顶角的等腰三角形时，∠EDF=180°-2×30°=120°，当△EDF 是以F 为顶角的等腰三角形时，∠EDF=∠DEF=30°，当∠EDF=30°时，∠BDF=60°，∴DF ∥AC ，即F 不在AC 上，故不符合题意，故答案为：75°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形中已知条件中没有明确哪两边相等时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．16．66【分析】作辅助线构建等腰三角形ABE 证明AB=BE 再证明△ABD ≌△ACE 得∠CAE=∠BAD=18°根据角的和可得结论【详解】解：如图在线段CD 上取一点E 使CE ＝BD 连接AE ∴CE+DE ＝BD解析：66【分析】作辅助线，构建等腰三角形ABE ，证明AB=BE ，再证明△ABD ≌△ACE ，得∠CAE=∠BAD=18°，根据角的和可得结论．【详解】解：如图，在线段CD 上取一点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，∴CE +DE ＝BD +DE ，即CD ＝BE ，∵CD ＝AB ，∴AB ＝BE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∵∠B ＝48°，∴∠BAE ＝∠BEA ＝66°，∵∠B ＝48°，∠BAD ＝18°，∴∠ADE ＝66°＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∠ADB ＝∠AEC ，在△ABD 和△ACE 中，BD CE ADB AEC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠EAC ＝∠BAD ＝18°，∴∠CAD ＝∠CAE +∠DAE ＝∠BAD +∠DAE ＝66°．故答案为：66．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，正确作辅助线，构建等腰三角形是本题的关键．17．16【分析】过点D 作于H 先利用三角形的面积公式计算出DH=8再利用角平分线的性质得到DF=DH=8接着证明得到证明得到利用等线段代换得到于是求出EF 的长然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D解析：16【分析】过点D 作DH AC ⊥于H ，先利用三角形的面积公式计算出DH=8，再利用角平分线的性质得到DF=DH=8，接着证明Rt DEF DGH △≌Rt △得到EF HG =，证明Rt ADF △≌Rt △ADH 得到AF AH =，利用等线段代换得到EF AG HG AE =--，于是求出EF 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D 作DH AC ⊥于H ，64S =△ADG ，16AG =1642AG DH ∴⨯⨯= 8DH ∴= AD 是ABC 的平分线，,DF AB DH AC ⊥⊥8DF DH ==∴在Rt DEF △和Rt DGH △中DE DG DF DH =⎧⎨=⎩\ ∴Rt DEF △≌Rt DGH △EF HG ∴=同理可得Rt ADF △≌Rt △ADHAF AH ∴=168EF AF AE AH AE AG HG AE EF =-=-=--=--4EF ∴=11481622DEF S EF DF ∴=⨯⨯=⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定定理是解题关键．18．【分析】已知AB=AC ∠BAC=120°根据等腰三角形性质及内角和定理可推出∠B=∠C=30°连接AD 可求得∠ADE=∠B=30°再由直角三角形性质即可求解【详解】解：如图连接AD ∵AB=AC ∠BA解析：1:3【分析】已知AB=AC ，∠BAC=120°，根据等腰三角形性质及内角和定理可推出∠B=∠C=30°，连接AD ，可求得∠ADE=∠B=30°，再由直角三角形性质即可求解．【详解】解：如图，连接AD ，∵AB=AC ，∠BAC=120°，D 是BC 的中点，∴∠B=∠C=30°，∠ADB=90°．∵DE ⊥AB ，∴∠BED=∠ADB ＝90°．∴∠B+∠BDE=∠ADE+∠BDE=90°．∴∠ADE=∠B=30°，设AE=x ，则AD=2x ，AB=2AD=4x ，∴EB=AB-AE=3x ，∴::31:3AE BE x x ==．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了等腰三角形与直角三角形的性质，掌握等腰三角形与含30°角的直角三角形的性质并准确作出辅助线是解答本题的关键．19．1【分析】作点M 关于直线CD 的对称点G 过G 作于N 交CD 与P 再根据等边三角形的性质计算即可；【详解】作点M 关于直线CD 的对称点G 过G 作于N 交CD 与P ∵△ABC 是等边三角形AB=4∴AB=BC=AC=4解析：1【分析】作点M 关于直线CD 的对称点G ，过G 作GN AB ⊥于N ，交CD 与P ，再根据等边三角形的性质计算即可；【详解】作点M 关于直线CD 的对称点G ，过G 作GN AB ⊥于N ，交CD 与P ，∵△ABC 是等边三角形，AB =4，∴AB=BC=AC=4，30G ∠=︒，∵M 是BC 的中点，∴2BM CM CG ===，∴6BG =，在Rt △BNG 中，30G ∠=︒，6BG =，∴3BN =，∴431AN =-=；故答案是1．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，准确计算是解题的关键．20．【分析】设PG=x 由点P 在AC 上以点P 为中心将△ABC 顺时针旋转90°得到△DEF 可得∠D=∠A=30°PD=PA ∠APD=90°利用30°角所对直角边等于斜边的一半可得DG=2PG=2x 在Rt △D 解析：312- 【分析】 设PG=x ，由点P 在AC 上，以点P 为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEF ，可得∠D=∠A=30°，PD=PA ，∠APD=90°利用30°角所对直角边等于斜边的一半可得DG=2PG=2x ，在Rt △DFG 中，由勾股定理PG=223DG PG x -=，可求GA ()31x =-，两线段比即可求出AG ：DG=312-=即可． 【详解】设PG=x ，点P 在AC 上，以点P 为中心，将△ABC 顺时针旋转90°，得到△DEF ，∴∠D=∠A=30°，PD=PA ，∠APD=90°，∴DG=2PG=2x ，在Rt △DFG 中，由勾股定理PG=222243DG PG x x x -=-=，GA=AP-PG=DP-PG=()331x x x -=-， AG ：DG=()31312x --：2x=． 故答案为：312-．【点睛】本题考查两线段的比，图形的旋转，勾股定理，30°角直角三角形性质，线段的和差等知识，掌握图形的旋转性质，勾股定理应用，30°角直角三角形性质，线段的和差，会求两线段的比是解题关键．三、解答题21．（1）9；（2）OH=12 AO【分析】（1）由EF∥BC可得∠EOB=∠OBC，由OB平分∠ABC可得∠EBO=∠OBC，由此得到∠EOB=∠EBO，可得BE=OE，同理可得CF=OF，由此即可证明△AEF的周长等于AB+AC，然后求出其周长；（2）过O作OP⊥AB于P，作OG⊥AC于Q，证明AO平分∠BAC，根据∠BAC的度数，推出OP=12OA，从而得到OH=12OA．【详解】解：（1）∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC．∵∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，同理：CF=OF，∴△AEF的周长=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+FC=AB+AC=4+5=9．（2）过O作OP⊥AB于P，作OQ⊥AC于Q，∵BO与CO分别为∠ABC与∠ACB的平分线，∴PO=OH=OQ，∴AO平分∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠BAO=30°，∴OP=12OA，∴OH=12OA．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定，判断出AO 平分∠BAC 是解本题的关键．22．（1）A （-3，0），B （0，4）；（2）BC 的长为4103；（3）P （-28，0）或（47，0）【分析】（1）令0x =，求得y ，令0y =，求得x ，即可求解；（2）设OC=a ，在Rt △ACM 中，利用勾股定理列式计算可求得43a =，即可求解； （3）分点P 在点A 的右边和左边两种情况讨论，分别作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）令0x =，4443y x =+=， 令0y =，4043x =+，则3x =-， ∴点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（0，4）；（2）设OC=a ，由折叠的性质可知：CM ⊥AB ，OC=CM=a ，OB=BM=4，由勾股定理得：AB=2222345AO BO +=+=， ∴AM=1，在Rt △ACM 中，222AM MC AC +=，∴2221(3)a a +=-，∴43a =， ∴222244()03341BC BO CO =+=+=； （3）如图，点P 在点A 的右边时，过P 作PG ⊥AB 于G ，∵点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（0，4），∴OA<OB ，∴点P 在点O 的右边，设PO= m ，则AP=3m +， ∵APB 1122S AB PG AP OB =⨯=⨯， ∴()435PG m =+， ()()()22224333355AG AP PG m m m ⎡⎤=-=+-+=+⎢⎥⎣⎦， ∵∠PBA=45°，∴△BPG 是等腰直角三角形，∴()435BG PG m ==+， ∵ AG BG AB +=，∴()()3433555m m +++=， 解得：47m =， 此时点P 的坐标为(47，0)； 如图，点P 在点A 的左边时，过P 作PH ⊥AB 于H ，设PO= n ，则AP=n 3-，∵APB 1122S AB PH AP OB =⨯=⨯， ∴()4n 35PH =-， ()()()22224333355AH AP PH n n n ⎡⎤=-=---=-⎢⎥⎣⎦， ∵∠PBA=45°，∴△BPH 是等腰直角三角形，∴()435BH PH n ==-， ∵BH AH AB -=， ∴()()4333555n n ---=， 解得：28n =，此时点P 的坐标为(28-，0)；综上，点P 的坐标为(28-，0)或(47，0) ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出合适的辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．23．（1）20AED ∠=︒；（2）见解析；（3）70ECD ∠=︒．【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠BAC=20°，根据平行线得性质可得∠ADE=∠ABC ，利用SAS 可证明△ABC ≌△EAD ，根据全等三角形得性质可得∠AED=∠BAC=20°；（2）根据全等三角形得性质可得AE=AB ，由等角对等边可得AB=AC ，即可证明AE=AC ，根据等腰三角形得性质可得∠ADE=∠EAD=80°，可得∠CAE=60°，即可证明△ACE 是等边三角形；（3）由（2）可知∠AEC=60°，即可得出∠DEC 的度数，根据等腰三角形得性质即可得答案．【详解】（1）∵80ABC ACB ∠=∠=︒，∴∠BAC=180°-2∠ACB=20°，∵//DE BC ，∴ADE ABC =∠∠， ABC ACB ∴∠=∠，ADE ACB ∴∠=∠∴在ABC ∆和EAD ∆中BC AD ADE ACB AC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC EAD ∴∆≅∆，20AED BAC ∴∠=∠=︒．（2）由（1）知：ABC EAD ∆≅∆，AE AB ∴=，80EAD ABC ∠=∠=︒∵80ABC ACB ∠=∠=︒∴AB AC =，AE AC ∴=，∵∠BAC=20°，802060CAE ∴∠=︒-︒=︒，ACE ∴∆是等边三角形.（3）ACE ∆是等边三角形，60CEA ∴∠=︒，∵∠AED=20°，602040CED ∴∠=︒-︒=︒，ED AC EC ==，EDC ∴∆为等腰三角形，18040702ECD ︒-︒∴∠==︒． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．24．（1）见详解；（2）15°【分析】（1）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，AE ＝CF ，即可利用HL 证得Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，即可求得∠CAB 与∠ACB 的度数，即可得∠FCB 的度数，又由Rt △ABE ≌Rt △CBF ，即可求得∠EAB 的度数，再得出∠EAC 的度数即可．【详解】（1）证明：∵∠ABC ＝90°，∴△ABE 与△CBF 为直角三角形．∵在Rt △ABE 与Rt △BCF 中，AB BC AE CF ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，∵∠ACF ＝75°，∴∠FCB ＝30°，∵Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠EAB ＝∠FCB ＝30°，∴∠EAC ＝45°-30°=15°．【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．25．（1）详见解析；（2【分析】（1）由题意可以得到△ABD ≌△ACE ，从而得到BD=CE ；（2）分别过E 作AC 、CD 的垂线EM 、EN ，由（1）及勾股定理可以求得EM 、EN 的值，然后根据三角形面积计算方法及AC+CD=2可以得到四边形ACDE 的面积 ．【详解】证明：（1）∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABD ＝60°，∴∠DCE ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，过点E 作EM ⊥AC 于M ，过E 作EN ⊥BC ，交BC 延长线于N ，∴EM ＝EN ，∵CE ＝BD ＝AC +CD ＝2，∴EM ＝EN 3∴ACE DCE ACDE S S S =+四边形1122AC EM CD EN =⨯+⨯ ()1132322EM AC CD =+==， 3【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL 即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得∠ABP=∠BAP，从而得到PA=PB，即可得证．【详解】解：（1）∵∠C=∠D=Rt∠，AC=BD，AB=BA，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABP=∠BAP，∴PA=PB，∴△PAB是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，证明Rt△ABC≌Rt△BAD是解题的关键．。
北师大版八年级数学下册《第1章 三角形的证明》单元培优测试卷【附答案】
北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（ ）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（ ）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（ ）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（ ）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。